Braunschweiger Schriften zur Mechanik Nr. 44–2002
Zur Kontinuumsmechanik
inverser Geometrieprobleme
von
Franz-Joseph Barthold
Computational Sciences in Engineering
Technische Universit¨ Braunschweig
Herausgegeben vom Mechanik-Zentrum der
Technischen Universit¨ Braunschweig
Schriftleiter:
Prof. Dr. rer. nat. H. Antes
Institut f¨ Angewandte Mechanik
Postfach 3329
38023 Braunschweig
Tel.: 0531/391-7101
Fax.: 0531/391-5843
Vom Fachbereich Bauingenieurwesen
der Technischen Universit¨ Braunschweig
genehmigte Habilitation im Fachgebiet ”Mechanik“
Tag der Einreichung: 23.06.2000
Tag des Kolloquiums: 13.07.2001
Berichter:
Prof. Dr. rer. nat. H. Antes
Prof. Dr.-Ing. K. Schweizerhof
Prof. Dr.-Ing. P. Wriggers
c 2002 F.-J. Barthold, Braunschweig
BSM 44-2002
ISBN 3-920395-43-3
Alle Rechte, insbesondere das der ¨ ersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.
Mit Genehmigung des Autors ist es gestattet, dieses Heft ganz oder teilweise zu
vervielf¨ igen.
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand w¨ end meiner T¨ igkeit am Institut f¨ Baumechanik und
Numerische Mechanik (IBNM) der Universit¨ Hannover im Zeitraum von 1995 bis 1999 und
wurde nach dem Wechsel als Kursdirektor des Masterstudienganges ”Computational Sciences
in Engineering“ (CSE) an die TU Braunschweig im Fr¨ 2000 fertiggestellt.
Dem emeritierten Leiter des Instituts f¨ Baumechanik und Numerische Mechanik, Herrn em.
Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Dr. h.c. mult. Erwin Stein, danke ich f¨ die langj¨ ige vertrau-
ensvolle Zusammenarbeit im Institut und seine großz¨ e Unterst¨ und F¨ derung.
Ohne das von ihm geschaffene attraktive und ¨ erst stimulierende wissenschaftliche Umfeld
w¨ e diese Arbeit nicht m¨ lich gewesen.
Allen Mitarbeitern des IBNM der Universit¨ Hannover sowie von CSE der Technischen
Universit¨ Braunschweig danke ich, die durch ihre freundschaftliche Zusammenarbeit, ihre
wertvollen Ratschl¨ e und hilfreichen Diskussionen wesentlich zum Gelingen dieser Arbeit
beigetragen haben.
Dieser Dank gilt – nicht ausschließlich, aber insbesondere – den Mitglieder der Arbeitsgruppe
”Strukturoptimierung“ des IBNM, d.h. namentlich Dr.-Ing. Axel Becker, Dr.-Ing. AndreasFalk, Dr.-Ing. Lutz Meyer und Dr.-Ing. Karin Wiechmann sowie den Diplomanden Dipl.-Ing.
Simone Mesecke und Dipl.-Ing. Mohammad Firuziaan.
Weiterhin bedanke ich mich herzlich bei Herrn Professor Dr. rer. nat. H. Antes, Herrn Profes-
sor Dr.-Ing. K. Schweizerhof und Herrn Professor Dr.-Ing. P. Wriggers f¨ zahlreiche wertvolle
Anregungen und Hinweise sowie f¨ die ¨ ernahme der Referate.
Mein besonderer Dank geb¨ meiner Frau Silke, meinen Kindern und allen denen, die mir
die famili¨ en Voraussetzungen f¨ den erfolgreichen Abschluß der Habilitation geschaffen
haben.
Braunschweig, im April 2002 Franz–Joseph Barthold

Franz-Joseph Barthold
Zusammenfassung
In dieser Arbeit Zur Kontinuumsmechanik inverser Geometrieprobleme werden die theoreti-
schen und algorithmischen Grundlagen von Design¨ en und deren Auswirkungen auf
die Strukturantwort in die Kontinuumsmechanik eingef¨ und diskutiert.
Die vorgeschlagene lokal-konvektive Betrachtungsweise bzgl. konvektiver (lokaler) Koordina-
ten wird aus dem Begriff der (differenzierbaren) Mannigfaltigkeit hergeleitet und stellt f¨
inverse Geometrieprobleme (z.B. Strukturoptimierung) eine Weiterentwicklung des Konzep-
tes materieller K¨ per (gem¨ dem intrinsischen Konzept von W. Noll) dar. Hiermit sind
auch die kinematischen Beziehungen der wichtigen numerischen Hilfsmittel, d.h. des Compu-
ter Aided Geometric Design (CAGD) und der Finite Elemente Methode (FEM) sowie deren
Interaktion direkt aus der Theorie abzulesen. Die innerhalb der variationellen Sensitivit¨
analyse bisher bekannten Vorgehensweisen des Material Derivative Approach (MDA) sowie
des Domain Parametrization Approach (DPA) k¨ durch die lokal-konvektive Betrach-
tungsweise ersetzt werden.
Theoretische Darstellungen sowie numerische Untersuchungen zur Sch¨ ungs- und Bruch-
mechanik sowie zur Fragestellung robuster, zuverl¨ Ingenieurstrukturen zeigen die Be-
deutung der Empfindlichkeitsuntersuchungen und veranschaulichen die hier vorgestellten
Methodik zur Sensitivit¨ sanalyse. Die Bandbreite m¨ licher Einsatzgebiete einer problem-
gerechten Modellierung und algorithmischen Umsetzung (mittels CAGD und FEM) inverser
Geometrieprobleme werden exemplarisch an akademischen Beispielen, wie z.B. der optimalen
Auslegung der Querschnittsgeometrie von PKW-Stoßf¨ ern, aufgezeigt.
Abstract
This paper introduces and discusses the theoretical and algorithmical basic principles of
design modifications and their effects on the structural response within the field of continuum
mechanics.
The proposed local-convected approach concerning convected (i.e. local) coordinates is de-
rived from (differentiable) manifolds and has to be seen as a further development of the
concept of material bodies (according to the intrinsic concept of W. Noll) for the field of in-
verse geometric problems (e.g. structural optimization). In this connection it is also possible
to gain information about kinematic relations between the most important numerical tools,
i.e. the computer aided geometric design (cagd) and the finite element method (fem) as well
as their interaction, directly from theory. The material derivative approach and the domain
parametrization approach can also be substituted by the local-convected approach.
Theoretical representations as well as numerical investigations in damage and fracture me-
chanics and the question of robust and reliable engineering structures show the importance
of sensitivity studies and illustrate the methodology of sensitivity analysis. The scope of
possible fields of application regarding problem-oriented modelling and algorithmic imple-
mentation of inverse geometric problems (using cagd and fem) will be shown exemplarily by
means of academic examples, like e.g. the optimal construction of the sectional geometry of
car bumpers.

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung und ¨ erblick 1
1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Stand der Forschung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Aufgabenstellung und Ziele dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Kinematische Grundlagen 11
2.1 Kinematik in der Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Kinematik in CAGD und FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Integrierte Darstellung der Kinematik I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise 39
3.1 Gradienten und Tangentenabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Verzerrungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Spannungen und Spannungsleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Materialgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Bilanz- und Erhaltungss¨ ze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Variationsprinzipien f¨ Analyse und Sensitivit¨ . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Diskretisierungskonzepte f¨ Geometrie und physikalische Gr¨ßen 71
4.1 Integrierte Darstellung der Kinematik II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Approximationsr¨ und Adaptivit¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5 Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ ter Problemklassen 87
5.1 Grundstruktur der Sensitivit¨ sanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Hinweise zur Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3 Sensitivit¨ sanalyse in der Sch¨ ungsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . 100
I
II Inhaltsverzeichnis
6 Formoptimierungsprobleme 115
6.1 Formoptimierung eines PKW-Stoßf¨ ers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2 Optimierung in der Bruchmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3 Ein Konzept f¨ robuste Konstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 Zusammenfassung und Ausblick 157
7.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
A Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik 159
A.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.2 Hinweise zur Tensorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.3 Transformationsbeziehungen und deren Variation . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.4 Transformation und Variation der Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . 179
A.5 Transformation und Variation der Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A.6 Details zu den Materialgesetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
B Hinweise zur Strukturoptimierung und zur Sensitivit¨ sanalyse 193
B.1 Begriffsbildung und Modellprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
B.2 Methoden zur Sensitivit¨ sanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
B.3 Variationelle Methode der Sensitivit¨ sanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Literaturverzeichnis 208
Verzeichnis der Bilder
2.1 Der materielle K¨ per B und seine Konfigurationen Omegaopenbullet und Omegat . . . . . . . . 14
2.2 Eine Karte der Mannigfaltigkeit ”materieller K¨ per“ . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Abbildungen der lokal-konvektiven Betrachtungsweise . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Unterschiedliche Parametrisierungen der verschiedenen Konfigurationen . . . 16
2.5 Veranschaulichung konvektiver Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Unterschiedliche Definition kontinuumsmechanischer Feldgr¨ en . . . . . . . 19
2.7 Darstellung des Design-Raum-Zeit-Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8 Darstellung der Konfigurationen bei Parameter¨ en im Design . . . . 23
2.9 Abbildungen zur Kinematik f¨ einfache K¨ per . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.10 Darstellung von B´zierlinien ¨ er die zugeh¨ igen Kontrollpunkte . . . . . . 32
2.11 Parametrische Definition von Coons-Fl¨ hen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.12 Darstellung des isoparametrischen Konzepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.13 Abbildungen ¨ er CAGD- und FEM-Parameterr¨ . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Tangentenabbildungen in der Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1 Beziehungen zwischen den Gradientenoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1 CAGD und FEM Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Veranschaulichung der Sensitivit¨ sanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3 Veranschaulichung der Sensitivit¨ sanalyse f¨ die Spannungen . . . . . . . . 96
5.4 Flußdiagramm f¨ Strukturanalyse und Sensitivit¨ sanalyse . . . . . . . . . . 102
5.5 Ausgangssystem, Randbedingungen und Lasten . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.6 Legende: Verteilung der Sch¨ ungsfunktion D := 1 -g(Xis) . . . . . . . . 109
5.7 Verlauf der Sch¨ ung f¨ das optimale Design A . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.8 Verteilung der Sch¨ ung f¨ das optimale Design B . . . . . . . . . . . . . 110
5.9 Verteilung der Sch¨ ung f¨ das optimale Design C . . . . . . . . . . . . . 110
5.10 Verteilung der Sch¨ ung f¨ das optimale Design D . . . . . . . . . . . . . 111
5.11 Verteilung der Sch¨ ung f¨ das optimale Design E . . . . . . . . . . . . . 112
III
IV Verzeichnis der Bilder
5.12 Verteilung der Sch¨ ung f¨ das optimale Design H . . . . . . . . . . . . . 113
5.13 Verletzung der Nebenbedingung bei Ver¨ g des Designs . . . . . . . . . 113
6.1 Modellierung des Stoßf¨ ers als nichtlineare Feder . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2 Darstellung der gew¨ hten Last-Verformungs-Kurve des Stoßf¨ ers . . . 118
6.3 Spannungsdehnungslinie f¨ den Bereich 0.9 <=< lambda1 <=< 1.1 . . . . . . . . . . . 120
6.4 Spannungsdehnungslinie f¨ den Bereich 0.7 <=< lambda1 <=< 1.5 . . . . . . . . . . . 120
6.5 Ausgangsgeometrie und deformierte Struktur bei 34 mm Verschiebung . . . 121
6.6 Lastverschiebungskurve f¨ die Ausgangsgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.7 Vergleich unterschiedlicher FE-Diskretisierungen . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.8 Vergleich unterschiedlicher Elementformulierungen . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.9 Erste optimale Geometrie und deformierte Struktur bei 15 mm Verschiebung 124
6.10 Lastverschiebungskurven f¨ die erste optimale Geometrie . . . . . . . . . . 125
6.11 Zweites Optimum und deformierte Struktur bei 35 mm Verschiebung . . . . 126
6.12 Lastverschiebungskurven f¨ die zweite optimale Geometrie . . . . . . . . . . 126
6.13 Doppeltsymmetrische Scheibe mit zwei Außenrissen . . . . . . . . . . . . . . 130
6.14 Gleichm¨ ig und adaptiv verfeinertes FE-Netz . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.15 Konvergenz der Energie ¨ er die Anzahl der Elemente . . . . . . . . . . . . 131
6.16 Virtuelles Riߨ ungsfeld als großes bzw. kleines Rechteck . . . . . . . . . . 133
6.17 Virtuelles Riߨ ungsfeld als Ellipse mit bzw. ohne Starrk¨ peranteil . . . . 133
6.18 Raum zul¨ virtueller Riߨ ungsfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.19 Verlauf der Energiefreisetzungsrate bei verschiedenen Rißrichtungen . . . . . 136
6.20 Kopfplattenstoß mit unterschiedlichen Randbedingungen . . . . . . . . . . . 140
6.21 Vergleichsspannungsverteilung f¨ Modelle I und II . . . . . . . . . . . . . . 141
6.22 Vergleichsspannungsverteilung f¨ Modell III . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.23 Orientierung eines Anfangrisses im Punkt B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.24 ¨ der Energiefreisetzungsrate f¨ unterschiedliche Rißrichtungen . . 142
6.25 Ausbildung der Schweißnaht f¨ das Design 1 und 2 . . . . . . . . . . . . . . 143
6.26 Ausbildung der Schweißnaht f¨ das Design 3 und 4 . . . . . . . . . . . . . . 143
A.1 Eine Karte der Mannigfaltigkeit ”materieller K¨ per“ . . . . . . . . . . . . . 161
B.1 Abbildungen und Konfigurationen des Material Derivative Approach . . . . . 202
B.2 Abbildungen und Konfigurationen des Domain Parametrization Approach . . 205
B.3 Grundlagen der Strukturoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Verzeichnis der Tabellen
2.1 Betrachtungsweisen und deren Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Basisabbildungen und deren Approximationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1 Tangentenabbildungen unterschiedlicher Betrachtungsweisen . . . . . . . . . 42
3.2 Spannungstensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1 Position der Kontrollpunkte f¨ das Experiment ohne Belastungsgeschichte . 111
5.2 Ergebnisse f¨ das Experiment lambdaE,lambdaF ,lambdaG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.1 Abh¨ igkeit der Energiefreisetzungsrate von der Orientierung des Anfangsrisses142
6.2 Energiefreisetzungsraten in Abh¨ igkeit der Schweißnahtform . . . . . . . . 143
A.1 Tangentenabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.2 Pull-back und push-forward Abbildungen f¨ kontravariante Gr¨ en . . . . . 172
A.3 Pull-back und push-forward Abbildungen f¨ kovariante Gr¨ en . . . . . . . 173
A.4 Transformation von Linien-, Fl¨ hen- und Volumenelementen . . . . . . . . . 175
A.5 Variation von Linien-, Fl¨ hen- und Volumenelementen . . . . . . . . . . . . 176
V
VI Verzeichnis der Tabellen
Verzeichnis der Tafeln
1.1 Komplexit¨ der Problemstellung dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sensitivitit¨ sanalyse: Kritik an etablierten Zug¨ en und Motivation . . . . 8
1.3 Detailziele der Arbeit sowie eigene Ver¨ tlichungen zu den Themen . . . . 9
2.1 Hinweise zur Theorie und Numerik von Geometrie und Deformation . . . . . 11
3.1 Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise . . . . . . . . 39
5.1 Modellproblem f¨ die Sch¨ ung hyperelastischer Materialien . . . . . . . . 100
5.2 Struktur der Sensitivit¨ sanalyse f¨ Sch¨ ungsverhalten . . . . . . . . . . 103
6.1 Berechnung und Optimierung der robusten Zuverl¨ eit . . . . . . . . . . 154
B.1 Prinzipielles Ablaufschema von direkter Analyse und Sensitivit¨ sanalyse . . 195
VII
VIII Verzeichnis der Tafeln
Kapitel 1
Einleitung und ¨ erblick
Diese Arbeit behandelt Aspekte der kontinuumsmechanischen Darstellung und adaptiven,
numerischen Berechnung der Empfindlichkeit (Sensitivit¨ ) geometrisch und physikalisch
nichtlinearer Deformationsprozesse gegen¨ er glatten ¨ der Strukturgeometrie.
Konzeptionell ist hiermit auch andere stetig differenzierbare Parameter¨ en erfaßt.
Die Komplexit¨ der Problemstellung spiegelt sich in der Vielzahl der zu ber¨ ksichtigen-
den Wissenschaftsgebiete und deren Interaktionen wider. Ein theoretisches Gesamtkonzept,
wie auch eine strukturierte algorithmische Realisation, sind daher f¨ die effiziente L¨
unerl¨ lich. Akademische Studien sowie Prinzipbeispiele verdeutlichen die Vorgehensweise.
Zentrale Aspekte dieser Arbeit sind in der nachfolgende Tabelle zusammengefaßt.
Tafel 1.1: Komplexit¨ der Problemstellung dieser Arbeit
• Kontinuumsmechanik als Rahmen f¨ alle nachfolgenden Wissenschaftsgebiete
• Materialtheorie f¨ geschichtsabh¨ iges Verhalten und Sch¨ ung
• Variationsprinzipien f¨ Analyse und Optimierung sowie Sensitivit¨ sanalyse
• Diskretisierende Methoden der Kontinuumsmechanik
– Computer Aided Geometric Design (CAGD) f¨ Geometrie
– Finite Elemente Methode (FEM) f¨ Deformation
• Adaptive Methoden in CAGD und FEM
• Modellierung und L¨ der Optimierungsaufgabe
Entsprechend der Bedeutung des theoretischen Fundamentes f¨ jede effiziente numerische
Realisation ist diese Arbeit – ¨ er die Anwendung in der Sensitivit¨ sanalyse hinaus – ein
kontinuumsmechanischer Grundlagenbeitrag. Weitreichende Hinweise zur Struktur der ver-
wendeten numerischen Methoden (CAGD und FEM) erm¨ lichen die Formulierung eines
konsistenten numerischen Gesamtkonzeptes. Die einheitliche Darstellung von Struktur- und
Sensitivit¨ sanalyse in Kontinuumsmechanik, Diskretisierung, Adaption sowie ihrer algorith-
mischen Umsetzung ist in dieser geschlossenen Form neuartig.
1
2 Kapitel 1. Einleitung und ¨ erblick
1.1 Problemstellung
Die Kenntnis der Empfindlichkeit von Ingenieurbauwerken (Spannungen, Verzerrungen und
Verschiebungen, Stabilit¨ , Tragsicherheit, usw.) gegen¨ er Variationen wichtiger Problem-
variablen (Geometrie, Material, Lasten, usw.) ist in der Konstruktions-, Bau- sowie Betriebs-
phase von großer Bedeutung. Die zentrale Aufgabe des Ingenieurs ist es hierbei, die Stand-
sicherheit des Bauwerks bei Beachtung wirtschaftlicher Randbedingungen zu gew¨ leisten.
Diese Grundproblematik pr¨ t das Ingenieurwesen seit jeher und es sind viele intuitive Me-
thoden zur Optimierung der Konstruktion entstanden.
Mit der Entwicklung moderner Rechner- und Rechentechnologien in Hard- und Software ist
es heutzutage jedoch erstmals m¨ lich, die Empfindlichkeit gegen¨ er Variationen im Rah-
men einer Studie, der sogenannten Empfindlichkeitsanalyse bzw. Sensitivit¨ 1, zu
quantifizieren. Diese Kenntnis wird in Zukunft mit der Verbesserung der numerischen Hilfs-
mittel in zunehmendem Maße Eingang in die t¨ liche Ingenieurarbeit finden. Bisher ist die
Sensitivit¨ sanalyse vor allem als Mittel zur Gradientenberechnung im Rahmen der auto-
matischen Strukturoptimierung verwendet worden. Weitergehende Anwendungen umfassen
z.B. die Steuerung adaptiver Methoden zur problemgerechten Modellbildung naturwissen-
schaftlicher Aufgabenstellungen sowie Fragen der Zuverl¨ eit von Ingenieurbauwerken.
Die theoretischen Grundlagen sowie die enstandenen algorithmischen Konzepte haben sich
in den einzelnen Fachdisziplinen (Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, FEM, CAGD,
Strukturoptimierung) in den vergangenen f¨ Jahren zumeist unabh¨ ig voneinander
entwickelt. Die Grenzen der Kopplung fertiger Konzepte und der hierzu korrespondierenden
Software sind in der kommerziellen Nutzung der Strukturoptimierung deutlich zu erkennen.
Vor dem Hintergrund komplexer industrieller Anwendungen ist f¨ eine Weiterentwicklung
der Strukturoptimierung eine weitergehende Interaktion der beteiligten Wissenschaftsgebiete
erforderlich. Diese Integration muß zun¨ hst auf der theoretischen Ebene beschrieben werden,
bevor eine effiziente Kopplung numerischer und algorithmischer Bausteine m¨ lich ist.
Aus dieser Beobachtung heraus wird in der vorliegenden Arbeit eine Reformulierung der Kon-
tinuumsmechanik im Hinblick auf eine integrierte Darstellung zusammen mit den Grundlagen
der Strukturoptimierung vorgenommen. Neben den grundlegenden Bilanz- und Erhaltungs-
aussagen sowie den Prinzipien der Materialbeschreibung sind daher verst¨ kt auch die dif-
ferentialgeometrischen Grundlagen einer Geometriebeschreibung (wie es das CAGD kennt)
sowie die Grundlagen der Variationsrechnung einzubeziehen.
1In dieser Arbeit wird vornehmlich die synonyme Bezeichnung Sensitivit¨atsanalyse gew¨ahlt.
1.2. Stand der Forschung 3
1.2 Stand der Forschung
Die genannte Problemstellung ber¨ mehrere Wissenschaftsgebiete, die zahlreiche be-
deutende Forschungsrichtungen aufweisen k¨ Die Hinweise zum Stand der Forschung
k¨ und sollen deshalb nur wenige – subjektive und unvollst¨ e – Bemerkungen zur
Entwicklung der einzelnen Gebiete sowie zur Interaktion der Gebiete untereinander sein.
Der Stand der Forschung auf dem Gebiet der Sensitivit¨ sanalyse sowie der Stand der Technik
ihrer industriellen Applikation k¨ an dieser Stelle nur unvollst¨ dargestellt werden.
F¨ detailliertere Informationen ist Kapitel B.3 im Anhang beigef¨ worden.
Die Bewertung des aktuellen Entwicklungsstandes bez¨ h der Interaktion der beteiligten
Forschungsrichtungen verdeutlicht die Motivation des Autors zur Anfertigung dieser Arbeit.
1.2.1 Kontinuumsmechanik und Materialtheorie
Die Behandlung mechanischer Probleme war f¨ mehrere Jahrhunderte die Triebfeder grund-
legender wissenschaftlicher Entwicklungen, die von bedeutenden Pers¨ hkeiten wie u.a.
C.F. Gauß, L. Euler, J. Bernoulli, G.F. Leibniz, I. Newton vorangetrieben wurde, siehe
z.B. die Darstellungen in Szabo [218]. Die Entwicklung der ”Rationalen Mechanik“ in der
zweiten H¨ dieses Jahrhunderts setzt die Entwicklung auf dem Gebiet der Festk¨ per-
mechanik fort. Die ph¨ menologische, mathematische Beschreibung thermomechanischer
Prozesse wurde durch zahlreiche Arbeiten unter anderem von S. Antman, J. Ball, M. Gur-
tin, R. Knops, P. Naghdi, W. Noll, R. Rivlin und C. Truesdell systematisch formuliert, siehe
beispielhaft Green, Zerna [107] sowie Truesdell, Noll [220] mit einer umfangreichen Literatur-
angabe. Moderne Darstellungen der Kontinuumsmechanik sowie zahlreiche weiterf¨
Referenzen finden sich z.B. in Malvern [162], Wang, Truesdell [223], Gurtin [111] bzw. f¨
die Elastizit¨ stheorie z.B. in Ogden [182], Ciarlet [74] und Stein, Barthold [208].
Die Weiterentwicklung der Kontinuumsmechanik in den letzten Jahren ist wesentlich durch
eine konsequent differentialgeometrische Formulierung, siehe z.B. Marsden, Hughes [164], auf
der Basis des Konzepts differenzierbarer Mannigfaltigkeiten gepr¨ t. Dieses erfordert kom-
plexere mathematische Methoden, die ihre Leistungsf¨ keit jedoch durch konzeptionelle
Klarheit und durch weitreichende Erkenntnisse unter Beweis gestellt haben. Beispielhaft sei
auf die Arbeiten von T. Hughes, J. Simo, P. Wriggers, C. Miehe verwiesen.
Basierend auf den kontinuumsmechanischen Grundlagen sind vielf¨ ige Beitr¨ e zur Mo-
dellbildung komplexer Materialien entstanden, siehe z.B. Krawietz [152], Lubliner [160]. Es
werden sowohl thermomechanische Modelle als auch insbesondere komplexe kontinuums-
mechanische Sch¨ ungstheorien, siehe z.B. Kachanov [145], Lemaitre [158], Krajcinovic
[151], betrachtet. Hierbei ist die Beschreibung physikalischer Ph¨ mene auf unterschiedli-
chen Mikro-, Meso- bzw. Makroskalen sowie deren Interaktion unter Verwendung von Ho-
mogenisierungen von steigender Bedeutung. Ein Einsatzbereich hierf¨ ist das Design neuer
Materialien f¨ definierte industrielle Anwendungen. Eine Absicherung der komplexen me-
chanischen Modellbildung erfordert eine enge Zusammenarbeit mit der Versuchstechnik und
der Materialpr¨
Die Entwicklung von Kontinuumsmechanik und Materialtheorie ist eng miteinander ver-
kn¨ und in den letzten Jahrzehnten von der Numerik, d.h. der Finite Elemente Methode
4 Kapitel 1. Einleitung und ¨ erblick
wesentlich mitgepr¨ t worden, siehe z.B. Hughes, Simo [202]. Heutzutage steht mit der konti-
nuumsmechanischen Materialtheorie sowie mit den zugeh¨ igen Algorithmen ein akzeptiertes
und sehr leistungsf¨ es Hilfsmittel zur Beschreibung realen Materialverhaltens sowie der
Sch¨ ungsph¨ mene auf verschiedenen Skalen zur Verf¨ .
Bemerkenswert an der Entwicklung der Kontinuumsmechanik ist jedoch, daß (trotz des star-
ken differentialgeometrischen Einflusses) durch die (praktisch ausschließliche) Verwendung
einer (auf die Referenzkonfiguration) bezogenen Betrachtungsweise der Geometriedefinition
der K¨ per wenig Beachtung geschenkt wird.
Dar¨ erhinaus konnten die beiden zentralen numerischen Hilfsmittel (CAGD und FEM)
die Entwicklung der Kontinuumsmechanik bzw. ihrer Darstellung in den Lehrb¨ hern nicht
wesentlich beeinflussen. Entsprechendes gilt f¨ die Sensitivit¨ sanalyse bzgl. jeder Art von
Problemvariablen sowie f¨ inverse Probleme bzw. f¨ die Optimierung.
1.2.2 Finite Elemente Methode (FEM)
Neben der Kontinuumsmechanik und Materialtheorie ist als zweite bedeutende Entwick-
lung der vergangenen f¨ Jahre die Entstehung, Weiterentwicklung sowie industrielle
Anwendung der Finite Elemente Methode (FEM) zu nennen. Entgegen der Entwicklung der
Kontinuumsmechanik, die sich mit langer Tradition den theoretischen Grundlagen widmet,
konnte die FEM erst mit dem Aufkommen der elektronischen Datenverarbeitung entstehen.
Wesentliche Beitr¨ e wurden in den f¨ Jahren zun¨ hst f¨ die Problemstellung der
linearen Stabstatik von Argyris [4], Turner et al. [221] sowie Clough [77] ver¨ tlicht.
Aus diesen Anf¨ en heraus hat sich das leistungsf¨ ste numerische Werkzeug f¨ die
Behandlung von partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik entwickelt.
Die Einsatzm¨ lichkeiten sind nahezu unbegrenzt und dementsprechend vielf¨ ig sind die
Forschungsrichtungen sowie die industriellen Applikationen. Beispielhaft sei f¨ Hinweise zur
grundlegenden Darstellung auf die Lehrb¨ her von Zienkiewicz, Taylor [232, 233], Hughes
[139], Crisfield [78, 79] verwiesen.
Als weiterhin zentraler Forschungsgegenstand der FEM ist die Elementtechnologie und die
Wahl geeigneter Approximationskonzepte f¨ die verschiedenen Strukturelemente bei geo-
metrisch und physikalisch nichtlinearem Verhalten zu sehen. Moderne Konzepte umfassen
hierbei gemischte Methoden wie z.B. die sogenannten Enhanced Elementformulierungen, sie-
he z.B. die Darstellungen in den Arbeiten z.B. von Simo, Taylor, Ramm und Lehrb¨ her
wie z.B. von Wriggers [230].
Daneben ist die fehlerkontrollierte Berechnung von Ingenieurstrukturen mit Hilfe der hp-
Adaptivit¨ und a posteriori Fehlersch¨ zern von großer Bedeutung. Eine Vielzahl wissen-
schaftlicher Untersuchungen mit stark mathematischer Auspr¨ ung ist z.B. von den Arbeits-
gruppen von I. BabuÏ O. Zienkiewicz, J.T. Oden, E. Stein, C. Johnson durchgef¨
worden. Neben der Untersuchung nichtlinearer Problemstellungen werden auch Fragen der
Dimensions- und Modelladaptivit¨ verst¨ kt untersucht. Eine ¨ ersicht der aktuellen For-
schungsergebnisse findet man z.B. in den B¨ hern [8] bzw. den Proceedings wichtiger Kon-
ferenzen [153].
Zur Durchf¨ der gew¨ hten adaptiven Verfeinerung werden leistungsf¨ e Netzver-
feinerungsstrategien sowie die zugeh¨ igen Algorithmen und Softwarebausteine (insbesondere
f¨ dreidimensionale Strukturen) entwickelt, siehe z.B. George [106].
1.2. Stand der Forschung 5
Industrielle Applikationen st¨ sich heutzutage nicht mehr auf In-House-Entwicklungen
sondern auf ausgereifte kommerzielle Finite Elemente Programmpakete, von denen beispiel-
haft MSC-NASTRAN [179], ANSYS [3] und ABAQUS [134] erw¨ t werden sollen. Sowohl
bei den kommerziellen Systemen als auch bei den Forschungsprogrammen gewinnt dabei
die Parallelrechnertechnologie aufgrund der zunehmenden Komplexit¨ der Modelle und un-
tersuchten Strukturen an Bedeutung. Eine Darstellung der hierbei auftretenden Probleme
sowie der verwendeten Algorithmen findet man z.B. in [163]. Die Anpassung bestehender
Programme an die neue Technologie unter Verwendung der M¨ lichkeiten moderner Pro-
grammiersprachen stellt eine große Herausforderung an das Softwaremanagement dar.
Die Finite Elemente Methode ist heutzutage ein akzeptiertes numerisches Hilfsmittel sowohl
in der Forschung als auch im industriellen Einsatz. Die Bedeutung numerischer Simulationen
von Bauteilen z.B. in der Produktentwicklungsphase liegt im Vergleich zu umfangreichen
experimentellen Untersuchungen vor allem in der Zeit- und somit auch der Geldersparnis.
Mit der wachsenden Akzeptanz der FEM in der Industrie wurde eine ihrer wesentlichen
Beschr¨ ungen sichtbar, d.h. die Geometriebeschreibung der Ausgangskonfiguration durch
das FE-Netz unter Verwendung des sogenannten isoparametrischen Konzeptes. Es hat sich
sowohl im industriellen Einsatz als auch im Rahmen der Strukturoptimierung als enge Be-
schr¨ ung erwiesen, die Geometrie einer Struktur mit derselben Diskretisierungmethode
zu beschreiben, wie sie f¨ die Strukturantwort, d.h. f¨ den Verschiebungszustand, gew¨
wird. Hieraus ergab sich die Notwendigkeit, die CAGD-Methoden f¨ Analyse und Optimie-
rung heranzuziehen.
1.2.3 Computer Aided Geometric Design (CAGD)
F¨ die numerische Analyse realer Ingenieurprobleme sind neben der FEM noch die Me-
thoden des Computer Aided Geometric Design (CAGD) zu nennen. Entgegen der FEM, die
in den ersten Jahren im wesentlichen von Bauingenieuren innerhalb der Hochschulen ent-
wickelt wurde, entstand das CAGD aus den Problemstellungen der industriellen Anwendung
im Automobil- und Flugzeugbau heraus durch Konstrukteure des Maschinenbaus.
Dabei wurde das Potential der differentialgeometrischen Darstellung parametrischer Kurven
und Fl¨ hen f¨ die rechnerorientierte CAGD-Darstellung erst sp¨ erkannt. Wesentliche
Durchbr¨ he sind mit der Entwicklung der B´zier-Fl¨ hen und Coons-Patches unabh¨ ig
voneinander durch P. de Casteljau [65, 66, 67] bei Citroen und P. B´ [53, 54, 55] bei
R´ ult erfolgt. Als eigenst¨ e Wissenschaftsrichtung ist CAGD erst seit Mitte der sieb-
ziger Jahre (siehe Barnhill, Riesenfeld [14]), jedoch mit stetig steigender Bedeutung, zu
erkennen. Moderne Darstellungen der differentialgeometrischen Grundlagen sowie Hinweise
zur effizienten Numerik finden sich z.B. in Farin [99], Hoschek, Lasser [136].
Die Methoden des CAGD sind in zahlreichen kommerziellen Programmen des Computer
Aided Design bzw. der CAx-Technologien zu finden und beherrschen den Arbeitsalltag des
Konstruktionsingenieurs. Die industriellen Anwendungen, z.B. im Automobil-, Flugzeug-
und Maschinenbau, benutzen dabei Softwaresysteme wie z.B. CATIA [80], I-DEAS [91],
Pro/Engineer [183] und Solid Edge [92]. Die differentialgeometrischen Auswertungen werden
dabei im Geometriemodellierer (z.B. Parasolid, ASIS oder Cas.Cade) auf der Basis der B-
Rep- (Boundary Representation) oder der CSG- (Constructive Solid Geometry) Darstellung
realisiert [143].
6 Kapitel 1. Einleitung und ¨ erblick
Große Anstrengungen werden unternommen, komplexe Strukturen und sogar Produktions-
weisen im Rahmen einer CAD-basierten Produktdaten und Prozeßmodellierung vollst¨
digital abzubilden, um z.B. mit parametrischen Beschreibungen notwendige ¨
leicht durchf¨ zu k¨ In diesen Prozeß werden wichtige Auswertefunktionen wie
z.B. St¨ klisten, Zeichnungen etc. eingebunden. Einen Einblick in diese Thematik gibt [104].
Die Kommunikation der einzelnen Anwendungen untereinander und der Datenaustausch mit
den FEM-Programmpaketen geschieht dabei unter Verwendung standardisierter Formate wie
z.B. STEP, IGES, DXF. Diese Datenschnittstellen sind historisch durch die getrennte Ent-
wicklung von unterschiedlichen Programmen f¨ FEM und CAGD erforderlich geworden.
Theoretische Ergebnisse, welche eine Modifikation von Daten- und Programmstruktur erfor-
dern, k¨ daher im Rahmen kommerzieller CAD-FEM-Strukturen nur schwer umgesetzt
werden. Hinweise auf die Probleme einer CAGD-FEM-Kopplung sowie Konzepte einer inte-
grierten Modellierung findet man in z.B. [133]
Die Problematik der CAD-FEM-Kopplung, d.h. die Datenaufbereitung und Vernetzung kom-
plexer Industriestrukturen, nimmt eine große Bedeutung im Alltag der FE-Ingenieure ein.
F¨ die Strukturanalyse wird der Aufwand noch durchgef¨ aber der m¨ liche Einsatz
der Strukturoptimierung im kommerziellen Bereich wird deutlich durch die Probleme der
CAD-FEM-Kopplung behindert.
1.2.4 Inverse Probleme, Optimierung und Sensitivit¨
Optimierungsaufgaben, wie z.B. das Problem der Brachistochrone2, haben zur Entwicklung
einer der leistungsf¨ sten Methoden der Mathematik, n¨ h der Variationsrechnung,
gef¨ Hierbei wurden wichtige Beitr¨ e von Johann Bernoulli, Jakob Bernoulli, Euler,
Lagrange, Legendre und Jacobi zum Aufbau der Methode geleistet [216]. Die Entwicklung
vollzog sich anhand analytischer Probleme bis zur Mitte des vergangenen Jahrhunderts.
Neben dieser mathematischen Betrachtung von Optimierungsaufgaben steht die jahrtau-
sendlange Entwicklung von intuitiven Methoden zur optimalen Konstruktion von Ingenieur-
bauwerken. Erste Ans¨ ze zur Kontrolle der mechanischen Spannungen ¨ er eine gezielte
Ver¨ g der Geometrie findet man bereits 1638 bei G. Galilei. Aber erst mit der Arbeit
von A.G.M. Michell [171] im Jahre 1904, der fr¨ Arbeiten von J.C. Maxwell [166] aus
dem Jahre 1854 weiterverfolgte, begann die moderne Entwicklung der Strukturoptimierung.
In der ersten H¨ des Jahrhunderts dominierten dabei noch fast ausschließlich ingenieur-
m¨ ig-heuristische Zug¨ e. Eine Darstellung dieser Periode findet man z.B. in den ¨ er-
sichtsartikeln [224, 200].
Erst seit den sechziger Jahren f¨ eine konsequente Anwendung mathematischer Grund-
lagen, d.h. der Methoden der Variationsrechnung, mit den jetzt zur Verf¨ stehenden
numerischen Hifsmitteln zu einer deutlichen Weiterentwicklung. Neuartig und in der Me-
thode der Variationsrechnung begr¨ ist dabei die Verwendung erster (und evtl. zweiter)
Variationen f¨ die Definition notwendiger (und hinreichender) Optimalit¨ skriterien. Die
Variationen wichtiger Problemfunktionen bilden dabei den Kern der sogenannten Empfind-
lichkeitsanalyse bzw. Sensitivit¨ , die erstmals eine Quantifizierung von Parameter-
2Gefragt ist die k¨urzeste Zeit f¨ur den Weg zwischen zwei Punkten. Die L¨osung, eine Zykloide, wurde von
Johann Bernoulli im Mai 1697 in den Acta Eruditorum, S. 206ff, ver¨ ntlicht.
1.2. Stand der Forschung 7
ver¨ en auf das Tragverhalten von Ingenieurstrukturen erm¨ licht. Eine ¨ ersicht
der Methoden zur Sensitivit¨ sanalyse sowie Literaturhinweise finden sich im Anhang B.
Die Entwicklung der Theorie und Algorithmen der Strukturoptimierung in diesem Jahr-
hundert kann nach R.H. Gallagher [103, Kap. 1] in vier Perioden unterteilt werden, wobei
eine qualitative Verbesserung erst mit den numerischen Methoden der Variationsrechnung
eintrat.
1. Ingenieur-heuristische Methoden ohne Sensitivit¨ und ohne Numerik
(a) Theory of Layout (Entwurfskriterien),
(b) Simultaneous Mode of Failure (Simultanes Versagen),
2. Mathematisch-fundierte Methoden mit Sensitivit¨ und Numerik
(a) Optimality Criteria Methods (OC)
(b) Mathematical Programming Methods (MP)
Auf eine ausf¨ he W¨ ung der vielen Entwicklungsschienen und numerischen Algo-
rithmen zur Strukturoptimierung (und der verwandten Gebiete) wird an dieser Stelle nicht
eingegangen. Grundlegende Lehrb¨ her zur Thematik sind z.B. [5, 149, 120] bzw. [156, 9, 177]
in deutscher Sprache.
Anstatt dessen soll der erreichte Entwicklungsstand folgendermaßen charakterisiert werden.
Nach fast vierzig Jahren theoretischer und rechnerorientierter Forschung, den vielf¨ igen
Implementierungen und Anwendungen in den Hochschulen und der Industrie haben sich
leistungsf¨ e, mathematisch-fundierte Methoden zur Strukturoptimierung herausgebildet.
Trotzdem ist es bisher nicht gelungen, die hohen Erwartungen zu erf¨ Insbesondere die
Akzeptanz im industriellen Umfeld ist noch nicht hinreichend vorhanden, d.h. sie ist noch
nicht zu einem ernstzunehmenden Hilfsmittel des Ingenieurs im Tagesgesch¨ geworden.
Als eine Ursache, neben tradierten Arbeitsweisen und der mangelnden Ausbildung der Inge-
nieure in den moderen Optimierungsmethoden, kann die (evtl. untersch¨ zte) Komplexit¨
der Aufgabe angesehen werden, die nur schwer mit bestehenden und evtl. veralteten Soft-
warebausteinen in Rahmen eines effektiven Gesamtalgorithmus gel¨ werden kann. Eine
Diskussion der Softwareentwicklungen findet man in [135] sowie in [90] und [144]. Zudem
sind die Anforderungen in der Industrie stets interdisziplin¨ und nur in den seltesten F¨
existiert ein eindeutiges Minimum.
Eine Weiterentwicklung muß sich in Zukunft zum einen wieder verst¨ kt an den mathe-
matischen Grundlagen orientieren sowie zum anderen (gleichberechtigt) die Anwendbarkeit
im industriellen Umfeld verbessern. Hierbei spielt die Interaktion und die Integration der
Einzelbeitr¨ e eine besondere Rolle.
8 Kapitel 1. Einleitung und ¨ erblick
1.3 Aufgabenstellung und Ziele dieser Arbeit
Seit ungef¨ 40 Jahren werden die Methoden zur Berechnung der Sensitivit¨ einer Struktur
bei Parameter¨ en diskutiert. Es ist nach Meinung des Autors noch nicht gelungen,
einen leistungsf¨ en und allgemeing¨ en Zugang zur Sensitivit¨ sanalyse zu erarbei-
ten, der die theoretisch vorhandenen Potentiale der Variationsrechnung f¨ die Struktur-
optimierung effektiv nutzt. Ein Grund ist in der getrennten Entwicklung der Einzelgebiete
(Kontinuumsmechanik, FEM, CAGD, Strukturoptimierung) zu sehen, die vielfach erst nach
Ausbildung der Theorie und dem Entstehen von Softwarestrukturen miteinander verkn¨
wurden. Diese Sichtweise wird im Anhang B.3 zusammen mit einer Detailkritik der einzelnen
Vorgehensweisen erl¨ ert und kann folgendermaßen zusammengefaßt werden.
Tafel 1.2: Sensitivitit¨ sanalyse: Kritik an etablierten Zug¨ en und Motivation
• Die Beurteilung der Empfindlichkeit einer Struktur bei stetiger Ver¨ ung von
Problemparametern (z.B. Materialwerten, Geometrie, Randbedingungen, Lasten)
ist eine zentrale Aufgabe des Ingenieurs im Konstruktionsprozeß. Die Vorteile ei-
ner quantitativen Kenntnis der Sensitivit¨ bei Parametervariationen sind kaum
zu ¨ ersch¨ zen.Langfristig f¨ kein Weg an einer grundlegenden und systema-
tischen Aufbereitung der variationellen Sensitivit¨ sanalyse vorbei.
• Viele Problemstellungen wie beispielsweise die nichtlineare Dynamik, die rei-
bungsbehaftete Kontaktmechanik und die Bruchmechanik sind durch unsteti-
ges Verhalten gekennzeichnet. Weiterhin k¨ viele Ver¨ en einer Kon-
struktion nicht durch stetig differenzierbare Funktionen beschrieben werden.
Zuk¨ m¨ n verfeinerte mathematischen Methoden zur Behandlung von
nichtglatten Design¨ ngen bzw. von nichtdifferenzierbarem L¨ sverhal-
ten entwickelt werden. Die Erkenntnisse der variationallen Sensitivit¨ sanalyse
bei glattem Strukturverhalten sind aber auch in diesem Fall hilfreich und als
Vorleistung unbedingt erforderlich.
• Viele Strategien zur Sensitivit¨ sanalyse orientieren sich derzeit an den M¨ lich-
keiten der verf¨ ren Hard- und (kommerziellen) Software und k¨ somit
durch deren Leistungsf¨ keit charakterisiert werden. Dabei behindert die ge-
trennte Entwicklung der theoretischen Grundlagen sowie der zugeh¨ igen Soft-
ware in den Bereichen FEM und CAGD die Effektivit¨ und somit die Akzeptanz
der variationellen Sensitivit¨ sanalyse.
• Eine leistungsf¨ e Sensitivit¨ sanalyse kann nach Einsch¨ zung des Autors nur
durch eine weitestgehende Integration der theoretischen Grundlagen der betei-
ligten Gebiete (Kontinuumsmechanik, FEM, CAGD) entwickelt werden. Hieraus
ergeben sich dann notwendige Folgerungen f¨ Theorie und Numerik.
• Aus den theoretischen Erkenntnissen sind neue Softwarekonzepte abzuleiten. Die
berechtigten Zweifel, ob diese neuen Strukturen in absehbaren Zeitr¨ im
industriellen und kommerziellen Rahmen akzeptiert werden, d¨ jedoch nicht
zur Selbstbeschr¨ ung bei der theoretischen Durchdringung der Problematik
f¨
1.3. Aufgabenstellung und Ziele dieser Arbeit 9
1.3.1 Detailziele dieser Arbeit
Aus der oben dargestellten Motivation heraus wurde die Fragestellung der
Integration von Strukturoptimierung und Sensitivit¨ in die Kontinuumsmechanik
als Titel der eigenen Forschung gew¨ . Die Bearbeitung dieser Aufgabenstellung erfordert
neben einer genauen Kenntnis der Kontinuumsmechanik weiterhin vertiefte Einblicke in die
beteiligten Wissenschaftsgebiete. Hierbei sind eigene Erfahrungen mit der softwaretechni-
schen Umsetzung in einer CAGD–FEM–OFG–NLP–Programmentwicklung3 unerl¨ lich.
Aus der geschilderten Beobachtung heraus ergeben sich die folgenden Detailziele der Arbeit.
Teilergebnisse hierzu sind in den zitierten Arbeiten ver¨ tlicht worden. Eine zusammen-
fassende Darstellung, die zudem konzeptionell ¨ er die Einzelarbeiten hinausgeht, ist bisher
nicht aufbereitet worden.
Tafel 1.3: Detailziele der Arbeit sowie eigene Ver¨ tlichungen zu den Themen
1. Die Grundlagen der Sensitivit¨ sanalyse, d.h. die Bereitstellung von partiellen
Variationen, sollen in die theoretische Darstellung der Kontinuumsmechanik auf
der Grundlage einer differentialgeometrischen Betrachtung integriert werden.
Literatur: Ans¨ ze in [16]; erste Ergebnisse in [33, 24, 36]; erste vollst¨ e
Darstellung in [37]; Teile in [20, 21]; vollst¨ e Neudarstellung in dieser Arbeit.
2. Die Grundlagen der Optimalit¨ skriterien sollen in der Kontinuumsmechanik auf-
bereitet werden. Es sollen die Zusammenh¨ e zwischen starken und schwachen
Formen der Sensitivit¨ herausgearbeitet werden.
Literatur: erstmals in dieser Arbeit ver¨ tlicht.
3. Die Informationen aus der variationellen Herleitung der Sensitivit¨ en sollen f¨
die Modellbildung sowie die nachfolgenden Diskretisierungen verwendet werden.
Literatur: zur FE-Adaptivit¨ bei Strukturoptimierung [22, 11, 12]; zur
Geometrie-Adaptivit¨ [95, 96, 97]
4. Ein Gesamtkonzept f¨ die numerisch-effiziente Berechnung von Sensitivit¨ en
soll hergeleitet werden.
Literatur: Grundlagen in [39]; Anwendungen auf Problemtypen in [227, 170, 226,
26, 25, 209]
5. Die Methoden sollen auf praxisrelevante Fragestellungen der nichtlinearen Me-
chanik angewendet werden.
Literatur: Industrieprojekte mit Volkswagen, Conti, DASA, siehe u.a. [18, 23, 26].
Die vorgestellte Methodik wird sich dabei vollst¨ in den Rahmen der modernen, differen-
tialgeometrisch gepr¨ ten Kontiuumsmechanik einf¨ Es werden keinerlei Beschr¨ un-
gen –außer der notwendigen stetigen Differenzierbarkeit– hinsichtlich der geometrischen
Nichtlinearit¨ en sowie der Komplexit¨ thermomechanischen Materialverhaltens erforder-
lich.
3OFG: Optimale Formgebung; NLP: Nonlinear Programming
10 Kapitel 1. Einleitung und ¨ erblick
1.3.2 ¨ ersicht ¨ er die einzelnen Abschnitte
Die Arbeit gliedert sich in insgesamt sieben Kapitel im Hauptteil sowie zwei Anh¨ en.
Ausgehend von dieser Einf¨ werden die Forschungsergebnisse in den Kapiteln des
Hauptteils dargestellt. Um den ”roten Faden“ konsequent entwicklen zu k¨ sind weitere
Informationen zu den Grundlagen sowie Nebenbetrachtungen im Anhang angegeben.
Im Kapitel 2 werden die kinematischen Grundlagen f¨ die einheitliche Betrachtung von
Strukturanalyse und Strukturoptimierung vorgestellt. Hierzu wird eine Betrachtungsweise
eingef¨ die nicht (wie ansonsten ¨ h) auf dem Konzept eines materiellen K¨ pers
basiert. Die m¨ lichen Designvariationen k¨ somit beim Aufbau der Theorie von Anfang
an ber¨ ksichtigt werden.
Im Kapitel 3 wird eine Darstellung der Kontinuumsmechanik basierend auf den konvektiven
Koordinaten des Parameterraums aufbereitet. Die in der lokal-konvektiven Betrachtungs-
weise erarbeiteten Ergebnisse k¨ problemlos durch Transformation in die bezogenen
Darstellungsweisen (materiell und r¨ h) ¨ ertragen werden.
Im Kapitel 4 werden leistungsf¨ e Diskretisierungskonzepte f¨ die im vorhergehenden Ka-
pitel eingef¨ Gr¨ en Geometrie und Verschiebung eingef¨ Hierauf aufbauend wer-
den adaptive Methoden in der Strukturoptimierung diskutiert, die sowohl eine Verfeinerung
des CAGD-Geometriemodells bzw. des FEM-Verschiebungsmodells beschreiben.
Im Kapitel 5 wird f¨ wesentliche Problemklassen eine effektive Methodik zur Sensitivit¨ s-
analyse beschrieben, die stets im Vergleich mit der Strukturanalyse zu sehen ist. Als Modell-
problem werden die Besonderheiten der Sensitivit¨ sanalyse f¨ die Sch¨ ungsmechanik
behandelt.
Im Kapitel 6 werden drei Problemstellungen der Formoptimierung diskutiert. Die Unter-
suchung eines PKW-Stoßf¨ ers zeigt die Anwendung der Methodik bei großen elastischen
Deformationen. Die Betrachtungen zur Bruchmechanik geben Hinweise zur Kontrolle der
Energiefreisetzungsrate durch eine gezielte Ver¨ der Strukturgeometrie und somit
eine Reduktion der Bruchgef¨ dung. Abschließend werden die Methoden der Sensitivit¨ s-
analyse zur Formulierung eines Konzeptes f¨ ein robustes Design aufgef¨ das durch
Anwendung der Strukturoptimierung zielgerichtet verbessert werden kann.
Im Kapitel 7 wird eine Zusammenfassung der erreichten Ergebnisse dieser Arbeit formuliert
sowie ein Ausblick auf weitere Fragestellungen gegeben.
Im Anhang befinden sich zwei Kapitel.
Im Kapitel A finden sich notwendige Definitionen sowie weiterf¨ Angaben zur Dif-
ferentialgeometrie und zur Kontinuumsmechanik. Viele Nebenbetrachtungen der Kapitel 2
und 3 sind dort ausgelagert.
Im Kapitel B wird eine Einf¨ in die Problematik der Strukturoptimierung und der
Sensitivit¨ sanalyse formuliert, wichtige Entwicklungen diskutiert sowie Literaturhinweise
gegeben. Der Abschnitt B.3 beschreibt die Zug¨ e zur variationellen Sensitivit¨ sanalyse,
wie sie sich dem Autor bis zu Beginn der eigenen Forschungsarbeiten in 1993 darstellte. Die
Motivation zu dieser Arbeit wird an den Details der besprochenen Methode n¨ erl¨ ert.
Kapitel 2
Kinematische Grundlagen
Ein grundlegendes Konzept zur Beschreibung des Designs eines materiellen K¨ pers und der
m¨ lichen Designvariationen im Design-Raum-Zeit-Kontinuum wird vorgestellt. Aus den
fundamentalen Beziehungen der Kontinuumsmechanik zur Kinematik und seiner Variation
werden die diskreten Darstellungen des Computer Aided Geometric Design (CAGD) und
der Finite Elemente Methode (FEM) hergeleitet. Die Merkmale der CAGD-FEM-Kopplung
werden theoretisch formuliert und in ein numerisches Konzept integriert.
Wichtige Aspekte dieses Kapitels sind:
Tafel 2.1: Hinweise zur Theorie und Numerik von Geometrie und Deformation
• Theoretische Beschreibung der Lage des K¨ pers im E3 mittels der einzelnen Kar-
ten der Atlanten der differenzierbarer Mannigfaltigkeit. Er¨ terung identischer
mathematischer Strukturen bzgl. Geometrie und Deformation.
• Integration der Variation von Geometrie und Deformation als kinematische
Grundlage der Sensitivit¨ sanalyse in die Kontinuumsmechanik.
• Geometriedarstellung mittels CAGD-Methoden. Hinweise zur Wahl geometri-
schen Formfunktionen sowie der zugeh¨ igen Geometrieparameter. Approximati-
onseigenschaften sowie Adaptivit¨ des Geometriemodells.
• Beschreibung des Deformationszustandes der K¨ per mittels der FE-Methode.
Hinweise zur Wahl der Ansatzfunktionen physikalischer Gr¨ en. Kriterien und
Verfahren zur FE-Adaptivit¨ .
• Hinweise zur CAGD-FEM-Kopplung aus Sicht bestehender Software. Be-
schr¨ ungen theoretischer Entwicklungsm¨ lichkeiten.
Die kinematischen Grundlagen sind in den jeweiligen Lehrb¨ hern zur Kontinuumsmecha-
nik [220, 164, 208], zum CAGD [99, 136], bzw. zur FEM [232, 139] in Einzeldarstellungen
angegeben. Daneben stellen die im Kapitel B.3 n¨ beschriebenen Zug¨ e zur Sensi-
tivit¨ sanalyse in der Strukturoptimierung, d.h. material derivative approach und domain
parametrization approach, wichtige Grundlagen dar. Die vorliegende integrierte Darstellung
faßt die Ergebnisse der Arbeiten [33, 24, 37, 36, 40, 39, 227] zusammen.
11
12 Kapitel 2. Kinematische Grundlagen
In dieser Arbeit werden ausschließlich stetig differenzierbare Deformationen behandelt, wie
sie ¨ herweise im Rahmen der Kontinuumsmechanik vorausgesetzt werden. Diese Annah-
me ist deshalb besonders wichtig, da nur so die Existenz der Variationen, insbesondere der
Deformationsabbildungen bzgl. der Ausgangsgeometrie, ¨ erhaupt m¨ lich ist.
Die Erweiterung der aufgezeigten Methodik auf nichtdifferenzierbare Ph¨ mene bleibt der
weiteren Forschung vorbehalten.
Inhaltsangabe
2.1 Kinematik in der Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Der materielle K¨ er und seine Konfigurationen . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Entwicklung einer lokal-konvektiven Betrachtungsweise . . . . . . . 14
2.1.3 Eigenschaften der lokal-konvektiven Betrachtungsweise . . . . . . . 17
2.1.4 Betrachtung ver¨ erlicher materieller K¨ er . . . . . . . . . . . 21
2.1.5 Verfeinerung der lokal-konvektiven Betrachtungsweise . . . . . . . 25
2.1.6 Variation von Geometrie- und Deformationsabbildung . . . . . . . 28
2.1.7 Anmerkungen zu den Funktionenr¨ . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.8 Hinweise zu weiteren Kinematikkonzepten . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Kinematik in CAGD und FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Computer Aided Geometric Design (CAGD) . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Finite Elemente Methode (FEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Integrierte Darstellung der Kinematik I . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 Zusammenfassung bisheriger Konzepte . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2 Eine integrierte Darstellung der Abbildungen . . . . . . . . . . . . 37
2.1. Kinematik in der Kontinuumsmechanik 13
2.1 Kinematik in der Kontinuumsmechanik
In diesem Abschnitt werden die grundlegenden Abbildungen der Kontinuumsmechanik zur
Beschreibung des materiellen K¨ pers und seiner Konfigurationen eingef¨ und analysiert.
Aus den Erkenntnissen kann in Anlehnung an das intrinsische Konzept eine lokal-konvektive
Betrachtungsweise abgeleitet werden. Zun¨ hst werden nur die Abbildungen zwischen den
Konfigurationen eines K¨ pers betrachtet. Eine Beschreibung ver¨ ichen Designs erfolgt
im Abschnitt 2.1.4 bzw. von Tangentenabbildungen in Kapitel 3.
2.1.1 Der materielle K¨ er und seine Konfigurationen
Im Rahmen der ph¨ menologischen mathematischen Beschreibung wird der materielle
K¨ per als differenzierbare Mannigfaltigkeit B mit Rand partialdiffB eingef¨ Hinweise zum Begriff
”differenzierbare Mannigfaltigkeit“ sind im Anhang A.1 enthalten. Die Elemente Mvon Bheißen materielle Punkte.
Der materielle K¨ per B wird f¨ jede Zeit t aus dem Zeitintervall It durch die Abbildung chi in
den dreidimensionalen Anschauungsraum eingebettet. Der Beobachter ?t mit Ursprung und
(o.B.d.A. kartesischem) Basissystem {e1,e2,e3} kann den Punkt Pt des Anschauungsraumes
durch x element E3 beschreiben. Das Bild von B wird als Konfiguration Omegat = chi(B,t) bezeichnet,
wobei der materielle Punkt Mim Raumpunkt Pt liegt. Zusammenfassend gilt damit
chi :
braceleftbigg B ×I
t arrowright Omegat propersubset E3
(M,t) mapstoarrowright x = chi(M,t). (2.1)
Jede Konfiguration stellt selbst eine dreidimensionale Riemannsche Cinfinity-Mannigfaltigkeit dar.
Zur Zeit t kann die Abbildung chit : B arrowrightOmegat des K¨ pers B auf die Momentankonfiguration Omegat
mit x = chit(M) := chi(M,t) eingef¨ werden. Zur Referenzzeit t = topenbullet nimmt der K¨ per die
Referenzkonfiguration Omegaopenbullet = chiopenbullet(B) propersubset E3 mit X = chiopenbullet(M) ein. Der Beobachter zur Zeit t = topenbullet
wird mit ?openbullet bezeichnet und beschreibt den Punkt X im (o.B.d.A. kartesischen) Basissystem
{E1,E2,E3}. Die Abbildung chit ist f¨ jede feste Zeit t invertierbar, d.h. M= chi-1t (x), und
chit,chi-1t sind bzgl. Mbzw. x mindestens zweimal stetig differenzierbar.
Die Bewegung des gegebenen K¨ pers B ist eine bzgl. der Zeit t zweimal stetig differenzierbare
Funktion chiB : It arrowrightE3 aufeinanderfolgender Konfigurationen. Ein materieller Punkt bewegt
sich dabei auf einer Trajektorie im E3, die durch die Zeit t element It parametrisiert ist.
Durch Abbildungskomposition kann die Bewegung auch bezogen auf X element Omegaopenbullet in der Form
phi1 :
braceleftbigg Omega
openbullet ×It arrowright Omegat
(X,t) mapstoarrowright x = phi1(X,t) := (chi openbullet chi-1openbullet )(X,t) (2.2)
beschrieben werden. Man spricht hierbei von der Deformation des K¨ pers zwischen Referenz-
und Momentankonfiguration und schreibt f¨ eine feste Zeit t auch x = phi1t(X) := phi1(X,t).
Die bisherigen Zusammenh¨ e sind in Bild 2.1 dargestellt.
Entsprechend der Mengen B,Omegaopenbullet und Omegat sind unterschiedliche Betrachtungsweisen m¨ lich,
d.h. die intrinsische Beschreibung bzgl. Melement B, die Lagrangesche (materielle) Beschreibung
bzgl. X element Omegaopenbullet sowie die Eulersche (r¨ he) Beschreibung bzgl. x element Omegat.
14 Kapitel 2. Kinematische Grundlagen
E3
?openbullet ?t
phi1t
chiopenbullet chit
Popenbullet Pt
X x
M
Referenzkonfiguration Omegaopenbullet Momentankonfiguration Omegat
Materieller K¨ per B
Bild 2.1: Der materielle K¨ per B und seine Konfigurationen Omegaopenbullet und Omegat
Die bezogenen Vorgehensweisen sind – in Verbindung mit der numerischen Realisation –
weitverbreitet, w¨ end die intrinsische Beschreibung (siehe Noll [181], Bertram [52]) bisher
wenig beachtet wurde. Eine Analyse der Definition des materiellen K¨ pers als differenzier-
bare Mannigfaltigkeit erm¨ licht eine Neubewertung der Betrachtungsweisen.
2.1.2 Entwicklung einer lokal-konvektiven Betrachtungsweise
F¨ jeden materiellen Punkt Melement B existiert gem¨ Definition einer Mannigfaltigkeit eine
Karte (Ui,phii) aus dem zugeh¨ igen Atlas A = {(U1,phi1),(U2,phi2),· · · ,(Um,phim)}, d.h. die
offene Umgebung Ui von Mwird durch eine stetig invertierbare Abbildung phii in eine offene
Umgebung TTheta,i = phii(Ui) des Parameterraumes R3 abgebildet. Der materielle K¨ per wird
mit m Karten ¨ erdeckt und dem materiellen Punkt Mist ein Parameterpunkt Theta = phii(M)
zugeordnet. Mit der kartesischen Basis {Z1,Z2,Z3} wird der Parameterpunkt Theta element R3 zu
einem Vektor Theta im dreidimensionalen Vektorraum Z3 und f¨ die Karte (Ui,phii) gilt
phii :
braceleftbigg U
i arrowright TTheta,i propersubset Z3
M mapstoarrowright Theta = phii(M). (2.3)
Der materielle K¨ per B wird damit lokal f¨ die Umgebung Ui des materiellen Punktes M
durch phi-1i : TTheta,i propersubset Z3 arrowrightUi definiert. Dieser Zusammenhang ist in Bild 2.2 verdeutlicht.
Z3
Theta1,Z1
Theta2,Z2 Theta
M
Materieller K¨ per B
Ui
Parametermenge TTheta,i
phii
Bild 2.2: Eine Karte der Mannigfaltigkeit ”materieller K¨ per“
Mit diesen ¨ erlegungen k¨ durch Komposition der Einbettungsabbildung chi nach (2.1)
mit der zugeh¨ igen Abbildung phii aus der Karte (Ui,phii) die lokale Konfigurationsabbildung
2.1. Kinematik in der Kontinuumsmechanik 15
¨ er der lokalen Parametermenge TTheta,i propersubset Z3 im Parameterraum Z3 definiert werden, d.h.
tildewidei :
braceleftbigg T
Theta,i ×It arrowright Ut,i propersubset Omegat propersubset E3
(Theta,t) mapstoarrowright x = tildewidei(Theta) := (chi openbullet phi-1i )(Theta,t). (2.4)
F¨ festgehaltene Zeit t element It k¨ mit der obigen Abbildung tildewide die bekannten Referenz-
bzw. Momentankonfigurationen beschrieben werden. F¨ die Referenzkonfiguration Omegaopenbullet zur
Referenzzeit t = topenbullet erh¨ man
tildewideopenbullet,i :
braceleftbigg T
Theta,i arrowright Uopenbullet,i propersubset Omegaopenbullet propersubset E3
Theta mapstoarrowright X = tildewideopenbullet,i(Theta) := (chiopenbullet openbullet phi-1i )(Theta) (2.5)
sowie in analoger Weise f¨ die Momentankonfiguration Omegat zur Zeit t
tildewidet,i :
braceleftbigg T
Theta,i arrowright Ut,i propersubset Omegat propersubset E3
Theta mapstoarrowright x = tildewidet,i(Theta) := (chit openbullet phi-1i )(Theta). (2.6)
Dabei bezeichnen Uopenbullet,i bzw. Ut,i die entsprechenden lokalen Umgebungen von X element Omegaopenbullet bzw.
von x element Omegat. Die Koordinaten Theta heißen lokale bzw. konvektive Koordinaten. Die Abbildungen
tildewideopenbullet,i und tildewidet,i sind invertierbar und bzgl. Theta mindestens zweimal stetig differenzierbar.
Die Bewegung des K¨ pers kann somit lokal, d.h. f¨ einen festen Parameterbereich TTheta,i,
durch tildewideTTheta,i : It arrowrightE3 beschrieben werden. Die Abbildung ist bzgl. t zweimal stetig differen-
zierbar und beschreibt die Bewegung eines Punktes Theta auf einer Trajektorie im E3.
Diese neuartige Betrachtungsweise der Kontinuumsmechanik, die sich auf die lokal definierten
Parametermengen des Z3 bezieht, wird als lokal-konvektive Betrachtungsweise bezeichnet.
Hinweise zur Bezeichnung und zum intrinsischen Konzept finden sich in Abschnitt 2.1.3.1.
Die genannten Abbildungen sind im nachfolgenden Bild dargestellt.
E3
Omegaopenbullet OmegatX
xUopenbullet,i
Ut,i
phi1t
chiopenbullet chit
˜openbullet,i ˜t,i
Z3
Theta
M
B
Ui
TTheta,i
phii
Bild 2.3: Abbildungen der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
Aus der Theorie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten wurde bisher nur die Forderung ver-
wendet, daß ein Atlas A mit einer endlichen Anzahl von Karten existiert, der den materiellen
16 Kapitel 2. Kinematische Grundlagen
K¨ per B ¨ erdeckt. Solange dieselbe Menge B beschrieben wird, ist die Wahl der Anzahl
und Form der lokalen Umgebungen Ui, der Abbildungen phii und der Parametermengen TTheta,i
unerheblich. Die Mannigfaltigkeit ist als Klasse aller solcher Parametrisierungen definiert.
Dieses bedeutet, daß ein Kartenwechsel erlaubt ist und nur eine Ver¨ g der Parame-
trisierung zur Folge hat. Zur Verallgemeinerung der obigen Darstellung werden deshalb im
weiteren zwei unterschiedliche Atlanten Aopenbullet und At der Mannigfaltigkeit B betrachtet, die
folgendermaßen gekennzeichnet sind.
• Der Atlas Aopenbullet besitzt eine lokale Umgebung Uopenbullet,i des materiellen Punktes M, die mittels
chiopenbullet in die Umgebung Uopenbullet,i propersubset Omegaopenbullet von X abgebildet wird. Die Abbildung phiopenbullet,i bildet Uopenbullet,i
in die Menge TTheta,openbullet,i des Parameterraumes ab. Der materielle Punkt M erh¨ damit
das Urbild Thetaopenbullet. Der Atlas Aopenbullet besteht aus mopenbullet Karten. Hiermit ist ein Atlas Aopenbullet zur
Beschreibung der Referenzkonfiguration Omegaopenbullet eingef¨
• Der Atlas At besitzt eine lokale Umgebung Ut,j des materiellen Punktes M, die mittels
chit in die Umgebung Ut,j propersubset Omegat von x abgebildet wird. Die Abbildung phit,j bildet Ut,j
in die Menge TTheta,t,j des Parameterraumes ab. Der materielle Punkt M erh¨ damit
das Urbild Thetat. Der Atlas At besteht aus mt Karten. Hiermit ist ein Atlas At zur
Beschreibung der Momentankonfiguration Omegat eingef¨
Damit existieren f¨ einen materiellen Punkt Mjeweils zwei lokale Umgebungen, zwei un-
terschiedliche Karten sowie die beiden dazugeh¨ igen Urbilder. Diese Situation erh¨ man
ebenfalls dann, wenn man die Konfigurationen Omegaopenbullet und Omegat als Mannigfaltigkeiten Aopenbullet bzw.
At betrachtet.
E3
Omegaopenbullet Omegat
X x
Uopenbullet,i
Ut,jDeformation
Koordinatentransformation
chiopenbullet chit
˜openbullet,i ˜t,j
Z3
Thetaopenbullet Thetat
M
B
Uopenbullet,i U
t,j
TTheta,openbullet,i TTheta,t,j
phiopenbullet,i phit,j
Bild 2.4: Unterschiedliche Parametrisierungen der verschiedenen Konfigurationen
Die Deformationsabbildung zwischen Omegaopenbullet und Omegat kann dann lokal angegeben werden, wenn die
Koordinatentransformation zwischen den Parametermengen zumindest f¨ die Schnittmenge
Uopenbullet,i intersection Ut,j bekannt ist, siehe z.B. die CAGD-FEM-Interaktion in Abschnitt 2.3.
