On the analysis of unreplicated factorial designs

Abstract

This thesis deals with the problems associated with the analysis of unreplicated fractional factorial designs. These are mainly the estimation of the residual variance and the identification of active contrasts by corresponding tests. In this thesis, only orthogonal designs are studied. This work consists of five chapters and is organized as follows: Chapter 1 introduces the problems in the analysis of unreplicated factorial designs and reviews some existing solutions and their limitations. Chapter 2 reviews twelve existing quantitative methods for analyzing unreplicated fractional factorial designs in detail. These are the directed methods, which use an estimate of the standard deviation as the denominator of a test statistic (Lenth (1989), Juan and Pena (1992), and Dong (1993)); outlier­detection techniques (Seheult and Tukey (1982), Le and Zamar (1992)); Bayesian methods (Box and Meyer (1986)); hybrid procedures (Benski (1989), Lawson, et al. (1998)); non­parametric method (Loughin and Nobel (1997)); generalized likelihood ratio test (Al­Shiha and Yang (1999)); the method based on display ratio (Johnson and Tukey (1987)); and the method based on variance homogeneity test (Bissell (1989)), respectively. Chapter 3 presents a new quantitative method, which we call MaxU r ­method. Some of the statistical properties, e.g. the exact null distribution and the power function of this method are discussed and simulated critical values of MaxU r are presented. The exact quantiles and power of the test MaxU r are also derived in the special case when there are only three contrasts (e.g., in the 2 2 design). Finally, four examples are given to illustrate the use of the new method. In chapter 4, all thirteen methods are compared by means of a simulation study. In this simulation study, not only cases where the active contrasts all have the same magnitude are considered, but also cases where the active contrasts differ in magnitude. Chapter 5, the last chapter, summarizes the results of the simulation study, and provides a comparison to those reported before by other authors. It concludes with discussions and an outlook for possible future investigation.

Die Arbeit untersucht Probleme bei der Analyse von nichtwiederholten Faktorenplänen, nämlich das Schätzen der Fehlervarianz und die Identifizierung der aktiven Kontraste. In dieser Dissertation werden nur orthogonale Faktorenpläne studiert. Diese Arbeit besteht aus fünf Kapiteln mit der folgenden Struktur: Kapitel 1 stellt die Probleme bei der Analyse von nichtwiederholten Faktorenplänen vor, und präsentiert einige existierende Lösungen und ihre Nachteile. Kapitel 2 stellt zwölf existierende quantitative Methoden für die Analyse von nichtwiederholten Faktorenplänen ausführlich dar. Dies sind direkte Methoden (Lenth 1989, Juan und Pena 1992, und Dong 93); auf Outlier­detection­Technik basierende Methoden (Seheult und Tukey 1982, Le und Zamar 1992); eine Bayes'sche­Methode (Box und Meyer 1986); hybride Verfahren (Benski 1989 und Lawson, u.a. 1998); eine nichtparametrische Methode (Loughin und Nobel 1997); ein generalisierter Likelihood­Ratio­Test (Al­Shiha und Yang 1999); eine auf Display­ratio basierende Methode (Johnson und Tukey 1987) sowie eine auf einem Varianz­Homogenitäts­Test basierende Methode (Bissell 1989). Kapitel 3 schlägt eine neue quantitative Methode vor, die MaxU r genannt wird. Einige statistische Eigenschaften von MaxU r , z.B., die exakte Nullverteilung und die Gütefunktion werden untersucht. Ihre exakten Quantile und die Güte werden berechnet, wenn es nur 3 Kontraste (z.B., im 2² Design) gibt. Simulierte kritische Werte von MaxU r werden für allgemeinere Fälle vorgelegt. Außerdem sind 4 Beispiele gegeben, um die Anwendung des neuen Verfahrens zu demonstrieren. In Kapitel 4 werden alle 13 Methoden durch eine Simulationsstudie miteinander verglichen. Kapitel 5 faßt die Ergebnisse der Simulationsstudie zusammen. Es diskutiert die Ergebnisse und liefert einen Überblick über mögliche zukünftige Forschungen.