2.1. Kinematik in der Kontinuumsmechanik 17
2.1.3 Eigenschaften der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
2.1.3.1 Hinweise zur Bezeichnung und zum intrinsischen Konzept
Die eingef¨ Darstellung wird als lokal-konvektive Betrachtungsweise bezeichnet, die sich
kanonisch durch Analyse des Begriffes ”differenzierbare Mannigfaltigkeit“ herleiten l¨ t. Die
Vorgehensweise ist dem intrinsischen Konzept verwandt, d.h. nach Bertram [52, §7.3] kann
von einer intrinsischen Beschreibungsweise in konvektiven Koordinaten gesprochen werden.
Die vorgeschlagene Bezeichnung ist jedoch geeigneter die wesentlichen Merkmale sowie die
Erweiterungen zum intrinsischen Konzept hervorzuheben, siehe hierzu Abschnitt 2.1.4.
Zun¨ hst werden die Adjektive lokal und konvektiv n¨ erl¨ ert.
Durch die Bezeichnung lokal wird hervorgehoben, daß sowohl der materielle K¨ per B selbst
als auch alle Konfigurationen und kontinuumsmechanischen Abbildungen nur jeweils be-
reichsweise f¨ lokale Umgebungen eines materiellen Punktes Mangegeben werden k¨
F¨ die theoretischen Herleitungen ist dieses unwesentlich, siehe Abschnitt 2.1.3.3, aber f¨
jede numerische Realisation im Rahmen einer CAGD-FEM-Kopplung stellt insbesondere die
Beschreibung der Konfigurationen eine zentrale Herausforderung dar, siehe Abschnitt 2.3.
Die Darstellung der Kontinuumsmechanik durch lokale bzw. konvektive Koordinaten Theta element Z3
ist aus der Struktur des materiellen K¨ pers als Mannigfaltigkeit hergeleitet worden. Den
Beschreibungsweisen in Abh¨ igkeit der materiellen und r¨ hen Koordinaten wird eine
solche in Abh¨ igkeit der konvektiven Koordinaten Theta gegen¨ ergestellt. Die Situation ist
beispielhaft f¨ eine Karte im nachfolgenden Bild veranschaulicht.
E3
Z3
?openbullet ?t
phi1t,i
˜openbullet,i ˜t,i
Popenbullet PtX
x
Theta
Teilmenge Uopenbullet,i von Omegaopenbullet Teilmenge Ut,i von Omegat
Parametermenge TTheta,i
Bild 2.5: Veranschaulichung konvektiver Koordinaten
Die gestrichelten Linien kennzeichnen den Verlauf konstanter Koordinaten Thetai des Parame-
terraumes, die in der Referenz- bzw. Momentankonfiguration krummlinig sind.
Obwohl konvektive Koordinaten seit Jahrzehnten intensiv verwendet werden, ist das obi-
ge Vorgehen bisher in den kontinuumsmechanischen Darstellungen kaum vertreten. Zumeist
werden nur die Vorg¨ e im Euklidischen Vektorraum E3 beschrieben, w¨ end die Defi-
nition krummliniger Koordinaten in Omegaopenbullet und Omegat durch die Abbildungen tildewideopenbullet,i und tildewidet,i einer
Parametermenge TTheta,i (untere H¨ der Darstellung) unterbleibt.
Es werden weiterhin Gr¨ gegen eine Bezeichnung der lokal-konvektiven Vorgehensweise
als intrinsische Betrachtungsweise in konvektiven Koordinaten aufgef¨
18 Kapitel 2. Kinematische Grundlagen
1. Die fehlende Verbreitung des intrinsischen Konzeptes – trotz der zentralen Bedeutung –
erlaubt die Schlußfolgerung, daß zumindest ihre Darstellung verbesserungsw¨ ist.
Die modifizierte Bezeichnung erlaubt es, die notwendigen (auch konzeptionellen) Er-
weiterungen im Vergleich mit klassischen Darstellungen st¨ ker hervorzuheben.
2. Das Konzept eines isolierten ”materiellen K¨ pers“ ohne Einbettung in den E3 ist
k¨ h und im Rahmen moderner numerischer Methoden ein ”Schn¨ kel“ zuviel.
Direkter ist es, die Konfigurationen als Mannigfaltigkeiten im E3 zu betrachten und
die Betrachtungsweise hierauf aufzubauen. Die nachfolgenden Untersuchungen m¨
genau in dieser Sichtweise.
3. Die Betrachtung eines Atlanten und seiner Details, d.h. die Wahl der Karten, ist nicht
eine untergeordnete Konkretisierung einer Wahl des Koordinatensystems, wie dies die
bisherige Darstellung der intrinsischen Betrachtungsweise nahelegt. Aus der Unter-
scheidung in Topologie und Geometrie k¨ weitere Erkenntnisse gewonnen werden,
die f¨ CAGD und FEM n¨ h sind.
4. Die ¨ erf¨ des Parameterraumes in einen dreidimensionalen Vektorraum Z3
erm¨ licht eine volle Integration in den kontinuumsmechanischen Rahmen. Dieses zeigt
sich in Kapitel 3 bzgl. der eingef¨ Tangentialr¨ und der zugeh¨ igen Tensoren.
5. Die Bemerkungen ¨ er beliebige Referenzkonfigurationen ist theoretisch richtig, aber
praktisch (fast) ¨ erfl¨ Jede Referenzkonfiguration, deren kontinuumsmechani-
scher Zustand beschreibbar ist, kann gew¨ werden. In der Regel wird dies jedoch
nur die unbelastete, deformationsfreie Ausgangskonfigurationen sein. Die Konzepte zu
ihrer rechnergest¨ Beschreibung (mittels CAGD) sind damit in den theoretischen
Rahmen neu einzubringen.
6. Bei Geometrie¨ en muß der Prozeß der Materialzu- bzw. abnahme beschrieben
werden. Damit kann evtl. ein materieller Punkt bei Design¨ en ”erscheinen“
bzw. ”verschwinden“. Dieser Vorgang kann nicht plausibel im Rahmen des intrinsischen
Konzeptes erkl¨ t werden. Hierf¨ eignet sich jedoch die neuartige lokal-konvektive
Betrachtungsweise.
Die letzte Beobachtung ist im Rahmen dieser Arbeit von besonderer Bedeutung und zeigt
die Notwendigkeit einer ver¨ ten Bezeichnung auf.
2.1.3.2 Einf¨ ung eines Verschiebungsfeldes zwischen den Konfigurationen
Die Referenz- und Momentankonfigurationen sind Untermengen des E3, deren Lage durch
Elemente X und x gekennzeichnet wird. Durch diese Einbettung k¨ im E3 die Unter-
schiede zwischen den Konfigurationen beschrieben werden. Die lokale Verschiebungsabbildung
tildewidet,i zur Zeit t bzw. das Verschiebungsfeld u wird als Differenz der lokalen Konfigurationsab-
bildungen bzw. der Koordinaten u := x -X definiert, d.h. es gilt
tildewidet,i :
braceleftbigg T
Theta,i arrowright E3
Theta mapstoarrowright u = tildewidet,i(Theta) := (tildewidet,i - tildewideopenbullet,i)(Theta) = x -X. (2.7)
Das Verschiebungsfeld stellt als Differenz von Konfigurationen selbst keine Konfiguration
und damit auch keine differenzierbare Mannigfaltigkeit dar. F¨ die Untersuchung der Tan-
gentenabbildungen in Kapitel 3 wird die Verwendung des Verschiebungsfeldes vermieden.
Dagegen spielt es bei den Variationen sowie in der Numerik eine zentrale Rolle.
2.1. Kinematik in der Kontinuumsmechanik 19
2.1.3.3 Beschr¨ auf einfache K¨ er
F¨ die Herleitung der kontinuumsmechanischen Beziehungen, d.h. f¨ die Definition von
Verzerrungen und Spannungen in Kapitel 3, ist o.B.d.A. eine Beschr¨ ung auf einfache
K¨ per (siehe Marsden, Hughes [164, S. 25]) erlaubt. Diese Annahme bedeutet, daß eine
Karte zur Beschreibung des materiellen K¨ pers ausreicht. Daher wird auf die Kennzeichnung
der speziellen Karte phii im Atlas A verzichtet und von phi sowie von tildewideopenbullet, tildewidet bzw. tildewidet gesprochen.
Auf Seite 27 wird im Bild 2.9 die Beschr¨ ung auf eine Karte gezeigt. Hierbei werden auch
die nachfolgend noch eingef¨ Bezeichnungen verwendet.
2.1.3.4 Darstellung kontinuumsmechanischer Funktionen
Die vielf¨ igen kontinuumsmechanischen Gr¨ en (z.B. Temperatur, Spannungen) k¨
auf unterschiedliche Weise beschrieben werden, wobei zwischen dem Wert der Gr¨ e sowie
der, zu der jeweiligen Beschreibungsweise geh¨ enden, Abbildungsfunktion unterschieden
werden soll. Die vektorwertige kontinuumsmechanische Gr¨ e Verschiebungsfeld u zwischen
den Konfigurationen Omegaopenbullet und Omegat kann dabei auf drei Arten beschrieben werden, n¨ h
u = tildewidet(Theta) = nut(X) = nut(x). (2.8)
Die Situation ist in Bild 2.6 veranschaulicht. Hierbei unterscheidet sich das Verschiebungsfeld
(als Beispiel f¨ andere kontinuumsmechanische Funktionen) von den Konfigurationen.
phi1t
˜openbullet ˜t
X x
u
Theta
Verschiebungsfeld
Referenzkonfiguration Omegaopenbullet Momentankonfiguration Omegat
Parameterraum TTheta
nut
˜t
nut
Bild 2.6: Unterschiedliche Definition kontinuumsmechanischer Feldgr¨ en
Es wird symbolisch als Gebiet des E3 mit einem gestrichelten Rand dargestellt. Die f¨ eine
Konfigurationen, d.h. eine differenzierbare Mannigfaltigkeit im E3, zentrale Eigenschaft der
Invertierbarkeit der lokalen Abbildungen, d.h. von tildewideopenbullet und tildewidet, ist bei dem Verschiebungsfeld
tildewidet (und anderen Funktionen) jedoch nicht gegeben. Im Grenzfall z.B. einer Starrk¨ perbe-
wegung kollabiert das gestrichelte Gebiet zu genau einem Punkt u element E3.
Genauer gilt:
1. Lokal-konvektive Darstellung, d.h. bzgl. der konvektiven Koordinaten Theta element TTheta.
Die Abbildungsfunktion wird mit einer Tilde gekennzeichnet, d.h. u = tildewidet(Theta).
2. Lagrangesche Darstellung, d.h. bzgl. der materiellen Koordinaten X element Omegaopenbullet .
Die Abbildungsfunktion besitzt keine besondere Kennzeichnung, d.h. u = nut(X).
20 Kapitel 2. Kinematische Grundlagen
3. Eulersche Darstellung, d.h. bzgl. der r¨ chen Koordinaten x element Omegat.
Die Abbildungsfunktion wird mit einem ¨ erstrich gekennzeichnet, d.h. u = nut(X).
Die Abbildungsvorschriften der einzelnen Betrachtungsweisen sind in der folgenden Tabelle
zusammengestellt. Es werden die gegenseitigen Darstellungen der unabh¨ igen Koordinaten
sowie die Beschreibung einer beliebigen Feldgr¨ e, z.B. des Verschiebungsfeldes u, angegeben.
Bezeichnung Wert Abbildungsvorschriften
lokal-konvektiv materiell r¨ h
bzgl. Theta in TTheta bzgl. X in Omegaopenbullet bzgl. x in Omegat
konvektive Koordinate Theta id tildewide-1openbullet tildewide-1t
materielle Koordinate X tildewideopenbullet id phi1-1t
r¨ he Koordinate x tildewidet phi1t id
Verschiebungsfeld1 u tildewidet nut nut
Tabelle 2.1: Betrachtungsweisen und deren Abbildungen
Durch die obige Darstellung wird nochmals deutlich, daß die lokalen Abbildungen tildewideopenbullet,i sowie
tildewidet,i die zentralen unabh¨ igen Abbildungen der Kontinuumsmechanik sind. Wird die Ein-
bettung in den E3 hinzugezogen, so kann weiterhin die lokale Verschiebungsabbildung tildewidet,i
definiert werden.
Die bezogenen Betrachtungsweisen (bzgl. X bzw. bzgl. x) sind nur abgeleitete Konzepte, wie
es das Beispiel der Deformationsabbildung
phi1t,i :
braceleftbigg U
openbullet,i propersubset Omegaopenbullet arrowright Ut,i propersubset Omegat propersubset E3
X mapstoarrowright x = phi1t,i(X) := (tildewidet,i openbullet tildewide-1openbullet,i )(X) (2.9)
zwischen der Referenz- und Momentankonfiguration zeigt. Die Leistungsf¨ keit dieses An-
satzes wird mit der nachfolgenden Erweiterung der kontinuumsmechanischen Ereigniswelt
um die Beschreibung einer Ver¨ ung des materiellen K¨ pers deutlich.
1Das Verschiebungsfeld u kann nur im umgebenden Euklidischen Vektorraum E3 definiert werden.
2.1. Kinematik in der Kontinuumsmechanik 21
2.1.4 Betrachtung ver¨ licher materieller K¨ er
Die Behandlung inverser Probleme erfordert eine Erweiterung des kontinuumsmechanischen
Konzeptes, um Ver¨ ungen des materiellen K¨ pers und seiner Eigenschaften erfassen zu
k¨ Hierbei ist im Rahmen der Formoptimierung eine Variation der Geometrie sowie
f¨ die Parameteridentifikation eine ¨ der Materialparameter von Interesse. Eine
leistungsf¨ e, d.h. f¨ die numerische Behandlung brauchbare, Definition des K¨ pers und
seiner Eigenschaften ist f¨ die theoretische Beschreibung und algorithmische Durchf¨
von Design¨ 2 wesentlich. Entsprechend der Zielsetzung stehen bei den Untersu-
chungen dieser Arbeit die Geometrie¨ gen des materiellen K¨ pers im Vordergrund.
2.1.4.1 Hinweise zum kontinuumsmechanischen Design-Raum-Zeit-Rahmen
In der klassischen Kontinuumsmechanik wird die Ereigniswelt als ein Raum-Zeit-Kontinuum
eingef¨ siehe z.B. [220, 223, 52], in der ein materieller K¨ per mit seinen zeitver¨ li-
chen Konfigurationen betrachtet wird. Die hierzu erforderlichen mathematischen Konzepte
und Definitionen werden an dieser Stelle nicht aufbereitet und sind der Literatur zu entneh-
men.
F¨ die Ber¨ ksichtigung ver¨ licher K¨ per kann mit dem Design des materiellen K¨ pers
eine weitere Dimension der Ereigniswelt eingef¨ werden. Analog den mathematischen An-
forderungen an die Deformation eines K¨ pers wird angenommen, daß die Design¨
hinreichend glatt erfolgt. Konkret wird daher gefordert, daß die Ver¨ g des Designs
durch eine skalarwertige Variable s element Is propersubset R beschrieben werden kann. Weiterhin seien diese
funktionalen Anh¨ igkeiten hinreichend oft stetig differenzierbar. Hierbei bezeichnet sopenbullet das
Ausgangsdesign sowie s das aktuelle Design. Im n¨ hsten Abschnitt wird diskutiert, welche
Design¨ gen mit dieser Annahme beschrieben werden k¨ Diese Erweiterung f¨
zu einem Design-Raum-Zeit-Kontinuum, welches in Bild 2.7 veranschaulicht wird.
Kopenbullet Ks
A B
C
D
RAUM
ZEIT
DESIGNDesign sopenbullet Design s
Referenzzeit topenbullet
Zeit tXopenbullet
Xs
xopenbullet
xs
Bild 2.7: Darstellung des Design-Raum-Zeit-Kontinuums
2Unter dem Design eines materiellen K¨orpers wird allgemein die Wahl der Topologie, der Geometrie
sowie der thermomechanischen Eigenschaften verstanden. Eine skalarwertige Variable, welche das ¨ e-
rungsverhalten parametrisiert, heißt Designvariable. F¨ die Optimierung werden dabei die folgenden Be-
griffe benutzt: Topologieoptimierung, Form- bzw. Geometrieoptimierung sowie Parameteroptimierung. Die
Klassifizierung erfolgt im n¨ hsten Abschnitt.
22 Kapitel 2. Kinematische Grundlagen
F¨ jedes konstante Design ergibt sich jeweils das zugeh¨ ige und bekannte Raum-Zeit-
Kontinuum der Kontinuumsmechanik, welches graphisch durch die dargestellten Ebenen
gekennzeichnet ist. Hierbei bezeichnet Kopenbullet das Raum-Zeit-Kontinuum zum Design sopenbullet bzw.
Ks das entsprechende zum Design s.
Die Kurve A kennzeichnet die Raum-Zeit-Trajektorie eines materiellen Punktes f¨ das feste
Design sopenbullet, d.h. der materielle Punkt Mopenbullet bewegt sich aus der Lage Xopenbullet zur Referenzzeit topenbullet in
die Lage xopenbullet zur aktuellen Zeit t. Entsprechendes gilt f¨ das Design s (Kurve B), d.h. der
materielle Punkt Ms bewegt sich aus der Lage Xs in die Lage xs.
Die Kurve C beschreibt die sogenannte Designtrajektorie der Referenzkonfigurationen (C)
zur Referenzzeit t = topenbullet, w¨ end Kurve D die zugeh¨ ige Trajektorie der Strukturantwort,
d.h. der Momentankonfigurationen zum aktuellen Zeitpunkt t, darstellt. Dies bedeutet, daß
die Gleichgewichtskonfiguration Omegat der Struktur zum Zeitpunkt t gem¨ Kurve D auf eine
Design¨ en gem¨ Kurve C antwortet.
Zur genaueren Erl¨ erung der auftretenden Ph¨ mene ist eine Unterscheidung der be-
trachteten (allgemeinen) Design¨ g erforderlich, die im n¨ hsten Abschnitt auf der
Grundlage der eingef¨ lokal-konvektiven Betrachtungsweise vorgenommen wird.
Die folgenden Bemerkungen sind jedoch f¨ alle Design¨ en g¨ .
1. Die bisher eingef¨ Abbildungen sind mit den obigen ¨ erlegungen s¨ tlich von
der Wahl des aktuellen Designs abh¨ ig, d.h. die funktionale Abh¨ igkeit von der
Designvariablen s element Is k¨ te in die Abbildungsvorschriften aufgenommen werden.
Hierauf wird jedoch zur Vereinfachung der Schreibweise (weitestgehend) verzichtet.
Vereinzelt (wie bereits oben) erhalten die Abbildungen bzw. die Werte zus¨ zliche
Indizes zur Kennzeichnung des betreffenden Designs, d.h. sopenbullet f¨ das Ausgangsdesign
und s f¨ das aktuelle Design. Eine modifizierte Definition erfolgt in Abschnitt 2.1.5.
2. Damit treten bzgl. des Designs (Variable s) und der Zeit (Variable t) dieselben ma-
thematischen Strukturen in den funktionalen Abh¨ igkeiten auf. Diese Tatsache wur-
de bereits in dem sogenannten material derivative approach f¨ die Formoptimierung
gewinnbringend verwendet. Diese Methode wird in Abschnitt B.3 ¨ er Zug¨ e zur
variationellen Sensitivit¨ sanalyse n¨ diskutiert.
Die Parametrisierung ver¨ hen Designs mit einer skalarwertigen Designvariable ist sym-
bolhaft und prinzipiell zu verstehen. Die Klassifizierung m¨ licher Ver¨ gen erfolgt im
n¨ hsten Abschnitt.
2.1.4.2 Klassifizierung m¨ licher Design¨ ungen
Die Untersuchung allgemeiner Design¨ en wird auf der Grundlage der bisherigen
Erkenntnisse zur lokal-konvektiven Betrachtungsweise vorgenommen. Hierf¨ ist wiederum
die Struktur des materiellen K¨ pers als differenzierbare Mannigfaltigkeit wesentlich, die sich
konkret in der Wahl der Anzahl und der Topologie der offenen Mengen Ui und der auf der
einzelnen Menge definierten Abbildung phii niederschl¨ t. Entsprechend der Darstellung in
Bild 2.4 werden zwei Atlanten Aopenbullet und At des materiellen K¨ pers B betrachtet, aus denen
die Atlanten Aopenbullet und At zur Beschreibung der Referenz- bzw. der Momentankonfiguration
abgeleitet wurden.
2.1. Kinematik in der Kontinuumsmechanik 23
Die Einteilung von Design¨ gen (im allgemeinen Sinne) kann bei Betrachtung der
Auswirkungen m¨ licher ¨ auf die zugrundeliegenden Atlanten Aopenbullet des materiellen
K¨ pers B bzw. Aopenbullet der zugeh¨ enden Referenzkonfiguration vorgenommen werden. Dabei ist
die Einteilung in die beiden folgenden Problemklassen sinnvoll.
1. Parameter¨ sind dabei durch die folgende Definition beschrieben:
Unter einer Parameter¨ eines materiellen K¨ pers versteht man eine Design-
¨ die nur die thermomechanischen Eigenschaften modifiziert. Die Atlanten
Aopenbullet des materiellen K¨ ers B bzw. Aopenbullet der Referenzkonfiguration Omegaopenbullet bleiben bei einer
solchen Design¨ unver¨ erhalten.
Damit besitzt die Design¨ keinen Einfluß auf B und Omegaopenbullet und die Designtrajek-
torie im Design-Raum-Zeit-Kontinuum, siehe Bild 2.7, f¨ auf eine Referenzkonfigu-
ration zusammen. Der K¨ per reagiert somit bei gleicher Referenzkonfiguration nur in
ver¨ er Form auf die Modifikation des Designs, d.h. es ist nur die Trajektorie der
Strukturantwort zu beobachten, siehe Bild 2.8.
F¨ diese Problemklasse ergeben sich gegen¨ er den Struktur¨ gen (siehe unten)
weitreichende theoretische und algorithmische Vereinfachungen, die in den Abschnitten
B.3 zur Sensitivit¨ sanalyse und 2.3 zur CAGD-FEM-Kopplung erl¨ ert werden.3
designunabh¨ ige
Referenzkonfiguration Omegaopenbullet
Momentankonfiguration Bsopenbullet,t zum Design sopenbullet
Momentankonfiguration Bs,t zum Design s
Deformation phi1sopenbullet,t
zum Design sopenbullet
Deformation phi1s,t
zum Design s
Trajektorie der
Strukturantwort zur Zeit tX
xsopenbullet
xs
Bild 2.8: Darstellung der Konfigurationen bei Parameter¨ gen im Design
Ein wichtiges Anwendungsbeispiel f¨ die Klasse der Parameter¨ en ist die Pa-
rameteridentifikation, welche die Modifikation der Materialparameter des materiellen
K¨ pers betrachtet. Diese Problematik wird in dieser Arbeit nur am Rande behandelt.
2. Struktur¨ sind durch die folgende Definition beschrieben:
Unter einer Struktur¨ des materiellen K¨ pers B werden Design¨
verstanden, die beim ¨ ergang von einem Design sopenbullet zu einem modifizierten Design
s notwendig eine ¨ ung des Atlanten Aopenbullet bzw. des Atlanten Aopenbullet der zugeh¨
Referenzkonfiguration Omegaopenbullet erfordern.
F¨ jeden Atlanten k¨ dabei sowohl die Topologie der Karten als auch deren Form,
d.h. die Abbildungsvorschriften phii, ge¨ t werden.
3Viele Probleme der Topologie- und Formoptimierung (siehe die Erl¨auterungen weiter unten) werden
durch die Formulierung von Ersatzproblemen in Parameteroptimierungsaufgaben umformuliert. Als Bei-
spiel seien die Topologieoptimierung (siehe unten) sowie die fictitious domain method, siehe z.B. Haslinger,
Neittaanm¨ [124], im Rahmen der Formoptimierung genannt.
24 Kapitel 2. Kinematische Grundlagen
Somit kann eine weitere Unterteilung in die folgenden zwei Unterklassen erfolgen.
(a) Geometrie¨ , die folgendermaßen charakterisiert werden.
Die Atlanten Asopenbullet,openbullet (Design sopenbullet) und As,openbullet (Design s) besitzen dieselben offenen
Mengen (Anzahl und Topologie), jedoch sind die Abbildungen phii : Ui arrowright TTheta,i
unterschiedlich. Dieses bedeutet, daß der materielle K¨ per lokal unterschiedlich
definiert ist, d.h. die lokalen Referenzabbildungen tildewideopenbullet,i sind designabh¨
Da die Wahl der Parametrisierung beliebig ist, kann immer erreicht werden, daß
die Parametermenge TTheta,i trotz Design¨ en konstant bleibt. Es ¨ n sich
damit nur die Abbildungen phii und die Mengen Ui f¨ den materiellen K¨ per
sowie die Mengen Uopenbullet,i f¨ die Referenzkonfiguration Omegaopenbullet . Dieser Vorgang, d.h.
die Ver¨ der zu den einzelnen Karten geh¨ enden Abbildungsfunktionen,
ist im Rahmen der Kontinuumsmechanik hinreichend glatt beschreibbar. Diese
Problematik, die auch als Form¨ bezeichnet wird, steht im Mittelpunkt
der vorliegenden Arbeit.
(b) Topologie¨ , die folgendermaßen charakterisiert werden.
Die betrachteten materiellen K¨ per (bzw. die zugeh¨ enden Referenzkonfigura-
tionen) werden durch Atlanten beschrieben, die eine unterschiedliche Anzahl von
lokalen Umgebungen mit unterschiedlichen Topologien4 aufweisen und die nicht
ineinander ¨ erf¨ werden k¨
Dieser Vorgang, d.h. die z.B. durch das Einf¨ von L¨ hern in die Struktur
erzwungene Topologie¨ , ist einer kontinuumsmechanischen Beschreibung
durch stetig differenzierbare Abbildungen nicht zug¨ lich.
Das Ph¨ men einer erzwungenen Topologie¨ ng ist im Rahmen der Struk-
turmechanik und seiner numerischen Umsetzung mittels FEM hinreichend be-
kannt. In den unten genannten Beispielen werden die theoretischen Schwierig-
keiten bei der Beschreibung einer Topologie¨ konstruktiv-algorithmisch
umgangen.
Die ¨ der Topologie wird in der vergleichbaren Situation der Deformati-
on eines K¨ pers mit Rißbildung (Aufreißen eines K¨ pers) explizit ausgeschlos-
sen. Das Rißwachstum kann geometrisch beschrieben werden, jedoch nicht die
Rißentstehung. Algorithmisch wird durch Auswertung eines Bruchkriteriums die
Topologie durch Einf¨ eines Anfangsrisses ge¨ .
Ein anderes Beispiel stellt die adaptive Netzverfeinerung im Rahmen der Finite
Elemente Methode (FEM) dar. Hierbei werden Verfeinerungsindikatoren berech-
net, die durch einen Algorithmus zu einem h-adaptiv verfeinertem FE-Netz f¨
Der Prozeß der Netzver¨ g, d.h. die Topologie¨ ung der Elemente, kann
nicht als stetig differenzierbarer Prozeß beschrieben werden.
Die Problemstellungen der Topologieoptimierung werden in dieser Arbeit nur am
Rande betrachtet.
4In der Literatur hat sich der Begriff Topologieoptimierung f¨ur die Berechnung optimierter Strukturen mit
ver¨ erter Materialverteilung ausgepr¨ siehe z.B. Bendsøe [49]. Die Zielsetzung dieser Optimierungsstra-
tegie, d.h. die Generation neuer Strukturen mit ver¨ erter Topologie, d.h. das Entstehen und Verschwinden
von Hohlr¨ ist erw¨ scht. Die algorithmische Umsetzung bedient sich jedoch der Methoden der Para-
meter¨ erung (z.B. Materialparameter, Dichte) auf einer topologisch gleichbleibenden Grundstruktur.
2.1. Kinematik in der Kontinuumsmechanik 25
2.1.5 Verfeinerung der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
Die Hinweise zur Struktur von Design¨ en, welche im kontinuumsmechanischen Rah-
men beschreibbar sind, sollen zur weiteren Ausformulierung des lokal-konvektiven Konzeptes
herangezogen werden. Entsprechend der obigen Bemerkungen werden Topologie¨
gen der betreffenden Atlanten sowie Parameter¨ gen nur am Rande betrachtet. Der
Schwerpunkt liegt in der Beschreibung einer ¨ der Abbildungsfunktionen einer Kar-
te, d.h. einer sogenannten Geometrie¨ sowie der Folgerungen hieraus f¨ die weiteren
kontinuumsmechanischen Formulierungen.
Im weiteren wird angenommen, daß die Wahl der lokalen Umgebungen fest vorgegeben ist.
Die M¨ lichkeiten einer unterschiedlichen Parametrisierung der K¨ per betreffen die konti-
nuumsmechanischen Formulierungen nicht und werden erst im Abschnitt 2.3 betrachtet.
2.1.5.1 Verzicht auf das Konzept des materiellen K¨ ers
Die lokalen Abbildungen phi-1i : TTheta,i arrowright Ui beschreiben den materiellen K¨ per B, der ohne
Einbettung in den umgebenden Euklidischen Raum E3 eingef¨ wurde. Der materielle
K¨ per ist zwar im grundlegenden intrinsischen Konzept von Bedeutung, die Darstellungen
in der Kontinuumsmechanik sowie die numerischen Methoden konzentrieren sich aber (fast
nur) auf die Beschreibung der zugeh¨ igen Konfigurationen Omegaopenbullet und Omegat.
Mit Einf¨ der Parametermengen im lokal-konvektiven Konzept, d.h. der Auswertung
der Eigenschaften einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit, kann auf das Konzept des mate-
riellen K¨ pers verzichtet werden. Die zugeh¨ igen Konfigurationen sind dann lokal ¨ er die
lokalen Parameterabbildungen tildewideopenbullet,i und tildewidet,i beschreibbar, siehe auch Bild 2.9. Als zentrale
unabh¨ ige Koordinate wird damit nicht mehr der materielle Punkt Msondern der lokale
Parameterpunkt Theta betrachtet. Dieser Zugang ist f¨ die kontinuumsmechanische Beschrei-
bung von ¨ siehe Abschnitt 2.1.4, geeigneter.
Damit ist eine Trennung von Geometrie der Konfigurationen und den physikalischen Ei-
genschaften vorgenommen worden. S¨ tliche Eigenschaften des materiellen K¨ pers werden
unabh¨ ig von der jeweiligen geometrischen Form der Konfigurationen auf den lokalen Pa-
rametermengen TTheta,i des Parameterraumes Z3 eingef¨
Als Beispiel sei die Massendichte der einzelnen Konfigurationen mit den unterschiedlichen
Abbildungsfunktionen betrachtet, d.h. f¨ die Dichteverteilung gilt
rhot = tildewide(Theta,t) = rho1(X,t) = rho1(x,t). (2.10)
Die Momentankonfiguration zur festen Zeit t bzw. die Referenzkonfiguration zur Referenzzeit
t = topenbullet besitzen damit die Dichteverteilungen
rhot = tildewidet(Theta) = rho1t(X) = rho1t(x) bzw. rhoopenbullet = tildewideopenbullet(Theta) = rho1openbullet(X) = rho1openbullet(x). (2.11)
Hierbei stellen rhot bzw. rhoopenbullet die Werte der Massendichte sowie tildewidet,rho1t,rho1t bzw. tildewideopenbullet,rho1openbullet,rho1openbullet die zu-
geh¨ igen Abbildungsfunktionen dar. Die Definition einer Dichtefunktion des Parameterrau-
mes erfolgt in Kapitel 3.
26 Kapitel 2. Kinematische Grundlagen
2.1.5.2 Bemerkungen zur Referenz- sowie zur Momentankonfiguration
Die Stellung der Geometrie eines K¨ pers innerhalb der Kontinuumsmechanik ist f¨ die
weitere Betrachtung der Formoptimierung genauer herauszuarbeiten. Die Referenz- bzw.
Momentankonfiguration wird lokal ¨ er die Abbildungen tildewideopenbullet,i bzw. tildewidet,i beschrieben.
In Abschnitt 3.2 wird gezeigt, daß die (relative) Verzerrung zwischen beiden K¨ pern durch
die (lokalen Gradienten der) genannten Abbildungen angegeben werden kann. Dabei ist
der derzeitige Verzerrungs- bzw. Deformationszustand der Konfigurationen unerheblich. Zur
Erleichterung des Verst¨ wird jedoch eine einpr¨ samere Notation eingef¨
Unter der Voraussetzung, daß die Referenzkonfiguration im physikalischen Sinne unbelastet,
spannungsfrei sowie temperaturhomogen und somit deformationsfrei ist, stellt Omegaopenbullet ein Bild
der Geometrie des K¨ pers im E3 dar. Diese Forderung ist bisher nicht zwingend erforderlich,
wird aber aus praktischem Interesse ¨ herweise erf¨ Die Referenzkonfiguration Omegaopenbullet stellt
somit die (undeformierte) Geometrie des K¨ pers im E3 dar und das zweckm¨ igste Mittel
zur numerischen Beschreibung ist das Computer Aided Geometric Design (CAGD).
Die Ver¨ g des materiellen K¨ pers und damit seiner Referenzkonfiguration, die sich
durch die Ver¨ gen der lokalen Abbildungen ergibt, wurde die skalarwertige Designva-
riable s eingef¨ F¨ die hier speziell beschriebene Situation wird die Abbildung tildewideopenbullet,i im
weiteren als lokale Geometrieabbildung
tildewidepsii :
braceleftbigg T
Theta,i ×Is arrowright Omegaopenbullet propersubset E3
(Theta,s) mapstoarrowright X = tildewidei(Theta,s). (2.12)
bezeichnet. F¨ ein festes Design ergibt sich damit tildewides,i. Die Abh¨ igkeit der Abbildung
von der Designvariablen s ist im weiteren noch zu konkretisieren.
Um die Bedeutung einer Deformation aus der undeformierten Referenzkonfiguration hervor-
zuheben, wird f¨ die Abbildung tildewidet,i die Bezeichnung lokale Deformationsabbildung
tildewidei :
braceleftbigg T
Theta,i ×It arrowright Omegat propersubset E3
(Theta,t) mapstoarrowright x = tildewidei(Theta,t). (2.13)
eingef¨ F¨ einen festgehaltenen Zeitpunkt ergibt sich damit tildewidet,i. Weiterhin ist phi1t dann
eine Deformationsabbildung eines undeformierten in einen deformierten K¨ per.
2.1.5.3 Formulierung einer modifizierten Sichtweise
Die lokalen Abbildungen tildewidei und tildewidei sind (gem¨ Annahme) auf demselben Parameterraum
definiert. Dabei ist die Geometrie durch die Designvariable s bzw. die Deformation durch die
Zeit t parametrisiert. Somit besitzen beide Abbildungen identische mathematische Struktur
und keine ist (derzeit, d.h. gem¨ der Definition der Abbildungen) von der anderen abh¨ ig.
Weiterhin wurden Geometrie und physikalische Eigenschaften bisher eindeutig getrennt.
Die Gewohnheit legt jetzt nahe, die Deformation fest an die Referenzkonfiguration zu kn¨
und entsprechend der Lagrangeschen Betrachtungsweise von der Deformation einer gegebe-
nen Referenzkonfiguration in die zugeh¨ ige Momentankonfiguration zu sprechen. Dieses
w¨ zu einer zus¨ zlichen Parametrisierung der Deformation mit der Designvariablen s
f¨ d.h. es gilt z.B. x = phi1(X(s),s). In dieser Arbeit soll bewußt mit der Tradition
2.1. Kinematik in der Kontinuumsmechanik 27
der Lagrangeschen (sowie auch der Eulerschen) Betrachtungsweise gebrochen werden. Die
Notwendigkeit und die Chancen einer modifizierten Sichtweise, d.h. der lokal-konvektiven
Betrachtungsweise, die zudem noch ungewohnte Einblicke in die grundlegende Struktur der
Kontinuumsmechanik liefert, werden im weiteren erl¨ ert.
Implizit und stillschweigend werden bei der Formulierung der kinematischen Abbildungen im-
mer zwei Gegebenheiten akzeptiert. Die erste ist die Tatsache, daß die Masse der Referenz-
und Momentankonfiguration identisch ist. Weiterhin wird angenommen, daß sich die Mo-
mentankonfiguration im Gleichgewicht befindet. Strenggenommen sind dieses jedoch Bedin-
gungsgleichungen, welche erst die Beziehungen zwischen den Konfigurationen definieren.
F¨ die Sensitivit¨ sanalyse ist es hilfreich, zun¨ hst die Unabh¨ igkeit aller Gr¨ en von-
einander zu fordern, um dann mit der Einf¨ der Bedingungsgleichungen (z.B. Massen-
erhaltung, Impulsbilanz, etc.) die notwendigen Verkn¨ herzustellen.
2.1.5.4 Zusammenstellung der Abbildungen
Die Abbildung tildewide : TTheta × Is arrowright Uopenbullet propersubset E3 nach (2.12) zur Beschreibung der Geometrie sowie
die Abbildung tildewide : TTheta × It arrowright Ut propersubset E3 nach (2.13) zur Beschreibung der Deformation
wurden f¨ die lokal-konvektive Betrachtungsweise eingef¨ und bilden die kinematische
Grundlage der Kontinuumsmechanik. Damit kann f¨ die Lagrangesche Betrachtungsweise
die Deformation der Referenzkonfiguration Omegaopenbullet in die Momentankonfiguration Omegat durch die
Abbildungskomposition phi1s,t := tildewidet openbullet tildewide-1s beschrieben werden, siehe Bild 2.9.
E3
Z3
?openbullet ?t
phi1s,t
˜psis ˜phi1t
Popenbullet PtX
x
Theta
Referenzkonfiguration Omegaopenbullet Momentankonfiguration Omegat
Parameterraum TTheta
Bild 2.9: Abbildungen zur Kinematik f¨ einfache K¨ per
Die beiden Abbildungen sind auf der lokalen Parametermenge definiert und weisen eine
identische mathematische Struktur auf. Sie werden als unabh¨ ig angesehen. Dieses gilt so-
lange, wie keine konkreten Bedingungsgleichungen f¨ Massenerhaltung, Impulsbilanz, usw.
eingef¨ und ausgewertet werden. Diese Sichtweise wird im Kapitel 3 verwendet.
28 Kapitel 2. Kinematische Grundlagen
2.1.6 Variation von Geometrie- und Deformationsabbildung
Die Variation, Linearisierung sowie Zeitableitung jeder kontinuumsmechanischen Gr¨ e zur
aktuellen Zeit t kann auf die entsprechende Variation, Linearisierung sowie Zeitableitung
der lokalen Abbildungen f¨ Geometrie und Deformation (sowie f¨ die Temperatur) zur¨ k-
gef¨ werden. Die drei genannten Ableitungskonzepte sind ¨ er die sogenannte Richtungs-
ableitung bzw. Gˆ aux-Ableitung miteinander verkn¨ wie nachfolgend verdeutlicht wird.
Dar¨ erhinaus ist die Kenntnis der sog. Fr´ bleitung sowie die Beziehungen zur Rich-
tungsableitung von Bedeutung.
2.1.6.1 Grundlagen
Durch eine Vereinheitlichung der Darstellungsweise basierend auf der eingef¨ lokal-
konvektiven Betrachtungsweise kann die mathematische Struktur zun¨ hst in abstrakter
Form herausgearbeitet werden. Hierauf aufbauend ist eine Auswertung der Ergebnisse f¨
die Sonderf¨ Zeitableitung, Linearisierung bzgl. eines Verschiebungsinkrementes sowie f¨
die Sensitivit¨ bzgl. der Geometrie ohne weiteren Aufwand m¨ lich. Die Variation weiterer
Problemgr¨ en wie z.B. Materialparameter sind in diesem Konzept in analoger Form ent-
halten. Zur Vereinfachung der Darstellung wird auf eine explizite Angabe dieser weiteren
Variationsm¨ lichkeiten verzichtet.
Grundlage f¨ das weitere Vorgehen ist die Berechnung von Variationen, die kurz am Beispiel
einer skalarwertigen Funktion erl¨ ert wird, siehe z.B. Epheser [93], Fung [102].
Sei u : I arrowright R eine auf dem Intervall I := [a,b] definierte skalarwertige Funktion. Die
Variation von u wird mit deltau := epsilon eta bezeichnet, wobei eta eine zul¨ Funktion ist. Hieraus
kann eine Einbettung v(x) = u(x) + epsilon eta(x) =: g(epsilon) formuliert werden, d.h. f¨ jedes feste x
kann v auch als Funktion von epsilon aufgefaßt werden. Dieses gilt auch f¨ alle von u abh¨ igen
Funktionen, d.h. f¨ ein Funktional J(u) gilt durch Anwendung der Einbettung Phi(epsilon) :=
J[u + epsilon eta]. Damit kann die Variation des Funktionals deltaJ := epsilon Phiprime(epsilon) definiert werden.
F¨ die Durchf¨ der genannten Variationen ist der Einbettungsansatz von zentraler
Bedeutung. Hierbei ist f¨ die Kontinuumsmechanik die Einbettung der Konfigurationen in
den Euklidischen Vektorraum E3 zu betrachten. Zun¨ hst sind die in der Kontinuumsmecha-
nik m¨ lichen Variationen der kinematischen Grundabbildungen tildewide und tildewide zu untersuchen.
F¨ die Geometrieabbildungen bzw. f¨ die Deformationsabbildung gilt demnach
deltatildewide := epsilon deltatildewide bzw. deltatildewide := epsilon deltatildewide. (2.14)
In der obigen Darstellung k¨ die Richtungen deltatildewide sowie deltatildewide der gew¨ hten Rich-
tungsableitungen bei konstantem Design s bzw. bei konstanter Zeit t beliebig vorgegeben
werden. Es ist jedoch auch m¨ lich, die mathematische Struktur der Abbildungen tildewide und tildewide
zur Definition der gew¨ hten Variation zu nutzen, indem man deltatildewide und deltatildewide durch partielle
Ableitungen der Abbildungen tildewide nach dem Design s und tildewide nach der Zeit t gewinnt, d.h.
deltatildewide := epsilon D
tildewidepsi
Ds := epsilon
openbulletX bzw. analog deltatildewidephi1 := epsilon Dtildewidephi1
Dt := epsilon úx. (2.15)
F¨ die Geometrievariation beschreibt openbullet := Dtildewide/Ds das sogenannte design velocity field
des K¨ pers. Analog ergibt sich f¨ die Deformationsvariation das Geschwindigkeitsfeld des
K¨ pers ú := Dtildewide/Dt.
2.1. Kinematik in der Kontinuumsmechanik 29
Analog zu den ersten Variationen deltatildewide und deltatildewide der kinematischen Grundabbildungen tildewide bzw.
tildewide k¨ h¨ Variationen beliebiger Ordnung definiert werden, d.h. deltan tildewide sowie deltan tildewide. Die
hierf¨ notwendige Differenzierbarkeit wird implizit vorausgesetzt.
2.1.6.2 Die Bedeutung der Verschiebungsabbildung
Die Beschreibung von Variationen kann auch auf die Verschiebungsabbildung tildewide ¨ ertragen
werden, d.h. man erh¨ deltatildewide,delta2tildewide,... bzw. ú , ¨,... f¨ die Zeitableitung.
Die weitere Vorgehensweise wird exemplarisch f¨ die Deformationsabbildung tildewide erl¨ ert.
Im umgebenden Euklidischen Raum E3 (bzw. im R3) kann der Differenzvektor der Konfi-
gurationen, d.h. das Verschiebungsfeld u gem¨ (2.7) eingef¨ werden. In diesem Fall gilt
x = X+ u und anstelle tildewidet wird die lokale Verschiebungsabbildung ˜t als zweite unabh¨ i-
ge Abbildung (neben tildewides) angesehen. Diese Sichtweise wird immer dann notwendig, wenn
Variationen durchgef¨ werden. Mit der Einf¨ der Verschiebungsabbildung tildewide ergibt
sich die additive Zerlegung tildewide = tildewide + tildewide, d.h. x = X + u. Hierbei ist X = tildewide(Theta,s) von der
Designvariablen s und u = tildewide(Theta,t) von der Zeit t abh¨ ig. F¨ einen festen Zeitpunkt t
wird die Variation von tildewidet an der Stelle x := tildewidet(Theta) = tildewides(Theta)+tildewidet(Theta) = X+u vorgenommen.
Die Einbettung der Deformationsabbildung ergibt sich f¨ Variationen von Geometrie und
Verschiebung zu
x = x + deltax = x + deltaX + deltau = parenleftbigX + deltaXparenrightbig + (u + deltau) . (2.16)
S¨ tliche kontinuumsmechanische Funktionen k¨ nach Wahl dieser Einbettung bzgl.
deltax variiert werden. Diese Variation ist somit nur einmal auszuf¨ und anschließend f¨
die jeweils interessierende Variation deltax auszuwerten. Mit diesem Vorgehen vereinfacht sich
der Aufwand der tensoranalytischen Ableitungen wesentlich. Die verwandte mathematische
Struktur von ”Designableitung“ und ”Zeitableitung“ wurde bereits in dem sogenanten ma-
terial derivative approach verwendet, siehe Kapitel B.3 im Anhang. Dieses Vorgehen wird in
Kapitel 3 n¨ erl¨ ert.
2.1.7 Anmerkungen zu den Funktionenr¨ en
Die genannten Abbildungen sind Elemente aus unterschiedlichen unendlichdimensionalen
Funktionenr¨ Eine genaue Betrachtung der R¨ kann erst nach weiteren Spezifika-
tionen erfolgen, d.h. nach Angabe z.B. der betrachteten Raumdimension sowie der Randbe-
dingungen. Weiterhin sind noch keine Randwertaufgaben bzw. Variationsaufgaben formuliert
worden, die zus¨ zliche (Stetigkeits-) Eigenschaften der L¨ en tildewide, tildewide und tildewide erfordern.
An dieser Stelle sei zun¨ hst nur die Notation eingef¨
• G sei der Raum der zul¨ Geometrieabbildungen tildewide,
• D sei der Raum der zul¨ Deformationsabbildungen tildewide und
• V sei der Raum der zul¨ Verschiebungsabbildungen ˜.
30 Kapitel 2. Kinematische Grundlagen
2.1.8 Hinweise zu weiteren Kinematikkonzepten
Die dargestellte lokal-konvektive Betrachtungsweise basiert auf der Zerlegung der Kinematik
in separate Geometrie- und Deformationsabbildungen. Die notwendigen Variationen werden
auf der untersten Stufe vollzogen, d.h. die Grundabbildungen werden variiert. Weiterhin
ist eine Trennung zwischen der Geometrie einer Struktur und der zugeh¨ igen Massevertei-
lung durchgef¨ worden, d.h. die Geometrie wird nicht mehr ¨ er Massepunkte definiert.
Damit sind die Vorbereitungen zur effizienten Beschreibung der Strukturoptimierung nebst
Sensitivit¨ sanalyse erbracht. Einzelaspekte der beschriebenen Methodik finden sich in un-
terschiedlichen Theorien und Anwendungen wieder, aber eine geschlossene Darstellung ist
bisher in der Literatur nicht formuliert worden.
2.1.8.1 Die intrinsische Betrachtungsweise
Die intrinsiche Betrachtungsweise ist ein eigenst¨ es und vollst¨ in die Kontinuums-
mechanik integriertes Konzept. Sie erweitert die M¨ lichkeiten der theoretischen Beschrei-
bung kontinuumsmechanischer Ph¨ mene gegen¨ er den bezogenen Darstellungsformen,
d.h. den bestehenden Lagrangeschen bzw. Eulerschen Betrachtungsweisen. Die Beziehungen
der intrinsischen zur lokal-konvektiven Betrachtungsweise sind in Abschnitt 2.1.3.1 ausf¨
lich beschrieben worden.
2.1.8.2 Die ALE-Methode (Arbitrary Lagrangian-Eulerian)
Die Arbitrary Lagrangian-Eulerian Methode wurde in den siebziger Jahren im Rahmen der
Finite-Differenzen-Methode entwickelt. Mit den Arbeiten von Don´ et al. [89], Belytschko
et al. [46] und Hughes et al. [140] wurde diese kinematische Beschreibungsweise in die Finite
Elemente Methode eingef¨ Seitdem sind zahlreiche Ver¨ tlichungen erschienen, die
sich mit der Anwendung auf komplexe physikalische Fragestellungen z.B. der Fluid-Struktur-
Interaktion besch¨ en.
Die ALE-Methode war ebenfalls Ausgangspunkt zur Einf¨ des domain parametrization
approach f¨ die Strukturoptimierung durch R. Haber [113]. Auch mit diesem Schritt, d.h.
der Verwendung der ALE-Idee in der Strukturoptimierung bzw. Sensitivit¨ sanalyse, ist es
bisher nicht zu einer integrierten Formulierung der Kinematik gekommen. Vielmehr besteht
f¨ die Sensitivit¨ sanalyse mit der material derivative approach ein weiterer Zugang der
Kinematikbeschreibung. Dieses ist Indiz f¨ das noch vorhandene Potential zur Integration
und Weiterentwicklung, siehe auch Kapitel B.3.
2.1.8.3 Kinematik in den diskreten Methoden
Es existieren weitere diskrete Methoden, wie z.B. die meshless methods oder die fictitious do-
main methods, die zwar auf einer Lagrangesche Betrachtungsweise beruhen, in der konkreten
Durchf¨ jedoch von der nachfolgend beschriebenen Standardwahl der Finite Elemente
Methode abweichen. Hierauf kann in dieser Arbeit jedoch nicht eingegangen werden.
2.2. Kinematik in CAGD und FEM 31
2.2 Kinematik in CAGD und FEM
In diesem Abschnitt werden die kinematischen Abbildungen der beiden zentralen numeri-
schen Hilfsmittel im Ingenieurwesen, d.h. des Computer Aided Geometric Design (CAGD)
und der Finite Elemente Methode (FEM) erl¨ ert. Eine umfassende Darstellung der Theo-
rie beider Methoden ist an dieser Stelle weder sinnvoll noch m¨ lich. Vielmehr werden nur
Hinweise zur praktischen Anwendung gegeben sowie Anmerkungen zur derzeitigen Strategie
der Integration beider Zug¨ e im industriellen Rahmen gemacht.
2.2.1 Computer Aided Geometric Design (CAGD)
Die Methoden des Computer Aided Geometric Design (CAGD) basieren ebenfalls auf der
Differentialgeometrie, d.h. auf der gleichen mathematischen Grundlage wie die Kontinu-
umsmechanik. Konkret bedeutet dies, daß die geometrischen Objekte (lokal) durch stetig
invertierbare Funktionen des Parameterraumes (Teilraum von R3) in den Euklidischen Vek-
torraum E3 definiert werden. Dabei unterscheidet sich die Notation bzw. Terminologie im
Bereich CAGD von der in der Kontinuumsmechanik ¨ hen, siehe z.B. die Beitr¨ e von
B¨ in Farin [99] sowie Hoschek, Lasser [136].
Die gew¨ hten Eigenschaften einer CAGD-Beschreibung seien kurz dargestellt.
Eine wesentliche Aufgabe der computergest¨ Geometriebeschreibung liegt gerade in der
Darstellung komplexer Bauteile. Zus¨ zlich zur effektiven Beschreibung der Geometrie eines
Teilbereiches m¨ n daher die Beziehungen der ”Patches“ untereinander beachtet werden.5
In der Praxis bedeutet dieses –in der Sprechweise der Kontinuumsmechanik– jedoch, daß der
Einsatz von CAGD die Festlegung der Geometriebeschreibung eines materiellen K¨ pers auf
einen konkret gegebenen Atlas ACAGD bedingt. Dieser Atlas ACAGD wird gew¨ zur effekti-
ven Beschreibung der Geometrie des K¨ pers, d.h. der Referenzkonfiguration Omegaopenbullet element E3. Damit
bewirkt die praktische Verwendung von CAGD-Methoden eine Diskretisierung der Geome-
triebeschreibung, d.h. die Approximation des Raumes G zul¨ Geometriefunktionen tildewide
durch einen endlichdimensionalen Unterraum Gg propersubset G mit approximierenden Funktionen tildewideg.
Dabei habe Gg die Dimension mg, d.h. dim Gg = mg. Die diskrete Approximation wird (wie
aus der FEM bekannt) ebenfalls mit einem Index g (f¨ Geometrie) gekennzeichnet.
Das CAGD konzentriert sich auf die Beschreibung der geometrischen Objekte selbst, d.h.
auf den Objekten definierte Abbildungen, wie z.B. die Deformation, werden nicht betrachtet.
Im Rahmen der Festk¨ permechanik ist dieses Aufgabe der Kontinuumsmechanik. Somit ist
auch verst¨ ch, daß innerhalb des CAGD eine Beschreibung mit ¨ erlappenden Patches
¨ h ist. Erst die Erfordernisse der FEM, d.h. der Erstellungen von FE-Netzen, f¨ zur
S¨ erung der Geometriebeschreibung (z.B. T-Stoß freie Geometrie). Inverse Geometriepro-
bleme erfordern weitere Struktur¨ ngen, die aus der Beschreibung partieller Differen-
tialgleichungen zur Bestimmung der unbekannten Geometrie resultieren. Diese Problematik
wird in Abschnitt 2.3 weiter erl¨ ert.
5In der Kontinuumsmechanik wird diese Problematik nicht behandelt. Die Existenz eines Atlanten ge-
eigneter Karten mit den gew¨ schten Eigenschaften wird dort vorausgesetzt. Weiterhin wird (durch den
mathematischen Rahmen der differenzierbaren Mannigfaltigkeit) nur die Forderung erhoben, daß die even-
tuell vorkommenden Kartenwechsel beliebig oft differenzierbar sind.
32 Kapitel 2. Kinematische Grundlagen
2.2.1.1 Parametrische Abbildungen im CAGD
An dieser Stelle sollen nur zwei Beispiele f¨ parametrische Abbildungen in der Ebene und
im Raum angef¨ werden. Komplexere parametrische Abbildungen wie z.B. non-uniform
rational b-splines (NURBS) werden z.B. in Farin [99] beschrieben.
Das nachfolgende Bild zeigt zwei B´ ierlinien, die jeweils durch drei Kontrollpunkte model-
liert werden (kI0,kI1,kI2 f¨ Linie I und kII0 ,kII1 ,kII2 f¨ Linie II).
a115 a115
a115
a0
a0
a0
a0
a0
a0
a0a0
a64
a64
a64
a64
a64
a64
a64a64
a64
a64
a64
a64a16a16a16
a16a16a16a16
a99
a99
a0a0a18
a64a64a82I0 tI
xI(t)
kI1
kI2 = kII0
tII
kII1
xII(t)
kII2
Mit den Bernstein Polynomen Bni gilt
x(t) =
nsummationdisplay
i=0
Bni ki und Bni (t) =
parenleftbiggn
i
parenrightbigg
ti(1 -t)i.
a42a8
a8
a54
Bild 2.10: Darstellung von B´ ierlinien ¨ er die zugeh¨ igen Kontrollpunkte
Als weiteres Beispiel werden Coons-Fl¨ hen betrachtet, die vierseitig berandete Fl¨ hen ¨ er
parametrische Randkurven beschreiben.
a115 a115
a115
a115
a14a13
a15a12
P1
l1
a115
x(uP ,vP )
a16a66a77
v u
l4
l3
a14a13
a15a12
a14a13
a15a12
a14a13
a15a12
P4
P3
P2
l2 a0a0a64a64
a114(uP ,vP )
(0,1) (1,1)
(1,0)
Psi(u,v)
a54
v
u
Bild 2.11: Parametrische Definition von Coons-Fl¨ hen
2.2. Kinematik in CAGD und FEM 33
Mit den Koordinaten der vier Eckpunkte (p1,p2,p3,p4) sowie den parametrischen Beschrei-
bungen der Randlinien (xl1,xl2,xl3,xl4) gilt
x(u,v) = r13 + r42 -rP (2.17)
r13 = (1 -v) xl1(u) + v xl3(u)
r42 = (1 -u) xl4(v) + u xl2(v)
rp = (1 -v) (1 -u) p1 + (1 -v) u p2 + v (1 -u) p4 + u v p3.
Einige wichtige Eigenschaften der B´ ierlinien (-fl¨ hen) seien kurz erw¨ t.
• Die Kurve (Fl¨ he) liegt in der konvexen H¨ des Kontrollpunktpolygons.
• Die Stetigkeitsbedingungen an den ¨ erg¨ en sind durch geometrische Bedingungen
an die Lage der Kontrollpunkte einfach zu beschreiben.
• Eine Graderh¨ ung der B´ rbeschreibung ist einfach m¨ lich.
• Die Lage eines Kontrollpunktes beeinflußt die gesamte Form der Linie (Fl¨ he).
2.2.1.2 Hinweise zu Datenmodellen im CAGD
F¨ die Beschreibung der Geometriemodelle haben sich zwei Datenstrukturen etabliert:
B-Rep (Boundary Representation) und CSG (Constructive Solid Geometry). Die B-Rep-
Methode basiert auf einer Randdarstellung, in der ein Festk¨ per ¨ er seine Randelemente
(Fl¨ henst¨ ke, Kanten, Ecken) und deren Topologie (Zusammenhang und Lage zueinan-
der) beschrieben wird. Mit Hilfe der B-Rep-Methode wird eine exakte Repr¨ tation von
3D-K¨ pern erm¨ licht.
Bei der CSG-Methode erfolgt eine prozedurale Definition von 3D-K¨ pern durch Boolesche
Operationen bezogen auf vordefinierte Raumprimitive wie Zylinder, Kugel, Kegel oder Qua-
der. Sie eignet sich besonders gut f¨ globale gestaltsver¨ Operationen, beispielsweise
f¨ das Editieren des Gesamtk¨ pers oder den Einsatz von Features [143].
Die industriellen Anwendungen, z.B. im Automobil-, Flugzeug- und Maschinenbau, benutzen
dabei Softwaresysteme wie z.B. CATIA [80], I-DEAS [91], Pro/Engineer [183] und Solid Ed-
ge [92]. Die differentialgeometrischen Auswertungen werden dabei im Geometriemodellierer
(z.B. Parasolid, ASIS oder Cas.Cade) auf der Basis der B-Rep- (Boundary Representation)
oder der CSG- (Constructive Solid Geometry) Darstellung realisiert.
2.2.1.3 Hinweise zu Geometrievariation: Design Velocity Fields
Im Rahmen der Strukturoptimierung ist die Variation der Geometrie bereitzustellen, wel-
ches in Form der sogenannten design velocity fields Eingang in die Sensitivit¨ sanalyse findet.
Ans¨ ze zur Berechnung der Geometrievariationen finden sich vor allem in den Hochschul-
entwicklungen (siehe z.B. CARAT [148, 58] sowie INA-OPT [43, 16, 94]). Im kommerzi-
ellen Rahmen ist die Berechnung noch nicht weitentwickelt, da hierzu die komplexen Zu-
sammenh¨ e der CAGD-FEM-Kopplung und der Berechnung der FE-Netze ber¨ ksichtigt
werden m¨ n. F¨ weitere Hinweise ist die Literatur [142, 72] zu konsultieren.
34 Kapitel 2. Kinematische Grundlagen
2.2.2 Finite Elemente Methode (FEM)
Die zentrale Aufgabe der Finite Elemente Methode besteht in der numerischen L¨ von
Anfangs- Randwertaufgaben. Die Grundlagen dieses Verfahrens sind in vielf¨ iger Form in
der Literatur dargestellt worden, siehe z.B. Bathe [41], Hughes [139], Zienkiewicz, Taylor
[232]. Es werden hierbei die Strukturen des umgebenden Euklidischen Vektorraums ausge-
nutzt, d.h. das Verschiebungsfeld u = x -X element E3 zwischen Referenz- und Momentankonfi-
guration wird zur Beschreibung der physikalischen Vorg¨ e verwendet.
2.2.2.1 Parametrische Abbildungen in der FEM
Als Modellverfahren wird die h-Methode mit reinen bilinearen Verschiebungsans¨ zen (pri-
male Methode) in Teilgebieten des K¨ pers unter Verwendung des isoparametrischen Kon-
zepts betrachtet. Bei dieser Formulierung werden die Knotenverschiebungen V der Knoten
der finiten Elemente als Unbekannte eingef¨ Die Approximation uh des Verschiebungs-
zustandes u kann auf Elementebene durch die Beziehung
u(i) = N(i) v(i) (2.18)
in Matrizenschreibweise angegeben werden. Hierbei ist N(i) die Matrix der Ansatzfunktionen
und v(i) der Vektor der Knotenverschiebungen f¨ das i-te Element. F¨ die Komponenten uih
des diskreten Verschiebungszustandes gilt mit nkel als der Anzahl der Knoten am Element
uih = ˆih(xi1,xi2,xi3) =
nkelsummationdisplay
k=1
ˆNk(xi1,xi2,xi3) ˆvik = ˜uih(X1,X2,X3) =
nkelsummationdisplay
k=1
˜Nk(X1,X2,X3) ˆvik.
Dabei sind xi1,xi2,xi3 die lokalen Koordinaten des isoparametrischen Konzeptes und X1,X2,X3
die kartesischen Koordinaten der Punkte der diskreten Referenzkonfiguration. Weiterhin stel-
len ˆAk die A-te Koordinate und ˆik die i-te Verschiebungskomponente des k-ten Knotens dar.
Die Besonderheit des isoparametrischen Konzeptes besteht darin, daß die Geometrie und
der Verschiebungszustand im Element in gleicher Form ¨ er die Knotenwerte approximiert
werden, d.h. es gilt f¨ die Geometrie des Elementes
XAh = ˆAh (xi1,xi2,xi3) =
nkelsummationdisplay
k=1
ˆNk(xi1,xi2,xi3) ˆXAk . (2.19)
Das isoparametrische Konzept ist in der Bild 2.12 verdeutlicht.
Die Auswahl der Teilgebiete, d.h. geeigneter FE-Netze, wird von der Notwendigkeit einer
hinreichenden Genauigkeit der Approximation bestimmt. Im Rahmen eines adaptiven Ver-
fahrens wird dabei die G¨ stetig verbessert.
Die isoparametrische FE-Methode approximiert mit einem Atlas AFEM den Verschiebungs-
zustand tildewideh aus einem Approximationsraum Vh propersubset V der Dimension dim Vh = nnu. Dieses
bedeutet gleichzeitig, daß die deformierte Geometrie der Momentankonfiguration Omegat propersubset E3
in geeigneter Form dargestellt wird. Hierbei gilt tildewideh element Dh propersubset D mit dim Dh = nphi1.
Die Darstellung der Geometrie im isoparametrischen Konzept weist gegen¨ er der CAGD-
Beschreibung einen weiteren Diskretisierungsfehler auf, da die gew¨ en bilinearen Ans¨ ze
2.2. Kinematik in CAGD und FEM 35
1 2
3
xi1
xi2
1
2
3
4
xi1
xi2
xii = ˜i(X1,X2)
XA = summationtext4k=1 ˆk(xi1,xi2) XAk
Bild 2.12: Darstellung des isoparametrischen Konzepts
die CAGD-Geometrie (urspr¨ h der Atlas ACAGD) nur ann¨ k¨ Die Approxi-
mation eines Kreisloches durch einen Polygonzug der Kanten bilinearer isoparametrischer
Elemente verdeutlicht dieses. Dieser Sachverhalt wird in der Regel durch Wahl einer hin-
reichend feinen Anfangsdiskretisierung beachtet. Genauer bedeutet dies, daß ein Approxi-
mationsraum Gh propersubset G mit Dimension dim Gh = mh und Funktionen tildewideh eingef¨ wird.
Im Allgemeinen kann wegen der unterschiedlichen Ansatzfunktionen und der unterschiedli-
chen Topologie von Patch und Element keine strenge Schachtelung der R¨ Gg und Gh
angegeben werden.
Die Geometriebeschreibung der Referenzkonfiguration wird bei Netzverfeinerung ebenfalls
nachgezogen, d.h. die Dimension mh = dim Gh erh¨ t sich. Hierf¨ gibt es außer bei der
Approximation gekr¨ ter R¨ oder Fl¨ hen keinen sachlichen Grund. Im Rahmen der
Strukturoptimierung ist hiermit ein wesentlicher Nachteil verbunden, da die Anzahl der
Freiheitsgrade bei inversen Problemen (unn¨ ig) angehoben wird. Weiterhin ist es kaum
m¨ lich, sinnvolle design velocity fields auf der Basis eines FE-Netzes zu generieren, siehe
z.B. die Netze in [120, S. 5]. Ebenfalls aus diesem Grund besitzt die Geometriemodellierung
durch CAGD-Methoden eine große Bedeutung f¨ die Strukturoptimierung.
2.2.2.2 Hinweise zu kommerziellen Softwaresystemen
Kommerzielle Programmpakete wie z.B. MSC-NASTRAN [179], ANSYS [3] und ABAQUS
[134] erm¨ lichen die Analyse komplexer industrieller Problemstellungen. Die erforderliche
CAD-FEM-Kopplung zwischen den Programmen erfolgt ¨ er das FE-Netz, d.h. basierend
auf einer CAGD-Beschreibung wird die Topologie des FE-Netzes sowie die Koordinaten der
FE-Knoten erzeugt. Die weiteren Angaben der Randwertaufgabe (Lasten, Randbedingungen,
Material) werden durch Auswertung der Zusammenh¨ e auf die FE-Elemente ¨ ertragen.
Damit ist das FE-Modell hinsichtlich der Strukturanalyse vollst¨ und ben¨ igt (evtl. im
Falle adaptiver Methoden) keinen R¨ kgriff auf die CAGD-Datenbasis.
36 Kapitel 2. Kinematische Grundlagen
2.3 Integrierte Darstellung der Kinematik I
Ziel dieses Abschnittes ist es, die konsequente Umsetzung der kinematischen Zusammenh¨ e
der lokal-konvektiven Betrachtungsweise in den diskreten Methoden vorzubereiten. Hierbei
ergibt sich eine modifizierte Darstellung der CAGD–FEM–Kopplung, welche hilfreich f¨ die
Anforderungen der Strukturoptimierung sein wird.
2.3.1 Zusammenfassung bisheriger Konzepte
Aus den vorhergehenden Abschnitten wurden die folgenden Aussagen hergeleitet.
• Kontinuumsmechanik: Die undeformierte Referenzkonfiguration Omegaopenbullet propersubset E3 sowie die
deformierte Momentankonfiguration Omegat propersubset E3 sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten,
d.h. sowohl Geometrie als auch Deformation werden durch parametrische Abbildungen
(Karten) der Atlanten Aopenbullet und At dargestellt, siehe Bild 2.5.
• CAGD: Die Geometrie des betrachteten K¨ pers, d.h. die undeformierte Referenzkon-
figuration Omegaopenbullet propersubset E3, wird in praktischen Anwendungen mittels CAGD dargestellt. Der
Einsatz von CAGD bedeutet eine Diskretisierung ACAGD des Atlanten Aopenbullet.
• FEM: Der deformierte K¨ per nimmt den Raum Omegat propersubset E3 ein, der durch den Einsatz
von FEM nur approximativ beschrieben werden kann. Der Einsatz der FE-Methode
bedeutet somit eine Diskretisierung AFEM des Atlanten At. Bei Verwendung der iso-
parametrischen Methode wird auch die undeformierte Referenzkonfiguration Omegaopenbullet durch
die FE-Methode approximiert.
Zusammenfassend f¨ dieses dazu, daß in der praktischen Anwendung von CAGD und
FEM die Atlanten Aopenbullet bzw. At sowohl durch einen Atlas ACAGD zur Geometriebeschreibung
(CAGD) als auch durch einen anderen Atlas AFEM zur Deformationsbeschreibung (FEM)
ersetzt werden.6
Die bisherigen Abbildungen und Approximationen sind hier zusammengefaßt.
Abbildung Theorie CAGD FEM
Geometrie tildewide element G tildewideg element Gg propersubset G dim Gg = mg tildewideh element Gh propersubset G dim Gh = mh
Verschiebung tildewide element V tildewideh element Vh propersubset V dim Vh = nnu
Deformation tildewide element D tildewideh element Dh propersubset D dim Dh = nphi1
Tabelle 2.2: Basisabbildungen und deren Approximationen
6Der hier gew¨ahlte Sprachgebrauch ist im Rahmen der FEM und des CAGD zun¨achst ungew¨ohnlich,
da man dort von FE-Netzen und Geometrie-Patches spricht. Bei der angestrebten integrierten Darstellung
ist aber auch eine gemeinsame Bezeichnung wichtig, die sich konsequenterweise an den mathematischen
Grundlagen orientiert. Der Vorteil dieser Bezeichnungsweise ist ebenfalls, daß im Begriff Atlas sowohl die
Topologie der Karten als auch deren Abbildungen erfaßt ist. Damit k¨ nen z.B. in der FEM die klassischen
adaptiven Methoden, d.h. h- und/oder p-Adaptivit¨ beschrieben werden.
2.3. Integrierte Darstellung der Kinematik I 37
2.3.2 Eine integrierte Darstellung der Abbildungen
Die Tabelle 2.2 zeigt deutlich, daß mittels CAGD nur die Geometrie (und nicht die Defor-
mation) approximiert wird. Andererseits wird in der (isoparametrischen) FEM sowohl die
Deformation (bzw. Verschiebung) als auch die Geometrie approximiert. Das nachfolgende
Konzept zeigt auf, wie die theoretisch vorhandene Unabh¨ igkeit ebenfalls in der Numerik
beibehalten werden kann.
Da theoretisch ein Kartenwechsel unendlich oft differenzierbar ist, gilt es im konkreten Ein-
satz von CAGD und FEM die Beziehungen zwischen ACAGD und AFEM zu beschreiben.
Eine nicht allzu wesentliche Einschr¨ ung des Zusammenspiels von CAGD und FEM im
praktischen Einsatz besteht darin, f¨ jede Karte j des FEM-Atlanten anzunehmen, daß
der zugeh¨ ige Parameterraum vollst¨ im Parameterraum der zugeh¨ igen Karte i des
CAGD-Atlanten befindet. Dies bedeutet, daß jedes finite Element sich in genau einem Geo-
metriepatch befindet. Damit kann der Kartenwechsel (im Fall von Vierecken im Parameter-
raum) durch eine bilineare Abbildung (Koordinatentransformation) ausgedr¨ kt werden.
Das folgende Bild zeigt den Zusammenhang der Parametergebiete von CAGD und FEM.
E3
CAGD–Parametergebiet TTheta FEM–Parametergebiet Txi
Omegaopenbullet OmegatUopenbullet,i
Omegaeopenbullet,j
Omegaet,j
phi1t
tildewidepsii tildewidet,j
Theta1
Theta2
xi1
xi2
OmegaeTheta,j Transformation omegaxi,Theta
Bild 2.13: Abbildungen ¨ er CAGD- und FEM-Parameterr¨
Im Vergleich mit der isoparametrischen FE-Methode besteht der wesentlich Unterschied dar-
in, daß die lokale Geometrieabbildung tildewidei ¨ er dem CAGD-Parametergebiet TTheta definiert ist,
w¨ end die lokale Deformationsabbildung tildewidet,j ¨ er dem FEM-Parametergebiet Txi angege-
ben wird. Hierbei sind beide lokalen Parametergebiete nicht identisch. Diese Situation wird
auch nicht ¨ er die sogenannten super- oder subparametrischen Beschreibungen in der FEM
erfaßt, da dort nur die Ansatzordnungen differieren, aber nicht das Parametergebiet.
Mit der obigen Darstellung ist die Richtung f¨ die vorzunehmende Integration aufgezeigt.
Die weitere Entwicklung dieses integrierten Konzeptes wird in Kapitel 4 fortgesetzt, nachdem
in Kapitel 3 die Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise aufbereitet
wurde.
38 Kapitel 2. Kinematische Grundlagen
Die erg¨ Darstellung in Abschnitt 4.1 konkretisiert die in Bild 2.13 eingef¨ Ab-
bildungen. Insbesondere werden durch die Gleichungen (4.8) und (4.10) die lokalen Beschrei-
bungen der Geometrie und Verschiebung angegeben. Hierbei ist jedoch zu beachten, daß sich
diese Darstellungen auf unterschiedliche Parameterr¨ TTheta bzw. Txi beziehen. Entsprechend
hierzu k¨ die Variationen der eingef¨ Approximationen hergeleitet werden, siehe
die Gleichungen (4.9) und (4.11). Durch Einf¨ der zugeh¨ igen Form- bzw. Ansatz-
funktionen treten somit nur noch die Varitionen skalarwertiger Parameter auf.
Zur integrierten Beschreibung sind weiterhin die Transformationsbeziehungen zwischen den
Parametergebieten einzuf¨ und die entsprechenden Gradientenoperatoren zu verkn¨
Aus diesen ¨ erlegungen kann der Sonderfall der isoparametrischen FEM-Beschreibung her-
geleitet werden.
Kapitel 3
Kontinuumsmechanik der
lokal-konvektiven Betrachtungsweise
Es wird eine Darstellung der Kontinuumsmechanik in den konvektiven Koordinaten Theta des
im vorherigen Kapitel eingef¨ lokalen Parameterraumes TTheta propersubset Z3 hergeleitet. Diese
Vorgehensweise weist, wie im vorigen Kapitel erl¨ ert, starke Gemeinsamkeiten mit einer
intrinsischen Betrachtungsweise nach Noll [181] in konvektiven Koordinaten auf. Hinweise
und weiterf¨ Literaturangaben finden sich zum intrinsischen Konzept z.B. in Bertram
[52], zur Anwendung konvektiver Koordinaten in der Schalentheorie z.B. in den Arbeiten
von Wagner [222], Gruttmann [110], Ramm [63, 57], Schweizerhof [42, 131], Betzinger [59]
und in Wriggers [230] sowie f¨ den allgemeinen theoretischen Rahmen in Marsden, Hughes
[164], siehe z.B. auch die Arbeiten von Wriggers [229] und Miehe [172].
F¨ die Sensitivit¨ sanalyse wurde das Potential einer Parametrisierung des Gebietes bereits
von Haber [114] erkannt. Dieser Zugang zur Sensitivit¨ sanalyse konnte sich jedoch bis-
her nicht allgemein durchsetzen. Die Bedeutung konvektiver Koordinaten f¨ eine nat¨ lich
innerhalb der Kontinuumsmechanik vorhandene Parametrisierung und die weitreichenden
Folgerungen f¨ die variationelle Sensitivit¨ sanalyse wurde in [16, 37] hingewiesen. Dieses
Kapitel beinhaltet eine bisher nicht ver¨ tlichte Darstellung mit den folgenden wichtigen
Aspekten:
Tafel 3.1: Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
• Trennung und Dualit¨ von Geometrie und Deformation sowie
• Integration der Sensitivit¨ (Variation) in die Kontinuumsmechanik.
Die Inhalte dieses Kapitels sind nachfolgend aufgef¨ Es werden die kontinuumsmechani-
schen Grundlagen aus der lokal-konvektiven Darstellung heraus definiert und motiviert. Die
bezogenen Darstellungen ergeben sich deshalb stets als Folgerung aus der lokalen Darstellung.
Die Herleitungen sind im Hauptteil kurz gehalten und mit Querverweisen auf den Anhang
versehen. Die bezogenen Darstellungen finden sich ebenfalls ¨ erwiegend im Anhang.
39
40 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
Inhaltsangabe
3.1 Gradienten und Tangentenabbildungen . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 Tangentialr¨ und Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2 Gradienten der variierten Grundabbildungen . . . . . . . . . . . . 44
3.1.3 Variation von Funktionen der Grundabbildungen . . . . . . . . . . 46
3.2 Verzerrungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Die metrische oder erste Fundamentalform . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Lokale Verzerrungstensoren und deren Variation . . . . . . . . . . 47
3.2.3 Eigenwerte und Eigenvektoren der Verzerrungstensoren . . . . . . 50
3.2.4 Variation von Funktionen des lokalen Verzerrungsmaßes . . . . . . 51
3.3 Spannungen und Spannungsleistung . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Definition von Spannungstensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2 Variation von Spannungstensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.3 Oberfl¨ hen- und Volumenspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.4 Einf¨ rung der Spannungsleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.5 Variation der Spannungsleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Materialgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Bilanz- und Erhaltungss¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.1 Massenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.2 Erhaltungssatz der Bewegungsgr¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.3 Weitere Bilanz- und Erhaltungss¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 Variationsprinzipien f¨ Analyse und Sensitivit¨ . . . . . . . . 65
3.6.1 Die schwache Form des Gleichgewichts . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.2 Die schwache Form der Gleichgewichtsvariation . . . . . . . . . . . 66
3.6.3 Einf¨ rung von Linear- und Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . 66
3.6.4 Lagrangefunktion und Optimalit¨ edingungen . . . . . . . . . . 68
3.7 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1. Gradienten und Tangentenabbildungen 41
3.1 Gradienten und Tangentenabbildungen
Der Ausgangspunkt der Betrachtungen ist in Abschnitt 2.1.5.4 mit Bild 2.9 zusammengefaßt
worden, d.h. die Abbildungen tildewide nach (2.12) und tildewide nach (2.13) bilden die Parametermenge
TTheta (lokal) in die Umgebungen UX bzw. Ux von X element Omegaopenbullet bzw. x element Omegat ab. O.B.d.A. f¨ die
weiteren Herleitungen in diesem Kapitel wird ein einfacher K¨ per angenommen, d.h. die
Konfigurationen Omegaopenbullet und Omegat lassen sich vollst¨ durch eine Karte beschreiben.
3.1.1 Tangentialr¨ e und Transformationen
Es k¨ drei unterschiedliche Gradientenoperatoren bzgl. der drei Koordinaten Theta,X,x
in der Kontinuumsmechanik verwendet werden. Die Gradienten GRADTheta,GradX bzw. gradx
werden als lokaler, materieller bzw. r¨ Gradient bezeichnet. Die jeweiligen Koordi-
naten bzgl. derer die Gradientenbildung erfolgt sind als Index angegeben. Die Notation lehnt
sich dabei an die in der Literatur ¨ he an. Die kartesischen Basissysteme {Z1,Z2,Z3} f¨
den Parameterraum sowie {E1,E2,E3} und {e1,e2,e3} f¨ die Referenz- und Momentan-
konfiguration sind in Abschnitt 2.1 eingef¨ worden. Auf die Einbettungseigenschaft der
Konfigurationen in den E3 (bzw. den R3) wird weitestgehend verzichtet.
Die partiellen Ableitungen der Abbildungen zur Geometrie tildewide und zur Deformation tildewide bzgl.
der Koordinaten Thetai ergeben in X element Omegaopenbullet bzw. x element Omegat die konvektiven Tangentenvektoren
Gi := partialdiff
tildewidepsi
partialdiffThetai bzw. gi :=
partialdifftildewide
partialdiffThetai (3.1)
an die Koordinatenlinien Thetai = konst. f¨ i = 1,2,3. Die drei Tangentenvektoren bilden die
kovariante Basis und spannen die jeweiligen Tangentialr¨ TX im Punkt X an Omegaopenbullet bzw.
Tx im Punkt x an Omegat auf. Die zugeh¨ igen kontravarianten Basisvektoren, welche die dualen
Tangentialr¨ TasteriskmathX bzw. Tasteriskmathx aufspannen, sind durch Gi · Gj = deltaji bzw. gi · gj = deltaji definiert.1
Die Gradienten von tildewide und tildewide bzgl. Theta k¨ durch Gi und gi beschrieben werden. Die
fundamentalen Tensoren der Kinematik sind der lokale Geometriegradient KTheta : TTheta arrowrightTX
KTheta = GRADTheta tildewide = partialdiff
tildewidepsi
partialdiffThetai circlemultiplyZ
i = Gi circlemultiplyZi (3.2)
sowie der lokale Deformationsgradient FTheta : TTheta arrowrightTx
FTheta = GRADTheta tildewide = partialdifftildewidephi1partialdiffThetai circlemultiplyZi = gi circlemultiplyZi. (3.3)
Diese lokalen Gradienten sind die Grundlage aller (lokalen, materiellen oder r¨ hen)
Tangentenabbildungen in der Kontinuumsmechanik, siehe z.B. auch Bertram [52] f¨ das
intrinsische Konzept sowie Barthold [37] f¨ die Einbeziehung der Sensitivit¨ sanalyse.
1Im Rahmen einer tensoranalytischen Darstellung differenzierbarer Mannigfaltigkeiten unterscheidet sich
der Sprachgebrauch und die Darstellung von der klassischen Tensoranalysis. Hierbei bilden die partiellen
Ableitungen partialdiff/partialdiffThetai die Basis des Tangentialraumes (Vektoren). Die Differentiale dThetai (Kovektoren, lineare
Funktionale) stellen die duale Basis dar. F¨ eine ausf¨ rliche Diskussion sei auf Marsden, Hughes [164,
Box 2.1] verwiesen. Im weiteren Verlauf wird die gebr¨ chlichere Notation der klassischen Tensoranalysis
verwendet. Nach Miehe [172] kann auch ausf¨ rlicher TX Omegaopenbullet statt TX und Tx phi1t(Omegaopenbullet ) statt Tx geschrieben
werden.
42 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
Der materielle Gradientenoperator GradX sowie der r¨ he Gradientenoperator gradx
k¨ aus einer Komposition lokaler Gradienten hergeleitet werden. Die Bedeutung des
materiellen Deformationsgradienten FX : TX arrowrightTx mit F equivalence FX = GradX x ist bekannt. Im
Rahmen dieser Arbeit wird die Darstellung von FX als Komposition der lokalen Gradienten
KTheta und FTheta angegeben. Aus der Darstellung x = phi1(X) = (tildewide openbullet tildewide-1)(Theta) als Komposition
von Geometrie- und Deformationsabbildung ergibt sich (siehe auch [52, §7])
FX = GradX phi1 = GRADTheta tildewide (GRADTheta tildewide)-1 = FTheta K-1Theta . (3.4)
Diese Beziehung kann auch durch tensoralgebraische Umformungen erhalten werden, d.h.
FX = GradX x = gi circlemultiplyGi = gi circlemultiplydeltaij Gj = gi circlemultiply(Zi · Zj) Gj = (gi circlemultiplyZi) (Zj circlemultiplyGj)
= (gi circlemultiplyZi) (Gj circlemultiplyZj)-1 = GRADTheta tildewide (GRADTheta tildewide)-1 = FTheta K-1Theta .
Die nachfolgende Tabelle gibt die lokalen, materiellen und r¨ hen Gradienten von Geo-
metrie und Deformation sowie der Verschiebungsabbildung an.
lokaler Geometriegradient KTheta = GRADTheta tildewide(Theta) = Gi circlemultiplyZi : TTheta arrowright TX
materieller Geometriegradient KX = GradX psi(X) = Gi circlemultiplyGi : TX arrowright TX
r¨ her Geometriegradient Kx = gradx psi(x) = Gi circlemultiplygi : Tx arrowright TX
lokaler Deformationsgradient FTheta = GRADTheta tildewide(Theta) = gi circlemultiplyZi : TTheta arrowright Tx
materieller Deformationsgradient FX = GradX phi1(X) = gi circlemultiplyGi : TX arrowright Tx
r¨ her Deformationsgradient Fx = gradx phi1(x) = gi circlemultiplygi : Tx arrowright Tx
lokaler Verschiebungsgradient HTheta = GRADTheta tildewide(Theta) = hi circlemultiplyZi : TTheta arrowright E3
materieller Verschiebungsgradient HX = GradX nu(X) = hi circlemultiplyGi : TX arrowright E3
r¨ her Verschiebungsgradient Hx = gradx nu(x) = hi circlemultiplygi : Tx arrowright E3
Tabelle 3.1: Tangentenabbildungen unterschiedlicher Betrachtungsweisen
Die aufgef¨ Geometrie- und Deformationsgradienten sind stetig invertierbar. Der ma-
terielle Geometriegradient KX = Gi circlemultiply Gi = 1X sowie der r¨ he Deformationsgradient
Fx = gi circlemultiplygi = 1x sind gemischtvariante Einheitstensoren. Die Verschiebungsgradienten sind
nur nach Einbettung von Omegaopenbullet ,Omegat in den E3 erkl¨ t, jedoch i.d.R. nicht invertierbar. F¨ die
partielle Ableitung der Verschiebungsabbildung wird die Definition hi := partialdifftildewide/partialdiffThetai verwendet.
Die eingef¨ Tangentenabbildungen sind in Bild 3.1 veranschaulicht.
F¨ das Verschiebungsfeld u = tildewide(Theta) = nu(X) = nu(x) h¨ en die lokalen, materiellen und
r¨ ichen Verschiebungsgradienten in der folgenden Form zusammen
HX = GradX u = HTheta K-1Theta = GRADTheta u (GRADTheta X)-1 (3.5)
Hx = gradx u = HTheta F-1Theta = GRADTheta u (GRADTheta x)-1 (3.6)
= HX F-1X = GradX u (GradX x)-1. (3.7)
Diese multiplikative Zerlegung des materiellen und des r¨ hen Gradientenoperators er-
laubt eine effiziente Darstellung, Analyse und Trennung der Einfl¨ von Geometrie und
Deformation auf die weiteren kontinuumsmechanischen Gr¨ en.
3.1. Gradienten und Tangentenabbildungen 43
TX Tx
Parameterraum TTheta
X
x
u
Theta
Gi g
i
Zi
FX = GradX x = gi circlemultiplyGi
FTheta = GRADTheta x = gi circlemultiplyZiTheta = GRADTheta X = Gi circlemultiplyZi
Bild 3.1: Tangentenabbildungen in der Kontinuumsmechanik
F¨ eine aussagekr¨ e Beschreibung der theoretischen Zusammenh¨ e in der Kontinu-
umsmechanik sowie f¨ die effizienten numerischen Algorithmen werden die unterschiedlichen
Betrachtungsweisen (lokal-konvektiv, materiell, r¨ h) ben¨ igt. Damit sind die kontinu-
umsmechanischen Gr¨ en stets zwischen diesen Darstellungsweisen zu transformieren. An
dieser Stelle werden kurz die notwendigen Konzepte vorgestellt sowie auf weitere Hinweise
in den Anh¨ en bzw. in der Literatur verwiesen.
Die oben eingef¨ Gradientenabbildungen KTheta,FTheta und FX sind gemischtvariante Zwei-
feldtensoren, mit denen die Transformationen zwischen dem Parameterraum und den Tan-
gentialr¨ der Konfigurationen bzw. zwischen dem Tangentialraum TX der Referenz-
und Tx der Momentankonfiguration durchgef¨ werden k¨
Zur Kennzeichnung einer R¨ ktransformationen (pull-back wird ein hochgestellter Stern (•)asteriskmath
beigef¨ , d.h.
tildewidepsiasteriskmath : TX arrowrightTTheta, tildewidephi1asteriskmath : Tx arrowrightTTheta und phi1asteriskmath : Tx arrowrightTX.
Ein tiefgestellter Stern (•)asteriskmath kennzeichnet eine Vorw¨ tstransformationen (push-forward, d.h.
tildewidepsiasteriskmath : TTheta arrowrightTX, tildewidephi1asteriskmath : TTheta arrowrightTx und phi1asteriskmath : TX arrowrightTx.
Die Transformation von Skalaren, Vektoren und Tensoren zwischen den R¨ TTheta,TX,Tx
wird im Anhang A.3.5 n¨ beschrieben. Hierbei ist zwischen den Transformationsvorschrif-
ten f¨ ko- bzw. kontravariante Vektoren bzw. Tensorkomponenten zu unterscheiden. Weitere
Hinweise finden sich z.B. in Marsden, Hughes [164] und den darauf aufbauenden Arbeiten,
z.B. Wriggers [229].
Die Determinanten der Abbildungen KTheta,FTheta und FX = FTheta K-1Theta werden mit Jpsi,Jphi1 sowie J
bezeichnet. Aus der multiplikativen Zerlegung von FX erh¨ man die Beziehung J = Jphi1 J-1psi .
Die Linien-, Fl¨ hen und Volumenelemente der Konfigurationen werden mit dTheta,dATheta,dVTheta
(lokal-konvektiv), dX,dAX,dVX (materiell) sowie dx,dAx,dVx (r¨ h) bezeichnet und
k¨ mittels der eingef¨ Transformationen (pull-back- und push-forward-Operationen)
ineinander ¨ erf¨ werden. Weitere Hinweise zu den Herleitungen sowie eine Zusammen-
stellung der Transformationsbeziehungen finden sich im Anhang A.3.6.
Zus¨ zlich zu den Volumenelementen k¨ auch die Massenelemente dMTheta,dMX und dMx
in Beziehung gesetzt werden. Eine Ableitung findet sich im Anhang A.3.7.
44 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
3.1.2 Gradienten der variierten Grundabbildungen
In Abschnitt 2.1.6 wurden die Beziehungen zwischen der Linearisierung bzw. der Variation
kontinuumsmechanischer Feldgr¨ en und einer Zeitableitung erl¨ ert sowie auf die ent-
sprechende Linearisierung, Variation bzw. Zeitableitung der Abbildungen tildewide und tildewide zur¨ k-
gef¨ An dieser Stelle werden nun die oben eingef¨ Tangentenabbildungen unter-
sucht. Zur Vereinfachung der Schreibweise werden die Werte der Abbildungen (z.B. GradX x)
anstatt der Abbildungsvorschriften (z.B. GradX phi1(X)) geschrieben.
Eine wesentliche Eigenschaft der lokal-konvektiven Betrachtungsweise ist die Unabh¨ igkeit
der Variation und der Gradientenbildung voneinander, die eine Vertauschung beider Opera-
tionen erlaubt. Die lokalen, materiellen und r¨ hen Gradienten der Abbildungen tildewide, tildewide, tildewide
sind oben bereits angegeben worden. Analog hierzu sind die unterschiedlichen Gradienten
GRADTheta,GradX,gradx von deltatildewide,delta2 tildewide und deltatildewide,delta2 tildewide sowie deltatildewide,delta2tildewide bereitzustellen.
3.1.2.1 Lokale Gradienten von Variationen der Grundabbildungen
Der lokale Gradient der ersten bzw. zweiten Variation bzw. der ersten und zweiten Zeit-
ableitung von tildewide und tildewide wird hier eingef¨ Eine Erweiterung auf Variationen bzw. Zeita-
bleitungen beliebiger Ordnung ist somit leicht m¨ lich. H¨ Ableitungen werden in dieser
Arbeit jedoch nicht betrachtet.
Der lokale (Erste–)Geometrie– (Deformations–/Verschiebungs–)Variationsgradient lautet:
1KTheta := deltaKTheta = GRADTheta deltatildewidepsi(Theta) = GRADTheta deltaX = deltaGi circlemultiplyZi, (3.8)
1FTheta := deltaFTheta = GRADTheta deltatildewidephi1(Theta) = GRADTheta deltax = deltagi circlemultiplyZi, (3.9)
1HTheta := deltaHTheta = GRADTheta deltatildewidenu(Theta) = GRADTheta deltau = deltahi circlemultiplyZi. (3.10)
In analoger Form ergeben sich die lokalen Gradienten GRADTheta der zweiten Variationen, d.h.
der lokale (Zweite–)Geometrie– (Deformations–/Verschiebungs–)Variationsgradient lautet:
2KTheta := delta2KTheta = GRADTheta delta2 tildewidepsi(Theta) = GRADTheta delta2X = delta2Gi circlemultiplyZi, (3.11)
2FTheta := delta2FTheta = GRADTheta delta2 tildewidephi1(Theta) = GRADTheta delta2x = delta2gi circlemultiplyZi, (3.12)
2HTheta := delta2HTheta = GRADTheta delta2tildewidenu(Theta) = GRADTheta delta2u = delta2hi circlemultiplyZi. (3.13)
Diese Gradienten der (totalen) Variationen der Grundabbildungen bilden neben KTheta nach
(3.2) und FTheta nach (3.3) die Grundlage der Kinematik. Alle sonstigen Gr¨ en der materiellen
und r¨ hen Betrachtungsweise k¨ durch sie dargestellt werden. Eine Auswertung
liefert die Zusammenh¨ e 1FTheta = 1KTheta + 1HTheta und 2FTheta = 2KTheta + 2HTheta.
Als Spezialfall einer Variation gilt die Zeitableitung. F¨ die lokale Deformationsabbildung
erh¨ man den lokalen Deformationsgeschwindigkeits– (bzw. –beschleunigungs–) gradienten
lTheta := ú Theta = GRADTheta DDt tildewide(Theta) = GRADTheta ú = úi circlemultiplyZi (3.14)
2lTheta := ¨FTheta = GRADTheta D
2
Dt2 tildewidephi1(Theta) = GRADTheta ¨x = ¨gi circlemultiplyZ
i. (3.15)
Der Tensor lTheta stellt den Kern aller weiteren Geschwindigkeitsgradienten sowie Verzerrungs-
raten dar. Es ist deutlich, daß sich die zeitliche Ver¨ der kovarianten Basisvektoren
des Tangentialraumes Tx, d.h. des Tangentialraumes selbst, dahinter verbirgt.
3.1. Gradienten und Tangentenabbildungen 45
3.1.2.2 Transformation in materielle und r¨ liche Gradienten
Die lokalen Gradienten k¨ durch die push-forward-Operationen tildewideasteriskmath und tildewideasteriskmath, d.h. durch
Nachmultiplikation mit K-1Theta bzw. mit F-1Theta , in materielle bzw. r¨ he Gradienten trans-
formiert werden. Es ist zu beachten, daß es sich hierbei um Transformationen von bereits
variierten Gr¨ en handelt. Dies darf nicht mit der Variation transformierter Gr¨ en ver-
tauscht werden. Die beiden Operationen sind nicht generell vertauschbar, d.h. i.d.R. gilt
delta
bracketleftBigtildewide
psiasteriskmath(A)
bracketrightBig
negationslash= tildewideasteriskmath(deltaA) und delta [tildewideasteriskmath(A)] negationslash= tildewideasteriskmath(deltaA).
Die Transformation des lokalen Gradienten GRADTheta in den materiellen Gradienten GradX
liefert
1KX := deltaKTheta K-1
Theta = GradX deltaX = deltaGi circlemultiplyG
i (3.16)
1FX := deltaFTheta K-1
Theta = GradX deltax = deltagi circlemultiplyG
i (3.17)
1HX := deltaHTheta K-1
Theta = GradX deltau = deltahi circlemultiplyG
i (3.18)
2KX := delta2KTheta K-1
Theta = GradX delta
2X = delta2Gi circlemultiplyGi (3.19)
2FX := delta2FTheta K-1
Theta = GradX delta
2x = delta2gi circlemultiplyGi (3.20)
2HX := delta2HTheta K-1
Theta = GradX delta
2u = delta2hi circlemultiplyGi. (3.21)
Den materiellen Deformationsgeschwindigkeits– (bzw. –beschleunigungs–) gradienten erh¨
man im Spezialfall der Zeitableitung
lX := ú Theta K-1Theta = GradX ú = úi circlemultiplyGi = ú X (3.22)
2lX := ¨FTheta K-1
Theta = GradX ¨x = ¨gi circlemultiplyG
i = ¨FX. (3.23)
Die Zeitableitung materieller Gr¨ en wird ¨ herweise direkt berechnet, da die Gr¨ en der
Referenzkonfiguration gem¨ Definition zeitunabh¨ ig sind.
Die Transformation in den r¨ hen Gradienten gradx liefert
1Kx := deltaKTheta F-1
Theta = gradx deltaX = deltaGi circlemultiplyg
i (3.24)
1Fx := deltaFTheta F-1
Theta = gradx deltax = deltagi circlemultiplyg
i (3.25)
1Hx := deltaHTheta F-1
Theta = gradx deltau = deltahi circlemultiplyg
i (3.26)
2Kx := delta2KTheta F-1
Theta = gradx delta
2X = delta2Gi circlemultiplygi (3.27)
2Fx := delta2FTheta F-1
Theta = gradx delta
2x = delta2gi circlemultiplygi (3.28)
2Hx := delta2HTheta F-1
Theta = gradx delta
2u = delta2hi circlemultiplygi. (3.29)
Den r¨ Deformationsgeschwindigkeits– (bzw. –beschleunigungs–) gradienten erh¨
man im Spezialfall der Zeitableitung
lx := ú Theta F-1Theta = gradx ú = úi circlemultiplygi = ú X F-1X =: l (3.30)
2lx := ¨FTheta F-1
Theta = gradx ¨x = ¨gi circlemultiplyg
i = ¨FX F-1
X . (3.31)
F¨ die r¨ hen Gr¨ en ist insbesondere die Reihenfolge von Variation bzw. Zeitableitung
und der Vorw¨ ts- bzw. R¨ ktransformation zu beachten.
46 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
3.1.3 Variation von Funktionen der Grundabbildungen
Die grundlegenden kinematischen Abbildungen sind auf dem lokalen Parameterraum ein-
gef¨ worden. Daneben werden zentrale Aussagen der Kontinuumsmechanik aber auch
durch materielle bzw. r¨ he Gr¨ en ausgedr¨ kt.
Die Variation bzw. Zeitableitung einer Reihe von abgeleiteten kinematischen Gr¨ en wird
nachfolgend hergeleitet. Hierbei werden nur die ersten Variationen und als Sonderfall hiervon
die erste Zeitableitung betrachtet.
3.1.3.1 Variation eines inversen Tensors
F¨ die weiteren Untersuchungen ist die Bereitstellung der Variation der Inversen A-1 eines
Tensors A hilfreich. Aus der Variation delta(A A-1) = deltaA A-1 + A delta(A-1) = delta1 = 0 ergibt
sich delta(A-1) = -A-1 deltaA A-1. Diese Beziehung wird in den nachfolgenden Herleitungen
wiederholt verwendet. Insbesondere gilt damit
delta(K-1Theta ) = -K-1Theta deltaKTheta K-1Theta und delta(F-1Theta ) = -F-1Theta deltaFTheta F-1Theta . (3.32)
3.1.3.2 Variation von Linien- Fl¨ hen-, Volumen und Massenelementen
Die Transformationsbeziehungen der Linien-, Fl¨ hen- und Volumenelemente k¨ nach
dieser Vorarbeit variiert werden. Damit ist auch eine Variation der Massenelemente m¨ lich.
Die Details dieser Berechnung sowie die Endergebnisse sind in Anhang A.3.6 zu finden.
3.1.3.3 Variation transformierter Gr¨ßen
Die Variation lokal-konvektiver Gr¨ en des Parameterraumes kann durch die Unabh¨ ig-
keit des Gradientenoperators GRADTheta einfach ermittelt werden. Bei transformierten Gr¨ en
treten jedoch Geometrie- und Deformationsabh¨ igkeiten der materiellen und r¨ hen
Gradienten auf, die eine komplexere Herleitung erfordern. Hinweise und Endergebnisse f¨
eine Reihe von Gr¨ en finden sich im Kapitel A des Anhanges.
3.1.3.4 Variation skalarwertiger integraler Gr¨
F¨ die weiteren Herleitungen werden skalarwertige integrale Gr¨ en A = integraltextT
Theta
da betrachtet.
Die Variation des Integranden da := PsiTheta dMTheta = PsiTheta rhoTheta dVTheta liefert mit den bisherigen
Herleitungen und der Invarianz des Volumenelementes dVTheta
deltada = delta(PsiTheta dMTheta) = deltaPsiTheta dMTheta + PsiTheta delta(dMTheta) = (deltaPsiTheta rhoTheta + PsiTheta deltarhoTheta) dVTheta.
Diese Beziehung kann transformiert werden und ergibt mit den Transformationsbeziehungen
f¨ die Massen- und Volumenelemente
deltada = (tildewideasteriskmath[deltaPsiTheta] rhoX + PsiX deltarhoTheta J-1psi ) dVX = (tildewideasteriskmath[deltaPsiTheta] rhox + Psix deltarhoTheta J-1phi1 ) dVx.
3.2. Verzerrungsmaße 47
3.2 Verzerrungsmaße
Die Beanspruchung des K¨ pers f¨ zu Verzerrungen und Spannungen. Entsprechend der
Grundidee dieser Arbeit wird die Verzerrung als geometrisch motivierte Gr¨ e eingef¨
Hierzu wird auf die Grundlagen der (parametrischen) Differentialgeometrie zur¨ kgegriffen.
3.2.1 Die metrische oder erste Fundamentalform
Mit den lokalen Abbildungen tildewide und tildewide sind zwei Konfigurationen im E3 (lokal) gegeben.
In den Punkten X element Omegaopenbullet und x element Omegat werden durch die kovarianten Vektoren Gi bzw. gi
zwei Tangentialr¨ TX und Tx definiert. In den Tangentialr¨ sind mit den kontra-
varianten Metrikkoeffizienten Gij := Gi · Gj bzw. gij = gi · gj in nat¨ her Form jeweils
Metriken, d.h. Abstandsmaße, vorgegeben. Die Bedeutung der Metrikkoeffizienten f¨ die
Differentialgeometrie ist in der Literatur beschrieben, siehe z.B. Laugwitz [155, §3.4].
Als Beispiel sei die Berechnung der Bogenl¨ e einer Kurve x(t) = ˆ(Theta(t)) betrachtet, die
sich durch s(t) =
integraldisplay
t
radicalú
x2 dt berechnen l¨ t. Das L¨ enquadrat ú2 kann in der Form
ú2 = ú · ú =
parenleftbigg partialdiffx
partialdiffThetai
úThetai
parenrightbigg
·
parenleftbigg partialdiffx
partialdiffThetaj
úThetaj
parenrightbigg
=
parenleftBig
gi ú i
parenrightBig
·
parenleftBig
gj ú j
parenrightBig
= gij ú i ú j (3.33)
beschrieben werden. Die bereits von C.F. Gauß beschriebenen Funktionen gij = ˆij(Thetai)
werden als metrische Fundamentalgr¨ bezeichnet. Die quadratische Form
ds2 = gij(Thetak) dThetai dThetaj (3.34)
nennt man metrische oder erste Fundamentalform der Fl¨ he. Es ist zu beachten, daß sie in
Abh¨ igkeit der (konvektiven) Parameter Theta definiert ist.
3.2.2 Lokale Verzerrungstensoren und deren Variation
3.2.2.1 Definition des lokalen Verzerrungstensors
Die metrischen Fundamentalformen in X element Omegaopenbullet bzw. in x element Omegat k¨ mit der modernen
Tensorschreibweise durch ds2 = dTheta · mTheta dTheta sowie dS2 = dTheta · MTheta dTheta dargestellt werden,
wobei die positiv definiten kovarianten Metriktensoren der Tangentialr¨ TX und Tx durch
MTheta := KTTheta KTheta = Gij Zi circlemultiplyZj und mTheta := FTTheta FTheta = gij Zi circlemultiplyZj, (3.35)
mit Determinanten g := det(gij) = det mTheta bzw. G := det(Gij) = det MTheta, gegeben sind. Die
Invertierung der Metriktensoren liefert die kontravarianten Metriktensoren von TasteriskmathX und Tasteriskmathx
M-1Theta = Gij Zi circlemultiplyZj und m-1Theta = gij Zi circlemultiplyZj. (3.36)
Die Differenz der Linienquadrate delta := (ds2 -dS2) wird als Verzerrungsmaß angesehen und
f¨ zur Einf¨ des lokalen Verzerrungstensors
ETheta := 12 (mTheta -MTheta) = 12 (gij -Gij) Zi circlemultiplyZj = 12 (FTTheta FTheta -KTTheta KTheta). (3.37)
48 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
3.2.2.2 Variationen des lokalen Verzerrungstensors
Die in den letzten Abschnitten diskutierte Variation der Abbildungen tildewide und tildewide f¨ auch
zu einer Ver¨ der eingef¨ lokalen Metrik- und Verzerrungstensoren, d.h. es gilt
deltaMTheta = deltaGij Zi circlemultiplyZj = (deltaGi · Gj + Gi · deltaGj) Zi circlemultiplyZj = 2 sym (KTTheta deltaKTheta), (3.38)
deltamTheta = deltagij Zi circlemultiplyZj = (deltagi · gj + gi · deltagj) Zi circlemultiplyZj = 2 sym (FTTheta deltaFTheta). (3.39)
Damit gilt f¨ den lokalen Verzerrungsvariationstensor DTheta := deltaETheta
deltaETheta = 12 (deltamTheta -deltaMTheta) = 12 (deltagij -deltaGij) Zi circlemultiplyZj = sym (FTTheta deltaFTheta -KTTheta deltaKTheta). (3.40)
Hierbei bezeichnet sym die symmetrische Erg¨ , d.h. sym A = (A + AT )/2.
Die zweiten Variationen der lokalen Metrik- und Verzerrungstensoren ergeben sich zu
delta2MTheta = delta2Gij Zi circlemultiplyZj = 2 sym (KTTheta delta2KTheta + deltaKTTheta deltaKTheta), (3.41)
delta2mTheta = delta2gij Zi circlemultiplyZj = 2 sym (FTTheta delta2FTheta + deltaFTTheta deltaFTheta) (3.42)
sowie f¨ die zweite Variation des lokalen Verzerrungstensors zu
2DTheta := delta2ETheta = 1
2 (delta
2mTheta -delta2MTheta) = 1
2 (delta
2gij -delta2Gij) Zi circlemultiplyZj
= sym (FTTheta delta2FTheta + deltaFTTheta deltaFTheta -KTTheta delta2KTheta -deltaKTTheta deltaKTheta). (3.43)
F¨ die Definition der Verzerrungen wird die Differenz der kovarianten Metrikkoeffizienten
herangezogen. F¨ die Verzerrungsvariationen ist damit die Differenz der variierten kova-
rianten Metrikkoeffizienten von zentraler Bedeutung. Hierbei ist zu beachten, daß die ma-
thematische Struktur symmetrisch ist, d.h. keine der Abbildungen tildewide bzw. tildewide gegen¨ er der
anderen ausgezeichnet ist.
3.2.2.3 Auswertung f¨ den Sonderfall der Zeitableitung
Die Zeitableitung ergibt sich als Sonderfall aus der obigen Beziehung und mit ú Theta = 0
erh¨ man den lokalen Verzerrungsgeschwindigkeitstensor dTheta in der Form
dTheta := ú Theta = 12 ú Theta = 12 úij Zi circlemultiplyZj = 12 (úi · gj + gi · új) Zi circlemultiplyZj = sym (FTTheta lTheta), (3.44)
wobei lTheta = ú Theta. Weiterhin kann ein lokaler Spintensor wTheta durch die Beziehung
FTTheta lTheta = dTheta + wTheta = sym (FTTheta lTheta) + skew (FTTheta lTheta)
eingef¨ werden, wobei skew A := (A - AT )/2. Die anderen bekannten Verzerrungsge-
schwindigkeiten leiten sich hieraus ab.
3.2. Verzerrungsmaße 49
3.2.2.4 Anmerkungen zur Bedeutung der lokal-konvektiven Verzerrungen
Mit den eingef¨ lokal-konvektiven Gradienten KTheta der Geometrieabbildung tildewide sowie FTheta
der Deformationsabbildung tildewide und den jeweils zugeh¨ igen Variationen sind die grundlegen-
den kinematischen Gr¨ en der Kontinuumsmechanik gegeben. Alle weiteren kinematischen
Gr¨ en k¨ hieraus abgeleitet werden.
Zur Beschreibung der geometrischen Verzerrungen sind die lokal-konvektiven Metriktensoren
MTheta und mTheta sowie der lokal-konvektive Verzerrungstensor ETheta definiert worden. Die Varia-
tionen dieser Gr¨ en k¨ aus den Variationen der Grundabbildungen abgeleitet werden.
In der klassischen Kontinuumsmechanik wird der Modifikation der unverformten Geometrie
keine Beachtung geschenkt und die Ver¨ der Verzerrungen wird (fast ausschließlich)
mit der Ver¨ ung der verformten Struktur gleichgesetzt. Es zeigt sich jedoch, daß eine
Formulierung bzgl. der Grundabbildungen bzw. bzgl. der Metriktensoren und deren Variation
wegen der unterschiedlichen Behandlung von Referenz- und Momentankonfiguration von
Vorteil ist.
F¨ die weitere Darstellung der Kontinuumsmechanik reicht die alleinige Betrachtung der
Verzerrungstensoren und ihrer Variationen nicht aus. Jeder zweistufige Tensor kann in Form
einer Polaren Zerlegung angegeben werden.
Auf dieser Grundlage werden verschiedene Darstellungsformen (reduzierte Formen), z.B. in
Abh¨ igkeit von den Invarianten der Verzerrungstensoren, f¨ die Materialgesetze abgelei-
tet. Von zentraler Bedeutung ist hierbei das Prinzip der materiellen Objektivit¨ , welches die
Unabh¨ igkeit physikalischer Aussagen von ¨ erlagerten Starrk¨ perbewegungen verlangt.
Die weiteren Abschnitte dieses Kapitels f¨ zun¨ hst die Elemente der Kontinuumsme-
chanik auf dem lokalen Parameterraum ein, d.h. s¨ tliche Definitionen werden in lokal-
konvektiver Form gegeben. Ebenfalls werden alle Variationen zun¨ hst lokal-konvektiv an-
gegeben. Erst danach werden die materiellen und r¨ hen Darstellungsweisen durch
Vorw¨ tstransformation abgeleitet. Die bezogenen Darstellungen sowie Details der Herlei-
tungen sind im Anhang angegeben.
Im Anhang A.4 sind ebenfalls Hinweise zur Variation transformierter Gr¨ en enthalten. Es
zeigt sich jedoch, daß s¨ tliche Beziehungen ohne dieses Vorgehen herzuleiten sind.
50 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
3.2.3 Eigenwerte und Eigenvektoren der Verzerrungstensoren
Die physikalischen Gr¨ en k¨ im Rahmen einer Spektralzerlegung durch die Eigenwerte
und die Eigenvektoren der Verzerrungen, ggfs. in reduzierten Formen, dargestellt werden.
Die notwendigen Herleitungen in der lokal-konvektiven Form sind hier aufgef¨ Hinweise
zu den bezogenen Formen sowie den Variationen finden sich im Kapitel A.4.4 des Anhanges.
3.2.3.1 Das Eigenwertproblem f¨ die lokal-konvektiven Verzerrungen
Zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren ist ein allgemeines Eigenwertproblem
f¨ den lokalen Verzerrungstensor ETheta zu l¨ Die Hauptdehnungen ?i und -richtungen
YTheta,i von ETheta k¨ durch L¨ von
ETheta YTheta,i = ?i MTheta YTheta,i (i = 1,2,3) (3.45)
bestimmt werden. Die Vormultiplikation mit M-1Theta liefert nach kurzer Rechnung ein spezielles
Eigenwertproblem
(BTheta -lambda2i 1Theta) YTheta,i = 0 (i = 1,2,3) (3.46)
f¨ die Eigenwerte lambda2i := 1 + 2 ?i des gemischtvarianten Tensors
BTheta := M-1Theta mTheta = K-1Theta (FTheta K-1Theta )T FTheta = Gij gjk Zi circlemultiplyZk. (3.47)
Die Hauptwerte lambda2i eines Eigenwertproblems mit Determinante det(BTheta -lambda 1Theta) = 0 ergeben
sich aus der L¨ des charakteristischen Polynoms lambda6i - I lambda4i + I lambda2i - II = 0, wobei die
Invarianten durch
I = lambda21 + lambda22 + lambda23, I = lambda21 lambda22 + lambda21 lambda23 + lambda22 lambda23 und II = lambda21 lambda22 lambda23
gegeben sind.
Der Tensor BTheta stellt die zentrale Verzerrungsgr¨ e f¨ die weiteren Betrachtungen dar.
Dieser gemischtvariante Tensor soll als lokaler Hauptverzerrungstensor bezeichnet werden.
Eine wichtige Beobachtung ist, daß alle bisher eingef¨ Gr¨ en wie KTheta,FTheta,MTheta,mTheta
und ETheta sowie BTheta geometrisch motiviert sind. Der weiteren Abschnitte werden jedoch zeigen,
daß nur BTheta und die zugeh¨ igen materiellen und r¨ hen Formen in der Materialtheorie
verwendet werden. Hinweise auf die bezogenen Formen finden sich im Abschnitt A.4.4.
3.2.3.2 Variation der Invarianten
Mit den Rechenregeln f¨ die Ableitung der Invarianten gilt (siehe Seite 183)
partialdiffI
partialdiffBTheta = 1Theta,
partialdiffI
partialdiffBTheta = I 1Theta -B
T
Theta und
partialdiffII
partialdiffBTheta = III B
-T
Theta . (3.48)
Die zweite Ableitung der ersten Invarianten verschwindet und f¨ die weiteren zweiten Ab-
leitungen erh¨ man (siehe Abschnitt A.4.4.4) die Beziehungen
partialdiff2I
partialdiffBTheta partialdiffBTheta = 1Theta circlemultiply1Theta -IBTheta und
partialdiff2II
partialdiffBTheta partialdiffBTheta = III (B
-T
Theta circlemultiplyB
-T
Theta -IB-1Theta ). (3.49)
3.2. Verzerrungsmaße 51
3.2.4 Variation von Funktionen des lokalen Verzerrungsmaßes
In Abschnitt 3.4 werden die Materialgesetze eingef¨ die Spannungen und Verzerrungen
durch materialspezifische Abh¨ igkeiten miteinander verkn¨ Hierf¨ werden die Ab-
leitungen skalar- und tensorwertiger Gr¨ en (Freie Energiefunktion, Spannungstensor) nach
zweistufigen Tensoren (Verzerrungstensor) ben¨ igt. Zur Vorbereitung dient die Diskussion
der geometrischen Aspekte der Ableitungsregeln in Verbindung mit der Transformation ¨ ui-
valenter Gr¨ en zwischen den Konfigurationen. Die Beweise sind im Anhang A enthalten.
Bei den nachfolgenden Ableitungen werden mehrere zwei- bzw. vierstufige Tensoren ein-
gef¨ die an dieser Stelle ausschließlich hinsichtlich ihrer geometrischen Eigenschaften
diskutiert werden. Die Notation lehnt sich jedoch zur Vereinfachung der Schreibweise und
zur Erleichterung des Verst¨ an den sp¨ eren Gebrauch an. Hinweise hierzu werden
¨ er die Fußnoten gegeben.
3.2.4.1 Vorbemerkungen
Im Rahmen der klassischen Kontinuumsmechanik, die sich auf die Beschreibung der physi-
kalischen Ph¨ mene infolge von Deformationen bei konstanter Geometrie beschr¨ t, wird
nur die Ver¨ der deformierten Metrik betrachtet. Aus diesem Grunde werden oftmals
die Ableitungen von Energiefunktionen bzw. Spannungen nach den Verzerrungen mit denen
nach der deformierten Metrik gleichgesetzt, d.h. man findet Aussagen wie
tildewideS = partialdiffPsi
partialdiffEX = 2
partialdiffPsi
partialdiffC,
tildewideCX = partialdiffPsi
partialdiffEX partialdiffEX = 4
partialdiff2Psi
partialdiffCpartialdiffC,
tildewideT = partialdiffPsi
partialdiffEx = 2
partialdiffPsi
partialdiffg ,
tildewideCx = partialdiffPsi
partialdiffEx partialdiffEx = 4
partialdiff2Psi
partialdiffgpartialdiffg.
Diese Beziehungen sind bei der vorliegenden erweiterten Betrachtung nicht mehr uneinge-
schr¨ t g¨ und m¨ n unter Einbeziehung einer m¨ lichen Ver¨ ng der undefor-
mierten Metrik ersetzt werden.
3.2.4.2 Variationen skalarwertiger Funktionen im Parameterraum
Eine skalarwertige Funktion Psi = PsiTheta(ETheta(Theta)) des lokal-konvektiven Verzerrungstensors ETheta
wird betrachtet.2 Diese funktionale Abh¨ igkeit kann weiter aufgel¨ werden und (ohne
Einf¨ neuer Abbildungsbezeichnungen) gilt
Psi = PsiTheta(ETheta) = PsiTheta(MTheta,mTheta) = PsiTheta(KTheta,FTheta) = PsiTheta(GKTheta,gFTheta).
Die Notwendigkeit der nachfolgenden Untersuchungen ergibt sich daraus, daß die Funktion
Psi i.d.R. durch ETheta bestimmt wird, aber MTheta und mTheta (bzw. noch fundamentaler KTheta und FTheta)
die zentralen geometrischen Gr¨ en sind. Jede Variation muß damit auf deltamTheta und deltaMTheta, d.h.
auf deltaKTheta,deltaFTheta sowie letztendlich auf deltatildewide und deltatildewide, zur¨ kgef¨ werden.
2Die Gr¨oße PsiTheta stellt die massenspezifische freie Energiefunktion dar, die im Fall isothermer Hyperelasti-
zit¨ der massenspezifischen Form¨ erungsenergie WTheta entspricht. In diesem Fall ist dann ETheta = PsiTheta = WTheta,
wobei ETheta die innere Energie ist. Die gesamte Energie des K¨ ers ist ¨ er E = integraltextT
Theta
rhoTheta ETheta dVTheta bestimmt,
wobei rhoTheta die Massendichte im Parameterraum ist, siehe auch die Abschnitte 3.5.1 und A.3.7.
52 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
An dieser Stelle werden nur die Variationen von Psi nach den lokal-konvektiven Metriktensoren
mTheta und MTheta betrachtet. Weiterf¨ Hinweise zur Abh¨ igkeit von den Gradientenab-
bildungen in der Form PsiTheta(KTheta,FTheta) bzw. PsiTheta(GKTheta,gFTheta) finden sich im Anhang A.5.
Die erste Variation der lokalen Abbildung Psi = PsiTheta(ETheta) = PsiTheta(MTheta,mTheta) lautet
deltaPsi = partialdiffPsipartialdiffM
Theta
: deltaMTheta + partialdiffPsipartialdiffm
Theta
: deltamTheta. (3.50)
Die auftretenden zweistufigen, symmetrischen, kontravarianten Tensoren werden dabei mit
tildewideRTheta := 2 partialdiffPsi
partialdiffMTheta und
tildewideSTheta := 2 partialdiffPsi
partialdiffmTheta (3.51)
bezeichnet. Der Tensor tildewideTheta stellt den auf ein Massenelement bezogenen 2. lokalen Span-
nungstensor STheta dar, d.h. STheta = rhoTheta tildewideTheta. Der Tensor tildewideTheta kann als ¨ alent zu tildewideTheta betrachtet
werden, da er durch eine Ableitung nach der undeformierten Struktur anstelle der defor-
mierten Struktur entsteht. Die Zusammenh¨ e zwischen den Tensoren werden ausf¨ h
in Abschnitt 3.3 diskutiert. Damit kann die erste Variation von Psi auch durch
deltaPsi = tildewideTheta : 12 deltaMTheta + tildewideTheta : 12 deltamTheta = tildewideTheta : KTTheta deltaKTheta + tildewideTheta : FTTheta deltaFTheta (3.52)
beschrieben werden. Die letzte Umformung ergibt sich aus der Symmetrie von tildewideTheta und tildewideTheta.
Die obige Ableitung zeigt, daß die Ableitungen der Funktion Psi nach den kovarianten Me-
trikkoeffizienten Gij und gij der unverformten und der verformten Konfiguration bestimmt
werden m¨ n. Im Anhang werden die zugeh¨ igen bezogenen Darstellungen angegeben.
Eine weitere Variation von deltaPsi gem¨ Gleichung (3.50) liefert
delta2Psi = deltaMTheta : partialdiff
2Psi
partialdiffMTheta partialdiffMTheta : deltaMTheta + deltaMTheta :
partialdiff2Psi
partialdiffMTheta partialdiffmTheta : deltamTheta +
partialdiffPsi
partialdiffMTheta : delta
2MTheta
+ deltamTheta : partialdiff
2Psi
partialdiffmTheta partialdiffmTheta : deltamTheta + deltamTheta :
partialdiff2Psi
partialdiffmTheta partialdiffMTheta : deltaMTheta +
partialdiffPsi
partialdiffmTheta : delta
2mTheta.
Hierbei entstehen vier unterschiedliche vierstufige Tensoren3 tildewideTheta, tildewideTheta, tildewideTheta und tildewideTheta, d.h.
tildewideATheta := 4 partialdiff2Psi
partialdiffMTheta partialdiffMTheta = 2
partialdiff tildewideTheta
partialdiffMTheta, (3.53)
tildewideBTheta := 4 partialdiff2Psi
partialdiffMTheta partialdiffmTheta = 2
partialdiff tildewideTheta
partialdiffmTheta, (3.54)
tildewideCTheta := 4 partialdiff2Psi
partialdiffmTheta partialdiffmTheta = 2
partialdifftildewideTheta
partialdiffmTheta, (3.55)
tildewideDTheta := 4 partialdiff2Psi
partialdiffmTheta partialdiffMTheta = 2
partialdifftildewideTheta
partialdiffMTheta. (3.56)
Damit ergibt sich die zweite Variation zu
delta2Psi · 4 = deltaMTheta : tildewideTheta : deltaMTheta + deltaMTheta : tildewideTheta : deltamTheta + 2 tildewideTheta : delta2MTheta
+ deltamTheta : tildewideTheta : deltaMTheta + deltamTheta : tildewideTheta : deltamTheta + 2 tildewideTheta : delta2mTheta. (3.57)
3Es treten insgesamt vier lokale Materialtensoren ATheta, BTheta, CTheta, DTheta auf, d.h. z.B. gilt CTheta = rhoTheta tildewideCTheta.
3.2. Verzerrungsmaße 53
3.2.4.3 Hinweise zur physikalischen Bedeutung
Diese abgeleiteten Beziehungen f¨ die Variation einer skalarwertigen Funktion sind fun-
damental f¨ die lokal-konvektive Betrachtungsweise und dar¨ er hinaus f¨ die gesamte
Kontinuumsmechanik und die numerischen Methoden. In den folgenden Kapiteln wird die-
se Struktur entsprechend der physikalischen Bedeutung (massenspezifische freie Energie-
funktion) der Funktion PsiTheta sowie der speziellen Wahl des Variationsoperators delta wiederholt
diskutiert. Betrachtet werden die Zeitableitung, die Linearisierung nach dem Verschiebungs-
zuwachs im Rahmen der Strukturanalyse sowie die partiellen Variationen im Rahmen der
Sensitivit¨ sanalyse.
Hierbei sind insbesondere die zugeh¨ igen materiellen und r¨ hen Darstellungsformen
von Bedeutung, die im Anhang beschrieben sind.
Die genannten Variationen erfordern die Kenntnis der zweistufigen Tensoren tildewideTheta und tildewideTheta so-
wie der vierstufigen Tensoren tildewideTheta, tildewideTheta, tildewideTheta, tildewideTheta. Eine erheblich Reduktion der Anzahl der be-
reitzustellenden Tensoren ist bei Kenntnis der genauen funktionalen Abh¨ igkeiten m¨ lich.
In der Materialtheorie werden durch das Prinzip der materiellen Objektivit¨ sogenannte re-
duzierte Formen der Materialgleichungen hergeleitet. Durch die Ausnutzung von Symmetrie-
eigenschaften, z.B. der Isotropie, kann sich eine ausschließliche Abh¨ igkeit von BTheta bzw.
den Invarianten I,I ,II von BTheta ergeben.
3.2.4.4 Beziehung zwischen Geometrie- und Deformationsvariation
F¨ die weitere Betrachtung wird die Abh¨ igkeit der Funktion Psi vom lokal-konvektiven
Tensor BTheta vorausgesetzt. Die erste und zweite Variation von Psi ergibt somit zu
2 · deltaPsi = tildewideTheta : deltaBTheta bzw. 4 · delta2Psi = deltaBTheta : tildewideTheta : deltaBTheta + 2 tildewideTheta : delta2BTheta, (3.58)
wobei die obigen zwei- bzw. vierstufigen Tensoren durch
tildewideATheta := 2 partialdiffPsi
partialdiffBTheta und
tildewideETheta := 4 partialdiff2Psi
partialdiffBTheta partialdiffBTheta (3.59)
gegeben sind.
Diese Darstellung kann durch Anwendung der Kettenregel mit den Variationen von MTheta und
mTheta in Beziehung gesetzt werden. Hierzu sind die Ableitungen von BTheta nach mTheta und MTheta in
der Form partialdiffB
Theta
partialdiffmTheta sowie
partialdiffBTheta
partialdiffMTheta = -
partialdiffBTheta
partialdiffmTheta B
T
Theta (3.60)
bereitzustellen. Eine detaillierte Berechnung der genannten Ableitungen ist im Anhang A.2
auf Seite 165 enthalten.
F¨ die Reduktion der erforderlichen zwei- und vierstufigen Tensoren k¨ die Beziehungen
zwischen den Ableitungen von BTheta nach mTheta bzw. MTheta ausgenutzt werden. F¨ die erste
Variation von BTheta gilt
deltaBTheta = partialdiffBThetapartialdiffm
Theta
: deltamTheta + partialdiffBThetapartialdiffM
Theta
: deltaMTheta = partialdiffBThetapartialdiffm
Theta
: parenleftbigdeltamTheta -BTTheta deltaMThetaparenrightbig . (3.61)
54 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
Damit kann die erste Variation von Psi folgendermaßen ausgedr¨ kt werden
2 · deltaPsi = tildewideTheta : deltaBTheta = tildewideTheta : parenleftbigdeltamTheta -BTTheta deltaMThetaparenrightbig . (3.62)
Diese ¨ erlegungen k¨ in analoger Form auch f¨ die zweiten Ableitungen von Psi gem¨
Gleichung (3.57) durchgef¨ werden.
Die aufgef¨ Variationen deltaPsi und delta2Psi geben die allgemeine Struktur f¨ eine beliebige
skalarwertige Funktion (z.B. die Form¨ ngsenergiefunktion) an.
Im Rahmen der Kontinuumsmechanik bzgl. der lokal-konvektiven Betrachtungsweise ist je-
doch insbesondere die erste partielle Variation der Form¨ gsenergiefunktion Psi nach
der lokal-konvektiven Metrik mTheta zur Bestimmung des lokal-konvektiven Spannungstensors
tildewideSTheta sowie dessen erneute Variation von Bedeutung. Diese Thematik behandelt der folgende
Abschnitt.
3.3. Spannungen und Spannungsleistung 55
3.3 Spannungen und Spannungsleistung
In diesem Abschnitt werden die Spannungstensoren der einzelnen Konfigurationen eingef¨
deren Transformationseigenschaften erl¨ ert sowie die Variation diskutiert. Die Darstellung
konzentriert sich zun¨ hst auf die geometrischen Aspekte. Die zugeh¨ igen Materialgesetze
werden im n¨ hsten Abschnitt behandelt.
3.3.1 Definition von Spannungstensoren
Der Ausgangspunkt der Betrachtung ist der Cauchy-Spannungstensor T, der in einem Punkt
x element Omegat definiert ist und die ”wahren“ Spannungen angibt. Durch R¨ ktransformation ent-
stehen weitere kontravariante Spannungstensoren, die in absoluter Tensornotation bzw. in
ihrer konvektiven Darstellung in der nachfolgenden Tabelle angegeben sind.
Spannungstensor Beziehungen arrowdbldown konvektiv Beziehungen arrowdblup
Cauchy T = rhox tildewideij gi circlemultiplygj = J-1phi1 FTheta STheta FTTheta
materieller Kirchhoff TX = J T = rhoX tildewideij gi circlemultiplygj = J-1psi FTheta STheta FTTheta
1. Piola-Kirchhoff P = J T F-TX = rhoX tildewideij gi circlemultiplyGj = J-1psi FTheta STheta KTTheta
2. Piola-Kirchhoff S = J F-1X T F-TX = rhoX tildewideij Gi circlemultiplyGj = J-1psi KTheta STheta KTTheta
lokaler Kirchhoff TTheta = Jphi1 T = rhoTheta tildewideij gi circlemultiplygj = FTheta STheta FTTheta
1. Lokaler PTheta = Jphi1 T F-TTheta = rhoTheta tildewideij gi circlemultiplyZj = FTheta STheta
2. Lokaler STheta = Jphi1 F-1Theta T F-TTheta = rhoTheta tildewideij Zi circlemultiplyZj
F¨ die kontravarianten Koeffizienten Tijx ,TijX und TijTheta gelten die Beziehungen
TijTheta = rhoTheta tildewideij und TijX = rhoX tildewideij sowie Tijx = rhox tildewideij.
Tabelle 3.2: Spannungstensoren
Die lokalen Spannungstensoren PTheta,STheta ergeben sich durch R¨ ktransformationen (pull-back)
des Cauchy-Spannungstensors T auf den lokalen Parameterraum TTheta. Damit bilden sie ein
Analogon zu den Piola-Kirchhoff-Spannungstensoren P und S, die eine R¨ ktransformation
auf den Tangentialraum TX beschreiben. Die Abh¨ igkeiten der Spannungstensoren vom
Cauchy-Spannungstensor sind in der Spalte ’Beziehungen arrowdbldown’ aufgef¨
Der 2. Lokale-Spannungstensor stellt die vollst¨ e R¨ ktransformation von T dar. Ent-
sprechend der Programmatik dieser Arbeit, d.h. der unabh¨ igen Definition aller geometri-
schen und physikalischen Gr¨ en auf dem Parameterraum, wird STheta die Grundlage der wei-
teren Darstellung sein. Damit k¨ alle weiteren Spannungstensoren aus einer Vorw¨ ts-
transformation (push-forward) von STheta erkl¨ t werden. Nach kurzen Umformungen erh¨
man die Zusammenh¨ e der Spalte ’Beziehungen arrowdblup’.
56 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
Aus der obigen Tabelle erkennt man, daß die Koeffizienten tildewideij in jeder Darstellung un-
ver¨ erhalten bleiben. In Abschnitt 3.4 werden diese Spannungskoeffizienten ¨ er das
Materialgesetz hergeleitet. F¨ die weitere Untersuchung ist der Bezug der Spannungsten-
soren auf die Massendichte der einzelnen Konfigurationen vorteilhaft. Diese modifizierten
Spannungstensoren werden durch eine Tilde gekennzeichnet, d.h. es gilt z.B. T = rhox tildewide. Im
Falle einer Potentialfunktion Psi ergeben sich die kontravarianten Spannungskoeffizienten zu
tildewideTij = 2 partialdiffPsi
partialdiffgij . (3.63)
Durch die Determinanten J,Jphi1,Jpsi werden die Massedichten rhoTheta, rhoX, rhox der einzelnen Konfi-
gurationen bei Annahme der Massenkonstanz ineinander ¨ erf¨ Die Multiplikation der
Spannungstensoren mit KTheta,FTheta und FX sowie mit den Inversen transformiert die Basen
ineinander. Hierbei sind alle sinnvollen M¨ lichkeiten aufgef¨ worden.
Die oben angegebenen Spannungstensoren beschreiben die lokale Beanspruchung infolge ei-
ner Deformation bei konstanter Geometrie des K¨ pers. Dar¨ erhinaus k¨ aber auch
Spannungstensoren angegeben werden, welche sich aus einer Design¨ bei konstanter
Deformation ergeben. In diesen F¨ ergeben sich die Spannungstensoren nicht aus der Ab-
leitung einer Potentialfunktion nach der verformten Metrik sondern nach der unverformten
Metrik, d.h. die kontravarianten Koeffizienten lauten
tildewideRij = 2 partialdiffPsi
partialdiffGij (3.64)
und damit gilt
RTheta = rhoTheta tildewideTheta = rhoTheta tildewideij Zi circlemultiplyZj = rhoTheta partialdiffPsipartialdiffM
Theta
. (3.65)
Analog zur Tabelle 3.2 k¨ mehrere Spannungstensoren angegeben werden, die in den
Koeffizienten ¨ ereinstimmen aber unterschiedliche Basen besitzen. Die Interpretation ist
entsprechend derjenigen der ¨ hen Spannungstensoren m¨ lich.
3.3.2 Variation von Spannungstensoren
Die Variation der Spannungen kann auf der Grundlage der in Tabelle 3.2 gegebenen Bezie-
hungen hergeleitet werden und setzt sich aus den Ableitungen des lokal-konvektiven Span-
nungstensors tildewideTheta und den zugeh¨ igen geometrischen Gr¨ en zusammen. Eine ¨ ersicht und
detaillierte Informationen gibt Anhang A.5. An dieser Stelle seien kurz die Endergebnisse
der lokal-konvektiven Beschreibung angegeben, d.h.
deltatildewideTheta = tildewideTheta : deltaFTheta + tildewideTheta : deltaKTheta (3.66)
deltatildewideTheta = tildewideTheta : FTTheta deltaFTheta + tildewideTheta : KTTheta deltaKTheta. (3.67)
Die Beziehungen zwischen den vierstufigen Tensoren sowie ¨ uivalente bezogene Darstellun-
gen sind im Anhang angegeben.
3.3. Spannungen und Spannungsleistung 57
3.3.3 Oberfl¨ hen- und Volumenspannungen
Die oben eingef¨ Spannungstensoren k¨ aus der Darstellung der gesamten Ober-
fl¨ henkraft des K¨ pers Ft ¨ er die Oberfl¨ henspannungen hergeleitet werden, d.h. es gilt
Ft =
integraldisplay
partialdiffOmegat
tx(x,Nx) dAx =
integraldisplay
partialdiffOmegaopenbullet
tX(X,NX) dAX =
integraldisplay
partialdiffTTheta
tTheta(Theta,NTheta) dATheta.
F¨ die einzelnen Darstellungsweisen werden die eingepr¨ ten Oberfl¨ henspannungen tx,tX
und tTheta ¨ er das Cauchy-Theorem mit den ¨ eren Normalen (Nx,NX und NTheta) und den
Spannungstensoren (T,P bzw. PTheta) verbunden, d.h.
tx = tx = T Nx universal x element Omegat, (3.68)
tX = tX = P NX universal X element Omegaopenbullet , (3.69)
tTheta = tTheta = PTheta NTheta universal Theta element TTheta. (3.70)
Die Beziehungen der Tabelle 3.2 erh¨ man mit den Transformationsbeziehungen f¨ die
Fl¨ henelemente nach kurzer Rechnung. Die symmetrischen Tensoren S und STheta stellen da-
bei die vollst¨ e R¨ ktransformation auf TX bzw. TTheta dar. Ihre Bedeutung ergibt sich
aus theoretischen und numerischen Vereinfachungen z.B. im Hinblick auf arbeitskonforme
Paarungen von Spannungen und Verzerrungen.
Die eingepr¨ ten Volumenspannungen ergeben die gesamte Kraft Fb, d.h.
Fb =
integraldisplay
Omegat
rhox bx(x) dVx =
integraldisplay
Omegaopenbullet
rhoX bX(X) dVX =
integraldisplay
TTheta
rhoTheta bTheta(Theta) dVTheta.
Die eingepr¨ ten Volumenkraftdichten der einzelnen Konfigurationen k¨ mit Hilfe der
Transformation der Volumenelemente sowie der Massendichtefunktionen ineinander ¨ erf¨
werden. Hierbei wird die Massenkonstanz w¨ end der Deformation angenommen.
F¨ die Spannungstensoren wie z.B. RTheta, welche sich aus einer Geometrievariation herlei-
ten, ist keine dem Cauchy-Theorem (siehe Gleichungen (3.68) – (3.70)) ¨ uivalente Aussage
bekannt.
Im Rahmen dieser Arbeit werden die Oberfl¨ henspannungen als design- und deformations-
unabh¨ ig angesehen, d.h. die Variationen von Ft und Fb verschwinden.
3.3.4 Einf¨ ng der Spannungsleistung
Die Spannungsleistung eines thermomechanischen Systems wird in Abschnitt 3.5 eingef¨
Zun¨ hst sollen die Transformationsbeziehungen zwischen den Darstellungsformen betrach-
tet werden. Man spricht bei der Wahl zugeh¨ iger Spannungen und Verzerrungsraten auch
von ”arbeitskonformen Paarungen“. In Abschnitt 3.2.4 wurden hierf¨ bereits Vorbereitun-
gen getroffen. F¨ die gesamte Spannungsleistung Pges folgt
Pges =
integraldisplay
Omegat
Px dVx =
integraldisplay
Omegaopenbullet
PX dVX =
integraldisplay
TTheta
PTheta dVTheta.
Einzelheiten der Herleitung sowie weitere Hinweise findet man im Anhang A.5.3.
58 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
F¨ die volumenspezifischen Spannungsleistungen gelten die Beziehungen
PTheta = rhoTheta tildewideTheta = rhoTheta tildewideTheta : GRADTheta eta = rhoTheta tildewideTheta : FTTheta GRADTheta eta (3.71)
PX = rhoX tildewideX = rhoX tildewide : GradX eta = rhoX tildewide : FTX GradX eta (3.72)
Px = rhox tildewidex = rhox tildewide : gradx eta = rhox tildewide : FTx gradx eta. (3.73)
Hierbei bezeichnen tildewide, tildewidex, tildewideX und tildewideTheta die massenspezifischen Spannungsleistungen mit
tildewideP = tildewidePTheta = tildewidePTheta : GRADTheta eta = tildewideSTheta : FTTheta GRADTheta eta (3.74)
= tildewideX = tildewide : GradX eta = tildewide : FTX GradX eta (3.75)
= tildewidex = tildewide : gradx eta = tildewide : FTx gradx eta. (3.76)
Mit den Definitionen Px = rhox tildewidex, PX = rhoX tildewideX und PTheta = rhoTheta tildewideTheta gilt f¨ das Integral
Pges =
integraldisplay
Omegat
tildewidePx dMx =
integraldisplay
Omegaopenbullet
tildewidePX dMX =
integraldisplay
TTheta
tildewidePTheta dMTheta.
3.3.5 Variation der Spannungsleistung
Die Variation der Spannungen sowie der Spannungsleistung ist f¨ die Behandlung der Sensi-
tivit¨ en von zentraler Bedeutung und soll an dieser Stelle ausf¨ h dokumentiert werden.
3.3.5.1 Struktur der Beziehungen
Die Variation der Spannungen und der Spannungsleistung kann vorteilhaft an der massen-
spezifischen Darstellung erl¨ ert werden, d.h. sie setzt sich aus der Variation von rhoTheta sowie
der Variation der Anteile tildewidex, tildewideX und tildewideTheta zusammen. Mit rhoTheta = rhoX Jpsi und deltarhoX = 0 sowie
deltaJpsi = Jpsi Div deltaX folgt deltarhoTheta = rhoTheta Div deltaX. Damit gilt
deltaPTheta = delta(rhoTheta tildewideTheta) = deltarhoTheta tildewideTheta + rhoTheta delta tildewideTheta = rhoTheta tildewideTheta Div deltaX + rhoTheta delta tildewideTheta
und die Variation der gesamten Spannungsleistung ergibt
deltaPges =
integraldisplay
TTheta
bracketleftBig
PTheta Div deltaX + rhoTheta delta tildewideTheta
bracketrightBig
dVTheta
=
integraldisplay
Omegaopenbullet
bracketleftBig
PX Div deltaX + rhoX delta tildewideX
bracketrightBig
dVX
=
integraldisplay
Omegat
bracketleftBig
Px Div deltaX + rhox delta tildewidex
bracketrightBig
dVx.
Hierbei wird in allen Darstellungen der materielle Divergenzoperator Div auf die Geome-
trievariation deltaX angewendet. Die Darstellungen f¨ PTheta,PX,Px k¨ den Gleichungen
(3.71)–(3.73) entnommen werden, siehe auch die Bemerkungen in Abschnitt 3.2.4 zur Varia-
tion integraler Gr¨ en.
3.3. Spannungen und Spannungsleistung 59
3.3.5.2 Variation der massenspezifischen Spannungsleistung
Die Variation der massenspezifischen Spannungsleistung delta tildewideTheta der lokal-konvektiven Darstel-
lung kann f¨ die funktionale Abh¨ igkeit von den Metriktensoren mTheta und MTheta bzw. die
Abh¨ igkeit von den Tangenten KTheta und FTheta hergeleitet werden, siehe Anhang A.5.4 f¨
weitere Hinweise. Im Abschnitt 3.3.2 wurden die Variationen der Spannungen angegeben.
Mit den lokal-konvektiven Materialtensoren tildewideTheta und tildewideTheta ergibt sich aus der Abh¨ igkeit von
KTheta und FTheta die Beziehung
delta tildewideTheta = GRADTheta eta : deltatildewideTheta (3.77)
= GRADTheta eta :
braceleftBigtildewide
FTheta : GRADTheta deltax + tildewideTheta : GRADTheta deltaX
bracerightBig
(3.78)
= GRADTheta eta :
braceleftBig
(tildewideTheta + tildewideTheta) : GRADTheta deltaX + tildewideTheta : GRADTheta deltau
bracerightBig
. (3.79)
Die Transformation von delta tildewideTheta in materielle und r¨ he Darstellungen ist durch die bishe-
rigen Teilergebnisse leicht m¨ lich und ergibt
delta tildewideTheta = GRADTheta eta :
braceleftBig
(tildewideTheta + tildewideTheta) : GRADTheta deltaX + tildewideTheta : GRADTheta deltau
bracerightBig
(3.80)
= GradX eta :
braceleftBig
(tildewideX + tildewideX) : GradX deltaX + tildewideX : GradX deltau
bracerightBig
(3.81)
= gradx eta :
braceleftBig
(tildewidex + tildewidex) : gradx deltaX + tildewidex : gradx deltau
bracerightBig
. (3.82)
Eine ¨ uivalente Darstellung ergibt sich f¨ die Abh¨ igkeit von mTheta und MTheta, d.h. mit
tildewidePTheta = FTheta tildewideSTheta und den lokal-konvektiven Materialtensoren tildewideCTheta und tildewideDTheta gilt
delta tildewideTheta = FTTheta GRADTheta eta :
bracketleftBigtildewide
CTheta : deltamTheta + tildewideTheta : deltaMTheta
bracketrightBig
+ tildewideTheta : GRADTTheta deltax GRADTheta eta. (3.83)
¨Aquivalente materielle bzw. r¨aumliche Beziehungen erh¨alt man mit den Materialtensoren
tildewideCTheta, tildewideDTheta und tildewideCX, tildewideDX sowie tildewideCx, tildewideDx
delta tildewideTheta = FTTheta GRADTheta eta : bracketleftbigtildewideTheta : deltamTheta + tildewideTheta : deltaMTheta bracketrightbig + tildewideTheta : GRADTTheta deltax GRADTheta eta,
= FTX GradX eta : bracketleftbigtildewideX : tildewideasteriskmath(deltamTheta) + tildewideX : tildewideasteriskmath(deltaMTheta)bracketrightbig + tildewide : GradTX deltax GradX eta,
= FTx gradx eta : bracketleftbigtildewidex : tildewideasteriskmath(deltamTheta) + tildewidex : tildewideasteriskmath(deltaMTheta)bracketrightbig + tildewide : gradTx deltax gradx eta.
Durch Einsetzen der Ergebnisse f¨ die Variation der lokalen Metriktensoren sowie deren
Transformation k¨ weitere Darstellungsformen hergeleitet werden. Dieses gilt insbeson-
dere f¨ die Aufteilung in Anteile partieller Variationen bzgl. Geometrie und Verschiebung.
Auf eine ausf¨ he Auflistung alternativer Formen wird an dieser Stelle verzichtet.
Weiterhin f¨ die Beziehungen (3.60) und (3.61) zu der Beziehung
tildewideCTheta : deltamTheta + tildewideDTheta : deltaMTheta = tildewideCTheta : parenleftbigdeltamTheta -BTTheta deltaMThetaparenrightbig , (3.84)
d.h. es wird nur die Berechnung des lokal-konvektiven Materialtensors tildewideTheta erforderlich.
60 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
Mit diesen Beobachtungen kann somit eine Aufteilung der obigen Variation in die partiellen
Anteile deltau tildewideTheta und deltaX tildewideTheta vorgenommen werden, d.h. es gilt
deltau tildewideTheta = FTTheta GRADTheta eta : tildewideTheta : sym (GRADTTheta x GRADTheta deltau) + tildewideTheta : GRADTTheta deltau GRADTheta eta
= FTX GradX eta : tildewideX : sym (GradTX x GradX deltau) + tildewide : GradTX deltau GradX eta
= FTx gradx eta : tildewidex : sym (gradTx x gradx deltau) + tildewide : gradTx deltau gradx eta
deltaX tildewideTheta = FTTheta GRADTheta eta : tildewideTheta : sym (-GRADTheta u GRADTheta deltaX) + tildewideTheta : GRADTTheta deltaX GRADTheta eta
= FTX GradX eta : tildewideX : sym (-GradX u GradX deltaX) + tildewide : GradTX deltaX GradX eta
= FTx gradx eta : tildewidex : sym (-gradx u gradx deltaX) + tildewide : gradTx deltaX gradx eta
Diese Form der Darstellung ist direkt f¨ die Berechnung der sogenannten tangentialen
Steifigkeiten und tangentialen Sensitivit¨ en zu verwenden, siehe Abschnitt 3.6.
3.4. Materialgesetze 61
3.4 Materialgesetze
Die thermomechanische Materialtheorie ist in der Literatur, siehe z.B. [52, 152, 160], ausf¨
lich dokumentiert und ein reges Forschungsgebiet. Aufgrund der Vielf¨ igkeit der vorhande-
nen Problemklassen sowie der m¨ lichen L¨ sans¨ ze kann an dieser Stelle nur exempla-
risch auf die ver¨ e Darstellung von Materialgesetzen im Rahmen der lokal-konvektiven
Betrachtungsweise hingewiesen werden. Hierzu wird als Modellproblem mit dem kompressi-
blen Neo-Hooke-Material ein hyperelastisches Materialverhalten ausgew¨ .
Das kompressible Neo-Hooke-Material zeigt ein sowohl physikalisch als auch geometrisch
nichtlineares Verhalten auf. Mit den auf Seite 183 eingef¨ Invarianten I,I ,II wird die
freie Energiefunktion in der Form
Psi = ˆ I,I ,II) = 12 µ (I -3) -µln J + 12 lambda ln2 J (3.85)
eingef¨ Hierbei bezeichnen µ und lambda die aus der Elastizit¨ stheorie bekannten Lam´
Konstanten. Mit den obigen Herleitungen k¨ die Spannungstensoren
tildewideSTheta = µ (M-1Theta -m-1Theta ) + lambda ln J m-1Theta
tildewideS = µ (G-1 -C-1) + lambda ln J C-1
tildewideT = µ (b -g-1) + lambda ln J g-1
sowie die Materialtensoren
tildewideCTheta = lambdam-1Theta circlemultiplym-1Theta + 2 (µ -lambdaln J) ITheta
tildewideCX = lambdaC-1 circlemultiplyC-1 + 2 (µ -lambdaln J) IX
tildewideCx = lambdag-1 circlemultiplyg-1 + 2 (µ -lambdaln J) Ix
abgeleitet werden, siehe [180]. Hierbei bezeichnen ITheta,IX,Ix vierstufige Tensoren, siehe An-
hang Seite 162. Die weiteren Tensoren sind bereits eingef¨ worden.
Im Kapitel 5 wird im Rahmen der Detailbetrachtung zur Sensitivit¨ sanalyse ausf¨ h auf
komplexes Materialverhalten mit u.a. Geschichtsabh¨ igkeit und Sch¨ ung eingegangen.
Dar¨ erhinaus wurde die entwickelte Methodik auch auf die Plastizit¨ und Viskoplastizit¨
bei kleinen Verzerrungen und die multiplikative Elastoplastizit¨ angewendet, siehe [167, 40,
227, 226, 225]
62 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
3.5 Bilanz- und Erhaltungss¨ ze
In diesem Abschnitt werden die Bilanz- und Erhaltungss¨ ze der Thermodynamik in der
lokal-konvektiven Betrachtungsweise eingef¨ und durch Lokalisierung werden die f¨ einen
Punkt Theta des Parameterraumes g¨ en lokalen Formenhergeleitet.4
Es wird gezeigt, daß die Variation der integralen Aussagen der lokal-konvektiven Betrach-
tungsweise mit dem Prozeß der Lokalisierung vertauschbar ist, d.h. im Ergebnis identisch
mit der Variation der lokalen Formen. Diese variierten lokalen Formen der lokal-konvektiven
Betrachtungsweise sind eine wesentliche Erweiterung der Kontinuumsmechanik, die f¨ die
weiteren Anwendungen in unterschiedlicher Form ausgen¨ werden k¨
¨Uber die Vorw¨artstransformationen ergeben sich hieraus materielle und r¨aumliche Darstel-
lungsformen der integralen sowie lokalen Aussagen. Die Ableitungen sind knapp gehalten,
da eine grunds¨ zliche Kenntnis der Zusammenh¨ e vorausgesetzt wird.
3.5.1 Massenerhaltung
Im Rahmen dieser Arbeit werden nur solche thermomechanischen Prozesse betrachtet, bei
denen die zeitabh¨ ige Deformation des K¨ pers aus der Referenzkonfiguration in die Mo-
mentankonfiguration die Gesamtmasse nicht ver¨ t. Diese Annahme deckt einen großen
Anwendungsbereich der Kontinuumsmechanik ab. Mit den in Anhang A.3.7 eingef¨
Massenelementen und Massendichten folgt f¨ die Gesamtmasse des K¨ pers
m =
integraldisplay
TTheta
dMTheta =
integraldisplay
TTheta
rhoTheta dVTheta =
integraldisplay
Omegaopenbullet
dMX =
integraldisplay
Omegaopenbullet
rhoX dVX =
integraldisplay
Omegat
dMx =
integraldisplay
Omegat
rhox dVx = konst.
Nach kurzer Rechnung folgt mit den Transformationsbeziehungen der Volumenelemente die
lokal-konvektive Darstellung der ersten bzw. zweiten lokalen Form der Massenerhaltung
rhoTheta = rhox Jphi1 universal Theta element TTheta bzw. úx + rhox div ú = 0 universal Theta element TTheta.
3.5.2 Erhaltungssatz der Bewegungsgr¨ße
Die Bewegungsgr¨ e eines K¨ pers ist durch die Geschwindigkeit aller Massenelemente be-
stimmt, d.h. mit ú = ú (Theta) in der lokal-konvektiven Betrachtungsweise gilt
I :=
integraldisplay
TTheta
rhoTheta ú dVTheta =
integraldisplay
Omegaopenbullet
rhoX ú dVX =
integraldisplay
Omegat
rhox ú dVx. (3.86)
Die lokal-konvektive Form des Erhaltungssatzes der Bewegungsgr¨ e ú = Ft + Fb lautet
DI
Dt =
D
Dt
integraldisplay
TTheta
rhoTheta ú dVTheta =
integraldisplay
partialdiffTTheta
tTheta(Theta,NTheta) dATheta +
integraldisplay
TTheta
bTheta(Theta) dVTheta.
4An dieser Stelle wird der Begriff lokal zweifach verwendet, d.h. im Sinne der lokal-konvektiven Betrach-
tungsweise und weiterhin im Sinne einer punktweisen – im Gegensatz zu einer integralen – Aussage. F¨ eine
integrale Gr¨ A gelte A = integraltextT
Theta
a(Theta) dVTheta = 0. Aus der Stetigkeit von a folgt damit die lokale Beziehung
a = 0 f¨ alle Theta element TTheta. Diese Schlußfolgerung wird Lokalisierung genannt.
3.5. Bilanz- und Erhaltungss¨ ze 63
Mit der Massenerhaltung folgt f¨ die drei Betrachtungsweisen
lokal-konvektiv
integraldisplay
TTheta
rhoTheta ¨ dVTheta =
integraldisplay
partialdiffTTheta
tTheta(Theta,NTheta) dATheta +
integraldisplay
TTheta
bTheta(Theta) dVTheta, (3.87)
materiell
integraldisplay
Omegaopenbullet
rhoX ¨ dVX =
integraldisplay
partialdiffOmegaopenbullet
tX(X,NX) dAX +
integraldisplay
Omegaopenbullet
bX(X) dVX, (3.88)
r¨ h
integraldisplay
Omegat
rhox ¨ dVx =
integraldisplay
partialdiffBx
tx(x,Nx) dAx +
integraldisplay
Omegat
bx(x) dVx. (3.89)
3.5.2.1 Herleitung der dynamischen Feldgleichungen
Durch Einsetzen der Beziehung tTheta = tTheta = PTheta NTheta in die lokal-konvektive Darstellung, An-
wenden des Gauß-Integralsatzes (A.33) sowie durch anschließende Lokalisierung folgt hieraus
die dynamische Feldgleichung in lokal-konvektiver Darstellung bzw. in analoger Form die ma-
teriellen und r¨ hen Aussagen, d.h.
lokal-konvektiv DIV PTheta + rhoTheta (bTheta - ¨) = 0 universalTheta element TTheta, (3.90)
materiell Div P + rhoX (bX - ¨) = 0 universal X element Omegaopenbullet , (3.91)
r¨ h div T + rhox (bx - ¨) = 0 universal x element Omegat. (3.92)
Die obige lokal-konvektive Darstellung (3.90) der dynamischen Feldgleichungen wird an
sp¨ erer Stelle im Rahmen adaptiver Untersuchungen verwendet werden.
3.5.2.2 Variation der dynamischen Feldgleichungen
F¨ die lokal-konvektive Darstellung kann die Variation der dynamischen Feldgleichung pro-
blemlos ermittelt werden. Man erh¨ direkt durch Variation von Gleichung (3.90)
DIV deltaPTheta + deltarhoTheta (bTheta - ¨) + rhoTheta delta(bTheta - ¨) = 0 universal Theta element TTheta. (3.93)
Diese Beziehung stellt den Kern der Variation der Gleichgewichtsbedingungen und somit der
Sensitivit¨ sanalyse dar. Die Herleitung kann auch ¨ er die Variation des Erhaltungssatzes
erfolgen. In diesem Fall werden wiederum das Cauchy-Theorem, der Gauß-Integralsatz und
die Lokalisierung angewendet.
Der Vorteil der lokal-konvektiven Darstellung liegt in der Vertauschbarkeit von Variation
und Divergenz, da der Divergenzoperator DIV konstant ist. Die Variation der Spannungen
wird an dieser Stelle nicht weiter aufgel¨ siehe hierzu Abschnitt A.5.
3.5.2.3 Transformation der variierten dynamischen Feldgleichungen
Zur Bestimmung materieller und r¨ icher Formen werden die oben angegebenen mate-
riellen und r¨ hen Darstellungen des globalen Kr¨ leichgewichts variiert, mit dem
Gauß-Integralsatz umgeschrieben und anschließend einem Lokalisierungsprozeß unterzogen.
Ein zweiter Zugang erfolgt ¨ er die Variation der Divergenzoperatoren, siehe Anhang A.3.3.
Es gilt dann f¨ P sowie T
delta[Div P] = Div deltaP -GradX P GradX deltaX : 1X, (3.94)
delta[div T] = div deltaT -gradx T gradx deltax : 1x. (3.95)
64 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
3.5.3 Weitere Bilanz- und Erhaltungss¨ ze
3.5.3.1 Drehimpulserhaltungssatz
Der Drehimpulserhaltungssatz in der lokal-konvektiven Form lautet
D
Dt
integraldisplay
TTheta
rhoTheta r × ú dVTheta =
integraldisplay
partialdiffTTheta
r ×tTheta(Theta,NTheta) dATheta +
integraldisplay
TTheta
r ×bTheta(Theta) dVTheta.
Analog zur Herleitung der Symmetrie des 2. Piola-Kirchhoff-Spannungstensors S = ST ergibt
sich hieraus die lokale Form STheta = STTheta, d.h. die Symmetrie des 2. Lokalen Spannungstensors.
Die Variation dieser Beziehung ergibt sofort deltaSTheta = deltaSTTheta, d.h. die Symmetrie bleibt bei allen
vollst¨ en Variationen erhalten.
3.5.3.2 1. Hauptsatz der Thermodynamik
Im Bilanzsatz der inneren Energie (1. Hauptsatz der Thermomechanik) wird postuliert, daß
die zeitliche ¨ der inneren Energie U der Summe aus der inneren Spannungsleistung
und der zugef¨ W¨ memenge ist.
Es werden die massenspezifische innere Energie u = ˜(Theta) = nu(X) = nu(x), die massenspe-
zifische innere W¨ mequelle r = ˜(Theta) = r(X) = r(x) und der ¨ ere W¨ meflußvektor
q = qTheta(Theta) = qX(X) = qx(x) eingef¨ Damit gilt dann die integrale Aussage
D
Dt
integraldisplay
TTheta
rhoTheta ˜(Theta) dVTheta =
integraldisplay
TTheta
tildewideSTheta : GRADTheta úxdVTheta +
integraldisplay
TTheta
rhoTheta ˜(Theta) dVTheta -
integraldisplay
partialdiffTTheta
qTheta · NTheta dATheta
Die Lokalisierung liefert hieraus
ú = r - 1rho
Theta
DIV qTheta + 1rho
Theta
tildewideSTheta : DTheta.
3.5.3.3 2. Hauptsatz der Thermodynamik
Die massenspezifische Entropie s = ˜(Theta) = eta(X) = eta(x) beschreibt die Prozeßrichtung. Mit
der absoluten Temperatur theta, der Entropiezufuhr im Innern sigma = ˜(Theta) = sigma(X) = sigma(x) wird
postuliert, daß die zeitliche ¨ der Entropie der Summe der Entropiezufuhr durch
W¨ meproduktion im Innern und durch den W¨ meflußvektor ¨ er die Oberfl¨ he sowie der
Entropieproduktion im Innern ist. Dann gilt
D
Dt
integraldisplay
TTheta
rhoTheta ˜(Theta) dVTheta =
integraldisplay
TTheta
rhoTheta ˜r(Theta)theta dVTheta -
integraldisplay
partialdiffTTheta
1
theta qTheta · NTheta dATheta +
integraldisplay
TTheta
rhoTheta ˜(Theta) dVTheta.
Mit der Forderung irreversibler Prozesse sigma greaterequal 0 ergibt sich die Clausius-Duhem-Ungleichung
als lokale Form des zweiten Haupstsatzes
ú greaterequal rtheta - 1rho
Theta
DIV qThetatheta
In den obigen F¨ kann eine Variation ohne Probleme durchgef¨ werden. Auf die Aus-
formulierung wird jedoch verzichtet, da sich diese Arbeit vornehmlich energieerhaltenden
Prozessen widmet. Die vollst¨ e Ausformulierung der Sensitivit¨ in der Thermodyna-
mik bleibt einer sp¨ eren Arbeit vorbehalten.
3.6. Variationsprinzipien f¨ Analyse und Sensitivit¨ 65
3.6 Variationsprinzipien f¨ Analyse und Sensitivit¨
In diesem Abschnitt werden zwei wesentliche Variationsprinzipien der Mechanik in der lokal-
konvektiven Betrachtungsweise hergeleitet, d.h. das bekannte Arbeitsprinzip als Gleichge-
wichtsaussage sowie ein entsprechendes Prinzip f¨ die variierten Spannungen. Eine andere
Interpretation weist auf die schwachen Formen der in Abschnitt 3.5 hergeleiteten starken
Formen des Gleichgewichts und seiner Variation hin. Die hier hergeleiteten Aussagen sind
f¨ die Strukturanalyse wie auch f¨ die Sensitivit¨ sanalyse bei inversen Problemen von
zentraler Bedeutung. Abschließend werden die Optimalit¨ edingungen in allgemeiner Form
hergeleitet.
3.6.1 Die schwache Form des Gleichgewichts
Die schwache Form des Gleichgewichts wird als integrale Aussage durch Wichtung der Diffe-
rentialgleichung und der Randbedingungen mit zul¨ Testfunktionen eta gebildet. Beide
Formen stellen f¨ hinreichend glatte Funktionen ¨ uivalente Aussagen dar.
3.6.1.1 Herleitung der schwachen Form
Die Multiplikation der Differentialgleichung DIV PTheta + kTheta = 0, wobei kTheta := rhoTheta(bTheta - ¨)
abgek¨ wird, sowie der Kr¨ ndbedingung tTheta -tTheta = 0 mit der Testfunktion eta liefert
(DIV PTheta + kTheta) · eta = 0 universal Theta element TTheta sowie (tTheta -tTheta) · eta = 0 universal Theta element partialdiffTTheta.
Die anschließende Integration ¨ er TTheta bzw. ¨ er partialdiffTTheta sowie die Addition der Anteile ergibt
integraldisplay
TTheta
DIV PTheta · eta dVTheta +
integraldisplay
TTheta
kTheta · eta dVTheta +
integraldisplay
partialdiffTTheta
(tTheta -tTheta) · eta dATheta = 0.
Das Oberfl¨ henintegral kann mit dem Gauß-Integralsatz (A.33) umgeschrieben werden.
Nach einigen Umformungen erh¨ man R = Rint+Rext = 0. Der innere Anteil der schwachen
Form Rint = deltaW wird auch als innere virtuelle Arbeit sowie der ¨ ere Anteil der schwachen
Form Rext = -deltaA als ¨ e virtuelle Arbeit bezeichnet. In Formeln gilt
RTheta =
integraldisplay
TTheta
PTheta : GRADTheta eta dVTheta -
integraldisplay
TTheta
rhoTheta (bTheta - ¨) : eta dVTheta -
integraldisplay
partialdiffTTheta
tTheta : eta dATheta = 0. (3.96)
3.6.1.2 Transformation der schwachen Form des Gleichgewichts
Diese Aussage in lokal-konvektiver Form kann auch in die materielle sowie in die r¨ che
Darstellungsweise transformiert werden, d.h. es gilt
RX =
integraldisplay
Omegaopenbullet
P : GradX eta dVX -
integraldisplay
Omegaopenbullet
rhoX (bX - ¨) · eta dVX -
integraldisplay
partialdiffOmegaopenbullet
tX · eta dAX = 0
Rx =
integraldisplay
Omegat
T : gradx eta dVx -
integraldisplay
Omegat
rhox (bx - ¨) · eta dVx -
integraldisplay
partialdiffOmegat
tx · eta dAx = 0.
66 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
3.6.2 Die schwache Form der Gleichgewichtsvariation
Die Variation der schwachen Form des Gleichgewichts als Bestandteil der Kontinuumsme-
chanik, entstanden aus der Variation der starken Formen, ist eine wesentliche Erweiterung
der Kontinuumsmechanik, siehe auch Abschnitt B.3 im Anhang.
3.6.2.1 Herleitung der schwachen Form der Gleichgewichtsvariation
In analoger Weise k¨ auch die Variationen beliebiger Ordnung behandelt werden. Die
Multiplikation der variierten Differentialgleichung DIV deltaPTheta + deltakTheta = 0 sowie der variierten
Kr¨ ndbedingungen delta(tTheta-tTheta) = 0 mit der Testfunktion eta und anschließende Integration
¨ er TTheta bzw. ¨ er partialdiffTTheta ergibt
integraldisplay
TTheta
(DIV deltaPTheta) · eta dVTheta +
integraldisplay
TTheta
deltakTheta · eta dVTheta +
integraldisplay
partialdiffTTheta
delta(tTheta -tTheta) · eta dATheta = 0.
Das Oberfl¨ henintegral kann mit dem Gauß-Integralsatz umgeschrieben werden, d.h. mit
deltatTheta = delta(PTheta NTheta) = deltaPTheta NTheta sowie mit deltaPThetaNTheta · eta = deltaPTThetaeta · NTheta folgt
integraldisplay
partialdiffTTheta
deltatTheta · eta dATheta =
integraldisplay
partialdiffTTheta
deltaPTThetaeta · NTheta dATheta =
integraldisplay
TTheta
DIV(deltaPTThetaeta) dVTheta.
Mit der Beziehung (DIV deltaPTheta) · eta = DIV(deltaPTThetaeta) -deltaPTheta : GRADTheta eta gilt abschließend
deltaRTheta =
integraldisplay
TTheta
deltaPTheta : GRADTheta eta dVTheta -
integraldisplay
TTheta
deltakTheta · eta dVTheta -
integraldisplay
partialdiffTTheta
deltatTheta · eta dATheta = 0. (3.97)
Diese Gleichung kann auch direkt ¨ er die Variation der schwachen Form nach (3.96) her-
geleitet werden.
Die Variation der volumenspezifischen Spannungsleistung deltaP× = deltaP× : GRAD× eta kann mit
den Ergebnissen des Abschnittes 3.3 umgeschrieben werden, d.h. mit der massenspezifischen
Spannungsleistung tildewideTheta = tildewideTheta : GradX eta und mit PTheta = rhoTheta tildewideTheta gilt
deltaRintTheta =
integraldisplay
TTheta
deltaPTheta : GRADTheta eta dVTheta
=
integraldisplay
TTheta
rhoTheta
parenleftBig
deltatildewideTheta : GRADTheta eta + tildewideTheta : GRADTheta eta Div deltaX
parenrightBig
dVTheta.
3.6.2.2 Transformation der schwachen Form der Gleichgewichtsvariation
Die Transformation der obigen Ausssage in ¨ uivalente materielle und r¨ he Formen
ist mit der Transformation der massenspezifischen Spannungsleistung leicht m¨ lich. Die
unterschiedlichen M¨ lichkeiten werden im Abschnitt A.5.4 beschrieben.
3.6.3 Einf¨ g von Linear- und Bilinearformen
Die Ergebnisse dieses Abschnittes werden in mathematischer Terminologie angegeben.
3.6. Variationsprinzipien f¨ Analyse und Sensitivit¨ 67
Die schwache Form des Gleichgewichts und deren Variation wird an der aktuellen Stelle
(tildewide(Theta), tildewide(Theta)) gebildet. Bei dynamischen Problemen ist der Geschwindigkeits- und Beschleu-
nigungszustand ú bzw. ¨ aus der Abbildung x = tildewide(Theta) zus¨ zlich zu bestimmen. Es ist zu
erkennen, daß es sich hierbei um Linearformen bzw. um Bilinearformen der Testfunktion eta,
der Variation der Grundabbildungen sowie der Variation des Spannungstensors deltaPTheta han-
delt. Die variierten Spannungen sind selbst wieder in komplexer Form abh¨ ig von den
Variationen der Grundabbildungen. Bei geschichtsabh¨ igem Materialverhalten ist die ge-
samte Deformationsgeschichte und deren Variation zu betrachten. Hierauf wird an dieser
Stelle verzichtet, siehe Abschnitt 5.3. Damit sind alle Variationen letztendlich, wie schon
mehrmals betont, durch deltaX, deltax (und delta ú,delta¨) bzw. durch deltaX, deltau (und delta ú ,delta¨) bestimmt. In
mathematischer Schreibweise kann die schwache Form des Gleichgewichts gem¨ Gleichung
(3.96) durch die Linearform
R = ˆ(eta; X,x) = 0 (3.98)
beschrieben werden. Die Angabe von X,x nach dem Semikolon kennzeichnet die Stelle,
an der die Linearform ausgewertet wird. Die Variation der schwachen Form ¨ erf¨ die
Linearform zun¨ hst in eine Multilinearform, d.h. in Gleichung (3.97) bzw. in
deltaR = delta ˆ(eta,deltaX,deltax,delta ú,delta¨; X,x) = 0. (3.99)
Durch die Substitution von x = X + u, die auch f¨ die Variationen deltax = deltaX + deltau gilt, ist
eine additive Trennung in vier Bilinearformen m¨ lich. Es gilt dann
deltaR = deltaXR+ deltauR = s(eta,deltaX) + k(eta,deltau) + d(eta,delta ú ) + m(eta,delta¨) = 0. (3.100)
Die Bilinearform k(eta,deltau) wird als ”tangentiale Steifigkeit“ (’tangent stiffness’) bezeichnet
und beschreibt die Variation der schwachen Form des Gleichgewichts an der Stelle (X,u) in
Richtung der virtuellen Verschiebungs¨ ng deltau, d.h. in Richtung (0,deltau).
Die Bilinearformen d(eta,delta ú ) und m(eta,delta¨) werden als ”tangentiale D¨ “ sowie als ”tan-
gentiale Massentr¨ heit“ bezeichnet und beschreiben die Variationen der schwachen Form
des Gleichgewichtes an der Stelle (X,u) in Richtung der virtuellen Geschwindigkeits¨
delta ú bzw. Beschleunigungs¨ delta¨, welche durch die obige virtuelle Verschiebungs¨
rung deltau induziert werden. Man beachte, daß die partielle Variation deltauR insgesamt die drei
Bilinearformen k,d,m erzeugt. Eine D¨ tritt im Zusammenhang dieser Arbeit nicht
auf, wird aber zur Vervollst¨ ung aufgef¨
Die Bilinearform s(eta,deltaX) wird als ”tangentiale Sensitivit¨ “ bezeichnet und beschreibt die
Variation der schwachen Form des Gleichgewichts an der Stelle (X,u) in Richtung der vir-
tuellen Geometrie¨ ng deltaX, d.h. in Richtung (deltaX,0).
Entsprechend dieser Vorgehensweise kann f¨ jede kontinuumsmechanische Funktion phi1 die
vollst¨ e Variation angegeben werden, d.h. es gilt
deltaphi1 = deltaXphi1 + deltauphi1 = a(deltaX) + b(deltau). (3.101)
Hierin sind a(deltaX) und b(deltau) Linearformen in den Variationen deltaX bzw. deltau. Die Funktion phi1
stellt einen Zielfunktionsanteil bzw. eine Nebenbedingung dar, siehe Kapitel 5 f¨ weitere
Hinweise zur Sensitivit¨ sanalyse.
68 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
3.6.4 Lagrangefunktion und Optimalit¨ sbedingungen
F¨ die Behandlung von Optimierungsaufgaben wird eine beliebige Zielfunktion phi1 betrach-
tet, die unter Wahrung der Gleichgewichtsbedingung minimiert werden soll. Diese Aufga-
benstellung f¨ zur L¨ eines Sattelpunktproblems f¨ die sogenannte Lagrangefunktion
L. Die lokal-konvektiven Form lautet mit RTheta gem¨ (3.96) f¨ die statische Situation mit
verschwindender D¨ und Tr¨ heit zu
LTheta(tildewide, tildewide, tildewide) := tildewideTheta(tildewide, tildewide) + RTheta(tildewide; tildewide, tildewide). (3.102)
tildewidelambda bezeichnet die sogenannten Lagrange-Multiplikatoren oder auch die adjungierten Varia-
blen.
Die notwendige Optimalit¨ sbedingung, d.h. die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung (KKT) f¨
station¨ e Punkte, lautet dann nablaLTheta(tildewide, tildewide, tildewide)(deltatildewide,deltatildewide,deltatildewide) = 0, wobei der Operator nabla durch
nablaL :=
bracketlefttp
bracketleftbt
deltauL
deltaXL
deltalambdaL
bracketrighttp
bracketrightbt =
bracketlefttp
bracketleftbt
0
0
0
bracketrighttp
bracketrightbt (3.103)
definiert ist. Die Auswertung der angegebenen Variationen liefert mit den bereits ermittelten
Beziehungen somit
deltauL = 0 = b(deltau) + k(tildewide,deltau) (3.104)
deltaXL = 0 = a(deltaX) + s(tildewide,deltaX) (3.105)
deltalambdaL = 0 = R(deltatildewide; X,u). (3.106)
Die L¨ der obigen Beziehungen ergibt das Tripel (tildewide, tildewide, tildewide), das grunds¨ zlich durch zwei
unterschiedliche Zug¨ e ermittelt werden kann. Die beiden Berechnungsm¨ lichkeiten, d.h.
die
1. Methode der direkten Differentiation (direct differentiation method) (DDM) bzw. die
2. Methode der adjungierten Variablen (adjoint variable method) (AVM),
betrachten dabei zwei unterschiedliche theoretische Aspekte der Problemformulierung. Die
grundlegende Vorgehensweise wird am Beispiel statischer Probleme ohne Geschichtsabh¨ ig-
keit des Materialverhaltens demonstriert. Die Vorgehensweise kann auch f¨ die lineare Theo-
rie in diskreter Matrixschreibweise erl¨ ert werden, siehe hierzu die Abschnitte 5.1 und
B.1.4.
3.6.4.1 Methode der direkten Differentiation
Die Methode der direkten Differentiation verwendet die Beziehungen (3.98), (3.100) und
(3.101), wobei sich grunds¨ zlich folgendes Vorgehen ergibt.
1. Die Geometrieabbildung tildewide ist als Startpunkt bzw. als Iterationspunkt vorgegeben.
2. Die schwache Form (3.98), d.h. R(eta; X,u) = 0, wird f¨ das vorliegende Design gel¨
um die zugeh¨ ige Gleichgewichtsl¨ u = tildewide(Theta) zu bestimmen.
3.6. Variationsprinzipien f¨ Analyse und Sensitivit¨ 69
3. Die Variation der Gleichgewichtsbedingung (3.100) (hier f¨ die statische Situation mit
d = 0,m = 0), d.h.
deltaR = deltaXR+ deltauR = s(eta,deltaX) + k(eta,deltau) = 0
wird betrachtet, um f¨ jede Variation deltaX die zugeh¨ ige Antwort deltau zu bestimmen.
4. Mit den somit verf¨ ren Variationen deltaX und deltau kann die Gleichung (3.101), d.h.
deltaphi1 = deltaXphi1 + deltauphi1 = a(deltaX) + b(deltau) zur Bestimmung von deltaphi1 ausgewertet werden.
Bei diesem Vorgehen bleiben die adjungierten Variablen (Lagrange-Multiplikatoren) tildewide un-
bestimmt. Demgegen¨ er ist f¨ jede vorgegebene Variation deltaX die zugeh¨ ige Variation der
Strukturanwort deltau zu bestimmen.
3.6.4.2 Methode der adjungierten Variablen
Die Methode der adjungierten Variablen verwendet die Stationarit¨ sbedingungen, d.h. die
KKT-Bedingungen (3.104–3.106) zur Ermittlung des Tripels (tildewide, tildewide, tildewide).
1. Die Geometrieabbildung tildewide ist als Startpunkt bzw. als Iterationspunkt vorgegeben.
2. Die dritte KKT-Beziehung (3.106), d.h. die schwache Form R(deltatildewide; X,u) = 0, wird f¨
das vorliegende Design gel¨ um die zugeh¨ ige Gleichgewichtsl¨ u = tildewide(Theta) zu
bestimmen.
3. Die erste KKT-Gleichung (3.104) kann mit Hilfe der zur Bilinearform k zugeh¨ igen
adjungierten Form kstar, d.h. mit k(tildewide,deltau) = kstar(deltau, tildewide), in die Form b(deltau)+kstar(deltau, tildewide) = 0
¨ erf¨ werden. Die L¨ dieser Beziehung liefert somit tildewide.
4. Zum Abschluß dient die zweite KKT-Beziehung (3.105) als notwendige Beziehung
deltaXL = 0, um im Rahmen eines NLP-Algorithmus die weitere Ver¨ des De-
signs zu ermitteln.
Bei diesem Vorgehen bleiben somit die Variationen deltau der Strukturantwort unbekannt.
3.6.4.3 ¨ uivalenz der Vorgehensweisen
Bei den beiden Zug¨ en werden zum einen deltaXphi1 (DDM) sowie deltaXL (AVM) berechnet. Es
bleibt zu zeigen, daß beide Ausdr¨ ke ¨ ereinstimmen. Es gilt mit (3.104) und (3.100)
deltaXL = deltaXphi1 + s(tildewide,deltaX) +
bracketleftBig
deltauphi1 + k(tildewide,deltau)
bracketrightBig
= deltaXphi1 + deltauphi1 +
bracketleftBig
k(tildewide,deltau) + s(tildewide,deltaX)
bracketrightBig
= deltaphi1,
d.h. deltaXL = deltaphi1, und damit die geforderte ¨ alenz der Vorgehensweisen.
70 Kapitel 3. Kontinuumsmechanik der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
3.7 Zusammenfassung und Ausblick
In diesem Kapitel wurden die zentralen Beziehungen der Kontinuumsmechanik in der lokal-
konvektiven Betrachtungsweise hergeleitet. Die Erweiterung gegen¨ er der klassischen Vor-
gehensweise besteht darin, daß alle kontinuumsmechanischen Gr¨ en auf dem Parameterge-
biet TTheta definiert bzw. eingef¨ wurden. Alle bezogenen Darstellungen wurden anschließend
nur durch eine Transformation der bereits bzgl. Theta bestimmten Gr¨ en ermittelt. Weiterhin
wurde die Variation der Beziehungen von Beginn an in die Kontinuumsmechanik integriert
und auf die Variation der Grundabbildungen tildewide, tildewide bzw. tildewide zur¨ kgef¨
Basierend auf diesen beiden Techniken konnte die Sensitivit¨ der starken und schwachen
Form der Gleichgewichtsbedingung in Beziehung gesetzt werden, d.h. es konnte analog zur
Gleichgewichtsbedingung selbst der systematische ¨ ergang zwischen beiden Formen f¨
alle Betrachtungsweisen gezeigt werden. Eine wesentliche Erweiterung besteht dabei in der
Angabe einer Bilinearform s der ”tangentialen Sensitivit¨ “, die analog zur tangentialen
Steifigkeit aus der Variation der schwachen Form des Gleichgewichts ermittelt werden kann.
Die hergeleiteten Darstellungen k¨ im Rahmen der diskreten Methoden effizient umge-
setzt werden. Weiterhin sind die Grundlagen f¨ den Einsatz adaptiver Methoden bzgl. der
Geometrie und Verschiebung unter Verwendung von Sensitivit¨ en vorbereitet worden. Hin-
weise zu den diskreten Methoden sowie zur adaptiven Probleml¨ sind in den folgenden
Kapiteln enthalten.
Die Aufbereitung von Variationen und Sensitivit¨ en beschr¨ t sich in dieser Arbeit wesent-
lich auf die unterschiedlichen Gleichgewichtsaussagen und hierbei vor allem auf den Anteil
der Spannungen bzw. der inneren virtuellen Arbeiten. Diese Beschr¨ ung war zur Verdeut-
lichung der Zusammenh¨ e erforderlich. Zur Vervollst¨ ung der Beziehungen m¨ n
daher auch alle Anteile aus der Variation der ¨ eren Kr¨ (Volumen- und Oberfl¨ hen-
kr¨ ber¨ ksichtigt werden.
F¨ die Behandlung komplexeren Materialverhaltens bzw. von Mehrfeldproblemen ist eben-
falls eine genauere Betrachtung der Haupts¨ ze der Thermodynamik und deren Sensitivit¨ en
bzgl. Parametervariationen sinnvoll. Auf diese Thematik konnte in der vorliegenden Arbeit
nicht eingegangen werden und eine detaillierte Beschreibung bleibt einer zuk¨ Dar-
stellung vorbehalten.
Kapitel 4
Diskretisierungskonzepte f¨
Geometrie und physikalische Gr¨
In diesem Kapitel werden Diskretisierungskonzepte f¨ die Geometrie und die Verschiebung
eingef¨ und Hinweise zur adaptiven Verbesserung der gew¨ en Approximationen gege-
ben.
Die Bedeutung einer Diskretisierung und einer adaptive Verfeinerung im Rahmen der nume-
rischen Strukturanalyse z.B. mittels der Finite Elemente Methode ist hinreichend bekannt.
Demgegen¨ er ist die Verwendung dieser Begriffe in der Strukturoptimierung immer noch
nicht allgemein gebr¨ hlich. Aus diesem Grund soll zu Beginn die eigene Sichtweise und
der sich daraus ergebende Sprachgebrauch erl¨ ert werden.
Die theoretischen Untersuchungen haben die Gleichwertigkeit der Geometrieabbildung tildewide und
der Deformationsabbildung tildewide ergeben. Die gesamte Darstellung vermeidet den sonst ¨ hen
Schritt, d.h. die Deformation in expliziter Abh¨ igkeit von der Geometrie darzustellen. Wie
bereits erl¨ ert ist die implizite Abh¨ igkeit erst mit der Forderung nach Gleichgewicht
gegeben. Die Kontinuumsmechanik ist somit (mindestens) eine Zweifeldtheorie der beiden
unabh¨ igen Funktionen tildewide und tildewide, die je nach Wahl der Aufgabenstellung, d.h. des direkten
oder inversen Problems, teilweise gegeben sind oder aus Variationsformulierungen bestimmt
werden.
Damit ist die Grundstruktur der Problemstellung identisch, d.h. bei Vorgabe der Eingangs-
gr¨ en wird durch ein kontinuierliches Variationsproblem die (theoretische, analytische)
L¨ charakterisiert. Dieses Variationsproblem kann in beiden F¨ nicht analytisch
gel¨ werden, sondern muß aufgrund der Komplexit¨ mittels numerischer Verfahren im
Rechner behandelt werden. Hierf¨ ist das kontinuierliche Variationsproblem durch Ein-
f¨ endlichdimensionaler Approximationsr¨ zu diskretisieren. Hierbei geht die Va-
riation einer kontinuierlichen Funktion in die Ableitung der diskreten Approximierenden
nach den skalaren Designvariablen ¨ er.
Aus diesen ¨ erlegungen folgt der Sprachgebrauch der kontinuierlichen Geometriefunktion
tildewidepsi element G als der exakten L¨osung eines Variationsproblems zur Formoptimierung sowie der dis-
kreten Geometriefunktion tildewideg element Gg als der zugeh¨ igen endlichdimensionalen Approximation.
Entsprechendes gilt f¨ alle anderen Zusammenh¨ e der Strukturanalyse, die sinngem¨
auf die Strukturoptimierung, d.h. die Suche nach Geometriefunktionen, ¨ ertragen werden
k¨
71
72 Kapitel 4. Diskretisierungskonzepte f¨ Geometrie und physikalische Gr¨ en
Zun¨ hst wird die Darstellung einer integrierten Behandlung der Kinematik in CAGD und
FEM entsprechend Abschnitt 2.3 weiterentwickelt. Hierbei stehen zun¨ hst die technischen
Zusammenh¨ e und deren effiziente Realisation in den Programmsystemen im Vordergrund.
Hieran schließen sich ¨ erlegungen zur genauen Wahl der Approximationsr¨ und der
M¨ lichkeit adaptiver Verfahren an.
Inhaltsangabe
4.1 Integrierte Darstellung der Kinematik II . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Beziehung zwischen den Parametergebieten . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.2 Diskretisierung von Geometrie, Deformation, Verschiebung . . . . 75
4.1.3 Anmerkungen zur algorithmischen Umsetzung . . . . . . . . . . . 78
4.2 Approximationsr¨ und Adaptivit¨ . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.1 Anmerkungen zur Wahl der Approximationsr¨ . . . . . . . . . 81
4.2.2 Anmerkungen zur Wahl der Verfeinerungsstrategien . . . . . . . . 82
4.2.3 Anmerkungen zur Wahl der Verfeinerungskriterien . . . . . . . . . 83
4.1. Integrierte Darstellung der Kinematik II 73
4.1 Integrierte Darstellung der Kinematik II
Die ¨ erlegungen im Abschnitt 2.3 werden an dieser Stelle aufgenommen und vertieft. Nach
Einf¨ der Gradientenoperatoren im Kapitel 3 k¨ die zugeh¨ igen diskreten Be-
rechnungen f¨ die Strukturanalyse und die Sensitivit¨ sanalyse in Anlehnung an die theo-
retischen Vorgaben realisiert werden. Die hierzu notwendigen Hinweise finden sich hier.
Die theoretischen Untersuchungen zur Kontinuumsmechanik f¨ zu zwei unterschiedli-
chen Atlanten, die sich in der Wahl der Parametergebiete sowie der Abbildungen ¨ er den
jeweiligen Parametergebieten unterscheiden. Diese Situation ist im Bild 2.13 beschrieben.
F¨ die Approximation von Geometrie und Deformation (Verschiebung) sind daher Aussa-
gen sowohl zur ¨ erf¨ der Beziehungen zwischen den Parametergebieten als auch zu
den N¨ gsfunktionen ¨ er dem jeweiligen Parametergebiet zu treffen.
4.1.1 Beziehung zwischen den Parametergebieten
Im Rahmen der theoretische Darstellung der kontinuumsmechanischen Beziehungen ergeben
sich f¨ das Zusammenwirken der m¨ lichen Parametergebiete TTheta und Txi zwei wichtige
Problemstellungen, d.h.
1. die Beschreibung der Koordinatentransformation zwischen den Gebieten TTheta und Txi
2. und die Berechnung der zugeh¨ igen lokalen Gradientenoperatoren.
Diese Fragestellungen sind unabh¨ ig von der sp¨ eren Approximation von Geometrie und
Deformation (Verschiebung). Die theoretischen Grundlagen werden durch die hier beschrie-
bene Koordinatentransformation nicht beeintr¨ htigt.
4.1.1.1 Transformation der Parametergebiete
Die Vorteile der theoretischen Herleitung einer Entkoppelung von Geometrie und Verschie-
bung k¨ nur gewinnbringend in die diskreten Methoden ¨ ertragen werden, wenn f¨
beide Funktionen unabh¨ ige Approximationen gew¨ werden. Hierbei tritt neben dem
CAGD-Parameterraum TTheta auch der FEM-Parameterraum Txi auf. Die (lineare) Koordina-
tentransformation zwischen den Gebieten ist durch die Abbildung
omegaxi,Theta : Txi arrowrightTTheta (4.1)
gegeben, siehe Bild 2.13. Die konkrete Transformationsvorschrift lautet
Theta = omegaxi,Theta(xi1,xi2,xi3; ˆ 1, ˆ 2, ˆ 3, ˆ 4) =
4summationdisplay
I=1
LI(xi1,xi2,xi3) ˆ I. (4.2)
Hierbei sind LI die trilinearen Funktionen der Koordinatentransformation und ˆ I die lo-
kalen Koordinatenvektoren der FE-Knoten im Parametergebiet TTheta. Bei den Funktionen LI
handelt es sich um die ¨ hen trilinearen Ansatzfunktionen in der isoparametrischen FEM.
74 Kapitel 4. Diskretisierungskonzepte f¨ Geometrie und physikalische Gr¨ en
Komplexere Koordinatentransformationen werden hier nicht betrachtet. Die allgemeine Ab-
bildungsvorschrift transformiert Koordinatentripel, als Beispiele werden jedoch nur Trans-
formationen im Rahmen der zweidimensionalen FEM betrachtet.
Die Abbildungen tildewide, tildewide und tildewide k¨ somit durch Abbildungskompositionen in der Form
tildewidepsie := tildewidepsi openbullet omegaxi,Theta, tildewidephi1e := tildewidephi1openbullet omegaxi,Theta und tildewidenue := tildewidenu openbullet omegaxi,Theta. (4.3)
¨ er dem FEM-Gebiet Txi dargestellt werden, d.h. alle kontinuumsmechanischen Beziehungen
¨ ertragen sich auf Txi. Zur Vereinfachung der Notation wird zuk¨ einfach omega anstatt omegaxi,Theta
geschrieben.
4.1.1.2 Gradientenoperator f¨ das FEM-Parametergebiet
Durch die Einf¨ eines FEM-Parametergebietes Txi kann der lokale Gradient GRADxi
bzgl. xi eingef¨ werden. F¨ die unterschiedlichen lokalen Gradientenoperatoren wird je-
weils GRAD mit einem Index entsprechend der lokalen Parameter Theta oder xi, d.h. GRADTheta
oder GRADxi, geschrieben. Die Zusammenh¨ e sind anschaulich in Bild 4.1 dokumentiert.
CAGD–Parametergebiet TTheta FEM–Parametergebiet Txi
TX Tx
GRADxi omega
GRADTheta tildewide GRADxi tildewidephi1e
GRADxi tildewidee
GradX phi1
Bild 4.1: Beziehungen zwischen den Gradientenoperatoren
Der Gradient der Koordinatentransformation GRADxi omega lautet
W := GRADxi omega = Wij Zi circlemultiplyZj, (4.4)
wobei die Koeffizientenmatrix der Koordinatentransformation (Jacobi-Matrix) durch
bracketleftbigWijbracketrightbig = bracketleftbiggpartialdiffThetai
partialdiffxij
bracketrightbigg
mit partialdiffTheta
i
partialdiffxij =
4summationdisplay
I=1
partialdiffLI
partialdiffxij
ˆThetaiI (4.5)
gegeben ist. Damit k¨ auch die lokalen Gradienten von tildewidee, tildewidee und tildewidee bzgl. der Koor-
dinaten xi bestimmt werden, d.h. z.B. gilt f¨ die Geometrieabbildung
GRADxi tildewidee = GRADTheta tildewide GRADxi omega. (4.6)
4.1. Integrierte Darstellung der Kinematik II 75
Mit den Regeln f¨ die Transformation und Variation der Volumenelemente zwischen den
Gebieten, siehe Abschnitt A.3.6, folgt
dVTheta = W dVxi mit W = det(GRADxi omega) = det bracketleftbigWijbracketrightbig . (4.7)
Mit dieser ¨ erf¨ gelten alle Beziehungen des letzten Kapitels unver¨ auch f¨
die Wahl des FE-Parametergebietes Txi. Damit ist auch eine Darstellung der kontinuumsme-
chanischen Beziehungen f¨ das FEM-Parametergebiet Txi hergeleitet worden.
4.1.2 Diskretisierung von Geometrie, Deformation, Verschiebung
Die theoretischen Herleitungen zur Kontinuumsmechanik setzen unabh¨ ige Geometrie-
und Deformationsabbildungen voraus. Durch Verwendung der Einbettungseigenschaft der
Konfigurationen im E3 kann auch eine Darstellung mittels der Verschiebungsabbildung tildewide
formuliert werden, d.h. x = X + u, wobei alle Darstellungen ¨ uivalent sind.
Durch die notwendige Diskretisierung k¨ jedoch nur f¨ zwei Funktionen unabh¨ ige
Ans¨ ze eingef¨ werden. Die M¨ lichkeiten f¨ die Wahl der Approximationen werden
kurz diskutiert, ohne jedoch die jeweiligen Form- bzw. Ansatzfunktionen festzulegen bzw. die
Dimension des Approximationsr¨ zu beschreiben. Diese Fragestellung wird im folgenden
Abschnitt behandelt.
In der Literatur wird das Zusammenspiel zwischen Geometriebeschreibung und FEM-Dis-
kretisierung unter anderem f¨ die Berechnung gekr¨ ter Schalen, siehe z.B. [105, 76],
die adaptive Netzverfeinerung, siehe z.B. [75] sowie im Rahmen der p-Methode, siehe z.B.
[189, 62], diskutiert. Die Autoren verweisen auf die Notwendigkeit, die Wahl der Ans¨ ze
aufeinander abzustimmen, siehe hierzu auch Abschnitt 4.2.1.
4.1.2.1 Unabh¨ ige Approximation von Geometrie und Deformation
Die unabh¨ ige Approximation von Geometrie und Deformation bietet sich bei Betrach-
tung der theoretischen Herleitungen an, da sich hierbei die ¨ hkeit zwischen direkten
und inversen Problemen am deutlichsten zeigt. Praktisch treten jedoch im Grenzfall einer
belastungsfreien Deformation Inkompatibilit¨ en zwischen den Konfigurationen auf.
F¨ den Fall eines verschwindenden Verschiebungszustandes, d.h. mit u = 0, ergibt sich
x = X. Bei einer Verwendung unterschiedlicher Approximationen f¨ die unverformte und
die verformte Konfiguration tritt ein Widerspruch auf, d.h. die unbelastete Konfiguration
wird nicht eindeutig beschrieben.
Aus diesem Grund wird die M¨ lichkeit einer unabh¨ igen Approximation von Geometrie
und Deformation verworfen.
4.1.2.2 Unabh¨ ige Approximation von Geometrie und Verschiebung
In Anlehnung an die Darstellung im Abschnitt 2.3 k¨ auf den lokalen Parametergebieten
TTheta bzw. Txi die jeweiligen diskreten Approximationen eingef¨ werden.
76 Kapitel 4. Diskretisierungskonzepte f¨ Geometrie und physikalische Gr¨ en
Die Geometriefunktion tildewide wird ¨ er dem Parametergebiet TTheta durch Einf¨ der soge-
nannten Formfunktionen Malpha(Theta1,Theta2,Theta3) und der Vektoren der Kontrollparameter ˆalpha des
aktuellen Patch approximiert, d.h. es gilt
Xg = tildewideg(Theta,s) =
mgsummationdisplay
alpha=1
Malpha(Theta1,Theta2,Theta3) ˆalpha(s). (4.8)
Die Indizes bzgl. einer Geometrieapproximation werden in griechischen Buchstaben alpha,beta,...
angegeben. Die Vektoren ˆalpha bezeichnen die lokalen Kontrollvektoren im betreffenden Patch,
die auf Systemebene den globalen Vektor ˆ bilden. Zur Verdeutlichung der approximierenden
Eigenschaften der Geometrieabbildung wird gelegentlich dem Punkt X ein Index g beigef¨ ,
d.h. Xg. Dieses entspricht der Praxis in der FEM, d.h. uh als Approximation f¨ u zu
bezeichnen.
Damit ist die diskrete Geometriefunktion tildewideg element Gg propersubset G eingef¨ wobei die lokalen Vek-
toren ˆalpha in komplexer Form von anderen geometrischen Parametern s abh¨ en k¨
Zur Vereinfachung wird nur die funktionale Abh¨ igkeit von einem skalaren Parameter
angef¨
Die Koordinatentransformation omegaxi,Theta zwischen xi und Theta liefert tildewidee,g := tildewideg openbullet omegaxi,Theta, d.h. eine
¨ er dem FEM-Parametergebiet Txi dargestellte diskrete CAGD-basierte Approximation der
Geometrieabbildung tildewidee.
Mit diesem Ansatz ergibt sich die Variation der Geometrie in der Form
deltaXg = deltatildewideg(Theta,s) =
mgsummationdisplay
alpha=1
Malpha(Theta1,Theta2,Theta3) deltaˆalpha(s), (4.9)
d.h. die parametrischen Formfunktionen bleiben unver¨ t und nur die Vektoren der Kon-
trollvariablen (Kontrollpunkte) sind zu variieren, d.h. nach den jeweiligen Designparametern
s abzuleiten. Eine entsprechende Transformation auf Txi ist m¨ lich.
Durch die Wahl der funktionalen Beziehung ˆalpha(s) der lokalen Geometrieparameter von
h¨ ertigen skalaren Parametern s wird das Designmodell festgelegt. Bei einer unabh¨ i-
gen Wahl alle Parametervektoren ergibt sich der Designraumzum gesamten Ansatzraum, d.h.
Gs = Gg. Diese Situation ist jedoch eine Extremsituation und i.d.R. sollte der Designraum
ein echter Unterraum mit Dimension ms << mg sein.
Die Darstellung der (kontinuierlichen) Verschiebungsfunktion ¨ er dem FEM-Parameterraum
Txi wird mit tildewidee bezeichnet und ist somit nur die Transformation der Abbildung tildewide vom Gebiet
TTheta auf das Gebiet Txi. Die Verschiebungsapproximation tildewidee,h ¨ er dem Parametergebiet Txi
wird durch die sogenannten Ansatzfunktionen NI(xi1,xi2,xi3) und die lokalen Verschiebungs-
vektoren (Knotenverschiebungen) ˆI beschrieben, d.h.
uh = tildewidee,h(xi,t) =
nhsummationdisplay
I=1
NI(xi1,xi2,xi3) ˆI(t). (4.10)
Damit gilt tildewidee,h element Vh propersubset V. Die Variation der Verschiebungsapproximation liefert somit
deltauh =
nhsummationdisplay
I=1
NI(xi1,xi2,xi3) deltaˆI(t), (4.11)
4.1. Integrierte Darstellung der Kinematik II 77
d.h. die Knotenverschiebungen werden variiert bzw. nach den Designvariablen abgeleitet. Die
Indizes bzgl. einer Verschiebungsapproximation werden in großen lateinischen Buchstaben
I,J,K,... angegeben. Die Vektoren ˆI bezeichnen die lokalen Knotenverschiebungsvekto-
ren des betreffenden Elementes, die auf Systemebene den globalen Verschiebungsvektor ˆ
ergeben.
Mit den obigen Beziehungen ist formal die Struktur der beiden Approximationen beschrie-
ben. Eine Konkretisierung sowie die Beziehung zwischen den gew¨ en Funktionen, den
unterschiedlichen lokalen Parametern (Theta1,Theta2,Theta3) bzw. (xi1,xi2,xi3) sowie den Parameterge-
bieten ist noch n¨ anzugeben. Die wesentlichen Anforderungen zur Wahl der jeweiligen
Ansatzr¨ werden im Abschnitt 4.2 kurz zusammengestellt.
4.1.2.3 Der Sonderfall des isoparametrischen Konzeptes
Beim isoparametrischen Konzept werden Geometrie und Verschiebung ¨ er dem gleichen Pa-
rametergebiet mit den gleichen Ansatzfunktionen beschrieben, siehe Abschnitt 2.2.2. Hierbei
befinden sich die FEM-Knoten auf der durch die CAGD-Methode beschriebenen geometri-
schen Linien und Fl¨ hen. Formal kann diese Vereinfachung aus Gleichung (4.8) hergeleitet
werden, wobei die Koordinatentransformation nur die lokalen Knotenkoordinaten erfaßt, d.h.
Xh = tildewidee,g,h(xi,s) :=
4summationdisplay
I=1
LI(xi1,xi2,xi3) tildewideg( ˆ I,s) =
4summationdisplay
I=1
LI(xi1,xi2,xi3) ˆ I(s).
Wesentlicher Nachteil dieser Vorgehensweise liegt in der gleichzeitigen Approximation beider
Funktionen durch eine Methode, d.h. eine unabh¨ ige Verfeinerung nur einer Funktion ist
hierbei nicht m¨ lich. D.h. eine sinnvolle Verfeinerung des Verschiebungszustandes zieht eine
mitunter sinnlose Verfeinerung des Geometriemodelles nach sich. Dieses ist insbesondere
dann der Fall, wenn nach der Erstellung der FE-Netze die CAGD-Geometrieinformation
verworfen wird.
Im Rahmen der isoparametrischen FEM werden weiterhin die Ansatzfunktionen gleichge-
setzt. Genauer betrachtet bedeutet dies, daß die bilinearen Funktionen LI der (linearen)
Koordinatentransformation mit den lokalen Ansatzfunktionen NI ¨ ereinstimmen.
Zusammenfassend gelten dann f¨ die isoparametrische FEM die Beziehungen
X = tildewidee,g,h(xi,s) =
4summationdisplay
I=1
NI(xi1,xi2,xi3) ˆ I(s),
u = tildewidee,h(xi,t) =
4summationdisplay
I=1
NI(xi1,xi2,xi3) ˆI(t),
x = tildewidee,h(xi,s,t) =
4summationdisplay
I=1
NI(xi1,xi2,xi3) ˆI(s,t),
wobei f¨ die Knotenkoordinaten der deformierten Konfiguration die Beziehung
ˆI(s,t) := ˆ I(s) + ˆI(t)
gilt.
78 Kapitel 4. Diskretisierungskonzepte f¨ Geometrie und physikalische Gr¨ en
4.1.3 Anmerkungen zur algorithmischen Umsetzung
Einige wesentliche Besonderheiten zum integrierten Konzept wurden im Abschnitt 2.3 bzw.
in den bisherigen Abschnitten dieses Kapitels angegeben. Eine Kurz¨ ersicht ¨ er das Ge-
samtkonzept folgt an dieser Stelle.
4.1.3.1 Die Behandlung der Geometrie
Die folgenden Schritte m¨ n innerhalb der CAGD-Modellierung vollzogen werden.
1. Die Modellierung erfolgt auf der Basis einer B-Rep-Beschreibung, d.h. es werden Punk-
te, Linien, Fl¨ hen, Volumina mit den jeweiligen Abh¨ igkeiten eingef¨
2. Die S¨ erung der Geometriebeschreibung wird durchgef¨ d.h. es ergibt sich eine
Konstruktion ohne sogenannte T-St¨ e. Weiterhin werden eventuell vorhandene L¨ her
bzw. L¨ ken in der Geometriebeschreibung beseitigt, die aus einer nicht vollst¨ en
¨Uberdeckung des K¨orpers heraus entstanden sind.
3. Es wird eine Liste der geometrischen Parameter (ˆ1, ˆ2, ˆ3,...)p f¨ jeden Patch p aufge-
baut. In der FEM w¨ e dies die Liste aller Knoten am Element. Weiterhin existiert eine
Liste aller geometrischen Parameter (ˆ1, ˆ2, ˆ3,...) auf der Systemebene. In der FEM
w¨ e dies die Liste aller Knoten mit zugeh¨ igen Koordinaten. F¨ einen beliebigen
Punkt X gilt somit
X = tildewideg(Theta; ˆ1, ˆ2, ˆ3,...),
Somit entsteht eine Beschreibung der Geometrie im Raum GG mit Dimension mg.
4. Die Geometrievariation eines beliebigen Punktes X wird durch Ableitung nach den
geometrischen Parametern ˆi berechnet, d.h.
deltaX = partialdiff
tildewidepsig
partialdiff ˆi delta
ˆYi.
Bei Verwendung einer Matrizenschreibweise gilt deltaX = A delta ˆ, wobei deltaX element R3 die
Spaltenmatrix der Koordinatenvariation auf Systemebene dargestellt. Weiterhin ist
delta ˆ element Rmg die globale Spaltenmatrix der geometrischen Freiheitsgradvariationen und
A element R3,mg die Matrix der Koordinatenableitungen. Eine entsprechende Darstellung
kann f¨ die Beziehungen auf der Patchebene angegeben werden.
5. Die Berechnung von Tangential- und Normalenvektoren an gekr¨ te Fl¨ hen im
Raum ist ein Teil der Grundfunktionalit¨ jedes CAGD-Programmkernes. Im Sprach-
gebrauch der Kontinuumsmechanik (siehe Kapitel 3) bedeutet dieses die Berechnung
der konvektiven Basisvektoren Gi. Die zugeh¨ igen kontravarianten Basisvektoren sind
hieraus mit Gi · Gj = deltaji leicht zu berechnen. Die Komponenten der Basisvektoren Gi
belegen zeilenweise die sogenannte Jacobi-Matrix der Koordinatentransformation zwi-
schen Theta und X. Zur Berechnung von Gj ist die Inverse zu bestimmen.
6. Die Variation der Basisvektoren ergibt sich mit der Vertauschbarkeit von partieller
Ableitung nach Thetai bzw. ˆj zu
deltaGi = partialdiff
2 tildewidepsig
partialdiffThetaipartialdiff ˆj delta
ˆYj.
4.1. Integrierte Darstellung der Kinematik II 79
In Matrizenschreibweise gilt dann deltaGi = Bi delta ˆ.
7. In analoger Form erh¨ man f¨ die Variation der kontravarianten Vektoren die Aus-
sage deltaGj = Bj delta ˆ.
Zusammenfassend bedeutet dies, daß mit der CAGD-Geometriebeschreibung die Auswer-
tungen f¨ X,Gi,Gj in jedem Punkt Theta des Patches durchgef¨ werden m¨ n. Dar¨ er-
hinaus werden f¨ die Strukturoptimierung die zugeh¨ igen Variationen bzgl. der Geome-
trieparameter erforderlich, d.h. es sind die Beziehungen
deltaX = A delta ˆ und deltaGi = Bi delta ˆ sowie deltaGi = Bi delta ˆ
zu berechnen. Diese Auswertungen k¨ auf der Ebene des Geometriepatches bei Kenntnis
der lokalen Koordinaten Theta problemlos durchgef¨ werden. Die lokalen Parameter Theta sind
im Rahmen der sogenannten mapped mapping Technik f¨ die Netzgenerierung in direkter
Form vorhanden. Bei den freien Vernetzern m¨ n diese Informationen im Rahmen einer
Nachlaufberechnung (lokale Iteration) eigens ermittelt werden. Die Beziehungen zwischen
finitem Element und zugeh¨ igem Geometriepatch k¨ w¨ end der Netzgenerierung
ermittelt werden und m¨ n erst mit einer erneuten (adaptiven) Verfeinerung angeglichen
werden.
Die Verwendung dieser Informationen in der Strukturanalyse sowie der Strukturoptimierung
wird sp¨ er erl¨ ert.
4.1.3.2 Die Behandlung der Verschiebung bzw. der Deformation
Die wichtigsten Hinweise zur Behandlung der Verschiebung innerhalb der FEM werden kurz
dargestellt. Die nachfolgenden Strukturen m¨ n innerhalb der FE-Methode realisiert wer-
den, um eine unabh¨ ige Approximation von Geometrie und Verschiebung auf der Element-
ebene effektiv angeben zu k¨
1. F¨ die numerische Behandlung von Variationsaufgaben ist ein approximierender An-
satz f¨ die Verschiebungen (und mit x = X+u auch f¨ die Deformation) zu w¨
Dieser Ansatz entspricht einer Konkretisierung des Atlanten A, d.h. er besteht aus der
Wahl lokaler Umgebungen sowie der hierauf definierten Abbildungen. An dieser Stelle
wird die ¨ he Finite Elemente Methode (nur der Verschiebungsteil) betrachtet.
2. Entsprechend der Grundthematik wird an dieser Stelle die Zerlegung des Parameterrau-
mes eines Patches betrachtet. F¨ jeden Patch wird eine Parameterisierung Theta element [0,1]3
vorausgesetzt. Zur Vereinfachung der Darstellung wird weiterhin angenommen, daß
jedes finite Element eindeutig in einem Patch liegt. Die lokalen Umgebungen, d.h. die
finiten Elemente, beschreiben jeweils eine Untermenge OmegaeTheta,j im Parameterraum TTheta des
zugeh¨ igen CAGD-Patches.
3. Eine bilineare Koordinatentransformation omegaxi,Theta bildet das Einheitsparametergebiet Txi =
[-1,+1]3 in das Elementgebiet OmegaeTheta,j ab. Unter Verwendung der Knotenkoordinaten
ˆTheta1, ˆTheta2, ˆTheta3, ˆTheta4 der Eckpunkte sowie der linearen Abbildungen LI lautet die Koordi-
natentransformation
Theta = omegaxi,Theta(xi1,xi2,xi3; ˆ 1, ˆ 2, ˆ 3, ˆ 4) =
4summationdisplay
I=1
LI(xi1,xi2,xi3) ˆ I. (4.12)
80 Kapitel 4. Diskretisierungskonzepte f¨ Geometrie und physikalische Gr¨ en
4. F¨ jedes Element ist die Transformation nur von der Wahl des FE-Netzes abh¨ ig
und muß bei einer Netzverfeinerung erneut aufbereitet werden. Ansonsten ist sie f¨
die nichtlineare Strukturmechanik bzw. die Strukturoptimierung konstant. Dieses kann
f¨ die Berechnung und Abspeicherung der im weiteren erforderlichen Jacobi-Matrix
von omegaxi,Theta hilfreich sein.
5. Die Approximation des Verschiebungszustandes kann auf dem Standardgebiet Txi ein-
gef¨ werden. F¨ die erforderlichen Ableitungen und Gradienten werden die ein-
gef¨ Abbildungen komponiert. Hierbei k¨ alle geometrischen Informationen
unabh¨ ig von der speziellen FE-Formulierung vorgehalten werden. Als einzige Vor-
aussetzung ist die Kenntnis des numerischen Integrationsverfahren erforderlich, da
s¨ tliche Auswertungen an den Gaußpunkten erfolgen.
6. Die Verwendung des jeweiligen Geometriemodells kann innerhalb der Elemente durch
geeignete Schnittstellenroutinen effizient organisiert werden. Es wird jeweils der loka-
le Gradient der Verschiebungsfunktion sowie der lokale Gradient der jeweiligen Geo-
metriefunktion bezogen auf die lokalen Koordinaten xi des FE-Parametergebietes Txi
ausgewertet. Die zugeh¨ ige Koeffizientenmatrix des Geometriegradienten muß dann
invertiert werden. Dieser Aufwand ist f¨ jeden Integrationspunkt f¨ jedes Netz ein-
mal durchzuf¨ und nur bei Neuvernetzung bzw. Geometrie¨ ng erneut durch-
zuf¨ F¨ Untersuchungen in den Gr¨ en der verformten Momentankonfigurati-
on m¨ n die notwendigen lokalen Gradienten aus den CAGD- oder FEM-Modellen
der Geometrie sowie der Verschiebung ermittelt werden. Berechnet werden muß also
GRADxi X = GRADxi tildewidee bzw. GRADxi x = GRADxi tildewidee + GRADxi tildewidee. Bei der letzte-
ren Beziehung tritt ein Unterschied zur isoparametrischen FEM auf, d.h. es sind die
Gradienten zu addieren und erst dann ist die Inverse zu bestimmen.
Diese Vorgehensweise setzt wesentlich die Existenz des Parametergebietes TTheta eines Geome-
triepatches voraus. Im Rahmen der CAGD-Methode ist diese Parametrisierung (zuminde-
stens bei einer B-Rep-Darstellung) vorhanden. F¨ die FEM geht die Beziehung zwischen
FE-Knoten X und zugeh¨ igem lokalen Koordinaten Theta durch die Verwendung der Frei-
vernetzer im Gegensatz zu den mapped meshing techniques verloren und muß im Rahmen
einer Nachlaufberechnung (lokale Iteration) ermittelt werden. Diese Informationen werden
¨ herweise in kommerziellen Softwareumgebungen nicht zur Verf¨ gestellt.
4.2. Approximationsr¨ und Adaptivit¨ 81
4.2 Approximationsr¨ e und Adaptivit¨
Dieser Abschnitt enth¨ einige Bemerkungen zur Wahl der Form- und Ansatzfunktionen f¨
Geometrie und Verschiebung sowie Erl¨ erungen zum Potential adaptiver Methoden in der
Strukturanalyse und -optimierung.
Die ¨ erlegungen basieren auf der folgenden Strukturierung der adaptiven Ver¨
beider Modelle:
1. Wahl der Approximationsr¨ e
Die Diskretisierung von Geometrie bzw. Verschiebung wird durch die Wahl eines spezi-
ellen Atlanten vorgenommen, d.h. die Approximation besteht aus der Wahl der lokalen
Umgebungen (CAGD-Patches bzw. FEM-Elementnetz) sowie der in den einzelnen Pat-
ches bzw. Elementen eingef¨ Form- bzw. Ansatzfunktionen.
2. Wahl der Verfeinerungsstrategie
F¨ die Anwendung adaptiver Methoden muß zun¨ hst die Strategie der Modell-
ver¨ festgelegt werden, d.h. die technischen Details f¨ den ¨ ergang zwischen
zwei Atlanten. Hierbei sind sowohl Verfeinerung bzw. Vergr¨ erung der (CAGD- bzw.
FEM)-Netze und die Ver¨ g der Form- und Ansatzfunktionen in jedem Patch
bzw. Element zu ber¨ ksichtigen. Dar¨ erhinaus kann auch eine Ver¨ ung der
Zeitdiskretisierung erforderlich sein. Der Transfer der bereits auf einem Modell be-
rechneten Gr¨ en auf das nachfolgende ver¨ e Modell erfordert insbesondere bei
geschichtsabh¨ igen Prozessen eine genauere Betrachtung. Als anspruchsvollste Art
der Verfeinerungsstrategie ist die Ver¨ g des zugrundeliegenden mathematischen
Modells anzusehen.
3. Wahl der Verfeinerungskriterien
Entscheidend f¨ den Erfolg der adaptiven Berechnung ist die Bereitstellung geeigneter
Verfeinerungskriterien, die Hinweise auf die effektivste Wahl des diskreten Modells ge-
ben, um eine gew¨ hte Genauigkeit des Ergebnisses garantiert sicherzustellen. Diese
Problemstellung ist f¨ Fragen der FEM-Netzverfeinerung seit Jahren ein großes For-
schungsgebiet, welches sowohl von Ingenieuren als auch von Mathematikern bearbeitet
wird. F¨ Fragen der Optimierung (und hier insbesondere der Strukturoptimierung)
liegen erst anf¨ liche Ergebnisse vor.
4.2.1 Anmerkungen zur Wahl der Approximationsr¨ e
4.2.1.1 Approximation und Variation der Verschiebung
Im Rahmen der FEM werden in zahlreichen Arbeiten die Ansatzr¨ unterschiedlichster
Formulierungen und Strategien diskutiert. Eine Darstellung an dieser Stelle w¨ e unvoll-
st¨ und sollte deshalb auch unterbleiben. Grunds¨ zlich ist jedoch festzustellen, daß die
Anzahl der Freiheitsgrade sehr groß ist und i.d.R. nur durch die Rechnergr¨ e bzw. das
Erreichen der gew¨ hten Genauigkeit beschr¨ t ist. F¨ die Variation der Verschiebung
m¨ n keine besonderen Bedingungen erf¨ werden. Eine Ausnahme mag die Sicherstel-
lung positiver Jacobideterminaten des materiellen Deformationsgradienten im Rahmen ite-
rativer nichtlinearer Prozesse sein. Hier kann die Wahl der Ansatzfunktion direkten Einfluß
82 Kapitel 4. Diskretisierungskonzepte f¨ Geometrie und physikalische Gr¨ en
auf die Empfindlichkeit der Elemente bei großen Verschiebungszuw¨ hsen (große Schritte
im Newton-Verfahren) haben. Der Grund hierf¨ liegt darin, daß die schwache Form f¨
alle Testfunktionen etah element Vh erf¨ sein muß, d.h. es wird keine spezielle Richtung in Vh
vorgegeben.
4.2.1.2 Approximation und Variation der Geometrie
Die CAGD-Methoden sind in der Literatur hinreichend beschrieben und sollen an dieser
Stelle nur qualitativ im Vergleich zur FEM betrachtet werden. Im Gegensatz zur FEM (dort
die Ansatzfunktionen) ist die Komplexit¨ der (CAGD-) Formfunktionen wesentlich gr¨ er.
In der FEM werden i.d.R. einfache (polynominale) Ansatzfunktionen geringer Ordnung ein-
gesetzt.Im Gegensatz hierzu verwendet das CAGD Formfunktionen h¨ Ordnung wie
z.B. die NURBS oder trimmed surfaces.
Weiterhin hat die automatische Strukturoptimierung gezeigt, daß ein Einsatz der FE-Knoten-
koordinaten als Designvariablen ungeeignet ist und durch eine h¨ Regularit¨ der geo-
metrischen Form ersetzt werden sollte, siehe z.B. [142, 146]. Dieses wurde durch den Einsatz
der CAGD-Modelle in der Formoptimierung erreicht. Hierdurch ist jedoch nur die Gren-
ze der Anwendung herausgeschoben worden, d.h. die dort beobachteten Ph¨ mene treten
jetzt im Rahmen ungeeignet gew¨ er CAGD-Patches auf. Ein Beispiel hierf¨ ist mit dem
hierarchischen Optimierungsmodell in [94, 97] angegeben worden.
Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß die Modellierung der Geometrie durch eine
kleine Anzahl aussagekr¨ er Formfunktionen sehr wertvoll f¨ die automatische Struk-
turoptimierung ist. Zum einen wird hierdurch die Anzahl der Designvariablen im Rahmen
der NLP-Algorithmen und somit die Rechenzeit begrenzt, zum anderen k¨ manche
Design¨ en erst damit erreicht werden. Die Konvergenz des Verfahrens (gegen ein
ingenieurm¨ ig sinnvolles lokales Minimum) ist aufgrund der vielen lokalen Minima nicht
immer sichergestellt.
4.2.1.3 Beziehungen zwischen den Approximationen
Die Kopplung von Geometriemodellen und der FE-Methode wird insbesondere in der nu-
merischen Untersuchung von Schalen seit Jahren praktiziert, siehe z.B. [105, 189]. Es wird
berichtet, daß bei glatten Fl¨ hen in der Regel keine numerischen Probleme auftreten, d.h. die
Kopplung mit grunds¨ zlich unterschiedlichen Ans¨ zen ohne Schwierigkeiten erfolgen kann.
Ist die CAGD-Geometrie jedoch nicht hinreichend glatt, so ist die bekannte Approximation
der Geometrie durch ein isoparametrisches Vorgehen numerisch stabiler. Eine mathematische
Begr¨ f¨ dieses Ph¨ men ist bisher meines Wissens nach noch nicht bekannt.
4.2.2 Anmerkungen zur Wahl der Verfeinerungsstrategien
Die Verfeinerungsstrategien im Rahmen der FEM sind aus der Literatur bekannt.
Im Rahmen der Strukturoptimierung m¨ n zus¨ zlich zur FEM-Netzverfeinerung (bzw.
auch Netzvergr¨ erung) sowie der Zeitschrittsteuerung die Verfeinerungsstrategien f¨ das
Geometrie- bzw. das Optimierungsmodell betrachtet werden. Hinweise hierzu enthalten die
Arbeiten [94, 95, 96, 97], die kurz zusammengefaßt werden.
4.2. Approximationsr¨ und Adaptivit¨ 83
4.2.2.1 Ver¨ ung des Geometriemodells
Hiermit ist die durch adaptive Kriterien gesteuerte Erweiterung oder Beschr¨ ung der
Geometrieapproximation bzgl. der geometrischen Designvariablen gemeint.
• Technische Schwierigkeiten entstehen, wenn durch die Dimensionserweiterung zus¨ z-
licher Speicherplatzbedarf entsteht bzw. sich die Struktur der Hessematrix bzw. deren
BFGS-Approximation ¨ . Abhilfe ist durch nichtaktive Dummyvariablen in ausrei-
chender Anzahl m¨ lich. Hierdurch wird der Zeitbedarf im NLP-Problem nicht erh¨ t.
• F¨ die Ver¨ ng des Geometriemodells sind gestaltserhaltende alternative Be-
schreibungen mit h¨ Freiwerten m¨ lich, siehe [94, §5.1]. Damit kann eine ad-
aptive Erweiterung des Modells ohne Unstetigkeitssprung in der Form zwischen auf-
einanderfolgenden Modellen erfolgen.
• Ein wichtiger Testraum f¨ m¨ liche Erweiterungen des CAGD-Designraumes stellt die
vorhandene FEM-Geometriebeschreibung dar. Durch Untersuchung m¨ licher FEM-
Geometrie¨ en k¨ sinnvolle CAGD-Designmodelle eingef¨ werden.
4.2.2.2 Ver¨ ung des Optimierungsmodells
Hiermit ist die durch adaptive Kriterien gesteuerte Ver¨ ung der Lagrangefunktion hin-
sichtlich der zu ber¨ ksichtigenden Nebenbedingungen und evtl. Zielfunktionsanteile ge-
meint.
Die Ver¨ g der Geometrie im Verlauf einer Optimierungsberechnung kann zur Mo-
difikation der Tragwirkung einer Struktur f¨ Hierdurch werden auch die relevanten
Nebenbedingungen beeinflußt, d.h. Spannungsbeschr¨ ungen in bisher nicht betrachteten
Bereichen sowie evtl. Stabilit¨ sph¨ mene treten erst w¨ end der Berechnung auf. Eine
adaptive Kontrolle des Optimierungsmodells ber¨ ksichtigt diese Effekte.
4.2.3 Anmerkungen zur Wahl der Verfeinerungskriterien
Zur Untersuchung von Adaptionskriterien werden die Beziehungen im Abschnitt 3.6 benutzt.
Die Stationarit¨ nablaL = 0 der Lagrangefunktion gem¨ Gleichung (3.102), d.h. von
LTheta(tildewide; tildewide, tildewide) := tildewideTheta(tildewide, tildewide) + RTheta(tildewide; tildewide, tildewide),
stellt eine notwendige Optimalit¨ sbedingung dar. Die L¨ wird durch das Tripel (tildewide, tildewide, tildewide)
bezeichnet, das die auf dem Parametergebiet TTheta eingef¨ Abbildungen f¨ die Lagrange-
Multiplikatoren, Geometrie und Verschiebung enth¨ .
Die numerische Untersuchung kann die obige Bedingung nur approximativ erf¨ wobei
sowohl eine Verbesserung des Geometriemodells (CAGD, Abbildung tildewide) als auch des Berech-
nungsmodells (FEM, Abbildung tildewide) betrachtet werden muß.
84 Kapitel 4. Diskretisierungskonzepte f¨ Geometrie und physikalische Gr¨ en
4.2.3.1 Modellprobleme f¨ den Einsatz adaptiver Methoden
F¨ die Betrachtung m¨ licher Adaptionskriterien ist die Einf¨ von vier Modellproble-
men f¨ die Strukturoptimierung von Interesse. Angegeben werden dabei jeweils die lokalen
Geometrie- und Verschiebungsabbildungen in den jeweils g¨ en Approximationsr¨
Durch die Einf¨ der lokal-konvektiven Betrachtungsweise wird die optimale Geometrie
durch die Angabe der zugeh¨ igen Abbildung tildewide element Gg beschrieben. Auch hier zeigt sich die
¨Ahnlichkeit zur Formulierung bzgl. der Verschiebungsl¨osung tildewidenu element Vh in der FEM.
AM-1: kontinuierliche Geometrie tildewide element G kontinuierliche Verschiebung tildewide element V
AM-2: kontinuierliche Geometrie tildewide element G diskrete Verschiebung tildewideh element Vh
AM-3: diskrete Geometrie tildewideg element Gg kontinuierliche Verschiebung tildewide element V
AM-4: diskrete Geometrie tildewideg element Gg diskrete Verschiebung tildewideh element Vh
F¨ diese vier unterschiedlichen Situationen k¨ die folgenden Konvergenzfragen von
Bedeutung sein. Hierzu wird die Abh¨ igkeit einer beliebigen Ergebnisfunktion alpha, z.B. die
Zielfunktion tildewideTheta, vom Tripel (tildewide, tildewide, tildewide) betrachtet.
Die interessierenden Modellprobleme lauten.
• Modellproblem 1: Konvergenz von (AM-3) in (AM-1)
Betrachtet werden Problemstellungen, die bzgl. der Strukturanalyse exakt l¨ r sind,
d.h. bei der keine Raumdiskretisierungsfehler z.B. durch die FE-Methode auftreten.
Dann ist es von Interesse, wie sehr die L¨ des diskreten Problems (AM-3), d.h.
der diskreten optimalen Form tildewideg element Gg propersubset G, von der L¨ des kontinuierlichen
Problems (AM-1), d.h. von tildewide element G, abweicht. Die Abweichung gibt hierbei nur den
Fehler bardbltildewide - tildewidehbardbl in einer geeigneten Norm an.
Weiterhin interessiert der Fehler in den Verschiebungsl¨ en, d.h. bardblu(tildewide) - u(tildewideg)bardbl
sowie der Fehler einer Ergebnisfunktion bzw. Zielfunktion bardblalpha(u(tildewide)) -alpha(u(tildewideg))bardbl.
• Modellproblem 2: Konvergenz von (AM-2) in (AM-1)
Das gleiche Optimum tildewide element G kann durch den Grenz¨ ergang bei einem numerischen
FE-Diskretisierungsverfahren auftreten, d.h. die approximierende L¨ (tildewideh, tildewideh, tildewideh
f¨ das Approximationsmodell (AM-2) geht durch entsprechende (adaptive) Netzver-
feinerung im Grenzprozeß in die kontinuierliche L¨ von (AM-1), d.h. in (tildewide, tildewide, tildewide),
¨ er.
• Modellproblem 3: Konvergenz von (AM-4) in (AM-3)
Die letzte Fragestellung kann nat¨ h auch bzgl. eines beliebigen Unterraumes Gg propersubset G
betrachtet werden.
• Modellproblem 4: Konvergenz von (AM-4) in (AM-1)
Die letzte Fragestellung ist die Konvergenz der mittels einer approximierten Geometrie
und einer approximierenden FE-Methode berechneten L¨ (tildewideg,h, tildewideg,h, tildewideh) gegen
die kontinuierliche L¨ (tildewide, tildewide, tildewide). Diese Fragestellung ist komplex, spiegelt aber die
Notwendigkeit der Ingenieurpraxis wider.
4.2. Approximationsr¨ und Adaptivit¨ 85
Der Wert der Zielfunktion tildewide sowie das Tripel (tildewide, tildewide, tildewide) stellen die L¨ des Optimierungs-
problems dar. F¨ die G¨ der L¨ k¨ vielf¨ ige Maße (Normen) betrachtet werden,
wobei grunds¨ zlich auch beliebige Ergebnisfunktion alpha auftreten k¨
4.2.3.2 Adaptionskriterien f¨ Optimierungprobleme
Die mathematische Literatur weist unz¨ e Arbeiten zur FE-Adaptivit¨ bei linearen bzw.
nichtlinearen Strukturanalyseproblemen auf. Optimierungsprobleme sind demgegen¨ er kom-
plexer und werden erst seit k¨ in der mathematischen Literatur betrachtet, siehe z.B.
[161, 45] sowie die darin enthaltenen weiteren Literaturhinweise. Die betrachteten Problem-
klassen behandeln Optimierungsprobleme und liefern f¨ einfache exemplarische Modellpro-
bleme a-priori und a-posteriori Fehlersch¨ zer.
4.2.3.3 Vorschl¨ e f¨ Adaptionskriterien zur Strukturoptimierung
Seitens der Ingenieure wurden heuristische Fehlerindikatoren angegeben und im Rahmen
bestehender Optimierungsprogramme auf gr¨ ere Beispielprobleme angewendet, siehe z.B.
Falk [94], O˜ Bugeda [64], Banichuk et al. [11, 12] sowie Ramm et al. f¨ die Anwen-
dung auf Topologieoptimierungsprobleme, siehe die Angaben in [165]. Auf eine detaillierte
Darstellung wird an dieser Stelle verzichtet.
86 Kapitel 4. Diskretisierungskonzepte f¨ Geometrie und physikalische Gr¨ en
Kapitel 5
Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ ter
Problemklassen der nichtlinearen
Strukturmechanik
In diesem Kapitel werden im ersten Abschnitt grundlegende Hinweise zur Struktur der Sen-
sitivit¨ sanalyse gemacht. Besonderer Wert wird dabei auf die Bereitstellung der gegen¨ er
der Strukturanalyse notwendigen Zusatzinformationen (wie z.B. der tangentialen Sensiti-
vit¨ smatrix) gelegt.
Der zweite Abschnitt f¨ einige Hinweise zur Implementation der Methodik auf und ver-
weist auf weitere entstandene Ver¨ tlichungen.
Der Abschnitt 5.3 widmet sich ausf¨ h dem ausgew¨ en Modellproblem, d.h. der Sen-
sitivit¨ sanalyse in der Sch¨ ungsmechanik.
Inhaltsangabe
5.1 Grundstruktur der Sensitivit¨ . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.2 Berechnung der Elementbeitr¨ zur Sensitivit¨ . . . . . . . . . . 90
5.1.3 Bereitstellung der globalen Sensitivit¨ atrix . . . . . . . . . . . 91
5.1.4 Berechnungsstrategien f¨ die Sensitivit¨ se . . . . . . . . . 91
5.1.5 Numerische Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.6 Sensitivit¨ der Verschiebungen und Spannungen . . . . . . . . . . 94
5.1.7 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Hinweise zur Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.1 Kontrolle der entwickelten Sensitivit¨ . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.2 Weitere Problemstellungen und L¨ erfahren . . . . . . . . . . 99
5.3 Sensitivit¨ in der Sch¨ hanik . . . . . . . . 100
5.3.1 Finite Elastizit¨ mit isotroper Sch¨ gung . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.2 Sensitivit¨ f¨ Sch¨ gung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
87
88 Kapitel 5. Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ er Problemklassen
5.3.3 Hinweise zur numerischen Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.4 Numerische Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3.5 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.1. Grundstruktur der Sensitivit¨ sanalyse 89
5.1 Grundstruktur der Sensitivit¨ sanalyse
Die theoretischen Grundlagen zur Sensitivit¨ sanalyse wurden ausf¨ h hergeleitet und
f¨ zur Einf¨ von Linear- und Bilinearformen im Abschnitt 3.6.3. Am Beispiel der
linearisierten Elastizit¨ stheorie im statischen Gleichgewicht werden die zugeh¨ igen diskre-
ten Formulierungen angegeben sowie die Algorithmen der Sensitivit¨ sanalyse erl¨ ert.
5.1.1 Grundlagen
Die Darstellung basiert auf den Angaben im Abschnitt 3.6.3, d.h. der Kenntnis der Varia-
tion der schwachen Form des Gleichgewichts R = 0 sowie der Variation einer beliebigen
Zielfunktion oder Nebenbedingung phi1i, d.h.
deltaR = deltaXR+ deltauR = s(eta,deltaX) + k(eta,deltau) = 0 (5.1)
deltaphi1i = deltaXphi1i + deltauphi1i = ai(deltaX) + bi(deltau). (5.2)
Hierbei beschreibt eta eine Testfunktion und deltaX bzw. deltau sind die Geometrievariation und die
sich hieraus ergebende Variation des Verschiebungszustandes. Die Bilinearformen k(eta,deltau)
und s(eta,deltaX) beschreiben die tangentiale Steifigkeit (’tangent stiffness’) bzw. die tangentiale
Geometriesensitivit¨ (’tangent sensitivity’). Analog sind ai(deltaX) und bi(deltau) Linearformen,
die sich aus der Variation einer Zielfunktion bzw. Nebenbedingung phi1i bzgl. Geometrie und
Verschiebung ergeben.
Diese Zusammenh¨ e sind fundamental und in der Literatur hinreichend bekannt. Trotzdem
treten in der praktischen Durchf¨ die folgenden Probleme auf.
1. Wie k¨ die Linear- und Bilinearformen, d.h. ai(deltaX),bi(deltau) und s(eta,deltaX),k(eta,deltau),
m¨ lichst effizient im Rahmen eines allgemeing¨ en Zuganges auch f¨ komplexes
nichtlineares Material- und Strukturverhalten hergeleitet werden?
2. Welche Art der Diskretisierung ist bzgl. Geometrie und Verschiebung vorzunehmen?
Diese grunds¨ zlichen Fragen wurden in den bisherigen Kapiteln dieser Arbeit behandelt.
F¨ das Beispiel isoparametrischer Elemente erh¨ man den globalen Knotenverschiebungs-
vektor ˆ element Rnu und den Vektor der Knotenkoordinaten ˆ element Rnx, welche die diskreten
Approximationen von Verschiebung und Geometrie beschreiben. Hierbei sind nu und nx die
Dimensionen der eingef¨ Approximationsr¨
F¨ jede gegebene Diskretisierung m¨ n die Elementbeitr¨ e der Steifigkeit ke und der
Sensitivit¨ se abgeleitet, implementiert, berechnet und zu den globalen Matrizen KT und
ST assembliert werden. Der Index T wird zur Schreibvereinfachung im weiteren fortgelas-
sen. Die Herleitung und Implementierung der Elementbeitr¨ e sollte zuk¨ sowohl die
Steifigkeit als auch die Sensitivit¨ beinhalten. Hierbei ist die gleichzeitige Bereitstellung
beider Bestandteile ratsam, da nur so ein minimaler Mehraufwand f¨ die zus¨ zliche Sensi-
tivit¨ analyse gegen¨ er der Strukturanalyse entsteht. Die nachtr¨ liche Herleitung und vor
allem der nachtr¨ liche Einbau der Sensitivit¨ en auf Elementebene haben sich als uneffizient
herausgestellt.
90 Kapitel 5. Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ er Problemklassen
Mit den bereitgestellten und assemblierten Elementbeitr¨ en ergeben sich die diskreten Ma-
trizenbeziehungen
Sdelta ˆ + Kdelta ˆ = 0 und deltaphi1i = aTi delta ˆ + bTi delta ˆ , (5.3)
wobei delta ˆ und delta ˆ die Variation der diskreten Knotenverschiebungen und bzw. der Knoten-
koordinaten beschreiben. Durch die obige Gleichung ist delta ˆ implizit bei Vorgabe von delta ˆ
definiert und kann in expliziter Form durch
delta ˆ = -K-1 S delta ˆ = A delta ˆ mit A := -K-1 S (5.4)
angegeben werden. Die resultierende Matrix A verbindet die Variation der Verschiebung (des
Gleichgewichtspunktes) mit einer beliebigen Variation der Geometrie. Dieses bedeutet, daß
mit Kenntnis der Matrix A beliebige Sensitivit¨ en bzgl. der Form¨ ngen delta ˆ j leicht
berechnet werden k¨ d.h.
deltaphi1i = bracketleftbig aTi -bTi K-1 S bracketrightbig delta ˆ j = bracketleftbig aTi + bTi A bracketrightbig delta ˆ j j = 1,2,...,ndv, (5.5)
wobei ndv die Anzahl der Designvariablen ist.
F¨ einen effizienten Gesamtalgorithmus m¨ n die folgenden Fragen beantwortet werden.
3. Wie werden die Vektoren ai, bi sowie die Elementmatrizen ke (’tangent stiffness ma-
trix’) und se (’tangent sensitivity matrix’) bereitgestellt?
4. Wie k¨ die Elementbeitr¨ e m¨ lichst effizient zu den globalen Vektoren und Ma-
trizen (’tangent sensitivity matrix’ S) assembliert werden und wie kann der zus¨ zliche
Speicherbedarf minimiert werden?
5. Wie kann der numerische Aufwand zur Auswertung von Gleichung 5.4 minimiert wer-
den?
Diese Fragen werden in folgenden Abschnitten behandelt. Hierbei wird besonderer Wert
auf die gleichzeitige Behandlung der Steifigkeit und der Sensitivit¨ zur Minimierung des
Zusatzaufwandes aufgrund der Sensitivit¨ sanalyse gelegt. Die hergeleitete Methodik zur
Berechnung und Speicherung der Matrizen wird an einem Testbeispiel demonstriert.
5.1.2 Berechnung der Elementbeitr¨ e zur Sensitivit¨
F¨ die linearisierte Elastizit¨ stheorie ergibt die Variation der schwachen Form bzgl. der
Verschiebungen
deltauRinte =
nelsummationdisplay
I=1
nelsummationdisplay
J=1
etaTI
bracketleftBiggintegraldisplay
VOmegae
BTI C BJ dVOmegae
bracketrightBigg
delta ˆ J = etaTe ke delta ˆ e,
wobei etae und delta ˆ e die lokalen Elementvektoren der diskreten Testfunktion und der Verschie-
bungsvariation sind. Entsprechend folgt f¨ die Geometrievariation
deltaXRinte =
4summationdisplay
I=1
4summationdisplay
J=1
etaTI
bracketleftBiggintegraldisplay
VOmegae
braceleftbig-BT
I C BJ H - ˆsigma LJ L
T
I + ˆsigmaLI L
T
J
bracerightbig dV
Omegae
bracketrightBigg
delta ˆ J = etaTe se delta ˆ e.
5.1. Grundstruktur der Sensitivit¨ sanalyse 91
Die Details der Matrizendarstellung k¨ aus der kontinuierlichen Form leicht hergeleitet
werden, siehe [38]. An dieser Stelle soll nur auf die vollst¨ identische Struktur der Be-
rechnung von Steifigkeit und Sensitivit¨ hingewiesen werden. Der zus¨ zliche Aufwand f¨
die Sensitivit¨ kann mit der Erweiterung von einer geometrisch linearen zu einer geome-
trisch nichtlinearen Formulierung gleichgesetzt werden. Damit k¨ sie im Rahmen eines
begrenzten Mehraufwandes abgeleitet, implementiert und berechnet werden.
5.1.3 Bereitstellung der globalen Sensitivit¨ smatrix
Die Elementsensitivit¨ smatrizen se m¨ n nach ihrer Berechnung auf Elementebene zu der
globalen Sensitivit¨ smatrix S assembliert werden. Die hierzu notwendigen Schritte werden
in K¨ dargestellt.
1. Globale (auf der Systemebene) und lokale (auf der Elementebene) Vektoren der geo-
metrischen Parameter m¨ n eingef¨ werden. Die Steifigkeitsmatrix besitzt die
Dimension nu × nu aber kann effizient aufgrund der Bandstruktur gespeichert wer-
den sofern eine Knotennummernoptimierung verwendet wird. Die Sensitivit¨ smatrix
besitzt die Dimension nu × nx und ihre Struktur als unsymmetrische Matrix h¨ t
wesentlich von der Wahl der Geometrieapproximation ab.
2. Der Einfluß der Geometrieparameter f¨ die Verschiebungen des FE-Modells muß f¨
das gew¨ e Geometriemodell bekannt sein. Im Rahmen einer hier untersuchten bili-
nearen isoparametrischen FE-Methode sind die Zusammenh¨ e einfach, k¨ aber
i.d.R. entsprechend der Darstellungen in Kapitel 4 komplexer sein. F¨ den hier vorlie-
genden Fall liefern nur die Knotenkoordinaten einen Beitrag zur Sensitivit¨ smatrix,
die zum betrachteten Knoten der Verschiebungen benachbart sind. Die Geometriepara-
meter spannen einen endlichdimensionalen Raum der Gr¨ e nx auf, der alle m¨ lichen
Designs und die zugeh¨ igen Variationen enth¨ .
3. Integer- oder logische Flags zur Festlegung von ”Randbedingungen“ f¨ die geometri-
schen Parameter m¨ n eingef¨ und verwaltet werden. Hierdurch kann eine Re-
duktion des Raumes zul¨ Geometrievariationen erreicht werden.
4. Ein Zeiger f¨ die Speicherpl¨ ze der globalen Matrix in einer kompakten Speiche-
rung muß eingef¨ werden. Da nur Matrix-Vektor-Multiplikationen berechnet werden
m¨ n, ist keine besondere Struktur f¨ die Speicherung der globalen Sensitivit¨ sma-
trix vorzuhalten. Es zeigt sich somit, daß der Gesamtspeicherplatzbedarf f¨ S geringer
als der Speicherplatzbedarf der Steifigkeitsmatrix in Column-Height-Technik ist, sie-
he auch das numerische Beispiel. Bei einer kompakten Speichertechnik sowohl f¨ die
Steifigkeitsmatrix als auch f¨ die Sensitivit¨ smatrix verdoppelt sich bei isoparame-
trischen Elemente (ungef¨ ) der Speicherplatzbedarf.
5. Abschließend m¨ n noch die Einbauroutinen f¨ das Assemblieren der lokalen zu den
globalen Sensitivit¨ smatrizen bereitgestellt werden.
5.1.4 Berechnungsstrategien f¨ die Sensitivit¨ sanalyse
Die Durchf¨ der Sensitivit¨ sanalyse orientiert sich an Gleichung (5.4), wobei die fol-
genden Hinweise f¨ eine effiziente Auswertung beachtet werden sollten.
92 Kapitel 5. Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ er Problemklassen
1. Die variationelle Darstellung der Sensitivit¨ sanalyse liefert kontinuierliche Aussagen,
d.h. f¨ jede Art der Diskretisierung k¨ die zugeh¨ igen Approximationen schnell
bereitgestellt werden. Als Beispiel sei delta ˆ = A delta ˆ betrachtet, d.h. die Variation der
geometrischen Parameter ergibt die zugeh¨ ige Variation der Gleichgewichtsverschie-
bungen. Allgemeiner sind jedoch nicht nur einzelne Vektoren sondern beide Approxi-
mationsr¨ hierdurch verkn¨
2. Der Ansatzraum f¨ die Verschiebungen wird im Rahmen der adaptiven Strukturana-
lyse gew¨ , um die gew¨ hte Genauigkeit der Ergebnisse sicherzustellen. Damit ist
die Dimension nu des Knotenverschiebungsvektors ˆ und somit der Steifigkeitsmatrix
und ebenfalls die Zeilenanzahl von S und A vorgegeben.
3. Die Dimension nx des Approximationsraumes f¨ die Geometrie wird ¨ er die Wahl
der Methode, d.h. z.B. der isoparametrischen Elemente, bestimmt. ¨ herweise sind
die Variationen delta ˆ im selben Ansatzraum Rnx. Durch Wahl der ”Randbedingungen“
kann die Dimension jedoch noch reduziert werden. Auf eine Darstellung dieses Effektes
wird hier verzichtet. Damit f¨ die Anzahl der Spalten von S und A mit der Dimension
nx zusammen.
4. Die numerische Berechnung der Matrix A = -K-1 S ist in der Regel nicht ratsam.
Die nu × nx Matrix A ist vollbesetzt und erfordert damit den maximalen Speicher-
platzbedarf. Eine Berechnung und Speicherung ist nur dann effizient m¨ lich, wenn die
Anzahl nx hinreichend klein ist. In diesem Fall ist die Anzahl der Vorw¨ ts-R¨ kw¨ ts-
Substitutionen zur L¨ linearer Systeme und ebenfalls der Speicherplatzbedarf f¨
die volle nu ×nx Matrix A begrenzt und somit auch durchf¨ r.
5. Bei der isoparametrischen FE-Methode wird die Geometrie des K¨ pers mittels der
Knotenkoordinaten beschrieben. Aufgrund der großen Knotenanzahl ist es vorteilhaf-
ter, S getrennt zu speichern und f¨ die Multiplikationen die urspr¨ he Form K-1 S
anstatt A zu verwenden. In diesem Fall ist entweder die direkte oder die adjungierte
Methode von Vorteil, wobei die Effizienz von der Anzahl der Nebenbedingungen und
der Designvariablen abh¨ t
6. F¨ eine Erweiterung auf geschichtsabh¨ iges Material, z.B. die Prandtl-Reuß-Elasto-
plastizit¨ , muß die Matrix A in jedem Zeitschritt aufdatiert werden. D.h. hier ist es
dringend erforderlich, effiziente Geometriemodelle einzuf¨ siehe [40].
5.1.5 Numerische Experimente
Ein numerisches Experiment (Scheibe mit Loch) wurde durchgef¨ um die Rechenzei-
ten f¨ die Struktur- und Sensitivit¨ sanalyse zu vergleichen. Eine isoparametrische Ele-
mentformulierung (Q1) f¨ das linear-elastische Problem wurde dabei als Extremfall f¨ das
Verh¨ nis der Rechenzeiten betrachtet, da bei nichtlinearem Verhalten der Rechenzeitbe-
darf f¨ die Strukturanalyse w¨ hst und die Geometriebeschreibung mit bilinearen Elemente
die meisten Geometrieparameter (d.h. Knotenkoordinaten) ben¨ igt. Der Quotient ”Zeit f¨
Sensitivit¨ sanalyse/Zeit f¨ Strukturanalyse“ ist somit maximal.
Ein Gewichtsminimierungsproblem wurde betrachtet, wobei 12 Kontrollpunktkoordinaten
gem¨ Bild 5.1 als Designvariablen gew¨ wurden. Insgesamt 8 Verschiebungskomponen-
ten an den Eckpunkten des symmetrischen Viertelsystems sowie die Vergleichsspannungen in
5.1. Grundstruktur der Sensitivit¨ sanalyse 93
72 Elementen der Randschichten wurden kontrolliert. Das dargestellte Ausgangsnetz wurde
mehrfach gleichm¨ ig verfeinert, um ein hinreichend großes FE-Sytem zu erhalten. Die Li-
nien bezeichnen die Symmetrieachsen, in denen die Horizontal- bzw. Vertikalverschiebungen
unterdr¨ kt sind.
Kontrollpunkte Ausgangssystem
Bild 5.1: CAGD und FEM Modelle
Alle Berechnungen wurden auf einem Pentium PC (133 Mhz und 64 MB RAM) mit einem
Linux Betriebssystem und dem G77-Fortrancompiler durchgef¨
Die Problemgr¨ e kann folgendermaßen beschrieben werden: 7.168 bilineare isoparametrische
Elemente (nel), 7.345 FE-Knoten (nnode) und 14.464 Freiheitsgrade (nu = 2 nnode - b.c.)
in der Strukturanalyse, wobei b.c. die Anzahl der Randbedingungen ist. Es ergab sich eine
Bandbreite von 245 und ein Speicherplatzbedarf von 2.138.810 Eintr¨ en f¨ die tangentiale
Steifigkeitsmatrix bei einer Skyline-Speicherung bei einem direkten L¨ Dieser Speicher-
bedarf kann bei iterativen L¨ noch weiter reduziert werden.
Das Geometriemodell besteht aus 14.690 Knotenkoordinaten (nx = 2 nnode) mit einem
Speicherplatzbedarf von nur 257.468 Eintr¨ en f¨ die globale Sensitivit¨ smatrix S auf-
grund der kompakten Speichertechnik. Der zus¨ zliche Speicherplatzbedarf f¨ S, d.h. f¨
die nichtverschwindenen Eintr¨ e in einer nu × nx Matrix, ist f¨ direkte L¨ erheblich
kleiner als der Bedarf f¨ die Steifigkeitsmatrix. Im Fall iterativer L¨ ben¨ igt die globale
Sensitivit¨ smatrix einen vergleichbaren Speicherplatz wie die Steifigkeitsmatrix.
Die gew¨ e isoparametrische Methode gew¨ leistet keine optimale Modellierung der Op-
timierungsaufgabe. Dieses ist darin begr¨ daß die gew¨ e Approximation f¨ das
Verschiebungsfeld aufgrund von Fehlerindikatoren und adaptiver Netzverfeinerung gew¨
wird. Damit wird aber auch das geometrische Modell st¨ verfeinert, da eine lineare
Abh¨ igkeit nx = 2 nnode zwischen FE-Knoten und der Gr¨ e von S besteht. Die Ver-
feinerung des Geometriemodells aufgrund der Netzadaptivit¨ kann f¨ die Strukturanalyse
noch toleriert werden, ist aber in der Strukturoptimierung nicht akzeptabel.
94 Kapitel 5. Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ er Problemklassen
Die Zeiten zur Berechnung von K und S betragen 9.3 sec und 15.2 sec. Der Zeitaufwand f¨
S stimmt mit dem Mehraufwand zur Bestimmung der Elementsensitivit¨ smatrizen ¨ erein.
Die Faktorisierung der globalen Steifigkeitsmatrix betr¨ t 16.5 sec, die Zeit f¨ die L¨
der linearen Gleichung f¨ eine rechte Seite ist 0.6 sec. Die Gesamtzeit zur L¨ der Struk-
turanalyse betr¨ t 26.4 sec.
Die Zeiten f¨ die grundlegenden Berechnungen in der Sensitivit¨ sanalyse lauten: 0.4 sec
f¨ die Multiplikation von S mit einem Vektor, 1 sec zur Berechnung von ai und 12 sec f¨
10.000 Multiplikationen aTi delta ˆj.
Die gesamte Zeit f¨ die Sensitivit¨ sanaylse betr¨ t 97 sec f¨ den Fall einer adjungierten
Methode und 27 sec f¨ die direkte Methode. In diesem Fall ist die direkte Methode aufgrund
der geringeren Anzahl der Designvariablen vorzuziehen, d.h. 12 Designvariable im Vergleich
zu 80 Nebenbedingungen. In diesem Fall ist die Sensitivit¨ sanalyse genau so aufwendig wie
die Strukturanalyse.
5.1.6 Sensitivit¨ der Verschiebungen und Spannungen
Die Sensitivit¨ en f¨ die Verschiebungen und Spannungen in den einzelnen finiten Elementen
k¨ im Rahmen einer Nachlaufberechnung ermittelt werden. Hierbei wird vorausgesetzt,
daß die Sensitivit¨ des Gleichgewichtszustandes deltau f¨ jede Geometrievariation deltaX vorliegt.
In den folgenden Bildern 5.2 und 5.3 werden die Details an einem einfachen Beispiel erl¨ ert.
Die dargestellte Konsole mit Loch ist an der linken Seite unverschieblich gelagert und an der
Oberkante mit einer Streckenlast belastet, siehe auch [94, §7.2]. Dargestellt sind zum einen
der Verschiebungszustand (Bild 5.2) und die sigmaxx–Spannung (Bild 5.3).
Mit der Einf¨ einer Geometrievariation deltaX ergibt sich durch Auswertung von
deltau = -K-1 S deltaX
die zugeh¨ ige Gleichgewichtsvariation deltau. Bild 5.2a zeigt die Darstellung der Geometrie ¨ er
insgesamt 9 Patches. Die Geometrievariation deltaX wird hier ¨ er ein bilineares Modell ¨ er die
gesamte Kragarmbreite und -h¨ bestimmt, siehe auch [94]. Eine virtuelle Vertikalverschie-
bung des Punktes A, d.h. deltaYA = 1, erzeugt die in Bild 5.2b dargestellte Vertikalkomponente
des virtuellen Geometriefeldes deltaX. In allen Darstellungen wird eine Farbskala entsprechend
Bild 5.6 verwendet, d.h. das Maximum wird in blauer Farbe und das Minimum in roter Farbe
dargestellt.
Die Bilder 5.2c-e zeigen die Horizontal- und Vertikalkomponenten der Verschiebungen u
im Gleichgewichtszustand und die zugeh¨ ige Variation des Verschiebungszustandes deltau. Die
Vertikalkomponente der Verschiebung und der Verschiebungsvariation verl¨ nahezu linear
zwischen der Einspannung an der linken Seite und dem freien Ende an der rechten Seite. In
Bild 5.2c ist der Druckgurt an der Kragarmunterseite sowie der Zuggurt an der Kragarm-
oberseite ansatzweise zu erkennen.
Der Ver¨ des Gleichgewichtszustandes aufgrund der eingef¨ Geometrievariation
ist somit aus den Bildern 5.2d,f abzulesen.
Die nachfolgenden Bilder zeigen s¨ tliche Feldgr¨ en und deren Variation, die zur Berech-
nung der Empfindlichkeit der Spannungskomponente sigmaxx ben¨ igt werden.
5.1. Grundstruktur der Sensitivit¨ sanalyse 95
a) CAGD Geometriebeschreibung
A
b) vertikale Komponente der
Variation deltaX
c) horizontale Komponente der
Verschiebung u
d) horizontale Komponente der
Variation der Verschiebung deltau
e) vertikale Komponente der
Verschiebung u
f) vertikale Komponente der
Variation der Verschiebung deltau
96 Kapitel 5. Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ er Problemklassen
Bild 5.2: Veranschaulichung der Sensitivit¨ sanalyse
sigmaxx Spannung
Variation der Spannung sigmaxx
deltasigmaxx = deltaXsigmaxx + deltausigmaxx
Partielle Variation deltaXsigmaxx Partielle Variation deltausigmaxx
Totale Variation deltasigmaxx
Bild 5.3: Veranschaulichung der Sensitivit¨ sanalyse f¨ die Spannungen
5.1. Grundstruktur der Sensitivit¨ sanalyse 97
Die totale Variation der Spannungskomponente sigmaxx setzt sich, wie in Bild 5.3 veranschaulicht,
aus den partiellen Variationen deltaXsigmaxx und deltausigmaxx zusammen, d.h.
deltasigmaxx = deltaXsigmaxx + deltausigmaxx.
Die Variation deltaXsigmaxx h¨ t direkt von der Geometrievariation deltaX ab und die Variation deltausigmaxx
kann ¨ er die Variation des Gleichgewichtszustandes deltau ermittelt werden. Die notwendigen
partiellen Ableitungen f¨ die Spannungen werden auf dem Elementgebiet ¨ er die zugeh¨ i-
ge konsistente Materialmatrix, d.h. die Werkstoffmatrix des Hookeschen Materialgesetzes,
und die entsprechenden Variationen des linearen Verzerrungstensors ermittelt.
5.1.7 Zusammenfassung und Ausblick
Ein wesentlicher Vorteil in der hier vorgeschlagenen Methodik liegt in der Flexibilit¨ , nach
Abschluß der Berechnung der Matrix A weitere Zielfunktionen und Nebenbedingungen phi1 und
Formvariationen betrachten zu k¨ Durch die geeignete Wahl der zul¨ Variationen
deltaX bzw. des zugeh¨ igen Approximationsraumes erm¨ licht die Formulierung eine Trennung
der Sensitivit¨ sanalyse in die CAGD- und FEM-Bestandteile. Dieses bedeutet, daß die Vek-
toren a und b sowie die Matrix A = -K-1 S im FEM-Algorithmus ohne vorherige Kenntnis
der Geometrievariation deltaX berechnet werden k¨ Die f¨ das aktuelle Optimierungspro-
blem relevanten Form¨ ngen k¨ nachtr¨ lich durch CAGD-Methoden bereitgestellt
werden.
Dieser Zugang kann auch im Rahmen eines bilinearen isoparametrischen Konzeptes verwen-
det werden, wobei der zus¨ zliche Speicherbedarf sowie die zus¨ zliche Rechenzeit f¨ die
Sensitivit¨ sanalyse den Aufwand der Strukturanalyse nicht ¨ ersteigt.
Die obengenannten Vorteile erfordern jedoch ein Geometriemodell, das es erlaubt, die Varia-
tionen deltaX effizient zu berechnen. Die Wahl eines f¨ das jeweilige Problem aussagekr¨ en
Geometriemodelles und die Bestimmung der Variationen stellt dabei in der Praxis ein we-
sentliches Problem dar. Die theoretisch m¨ lichen Vorteile, die hier an einem akademischen
Beispiel erl¨ ert wurden, sind somit bei komplexen Strukturen der Ingenieurpraxis nicht
immer auch zu realisieren.
98 Kapitel 5. Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ er Problemklassen
5.2 Hinweise zur Implementation
Die Aufgaben der Strukturmechanik k¨ aufgrund der mathematischen Struktur der
zugrundeliegenden partiellen Differentialgleichungen in elliptische, parabolische sowie hyper-
bolische Probleme unterteilt werden. Weiterhin ist eine Einteilung in unrestringierte bzw.
restringierte Aufgabenstellungen m¨ lich, die theoretisch durch Variationsgleichungen bzw.
-ungleichungen beschrieben werden.
F¨ jede dieser Problemklassen sind bereits in der Strukturanalyse unterschiedliche numeri-
sche Algorithmen zur effizienten L¨ einzusetzen. F¨ die begleitende Sensitivit¨ sanalyse
m¨ n diese algorithmischen Vorgehensweisen untersucht und geeignet erg¨ werden.
F¨ die nachfolgenden Problemstellungen wurden die Algorithmen im Forschungsprogramm-
system Inelastic Analysis and Optimization (INA-OPT) des Institut f¨ Baumechanik und
Numerische Mechanik (IBNM) der Universit¨ Hannover implementiert und mit der zu-
geh¨ igen integrierten Sensitivit¨ sanalyse erg¨ Hierbei wurde konzeptionell immer ein
geometrisch und physikalisch nichtlineares Verhalten vorausgesetzt. Das Entwicklung des
Programmsystems wurde seit ungef¨ 1988 zur L¨ von Fragestellungen der Formopti-
mierung eingesetzt, siehe hierzu die Hinweise in den Arbeiten [56, 51, 154, 187, 43, 16, 94,
193, 169, 225].
5.2.1 Kontrolle der entwickelten Sensitivit¨ en
F¨ die effiziente Entwicklung der Sensitivit¨ sanalyse in dieser Komplexit¨ ist es un-
umg¨ lich, eine schnelle Fehlerkontrolle der implementierten Beziehungen zu erm¨ lichen.
Hierbei ist es nicht m¨ lich, sich vollst¨ auf numerische Tools wie z.B. das automati-
sche Differenzieren, siehe z.B. ADIFOR, bzw. Mathematica oder ¨ he Formelmanipula-
tionsprogramme zu verlassen.Die Arbeitsgruppe hatte Zugang zu diesen Tools und hat sie
anf¨ lich auch eingesetzt. Es zeigte sich aber, daß eine CAGD-FEM-Umgebung sehr kom-
plex ist und letztendlich der Gesamtalgorithmus funktionieren muß und nicht nur ein kleines
isoliertes Teilergebnis.
Diese ¨ erlegungen f¨ dazu, die vollst¨ numerische Sensitivit¨ sanalyse als Hilfs-
mittel bei der Entwicklung der variationellen Sensitivit¨ sanalyse einzusetzen. Die Grundidee
besteht darin, sowohl die variationellen als auch die numerischen Sensitivit¨ en parallel zu
ermitteln und anschließend relative Fehler bezogen auf die Ausgangsst¨ ung zu berechnen.
Der theoretische Hintergrund kann durch die Taylorreihenentwicklung einer differenzierbaren
Funktion f verdeutlicht werden, d.h. es gilt
f(x + epsilonu) = f(x) + fprime(x) · epsilonu + 12 fprimeprime(xi) · epsilon2 u2. (5.6)
Hierbei ist xi element [x,x+epsilonu]. Werden sehr kleine St¨ ungen epsilon element [10-9,10-6] gew¨ , k¨ die
h¨ Ableitungen vernachl¨ werden. Unter der Annahme, daß die zweite Ableitung
fprimeprime im Intervall [x,x + epsilonu] beschr¨ t ist, d.h. |fprimeprime| <=< M f¨ alle xi element [x,x + epsilonu], kann die
folgende Absch¨ zung hergeleitet werden, d.h.
eta := 1|u|
bracketleftbiggf(x + epsilonu) -f(x)
epsilonu -f
prime(x)
bracketrightbigg
<=< M2 epsilon, (5.7)
5.2. Hinweise zur Implementation 99
wobei |u| negationslash= 0 vorausgesetzt wird. Die Terme in der Klammer stellen den numerischen bzw.
analytischen Wert der Sensitivit¨ dar. Sind alle analytischen (variationellen) Sensitivit¨ en
richtig implementiert, so muß die obige Kontrolle einen relativen Fehler in der Gr¨ enordnung
der aufgebrachten St¨ ung epsilon ergeben. Die jahrelange Erfahrung mit dieser Selbstkontrolle
der ermittelten Sensitivit¨ en best¨ igt, daß eine gr¨ ere Abweichung, d.h. ein Vielfaches der
aufgebrachten St¨ ung (Faktor 100 oder mehr) als relativer Fehler eta, ein sicheres Zeichen f¨
eine fehlerhafte Sensitivit¨ (theoretisch oder in der Umsetzung) ist.
5.2.2 Weitere Problemstellungen und L¨ ungsverfahren
An dieser Stelle werden Arbeiten angegeben, die weiterf¨ Hinweise zur Strukturopti-
mierung und zur Sensitivit¨ sanalyse f¨ unterschiedliche Problemstellungen enthalten. Alle
Arbeiten stehen in Verbindung mit der hier aufgezeigten Methodik und dem f¨ die Berech-
nung erforderlichen Gesamtalgorithmus zur Formoptimierung.
Die Sensitivit¨ sanalyse f¨ die nichtlineare Elastizit¨ wird in [16, 213, 19, 17, 34, 36, 24]
diskutiert. Die Arbeiten [212, 44, 43] besch¨ en sich mit der Strukturoptimierung und der
Sensitivit¨ sanalyse f¨ Stabilit¨ sprobleme.
Die Sensitivit¨ sanalyse f¨ dynamische Probleme wird in [170, 169] behandelt und die Ar-
beiten [40, 226, 227, 225] sowie [228] stellen die Ergebnisse f¨ elastoplastische Deformationen
bzw. restringierte Probleme der Shake-Down Analyse zusammen.
100 Kapitel 5. Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ er Problemklassen
5.3 Sensitivit¨ sanalyse in der Sch¨ gungsmechanik
Viele praktische Problemstellungen im Ingenieurwesen zeigen unter wechselnder Belastung
einen Abfall der Materialfestigkeit. Der komplexe mikromechanische Prozeß, der zu der beob-
achteten Aufweichung f¨ kann ph¨ menologisch auf der makroskopischen Ebene durch
die Sch¨ ungsmechanik beschrieben werden. Ein m¨ licher Zugang stellt das von Simo
[201] aufgestellte konstitutive Modell einer isotropen Sch¨ ungsmechanik bei hyperelasti-
schem Materialverhalten dar. Der zus¨ zliche theoretische und numerische Aufwand f¨ die
Aufbereitung der Sensitivit¨ sanalyse, die Bereitstellung der FE-Informationen sowie die
anschließende Optimierung werden an dieser Stelle kurz beschrieben, siehe auch (Firuziaan
[100]) und [25].
Die Strukturantwort sowie die Sensitivit¨ en zu einem betrachteten Zeitpunkt h¨ en von
den entsprechenden Gr¨ en zu allen vorherigen Zeiten ab, d.h. von der Deformationsgeschich-
te und ihrer Sensitivit¨ . Die Ergebnisse der variationellen Sensitivit¨ sanalyse f¨ den hier
betrachteten Fall der Sch¨ ungsmechanik, d.h. f¨ die Kontrolle der Sch¨ ungsfunktion
in allen finiten Elementen, werden vollst¨ angegeben und sind mit den Ergebnissen der
Arbeiten zur Prandtl-Reuß-Elastoplastizit¨ , siehe z.B. [40, 227, 226, 225], eng verbunden.
5.3.1 Finite Elastizit¨ mit isotroper Sch¨ gung
Der hier vorgestellte Zugang basiert auf einem Materialmodell f¨ die finite Elastizit¨ unter
Einbeziehung eines irreversiblen isotropen Sch¨ ungsmechanismus mit einer skalarwertigen
internen Sch¨ ungsvariablen. Der Ursprung dieser Materialformulierung liegt im experi-
mentell beobachteten Steifigkeitsabfall von Polymeren. Die Beobachtungen f¨ zu der
Annahme, daß die jeweils maximalen Verzerrungen vollst¨ den Sch¨ ungsprozeß be-
schreiben und kontrollieren.
Dieses Modell ist durch eine Entkopplung der volumetrischen und deviatorischen Anteile
der Deformation charakterisiert, welches durch eine multiplikative Zerlegung des materiellen
Deformationsgradienten erm¨ licht wird. Das von Kachanov im Jahr 1958 in die Sch¨
gungsmechanik eingef¨ Konzept der ¨ uivalenten Spannungen, siehe auch [145], sowie
die Erweiterungen um Kriechph¨ mene wurde von Simo zu einem vollst¨ en dreidimen-
sionalen Materialmodell zusammengef¨ F¨ eine vollst¨ e Darstellung sei auf [201]
verwiesen. Die dortige Notation wird an dieser Stelle verwendet, um eine kurze Charakteri-
sierung des Modells zu geben.
5.3.1.1 Das Modellproblem
Der Index n beschreibt die aktuelle Zeit tn und ts element (-infinity,t) kennzeichnet die Belastungsstufe
mit der maximalen Sch¨ ung. Die relevante Zeit ts kann f¨ unterschiedliche materielle
Punkte differieren.
5.3. Sensitivit¨ sanalyse in der Sch¨ ungsmechanik 101
Tafel 5.1: Modellproblem f¨ die Sch¨ ung hyperelastischer Materialien
1. Der Deformationsgradient zur Zeit tn wird multiplikativ gem¨ Fn = J-13 Fn
zerlegt, wobei J := det Fn gilt. Die Verzerrungstensoren lauten En = 12(FTnFn-1)
und En = 12(FTnFn -1).
2. Die Vergleichsverzerrungen Xin zum Zeitpunkt tn und der maximale Wert der
Sch¨ ung Xis zur Zeit ts element (-infinity,t) ergeben sich zu
Xin =
radicalBig
2 psiopenbullet(En) und Xis = max
tselement(-infinity,t)
radicalBig
2 psiopenbullet(Es). (5.8)
3. Die freie Energiefunktion lautet psi = U(J) + g(Xis) psiopenbullet(En) und sinnvolle Funk-
tionen sind U(J) = kappa/2 · (J - 1)2 und psiopenbullet(En) = µ/2 · tr(FTnFn). Einzig der
deviatorische Anteil wird durch die Sch¨ ungsfunktion g(Xis) beeinflußt.
4. Eine einfache Sch¨ ungsfunktion mit extremalen Werten f¨ ungesch¨ te
(g = 1) bzw. vollst¨ gesch¨ te (g = 0) materielle Punkte lautet
g(Xis) = beta + (1 -beta) (1 -exp(-Xis/alpha))/(Xis/alpha), (5.9)
wobei alpha,beta die materialabh¨ igen Sch¨ ungsparameter sind. Die Bedingung
Phi = Xin -Xis <=< 0 kontrolliert die Evolution der Sch¨ ung ú <=< 0.
5. Der zweite Piola-Kirchhoff-Spannungstensor Sn ist durch
Sn = Svoln + g(Xis) Sdevn (5.10)
gegeben und die volumetrischen und deviatorischen Anteile sind
Svoln = Uprime(J) partialdiffJpartialdiffE
n
= kappa J (J -1) C-1
Sdevn = partialdiffpsi
openbullet(En)
partialdiffEn = µ J
-2/3
parenleftbigg
1 - 13 tr C C-1
parenrightbigg
.
6. Der Materialtensor ergibt sich zu (siehe [201, 100] f¨ die Details)
Cn = Cvoln + g(Xis) Cdevn , (5.11)
falls die maximale Sch¨ ung bereits zur Zeit ts vorhanden war. Tritt im aktuel-
len Zeitschritt tn eine weitere Sch¨ ung auf, so muß ein zus¨ zliches dyadisches
Produkt im Materialtensor hinzugef¨ werden, d.h.
Cn = Cvoln + g(Xin) Cdevn + g
prime(Xin)
Xin S
dev
n circlemultiplyS
dev
n . (5.12)
Die konsistente Linearisierung bzgl. der Verschiebungen zum Zeitpunkt tn f¨
f¨ dieses Sch¨ ungsmodell zu einem symmetrischen Materialtensor und somit
zu einer symmetrischen Steifigkeitsmatrix.
102 Kapitel 5. Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ er Problemklassen
5.3.1.2 Hinweise zur numerischen Umsetzung
Die konsistente Linearisierung ist erforderlich, um mit dem Newton-Raphson-Verfahren die
Konvergenz der Berechnung in wenigen Iterationsschritten zu erreichen.
F¨ die Strukturanalyse sind f¨ jeden Integrationspunkt in den finiten Elementen nur die
Sch¨ ungsvariablen Xis zu speichern. Der Speicherbedarf w¨ hst jedoch f¨ die Sensiti-
vit¨ sanalyse betr¨ htlich. Hinweise hierzu gibt der n¨ hste Abschnitt.
F¨ eine problemgerechte Modellierung und um die bekannten Versteifungseffekte der reinen
Verschiebungsmethode (Q1-Elemente) zu vermeiden, sind verbesserte Dreifeldfunktionale f¨
die Elementans¨ ze zu w¨ Die Details dieser Problematik werden mit dem Hinweis auf
die Arbeiten von z.B. Simo [201, 203] und anderen an dieser Stelle nicht diskutiert.
5.3.2 Sensitivit¨ sanalyse f¨ Sch¨ gung
Die Sensitivit¨ sanalyse f¨ Materialien mit Sch¨ ungsverhalten sollte sich an das gew¨
te numerische Integrationsverfahren orientieren, um hierzu konsistente Darstellungen und
Algorithmen zu erzeugen. Die zentralen Bestandteile des verwendeten Verfahrens sowie die
Abfolge der Berechnungsschritte zeigt das Flußdiagramm im Bild 5.4.
un-1,us,Xis und deltaus,deltaXis
G <=< tol
berechne deltauk
k = k + 1
deltaXG,deltausG,deltaunG
berechne deltaun
update deltaXis
a63
a63
a63
a63
a63
a63
a27
a27
a54
a63
a54
a63
Gleichgewichtsiteration
Neuer Last/Zeit-Schritt
Gn = 0
k(eta,deltaun)
KT ; K-1T
k(eta,deltaun) + s(eta,deltaX) = 0
deltaV = -K-1T S deltaX
yes no
St
r
ukt
ur
anal
yse
Sensit
iv
it
¨
sanal
yse
Bild 5.4: Flußdiagramm f¨ Strukturanalyse und Sensitivit¨ sanalyse
5.3. Sensitivit¨ sanalyse in der Sch¨ ungsmechanik 103
5.3.2.1 Struktur der Sensitivit¨ sanalyse
Die wesentlichen Bestandteile des zuvor gezeigten Berechnungsverfahrens sind in der nach-
folgenden Darstellung nochmals zusammengefaßt.
Tafel 5.2: Struktur der Sensitivit¨ sanalyse f¨ Sch¨ ungsverhalten
• Die Variation der Geometrie, d.h. deltaX = delta ˜(Theta), wird als bekannt vorausgesetzt.
• Die Variation der Verschiebungsabbildung us = ˜s(Theta) wird parallel zum inkre-
mentellen Berechnungsverfahren der Strukturanalyse bestimmt, d.h. sowohl us
als auch deltaus = AsdeltaX werden zum Zeitpunkt ts bestimmt.
• Die Gleichgewichtsbedingung zur Zeit tn wird gel¨ um die Verschiebungsabbil-
dung un = ˜n(Theta) aufzudatieren, d.h. sie ist implizit definiert durch
˜Gn(Theta, ˜psi(Theta), ˜nus(Theta), ˜nun(Theta)) = 0. (5.13)
• Die Variation der Gleichgewichtsbedingung liefert Gn = 0
0 = deltaXGn + deltausGn + deltaunGn = s(eta,deltaX) + k(eta,deltaun), (5.14)
wobei s(eta,deltaX) die ”tangentiale Sensitivit¨ “ bezeichnet, die durch
s(eta,deltaX) = partialdiffGnpartialdiffX deltaX + partialdiffGnpartialdiffu
s
deltaus (5.15)
=
parenleftbiggpartialdiffG
n
partialdiffX +
partialdiffGn
partialdiffus As
parenrightbigg
deltaX (5.16)
gegeben ist. Analog beschreibt k(eta,deltaun) die ”tangentiale Steifigkeit“, d.h.
k(eta,deltaun) = partialdiffGnpartialdiffu
n
deltaun. (5.17)
5.3.2.2 Variation von Zielfunktion und Nebenbedingung
Die Gradienten der Zielfunktion und Nebenbedingung f bzgl. der Formvariationen wer-
den f¨ den mathematischen Optimierungsalgorithmus ben¨ igt. An dieser Stelle werden
zun¨ hst nur geometrische Designvariablen betrachtet. Damit ergibt sich f¨ die vollst¨ e
Variation von f die Abh¨ igkeit von der Geometrie (deltaXf), vom aktuellen Verschiebungs-
feld zum Zeitpunkt tn (deltaunf) und von der Geschichte des Sch¨ ungsprozesses (deltaXi). Die
letzte Abh¨ igkeit kann durch das Verschiebungsfeld us zum Zeitpunkt ts mit der maxi-
malen Vergleichsverzerrung Xis ersetzt werden. Zusammenfassend folgt f¨ die vollst¨ e
Variation
deltaf = deltaXf + deltaunf + deltaXif = deltaXf + deltaunf + deltausf. (5.18)
Der gesamte Speicherbedarf w¨ hst mit jeder zus¨ zlichen Funktion f und mit der wachsen-
den Anzahl der Designvariablen.
104 Kapitel 5. Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ er Problemklassen
5.3.2.3 Partielle Variationen der schwachen Form
Die Gleichgewichtsbedingungen sind in jeder Zielfunktion und Nebenbedingung implizit
enthalten, d.h. die Variation der schwachen Form muß ber¨ ksichtigt werden, d.h. Gn =
Gintn +Gextn = 0 muß berechnet werden. Zur Vereinfachung der Notation wird an dieser Stelle
der ¨ ere Anteil Gextn als designunabh¨ ig angesehen. F¨ den inneren Anteil erh¨ man
Gintn =
integraldisplay
Omegaopenbullet
FS : GradX eta dV,
wobei die zugeh¨ igen Variationen nachfolgend erl¨ ert werden. Die tangentiale Steifigkeit
k(eta,deltaun) berechnet sich zu
deltaunGintn =
integraldisplay
Omegaopenbullet
S : GradTX deltau GradX eta dV
+
integraldisplay
Omegaopenbullet
FT GradX eta : C : FT GradX deltaudV, (5.19)
d.h. alle Anteile betreffen den Zeitpunkt tn. Die weiteren Variationen treten nur f¨ die
Sensitivit¨ sanalyse auf und ben¨ igen zus¨ zlich noch Informationen des Zeitschrittes ts <
tn der maximalen Sch¨ ung, d.h.
deltausGintn =
integraldisplay
Omegaopenbullet
FT GradX eta : Ds : FTs GradX deltaus dV (5.20)
f¨ die Variation bzgl. us und abschließend
deltaXGintn =
integraldisplay
Omegaopenbullet
S : FT GradX eta Div deltaXdV
-
integraldisplay
Omegaopenbullet
S : FT GradX eta GradX deltaXdV
-
integraldisplay
Omegaopenbullet
S : GradTX deltaX HT GradX eta dV
-
integraldisplay
Omegaopenbullet
FT GradX eta : C : FT H GradX deltaXdV
-
integraldisplay
Omegaopenbullet
FT GradX eta : Ds : FTs Hs GradX deltaXdV. (5.21)
Diese zus¨ zliche Variationen ben¨ igen den materiellen Verschiebungsgradienten Hs = GradX us
(und Fs = 1 + Hs). Weiterhin muß der Sch¨ ungstensor
Ds := partialdiffSnpartialdiffXi
s
circlemultiply partialdiffXispartialdiffE
s
= g
prime(Xis)
Xis S
dev
n circlemultiplyS
dev
s (5.22)
5.3. Sensitivit¨ sanalyse in der Sch¨ ungsmechanik 105
berechnet werden, wobei Sdevs die deviatorischen Spannungen des Zeitpunktes ts sind. Der
Tensor Ds besteht in diesem Fall aus einem dyadischen Produkt, aber er ist ein vollst¨ er
Tensor vierter Stufe bei allgemeinem anisotropen Sch¨ ungsverhalten.
Die Werte Hs,Fs,Cs in Gleichung (5.21) sind abh¨ ig von der relevanten Zeit ts der ma-
ximalen Sch¨ ung, wobei sich der betreffende Zeitschritt f¨ jeden materiellen Punkt ge-
sondert ergeben kann. Zus¨ zlich muß diese Gleichung f¨ unterschiedliche Variationen der
Geometrie deltaX berechnet werden. Gleichung (5.20) ist somit abh¨ ig von der totalen Varia-
tion der Verschiebungsfelder deltaus f¨ unterschiedliche Zeiten ts.
Diese Beziehungen m¨ n in einem numerischen Verfahren ermittelt werden, wobei der
zus¨ zliche Speicheraufwand minimiert werden sollte.
5.3.2.4 Variation bzgl. der Materialwerte
Bisher wurden nur geometrische Designvariablen auf dem makroskopischem Level betrach-
tet. Allgemeinere Optimierungsaufgaben unter Ber¨ ksichtigung verschiedener Mikro-, Meso-
und Makroebenen und unter Verwendung der Homogenisierungsverfahren sind von beson-
derer Bedeutung in der Sch¨ ungsmechanik. Wesentlich ist hierbei zu erkennen, ob geo-
metrische Modifikationen auf der Mikroskala die makroskopische Materialbeschreibung wie
z.B. die Sch¨ ungsparameter alpha und beta beeinflussen.
Um die mikromechanischen Ph¨ mene zu kontrollieren und die unterschiedlichen Skalen
koppeln zu k¨ m¨ n weitere Sensitivit¨ en bzgl. der Materialparameter (d.h. kappa,µ,alpha,beta
in diesem Modell) berechnet werden. Die allgemeine Struktur bleibt erhalten, anstatt der
Gleichung (5.21) m¨ n jedorch Variationen bzgl. der Parameter deltamGintn berechnet werden,
d.h.
deltamGintn =
integraldisplay
Omegaopenbullet
FT GradX eta : deltamSdV. (5.23)
Die Variationen deltamS bzgl. skalarwertiger Materialparameter k¨ leicht bestimmt wer-
den, sobald das Materialgesetz definiert wurde, siehe Abschnitt 5.3.1.1. Diese Betrachtungen
sollen an dieser Stelle nicht weiter ausgef¨ werden.
5.3.3 Hinweise zur numerischen Umsetzung
Allgemeine Hinweise zur effizienten Implementation der variationellen Formsensitivit¨ wur-
den in [40, 227, 226] gegeben. An dieser Stelle soll nur die isoparametrische FE-Formulierung
betrachtet werden, d.h. Details zur Beschreibung erweiterter Elementfomulierungen, z.B. die
sogenannten ’enhanced elements’ werden ¨ ergangen. Weiterhin werden diskrete Zeitschritte
t1,t2,· · · ,ts,· · · ,tn-1,tn entsprechend der gew¨ en Zeitdiskretisierung eingef¨
5.3.3.1 Bemerkungen zur Berechnungsstrategie
F¨ die Sensitivit¨ sanalyse sind grunds¨ zlich zwei Zug¨ e m¨ lich, d.h. das direkte oder
das adjungierte Verfahren. In der linearen Elastizit¨ sind beide Verfahren zul¨ und die
aktuelle Entscheidung kann ¨ er den Vergleich der Anzahl der Designvariablen mit der An-
zahl der Zielfunktionen und Nebenbedingungen getroffen werden. ¨ herweise wird dabei
106 Kapitel 5. Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ er Problemklassen
das Verfahren mit der minimalen Anzahl der Vorw¨ ts-R¨ kw¨ ts-Substitutionen zur L¨
der linearen Gleichungssysteme benutzt.
F¨ den allgemeinen Fall des nichtlinearen und zeitabh¨ igen Verhaltens in der Numeri-
schen Mechanik kann nur das direkte Verfahren effizient angewendet werden, siehe auch die
Darstellung in Bild 5.4. Es wird hierbei angenommen, daß alle betrachteten Formvariationen
(design velocity fields) und alle Zielfunktionen und Nebenbedingungen vor dem Beginn der
inkrementellen Berechnung bekannt sind.
5.3.3.2 Diskretisierung der Variation der schwachen Form
Die Gleichung (5.14) wird diskretisiert und in Matrixform dargestellt, d.h.
deltaGn = ˆT
bracketleftBigg
SX delta ˆj +
n-1summationdisplay
s=1
Ss delta ˆs,j + Kn delta ˆn,j
bracketrightBigg
= 0 (5.24)
beschreibt die Variation der Gleichgewichtsbedingung, wobei SX,Ss,Kn direkt aus den Glei-
chungen (5.21), (5.20), (5.19) ermittelt werden. Weiterhin beschreiben ˆj, ˆs,j und ˆn,j die
j -te Variation des Designs (discrete design velocity field) und die zugeh¨ igen Variationen
der Knotenverschiebungen zur Zeit ts und tn.
Die Matrix SX, vergl. (5.21), kann effizient berechnet und gespeichert werden, siehe Bar-
thold et al. [39], sobald die Zusatzwerte Hs,Fs,Sdevs f¨ jeden Integrationspunkt bekannt
sind. Hierbei sind zwei Alternativen m¨ lich, d.h. (i) die Speicherung der Werte f¨ jeden
Integrationspunkt w¨ end des inkrementellen Berechnungsverfahrens oder (ii) die Neube-
rechnung aller Gr¨ en zur Zeit tn. Eine Diskussion beider Alternativen wird weiter unten
vorgenommen. Das Matrix-Vektor-Produkt SX delta ˆj kann effizient berechnet werden, sobald
die volle Matrix SX berechnet und gespeichert wurde.
Sch¨ ungsph¨ mene k¨ in jedem Zeitschritt eines komplexen Be- und Entlastungs-
prozesses auftreten, d.h. grunds¨ zlich m¨ n alle vergangenen Zeitschritte ts ber¨ ksichtigt
werden.
Die Struktur der Matrizen Ss f¨ jeden vergangenen Zeitschritt ts ist unterschiedlich, abh¨ ig
von der Be- und Entlastungsgeschichte und nicht im Vorhinein bekannt. Die nichtverschwin-
denen Eintr¨ e korrespondieren mit der Anzahl der Integrationspunkte, bei denen in genau
diesem Zeitschritt eine maximale Sch¨ ung Xis auftritt. Theoretisch ist es ebenfalls m¨ lich,
diese Matrizen Ss f¨ jeden Zeitschritt zu berechnen und zu speichern, aber dieses w¨ eine
sehr große Speicherkapazit¨ erfordern, die zudem mit der Anzahl der Lastschritte anw¨ hst.
Daher ist es effizienter, die Matrix-Vektor-Produkte Ss delta ˆs,j f¨ alle relevanten Designva-
riablen zu berechnen und zu speichern.
Die tangentiale Steifigkeitsmatrix wird zur Berechnung des aktuellen Verschiebungsvektors
V n in jedem Zeitschritt tn ermittelt und faktorisiert. Damit kann die unbekannte Variation
delta ˆn,j in jedem Zeitschritt tn durch L¨ der Gleichung
delta ˆn,j = -K-1n
bracketleftBigg
SX delta ˆj +
n-1summationdisplay
s=1
Ss delta ˆs,j
bracketrightBigg
(5.25)
berechnet werden.
5.3. Sensitivit¨ sanalyse in der Sch¨ ungsmechanik 107
5.3.3.3 Diskretisierung der Variation von Zielfunktion und Nebenbedingung
Eine Diskretisierung der Gleichung (5.18) ergibt
deltaalphai = aX,i delta ˆj +
n-1summationdisplay
s=1
bs,i delta ˆs,j + cn,i delta ˆn,j (5.26)
wobei aX,bs und cn Bestandteile der Variationen deltaXalpha,deltausalpha und deltaunalpha sind. Alle obigen Be-
merkungen hinsichtlich Berechnung und Speicherung gelten in analoger Form. Die Struktur
der Zielfunktionen und Nebenbedingungen alpha ist zu Beginn der Berechnung bekannt, sodaß
eine effiziente Implementierung m¨ lich ist, aber von Fall zu Fall anders aussehen kann.
Die Sch¨ ungsfunktion g(Xis) ist ein wichtiges Beispiel f¨ eine verteilte Feldgr¨ e in der
Sch¨ ungsmechanik, d.h. der Wert von g sollte f¨ jedes Element des diskretisierten FE-
Modells und f¨ alle unterschiedlichen Arten der Designvariablen kontrolliert werden. Dieses
bedeutet, daß eine große Anzahl an Nebenbedingungen berechnet werden muß, wobei jede
einzelne aber nur auf dem jeweiligen Elementgebiet Anteile aX,i,bs,i,cn,i liefert. Hierf¨ ist
die folgende Vorgehensweise besonders geeignet, d.h. zun¨ hst werden f¨ jedes Element die
Werte g(Xis),aX,i,bs,i,cn,i berechnet. Danach werden f¨ jede Designvariable die zugeh¨ igen
Elementbeitr¨ e delta ˆj,delta ˆs,j,delta ˆn,j aus dem Speicher ausgelesen, die notwendigen Multipli-
kationen durchgef¨ um anschließend die Ergebnisse abzuspeichern. Dieses bedeutet, daß
nur eine einzige Schleife ¨ er alle Elemente durchgef¨ werden muß.
5.3.3.4 Hinweise zum Speicherplatzbedarf
Die Werte Xis m¨ n f¨ jeden Integrationspunkt berechnet und gespeichert werden, um
hiermit die Spannungen und Materialmodulen f¨ die Strukturanalyse zu berechnen. Der
Zeitpunkt ts und alle Werte zur Zeit ts werden sp¨ er nicht mehr ben¨ igt.
Diese Situation ¨ sich f¨ die Sensitivit¨ sanalyse wesentlich. In disem Fall sind f¨
jeden Zeitschritt die Informationen zur aktuellen Zeit tn mit denen zur Zeit ts der maximalen
Sch¨ ung gekoppelt. Hieraus ergeben sich zwei Strategien, die kurz erl¨ ert werden.
5.3.3.4.1 Elementbezogene Speicherung Die Werte Hs und Sdevs , d.h. zus¨ zlich 4+3
Werte f¨ den ebenen Verzerrungszustand, werden pro Integrationspunkt gespeichert. Damit
m¨ n die Knotenverschiebungen ˆs,j nicht f¨ alle vergangenen Zeiten gespeichert werden,
aber die Variationen delta ˆs,j m¨ n f¨ alle Designvariationen verf¨ r sein. Der notwendige
Speicherbedarf h¨ t von der Anzahl der Elemente und der Anzahl der unterschiedlichen
Lastschritte ab, die zu einer maximalen Sch¨ ung in irgendeinem Element f¨ Die
Speicherung der Beitr¨ e delta ˆs,j einzeln f¨ jeden Integrationspunkt bzw. auf dem globalen
Level kann f¨ unterschiedliche Situationen von Vorteil sein. F¨ den Fall großer FE-Modelle
mit einer großen Anzahl von Designvariablen ist es hierbei ratsam, die Beitr¨ e delta ˆs,j f¨ alle
Designvariablen auf dem globalen Level zu speichern.
5.3.3.4.2 Elementbezogene Neuberechnung In diesem Fall muß ein zus¨ zlicher Zei-
ger gespeichert werden, der f¨ jeden Integrationspunkt auf den Zeitschritt ts mit der maxi-
malen Sch¨ ung verweist. Der Knotenverschiebungsvektor ˆs sowie die Variationen delta ˆs,j
108 Kapitel 5. Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ er Problemklassen
f¨ alle Designvariablen m¨ n f¨ jeden Zeitschritt ts gespeichert werden, um Hs,Sdevs
hieraus berechnen zu k¨
5.3.4 Numerische Experimente
Ein einfaches Optimierungsproblem zur Kontrolle der Sch¨ ungsfunktion g(Xis) wird be-
trachtet, um hieran die Effekte unterschiedlicher Be- und Entlastungszyklen auf das optimale
Design zu studieren.
5.3.4.1 Entwurf des numerischen Experimentes
Die nachfolgenden Beobachtungen wurden durch numerische Experimente gewonnen, die an
dem unten dargestellten Kragarm durchgef¨ wurden.
a
b
lambda1 · 0.25 N/mm2 lambda
2 · 3 N/mm2
lambda3 · 1 N lambda3 · 0.5 N
Bild 5.5: Ausgangssystem, Randbedingungen und Lasten
Das Ausgangsdesign ist ein Rechteck mit den Abmessungen a = 10 mm und b = 5 mm sowie
der Dicke t = 1 mm. Alle weiteren geometrischen Werte werden ohne weitere Hinweise in mm
angegeben. Die Form der unteren Konturlinie wird durch zwei B´ en vierter Ordnung
beschrieben, d.h. durch Kontrollpunkte an den Stellen (0,0),(1.25,0),(2.50,0),(3.75,0),(5,0)
sowie (5.0),(6.25,0),(7.50,0),(8.75,0),(10,0). Die Kontinuit¨ beider Kurven ist durch die
Verwendung eines gemeinsamen Kontrollpunktes an der Stelle (5,0) gew¨ leistet.
Die Materialdaten des Neo-Hooke Materialgesetzes lauten kappa = 500 N/mm2, µ = 50 N/mm2
und die Sch¨ ungsparameter sind alpha = 0.3, beta = 0.5. Drei verschiedene Lasten werden
aufgebracht, wobei die zugeh¨ igen Lastparameter lambda = (lambda1,lambda2,lambda3) variiert werden.
Das dargestellte Gleitlager bei diesem akademischen Beispiel erzeugt eine Spannungssingu-
larit¨ , die bei der Modellierung des Optimierungsproblems ber¨ ksichtigt werden muß.
Die numerische Experimente werden unter Verwendung der aufgezeigten Viereckselemente
(Q1-Version) im ebenen Verzerrungszustand durchgef¨ Hierbei wird durchg¨ ig ein 32×
16-Element-Netz verwendet.
5.3.4.2 Zielfunktionen, Nebenbedingungen und Designvariablen
Das Gesamtgewicht des Kragarms wird in allen Beispielen minimiert, wobei das zul¨
Ausgangsdesign ein Volumen von Vopenbullet = 50 mm3 besitzt.
5.3. Sensitivit¨ sanalyse in der Sch¨ ungsmechanik 109
Der Mittelwert der Sch¨ ungsfunktion g(Xis) wird f¨ jedes Element durch die untere Gren-
ze g(Xis) greaterequal 0.825 beschr¨ t, d.h. nur 17.5% Sch¨ ung k¨ auftreten.
Das gew¨ e Auflager an der unteren linken Ecke der Struktur erzeugt eine Spannungssingu-
larit¨ und damit wird auch die Sch¨ ungsfunktion in dem angrenzenden finiten Elementen
unbegrenzt wachsen. Die nachfolgenden Bilder zeigen einen erh¨ ten Wert der Spannungs-
funktion im Bereich des Gleitlagers.
Damit kann an der Stelle der Singularit¨ und in der unmittelbaren Nachbarschaft die Sch¨
gungsfunktion nicht beschr¨ t werden, d.h. eine Sch¨ ungsnebenbedingung w¨ ver-
letzt werden und der Optimierungsalgorithmus w¨ auf Grund der Unzul¨ eit der
Iterationspunkte abbrechen. Aus diesem Grund wird die Sch¨ ungsfunktion f¨ die finiten
Elemente in der N¨ der Singularit¨ nicht kontrolliert.
Die untere Konturlinie wird durch den Optimierungsprozeß ver¨ . Der erste Kontroll-
punkt (0,0) ist fixiert und die verbleibenden 8 Kontrollpunkte k¨ sich als Designva-
riablen vertikal verschieben, wobei die Koordinaten durch die Werte -2 und 4 beschr¨ t
sind. Die C1-Kontinuit¨ zwischen beiden Kurven wird durch die Einf¨ einer Neben-
bedingung erreicht, d.h. die Kontrollpunkte an den Stellen (3.75,0),(5,0),(6.25,0) m¨ n
auf einer geraden Linie liegen. Insgesamt werden 8 geometrische Designvariablen betrachtet.
Das SQP-Verfahren (sequential quadratic programing method) wird verwendet, wobei ein
Maximum von 30 Iterationsschritten und eine Genauigkeit von 10-10 in der Norm der La-
grangefunktion gefordert wird.
Der Einfluß der Sch¨ ung auf die optimale Form f¨ unterschiedliche Belastungssituationen
wird n¨ dargelegt.
5.3.4.3 Kontrolle der Sch¨ gungsfunktion
Die Kontrolle der Sch¨ ungsfunktion g(Xis) innerhalb des Gebietes ist eine anspruchsvolle
Problemstellung in der Sch¨ ungsmechanik mit einer großen Anwendungsbreite bei techni-
schen Fragestellungen. An dieser Stelle werden nur geometrische Designvariablen betrachtet
und die M¨ lichkeiten der Methodik werden an einem akademischen Beispiel verdeutlicht.
Alle Experimente wurden erfolgreich mit weniger als 30 Iterationsschritten gel¨ Die End-
ergebnisse f¨ die Zielfunktion sowie die Designvariablen sind unten zusammengefaßt.
Die Verteilung der Sch¨ ung, definiert durch D := 1-g(Xis), wird in allen Beispielen durch
die nachfolgende Skala beschrieben.
D <=< 0.05 D greaterequal 0.175
Bild 5.6: Legende: Verteilung der Sch¨ ungsfunktion D := 1 -g(Xis)
5.3.4.3.1 Lastf¨ le ohne Belastungsgeschichte Drei verschiedene Optima wurde f¨
die Belastungsf¨ lambdaA = (1,0,0), lambdaB = (0,1,0) und lambdaC = (0,0,1) berechnet.
Die Isolinien der Sch¨ ungsvariablen f¨ die Belastung lambdaA verlaufen nahezu parallel zum
unteren und oberen Rand des Kragarmes, siehe Bild 5.7. Hierbei tritt eine nenneswerte
110 Kapitel 5. Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ er Problemklassen
Sch¨ ung im Bereich des Auflagers auf. Die rechte Spitze des Kragarmes bleibt fast un-
besch¨ t, was sich durch die Lastverteilung und die obere Grenze f¨ die Designvariablen
erkl¨ en l¨ t.
Bild 5.7: Verlauf der Sch¨ ung f¨ das optimale Design A
Der Lastfall lambdaB erzeugt eine nahezu homogene Verteilung der Sch¨ ung, siehe Bild 5.8.
Alle Kontrollpunkte befinden sich an der oberen Grenze (4.0). Das Sch¨ ungsniveau in
einem großen Bereich der Struktur erreicht dabei nur fast die H¨ der zul¨ Maxi-
malsch¨ ung. Dieses zeigt, daß dieser Lastfall nur einen geringen Beitrag zur maximalen
Sch¨ ungsvariablen Xis in allen weiten Lastsituationen beitr¨ t.
Bild 5.8: Verteilung der Sch¨ ung f¨ das optimale Design B
Das optimale Design f¨ den Lastfall lambdaC ergibt die typische Verteilung der Biegemomente
f¨ einen einfach gelagerten Balken, siehe Bild 5.9. Die Bereiche mit maximaler Sch¨ ung
stimmen mit denen f¨ den Lastfall A ¨ erein, siehe Bild 5.7.
Bild 5.9: Verteilung der Sch¨ ung f¨ das optimale Design C
5.3. Sensitivit¨ sanalyse in der Sch¨ ungsmechanik 111
Ein vierter Lastfall wird untersucht, in dem alle drei Lasten gleichzeitig aufgebracht werden,
d.h. lambdaD = (1,1,1). Die hierbei auftretende Sch¨ ung ist naturgem¨ wesentlich erh¨ t. Die
Isolinien der Sch¨ ungsvariablen verlaufen nicht hinreichend glatt und parallel zum unteren
Rand. Ein verfeinertes Geometriemodell f¨ die Optimierung, d.h. mit mehr Designvariablen,
w¨ das Ergebnis verbessern. Eine Gl¨ tung der Struktur zur Reduktion des zus¨ zlich
eingef¨ en Materials an den Stellen mit geringer Sch¨ ung (siehe die Gebiete in Bild
5.10), erh¨ t das Sch¨ ungsniveau an der oberen Kragarmoberfl¨ he.
notwendige Form bei Begrenzung der Sch¨ ung
Bild 5.10: Verteilung der Sch¨ ung f¨ das optimale Design D
Die berechneten Ergebnisse f¨ die Designvariablen sind in Tabelle 5.1 dokumentiert. Die
Werte y1,...,y8 geben dabei die vertikale Position der Kontrollpunkte von links nach rechts
an.
Design Ausgang A B C D
Volumen 50.000 29.408 18.523 22.333 38.332
y1 0.000 0.343 4.000 4.000 -3.000
y2 0.000 1.279 4.000 3.672 -1.187
y3 0.000 1.906 4.000 3.007 0.218
y4 0.000 2.479 4.000 3.103 0.731
y5 0.000 3.051 4.000 3.200 1.244
y6 0.000 4.000 4.000 3.560 1.974
y7 0.000 4.000 4.000 4.000 2.799
y8 0.000 4.000 4.000 4.000 3.542
Tabelle 5.1: Position der Kontrollpunkte f¨ das Experiment ohne Belastungsgeschichte
Die bisher gezeigten Ergebnisse verdeutlichen die Abh¨ igkeit der optimalen Formen von
den betrachten Lastf¨
5.3.4.3.2 Lastf¨ le mit Be- und Entlastung Die weiteren Experimente werden f¨ Be-
und Entlastungszyklen bestehend aus den vorher genannten Einzellastf¨ durchgef¨
In diesem Fall sind alle Lastparameter lambdai positiv, d.h. lambdai element [0,1]. Die betrachteten Zyklen
lambdaE,lambdaF ,lambdaG sind durchbracelefttp
braceleftmid
braceleftbt
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
bracerighttp
bracerightmid
bracerightbt,
bracelefttp
braceleftmid
braceleftbt
(0,0,1)
(0,1,0)
(1,0,0)
bracerighttp
bracerightmid
bracerightbt und
bracelefttp
braceleftmid
braceleftbt
(0,1,0)
(1,0,0)
(0,0,1)
bracerighttp
bracerightmid
bracerightbt
112 Kapitel 5. Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ er Problemklassen
gegeben, d.h. die Lasten werden in unterschiedlicher Form aufgebracht. Alle Optima sind dem
Ergebnis in Bild 5.7 ¨ h, da der Lastfall lambda1 dominiert, aber das Gewicht der optimalen
Struktur ist erh¨ t, siehe Bild 5.11 und die Ergebnisse in Bild 5.2.
Bild 5.11: Verteilung der Sch¨ ung f¨ das optimale Design E
Alle Bereiche des Kragarms werden durch die komplexe Spannungsverteilung gesch¨ t. Die
Sch¨ ungsvariable D besitzt fast ¨ erall randparallele Isolinien, d.h. die Struktur ist (fast)
optimal f¨ diese Belastung ausgelegt.
Design A E F G
Volumen 29.408 29.712 29.686 29.713
y1 0.343 0.337 0.326 0.337
y2 1.279 1.290 1.301 1.290
y3 1.906 1.905 1.897 1.905
y4 2.479 2.475 2.485 2.475
y5 3.051 3.045 3.073 3.045
y6 4.000 3.660 3.648 3.660
y7 4.000 4.000 4.000 4.000
y8 4.000 4.000 4.000 4.000
Tabelle 5.2: Ergebnisse f¨ das Experiment lambdaE,lambdaF ,lambdaG
Vergleichbare Experimente wurden durchgef¨ bei denen die Lasten lambdai in Teilschritten
und in unterschiedlicher Reihenfolge aufgebracht wurden, d.h. z.B. in der Form
bracelefttpbraceex
braceexbraceleftmid
braceexbraceexbraceleftbt
(0.5,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
(0.5,0,0)
bracerighttpbraceex
braceexbracerightmid
braceexbraceexbracerightbt.
Die erzielten Optima sind vergleichbar mit Bild 5.10, aber weisen ein leicht erh¨ tes Gewicht
auf. Dieses Ph¨ men ist mit der gr¨ eren auftretenden maximalen Sch¨ ung zu erkl¨ en.
Die bisher durchgef¨ Experimente zeigen die Abh¨ igkeit des Optimums von dem
gew¨ en Belastungsfall. Die Unterschiede sind in diesem Beispiel nicht besonders signifi-
kant, was sich aus dem elastischen Materialverhalten, der einfachen Beispielgeometrie und
der Begrenzung auf nur positive Belastungsparameter erkl¨ en l¨ t.
5.3. Sensitivit¨ sanalyse in der Sch¨ ungsmechanik 113
Das letzte Experiment zeigt deshalb auch negative Belastungsparameter, d.h. einen echten
Belastungszyklus. Das Belastungsschema ist
lambdaH =
bracelefttp
braceexbraceexbraceexbraceex
braceleftmid
braceexbraceexbraceexbraceex
braceleftbt
( 0, 1, 1 )
( 0, 0, 1 )
( 0, -1, 0 )
( 0, -1, -1 )
( 1, 0, 0 )
bracerighttp
braceexbraceexbraceexbraceex
bracerightmid
braceexbraceexbraceexbraceex
bracerightbt
,
d.h. die erste Last lambda1 = 1 wird auf eine bereits durch einen Zyklus der Lasten lambda2 und
lambda3 vorgesch¨ te Struktur aufgebracht. Die zugeh¨ igen optimalen Formen sind nunmehr
deutlich von Bild 5.7 verschieden. Die Einhaltung der Sch¨ ungsbeschr¨ ung (D <=< 0.175)
an der Oberkante erfordert eine Geometrie, die an der unteren Kante des Kragarms nicht
maximal beansprucht wird. In diesem Fall tritt an der unteren Kante des Kragarms wiederum
keine maximale Sch¨ ung auf, um an der Oberkante zul¨ Werte zu erhalten.
Bild 5.12: Verteilung der Sch¨ ung f¨ das optimale Design H
Der Versuch, die untere Kante gl¨ ten zu wollen, f¨ zu einer Verletzung der Nebenbedin-
gungen an der oberen Kragarmkante, siehe Bild 5.13.
Verletzung der Nebenbedingung
Material entfernt
Bild 5.13: Verletzung der Nebenbedingung bei Ver¨ ng des Designs
Alle numerischen Experimente wurden auf einem PC (Pentium II, 450 Mhz, Linux, G77
Fortran-Compiler) durchgef¨ Die Ergebnisse konnten innerhalb weniger Minuten (80 -
500 Sekunden) berechnet werden, wobei die Rechenzeit wesentlich von der Anzahl der Ite-
rationsschritte (8-28) im SQP-Verfahren beeinflußt wurde. Hierbei wurden ungef¨ 500
Nebenbedingungen (Elementwerte der Sch¨ ung) und die zugeh¨ igen Sensitivit¨ en bzgl.
114 Kapitel 5. Sensitivit¨ sanalyse ausgew¨ er Problemklassen
der 8 Designvariablen in jedem Iterationschritt berechnet. Eine weitere Beschleunigung der
Berechnung kann durch eine Verbesserung der Berechnungen zur direkten und adjungier-
ten Methode innerhalb der Elemente erreicht werden. Weiterhin kann die Berechnung der
Sensitivit¨ en in den Bereichen mit geringer Sch¨ ung vermieden werden.
5.3.5 Zusammenfassung und Ausblick
Die numerischen Ergebnisse und der hierf¨ erforderliche begrenzte numerische Aufwand
best¨ igen die Effizienz des in diesem Abschnitt aufgezeigten Berechnungsverfahrens. Diese
Aussage gilt insbesondere im Vergleich zur numerischen Sensitivit¨ sanalyse, die zu Test-
zwecken stets herangezogen wurde.
Besondere Bedeutung muß hierbei der Behandlung der Geschichtsabh¨ igkeit, d.h. der Sen-
sitivit¨ der internen Variablen (hier die Sch¨ ungsvariablen), beigemessen werden. Sowohl
der Speicherplatzbedarf als auch die Rechenzeit wird dabei von der Anzahl der Lastschritte
und der Anzahl der Designvariablen bestimmt. Eine Anwendung auf große Problemstellun-
gen erfordert auch f¨ die hier vorgestellte Methodik noch eine Analyse der Gr¨ enordnun-
gen, z.B. f¨ den Speicherplatzbedarf und die Rechenzeit. Die problemangepaßte Umsetzung
und Optimierung des Algorithmus bei praxisrelevanten Anwendungen bleibt der weiteren
Forschung vorbehalten.
Die aufgezeigte Methodik soll letztendlich dazu beitragen, z.B. den Einfluß der Belastungs-
geschichte auf das aktuelle Deformationsverhalten sowie auf die ermittelte optimale Form zu
untersuchen. Diese Fragestellung und weitere vergleichbare Probleme, wie z.B. die Effekte
einer im Optimum zus¨ zlich aufgebrachten Zusatzlast auf das Strukturverhalten, sind f¨
die Ingenieurpraxis von großer Bedeutung, k¨ aber derzeit nur ansatzweise behandelt
werden. Aus diesem Grunde m¨ n Sensitivit¨ nalyse und problemgerechte Modellierung
der Optimierungsaufgabe gleichermaßen sorgf¨ ig behandelt werden.
Kapitel 6
Formoptimierungsprobleme
In diesem Abschnitt werden drei unterschiedliche Anwendungsbereiche der Sensitivit¨ sana-
lyse im Rahmen der nichtlinearen Mechanik vorgestellt.
Im ersten Beispiel werden die mittels der Sensitivit¨ sanalyse berechneten Gradienten der
Zielfunktion und Nebenbedingungen innerhalb eines nichtlinearen Optimierungsverfahrens
(hier das SQP-Verfahren) zur Formoptimierung des Querschnittes eines PKW-Stoßf¨ ers
verwendet. Als Unterproblem wird dabei ebenfalls die Parameteridentifikation angespro-
chen, die durch einen Least-Squares-Fit von Meß- und Rechenergebnissen eine gezielten
Bestimmung der Materialparameter nichtlinearer Stoffgesetze erm¨ licht. Der Einfluß der
Elementformulierung und der FE-Diskretisierung auf das Optimierungsergebnis wird an die-
sem Beispiel verdeutlicht.
Die im Rahmen der linear-elastischen Bruchmechanik auftretenden makroskopischen Ris-
se werden im zweiten Beispiel als spezielle Form¨ en betrachtet. Anders als bei der
Formoptimierung tritt die Form¨ ng jedoch unter Belastung auf, d.h. sie wird nicht an
der undeformierten Struktur vorgenommen. Die Verwendung der Sensitivit¨ sanalyse f¨ die
Ermittlung der zugeh¨ igen Rißrichtungen wird er¨ tert und ein numerisches Berechnungs-
verfahren wird vorgestellt.
Das letzte Beispiel besch¨ t sich mit der Verwendung der Sensitivit¨ en f¨ die Definition
der Robustheit von Strukturen. Die Erh¨ ung der Zuverl¨ eit einer Struktur unter Ver-
wendung zweiter Variationen der Schadensfunktionen wird diskutiert, ein Beispiel muß die
Anwendbarkeit zuk¨ noch unter Beweis stellen.
115
116 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
Inhaltsangabe
6.1 Formoptimierung eines PKW-Stoßf¨ . . . . . . . . . . . . 117
6.1.1 Die Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.1.2 Modellierung und Durchf¨ rung der Optimierungsaufgabe . . . . . 117
6.1.3 Parameteridentifikation f¨ das Materialverhalten . . . . . . . . . 119
6.1.4 Ausgangsgeometrie und zugeh¨ ge Deformation . . . . . . . . . . 121
6.1.5 Erste optimale Form und zugeh¨ ge Deformation . . . . . . . . . 124
6.1.6 Weitere Verbesserung und zugeh¨ ge Deformation . . . . . . . . . 125
6.1.7 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2 Optimierung in der Bruchmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.2.1 Theoretische Untersuchungen zur Energiefreisetzungsrate . . . . . 128
6.2.2 Energiefreisetzungsrate f¨ feste Rißrichtung . . . . . . . . . . . . 129
6.2.3 Berechnung der maximalen Energiefreisetzungsrate . . . . . . . . . 134
6.2.4 Sensitivit¨ der Energiefreisetzungsrate . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2.5 Sensitivit¨ der Maximalwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2.6 Numerische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.2.7 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3 Ein Konzept f¨ robuste Konstruktionen . . . . . . . . . . . . . 145
6.3.1 Unempfindlichkeit und Zuverl¨ igkeit von Strukturen . . . . . . . 145
6.3.2 Erweiterung durch Verwendung von Sensitivit¨ . . . . . . . . . 146
6.3.3 Erste Variation der schwachen Form . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3.4 Zweite Variation der schwachen Form . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3.5 Variationen von Zielfunktion und Nebenbedingung . . . . . . . . . 152
6.3.6 Definition der robusten Zuverl¨ igkeit mittels Sensitivit¨ . . . 153
6.3.7 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.1. Formoptimierung eines PKW-Stoßf¨ ers 117
6.1 Formoptimierung eines PKW-Stoßf¨ ers
Die dokumentierten qualitativen Ergebnisse wurden im Anschluß an eine Projektstudie f¨
die Abteilung Forschung-Fahrzeugtechnik der Volkswagen AG, Wolfsburg, erarbeitet. Auf
die Angabe quantitativer Detailergebnisse wird verzichtet, siehe hierzu [18].
6.1.1 Die Problemstellung
Die Zielfunktion der vorgegebenen Aufgabenstellung ist die Verringerung der Reparatur-
kosten bei ”Versicherungs-Crash-Unf¨ “, d.h. bei kleinen Aufprallgeschwindigkeiten von
8 km/h. Das nachfolgende Bild veranschaulicht die Problematik.
Stoßf¨ er
nichtlineare Feder
c(u)
Bild 6.1: Modellierung des Stoßf¨ ers als nichtlineare Feder
Das nichtlineare Deformationsverhalten des Stoßf¨ ers soll dem in Bild 6.2 dargestellten
optimalen Lastverformungsverlauf entsprechen, damit die kinetische Energie kontrolliert in
elastisch gespeicherte Energie umgewandelt wird. Die Optimierungsaufgabe besteht darin,
die zugeh¨ ige geometrische Form des Stoßf¨ ers zu finden.
6.1.2 Modellierung und Durchf¨ ng der Optimierungsaufgabe
Die realit¨ snahe Berechnung und Optimierung eines im PKW eingebauten Stoßf¨ ers ist
¨ erst komplex. F¨ die bereits erw¨ te Projektstudie wurde daher die Optimierung der
Struktur unter vereinfachten Rand- und Belastungsbedingungen durchgef¨ Hierzu wur-
den die durchgef¨ Versuche an stabf¨ migen Probek¨ pern mit konstanten Querschnit-
ten herangezogen, d.h. die Optimierungsaufgabe konnte auf die Bestimmung einer optimalen
Querschnittsgeometrie im ebenen Verzerrungszustand vereinfacht werden. Die Approxima-
tion des realen Materialverhaltens durch ein berechenbares numerisches Modell wird im
n¨ hsten Abschnitt beschrieben.
Die mathematische Formulierung der Zielfunktion f¨ auf eine Fehlerquadratminimierung
der tats¨ hlichen vertikalen Verschiebung der Steife gegen¨ er der vorgegebenen Sollver-
schiebung f¨ mehrere Belastungsstufen, d.h. auf die Formulierung
f =
nlastsummationdisplay
i=1
parenleftbigV
Pi -V Pi
parenrightbig2 -arrowrightmin .
118 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
c(u)
F
u
F
Fmax
u
umax
Obere Schranke f¨ maximale L¨ str¨ erbelastung
Untere Schranke f¨
minimale Energieaufnahme
Gew¨ htes Verhalten
Bild 6.2: Darstellung der gew¨ hten Last-Verformungs-Kurve des Stoßf¨ ers
Die Verwendung von Informationen aus unterschiedlichen Laststufen erfordert (neben dem
nichtlinearen Strukturverhalten) ein inkrementelles Berechnungsverfahren.
Die Nebenbedingungen ergeben sich aus den oberen und unteren Schranken f¨ die Last-
Verformungs-Kurve, d.h. sie werden ebenfalls im Rahmen einer inkrementellen Strukturana-
lyse ermittelt.
Die Designvariablen kontrollieren die geometrische Gestalt der Stoßf¨ erquerschnittes, d.h.
die Kontrollpunkte der B´ eschreibung modellieren die Außenwangen der Steife, siehe
Bild 6.5. Auf die Angabe quantitativer Detailinformationen wird an dieser Stelle verzichtet,
siehe [18]. Hierdurch ist sowohl eine beliebige Geometrie der Wange als auch eine beliebige
Wanddicke zu erreichen. An dieser Stelle wurde bewußt auf die Ber¨ ksichtigung fertigungs-
technischer oder sonstiger geometrischer Zwangsbedingungen verzichtet.
Die Sensitivit¨ sanalyse wurde vollst¨ analytisch durchgef¨ d.h.
• Finite-Element-Diskretisierung der Gleichgewichtsbedingungen,
• CAD-Beschreibung und Ver¨ ung der Geometrie sowie
• Modifikation des FE-Netzes bei Geometrie¨ .
Die Details der Vorgehensweise sind in [43, 16, 94, 169] beschrieben.
6.1. Formoptimierung eines PKW-Stoßf¨ ers 119
6.1.3 Parameteridentifikation f¨ das Materialverhalten
Das reale Materialverhalten des verwendeten Kunststoffes, siehe Bild 6.4, kann folgenderma-
ßen beschrieben werden:
• nichtlinear viskoelastisch-plastisches Verhalten sowie
• zeit- und temperaturabh¨ ige Materialkenngr¨ en sowie
• Materialerweichung bei großen Verzerrungen.
Die Modellierung des tats¨ hlichen Materialverhaltens erfolgte ¨ er ein vereinfachtes mathe-
matisches Werkstoffmodell, d.h. als ein nichtlineares, hyperelastisches Material. Dieser ¨ er-
gang war f¨ die durchgef¨ Experimente aufgrund der folgenden Annahmen m¨ lich.
• Unter Voraussetzung einer konstanten Temperatur (23openbulletC) und konstanter Verzerrungs-
geschwindigkeit (30 mm/s) ergeben sich im Versuch die folgenden Materialparameter
Elastizit¨ smodul E = 1255 N/mm2,
Querkontraktionszahl nu = 0,45 und
Kompressionsmodul K = 4183,3 N/mm2.
• Das reale Materialverhalten wird durch eine eindeutige elastische Be- und Entlastungs-
kurve idealisiert. Mit diesen Annahmen ist eine Approximation des Materialverhaltens
durch ein nichtlinear-elastisches Gesetz m¨ lich, d.h.
W = ˆ (lambda1,lambda2,lambda3) + ˆ(J)
mit isochorem und volumetrischem Anteil in der Form
ˆW =
3summationdisplay
i=1
omega(lambdai) =
3summationdisplay
i=1
beta
parenleftbigg
lambdai + alphaexp 1 -lambdaialpha
parenrightbigg
ˆU = 1
2 K
parenleftbigg1
2 (J
2 -1) -ln J
parenrightbigg
.
• Durch die L¨ einer Fehlerquadrataufgabe zwischen den experimentellen Werten
und den berechneten Werten, siehe die Bilder 6.3 und 6.4, ergeben sich die Material-
parameter
alpha = 0,014 und beta = 12,04 N/mm2.
Weitere Hinweise zum Materialgesetz sowie der Anwendung der Optimierungsalgorithmen
auf die Parameteridentifikation finden sich in [16].
Mit diesen Werten konnten die experimentell bestimmten Spannungsdehnungslinien hinrei-
chend genau beschrieben werden. Die Identifikation erfolgte dabei im Bereich der maximalen
Eigenwerte von 0.9 <=< lambda1 <=< 1.1. Die Graphik zeigt im betrachteten Bereich eine f¨ die wei-
teren Untersuchungen hinreichend gute ¨ ereinstimmung von Numerik und Experiment.
F¨ den erweiterten Bereich 0.7 <=< lambda1 <=< 1.5 zeigt das numerische Modell eine Versteifung
f¨ hohe Dr¨ ke sowie eine Materialerweichung (Softening) f¨ große Zugverzerrungen. Die
120 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
Bild 6.3: Spannungsdehnungslinie f¨ den Bereich 0.9 <=< lambda1 <=< 1.1
Bild 6.4: Spannungsdehnungslinie f¨ den Bereich 0.7 <=< lambda1 <=< 1.5
experimentellen Werte zur Best¨ igung der numerischen Beobachtungen liegen f¨ diesen
Bereich nicht vor.
Zusammenfassend ist festzuhalten, daß mit dem gew¨ en vereinfachten Modell das kom-
plexe Materialverhalten der reale Struktur nur angen¨ werden kann. F¨ die qualitativen
Untersuchungen im Rahmen der durchgef¨ Projektstudie sind diese Vereinfachungen
sinnvoll.
6.1. Formoptimierung eines PKW-Stoßf¨ ers 121
6.1.4 Ausgangsgeometrie und zugeh¨rige Deformation
Die numerischen Untersuchungen wurden, wie in Abschnitt 6.1.2 erl¨ ert, am zweidimensio-
nalen Querschnitt im ebenen Verzerrungszustand durchgef¨ Die ¨ ere Belastung wur-
de durch eine Linienlast und inkrementell mittels Verschiebungssteuerung aufgebracht. Die
Steife lag im Versuch auf einer ebenen Unterlage und st¨ sich bei Deformation nur in
den ¨ eren Bereichen auf. Dieses Verhalten wurde in der numerischen Berechnung durch
Gleitlager in den ¨ eren Punkten beschrieben.
Bild 6.5: Ausgangsgeometrie und deformierte Struktur bei 34 mm Verschiebung
Die Bilder zeigen ein gleichm¨ ig verfeinertes FE-Netz mit 4 Elementen ¨ er die Profildicke.
Gew¨ wurde hierbei ein gemischtes Q1P0-Element, welches sich f¨ die numerische Be-
handlung quasi-inkompressibler gummiartiger Materialien als geeignet erwiesen hat, siehe
hierzu z.B. [230] und die Literatur hierin.
In den aufgef¨ Lastverschiebungskurven wird jeweils die aufgebrachte Spannung der
Vertikalverschiebung der Steifenoberkante gegen¨ ergestellt. Die Sollverschiebung ist in allen
Graphiken aufgef¨ und entspricht der gew¨ en Anfangsaufgabe. Nur die Anzahl der
Elemente und der Elementtyp wird in den Legenden angegeben. Der notwendige erg¨
Hinweis ”¨ er die Dicke“ wurde weggelassen. Ebenfalls meint die Bezeichnung der Abzisse
die Vertikalverschiebung der Steifenoberkante.
Die experimentellen Ergebnisse konnten durch das gew¨ e Modell unter Verwendung des
im letzten Abschnitt ermittelten Materialverhalten qualitativ hinreichend genau beschrieben
werden, siehe die deformierten Versuchsk¨ per im Vergleich zur Numerik in [18]. Auff¨
ist der Abfall der Lastverschiebungskurve im Bereich einer vertikalen Verschiebung von ca.
10 mm. Der Grund hierf¨ liegt in der Ausbildung einer Zone mit großen Verzerrungen
und Spannungen, die sich anschaulich als eine Art ”Fließgelenk“ beschreiben l¨ t. Bei einer
weiteren Deformation tritt ab ca. 70 mm Verschiebung eine merkliche Versteifung auf, die
sich durch den Selbstkontakt der Steife ergibt.
122 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
Bild 6.6: Lastverschiebungskurve f¨ die Ausgangsgeometrie
Auf eine weitere Verbesserung der Modellierung wurde zun¨ hst verzichtet, da die quantita-
tive Approximation der Versuchsergebnisse durch das numerische Modell in Vergleich zum
gew¨ hten Verhalten hinreichend genau erschien.
Die Effekte einer unterschiedlichen Verfeinerung der FE-Netzes und die Wahl unterschiedli-
cher FE-Beschreibungen wurden untersucht und sind in den beiden folgenden Abbildungen
angegeben.
Die Variation der Elementanzahl ¨ er die Wanddicke zeigt den Einfluß der FE-Diskretisierung
auf das Ergebnis, siehe Bild 6.7. Hierbei wurde auf den Einsatz einer adaptiven Netzverfeine-
rung verzichtet. Erwartungsgem¨ zeigt die Erh¨ ung der Elementanzahl eine Aufweichung
der Lastverschiebungskurve, da die gew¨ en Elementtypen bei einer Biegebeanspruchung
etwas zu steif sind und die Seiten-L¨ en-Verh¨ nisse einiger Elemente ung¨ sind.
Der Abh¨ igkeit vom der gew¨ en Elementbeschreibung zeigt sich im Vergleich der Last-
verschiebungskurven in Bild 6.8, wo die Ergebnisse f¨ die Q1- bzw. Q1P0-Beschreibung
gegen¨ erstellt sind.
6.1. Formoptimierung eines PKW-Stoßf¨ ers 123
Bild 6.7: Vergleich unterschiedlicher FE-Diskretisierungen
Bild 6.8: Vergleich unterschiedlicher Elementformulierungen
124 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
6.1.5 Erste optimale Form und zugeh¨ e Deformation
Eine erste Optimierung der Steifengeometrie wurde f¨ das gew¨ e FE-Netz mit 4 Elemen-
ten ¨ er die Wanddicke unter Verwendung der Q1P0-Elementformulierung durchgef¨
Bild 6.9: Erste optimale Geometrie und deformierte Struktur bei 15 mm Verschiebung
Der untere Steifenbereich (erster Hohlkasten) wurde vergr¨ ert und die Bereiche m¨ licher
Fließgelenke versteift. Hierdurch wurden zum einen die inneren Hebelarme ver¨ , was
einen positiven Einfluß auf die von den W¨ durch Biegung aufnehmbaren Kr¨ bzw.
Momente bedeutet. Der obere Hohlkasten tr¨ t bei diesem Entwurf kaum noch durch Bie-
gung zur Energiespeicherung bei. Dieser Effekt ist auch in der anschließenden weiteren Ver-
besserung zu beobachten, siehe den folgenden Abschnitt. Es wurde in dieser Studie nicht
versucht, ein lokales Minimum der gestellten Aufgabe zu finden, bei dem sowohl der untere
als auch der obere Hohlkasten durch Biegung der Seitenw¨ Energie speichern.
Das f¨ den Bereich bis 15 mm ermittelte Optimierungsergebnis zeigt die M¨ lichkeiten des
Verfahrens, eine gew¨ hte Sollverschiebung durch Variation der Querschnittsgeometrie zu
ermitteln, siehe das Ergebnis ”Optimale Geometrie, 4 Q1P0-Elemente“ (hellblaue Kurve) im
Vergleich zur ”Geforderte Last-Verschiebungs-Kurve“ (dunkelblaue Kurve) in Bild 6.10.
Eine Nachuntersuchung der Ergebnisse mit verfeinerten bzw. vergr¨ erten FE-Netzen best¨ igt
den Einfluß der Diskretisierung auf das Optimierungsergebnis. Durch die Vergr¨ erung auf
nur zwei Elemente ¨ er die Dicke bzw. durch die Verfeinerung auf acht Elemente ¨ er
die Dicke treten signifikante quantitative ¨ des berechneten Lastniveaus auf. Ei-
ne qualitative Ver¨ der Ergebnisse f¨ unterschiedliche Diskretisierungen ist jedoch
nicht zu beobachten.
In der Projektstudie wurde auf die Verwendung eines auskonvergierten Netzes verzichtet,
weil sich der Ort maximaler Verzerrungen bei fortschreitender Deformation ver¨ .
6.1. Formoptimierung eines PKW-Stoßf¨ ers 125
Bild 6.10: Lastverschiebungskurven f¨ die erste optimale Geometrie
6.1.6 Weitere Verbesserung und zugeh¨ e Deformation
In einer zweiten Optimierung wurden die Endergebnisse der ersten Optimierungsberechnung
als Startwerte genommen, die Elementanzahl ¨ er die Steifendicke auf 8 Q1P0-Elemente
erh¨ t sowie der betrachtete Bereich der Verschiebung von 15 mm auf 35 mm erh¨ t.
Das Optimierungsergebnis (Kurve ”Optimale Geometrie, 8 Q1P0-Elemente“) zeigt eine deut-
liche Ann¨ an die gew¨ hte Sollverschiebung f¨ den Bereich bis ungef¨ 15 mm
Verschiebung, siehe Bild 6.11, F¨ den sich anschließenden Bereich ist ein deutlicher Abfall
der Lastverschiebungskurve zu beobachten, siehe auch das Materialverhalten in Abschnitt
6.1.3.
Die durch das Optimierungsverfahren ermittelte geometrische Form wurde durch die Volks-
wagen AG hergestellt und erneut unter den bereits genannten Bedingungen in einem Versuch
getestet. Das Versuchsergebnis ist den numerischen Ergebnissen gegen¨ ergestellt, siehe die
Kurve ”Versuch Optimale Geometrie“. Im Bereich bis 15 mm liegt die Versuchskurve deut-
lich unter dem vorgegebenen Soll, kann diese aber f¨ den Bereich 15 mm bis 30 mm gut
ann¨
Zum Vergleich sind die Versuchsergebnisse sowie die Ergebnisse f¨ die Ausgangsgeometrie
beigef¨ .
126 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
Bild 6.11: Zweites Optimum und deformierte Struktur bei 35 mm Verschiebung
Bild 6.12: Lastverschiebungskurven f¨ die zweite optimale Geometrie
6.1. Formoptimierung eines PKW-Stoßf¨ ers 127
6.1.7 Zusammenfassung und Ausblick
In diesem Beispiel wurde der Querschnitt eines PKW-Stoßf¨ ers optimiert, damit das De-
formationsverhalten dem einer vorgegebenen Lastverschiebungskurve entspricht. Zur Verein-
fachung des Optimierungsmodells wurde das reale Materialverhalten durch ein nichtlinear-
elastisches Modell approximiert.
Die durchgef¨ Versuche f¨ die Ausgangsgeometrie nach Bild 6.5 sowie f¨ die optimale
Form nach Bild 6.11, siehe [18], zeigten, daß die gew¨ e Approximation die wesentlichen
Effekte, wie z.B. den Verlauf der Lastverformungskurve sowie die Deformationsfigur, hinrei-
chend genau beschreibt.
Die Untersuchungen verdeutlichten weiterhin die Bedeutung der FE-Diskretisierung sowie
der Wahl geeigneter Elementformulierungen. Adaptive Methoden wurden in diesem Beispiel
nicht verwendet; dieses bleibt einer weiteren Untersuchung vorbehalten.
Die geeignete Wahl des Optimierungsmodells, d.h. der Zielfunktion, der Nebenbedingungen
sowie der Designvariablen f¨ die jeweilige akademische oder reale Fragestellung, ist von
¨ erragender Bedeutung f¨ den Erfolg. Die Sensitivit¨ sanalyse stellt nur einen –wichtigen–
Baustein dar, der erforderlich ist, um richtige Gradienten f¨ den Optimierungsalgorithmus
zu liefern. Gerade bei komplexen industriellen Fragestellungen ist es fast unm¨ lich, die
Gradienten (Sensitivit¨ en) vollst¨ analytisch bereitzustellen.
Diese Tendenz ist auch bei der vorliegenden Querschnittsoptimierung sichtbar, da eine reali-
stischere Behandlung neben dem viskoplastischen Materialverhalten auch komplexes nichtli-
neares Strukturverhalten ber¨ ksichtigen muß. Der Selbstkontakt der Steife sowie m¨ liche
Stabilit¨ sprobleme der Seitenwangen bzw. der Gesamtstruktur seien beispielhaft genannt,
um die wieteren offenen Fragetstellungen zu benennen.
128 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
6.2 Optimierung in der Bruchmechanik
Es wird ein linear-elastisches System mit Form¨ gsenergiefunktion Psi(epsilon) = 12 epsilon : C : epsilon
und Materialgesetz sigma = C : epsilon betrachtet, wobei epsilon den linearen Verzerrungstensor, sigma den
Spannungstensor und C den vierstufigen Elastizit¨ stensor darstellt. Die gesamte potentielle
Energie Pi ist durch
Pi = Piint + Piext =
integraldisplay
Omegao
Psi(epsilon) dV -
integraldisplay
partialdiffOmegao
topenbullet · udA (6.1)
gegeben. Hierbei bezeichnet u den Verschiebungsvektor und topenbullet den ¨ eren Lastvektor. Die
potentielle Energie Pi ist im Gleichgewichtszustand minimal und die schwache Form des
Gleichgewichtes verschwindet, d.h. R := deltauPi = 0.
Die Bedeutung der Energiefreisetzungsrate (EFR) G in der linear-elastischen Bruchmecha-
nik (LEBM) ist wohlbekannt, siehe z.B. [2, 61, 109]. F¨ 2-D Testbeispiele wie z.B. DENT
(double edge notched tension, siehe z.B. [2, 168]) ist die Energiefreisetzungsrate durch
G = -dPi/da definiert, wobei a die L¨ e des Anfangsrisses beschreibt, siehe Bild 6.13. Der
Riß w¨ hst, falls die maximale Energiefreisetzungsrate Gmax einen materialabh¨ igen kri-
tischen Wert Gcrit ¨ erschreitet, siehe z.B. [132, 159] bzgl. eines auf der maximalen Ener-
giefreisetzungsrate basierenden Rißkriteriums. ¨ herweise muß Gmax numerisch bestimmt
werden. Die sich ergebende Rißrichtung der Rißspitze muß dabei nicht notwendigerweise mit
der aktuellen Orientierung des Risses ¨ ereinstimmen.
6.2.1 Theoretische Untersuchungen zur Energiefreisetzungsrate
Das Rißwachstum kann als ein Spezialfall der Form¨ ng einen K¨ pers betrachtet wer-
den, welche zwar die Gesamtmasse unver¨ l¨ t, jedoch neue freie Oberfl¨ hen erzeugt.
Diese Beobachtung f¨ zur ”virtuellen Riߨ ungsmethode“ (virtual crack extension me-
thod), siehe z.B. [13, 82, 83, 132, 184] und zur Reformulierung der Energiefreisetzungsrate
als totale Variation der potentiellen Energie bzgl. eines virtuellen Riߨ ungsfeldes deltaX, siehe
[168, 26]. Diese Technik ist seit langem bekannt und wird vielfach in der linear-elastischen
Bruchmechanik verwendet [116, 98, 157, 194]. Unter Verwendung der Notation und der
bisher aufgezeigten Zusammenh¨ e zur variationellen Sensitivit¨ sanalyse bei Form¨
rungen folgt damit
G = -deltaPi = -deltauPi -deltaXPi = -deltaXPi = -deltaXPiint + deltaXPiext = -deltaXPiint, (6.2)
da R = deltauPi = 0 und deltaXPiext = 0, weil deltatopenbullet = 0 und deltadA = 0 auf partialdiffOmegao. Damit folgt f¨ die
Energiefreisetzungsrate die Darstellung
G =
integraldisplay
Omegao
sigma : GradX uGradX deltaXdV - 12
integraldisplay
Omegao
sigma : epsilon Div deltaXdV, (6.3)
wobei deltaX das virtuelle Riߨ ungsfeld darstellt. Die Energiefreisetzungsrate ist somit eine
Linearform G(deltaX) sofern das Verschiebungsfeld u festgehalten wird. F¨ eine große Anzahl
von Lastf¨ kann aber auch die Darstellung als Trilinearform G(u,u,deltaX) hilfreich sein.
6.2. Optimierung in der Bruchmechanik 129
6.2.2 Energiefreisetzungsrate f¨ feste Rißrichtung
An dieser Stelle wird ein kartesisches Koordinatensystem verwendet, wobei sich Einsteins
Summenkonvention auf doppelt auftretenden Indizes bezieht.
6.2.2.1 Diskrete Formulierung der Energiefreisetzungsrate
Betrachtet wird ein isoparametrisches finites Element mit linearen Ansatzfunktionen NI.
Das Elementgebiet und die Verschiebungen k¨ durch
X = Xi Ei =
nelsummationdisplay
I=1
NI ˆiI Ei und u = ui Ei =
nelsummationdisplay
I=1
NI ˆiI Ei. (6.4)
beschrieben werden, wobei nel und ndi die Anzahl der Knoten bzw. die Raumdimension (2D
oder 3D) bezeichnen. Das virtuelle Riߨ ungsfeld deltaX1 und jede Formvariation deltaX2 sowie
die hieraus folgende Variation des Verschiebungsfeldes deltau2 ergeben sich zu
deltaX1 =
nelsummationdisplay
I=1
NI delta ˆi1I Ei, deltaX2 =
nelsummationdisplay
I=1
NI delta ˆi2I Ei, deltau2 =
nelsummationdisplay
I=1
NI deltaˆi2I Ei. (6.5)
Die FE-Diskretisierung der kontinuierlichen Energiefreisetzungsrate, siehe Gleichung (6.3),
ergibt sich im Fall einer Trilinearform zu
Gh =
NEuniondisplay
e=1
nelsummationdisplay
I=1
nelsummationdisplay
J=1
nelsummationdisplay
K=1
ndisummationdisplay
r=1
ndisummationdisplay
s=1
ndisummationdisplay
t=1
bracketleftbigg integraldisplay
Omegae
TrstIJK dV
bracketrightbigg
ˆIr deltaˆJs delta ˆKt , (6.6)
wobei die Koeffizienten TrstIJK der Knotenanteile durch
TrstIJK = Csvrw NI,w NJ,t NK,v -Csvrw NI,w NJ,v NK,t (6.7)
beschrieben sind. Eine numerische Methode zur Berechnung der Trilinearformen ist im Ab-
schnitt 6.3.4 in Verbindung mit der zweiten Variation dargestellt. An dieser Stelle wird nur
die reduzierte Form f¨ ein festgehaltenes Verschiebungsfeld u angegeben, d.h.
Gh =
NEuniondisplay
e=1
nelsummationdisplay
K=1
ndisummationdisplay
t=1
bracketleftbigg integraldisplay
Omegae
(sigmavw uv,t NK,w -sigmavw uv,w NK,t) dV
bracketrightbigg
delta ˆKt . (6.8)
Die Berechnung dieser Beziehung wird im weiteren genauer beschrieben und kann mit der
Berechnung der Elementresiduen verglichen werden. Das Residuum eines Elementes ist da-
bei die Ableitung der potentiellen Energie nach den Elementverschiebungen w¨ end der
eingef¨ ”Vektor der Energiefreisetzungsrate“ (energy release rate vector) ˆ, siehe unten,
die Ableitung bzgl. der Knotenkoordinaten ist. Der Vektor ˆI mit Dimension ndi wird f¨
jeden Knoten eines Elementes berechnet und zum globalen Vektor ˆ assembliert, d.h.
Gh =
NEuniondisplay
e=1
nelsummationdisplay
I=1
ˆTI delta ˆ I = ˆT delta ˆ , (6.9)
130 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
wobei der Anteil eines Knotens
ˆI =
integraldisplay
Omegae
LTI ˆ H dV -
integraldisplay
Omegae
Psi LTI dV (6.10)
betr¨ t. Die Spannungsmatrix ˆ und der Vektor der Ansatzfunktionen eines Knotens LI sind
f¨ den dreidimensionalen Fall ndi = 3 durch
ˆ =
bracketlefttp
bracketleftbt
sigma11 sigma12 sigma13
sigma12 sigma22 sigma23
sigma13 sigma23 sigma33
bracketrighttp
bracketrightbt, LI =
bracketlefttp
bracketleftbt
NI,1
NI,2
NI,3
bracketrighttp
bracketrightbt (6.11)
gegeben. Abschließend kann der globale Vektor ˆ mit beliebigen virtuellen Riߨ ungsfeldern
delta ˆ multipliziert werden. Damit reduziert sich die Untersuchung f¨ verschiedene Risse auf
eine einfache Matrix-Vektor-Multiplikation Gh = ˆT delta ˆ , d.h. Gh ist eine Linearform.
Damit ist eine nat¨ he Zerlegung der Energiefreisetzungsrate m¨ lich. Der Vektor ˆ enth¨
alle Informationen ¨ er den aktuellen Spannungszustand. Der Vektor delta ˆ beschreibt das
aktuelle virtuelle Riߨ ungsfeld.
6.2.2.2 Numerische Experimente und Ergebnisse
Die beschriebene Methode wurde auf Standardtestbeispiele im ebenen Spannungszustand
wie z.B. DENT (double edge notched tension) angewendet, siehe Bild 6.13. Dabei wurden
die Systemdaten zu W/L/B = 10/10/1 mm und die Rißl¨ e zu a = 2 mm gew¨ . Die
Materialparameter sind E = 7200000 N/mm2 und nu = 0.3. Die Zugspannung betr¨ t sigma =
1.0 N/mm2.
Bild 6.13: Doppeltsymmetrische Scheibe mit zwei Außenrissen
Die numerische Berechnung kann aufgrund der Symmetrie an einem Viertelsystem erfolgen.
Die Verschiebungsrandbedingungen f¨ das Viertelsystem sind durch die Auflagerlinien an-
gedeutet. Es werden sowohl gleichm¨ ig als auch adaptiv verfeinerte Netze betrachtet, siehe
Bild 6.14.
6.2. Optimierung in der Bruchmechanik 131
Die numerisch erzielten Ergebnisse der Energiefreisetzungsrate h¨ en bekanntermaßen von
der Qualit¨ der gew¨ en FE-Diskretisierung ab. Zur Verifikation f¨ dieses Beispiel wur-
de eine adaptive Netzverfeinerung unter Verwendung eines residualen Fehlerindikators auf
ein grobes Startnetz angewendet. Die Umgebung der Rißspitze wird hinreichend verfeinert
und wegen der Spannungssingularit¨ in der Rißspitze muß ein Abbruchkriterium eingesetzt
werden.
Bild 6.14: Gleichm¨ ig und adaptiv verfeinertes FE-Netz
Die asymptotische Konvergenz der Energie und der Energiefreisetzungsrate mit ansteigen-
der Elementzahl kann beobachtet werden. Im Vergleich zeigt die adaptive Netzverfeinerung
gegen¨ er einer gleichm¨ igen Verfeinerung des gesamten Netzes erwartungsgem¨ ein signi-
fikant besseres Ergebnis. Die Vergleichsl¨ ergibt f¨ die Energie Pi = 1.5040· 10-5 Nmm
sowie f¨ die Energiefreisetzungsrate G = 1.2088 · 10-6 N/mm.
Bild 6.15: Konvergenz der Energie ¨ er die Anzahl der Elemente
132 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
Weiterhin ist zu bemerken, daß die diskrete Energiefreisetzungsrate Gh unabh¨ ig von der
Form und Gestalt der virtuellen Riߨ ungsfelder delta ˆ ist. Ein Beispiel f¨ ein virtuelles
Riߨ ungsfeld delta ˆ ist in Abschnitt 6.2.3 angegeben. Diese Beobachtung korrespondiert mit
der Beziehung zwischen G und dem wegunabh¨ igen JR-Integral, siehe z.B. [157, 168].
Die virtuellen Riߨ ungsfelder werden f¨ die Auswertung der Beziehung G = ˆT delta ˆ ben¨ igt,
d.h. der gew¨ e Raum zul¨ virtueller Riߨ ungsfelder ist vom FE-Netz unabh¨ ig.
Es muß aber darauf geachtet werden, daß delta ˆ vollst¨ innerhalb der Systemgeometrie
enthalten ist. Ist diese Bedingung verletzt, so sind weitere Arbeitsanteile aus der virtuellen
Geometrie¨ und den realen Auflagerspannungen zu ber¨ ksichtigen.
Die nachfolgend dargestellten virtuellen Riߨ ungsfelder wurden f¨ das adaptiv verfeinerte
Netz mit 7707 Knoten, 6400 Elementen und insgesamt 13984 Freiheitsgraden berechnet. Sie
k¨ anhand Bild 6.18 erkl¨ t werden, d.h. der Knoten ˆ10 wird virtuell verschoben und
erzeugt entsprechend der gew¨ en parametrischen Abbildungen die dargestellten Felder.
Der Maximalwert tritt in der Rißspitze auf. Die Darstellungen sind ¨ h zur Wahl der
virtuellen Geometrie¨ g deltaX in Bild 5.2b.
Die Felder wurden teilweise mit einer Starrk¨ perverschiebung der Umgebung der Rißspitze
berechnet, die durch die dort auftretenden Plastifizierung motiviert wird, siehe z.B. [2].
Zun¨ hst wurde ein Rechteck um die Rißspitze ohne Starrk¨ peranteil verwendet, wobei sich
die Energiefreisetzungsrate zu G = 1.2088 · 10-5 N/mm ergibt, siehe Bild 6.16
Eine Ellipse mit und ohne Starrk¨ peranteil um die Rißspitze, siehe Bild 6.17, liefert G =
1.2089 · 10-5 N/mm bzw. G = 1.2088 · 10-5 N/mm, d.h. bis auf diskretisierungsbedingte,
aber vernachl¨ re Abweichungen das identische Ergebnis.
Das Ergebnis einer numerischen Finite-Differenzen-Berechnung der Energiefreisetzungsrate
lautet G = 1.2088 · 10-5 N/mm, wobei sich (im Rahmen der Genauigkeit) identische Ergeb-
nisse einstellen. Somit konnte auch die Richtigkeit der theoretischen Ableitungen und der
Implementierung ¨ erpr¨ werden.
Ein weiterer Zugang ist ¨ er die Berechnung des J-Integrals m¨ lich, welches ein Linienin-
tegral um die Rißspitze auswertet. Eine hierzu ¨ uivalente Formulierung erfordert die Aus-
wertung eines Fl¨ henintegrals in einer Ringfl¨ he um die Rißspitze. Der Nachteil hierbei
besteht in der Netzabh¨ igkeit und der notwendigen Anpassung der Netze bei Rißwachs-
tum. Ansonsten ergeben sich jedoch analoge Ergebnisse, d.h. in dem vorliegenden Fall der
Wert G = 1.2091 · 10-5 N/mm. Auf die graphische Darstellung der Ringfl¨ he um die Riß-
spitze wurde verzichtet.
Zusammenfassend best¨ igen die angef¨ Testbeispiele, daß eine adaptive Netzverfei-
nerung die Effizienz der Berechnung steigert. Die Trennung der Berechnung in elementun-
abh¨ ige Riߨ ungsfelder (geometrischer Anteil) und einen vorab berechneten Vektor der
physikalischen Anteile erlaubt die Ber¨ ksichtigung verschiedener Variationen ohne erneute
Berechnungen auf der Elementebene. Diese Strategie kann die Gesamtberechnung beschleuni-
gen. Ansonsten sind die unterschiedlichen Zug¨ e zur Berechnung der Energiefreisetzungs-
rate (innerhalb der Berechnungsgenauigkeit) gleichwertig.
6.2. Optimierung in der Bruchmechanik 133
Bild 6.16: Virtuelles Riߨ ungsfeld als großes bzw. kleines Rechteck
Bild 6.17: Virtuelles Riߨ ungsfeld als Ellipse mit bzw. ohne Starrk¨ peranteil
134 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
6.2.3 Berechnung der maximalen Energiefreisetzungsrate
Es wird angenommen, daß sich die maximale Energiefreisetzungsrate durch ein bestimmtes
virtuelles Riߨ ungsfeld ergibt, d.h.
Gh,max = ˆT delta ˆ max, (6.12)
wobei der globale Vektor ˆ die Systeminformationen enth¨ und somit unabh¨ ig von einer
beliebigen Erweiterung der Riߨ ung ist.
6.2.3.1 Berechnungsstrategie
Das virtuelle Riߨ ungsfeld zeigt in Richtung der voraussichtlichen Rißerweiterung. Ein
endlichdimensionaler Approximationsraum f¨ alle zul¨ virtuellen Riߨ ungsfelder
wird eingef¨ und die maximale Energiefreisetzungsrate wird in dem gew¨ en Raum
bestimmt.
Eine Anfangsdiskretisierung ist kanonisch durch das gew¨ e isoparametrische Modell sowie
das vorhandene FE-Netz gegeben. Damit ist ein endlichdimensionaler Raum f¨ delta ˆ beste-
hend aus allen Variationen der Knotenkoordinaten gegeben. Dieser Raum muß weiterhin
reduziert werden.
Zur Vereinfachung wird der Winkel alpha zwischen der alten und der neuen Rißrichtung und
damit die Abbildung delta ˆ = psi(alpha) eingef¨ Damit ist der zul¨ Raum auf eine Dimension
reduziert.
Das gesuchte Feld delta ˆ max kann durch L¨ der notwendigen Beziehung
d
dalpha Gh =
parenleftbigg d
dalphaˆg
parenrightbiggT
delta ˆ + ˆT ddalphadelta ˆ = ˆT ddalphadelta ˆ = 0, (6.13)
f¨ den Winkel alphamax ermittelt werden, wobei ˆ unabh¨ ig vom Winkel alpha ist.
6.2.3.2 Algorithmische Details
Die Abbildung delta ˆ = psi(alpha) soll im weiteren genauer spezifiziert werden, siehe Bild 6.18. In
diesem Modellproblem werden vier Patches mit Eckknoten ˆ1,..., ˆ10 verwendet, um psi zu
beschreiben. Der Ursprung ˆ10 befindet sich in der Rißspitze. Die urspr¨ he Richtung
des Rißfortschrittes ˆo weist in Richtung des Risses. Die zugeh¨ ige Normalenrichtung sowie
die Eckknoten ˆi(alpha) der Patches k¨ berechnet werden. In dem angegebenen Beispiel
wird nur die Abh¨ igkeit des Knotens ˆ6 in Abh¨ igkeit vom Winkel alpha betrachtet, d.h.
nur der Knoten ˆ6 wird auf der geraden Linie zwischen ˆ2 und ˆ3 ver¨ .
W¨ end der Iteration wird der Winkel alpha ver¨ , um im L¨ spunkt die Richtung
der maximalen Energiefreisetzungsrate zu bestimmen. Eine Transformationsmatrix T wird
verwendet, um den aktuellen Vektor der Rißerweiterung ˆr = T ˆo und den zugeh¨ igen
Normalenvektor zu bestimmen. Abschließend kann die Ver¨ ng der Knoten ˆi berechnet
werden.
Die Ableitungen bzgl. alpha werden mit ()prime bezeichnet. Damit gilt f¨ die Ableitung des aktuellen
Riߨ ungsvektors bzgl. alpha die Beziehung ˆprimer = Tprimeˆo und die Ableitungen von ˆi k¨ mit
Hilfe der modifizierten Transformationsmatrix berechnet werden.
6.2. Optimierung in der Bruchmechanik 135
1 2
3
5
ˆY 6
7
8
9
ˆY 10
ˆX
Theta1
Theta2
Theta
psi
Bild 6.18: Raum zul¨ virtueller Riߨ ungsfelder
In einer Schleife ¨ er alle FE-Knoten ˆ werden nur solche ber¨ ksichtigt, die sich innerhalb
einer der vier Fl¨ hen befinden und somit einen Beitrag zur Energiefreisetzungsrate liefern.
Damit kann delta ˆ durch die Abbildung psi beschrieben werden, d.h. f¨ alle Knoten im Patch
gilt
ˆX =
4summationdisplay
i=1
Ni(Theta) ˆi(alpha) und damit delta ˆ =
4summationdisplay
i=1
Ni(Theta) delta ˆi(alpha). (6.14)
Die lokalen Koordinaten Theta im Intervall [0,1] werden durch eine lokale Newton-Iteration
berechnet. Mehrere unterschiedliche Startpunkte f¨ Theta m¨ n hierbei gew¨ werden, um
die Konvergenz zu garantieren.
Die globalen kartesischen Koordinaten ˆ eines finiten Elementes sind fest, aber die lokalen
Koordinaten Theta sind vom Winkel alpha abh¨ ig.
Die vollst¨ e Ableitung dTheta/dalpha kann durch L¨ der Gleichung
d ˆ
dalpha =
partialdiff ˆ
partialdiffTheta
dTheta
dalpha +
partialdiff ˆ
partialdiffalpha = 0, d.h. durch
dTheta
dalpha = -
parenleftBigg
partialdiff ˆ
partialdiffTheta
parenrightBigg-1
partialdiff ˆ
partialdiffalpha (6.15)
bestimmt werden.
Das virtuelle Riߨ ungsfeld delta ˆ wird durch den Winkel alpha beeinflußt, siehe Gleichung (6.13).
Die vollst¨ e Ableitung von delta ˆ bzgl. alpha lautet
d
dalphadelta
ˆX = d
dalpha
parenleftBigg 4summationdisplay
i=1
Ni(Theta) delta ˆi
parenrightBigg
=
4summationdisplay
i=1
parenleftBigg
partialdiffNi
partialdiffTheta
dTheta
dalpha delta
ˆY i + Ni ddelta ˆY i
dalpha
parenrightBigg
. (6.16)
Abschließend wird eine Fixpunktiteration f¨ Gleichung (6.13) ausgef¨ um den Winkel
alphamax zu berechnen.
6.2.3.3 Numerische Experimente
Der Einfluß ver¨ her Faserwinkel, Schichtdicken und Elastizit¨ smodulen sowie der
Querdehnzahl auf die maximale Energiefreisetzungsrate und die zugeh¨ ige Rißrichtung kann
durch Parameterstudien am geeigneten Beispielen untersucht werden.
An dieser Stelle wird das CCT-Beispiel (Center Crack Tension) kurz erl¨ ert, welches unter
einaxialem Zug f¨ verschiedene Rißrichtungen ausgewertet wurde. Zur Herleitung theo-
retischer Ergebnisse wird eine unendlich ausgedehnte Scheibe betrachtet, die mittels der
nachfolgend genannten Methoden untersucht wurde. Die maximale Energiefreisetzungsrate
ist hierbei angegeben.
136 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
• Methode I nach Lamon ergibt
Gmax = 1estar (K4I + 6K2I K2II + K4II)12 .
• Methode II nach Ichikawa ergibt
Gmax = 12estar
bracketleftBig
K2I + 2K2II + KI(K2I + 6K2II) + K4II)12
bracketrightBig
.
• Methode III unter Verwendung virtueller Riߨ ungsfelder entsprechend der Darstel-
lung in dieser Arbeit.
Die Ergebnisse sind in dem nachfolgenden Diagramm festgehalten.
Bild 6.19: Verlauf der Energiefreisetzungsrate bei verschiedenen Rißrichtungen
Die neu entwickelte Methode III zeigt qualitativ ein ¨ hes Verhalten wie die vorgenann-
ten Methoden aus der Literatur. Die quantitativ unterschiedlichen Ergebnisse der einzelnen
Vorgehensweisen bed¨ einer eingehenderen Untersuchung. Hierbei sind die Unterschie-
de (Werte im Bereich von 1.0 bis 1.1) f¨ den Winkel alpha = 0 zu erkl¨ en. Weiterhin ist es
von Interesse, den Einfluß unterschiedlicher virtueller Riߨ ungsfelder f¨ dieses Beispiel
zu studieren.
6.2. Optimierung in der Bruchmechanik 137
6.2.4 Sensitivit¨ en der Energiefreisetzungsrate
Eine Sensitivit¨ sanalyse der Energiefreisetzungsrate G kann bzgl. zweier unterschiedlicher
Parameterarten durchgef¨ werden. Formvariationen X k¨ mit der bisher dargestell-
ten Methodik durchgef¨ werden, d.h.
delta G = deltau G(deltaX1,deltau2) + deltaX G(deltaX1,deltaX2). (6.17)
Die Notation deltau2 f¨ das virtuelle Verschiebungsfeld und deltaX2 f¨ das virtuelle Geometriefeld
werden eingef¨ Weiterhin werden Variationen des Materialgesetzes deltam, siehe Abschnitt
6.3 f¨ Details, betrachtet, d.h.
delta G = deltau G(deltaX1,deltau2) + deltam G(deltaX1,deltam2). (6.18)
Die Variation deltaX1 bezeichnet das virtuelle Riߨ ungsfeld entsprechend der oben eingef¨
ten Notation. Zur Vereinfachung nehmen wir an, daß deltaX1 weder explizit von deltaX2 bzw. deltam2
abh¨ t, siehe Abschnitt 6.3 f¨ eine allgemeine Darstellung.
6.2.4.1 Variation der Energiefreisetzungsrate bzgl. der Verschiebungen
Die partiellen Variationen bzgl. u2 k¨ durch die Bilinearformen gem¨ Gleichung (6.35)
ausgedr¨ kt werden, d.h.
deltau G = deltau(-deltaXPi) = -deltaX(deltauPi) = -deltaXR = -s(deltau2,deltaX1). (6.19)
Die Diskretisierung von (6.19) liefert deltau Gh = -delta ˆ T1 ST delta ˆ2 , wobei S die globale Sensi-
tivit¨ smatrix darstellt, siehe Gleichung (6.39). Diese Matrix ist f¨ alle Formen der Sensi-
tivit¨ sanalyse bzgl. beliebiger Variationen notwendig. Weitere Ergebnisse h¨ en von der
speziellen Gestalt der Designvariablen ab, d.h. entweder von der Form oder vom Material.
6.2.4.2 Sensitivit¨ en bzgl. Geometrievariationen
Die Variation der Energiefreisetzungsrate G bzgl. X ergibt
deltaX G = -
integraldisplay
Omegao
GradX uGradX deltaX1 : C : GradX uGradX deltaX2 dV
-
integraldisplay
Omegao
sigma : GradX uGradX deltaX2 GradX deltaX1 dV
-
integraldisplay
Omegao
sigma : GradX uGradX deltaX1 GradX deltaX2 dV
+
integraldisplay
Omegao
sigma : GradX uGradX deltaX1 Div deltaX2 dV
+
integraldisplay
Omegao
sigma : GradX uGradX deltaX2 Div deltaX1 dV
+
integraldisplay
Omegao
Psi GradX deltaX1 GradX deltaX2 : 1dV
-
integraldisplay
Omegao
Psi Div deltaX1 Div deltaX2 dV. (6.20)
138 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
Die Diskretisierung lautet
deltaX Gh =
NEuniondisplay
e=1
nelsummationdisplay
I=1
nelsummationdisplay
J=1
delta ˆ T1I EXIJ delta ˆ 2J = delta ˆ T1 EX delta ˆ 2, (6.21)
wobei die Anteile der einzelnen Knoten durch
EXIJ = -
integraldisplay
Omegae
HT BTI CBJ H dV
-
integraldisplay
Omegae
LJ LTI ˆT H dV -
integraldisplay
Omegae
HT ˆ LI LTJ dV
+
integraldisplay
Omegae
HT ˆ LJ LTI dV +
integraldisplay
Omegae
LI LTJ ˆT H dV
+
integraldisplay
Omegae
Psi LJ LTI dV -
integraldisplay
Omegae
Psi LI LTJ dV (6.22)
gegeben sind. Die Spannungsmatrix ˆ und der Vektor der Formfunktionen LI sind durch
Gleichung (6.11) gegeben. Die Matrizen f¨ den materiellen Verschiebungsgradienten H, die
Elastizit¨ smatrix C sowie die B-Matrix B sind wie ¨ h definiert.
Die Sensitivit¨ des Verschiebungsfeldes delta ˆ2 bzgl. der Formvariationen delta ˆ 2 ist durch die
Beziehung delta ˆ2 = -K-1 S delta ˆ 2 gegeben, siehe Gleichung (6.43), d.h. insgesamt gilt
delta Gh = deltau Gh +deltaX Gh = delta ˆ T1 (ST K-1 S + EX) delta ˆ 2 =: delta ˆ T1 deltaˆ. (6.23)
F¨ jedes Element werden lokale Matrizen berechnet und in die globalen Matrizen einge-
baut. Die Matrix K wird gem¨ der Bandstruktur und die Matrizen S sowie EX werden in
kompakter Form gespeichert, siehe auch Abschnitt 6.3.
Das L¨ sverfahren gliedert sich in zwei Teile. Zun¨ hst werden die Gr¨ en
a = delta ˆ T1 EX delta ˆ 2, b1 = S delta ˆ 1 und b2 = S delta ˆ 2 (6.24)
berechnet. Die notwendige Anzahl der Matrix-Vektor-Multiplikationen h¨ t linear von der
Anzahl n1 der betrachteten virtuellen Riߨ ungsfelder deltaX1 ab und von der Anzahl n2
der m¨ lichen Designvariationen deltaX2. Insgesamt m¨ n min(n1,n2) Vorw¨ ts-R¨ kw¨ ts-
Substitutionen durchgef¨ werden, um die gew¨ hte Sensitivit¨ von Gh zu berechnen.
6.2.4.3 Sensitivit¨ bzgl. Materialparametervariationen
Eine Variation des Materialmodells deltam tritt beispielsweise durch die Schwankungen der
Materialparameter auf. Die Variation von G liefert in diesem Fall
deltam G =
integraldisplay
Omegao
deltamsigma :
parenleftbigg
GradX uGradX deltaX - 12 epsilon Div deltaX
parenrightbigg
dV (6.25)
und die zugeh¨ ige Diskretisierung kann in der Form
deltam Gh =
NEuniondisplay
e=1
nelsummationdisplay
I=1
nmatsummationdisplay
J=1
delta ˆ T1I EmIJ delta ˆ 2J = delta ˆ T1 Em delta ˆ 2 (6.26)
6.2. Optimierung in der Bruchmechanik 139
realisiert werden. Die Knotenbeitr¨ e lauten
EmIJ =
integraldisplay
Omegae
HT BTI dsigmaJ dV -
integraldisplay
Omegae
LI dPsiJ dV. (6.27)
Die Matrizen dPsiJ und dsigmaJ beschreiben die partiellen Ableitungen der Energiefreisetzungs-
rate Psi und der Spannungsmatrix sigma bzgl. der Materialparameter ˆ J.
Die Sensitivit¨ des Verschiebungsfeldes ˆ2 bzgl. des konstitutiven Modells delta ˆ 2 kann mit
Hilfe von delta ˆ2 = -K-1 M delta ˆ 2 beschrieben werden, siehe Gleichung (6.43), d.h. die
Sensitivit¨ von Gh bzgl. der skalaren Materialparameter ˆ 2 lautet
delta Gh = deltau Gh +deltam Gh = delta ˆ T1 (ST K-1 M + Em) delta ˆ 2 =: delta ˆ T1 deltaˆ. (6.28)
Die Matrix-Vektor-Multiplikationen werden wie oben beschrieben durchgef¨
6.2.5 Sensitivit¨ der Maximalwerte
Der virtuelle Riߨ ungsvektor wurde als unver¨ h angesehen und die sich hieraus
ergebenden Sensitivit¨ en lauten delta Gh = delta ˆ T1 deltaˆ, siehe auch die Gleichungen (6.9), (6.23)
und (6.28). Es sind weiterf¨ Untersuchungen erforderlich, um die Sensitivit¨ der
maximalen Energiefreisetzungsrate Gh,max und die Sensitivit¨ des zugeh¨ igen Winkels alphamax
zu bestimmen.
Vereinfachend wird angenommen, daß das virtuelle Riߨ ungsfeld deltaX1 zwar vom Winkel alpha
abh¨ t (siehe Abschnitt 6.2.3), aber explizit unabh¨ ig von einer Variation der Geometrie
oder des konstitutiven Modells ist.
Dieses bedeutet, daß die Sensitivit¨ der maximalen Energiefreisetzungsrate Gh,max mit den
bisherigen Ergebnissen ¨ ereinstimmt, d.h.
delta Gh,max = deltaˆT delta ˆ max + ˆT delta(delta ˆ max) = deltaˆT delta ˆ max, (6.29)
da delta(delta ˆ max) = d(delta ˆ max)/dalpha deltaalpha und das Skalarprodukt dieses Vektors mit ˆ aufgrund
Gleichung (6.13) verschwindet.
Zum Abschluß wird die Sensitivit¨ des zugeh¨ igen Winkels alphamax betrachtet. Die notwendige
Bedingung f¨ die maximale Energiefreisetzungsrate, d.h. Gleichung (6.13), muß f¨ alle
Variationen der Geometrie und der Materialparameter g¨ bleiben. Eine Variation von
Gleichung (6.13) ergibt
delta
parenleftbigg d
dalpha Gh
parenrightbigg
= deltaˆT
parenleftBigg
ddelta ˆ
dalpha
parenrightBigg
+ ˆT
parenleftBigg
d2 delta ˆ
dalphadalpha
parenrightBigg
deltaalpha = 0 (6.30)
und die Variation des Winkels alphamax kann somit leicht bestimmt werden. Zus¨ zlich m¨ n
f¨ das eingef¨ eindimensionale Modell zul¨ virtueller Riߨ ungsfelder zweite par-
tielle Ableitungen von delta ˆ bzgl. alpha bestimmt werden.
140 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
6.2.6 Numerische Beispiele
Als letztes Testbeispiel wurden mit dem Kreuz- und dem Kopfplattenstoß zwei Varianten
einer geschweißten Anschlußkonstruktion mit einer Doppel HY-Naht (Naht mit Doppel-
kehlnaht) aus dem Bereich des Stahlbaus betrachtet, siehe auch [168]. Die Montage des
Kopfplattenstoßes hat auf der Baustelle einen großen Vorteil, da die Schweißarbeiten schon
in der Werkstatt durchgef¨ werden k¨ und nicht wie beim Kreuzstoß erst vor Ort.
Die Schweißn¨ te k¨ somit pr¨ und mit weniger Aufwand ausgef¨ werden als
beim Kreuzstoß. Aus diesem Grund werden hier nur die Ergebnisse f¨ den Kopfplattenstoß
aufgef¨ siehe [168] f¨ Detailergebnisse zum Kreuzstoß.
In der vergleichenden Betrachtung soll festgestellt werden, in welchem Bereich der Kon-
struktion eines Kopfplattenstosses die jeweils gr¨ te Kerbwirkung auftritt. Hierf¨ m¨ n
die Elementbeschreibung und die Diskretisierung sowie die nachfolgenden Parameter der
FE-Modellierung geeignet gew¨ bzw. durch Versuche bestimmt werden, d.h.
• das Materialgesetz und die zugeh¨ igen Parameter,
• die Randbedingungen (festes Auflager oder elastische Bettung) und
• die Art und Gr¨ e der Imperfektionen, etc.
Vorgegeben wurde der Elastizit¨ smodul E = 210000 N/mm2, die Querdehnzahl nu = 0.3
sowie die Belastung sigma = 200 N/mm2.
6.2.6.1 Abh¨ igkeit maximaler Vergleichspannungen von der Lagerung
Der Kopfplattenstoß kann unterschiedlich modelliert werden, wobei zun¨ hst eine Variation
der Randbedingungen betrachtet wird, siehe Bild 6.20.
Modell I Modell II Modell III
Bild 6.20: Kopfplattenstoß mit unterschiedlichen Randbedingungen
Die Randbedingungen f¨ das Modell I und II sind jeweils starre Lagerungen im Bereich der
Unterlegscheibe sowie in der Kontaktzone der beiden Kopfplatten. Die Bereich der Lagerun-
gen sind jeweils durch die Striche markiert. Die L¨ e der Lagerung am unteren Rand ist
f¨ das Modell I unrealistisch, wird jedoch zu Vergelichszwecken herangezogen. Im Modell
III wird der Bereich der Unterlegscheibe durch eine elastische Bettung gelagert.
Die Vergleichsspannungen wurden mit einem gleichm¨ ig verfeinerten FE-Netz berechnet,
da aufgrund der vorhandenen Singularit¨ en eine adaptive Verfeinerung in den Rißspitzen
zu stark verfeinern w¨
6.2. Optimierung in der Bruchmechanik 141
Modell I Modell II
Bild 6.21: Vergleichsspannungsverteilung f¨ Modelle I und II
Die Auswertung der Vergleichsspannungen f¨ das Modell II zeigt, daß die gr¨ te Kerbwir-
kung im Bereich der Schweißnahtverbindung im Punkt C auftritt. F¨ das Modell II ergeben
sich in etwa gleich große Vergleichspannungen in den Punkten B und C.
Die Verteilung der Vergleichsspannungen im Modell III entspricht dem Ergebnis durchgef¨
ter Versuche. Hierbei tritt im Punkt B die gr¨ te Vergleichsspannung auf. An dieser Stelle
tritt auch der erste Riß der Struktur auf.
B
Bild 6.22: Vergleichsspannungsverteilung f¨ Modell III
6.2.6.2 Einfluß der Rißorientierung auf die Energiefreisetzungsrate
Das Modell III des geschweißten Kopfplattenstosses wird nun f¨ die weiteren Berechnungen
gew¨ . Im kritischen Punkt B wird ein Riß der L¨ e a = 0.5 cm eingef¨ der durch
Einf¨ eines Winkels alpha unterschiedlich ausgerichtet werden kann, siehe die Darstellung
des CAGD-Modells f¨ eine Umgebung des Punktes B in Bild 6.23.
142 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
B a0a0
a0
Rißrichtung
Winkel alpha
Bild 6.23: Orientierung eines Anfangrisses im Punkt B
Numerische Untersuchungen (ohne Wiedergabe an dieser Stelle) zeigen, daß die gesamte
potentielle Energie des Systems (nahezu) unabh¨ ig von der Rißausrichtung ist.
Die Abh¨ igkeit der Energiefreisetzungsrate (EFR) von der Orientierung des Anfangsrisses
kann aus der folgenden Tabelle entnommen werden und ist in Bild 6.24 graphisch dargestellt.
Winkel EFR
0o 0.4312E-04 N/mm
36,87o 0.1047E-03 N/mm
45o 0.1170E-03 N/mm
54,13o 0.1245E-03 N/mm
90o 0.1196E-03 N/mm
126,87o 0.4879E-04 N/mm
Tabelle 6.1: Abh¨ igkeit der Energiefreisetzungsrate von der Orientierung des Anfangsrisses
Die Kurve zwischen alpha = 54,13o und alpha = 90o sollte durch weitere Berechnungen genauer
untersucht werden, da die geradlinige Interpolation wenig wahrscheinlich ist.
Bild 6.24: ¨ der Energiefreisetzungsrate f¨ unterschiedliche Rißrichtungen
6.2. Optimierung in der Bruchmechanik 143
6.2.6.3 Minimierung der maximalen Energiefreisetzungsrate
Die geometrische Form der Schweißnaht (zwischen den Punkten B und C) besitzt einen
großen Einfluß auf die maximale Energiefreisetzungsrate f¨ einen bereits vorhandenen An-
fangsriß.
Die abgeleiteten Sensitivit¨ en wurden verwendet, um im Rahmen eines automatischen Op-
timierungsverfahren die maximale Energiefreisetzungsrate durch eine gezielte ¨ der
geometrischen Form der Schweißnaht zu minimieren. Dargestellt sind die unterschiedlichen
geometrischen Formen (CAGD-Modelle der Umgebung vom Punkt B f¨ vier Zwischenfor-
men), die sich im Verlauf der automatischen Optimierung ergaben.
Die zugeh¨ igen Energiefreisetzungsraten sind in der folgenden Tabelle aufgef¨
Design 1 Gh = 0.126E -03 N/mm
Design 2 Gh = 0.115E -03 N/mm
Design 3 Gh = 0.100E -03 N/mm
Design 4 Gh = 0.905E -04 N/mm
Tabelle 6.2: Energiefreisetzungsraten in Abh¨ igkeit der Schweißnahtform
Design 1 Design 2
B
C
B
C
Bild 6.25: Ausbildung der Schweißnaht f¨ das Design 1 und 2
Design 3 Design 4
B
C
B
C
Bild 6.26: Ausbildung der Schweißnaht f¨ das Design 3 und 4
Die Berechnung zeigt, daß eine ausgerundete Form der Schweißnaht sich vorteilhaft auf die
Energiefreisetzungsrate (im Punkt B) auswirkt.
144 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
6.2.7 Zusammenfassung und Ausblick
In diesem Abschnitt wurde die Sensitivit¨ sanalyse f¨ Fragestellungen der linear-elastischen
Bruchmechanik eingesetzt. Die Untersuchungen st¨ sich stets auf eine Modellierung der
Geometrie durch geeignet gew¨ e parametrische Abbildungen. Dieses gilt insbesondere f¨
die Bestimmung der virtuellen Riߨ ungsfelder z.B. gem¨ Bild 6.18. Es ist naheliegend,
daß die dargestellte Methodik versagt, falls die – f¨ komplexe industrielle Anwendungen
extrem aufwendige – Modellierung nicht m¨ lich sein sollte.
Die Untersuchungen in diesem Abschnitt beschr¨ en sich auf einen Riß und die Empfind-
lichkeit der Energiefreisetzungsrate, jedoch ohne einen Rißfortschritt zu beschreiben. Die
Beschreibung des Rißwachstums ist von besonderem Interesse und wirft die Frage auf, wie
sich das Geometriemodell mitver¨ muß. Auch in diesem Fall ist die Anwendung bzw.
Weiterentwicklung der aufgezeigten Vorgehensweise nicht trivial. Bei der Fragestellung der
adaptiven Kopplung von Deformation (initiiert den Riß und sorgt f¨ das Rißwachstum) und
dem daraufhin angepaßten Geometriemodell sind noch weitere Untersuchungen erforderlich.
Es bleibt daher zuk¨ zu kl¨ en, ob die Modellierung von Rissen und von Rißwachstum
auf der Grundlage komplexer Geometriemodelle in der praktischen Anwendung Erfolg haben
wird.
6.3. Ein Konzept f¨ robuste Konstruktionen 145
6.3 Ein Konzept f¨ robuste Konstruktionen
In der Literatur werden zahlreiche Vorschl¨ e zur Robustheit (robustness) und zur Zu-
verl¨ (reliability) gegeben.
Ein wichtiger Ansatz ist das reliability-based system design, welches das stochastische Verhal-
ten der Systeme betrachtet, siehe z.B. [88]. In diesem klassischen Zugang wird ein System als
zuverl¨ (reliable) angesehen, wenn die Versagenswahrscheinlichkeit hinreichend klein ist.
Die Strukturoptimierung, basierend auf diesem Zugang, zugeh¨ ige numerische Methoden
sowie praktische Beispiele werden z.B. in [147, 150, 198] beschrieben.
Die Grenzen der Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie auf die Zuverl¨ eitsanalyse
werden z.B. von Ben-Haim in [47, §7] diskutiert. Ben-Haim argumentiert, daß es bei vielen
komplexen technische Anwendungen nicht m¨ lich sei, die f¨ die Wahrscheinlichkeitstheorie
erforderlichen Daten bereitzustellen. Die Zuverl¨ eitsanalyse sei deshalb oftmals fehler-
behaftet.
6.3.1 Unempfindlichkeit und Zuverl¨ igkeit von Strukturen
In einem alternativen Zugang zur Quantifizierung von Zuverl¨ eit f¨ Ben-Haim [47] ein
Konzept ein, welches auf der Bestimmung der Robustheit eines System gegen¨ er Unsicher-
heiten basiert. Er bezeichnet dieses mit robust reliability, d.h. als ”robuste Zuverl¨ eit“.
Die mathematische Formulierung ergibt sich aus der Theorie konvexer Funktionen, siehe z.B.
[48]. In diesem Konzept wird ein System als hochgradig zuverl¨ angesehen, wenn es sich
robust bei Variationen, d.h. Unsicherheiten, verh¨ . Es besitzt eine geringe Zuverl¨ eit,
wenn es auf kleine Unsicherheiten mit der M¨ lichkeit des Schadensfalles reagiert.
Das Konzept der robust reliability beinhaltet drei Bestandteile, d.h. (1) ein mechanisches
Modell, (2) ein Versagenskriterium und (3) ein Modell f¨ die betrachteten Unsicherheiten.
Die Zuverl¨ eit wird somit als der gr¨ te Betrag der Unsicherheit angesehen, die noch
eine erfolgreiche Verwendung der Struktur erm¨ licht.
Das betrachtete mechanische Modell muß in dem Sinne vollst¨ sein, daß die Variationen
bzgl. relevanter Problemparameter alpha durch die Theorie beschreibbar sein m¨ n. Weiterhin
m¨ n die betrachteten Variationen der Fehlerfunktion phi mechanisch sinnvoll sein.
F¨ die Fehlerfunktionen kommen unterschiedlichste Kriterien in Betracht, wobei eine Un-
terteilung zwischen globalen Kriterien wie z.B. bei Stabilit¨ sproblemen mit entsprechenden
Beullasten und lokalen Kriterien mit a-priori unbekannten Ort maximaler Spannungskrite-
rien (z.B. Tsai-Wu-Kriterium f¨ Spannunsgbegrenzung bei Faserverbunden) m¨ lich ist.
Verschiedene konvexe Modelle f¨ die Unsicherheiten werden in [47] diskutiert. Als Beispiel
sei die Beschr¨ ung der Energie (energy-bound models) f¨ urspr¨ h gerade St¨ e und
geometrische Imperfektionen im Fall von Stabilit¨ sversagen genannt. Wenn die maximalen
Energien f¨ die unsicheren geometrischen Formen unterhalb eines kritischen Wertes liegen,
so kann kein Stabilit¨ sversagen auftreten und dieser kritische Wert ist ein Maß f¨ die
Zuverl¨ eit des Systems.
146 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
6.3.2 Erweiterung durch Verwendung von Sensitivit¨ en
Der hier zur Diskussion gestellte Zugang betrachtet konvexe Modelle f¨ die Unsicherheiten,
welche sich direkt aus den ersten Sensitivit¨ en des Schadenskriteriums bzgl. wichtiger Para-
metervariationen ergeben, siehe auch [27]. Hierbei k¨ alle Einflußgr¨ en ber¨ ksichtigt
werden, f¨ die sich Sensitivit¨ en berechnen lassen, d.h. z.B. Geometrie, Materialwerte, La-
sten, Randbedingungen. Diese Definition basiert somit direkt auf der funktionalen Abh¨ ig-
keit der Versagensfunktion von den Systemparametern. F¨ differenzierbare Funktionen gilt
dann
|deltaphi| =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle dphi
dalpha deltaalpha
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle <=<
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle dphi
dalpha
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle |deltaalpha| <=< M epsilon. (6.31)
Die Variation |deltaphi| der Fehlerfunktion wird dann hinreichend klein sein, wenn die Variation
|deltaalpha| selbst hinreichend klein ist, d.h. |deltaalpha| <=< epsilon und weiterhin die Ableitung beschr¨ t ist,
d.h. |dphi/dalpha| <=< M.
Damit ist das Modell durch die konvexe H¨ der wichtigsten Variationen gegeben. Die
hierbei wichtigsten Versagensformen k¨ in einem numerischen Vorgehen automatisch
erfaßt werden. Eine detaillierte Beschreibung des Konzeptes wird in Abschnitt 6.3.6 gegeben.
Zur Verbesserung der Struktur, d.h. zur Vergr¨ erung der Zuverl¨ eit, muß die Sensi-
tivit¨ der Zuverl¨ eit bzgl. der Designparameter berechnet werden. Dieses bedeutet,
daß sowohl erste als auch zweite Variationen der Schadensfunktion bestimmt und berech-
net werden m¨ n. Die Berechnung erster und zweiter Sensitivit¨ en wird bereits seit et-
lichen Jahren in zahlreichen Ver¨ tlichungen diskutiert, siehe auch die Literaturangaben
im Abschnitt 6.2. Hierbei werden vor allem erste Sensitivit¨ en entweder numerisch, semi-
analytisch oder auch vollst¨ analytisch bzw. sogar variationell bestimmt. Die Bestim-
mung zweiter Ableitungen ist jedoch weitaus komplexer und wird dementsprechend bisher
kaum verwendet.
Die hier vorliegende Darstellung konzentriert sich dabei auf die Ableitung, Implementierung
und Berechnung zweiter Sensitivit¨ en bzgl. m¨ licher Geometrie- und Materialparameter-
variationen. Hierbei wird die bereits eingef¨ Darstellungsform verwendet.
6.3. Ein Konzept f¨ robuste Konstruktionen 147
6.3.3 Erste Variation der schwachen Form
Die Untersuchungen verwenden die Notation der bisherigen Abschnitte insbesondere von
Abschnitt 6.2. Zus¨ zlich werden jetzt auch Variationen des Materialmodells betrachtet.
6.3.3.1 Kontinuumsmechanische Formulierung
Die schwache Form R(u,eta) = 0 lautet f¨ linear-elastische Materialien
R = Rint + Rext =
integraldisplay
Omegao
sigma : GradX eta dV -
integraldisplay
Omegao
rhoobo eta dV -
integraldisplay
partialdiffOmegasigma
topenbullet eta dA = 0, (6.32)
wobei sigma = C : epsilon den Spannungstensor, epsilon den linearen Verzerrungstensor, C den Elasti-
zit¨ stensor, eta die Testfunktion, rhoopenbulletbopenbullet die Volumenkr¨ und topenbullet die Oberfl¨ henspannungen
darstellen. Es wird nur der innere Anteil Rint betrachtet, da voraussetzungsgem¨ der ¨ ere
Anteil Rext deformationsunabh¨ ig und zudem konstant bei Design¨ gen sein soll,
d.h. deltaRext = 0.
Die totale Variation der schwache Form des Gleichgewichtes kann additiv in partielle Varia-
tionen bzgl. des virtuellen Verschiebungsfeldes deltau, bzgl. des virtuellen Geometriefeldes deltaX
und bzgl. des konstitutiven Modells deltam zerlegt werden, d.h.
deltaR = deltauR+ deltaXR+ deltamR = partialdiffuR deltau + partialdiffXR deltaX + partialdiffmR deltam = 0. (6.33)
Die ”tangentiale Steifigkeit“ ist eine Bilinearform k(eta,deltau) := deltauR definiert durch
k(eta,deltau) =
integraldisplay
Omegao
GradX eta : C : sym{GradX deltau} dV. (6.34)
In analoger Weise wird die ”tangentiale Formsensitivit¨ “ als Bilinearform s(eta,deltaX) := deltaXR
durch
s(eta,deltaX) = -
integraldisplay
Omegao
sigma : (GradX eta GradX deltaX -GradX eta Div deltaX) dV
-
integraldisplay
Omegao
GradX eta : C : sym{GradX uGradX deltaX} dV. (6.35)
definiert. Abschließend werden die Variationen deltamsigma der Spannungen bzgl. der Variation des
konstitutiven Modells deltam betrachtet. Es ergibt sich die ”tangentiale Materialsensitivit¨ “
als Bilinearform m(eta,deltam) := deltamR mit
m(eta,deltam) =
integraldisplay
Omegao
deltamsigma : GradX eta dV =
integraldisplay
Omegao
GradX eta : partialdiff sigmapartialdiffm : deltamdV. (6.36)
Damit kann Gleichung (6.33) in der Form
deltaR(eta,deltau,deltaX,deltam) = k(eta,deltau) + s(eta,deltaX) + m(eta,deltam) = 0 (6.37)
dargestellt werden. Durch diese Beziehung ist die Variation des Gleichgewichtszustandes deltau
implizit definiert, sobald die Variationen deltaX der Geometrie und deltam des Materials bekannt
sind.
148 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
6.3.3.2 Diskrete Darstellung
Die isoparametrische FE-Methode wird betrachtet, siehe Abschnitt 6.2 f¨ Hinweise auf die
eingef¨ Notation. Die Bilinearform der ”tangentiale Sensitivit¨ “ k(eta,deltau) wird durch
kh(etah,deltauh) =
NEuniondisplay
e=1
nelsummationdisplay
I=1
nelsummationdisplay
J=1
ˆTI
bracketleftbiggintegraldisplay
Omegae
BTI C BJ dV
bracketrightbigg
delta ˆJ = ˆT K delta ˆ (6.38)
approximiert, wobei K die globale Steifigkeitsmatrix angibt.
In analoger Weise gilt f¨ die Bilinearform der ”tangentialen Formsensitivit¨ “ sh(etah,deltaXh)
die Beziehung
sh(etah,deltaXh) =
NEuniondisplay
e=1
nelsummationdisplay
I=1
nelsummationdisplay
J=1
ˆTI seIJ delta ˆJ = ˆT S delta ˆ , (6.39)
wobei S die global Designsensitivit¨ smatrix mit Knotenanteilen
seIJ =
integraldisplay
Omegae
bracketleftbig -BT
I C BJ H - ˆsigma LJ L
T
I + ˆsigma LI L
T
J
bracketrightbig dV (6.40)
darstellt.
Abschließend gilt f¨ die ”tangentiale Materialsensitivit¨ “ die Beziehung
mh(etah,deltamh) =
NEuniondisplay
e=1
nelsummationdisplay
I=1
nmatsummationdisplay
J=1
ˆTI
bracketleftbiggintegraldisplay
Omegae
BTI dsigmaJ dV
bracketrightbigg
delta ˆ J = ˆT M delta ˆ , (6.41)
wobei M die globale Materialsensitivit¨ smatrix ist. F¨ ein konstantes Materialmodell sind
nur die Materialparametervariationen zu betrachten, d.h. die Spannungsmatrix sigma und die
Elastizit¨ smatrix C m¨ n variiert werden, d.h. dsigmaJ und dCJ sind zu bestimmen. Das
konstitutive Modell f¨ eine Faserverbundschale ist z.B. in [214] angegeben und die ge-
suchten Matrizen ergeben sich hieraus durch partielle Ableitung bzgl. der skalarwertigen
makroskopischen Materialparameter.
Die diskrete Form der Gleichung (6.33) lautet
deltaRh = ˆT
parenleftBig
K delta ˆ + S delta ˆ + M delta ˆ
parenrightBig
= 0. (6.42)
¨Ublicherweise wird delta ˆV entweder bzgl. einer bekannten Formvariation deltaX oder bzgl. einer
bekannten Variation des Materialmodells deltam bestimmt, d.h.
delta ˆ = -K-1 S delta ˆ oder delta ˆ = -K-1 M delta ˆ . (6.43)
6.3. Ein Konzept f¨ robuste Konstruktionen 149
6.3.4 Zweite Variation der schwachen Form
Die Bedeutung zweiter Variationen f¨ die Untersuchung einer robusten Struktur wurde
erl¨ ert. In diesem Abschnitt werden weiterf¨ Ableitungen sowie Hinweise zur nu-
merischen Umsetzung der Berechnung zweiter Variationen der schwachen Form der Gleich-
gewichtsbedingung f¨ linear-elastisches Materialverhalten gegeben.
6.3.4.1 Kontinuumsmechanische Darstellung
Jede Variation der Beziehung (6.37) muß verschwinden, da das Gleichgewicht gewahrt bleiben
muß, d.h. es gilt
delta2R(eta,delta2u,deltau1,deltau2,deltaX1,deltaX2,deltam1,deltam2,delta2X1,2,delta2m1,2) = 0. (6.44)
Diese Multilinearform h¨ t von den Variationen der Verschiebungen, der Geometrie und
des konstitutiven Modells ab. Die Indizes beschreiben den Zusammenhang zwischen dem
virtuellen Verschiebungsvektor und der vorgegebenen Variation der Geometrie und des Ma-
terials. Weiterhin treten die Variationen delta2X1,2 und delta2m1,2 dann auf, wenn die vorgegebenen
Variationen der Geometrie deltaX1 und deltaX2 (bzw. deltam1 und deltam2) nicht unabh¨ ig sind. Die-
ser Fall kann dann auftreten, wenn z.B. deltaX1 und deltaX2 von komplexeren Modellen abgeleitet
werden. Somit ist delta2u implizit durch delta2R = 0 definiert. Eine grundlegende Darstellung liefert
delta2R = deltauuR + deltaXuR + deltamuR
+ deltauXR + deltaXXR + deltamXR
+ deltaumR + deltaXmR + deltammR = 0
(6.45)
und somit m¨ n alle partiellen Variationen der schwachen Form bereitgestellt werden.
Diese Multilinearform kann unter Verwendung der noch einzuf¨ Bilinearformen be-
reitgestellt werden.
Die zweite partielle Variation von R bzgl. der Verschiebungen liefert
deltauuR = deltau(partialdiffuRdeltau1) = partialdiffuu R deltau1 deltau2 + partialdiffu R delta2u = k(eta,delta2u), (6.46)
da partialdiffuuR = 0 aufgrund der Linearit¨ des Problems ist.
Alle gemischten partiellen Variationen bzgl. der Verschiebung und der Geometrie, d.h. die
Gr¨ en deltauXR = a(eta,deltau1,deltaX2) und deltaXuR = a(eta,deltau2,deltaX1), lauten
a(eta,deltau,deltaX) :=
integraldisplay
Omegao
[-GradX eta : C : GradX deltauGradX deltaX
-GradX eta GradX deltaX : C : GradX deltau
+ GradX eta : C : GradX deltauDiv deltaX] dV. (6.47)
Alle gemischten partiellen Variationen bzgl. der Verschiebung und bzgl. des Materials, d.h.
deltaumR = b(eta,deltau1,deltam2) und deltamuR = b(eta,deltau2,deltam1), lauten
b(eta,deltau,deltam) :=
integraldisplay
Omegao
GradX eta : deltamC : sym{GradX deltau} dV. (6.48)
150 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
Die gemischten partiellen Variationen bzgl. Geometrie und bzgl. des konstitutiven Modells
sind RXm = c(eta,deltaX1,deltam2) und RmX = c(eta,deltaX2,deltam1)
c := -
integraldisplay
Omegao
GradX eta : deltamC : sym{GradX uGradX deltaX} dV
-
integraldisplay
Omegao
deltamsigma : [GradX eta GradX deltaX -GradX eta Div deltaX] dV. (6.49)
Die zweiten partiellen Variationen bzgl. Geometrie sind durch
deltaXXR = s(eta,delta2X1,2) + d(eta,deltaX1,deltaX2) + d(eta,deltaX2,deltaX1) (6.50)
gegeben, wobei die (tangent design sensitivity) Bilinearform s sich aus Gleichung (6.35)
ergibt und die Trilinearform d(eta,deltaX,deltaX) durch
d :=
integraldisplay
Omegao
[-GradX eta : C : GradX uGradX deltaX1 Div deltaX2
+ GradX eta GradX deltaX2 : C : GradX uGradX deltaX1
+ GradX eta : C : GradX uGradX deltaX2 GradX deltaX1
+ sigma : GradX eta GradX deltaX2 GradX deltaX1
-sigma : GradX eta GradX deltaX1 Div deltaX2
-1/2 sigma : GradX eta (GradX deltaX1 GradX deltaX2 : 1)
+ 1/2 sigma : GradX eta Div deltaX1 Div deltaX2] dV (6.51)
definiert ist.
Abschließend kann die zweite Variation bzgl. des konstitutiven Modells durch
deltammR = m(eta,delta2m1,2) + e(eta,deltam1,deltam2) + e(eta,deltam2,deltam1) (6.52)
beschrieben werden, wobei die Trilinearform e(eta,deltam,deltam) in der Form
e(eta,deltam,deltam) :=
integraldisplay
Omegao
deltammsigma : GradX eta dV. (6.53)
beschrieben wird.
6.3.4.2 Diskrete Formulierung
Eine diskrete Darstellung der eingef¨ Trilinearformen a,b,c,d,e wurde auf der Grund-
lage einer isoparametrischen FE-Formulierung hergeleitet. Obwohl alle Trilinearformen und
alle Abbildungen sowie Variationen durch entsprechende diskrete Gr¨ en approximiert wer-
den, wird zur Vereinfachung die eingef¨ Notation beibehalten.
Das grunds¨ zliche Vorgehen wird am Beispiel der Trilinearform a(eta,deltau,deltaX) vorgestellt, die
in der Form
a =
NEuniondisplay
e=1
nelsummationdisplay
I=1
nelsummationdisplay
J=1
nelsummationdisplay
K=1
ndisummationdisplay
r=1
ndisummationdisplay
s=1
ndisummationdisplay
t=1
bracketlefttp
bracketleftbt
integraldisplay
Omegae
ArstIJK dV
bracketrighttp
bracketrightbt ˆetaIr deltaˆuJs delta ˆXKt (6.54)
6.3. Ein Konzept f¨ robuste Konstruktionen 151
dargestellt werden kann, wobei NE die Anzahl der Elemente, nel die Knotenanzahl am
Element und ndi die Dimension des Problems angibt. Weiterhin sind ˆIr,deltaˆJs und delta ˆKt die
Knotenwerte von eta,deltau and deltaX. Einsteins Summationskonvention wird vorausgesetzt, d.h.
zweifach auftretende Indizes werden ¨ er die Dimension ndi summiert. Die wesentlichen
Knotenanteile lauten
ArstIJK = - NI,t NJ,v NK,w Csvrw -NI,t NJ,w NK,v Crvsw (6.55)
+ NI,v NJ,w NK,t Crvsw. (6.56)
Auf Elementebene muß f¨ jede Knotenkombination (IJK) eine Matrix der Dimension (ndi)3
berechnet werden. Dieses Feld wird elementweise in ein Feld der Dimension (nel × ndi)3
eingef¨ , welches f¨ den sp¨ eren Gebrauch gespeichert wird. F¨ ein Vierknotenelement
(nel = 4,ndi = 2) werden somit pro Element insgesamt 256 Speicherpl¨ ze ben¨ igt. Dieses
Vorgehen kann auf alle andere Trilinearformen b,c,d,e angewendet werden.
Die Dimension entspricht der G¨ der Approximation der Geometrie und der Verschiebun-
gen auf dem Elementgebiet, d.h. dem isoparametrischen Konzept. Die beschriebenen Triline-
arformen sind Bestandteile der Variationen bzgl. des vollst¨ en Approximationsraumes.
Eine verbesserte Approximation der Geometrie durch Verwendung geeigneterer Ans¨ ze er-
laubt eine Reduktion des Speicherbedarfs. In diesem Fall ist es ratsam, alle Elementbeitr¨ e
in ein globales Feld einzuf¨ Wichtig ist zu erkennen, daß die Sensitivit¨ sanalyse auf
dem Elementgebiet nicht mit den aktuell gew¨ en Designvariablen, den sogenannten de-
sign velocity fields in Beziehung steht.
Jede Trilinearform a(eta,deltau1,deltaX2) kann durch einen Vektor a1,2 dargestellt werden, falls die
Variationen der Verschiebung und der Geometrie (oder des Materials) gew¨ oder berech-
net wurden, d.h. a = etaT · a1,2. Dies bedeutet, daß f¨ jede Kombination von Variationen
(deltau1,deltaX2) die Elementbeitr¨ e zu den Trilinearformen mit den Vektoren (delta ˆ1, ˆ 2) mul-
tipliziert werden m¨ n, um a1,2 zu bestimmen. Zusammenfassend erh¨ man somit die
Beziehung ah = etaT a1,2 und entsprechende Darstellungen f¨ alle anderen Trilinearformen.
Die zweiten Variationen der schwachen Form bzgl. der Variation deltaX1 der Geometrie und
deltam2 des konstitutiven Modells sind durch
delta2R = deltauuR+ deltaumR+ deltaXuR+ deltaXmR
= k(eta,delta2u)
+ b(eta,deltau1,deltam2) + a(eta,deltau2,deltaX1) + c(eta,deltaX1,deltam2) (6.57)
gegeben. Die entsprechenden zweiten Variationen des diskreten Verschiebungsvektors delta2 ˆ f¨
den Fall von Formvariationen (delta ˆ 1,delta ˆ 2) kann mit Verwendung der eingef¨ Matrizen
berechnet werden, d.h. mit w := b1,2 + a2,1 + c1,2 gilt
delta2 ˆ = -K-1 parenleftbigb1,2 + a2,1 + c1,2parenrightbig =: -K-1 w. (6.58)
Dieses Vorgehen kann f¨ jede andere Kombination von Designvariablen durchgef¨ wer-
den. Damit sind nur noch Matrix-Vektor-Multiplikationen außerhalb der eigentlichen Ele-
mente notwendig, sofern die Elementbeitr¨ e im Vorfeld berechnet und gespeichert wurden.
152 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
6.3.5 Variationen von Zielfunktion und Nebenbedingung
Ein analoges Vorgehen kann auf die Berechnung der ersten und zweiten Variationen einer
Zielfunktion bzw. Nebenbedingung phi bzgl. Geometrie- oder Materialparametervariationen
angewendet werden, siehe die Gleichungen (6.33) und (6.45). Die Linear- und Bilinearformen
sowie die zugeh¨ igen Matrizen werden verwendet, um die diskreten Formen der Variationen
zu beschreiben, d.h. deltauphi =: f (deltau) = fT delta ˆ und deltaXphi =: g (deltaX) = gT delta ˆ sowie deltamphi =:
h(deltam) = hT delta ˆ f¨ den Fall erster Sensitivit¨ en. Damit kann die Sensitivit¨ sanalyse f¨
geometrische Designvariablen unter Verwendung von Gleichung (6.43) in der Form
deltaphi = fT delta ˆ + gT delta ˆ = -parenleftbigfT K-1 S + gT parenrightbig delta ˆ (6.59)
geschrieben werden sowie in analoger Weise f¨ Materialparameter
deltaphi = fT delta ˆ + hT delta ˆ = -parenleftbigfT K-1 M + hT parenrightbig delta ˆ . (6.60)
Die Effizienz der numerischen Berechnung h¨ t von der Anzahl der Zielfunktionen phi und
Designvariablen delta ˆ (oder delta ˆ ) ab, siehe hierzu die Diskussion zur direkten oder adjungierten
Form der Sensitivit¨ sanalyse z.B. in [84].
F¨ die zweiten Sensitivit¨ en m¨ n die folgenden Variationen, Bilinearformen und Matri-
zen betrachtet werden, d.h.
deltauuphi =: A(deltau1,deltau2) = delta ˆT1 A delta ˆ2
deltauXphi =: B (deltau1,deltaX2) = delta ˆT1 B delta ˆ 2
deltaumphi =: C (deltau1,deltam2) = delta ˆT1 C delta ˆ 2
deltaXXphi =: D (deltaX1,deltaX2) = delta ˆ T1 D delta ˆ 2
deltaXmphi =: E (deltaX1,deltam2) = delta ˆ T1 E delta ˆ 2
deltammphi =: F (deltam1,deltam2) = delta ˆ T1 F delta ˆ 2.
Diese zweiten Sensitivit¨ en k¨ unter Verwendung der eingef¨ Matrizen berechnet
werden. Beispielsweise gilt f¨ die gemischten Sensitivit¨ en bzgl. Geometrie delta ˆ 1 und Ma-
terialgesetz delta ˆ 2 die Darstellung delta2phi = partialdiffuphi delta2u + deltauuphi + deltaumphi + deltaXuphi + deltaXmphi. Damit ergibt
sich eine weitere Darstellung
delta2phi = fT delta2 ˆ + delta ˆT1 A delta ˆ2 + delta ˆT1 C delta ˆ 2
+ delta ˆT2 B delta ˆ 1 + delta ˆ T1 E delta ˆ 2 (6.61)
und weitere Formen k¨ durch Verwendung der bereits berechneten ersten Variationen
delta ˆ1 = -K-1 delta ˆ 1 und delta ˆ2 = -K-1 delta ˆ 2, vergleiche Gleichung (6.43), und der zweiten
Variationen delta2 ˆ = -K-1 w, siehe Gleichung (6.58), angegeben werden.
6.3. Ein Konzept f¨ robuste Konstruktionen 153
6.3.6 Definition der robusten Zuverl¨ igkeit mittels Sensitivit¨ en
Das Konzept der von Ben-Haim sogenannten robusten Zuverl¨ (robust reliability), wie
es in [47] eingef¨ wurde, basiert auf der Wahl einer Versagensfunktion und eines konvexen
Modells der Unsicherheiten. Der hier vorgestellte Beitrag zur Robustheit und Zuverl¨ eit
von Ingenieurstrukturen kombiniert die Versagensfunktion und die Unsicherheit mittels der
Sensitivit¨ sanalyse. Die zentralen Ideen sind hierbei:
• Die Geometrie- und Materialparametervariationen, welche die gr¨ ten Beitr¨ e zur
Sensitivit¨ der Versagensfunktionen phii leisten, werden zur Beschreibung eines konve-
xen Modells der Unsicherheiten herangezogen. Hierzu wird eine beliebige Anzahl nalpha
von Problemparametern alphaj f¨ j = 1,2,...,nalpha betrachtet. Die Variation eines Pa-
rameters alphaj liefert deltaalpha(j) = eta(j) s(j), d.h. die zul¨ Variation kann durch Grenzen
lj <=< sj <=< uj f¨ den Parameter sj beschrieben werden, wobei die Variationen der einzel-
nen Parameter alphaj als unabh¨ ig angesehen werden. Ein nalpha-dimensionaler Unterraum
P propersubset Rnalpha, d.h. der gesuchte konvexe Raum der Unsicherheiten, ist in der folgenden
Form gegeben, d.h.
P := {s element Rnalpha|lj <=< sj <=< uj,j = 1,2,...,nalpha} .
• Die robuste Zuverl¨ eit einer Struktur wird durch eine gewichtete Norm aller be-
rechneten ersten Sensitivit¨ en der Versagensfunktion beschrieben. M¨ liche Definitio-
nen beinhalten:
– Maximale Sensitivit¨ eines einzelnen Kriteriums bzgl. einer Parametervariation.
– Wahl einer Lq-Norm, d.h. ein gewichteter Durchschnitt der gr¨ ten Sensitivit¨ en.
– Wahl einer gewichteten Norm unterschiedlicher Schadensfunktionen, d.h. Span-
nungsbeschr¨ ung und Stabilit¨ sversagen.
• Damit wird die Struktur als zuverl¨ bzgl. einer betrachteten Versagensfunktion
angesehen, falls diese Norm hinreichend klein ist. Die Funktion psi der robusten Zu-
verl¨ eit sollte hierbei auch den Abstand des aktuell betrachteten Designs von der
Schadensfl¨ he ber¨ ksichtigen.
• Ein nichtlineares Optimierungsproblem wird betrachtet, welches die ersten Sensiti-
vit¨ en minimiert, d.h. die Zuverl¨ eit erh¨ t.
Diese Konzept h¨ t zentral von der theoretischen Darstellung und Herleitung erster und
zweiter Sensitivit¨ en sowie eines effizienten numerischen Algorithmus zu ihrer Berechnung
ab.
Die Darstellung der Sensitivit¨ en als Linear-, Bilinear und Trilinearform wurde in einem
allgemeing¨ en Zugang formuliert. Es ist dabei festzuhalten, daß alle Variationen vor einer
Diskretisierung der Verschiebungen bzw. der Geometrie oder des Materialmodells ermittelt
wurden. Damit sind fehlerkontrollierte adaptive Methoden einsetzbar, die problemgerecht
eine Verbesserung des Optimierungsproblems hinsichtlich der Erh¨ ung der Zuverl¨ eit
der Struktur erm¨ lichen.
154 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
Ein numerisches Gesamtkonzept wird nachfolgend dargestellt.
Tafel 6.1: Berechnung und Optimierung der robusten Zuverl¨ eit
1. Vorbereitung
(a) Formulierung des kontinuierlichen Problems f¨ die Strukturanalyse.
(b) Diskretisierung des Randwertproblems bzgl. der Geometrie, der Materialpa-
rameter, der Lasten und Randbedingungen sowie der FEM-Gr¨ en, d.h. die
Wahl eines Ausgangsentwurfs, die Wahl des zugeh¨ igen FE-Netzes.
(c) L¨ des diskreten Strukturanalyseproblems.
2. Bestimmung der robusten Zuverl¨ igkeit
(a) Festlegung des konvexen Modells der Unsicherheiten durch Wahl aller
oder wichtiger Parametervariationen bzw. Ber¨ ksichtigung zus¨ zlicher
Lastf¨
(b) Berechnung der partiellen Sensitivit¨ smatrizen der schwachen Form des
Gleichgewichtes und ggfs. Speicherung.
(c) Berechnung aller Schadensfunktionen phii f¨ i = 1,2,...,nalpha.
(d) Berechnung aller partiellen Sensitivit¨ en der Schadensfunktionen.
(e) Berechnung der vollst¨ en Sensitivit¨ en dphii/dalphaj.
(f) Einf¨ der Definition der robusten Zuverl¨ eit, d.h. Wahl der Ro-
bustheitsfunktion psi = ˆ(dphii/dalphaj).
(g) L¨ eines nichtlinearen Optimierungsproblems um die Robustheitsfunk-
tion psi ¨ er dem Gebiet der zul¨ Parametervariationen P zu minimie-
ren, d.h. Bestimmung der worst case Situation.
3. Strukturoptimierung zur Erh¨ ung der robusten Zuverl¨ igkeit
(a) Wahl einer zweiten Menge D von Geometrie- bzw. Materialparametern zur
gezielten Ver¨ ng der Ausgangsstruktur.
(b) Berechnung der zugeh¨ igen Sensitivit¨ en der Robustheitsfunktion.
(c) L¨ eines nichtlinearen Optimierungsproblems zur Minimierung der Feh-
lerfunktionen phii und zur Maximierung (worst case Situation) der Robust-
heitsfunktion psi ¨ er dem Gebiet der zul¨ Designvariationen D.
6.3. Ein Konzept f¨ robuste Konstruktionen 155
6.3.7 Zusammenfassung und Ausblick
Die Definition eines konvexen Modells der Unsicherheiten durch Sensitivit¨ sinformationen
beschreibt die Robustheit in direkter Form. Mittels numerischer Verfahren kann dieser Zu-
gang auf eine Vielzahl von Ingenieurprobleme mit großer Komplexit¨ angewendet werden,
da das konvexe Modell numerisch leicht und ohne weiteren theoretischen Aufwand ausge-
wertet werden kann.
Diese Aussage ist jedoch nur dann richtig, wenn die Sensitivit¨ sanalyse in Theorie und
Numerik durchgef¨ werden kann. Dieses ist heutzutage noch unrealistisch, insbesondere
bei realen Ingenieurstrukturen. F¨ akademische Fragestellungen erscheint eine Anwendung
m¨ lich; ein Beweis hierf¨ muß jedoch der weiteren Forschung vorbehalten bleiben.
Dar¨ erhinaus kann die Sensitivit¨ sanalyse –so effizient sie auch im Detail durchgef¨
werden kann– nur einen Einzelbeitrag zur Probleml¨ liefern. Wesentlich bleibt die kor-
rekte mechanische Modellierung der Problemstellung.
156 Kapitel 6. Formoptimierungsprobleme
Kapitel 7
Zusammenfassung und Ausblick
7.1 Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit Zur Kontinuumsmechanik inverser Geometrieprobleme wurde
die Problemstellung der Sensitivit¨ sanalyse und Optimierung von Ingenieurstrukturen f¨
vorgegebene Geometrievariationen betrachtet. Die qualitative und quantitative Kenntnis der
Sensitivit¨ kontinuumsmechanischer Gr¨ en bzgl. Parameter¨ ngen stellt eine wichtige
Entscheidungsgr¨ e dar. Eine Ber¨ ksichtigung dieser Information im Konstruktionsprozeß
kann die Qualit¨ der Bearbeitung und des Ergebnisses wesentlich erh¨
Die aus der Literatur bekannten Zug¨ e zur Sensitivit¨ sanalyse, d.h. die Methode der ma-
teriellen Ableitung (Material Derivative Approach, siehe z.B. [6]) und die Methode der Ge-
bietsparametrisierung (Domain Parametrization Approach, siehe z.B. [219]), konnten erwei-
tert werden. Die vorgeschlagene einheitliche Darstellung der Grundlagen von Strukturanalyse
und Strukturoptimierung innerhalb der Kontinuumsmechanik erm¨ licht einen konzeptionell
naheliegenden Zugang zur Sensitivit¨ sanalyse, der auch in der Numerik vorteilhaft einge-
setzt werden kann.
Es sind mit der aufgezeigten Methodik drei Erweiterungen vorgeschlagen worden:
1. Die klassische Kontinuumsmechanik bzgl. der materiellen K¨ per wurde konsequent
um eine Betrachtungsweise bzgl. der nat¨ h vorgegebenen Parametrisierung mittels
konvektiver Koordinaten erweitert.
2. Die Variation kontinuumsmechanischer Gr¨ en kann bereits in der Theorie auf die
zugeh¨ ige Variation der Grundabbildungen zur¨ kgef¨ werden, d.h. s¨ tliche Va-
riationen (Zeitableitung, Designableitung, Linearisierung, etc.) sind Bestandteil der
Theorie und m¨ n nicht nachtr¨ lich ermittelt werden.
3. Die numerischen Methoden (CAGD, FEM) k¨ unmittelbar aus der Kontinuums-
mechanik abgeleitet werden, wobei die Problemstellungen der CAGD-FEM-Kopplung
bereits in den Zusammenh¨ en der Kontinuumsmechanik aufgezeigt werden k¨
Basierend auf diesen Grundlagen konnte die Sensitivit¨ sanalyse f¨ Problemstellungen der
nichtlinearen Kontinuumsmechanik aufgebaut und dargestellt werden. Beispielhaft wurde
die Sch¨ chanik betrachtet. Hierbei wurde besonderer Wert auf eine einheitliche
Sichtweise von Strukturanalyse und Sensitivit¨ sanalyse gelegt.
157
158 Kapitel 7. Zusammenfassung und Ausblick
Die entwickelte Methodik wurde auf drei Fragestellungen angewendet.
Die Untersuchungen zur Formoptimierung des Querschnitts eines PKW-Stoßf¨ sowie
die Bemerkungen zur Optimierung in der Bruchmechanik verdeutlichen anhand akademi-
scher Beispiele exemplarisch das Potential der Sensitivit¨ sanalyse f¨ die Optimierung
von Ingenieurstrukturen. Das abschließend dargelegte Konzept f¨ robuste Konstruktionen
zeigt die Anwendungsm¨ lichkeiten der Methodik bei der grunds¨ zlichen Fragestellung zu-
verl¨ Ingenieurstrukturen und hebt das Potential der Sensitivit¨ sanalyse hervor.
7.2 Ausblick
Die St¨ ke der entwickelten Methodik kann aus Sicht des Autors in zwei Bereichen gewinn-
bringend eingesetzt werden.
Zun¨ hst sind die methodischen Hilfsmittel grundlegend bereitgestellt worden, so daß es
hiermit m¨ lich ist, die Sensitivit¨ sanalyse auch f¨ komplexe nichtlineare Prozesse durch-
zuf¨ Diese optimistische Sichtweise begr¨ sich in der nachgewiesenen ¨ hkeit
der Linearisierungskonzepte der numerischen Mechanik (tangentiale Steifigkeit – tangentiale
Sensitivit¨ ). Konzeptionell ist somit die gleichzeitige Aufbereitung von Theorie und Nu-
merik sowohl f¨ die Belange der Strukturanalyse als auch f¨ die der Sensitivit¨ sanalyse
m¨ lich und in der Durchf¨ auch anzustreben.
Die aufzeigten Zusammenh¨ e und die eingef¨ lokal-konvektive Betrachtungsweise kann
ebenfalls in der Lehre gewinnbringend eingesetzt werden. Der Zusammenhang von Theorie
(Kontinuumsmechanik) und Numerik (CAGD, FEM) sowie die Interaktion zwischen CAGD
und FEM kann den Studierenden mit der lokal-konvektiven Betrachtungsweise ¨ ersichtlich
und verst¨ h nahegebracht werden.
Die entwickelte Methodik besitzt naturgem¨ auch ihre Grenzen.
Zun¨ hst sei daran erinnert, daß in dieser Arbeit die stetige Differenzierbarkeit der kontinu-
umsmechanischen Gr¨ en vorausgesetzt wurde. Dies bedeutet, daß alle Funktionen hinrei-
chend glatt sein m¨ n, damit die Variationen berechnet werden k¨ Diese Annahme ist
f¨ wichtige Problemstellungen der Mechanik (z.B. reibungsbehafteter Kontakt und nichtli-
neare Dynamik) nicht uneingeschr¨ t erf¨ Die Anwendbarkeit auf diese Problemklassen
und die notwendigen Erweiterungen sind daher zuk¨ noch zu untersuchen.
Ebenfalls ist zu erkennen, daß sich viele interessante Fragestellungen nur durch diskrete Op-
timierungsaufgaben beschreiben lassen. In diesem Fall kann die Sensitivit¨ sanalyse keinen
L¨ sbeitrag liefern.
Die Methodik stellt weiterhin hohe Anforderungen an die Modellierung eines realen Pro-
blems. Die aufgezeigten Vorteile ergeben sich nur dann, wenn die Abbildungen und Variatio-
nen auch tats¨ hlich berechnet werden k¨ Bei industriellen Anwendungen kann diese
Forderung heutzutage kaum erf¨ werden. Auch aus diesem Grund konnten in dieser Arbeit
nur akademische Beispiele betrachtet werden.
Diese Arbeit stellt einen Grundlagenbeitrag zur Sensitivit¨ sanalyse und somit zur nume-
rischen Behandlung von Formoptimierungsproblemen dar. Der praktische Beweis der Ver-
wendbarkeit und die Verdeutlichung ihrer Vorteile gegen¨ er anderen Zug¨ en bleibt der
weiteren Forschung vorbehalten.
Anhang A
Anmerkungen zur
Kontinuumsmechanik
Hinweise zur Tensoralgebra und Tensoranalysis sind in den B¨ hern von de Boer [81],
Marsden, Hughes [164], Abraham, Marsden, Ratiu [1], Bertram [52] sowie in den
Vorlesungsunterlagen von Stein [207] zu finden.
Inhaltsangabe
A.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.2 Hinweise zur Tensorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.2.1 Basissysteme der Tangentialr¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.2.2 Fundamentaltensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.2.3 Tensorableitungen in nat¨ lichen Basissystemen . . . . . . . . . . . 163
A.2.4 Wichtige Tensorableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.2.5 Integrals¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.3 Transformationsbeziehungen und deren Variation . . . . . . . . 168
A.3.1 Variation von Basisvektoren und Metrikkoeffizienten . . . . . . . . 168
A.3.2 Gradientenoperatoren und deren Variation . . . . . . . . . . . . . 169
A.3.3 Divergenzoperatoren und deren Variation . . . . . . . . . . . . . . 170
A.3.4 Die Determinante eines Tensors und deren Variation . . . . . . . . 171
A.3.5 Transformation von Vektoren und Tensoren . . . . . . . . . . . . . 172
A.3.6 Transformation und Variation der Linien-, Fl¨ hen- und
Volumenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.3.7 Transformation und Variation von Massenelementen . . . . . . . . 177
A.4 Transformation und Variation der Verzerrungen . . . . . . . . . 179
A.4.1 Variation der lokal-konvektiven Verzerrungstensoren . . . . . . . . 179
A.4.2 Transformation lokaler Verzerrungstensoren . . . . . . . . . . . . . 180
A.4.3 Variation der transformierten Verzerrungstensoren . . . . . . . . . 182
A.4.4 Transformation und Variation der Invarianten . . . . . . . . . . . . 183
159
160 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
A.5 Transformation und Variation der Spannungen . . . . . . . . . 186
A.5.1 Transformationen der zwei- und vierstufigen Tensoren . . . . . . . 186
A.5.2 Transformation in materielle und r¨ che Darstellungsweisen . . 187
A.5.3 Transformation der Spannungsleistung . . . . . . . . . . . . . . . . 188
A.5.4 Variation der Spannungsleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A.6 Details zu den Materialgesetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
A.1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 161
A.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
Die mathematischen Grundlagen zur Darstellung der Kontinuumsmechanik im differential-
geometrischen Zusammenhang werden grundlegend in der Arbeit von Abraham, Marsden,
Ratiu [1] dargestellt. Sie ist fundamental, aber gleichzeitig f¨ den Ingenieur nur nach inten-
sivem Studium verst¨ h. Leichter zug¨ lich sind dabei Arbeiten zur Anwendung wie
z.B. Marsden, Hughes [164] sowie Bertram [52].
Die Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist z.B. in [1, S. 122] bzw. in [52, §4]
gegeben worden. Weiterf¨ Literaturhinweise sind dort zu finden.
Zusammenfassend seien die wesentlichen Eigenschaften einer differenzierbaren Mannigfaltig-
keit kurz angegeben:
• Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit besteht aus einer endlichen Anzahl von Karten,
die einen Atlas bilden, und die betrachtete Menge ¨ erdecken.
• Eine Karte ist dabei eine Kombination aus einer Teilmenge Ui und einer Abbildung
Phii : Ui arrowrightTi.
• Ein Kartenwechsel ist erlaubt. Dieser ist unendlich oft differenzierbar und ver¨
die Mannigfaltigkeit nicht.
• Es wird durch die Karten eine Topologie der Mannigfaltigkeit induziert.
Die Zusammenh¨ e sind im folgenden Bild zusammengefaßt, siehe auch Bild 2.2 auf Seite
14.
Z3
Theta1,Z1
Theta2,Z2 Theta
M
Materieller K¨ per B
Ui
Parametermenge TTheta,i
phii
Bild A.1: Eine Karte der Mannigfaltigkeit ”materieller K¨ per“
162 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
A.2 Hinweise zur Tensorrechnung
Dieser Abschnitt stellt einige ausgew¨ e Grundlagen der Tensoralgebra und -analysis kurz
zusammen.
A.2.1 Basissysteme der Tangentialr¨ e
Die Basissysteme der Euklidischen Vektorr¨ sind in Abschnitt 2.1 eingef¨ worden.
Die kartesischen Basen lauten dabei {Z1,Z2,Z3} f¨ den Parameterraum TTheta, {E1,E2,E3}
f¨ die Referenzkonfiguration Omegaopenbullet sowie {e1,e2,e3} f¨ die Momentankonfiguration Omegat. Die
zugeh¨ igen Koordinaten sind Theta,X,x.
Die konvektiven Tangentenvektoren
Gi := partialdiff
tildewidepsi
partialdiffThetai bzw. gi :=
partialdifftildewide
partialdiffThetai (A.1)
an die Koordinatenlinien Thetai = konst. f¨ i = 1,2,3 bilden die kovariante Basis und spannen
die jeweiligen Tangentialr¨ TX im Punkt X an Omegaopenbullet bzw. Tx im Punkt x an Omegat auf. Die
zugeh¨ igen kontravarianten Basisvektoren, welche die dualen Tangentialr¨ TasteriskmathX bzw. Tasteriskmathx
aufspannen, sind durch Gi · Gj = deltaji bzw. gi · gj = deltaji definiert.
Im weiteren werden nur noch die Abbildungen zwischen den Tangentialr¨ TX,Tx und
dem Parameterraum TTheta betrachtet. Damit treten die kartesischen Basisvektoren Ei und ei
nicht weiter auf.
A.2.2 Fundamentaltensoren
In den einzelnen Tangentialr¨ sind die ko- und kontravarianten Metrikkoeffizienten
definiert, d.h. es gilt
Zij := Zi · Zj, Gij := Gi · Gj, gij := gi · gj, (A.2)
Zij := Zi · Zj, Gij := Gi · Gj, gij := gi · gj. (A.3)
F¨ die ko- und kontravarianten Metrikkoeffizienten des Parameterraumes TTheta gilt aufgrund
der kartesischen Basis die Beziehung Zij = deltaij und Zij = deltaij.
Damit k¨ die Metriktensoren der Tangentialr¨ eingef¨ werden, d.h.
Z := Zij Zi circlemultiplyZj, G := Gij Gi circlemultiplyGj, g := gij gi circlemultiplygj, (A.4)
Z-1 := Zij Zi circlemultiplyZj, G-1 := Gij Gi circlemultiplyGj, g-1 := gij gi circlemultiplygj. (A.5)
Die Einheitstensoren der Tangentialr¨ sind als gemischtvariante Tensoren definiert, d.h.
1Theta := Zi circlemultiplyZi, 1X := Gi circlemultiplyGi und 1x := gi circlemultiplygi. (A.6)
Die Verkn¨ der Tensoren soll in dieser Arbeit formal ¨ er die zugeh¨ ige Verkn¨
von Vektoren des Tangentialraumes sowie des dualen Tangentialraumes erfolgen. Zu diesem
Zweck werden auch die transponierten Einheitstensoren eingef¨ d.h.
1TTheta := Zi circlemultiplyZi, 1TX := Gi circlemultiplyGi und 1Tx := gi circlemultiplygi. (A.7)
A.2. Hinweise zur Tensorrechnung 163
Die entsprechenden vierstufigen Einheitstensoren sind durch
ITheta := Zik Zjl Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl, (A.8)
IX := Gik Gjl Gi circlemultiplyGj circlemultiplyGk circlemultiplyGl, (A.9)
Ix := gik gjl gi circlemultiplygj circlemultiplygk circlemultiplygl (A.10)
gegeben. Die zugeh¨ igen transponierten Einheitstensoren folgen hieraus, d.h.
ITheta := Zil Zjk Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl, (A.11)
IX := Gil Gjk Gi circlemultiplyGj circlemultiplyGk circlemultiplyGl, (A.12)
Ix := gil gjk gi circlemultiplygj circlemultiplygk circlemultiplygl. (A.13)
A.2.3 Tensorableitungen in nat¨ lichen Basissystemen
Die Grundlagen der Tensoranalysis im Rahmen der lokal-konvektiven Betrachtungsweise
sind z.B. in de Boer [81, §5.7.2] dargelegt. Hierbei seien gi,gi die ko- bzw. kontravariante
nat¨ he Basis. F¨ die Ableitung einer skalarwertigen Funktion phi(a,A) nach einem Vektor
a in konvektiver Darstellung, d.h. a = aigi = aigi, gilt dann
v = partialdiffphi(a,A)partialdiffa = partialdiffphi(a,A)partialdiffai gi = partialdiffphi(a,A)partialdiffa
i
gi.
In entsprechender Weise gilt f¨ die Ableitung nach einem Tensor A
V = partialdiffphi(a,A)partialdiffA = partialdiffphi(a,A)partialdiffAi
j
gi circlemultiplygk = partialdiffphi(a,A)partialdiffA
ij
gi circlemultiplygj = partialdiffphi(a,A)partialdiffAij gi circlemultiplygj.
F¨ die Ableitung von tensorwertigen Gr¨ en zweiter Stufe T = Tij gi circlemultiplygj folgt dann
4S = partialdiffT(A)
partialdiffA =
partialdiffTij (A)
partialdiffAkl gi circlemultiplyg
j circlemultiplygk circlemultiplygl.
F¨ andere ko- und kontravariante Kombinationen k¨ die Beziehungen in entsprechender
Weise abgeleitet werden.
F¨ die Situation nat¨ her, konvektiver Basissysteme ergibt sich damit die Folgerung,
daß f¨ die Ableitungen nur die Koeffizientenfunktionen betrachtet werden m¨ n. Ent-
sprechend der Wahl (ko- oder kontravariant) der Koeffizienten wird f¨ jede Ableitung nach
einer kovarianten (kontravarianten) Komponente ein kovarianter (kontravarianter) Basisvek-
tor dyadisch hinzugef¨ . Die Transformation zwischen den Konfigurationen (pull-back und
push-forward) modifiziert nur die Basisvektoren und l¨ t die Ableitung der Koeffizienten-
funktion nach anderen Tensorkoeffizienten unber¨ Damit ist die Vertauschbarkeit von
Ableitung und pull-back bzw. push-forward-Operation augenscheinlich. Dieses zeigt sich in
den weiteren Abschnitten im Detail. Es ist aber zu beachten, daß hiermit nicht die Vertausch-
barkeit von Variation und Transformation gemeint ist. Diese Problematik wird in Abschnitt
A.3.5 beschrieben.
164 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
A.2.4 Wichtige Tensorableitungen
F¨ die weitere Betrachtung ist die Berechnung der Ableitungen von MTheta, mTheta, BTheta,BTTheta,B-1Theta
und B-TTheta nach den Metriktensoren MTheta und mTheta wichtig. Diese Berechnung der Ableitungen
wird an dieser Stelle vollst¨ dokumentiert.
A.2.4.1 Ableitung ko- und kontravarianter Metrikkoeffizienten
Als wesentliches Element der Tensorableitung ist die Ableitung der ko- und kontravarianten
Metrikkoeffizienten gir und gir nach den kovarianten Metrikkoeffizienten gkl bereitzustellen,
d.h. es gilt
partialdiffgir
partialdiffgkl = delta
k
i delta
l
r bzw.
partialdiffgir
partialdiffgkl = -g
ik grl (A.14)
sowie analoge Ergebnisse f¨ die Ableitungen von Gir und Gir nach Gkl. Zum Beweis der
zweiten Beziehung wird die folgende Umformung betrachtet
0 = partialdiffdelta
i
k
partialdiffgrs =
partialdiffgij gjk
partialdiffgrs =
partialdiffgij
partialdiffgrs gjk + g
ij partialdiffgjk
partialdiffgrs =
partialdiffgij
partialdiffgrs gjk + g
ij deltar
j delta
s
k
= partialdiffg
ij
partialdiffgrs gjk g
kn + gir deltas
k g
kn = partialdiffg
in
partialdiffgrs + g
ir gsn.
Aus der letzten Zeile folgt somit das Ergebnis.
A.2.4.2 Ableitung der Metriktensoren
F¨ die Ableitung von MTheta = GijZi circlemultiplyZj und mTheta = gijZi circlemultiplyZj nach sich selbst gilt
partialdiffmTheta
partialdiffmTheta =
partialdiffgij
partialdiffgkl Z
i circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = deltak
i delta
l
j Z
i circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = ITheta (A.15)
partialdiffMTheta
partialdiffMTheta =
partialdiffGij
partialdiffGkl Z
i circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = deltak
i delta
l
j Z
i circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = ITheta. (A.16)
F¨ die Ableitung der Inversen M-1Theta und m-1Theta nach MTheta bzw. mTheta gilt
partialdiffm-1Theta
partialdiffmTheta =
partialdiffgij
partialdiffgkl Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = -g
ik gjl Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = -I
m-1Theta (A.17)
partialdiffM-1Theta
partialdiffMTheta =
partialdiffGij
partialdiffGkl Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = -G
ik Gjl Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = -I
M-1Theta . (A.18)
Diese Ergebnisse werden im weiteren h¨ er ben¨ igt und treten bei der Berechnung der
Variationen in den dort verwendeten Kettenregeln auf.
Im weiteren werden auch noch die Ableitungen von BTheta,BTTheta,B-1Theta ,B-TTheta nach BTheta angegeben.
Hierbei wurde BTheta = M-1Theta mTheta = Gij gjk Zi circlemultiplyZk in (3.47) definiert. F¨ die Ableitungen von
BTheta und BTTheta folgt dann
partialdiffBTheta
partialdiffBTheta = delta
ik deltajl Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = ITheta,
partialdiffBTTheta
partialdiffBTheta = delta
il deltajk Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = ITheta.
A.2. Hinweise zur Tensorrechnung 165
Entsprechend folgt f¨ die Ableitung von B-1Theta und B-TTheta
partialdiffB-1Theta
partialdiffBTheta = g
ir Grk gjs Gsl Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = I
BTTheta,
partialdiffB-TTheta
partialdiffBTheta = g
ir Grl gjs Gsk Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = I
B-TTheta .
A.2.4.3 Ableitung des lokalen Hauptverzerrungstensors
F¨ die Ableitungen von BTheta und B-1Theta nach MTheta und mTheta folgt
partialdiffBTheta
partialdiffmTheta =
partialdiff(Gir grj)
partialdiffgkl Zi circlemultiplyZ
j circlemultiplyZk circlemultiplyZl = Gir deltak
r delta
l
j Zi circlemultiplyZ
j circlemultiplyZk circlemultiplyZl
= Gik deltajr deltarl Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = M-1Theta · ITheta (A.19)
partialdiffBTheta
partialdiffMTheta =
partialdiff(Gir grj)
partialdiffGkl Zi circlemultiplyZ
j circlemultiplyZk circlemultiplyZl = -Gik Grl grj Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl
= -Gik gjr Grl Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = -M-1Theta · ITheta · BTTheta (A.20)
partialdiffB-1Theta
partialdiffmTheta =
partialdiff(gir Grj)
partialdiffgkl Zi circlemultiplyZ
j circlemultiplyZk circlemultiplyZl = -gik grl Grj Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl
= -gik Gjr grl Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = -m-1Theta · ITheta · B-TTheta (A.21)
partialdiffB-1Theta
partialdiffMTheta =
partialdiff(gir Grj)
partialdiffGkl Zi circlemultiplyZ
j circlemultiplyZk circlemultiplyZl = gir deltak
r delta
l
j Zi circlemultiplyZ
j circlemultiplyZk circlemultiplyZl
= gik deltajr deltarl Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl = m-1Theta · ITheta. (A.22)
Analoge Ableitungen ergeben sich f¨ die jeweils transponierten Tensoren BTTheta und B-TTheta , d.h.
die ersten beiden Basisvektoren Zi circlemultiplyZj m¨ n vertauscht werden, sprich Zj circlemultiplyZi.
Die obigen Ableitungen nach MTheta und mTheta k¨ miteinander in Verbindung gebracht
werden, d.h. durch Ausrechnen findet man die folgenden Beziehungen
partialdiffBTheta
partialdiffMTheta = -
partialdiffBTheta
partialdiffmTheta B
T
Theta und
partialdiffBTTheta
partialdiffMTheta = -
partialdiffBTTheta
partialdiffmTheta B
T
Theta (A.23)
sowie partialdiffB
-1
Theta
partialdiffMTheta = -
partialdiffB-1Theta
partialdiffmTheta B
T
Theta und
partialdiffB-TTheta
partialdiffMTheta = -
partialdiffB-TTheta
partialdiffmTheta B
T
Theta. (A.24)
166 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
A.2.4.4 Ableitung der Invarianten
F¨ die Berechnung der Ableitung der Invarianten wird die Skalarmultiplikation der obi-
gen vierstufigen Tensoren mit den zweistufigen Tensoren 1TTheta,BTTheta,B-TTheta erforderlich. F¨ die
Skalarmultiplikation mit 1TTheta gilt
1TTheta : partialdiffBThetapartialdiffm
Theta
= (Zr circlemultiplyZr) : (Gik deltalj Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl)
= Gik deltalj deltari deltajr Zk circlemultiplyZl = Gik Zi circlemultiplyZk = M-1Theta (A.25)
1TTheta : partialdiffBThetapartialdiffM
Theta
= (Zr circlemultiplyZr) : (-Gik gjs Gsl Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl)
= -Gik gjs Gsl deltari deltajr Zk circlemultiplyZl = -Gki gir Grl Zk circlemultiplyZl
= -M-1Theta mTheta M-1Theta = -BTheta M-1Theta . (A.26)
F¨ die Skalarmultiplikation mit BTTheta gilt
BTTheta : partialdiffBThetapartialdiffm
Theta
= (Grs gst Zt circlemultiplyZr) : (Gik deltalj Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl)
= Grs gst deltati deltajr Gik deltalj Zk circlemultiplyZl = Gik gkl Glj Zi circlemultiplyZj
= M-1Theta mTheta M-1Theta = BTheta M-1Theta (A.27)
BTTheta : partialdiffBThetapartialdiffM
Theta
= (Gst gtu Zu circlemultiplyZs) : (-Gik gjr Grl Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl)
= -Gst gtu deltaui deltajs Gik gjr Grl Zk circlemultiplyZl = -Gik gkl Glr grs Gsj Zi circlemultiplyZj
= -M-1Theta mTheta M-1Theta mTheta M-1Theta = -BTheta BTheta M-1Theta . (A.28)
F¨ die Skalarmultiplikation mit B-TTheta gilt
B-TTheta : partialdiffBThetapartialdiffm
Theta
= (gtu Gst Zs circlemultiplyZu) : (Gik deltalj Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl)
= gkl Zk circlemultiplyZl = m-1Theta (A.29)
B-TTheta : partialdiffBThetapartialdiffM
Theta
= (gtu Gst Zt circlemultiplyZu) : (-Gik gjr Grl Zi circlemultiplyZj circlemultiplyZk circlemultiplyZl)
= -Gkl Zk circlemultiplyZl = -M-1Theta . (A.30)
Abschließend k¨ somit die Ableitungen der Invarianten von BTheta nach den Metriktensoren
MTheta und mTheta angegeben werden. Die hierzu erforderlichen Ableitungen der Invarianten I,I ,II
nach dem Tensor BTheta findet man in Abschnitt A.4.4. Es gilt
partialdiffI
partialdiffmTheta = M
-1
Theta ,
partialdiffI
partialdiffMTheta = -M
-1
Theta mTheta M
-1
Theta ,
partialdiffI
partialdiffmTheta = I M
-1
Theta -M
-1
Theta mTheta M
-1
Theta ,
partialdiffI
partialdiffMTheta = -I M
-1
Theta mTheta M
-1
Theta + M
-1
Theta mTheta M
-1
Theta mTheta M
-1
Theta ,
partialdiffII
partialdiffmTheta = III m
-1
Theta ,
partialdiffII
partialdiffMTheta = -III M
-1
Theta .
A.2. Hinweise zur Tensorrechnung 167
A.2.5 Integrals¨ ze
F¨ die Umformung von Rand- in Gebietsintegrale sind die folgenden S¨ ze von Bedeutung,
welche in lokal-konvektiver Darstellung angegeben werden:
integraldisplay
partialdiffTTheta
phi NTheta dATheta =
integraldisplay
TTheta
partialdiffphi
partialdiffTheta dVTheta (A.31)integraldisplay
partialdiffTTheta
u · NTheta dATheta =
integraldisplay
TTheta
DIV u dVTheta (A.32)
integraldisplay
partialdiffTTheta
PTheta NTheta dATheta =
integraldisplay
TTheta
DIV PTheta dVTheta. (A.33)
Die Beziehung (A.32) wird in der Literatur auch als Gaußscher Integralsatz bezeichnet.
Weitere Hinweise finden sich z.B. in [81, S. 164].
168 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
A.3 Transformationsbeziehungen und deren Variation
In diesem Abschnitt werden die Grundlagen der Transformation skalar-, vektor- und tensor-
wertiger Funktionen zwischen den einzelnen Tangentialr¨ dargestellt. Die aufgef¨
Beziehungen sind teilweise der Literatur entnommen, teilweise f¨ die Aufgabenstellung die-
ser Arbeit neu hergeleitet worden.
Die Gradienten der Basisabbildungen tildewide und tildewide sowie der Abbildung phi1 (siehe Seite 41)
bilden die Grundlage der kontinuumsmechanischen Beziehungen und werden an dieser Stelle
in konvektiven Koordinaten angegeben.
FX = gi circlemultiplyGi FTX = Gi circlemultiplygi F-1X = Gi circlemultiplygi F-TX = gi circlemultiplyGi
KTheta = Gi circlemultiplyZi KTTheta = Zi circlemultiplyGi K-1Theta = Zi circlemultiplyGi K-TTheta = Gi circlemultiplyZi
FTheta = gi circlemultiplyZi FTTheta = Zi circlemultiplygi F-1Theta = Zi circlemultiplygi F-TTheta = gi circlemultiplyZi
Tabelle A.1: Tangentenabbildungen
A.3.1 Variation von Basisvektoren und Metrikkoeffizienten
Die Variation der obigen lokal-konvektiven Tangentenabbildungen KTheta und FTheta sowie der zu-
geh¨ igen Transponierten und Inversen bilden die Grundlage aller Variationen in der Konti-
nuumsmechanik. Mit der Variation von KTheta sowie FTheta gem¨ Gleichung (3.32), d.h. von
delta(K-1Theta ) = -K-1Theta deltaKTheta K-1Theta und delta(F-1Theta ) = -F-1Theta deltaFTheta F-1Theta
kann die Variation der Inversen auf die Variation der Abbildung selbst zur¨ kgef¨ werden.
Von Interesse ist an dieser Stelle noch die Darstellung der Variation der ko- und kontravarian-
ten Basisvektoren Gi,Gi sowie gi,gi, die an dieser Stelle hergeleitet wird. Eine Auswertung
der Variation der kontravarianten Metriktensoren m-1Theta und M-1Theta liefert die folgenden Kom-
ponentendarstellungen
deltagij = -gik deltagkl glj und deltaGij = -Gik deltaGkl Glj. (A.34)
Damit k¨ durch Variation von gi = gij gj bzw. von Gi = Gij Gj die Beziehungen
deltagi = -gij deltagjk gkl gl + gil deltagl und deltaGi = -Gij deltaGjk Gkl Gl + Gil deltaGl (A.35)
hergeleitet werden. Hierbei setzen sich die Variationen deltagij und deltaGij aus den Skalarprodukten
der kovarianten Basisvektoren und deren Variation zusammen, d.h. deltagij = deltagi · gj + gi · deltagj
bzw. deltaGij = deltaGi · Gj + Gi · deltaGj.
A.3. Transformationsbeziehungen und deren Variation 169
A.3.2 Gradientenoperatoren und deren Variation
In Abschnitt 3.1 sind drei unterschiedliche Gradientenoperatoren GRADTheta,GradX,gradx ein-
gef¨ worden, welche jeweils bzgl. der Koordinaten Theta,X,x gebildet werden. In konvektiven
Koordinaten gilt dann am Beispiel der Deformationsabbildung x = tildewide(Theta) = phi1(X) = phi1(x)
GRADTheta tildewide = partialdifftildewidephi1partialdiffThetai circlemultiplyZi, GradX phi1 = partialdifftildewidephi1partialdiffThetai circlemultiplyGi und gradx phi1 = partialdifftildewidephi1partialdiffThetai circlemultiplygi.
Die Transformationen zwischen den einzelnen Gradientenoperatoren lauten
GradX phi1 = GRADTheta tildewide
bracketleftBig
GRADTheta tildewide
bracketrightBig-1
und gradx phi1 = GRADTheta tildewide [GRADTheta tildewide]-1 ,
wobei X = tildewide(Theta) und x = tildewide(Theta) gilt.
Die Variation einer Gradientenabbildung kann durch den R¨ kgriff auf die oben dargestellte
Zerlegung durchgef¨ werden. Die hier aufgezeigte Methodik, d.h. die Zerlegung kontinu-
umsmechanischer Funktionen in die lokal-konvektiven Anteile bzgl. Geometrie und Defor-
mation (bzw. Verschiebung), wird bei allen vorkommenden Variationen angewandt.
Als Beispiel wird der materielle Verschiebungsgradient betrachtet. Mit der Variation eines
inversen Tensors gem¨ Gleichung (3.32) folgt dann
deltaHX = delta[GradX u] = delta[GRADTheta u (GRADTheta X)-1]
= GRADTheta deltau (GRADTheta X)-1
-GRADTheta u (GRADTheta X)-1 GRADTheta deltaX (GRADTheta X)-1
= GradX deltau -GradX u GradX deltaX.
Zur Verdeutlichung soll die Variation des materiellen Deformationsgradienten in symbo-
lischer Kurzform, d.h. ohne Verwendung der Gradientensymbole, vorgestellt werden. Aus
FX = FTheta K-1Theta erh¨ man durch Auswertung von
deltaFX = deltaFTheta K-1Theta + FTheta delta(K-1Theta ) = deltaFTheta K-1Theta -FTheta K-1Theta deltaKTheta K-1Theta ,
das Ergebnis
deltaFX = delta(GradX x) = GradX deltax -GradX x GradX deltaX = 1FX -FX 1KX. (A.36)
Aus dieser grundlegenden Darstellung kann zun¨ hst die totale Zeitableitung des materi-
ellen Deformationsgradienten abgeleitet werden. Mit der Annahme einer zeitunabh¨ igen
Referenzkonfiguration ergibt sich das bekannte Ergebnis ú X = GradX ú = lX.
Die totale Variation deltaFX kann auch additiv in zwei partielle Variationen zerlegt werden.
Die Zerlegung kann bei Verwendung des materiellen Verschiebungsgradienten HX und der
Beziehung deltaFX = delta(KX + HX) = deltaHX, da deltaKX = delta1X = 0, hergeleitet werden, d.h. es gilt
deltaFX = deltaHX = GradX deltau -GradX u GradX deltaX = 1HX -HX 1KX. (A.37)
Die partiellen Anteile deltauFX = deltauHX bzgl. einer Variation der lokalen Abbildung tildewide sowie
deltaXFX = deltaXHX bzgl. einer Variation der lokalen Abbildung tildewide ergeben sich zu
deltauFX = deltauHX = GradX deltau (A.38)
deltaXFX = deltaXHX = -GradX u GradX deltaX. (A.39)
F¨ die Variation der Inversen des materiellen Deformationsgradienten gilt
delta(F-1X ) = gradx deltaX -gradx X gradx deltax = gradx u gradx deltaX -gradx X gradx deltau. (A.40)
170 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
A.3.3 Divergenzoperatoren und deren Variation
F¨ den Divergenzoperator gilt am Beispiel des Tensors A die Beziehungen
DIV A = tr(GRADTheta A), Div A = tr(GradX A) und div A = tr(gradx A).
Mit den Darstellung der Spur eines Tensors ¨ er das Skalarprodukt folgt somit
DIV A = GRADTheta A: 1TTheta, (A.41)
Div A = GradX A : 1TX = GRADTheta A K-1Theta : 1TX = GRADTheta A: K-TTheta , (A.42)
div A = gradx A : 1Tx = GRADTheta A F-1Theta : 1Tx = GRADTheta A: F-TTheta , (A.43)
wobei 1TTheta := Zk circlemultiply Zk, 1TX := Gk circlemultiply Gk und 1TX := gk circlemultiply gk die jeweiligen Einheitstensoren
sind.
Die Variation des Divergenzoperators liefert somit
delta[DIV A] = delta[GRADTheta A] : 1TTheta = [GRADTheta deltaA] : 1TTheta
= DIV deltaA (A.44)
delta[Div A] = delta[GradX A] : 1TX = [GradX deltaA -GradX A GradX deltaX] : 1TX
= Div deltaA -GradX A GradX deltaX : 1TX (A.45)
delta[div A] = delta[gradx A] : 1TX = [gradx deltaA -gradx A gradx deltax] : 1TX
= div deltaA -gradx A gradx deltax : 1Tx . (A.46)
Diese Aussage gilt in analoger Weise f¨ Vektoren a.
A.3. Transformationsbeziehungen und deren Variation 171
A.3.4 Die Determinante eines Tensors und deren Variation
A.3.4.1 Definition f¨ die Determinante eines Tensors
Die Determinante eines zweistufigen Tensors kann nach [81, §4.9] durch das ¨ ere Produkt
zweistufiger Tensoren dargestellt werden. Der Leser sei hierf¨ auf die dortige Darstellung
verwiesen. Zusammenfassend gilt
det A = (Au1 ×Au2) · Au3[u
1 u2 u3]
, (A.47)
wobei [u1 u2 u3] = (u1 ×u2) · u3 das Spatprodukt der Vektoren u1,u2,u3 darstellt.
A.3.4.2 Variation der Determinante eines Tensors
F¨ die Variation sind vorbereitend die Determinanten nach ihren Argumenten abzuleiten.
F¨ die Ableitung der Determinante eines Tensors nach dem Tensor gilt die Beziehung
partialdiff det A
partialdiffA = det A A
-T und somit delta(det A) = det A A-T : deltaA, (A.48)
siehe z.B. [208, §4.3.2]
A.3.4.3 Applikationen in der Kontinuumsmechanik
Somit ergeben sich f¨ Jpsi = det KTheta mit KTheta = GRADTheta X und deltaKTheta = GRADTheta deltaX bzw. f¨
Jphi1 = det FTheta mit FTheta = GRADTheta x und deltaFTheta = GRADTheta deltax die Beziehungen
deltaJpsi = Jpsi K-TTheta : GRADTheta deltaX = Jpsi tr(GRADTheta deltaX K-1Theta ) = Jpsi Div deltaX (A.49)
deltaJphi1 = Jphi1 F-TTheta : GRADTheta deltax = Jphi1 tr(GRADTheta deltax F-1Theta ) = Jphi1 div deltax. (A.50)
F¨ die Herleitung wurden die Gleichungen im Abschnitt A.3.3 verwendet.
F¨ die Variation von J = Jphi1 J-1psi ergibt sich daraus
deltaJ = deltaJphi1 J-1psi -Jphi1 J-2psi deltaJpsi = J (div deltax -Div deltaX).
Die Auswertung f¨ die partiellen Variationen bzgl. deltaX und deltau liefert die Beziehungen
deltaXJpsi = Jpsi Div deltaX, deltaXJphi1 = Jphi1 div deltaX, deltaXJ = J (div deltaX -Div deltaX),
deltauJpsi = 0, deltauJphi1 = Jphi1 div deltau, deltauJ = J div deltau.
172 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
A.3.5 Transformation von Vektoren und Tensoren
Die Transformationsbeziehungen von Vektoren und Tensoren (ko- bzw. kontravariant) zwi-
schen den einzelnen Konfigurationen TTheta,TX,Tx sowie deren Variation wird hergeleitet.
Die Transformationsbeziehungen sowie die entsprechenden Variationen h¨ en dabei von
der Darstellung der Vektoren und Tensoren als ko- bzw. kontravariante Gr¨ en ab. Auf eine
Kennzeichnung der Tensoren als ko- bzw. kontravariante Tensoren wird hier verzichtet.1 In
der Regel sind die Verzerrungstensoren kovariant und die Spannungstensoren kontravariant.
A.3.5.1 Darstellung der Transformationsbeziehungen
Beispielhaft seien die Operationen zwischen Parameterraum TTheta und dem Tangentialraum TX
an die Referenzkonfiguration erl¨ ert. Die Transformation der Gr¨ en vom Parameterraum
TTheta in den Tangentialraum TX wird dabei als ”vorschieben“ (’push-forward’) bezeichnet. Die
Umkehroperation nennt man ”zur¨ kziehen“ (’pull-back’). In Anlehnung an die englischspra-
chige Originalliteratur werden in den nachfolgenden Tabellen die Begriffe ’push-forward’ und
’pull-back’ verwendet.
Mit tildewideasteriskmath werden die Basen von TTheta nach TX vorgeschoben (push-forward), d.h. f¨ kontrava-
riante Vektoren tTheta = ti Zi bzw. kontravariante Tensoren TTheta = Tik Zi circlemultiplyZk gilt
tX = tildewideasteriskmath(tTheta) = KTheta tTheta = (Gj circlemultiplyZj) ti Zi = ti deltaji Gj = ti Gi
TX = tildewideasteriskmath(TTheta) = KTheta TTheta KTTheta = (Gj circlemultiplyZj) (Tik Zi circlemultiplyZk) (Zl circlemultiplyGl)
= Tik deltaji deltalk Gj circlemultiplyGl = Tik Gi circlemultiplyGk.
Die Transformation f¨ kontravariante Vektoren und Tensoren gibt Tabelle A.2 an.
Von Nach Operation Abbildung Vektoren Tensoren
TTheta TX push-forward tildewideasteriskmath tX = KTheta tTheta TX = KTheta TTheta KTTheta
pull-back tildewideasteriskmath tTheta = K-1Theta tX TTheta = K-1Theta TX K-TTheta
TTheta Tx push-forward tildewideasteriskmath tx = FTheta tTheta Tx = FTheta TTheta FTTheta
pull-back tildewideasteriskmath tTheta = F-1Theta tx TTheta = F-1Theta Tx F-TTheta
TX Tx push-forward phi1asteriskmath tx = FX tX Tx = FX TX FTX
pull-back phi1asteriskmath tX = F-1X tx TX = F-1X Tx F-TX
Tabelle A.2: Pull-back und push-forward Abbildungen f¨ KONTRAVARIANTE Gr¨ en
1Der Leser sei auf die Notation in [164] hingewiesen. Dort wird mit (•)b das Herunterziehen der Indizes,
d.h. der zugeh¨ ge kovariante Tensor beschrieben. Analog gilt (•)sharp f¨ das Hinaufziehen der Indizes, d.h. f¨
den zugeh¨ gen kontravarianten Tensor.
A.3. Transformationsbeziehungen und deren Variation 173
F¨ kovariante Vektoren tTheta = ti Zi bzw. kovariante Tensoren TTheta = Tik Zi circlemultiplyZk gilt
tX = tildewideasteriskmath(tTheta) = K-TTheta tTheta = (Gj circlemultiplyZj) ti Zi = ti deltaij Gj = ti Gi
TX = tildewideasteriskmath(TTheta) = K-TTheta TTheta K-1Theta = (Gj circlemultiplyZj) (Tik Zi circlemultiplyZk) (Zl circlemultiplyGl)
= Tik deltaij deltakl Gj circlemultiplyGl = Tik Gi circlemultiplyGk.
Die Transformationsbeziehungen f¨ kovariante Vektoren und Tensoren sind in der nachfol-
genden Tabelle zusammengestellt.
Von Nach Operation Abbildung Vektoren Tensoren
TTheta TX push-forward tildewideasteriskmath tX = K-TTheta tTheta TX = K-TTheta TTheta K-1Theta
pull-back tildewideasteriskmath tTheta = KTTheta tX TTheta = KTTheta TX KTheta
TTheta Tx push-forward tildewideasteriskmath tx = F-TTheta tTheta Tx = F-TTheta TTheta F-1Theta
pull-back tildewideasteriskmath tTheta = FTTheta tx TTheta = FTTheta Tx FTheta
TX Tx push-forward phi1asteriskmath tx = F-TX tX Tx = F-TX TX F-1X
pull-back phi1asteriskmath tX = FTX tx TX = FTX Tx FX
Tabelle A.3: Pull-back und push-forward Abbildungen f¨ KOVARIANTE Gr¨ en
Analoge Darstellungen sind damit (ohne Angabe) f¨ gemischtvariante Tensoren m¨ lich.
Der Charakter eines Tensors (ko- bzw. kontravariant) wird in dieser Arbeit nicht gesondert
bezeichnet, da einheitlich die Gradientenoperatoren gemischtvariante (ko-kontra) Zweifeld-
tensoren sind. Die Verzerrungsmaße sind einheitlich kovariant und die Spannungstensoren
einheitlich kontravariant. Die vierstufigen Materialtensoren sind kontravariant.
Ohne Beweis sei angemerkt, daß Transformation und Invertierung eines Tensors vertausch-
bare Operationen sind, d.h. tildewideasteriskmath(A-1) = (tildewideasteriskmath(A))-1.
A.3.5.2 Variation der Transformationsbeziehungen
Die obigen Beziehungen k¨ variiert werden, um hieraus Transformationsbeziehungen
zwischen den Variationen von Vektoren und Tensoren der unterschiedlichen Darstellungs-
weisen herzuleiten.
F¨ die obige Beispielsituation kontravarianter Vektoren tTheta = ti Zi bzw. kontravarianter
Tensoren TTheta = Tik Zi circlemultiplyZk gilt
deltatX = delta[tildewideasteriskmath(tTheta)] = delta[KTheta tTheta] = deltaKTheta tTheta + KTheta deltatTheta
= tildewideasteriskmath(deltatTheta) + GradX deltaXtX,
deltatx = delta[tildewideasteriskmath(tTheta)] = delta[FTheta tTheta] = deltaFTheta tTheta + FTheta deltatTheta
= tildewideasteriskmath(deltatTheta) + gradx deltaxtx,
174 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
sowie
deltaTX = delta[tildewideasteriskmath(TTheta)] = delta[KTheta TTheta KTTheta] = KTheta deltaTTheta KTTheta + deltaKTheta TTheta KTTheta + KTheta TTheta deltaKTTheta
= tildewideasteriskmath(deltaTTheta) + GradX deltaX TX + TX GradTX deltaX,
deltaTx = delta[tildewideasteriskmath(TTheta)] = delta[FTheta TTheta FTTheta] = FTheta deltaTTheta FTTheta + deltaFTheta TTheta FTTheta + FTheta TTheta deltaFTTheta
= tildewideasteriskmath(deltaTTheta) + gradx deltax Tx + Tx gradTx deltax.
Entsprechend der obigen Ableitungen k¨ weitere Zusammenh¨ e berechnet werden.
F¨ kovariante Vektoren tTheta = ti Zi bzw. kovariante Tensoren TTheta = Tik Zi circlemultiplyZk gilt analog
deltatX = delta[tildewideasteriskmath(tTheta)] = delta[K-TTheta tTheta] = deltaK-TTheta tTheta + K-TTheta deltatTheta
= tildewideasteriskmath(deltatTheta) -GradTX deltaXtX,
deltatx = delta[tildewideasteriskmath(tTheta)] = delta[F-TTheta tTheta] = deltaF-TTheta tTheta + F-TTheta deltatTheta
= tildewideasteriskmath(deltatTheta) -gradTx deltaxtx,
deltaTX = delta[tildewideasteriskmath(TTheta)] = delta[K-TTheta TTheta K-1Theta ] = K-TTheta deltaTTheta K-1Theta + deltaK-TTheta TTheta K-1Theta + K-TTheta TTheta deltaK-1Theta
= tildewideasteriskmath(deltaTTheta) -GradTX deltaX TX -TX GradX deltaX
deltaTx = delta[tildewideasteriskmath(TTheta)] = delta[F-TTheta TTheta F-1Theta ] = F-TTheta deltaTTheta F-1Theta + deltaF-TTheta TTheta F-1Theta + F-TTheta TTheta deltaF-1Theta
= tildewideasteriskmath(deltaTTheta) -gradTx deltax Tx -Tx gradx deltax.
Die Variation transformierter Gr¨ en ist aus der Transformation der Variation der lokalen
Gr¨ e sowie den Zusatztermen gem¨ der Transformationsvorschrift zusammengesetzt. Hier-
bei treten f¨ ko- und kontravariante Vektoren und Tensoren vergleichbare Strukturen auf.
Die Unterschiede beziehen sich auf das Vorzeichen der Zusatzterme und die Multiplikation
mit den Gradienten der variierten Abbildungen bzw. den transponierten Gradienten.
Die obigen Beziehungen k¨ in die partiellen Anteile bzgl. einer Variation deltaX der Geo-
metrie und einer Variation deltau des Verschiebungszustandes aufgeteilt werden. Auf eine Dar-
stellung der Aufteilung wird an dieser Stelle verzichtet.
A.3.5.3 Zusammenhang zwischen Transformation und Variation
Der Zusammenhang zwischen der Transformation der Variation einer lokal-konvektiven Gr¨ e
und der Variation einer transformierten Gr¨ e wird am Beispiel der lokal-konvektiven Me-
triktensoren MTheta und mTheta erl¨ ert.
F¨ die Variation von MTheta und mTheta gelten die Beziehungen auf Seite 48, d.h. insbesondere
gilt im Allgemeinen deltaMTheta negationslash= 0 und deltamTheta negationslash= 0.
Die Transformation dieser Gr¨ en in die Referenz- bzw. Momentankonfiguration liefert
gem¨ der Abschnitte A.4.2 und A.4.3 andere Ergebnisse, insbesondere gilt deltaMX = deltaG = 0
und deltamx = deltag = 0.
A.3. Transformationsbeziehungen und deren Variation 175
A.3.6 Transformation und Variation der Linien-, Fl¨ hen- und
Volumenelemente
A.3.6.1 Transformation der Linien-, Fl¨ hen- und Volumenelemente
Die Transformationsbeziehungen zwischen den Linien-, Fl¨ hen- und Volumenelementen des
Parameterraumes TTheta, der Referenzkonfiguration Omegaopenbullet sowie der Momentankonfiguration Omegat
sind in Tabelle A.4 zusammengestellt worden.
Eine Herleitung f¨ die Transformation zwischen Referenz- und Momentankonfiguration fin-
det sich z.B. in Stein, Barthold [208, §3.10]. Die weiteren Beziehungen ergeben sich analog.
dX = KTheta dTheta dAX = det KTheta K-TTheta dATheta dVX = det KTheta dVTheta Jpsi := det KTheta
dx = FTheta dTheta dAx = det FTheta F-TTheta dATheta dVx = det FTheta dVTheta Jphi1 := det FTheta
dx = FX dX dAx = det FX F-TX dAX dVx = det FX dVX J := det FX
Tabelle A.4: Transformation von Linien-, Fl¨ hen- und Volumenelementen
A.3.6.2 Variation der Linien-, Fl¨ hen- und Volumenelemente
F¨ die Variation sind die Angaben der Tabelle A.4 zu betrachten, d.h. die Darstellung
der materiellen und r¨ hen Elemente durch diejenigen des Parameterraumes. Diese sind
gem¨ Konstruktion konstant, d.h. delta(dTheta) = delta(dATheta) = 0 und delta(dVTheta) = 0.
F¨ die Variation der Linienelemente gilt somit
delta[dX] = deltaKTheta dTheta = GRADTheta deltaX dTheta = GRADTheta deltaX K-1Theta dX = GradX deltaX dX,
delta[dx] = deltaFTheta dTheta = GRADTheta deltax dTheta = GRADTheta deltax F-1Theta dx = gradx deltax dx.
F¨ die Variation der Fl¨ henelemente sind die Darstellungen durch dATheta zu betrachten, d.h.
dAX = Jpsi K-TTheta dATheta bzw. dAx = Jphi1 F-TTheta dATheta, und entsprechend der obigen Regeln zu
variieren. Es gilt dann mit (A.49) exemplarisch f¨ dAX die Ableitung
delta[dAX] = delta[Jpsi K-TTheta dATheta] = delta[Jpsi K-TTheta ] dATheta = [deltaJpsi K-TTheta + Jpsi delta(K-TTheta )] dATheta
= [Jpsi Div deltaX K-TTheta -Jpsi K-TTheta deltaKTTheta K-TTheta ] dATheta
= bracketleftbigDiv deltaX 1TX -GradTX deltaXbracketrightbig dAX.
Analog gilt
delta[dAx] = bracketleftbigdiv deltax 1Tx -gradTx deltaxbracketrightbig dAx.
Die Variation der Volumenelemente kann direkt aus der Variation der Determinanten ermit-
telt werden, d.h. es gilt
delta[dVX] = deltaJpsi dVTheta = Jpsi Div deltaX dVTheta = Div deltaX dVX
delta[dVx] = deltaJphi1 dVTheta = Jphi1 div deltax dVTheta = div deltax dVx.
176 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
delta[dTheta] = 0 delta[dATheta] = 0 delta[dVTheta] = 0
delta[dX] = GradX deltaX dX delta[dAX] = [Div deltaX 1TX -GradTX deltaX] dAX delta[dVX] = Div deltaX dVX
delta[dx] = gradx deltax dx delta[dAx] = [div deltax 1Tx -gradTx deltax] dAx delta[dVx] = div deltax dVx
Tabelle A.5: Variation von Linien-, Fl¨ hen- und Volumenelementen
Die Endergebnisse sind in der Tabelle A.5 zusammengefaßt.
A.3.6.3 Zeitableitung der Linien-, Fl¨ hen- und Volumenelemente
Im Sonderfall der Zeitableitung der Elemente ergeben sich mit der Zeitunabh¨ igkeit der
Referenzkonfiguration die Beziehungen
údx = grad
x úx dx
údA
x = [div úx -gradTx úx] dAx
údV
x = div úx dVx. (A.51)
F¨ eine detailliertere Darstellung sei auf [208, §4.3] verwiesen.
A.3. Transformationsbeziehungen und deren Variation 177
A.3.7 Transformation und Variation von Massenelementen
Die Massenelemente ergeben sich aus dem Produkt der volumenspezifischen Massendichte
mit dem zugeh¨ igen Volumenelement. In Abschnitt 2.1.5 wurden die Dichteverteilungen
eingef¨ d.h. es gilt f¨ die Dichteverteilung der Momentankonfiguration zum Zeitpunkt
t bzw. f¨ die Referenzkonfiguration zur Referenzzeit t = topenbullet
rhot = tildewidet(Theta) = rho1t(X) = rho1t(x) bzw. rhoopenbullet = tildewideopenbullet(Theta) = rho1openbullet(X) = rho1openbullet(x).
Es ist zu beachten, daß im Allgemeinen zwei unterschiedliche Massendichtefelder existieren.
An dieser Stelle wird die unterschiedliche Konzeption der lokal-konvektiven Betrachtungs-
weise deutlich. Die Konfigurationen Omegaopenbullet und Omegat werden zuerst als voneinander unabh¨ ig
eingef¨ Erst mit der Einf¨ der Massenerhaltung werden beide Felder verkn¨
d.h. es entsteht die Darstellung (A.53).
A.3.7.1 Transformation von Massenelementen
Die Gesamtmasse mopenbullet der Referenzkonfiguration Omegaopenbullet kann mit dMX = rhoopenbullet dVX sowie den
Transformationsbeziehungen f¨ die Volumenelemente in der Form
mopenbullet =
integraldisplay
Omegaopenbullet
dMX =
integraldisplay
Omegaopenbullet
rhoopenbullet dVX =
integraldisplay
Omegat
rhoopenbullet J-1 dVx =
integraldisplay
TTheta
rhoopenbullet Jpsi dVTheta.
angegeben werden. F¨ die jeweiligen Integranden wird die folgende Notation eingef¨
rhoopenbullet,X := rhoopenbullet, rhoopenbullet,Theta := rhoopenbullet Jpsi und rhoopenbullet,x := rhoopenbullet J-1
und eine modifizierte Darstellung lautet
mopenbullet =
integraldisplay
Omegaopenbullet
rhoopenbullet,X dVX =
integraldisplay
Omegat
rhoopenbullet,x dVx =
integraldisplay
TTheta
rhoopenbullet,Theta dVTheta.
In analoger Form ergibt sich mit dMx = rhot dVx die Gesamtmasse mt der Momentankonfigu-
ration Omegat zu
mt =
integraldisplay
Omegat
dMx =
integraldisplay
Omegat
rhot dVx =
integraldisplay
Omegaopenbullet
rhot J dVX =
integraldisplay
TTheta
rhot Jphi1 dVTheta.
F¨ die jeweiligen Integranden wird die folgende Notation eingef¨
rhot,x := rhot, rhot,Theta := rhot Jphi1 und rhot,X := rhot J
und eine modifizierte Darstellung lautet
mt =
integraldisplay
Omegat
rhot,x dVx =
integraldisplay
Omegaopenbullet
rhot,X dVX =
integraldisplay
TTheta
rhot,Theta dVTheta.
178 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
A.3.7.2 Variation der Massenelemente
Die Variation der Massenelemente dMX und dMx kann mit den obigen Beziehungen durch die
Variation der Dichtefunktionen und der Variation der Volumenelemente ausgedr¨ kt werden.
F¨ die Variation des Massenelementes der Referenzkonfiguration gilt
delta dMX = deltarhoopenbullet,Theta dVTheta = [deltarhoopenbullet Jpsi + rhoopenbullet deltaJpsi] dVTheta = [deltarhoopenbullet + rhoopenbullet Div deltaX] dVX,
bzw. in analoger Form f¨ die Momentankonfiguration
delta dMx = deltarhot,Theta dVTheta = [deltarhot Jphi1 + rhot deltaJphi1] dVTheta = [deltarhot + rhot div deltax] dVx.
A.3.7.3 Der Sonderfall der Massenerhaltung
Im Rahmen der Kontinuumsmechanik werden ¨ herweise Deformationen untersucht, wel-
che die Gesamtmasse des K¨ pers erhalten, siehe Abschnitt 3.5.1. In diesem Fall gilt mopenbullet = mt
und es ergeben sich aus dem Vergleich der obigen Integrale die ¨ uivalenten Beziehungen
rhoopenbullet,Theta = rhoopenbullet Jpsi = rhot,Theta = rhot Jphi1
rhoopenbullet,X = rhoopenbullet = rhot,X = rhot J
rhoopenbullet,x = rhoopenbullet J-1 = rhot,x = rhot
zwischen den volumenspezifischen Massedichten. Eine Variation der ersten Beziehung liefert
mit (A.49) und (A.50) sofort
deltarhoopenbullet Jpsi + rhoopenbullet Jpsi Div deltaX = deltarhot Jphi1 + rhot Jphi1 div deltax.
Eine Auswertung f¨ den Sonderfall Zeitableitung ergibt mit der Zeitunabh¨ igkeit der
Massendichte der Referenzkonfiguration Omegaopenbullet , d.h. úopenbullet = 0, und der Zeitunabh¨ igkeit der
Referenzkonfiguration Omegaopenbullet selbst, d.h. ú = 0, die Beziehung
út + rhot div ú = 0, (A.52)
d.h. die bekannte Kontinuit¨ sgleichung der Kontinuumsmechanik.
Im Fall der Massenerhaltung kann die Notation abge¨ werden, d.h. es gilt dann
rhoTheta := rhoopenbullet,Theta = rhot,Theta = rhoopenbullet Jpsi, rhoX := rhoopenbullet,X = rhot,X = rhoopenbullet, rhox := rhoopenbullet,x = rhot,x = rhoopenbullet J-1. (A.53)
In diesem Fall ist ein Massenelement des Parameterraumes dMTheta = rhoTheta dVTheta auch eindeutig
definiert. In dieser Arbeit werden nur massenerhaltende Deformationen betrachtet.
F¨ die Variation der obigen Beziehung gilt dann mit deltarhoopenbullet = 0 nach kurzer Rechnung
deltaXrhot = rhot (Div deltaX -div deltax). (A.54)
A.4. Transformation und Variation der Verzerrungen 179
A.4 Transformation und Variation der Verzerrungen
In diesem Abschnitt werden die lokal-konvektiven Verzerrungsmaße sowie deren Variationen
in die bezogenen Darstellungen der Referenz- bzw. Momentankonfiguration transformiert.
Weiterhin k¨ aber auch die in die Referenz- und Momentankonfiguration transformierten
lokalen Verzerrungsmaße variiert werden, d.h. deltaMX,deltamX,deltaEX und deltaMx,deltamx,deltaEx werden
bereitgestellt. Hierbei wird der Zusammenhang zwischen den Vorgehensweisen sowie die evtl.
vorhandene Vertauschbarkeit von Variation und Transformation (pull-back, push-forward)
aufgezeigt.
A.4.1 Variation der lokal-konvektiven Verzerrungstensoren
F¨ die Betrachtungen an dieser Stelle wird die Verschiebungsabbildung eingef¨ Hier-
durch wird die Grundannahme unabh¨ iger Geometrie- und Deformationsabbildungen mo-
difiziert. Hiernach werden die Geometrieabbildung tildewide sowie die Verschiebungsabbildung tildewide als
unabh¨ ige Abbildungen betrachtet, mit deren Hilfe die Deformationsabbildung definiert
werden kann, d.h. tildewide = tildewide + tildewide. F¨ die Variation einer Gr¨ e alpha ergibt sich damit die additive
Zerlegung deltaalpha = deltaXalpha+ deltaualpha und man erh¨
ETheta = sym (HTTheta KTheta + 1/2 HTTheta HTheta) (A.55)
deltaETheta = sym (HTTheta deltaKTheta + FTTheta deltaHTheta). (A.56)
Hieraus k¨ sofort die partiellen Variationen abgelesen werden, d.h. es gilt
deltaXETheta = sym (HTTheta deltaKTheta) und deltauETheta = sym (FTTheta deltaHTheta). (A.57)
Die zweite Variation delta2ETheta mit
delta2ETheta = sym (deltaHTTheta deltaKTheta + HTTheta delta2KTheta + deltaFTTheta deltaHTheta + FTTheta delta2HTheta)
erfordert die Berechnung vier zweiter partiellen Variationen delta2uuETheta,delta2uXETheta,delta2XuETheta,delta2XXETheta
im Punkt (X,u). Hierbei treten zwei unterschiedliche erste Variationen von Geometrie und
Verschiebung (deltaX1,deltau1) bzw. (deltaX2,deltau2) sowie die zweiten Variationen (delta2X,delta2u) auf. All-
gemein gilt dann
delta2uuETheta = sym (GRADTTheta deltau2 GRADTheta deltau1) + sym (GRADTTheta x GRADTheta delta2u) (A.58)
delta2uXETheta = sym (GRADTTheta deltaX2 GRADTheta deltau1) (A.59)
delta2XuETheta = sym (GRADTTheta deltau2 GRADTheta deltaX1) (A.60)
delta2XXETheta = sym (GRADTTheta u GRADTheta delta2X). (A.61)
Eine spezielle Situation stellt die Herleitung der schwachen Form des Gleichgewichts aus
einem Energiepotential dar, d.h. es gilt (deltaX1,deltau1) = (0,eta) sowie (deltaX2,deltau2) = (deltaX,deltau) und
man erh¨ die Beziehungen delta2XuETheta = delta2XXETheta = 0 sowie
delta2etauETheta = sym (GRADTTheta deltau GRADTheta eta) (A.62)
delta2etaXETheta = sym (GRADTTheta deltaX GRADTheta eta). (A.63)
Diese Beziehungen werden in Abschnitt 3.6 im Rahmen der Herleitung schwacher Formen
verwendet.
180 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
A.4.2 Transformation lokaler Verzerrungstensoren
F¨ die Beschreibung und das Verst¨ der physikalischen Ph¨ mene ist es hilfreich die
lokalen Verzerrungstensoren sowie deren Variationen neben der lokal-konvektiven Herleitung
auch in materieller und r¨ her Form darzustellen.
A.4.2.1 Bezogene Darstellungen lokaler Verzerrungstensoren
Die lokalen ko- und kontravarianten Metriktensoren sowie der lokale Verzerrungstensor k¨
nen in die Tangentialr¨ TX und Tx transformiert werden. Dabei ist die push-forward-
Operation mit der Invertierung vertauschbar. Man erh¨ die materiellen und r¨ hen
Metriktensoren in der Form
MX := tildewideasteriskmath(MTheta) = Gij Gi circlemultiplyGj = KTX KX =: G
M-1X := tildewideasteriskmath(M-1Theta ) = Gij Gi circlemultiplyGj = K-1X K-TX =: G-1
mX := tildewideasteriskmath(mTheta) = gij Gi circlemultiplyGj = FTX FX =: C
m-1X := tildewideasteriskmath(m-1Theta ) = gij Gi circlemultiplyGj = F-1X F-TX =: C-1
Mx := tildewideasteriskmath(MTheta) = Gij gi circlemultiplygj = KTx Kx =: b-1
M-1x := tildewideasteriskmath(M-1Theta ) = Gij gi circlemultiplygj = K-1x K-Tx =: b
mx := tildewideasteriskmath(mTheta) = gij gi circlemultiplygj = FTx Fx =: g
m-1x := tildewideasteriskmath(m-1Theta ) = gij gi circlemultiplygj = F-1x F-Tx =: g-1.
In der materiellen bzw. r¨ hen Darstellungsweise werden insbesondere der Rechts-Cauchy-
Green-Verzerrungstensor C sowie der Links-Cauchy-Green-Verzerrungstensor b verwendet.
Die materielle und r¨ he Darstellung des lokalen Verzerrungstensors ergibt sich zu
EX := tildewideasteriskmath(ETheta) = 12 (mX -MX) = 12 (FTX FX -KTX KX) = 12 (C -G) =: E
Ex := tildewideasteriskmath(ETheta) = 12 (mx -Mx) = 12 (FTx Fx -KTx Kx) = 12 (g -b-1) =: E(A).
Hierbei bezeichnet EX equivalence E den materiellen Cauchy-Green-Verzerrungstensor und Ex equivalence E(A)
den r¨ hen Almansi-Verzerrungstensor.
A.4.2.2 Bezogene Darstellungen lokaler Verzerrungsvariationstensoren
Weiterhin werden die materielle und r¨ he Darstellung der variierten lokalen kovarianten
Metriktensoren deltaMTheta und deltamTheta hergeleitet. F¨ die push-forward-Operation in den TX gilt
tildewidepsiasteriskmath(A) = K-TTheta A K-1Theta sowie analog tildewidephi1asteriskmath(A) = F-TTheta A F-1Theta f¨ur die Transformation in den Tx.
Als ersten Schritt erh¨ man
1MX := tildewidepsi
asteriskmath(deltaMTheta) = 2 sym (K
T
X
1KX) = 2 sym (GradT
X X GradX deltaX)
1mX := tildewidepsi
asteriskmath(deltamTheta) = 2 sym (F
T
X
1FX) = 2 sym (GradT
X x GradX deltax)
1Mx := tildewidephi1
asteriskmath(deltaMTheta) = 2 sym (K
T
x
1Kx) = 2 sym (gradT
x X gradx deltaX)
1mx := tildewidephi1
asteriskmath(deltamTheta) = 2 sym (F
T
x
1Fx) = 2 sym (gradT
x x gradx deltax).
A.4. Transformation und Variation der Verzerrungen 181
F¨ den lokalen Verzerrungsvariationstensor DTheta = deltaETheta ergeben sich die materiellen und
r¨ ichen Darstellungen
DX := tildewideasteriskmath(DTheta) = sym (GradTX x GradX deltax -GradTX X GradX deltaX) (A.64)
= sym (GradTX u GradX deltaX + GradTX x GradX deltau) (A.65)
Dx := tildewideasteriskmath(DTheta) = sym (gradTx x gradx deltax -gradTx X gradx deltaX) (A.66)
= sym (gradTx u gradx deltaX + gradTx x gradx deltau). (A.67)
Hieraus k¨ die partiellen Anteile tildewideasteriskmath(deltauETheta) und tildewideasteriskmath(deltaXETheta) direkt abgelesen werden.
Die zweite Variation delta2ETheta kann ebenfalls in materieller und r¨ her Form dargestellt
werden, d.h. es gilt
2DX := tildewidepsi
asteriskmath(
2DTheta) und 2Dx := tildewidephi1
asteriskmath(
2DTheta).
Die Transformationen k¨ analog durchgef¨ werden. Beispielsweise ergibt sich mit
(A.62) und (A.63)
tildewidepsiasteriskmath(delta2etauETheta) = sym (GradTX deltau GradX eta) (A.68)
tildewideasteriskmath(delta2etaXETheta) = sym (gradTx deltaX gradx eta). (A.69)
Die neudefinierten materiellen und r¨ Verzerrungsvariationstensoren k¨ ent-
sprechend der Abh¨ igkeit der Verzerrungen von den Basisabbildungen tildewide und tildewide in partielle
Anteile bzgl. der Variationen deltatildewide und deltatildewide aufgespalten werden. Dieses ist f¨ die numerischen
Methoden von Bedeutung, siehe hierzu Abschnitt B.3.
A.4.2.3 Bezogene Darstellungen f¨ Verzerrungsgeschwindigkeitstensoren
F¨ die Zeitableitung erh¨ man mit der Zeitunabh¨ igkeit der Geometrieabbildung die
materiellen und r¨ Verzerrungsgeschwindigkeitstensoren
dX := tildewideasteriskmath( ú Theta) = 12 úij Gi circlemultiplyGj = sym (FTX lX)
dx := tildewideasteriskmath( ú Theta) = 12 úij gi circlemultiplygj = sym (FTx lx) =: d.
Dabei gilt f¨ den lokal-konvektiven Tensor die Definition dTheta = ú Theta gem¨ Gleichung (3.44).
In entsprechender Weise kann der lokale Spintensor in materieller oder r¨ her Form
geschrieben werden, d.h.
wX = tildewideasteriskmath(wTheta) = skew (FTX lX) und wx = tildewideasteriskmath(wTheta) = skew (FTx lx).
Die hier aufgezeigte Herleitung der Verzerrungsgeschwindigkeitstensoren dX und dx equivalence d
basiert ausschließlich auf der Zeitableitung der kovarianten Metrikkoeffizienten sowie der an-
schließenden Vorw¨ tstransformation auf TX bzw. Tx. Sie verzichtet g¨ h auf das Konzept
der Lie-Ableitungen, wie es ¨ herweise, siehe z.B. die Arbeiten von Wriggers [229], Miehe
[172], Steinmann [215], f¨ die r¨ he Betrachtungsweise erforderlich ist. Die nat¨ he
Herleitung von Verzerrungsraten auf dem Parameterraum erleichtert zudem die Interpreta-
tion sowie das Verst¨ der geometrischen Grundlagen.
182 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
A.4.3 Variation der transformierten Verzerrungstensoren
Die Variation der Metriktensoren der Referenz- und Momentankonfiguration ergibt sich zu
deltaMX = delta(KTX KX) = deltaKTX KX + KTX deltaKX = 0
deltamX = delta(FTX FX) = deltaFTX FX + FTX deltaFX = 2 sym [(1HX -HX 1HX)T FX]
deltaMx = delta(KTx Kx) = deltaKTx Kx + KTx deltaKx = 2 sym [(1Kx -Kx 1Fx)T Kx]
deltamx = delta(FTx Fx) = deltaFTx Fx + FTx deltaFx = 0
Ausgeschrieben gilt dabei
deltamX = 2 sym [(1FX -FX 1KX)T FX]
= 2 sym [(1HX -HX 1KX)T FX]
= 2 sym [(GradX deltax -GradX x GradX deltaX)T GradX x]
= 2 sym [(GradX deltau -GradX u GradX deltaX)T GradX x]
deltaMx = 2 sym [(1Kx -Kx 1Fx)T Kx]
= 2 sym [(-1Hx + Hx 1Fx)T Kx]
= 2 sym [(Hx 1Kx -Kx 1Hx)T Kx]
= 2 sym [(gradx deltaX -gradx X gradx deltax)T gradx X]
= 2 sym [(-gradx deltau + gradx u gradx deltax)T gradx X]
= 2 sym [(-gradx X gradx deltau + gradx u gradx deltaX)T gradx X]
F¨ die materiellen und r¨ hen Verzerrungstensoren EX und Ex folgt damit
deltaEX = sym [(GradX X GradX deltau -GradX u GradX deltaX)T GradX x]
deltaEx = sym [(gradx X gradx deltau -gradx u gradx deltaX)T gradx X].
Die Variation der transformierten Verzerrungen kann auch mittels der Variation der Trans-
formationsbeziehungen hergeleitet werden. Mit den Beziehungen
EX = K-TTheta ETheta K-1Theta und Ex = F-TTheta ETheta F-1Theta
ergeben sich
deltaEX = K-TTheta deltaETheta K-1Theta + deltaK-TTheta ETheta K-1Theta + K-TTheta ETheta deltaK-1Theta u
= K-TTheta deltaETheta K-1Theta -K-TTheta deltaKTTheta K-TTheta ETheta K-1Theta -K-TTheta ETheta K-1Theta deltaKTheta K-1Theta
= K-TTheta deltaETheta K-1Theta -K-TTheta deltaKTTheta EX -EX deltaKTheta K-1Theta
deltaEx = F-TTheta deltaETheta F-1Theta + deltaF-TTheta ETheta F-1Theta + F-TTheta ETheta deltaF-1Theta
= F-TTheta deltaETheta F-1Theta -F-TTheta deltaFTTheta F-TTheta ETheta F-1Theta -F-TTheta ETheta F-1Theta deltaKTheta F-1Theta
= F-TTheta deltaETheta F-1Theta -F-TTheta deltaFTTheta Ex -Ex deltaFTheta F-1Theta .
A.4. Transformation und Variation der Verzerrungen 183
A.4.4 Transformation und Variation der Invarianten
Dieser Abschnitt stellt die Hintergrundinformationen zum Abschnitt 3.2.3 zusammen.
A.4.4.1 Das lokal-konvektive Eigenwertproblem
Das lokal-konvektive Eigenwertproblem (3.46) lautet
(BTheta -lambda2i 1Theta) YTheta,i = 0 (i = 1,2,3)
f¨ die Eigenwerte lambda2i := 1 + 2 ?i des gemischtvarianten lokalen Hauptverzerrungstensors
BTheta := M-1Theta mTheta = K-1Theta (FTheta K-1Theta )T FTheta = Gij gjk Zi circlemultiplyZk. (A.70)
Die Hauptwerte lambda2i eines Eigenwertproblems mit Determinante det(BTheta-lambda2i 1Theta) = 0 ergeben
sich aus der L¨ des charakteristischen Polynoms lambda6i - I lambda4i + I lambda2i - II = 0, wobei die
Invarianten I,I ,II von BTheta gem¨ de Boer [81, §4.9.5] durch
I = lambda21 + lambda22 + lambda23 = BTheta : 1Theta
I = lambda21 lambda22 + lambda21 lambda23 + lambda22 lambda23 = 12 parenleftbig(BTheta : 1Theta)2 -BTTheta : BThetaparenrightbig
II = lambda21 lambda22 lambda23 = 16 (BTheta : 1Theta)3 - 12 (BTheta : 1Theta) (BTTheta : BTheta) + 13 BTTheta BTTheta : BTheta
gegeben sind. Die Auswertung f¨ BTheta = Gij gjk Zi circlemultiplyZk ergibt
A := BTheta : 1Theta = tr BTheta = Gij gji
B := BTTheta : BTheta = tr B2Theta = Gij gjk Gkl gli
C := BTTheta BTTheta : BTheta = tr B3Theta = Gij gjk Gkl glm Gmn gni.
A.4.4.2 Bezogene Darstellungen des Eigenwertproblems
Eine Transformation des speziellen Eigenwertproblems auf TX oder Tx f¨ zu
(BX -lambdai 1X) YX,i = 0 bzw. (Bx -lambdai 1x) Yx,i = 0,
wobei BX und Bx die materiellen bzw. r¨ chen Hauptverzerrungstensoren sind, d.h.
BX := KTheta BTheta K-1Theta = M-1X mX = G-1 C = Gij gjk Gi circlemultiplyGk (A.71)
Bx := FTheta BTheta F-1Theta = M-1x mx = b g = Gij gjk gi circlemultiplygk. (A.72)
Bei den Transformationen des gemischtvarianten und daher unsymmetrischen lokalen Haupt-
verzerrungstensors BTheta = M-1Theta mTheta wird je eine Basis ko- bzw. kontravariant transformiert,
d.h. es ist eine ¨ hkeitstransformation, welche die Determinante erh¨ . Damit sind die
Invarianten und somit die Eigenwerte gleich. Die lokalen, materiellen bzw. r¨ hen Ei-
genvektoren transformieren sich wie kontravariante Vektoren, d.h. YX,i = KTheta YTheta,i sowie
Yx,i = FTheta YTheta,i.
184 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
Mit den Rechenregeln der Tensorrechnung kann gezeigt werden, daß die Werte A,B,C und
damit die Invarianten I,I ,II sowie die Eigenwerte lambda21,lambda22,lambda23 auch durch den Rechts-Cauchy-
Green Tensor C bzw. den Links-Cauchy-Green-Tensor b bestimmt werden k¨ d.h.
A = tr C = tr b, B = tr C2 = tr b2 sowie C = tr C3 = tr b3.
Die Bezeichnung der Eigenwerte lambda2i als quadratische Werte von lambdai ist mit der Beziehung zu
den Eigenwerten der Links- bzw. Rechts-Strecktensoren U bzw. V zu erkl¨ en, siehe auch
die Polare Zerlegung des materiellen Deformationsgradienten, z.B. in [208, §3.3].
A.4.4.3 Die Invarianten eines Tensors und einige Ableitungen
Dieser Abschnitt stellt die notwendigen Informationen aus de Boer [81] zusammen. F¨ die
Invarianten gilt [81, S. 83, (4.9.108)–(4.9.110)]
IA = 12 (A × 1) : 1, (A.73)
I A = 12 (A × A) : 1, (A.74)
IIA = 16 (A × A) : A = det A. (A.75)
F¨ das ¨ ere Produkt zweistufiger Tensoren gelten mit [81, S. 78, (4.9.72) und (4.9.74)]
die folgenden Darstellungen
A × 1 = (A : 1) 1 -AT ,
A × A = bracketleftbig(A : 1)2 -AT : Abracketrightbig 1 -2 (A : 1) AT + 2 AT AT .
Damit k¨ die Invarianten berechnet werden und es gilt [81, S. 83, (4.9.111)]
IA = A : 1
I A = 12 bracketleftbig(A : 1)2 -AT : Abracketrightbig
IIA = 16 (A : 1)3 - 12 (A : 1) (AT : A) + 13 AT AT : A.
F¨ die Ableitung der Invarianten IA,I A,IIA nach diesem Tensor A folgt dann [81, S. 150,
(5.6.16)]
partialdiffIA
partialdiffA = 1,
partialdiffI A
partialdiffA = A ×× 1,
partialdiffIIA
partialdiffA =
+A. (A.76)
Mit der Definition eines adjungierten Tensors + nach [81, S. 81, (4.9.86)] und der expliziten
Angabe eines inversen Tensors nach [81, S. 82, (4.9.95)] gilt
+A = 1
2 (A ×× A) = det A A
-T , (A.77)
d.h. zusammenfassend folgt
partialdiffIA
partialdiffA = 1,
partialdiffI A
partialdiffA = (A : 1) 1 -A
T partialdiffIIIA
partialdiffA = det A A
-T . (A.78)
Ist der Tensor A gemischtvariant (kontra-kontravariant), so muß 1 durch 1T ausgetauscht
werden.
A.4. Transformation und Variation der Verzerrungen 185
A.4.4.4 Ableitung der Invarianten des lokalen Hauptverzerrungstensors
Die Ableitungen der Invarianten I,I ,II der Tensoren BTheta,BX,Bx nach dem jeweiligen Tensor
ergeben sich mit den bekannten Ableitungsregeln, siehe [81, S. 150],
partialdiffI
partialdiffBTheta = 1Theta
partialdiffI
partialdiffBTheta = I 1Theta -B
T
Theta
partialdiffII
partialdiffBTheta = III B
-T
Theta ,
partialdiffI
partialdiffBX = 1X
partialdiffI
partialdiffBX = I 1X -B
T
X
partialdiffII
partialdiffBX = III B
-T
X ,
partialdiffI
partialdiffBx = 1x
partialdiffI
partialdiffBx = I 1x -B
T
x
partialdiffII
partialdiffBx = III B
-T
x .
186 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
A.5 Transformation und Variation der Spannungen
Die Transformation der Spannungen zwischen den Konfigurationen ist in Tabelle 3.2 enthal-
ten. Weiterhin enth¨ Abschnitt A.3.5 Bemerkungen zur Variation kontravarianter Tensoren.
Mit den aufgezeigten Abh¨ igkeiten kann die Variation jeder Spannungsdarstellung aus der
Variation von tildewideTheta hergeleitet werden, wobei
deltatildewideTheta = tildewideTheta : deltamTheta + tildewideTheta : deltaMTheta
gilt.
F¨ die Zeitableitung erh¨ man die bekannten Ergebnisse
útildewideS = tildewideC
X : dX
útildewideT = tildewideC
x : dx + l tildewideT + tildewideTlT .
Die Zeitableitung der Spannungstensoren S = rhoX tildewide und T = rhox tildewide ergibt sich hieraus zu
úS = CX : dX
úT = Cx : dx + l T + TlT -div úx T.
A.5.1 Transformationen der zwei- und vierstufigen Tensoren
Die Ausf¨ en basieren auf der Vertauschbarkeit zwischen den Tensorableitungen sowie
den push-forward- und pull-back-Operationen, siehe auch Anhang A.2.
Nach den Regeln der Tensoranalysis folgt f¨ die Transformation z.B. von tildewideTheta auf TX
tildewidepsiasteriskmath(tildewideSTheta) = 2 tildewidepsiasteriskmath
bracketleftbiggpartialdiff Psi
Theta(mTheta)
partialdiff mTheta
bracketrightbigg
= 2 partialdiff
tildewidepsiasteriskmath(PsiTheta(mTheta))
partialdiff tildewideasteriskmath(mTheta) = 2
partialdiff PsiX(mX)
partialdiff mX =:
tildewideS
sowie in analoger Weise f¨ die Vorw¨ tstransformation auf Tx
tildewideasteriskmath(tildewideTheta) = 2 tildewideasteriskmath
bracketleftbiggpartialdiff Psi
Theta(mTheta)
partialdiff mTheta
bracketrightbigg
= 2 partialdiff tildewidephi1asteriskmath(PsiTheta(mTheta)partialdiff tildewidephi1
asteriskmath(mTheta)
= 2 partialdiff Psix(mx)partialdiff m
x
=: tildewide.
F¨ die Transformationen von z.B. tildewideTheta auf TX bzw. Tx folgt analog
tildewidepsiasteriskmath(tildewideCTheta) = 2 tildewidepsiasteriskmath
bracketleftBigg
partialdiff tildewideTheta(mTheta)
partialdiff mTheta
bracketrightBigg
= 4 partialdiff
tildewidepsiasteriskmath(tildewideSTheta(mTheta))
partialdiff tildewideasteriskmath(mTheta) = 2
partialdiff tildewide(mX)
partialdiff mX =:
tildewideCX
tildewideasteriskmath(tildewideTheta) = 2 tildewideasteriskmath
bracketleftBigg
partialdiff tildewideTheta(mTheta)
partialdiff mTheta
bracketrightBigg
= 4 partialdiff tildewidephi1asteriskmath(
tildewideSTheta(mTheta))
partialdiff tildewideasteriskmath(mTheta) = 2
partialdiff tildewide(mx)
partialdiff mx =:
tildewideCx.
F¨ die weiteren zwei- bzw. vierstufigen Tensoren gelten die Beziehungen analog.
A.5. Transformation und Variation der Spannungen 187
A.5.2 Transformation in materielle und r¨ liche Darstellungs-
weisen
Die Vorw¨ tstransformation der lokalen Gr¨ e deltaPsiTheta in die unterschiedlichen Konfigurationen
ver¨ den Wert der skalaren Gr¨ e deltaPsi nicht. Einzig die Darstellung durch materielle
bzw. r¨ he Gr¨ en wird ver¨ , d.h. f¨ die erste Variation gilt
2 deltaPsi = tildewideasteriskmath(deltaPsiTheta) = tildewideasteriskmath(tildewideTheta : deltaMTheta + tildewideTheta : deltaMTheta) =: tildewideX : 1MX + tildewide : 1mX (A.79)
= tildewideasteriskmath(deltaPsiTheta) = tildewideasteriskmath(tildewideTheta : deltaMTheta + tildewideTheta : deltaMTheta) =: tildewidex : 1Mx + tildewide : 1mx, (A.80)
bzw. analog f¨ die zweite Variation
delta2Psi = tildewideasteriskmath(delta2PsiTheta) = 1MX : tildewideX : 1MX + 1MX : tildewideX : 1MX + tildewideX : 2MX (A.81)
+ 1mX : tildewideX : 1MX + 1mX : tildewideX : 1mX + tildewide : 2mX (A.82)
delta2Psi = tildewideasteriskmath(delta2PsiTheta) = 1Mx : tildewidex : 1Mx + 1Mx : tildewidex : 1Mx + tildewidex : 2Mx (A.83)
+ 1mx : tildewidex : 1Mx + 1mx : tildewidex : 1mx + tildewide : 2mx (A.84)
188 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
A.5.3 Transformation der Spannungsleistung
Die Transformation der Spannungsleistung (3.71), d.h.
PTheta = rhoTheta tildewideTheta = rhoTheta tildewideTheta : GRADTheta eta,
in die bezogenen Darstellungen wird detailliert beschrieben. Die Betrachtung basiert auf der
Darstellung gem¨ Abschnitt 3.3.4, d.h. auf der massenspezifischen Spannungsleistung. Die
unterschiedlichen Darstellungen tildewide = tildewideTheta = tildewideX = tildewidex k¨ entsprechend der folgenden
Darstellung ineinander transformiert werden. F¨ die massenspezifische Spannungsleistung
gilt
tildewideP = tildewidePTheta = tildewidePTheta : GRADTheta eta
= FTheta tildewideTheta : GRADTheta eta
= tr[FTheta tildewideTheta GRADTTheta eta]
= tr[tildewideTheta (FTTheta GRADTheta eta)T )
= tildewideTheta = tildewideTheta : FTTheta GRADTheta eta
= K-1Theta tildewide K-TTheta : FTTheta GRADTheta eta
= tr[K-1Theta tildewide K-TTheta (FTTheta GRADTheta eta)T ]
= tr[tildewide (GRADTheta eta K-1Theta )T (FTheta K-1Theta )]
= tr[tildewide GradTX eta FX]
= tildewideX = tildewide : FTX GradX eta
= tr[tildewide GradTX eta FX]
= tr[FX tildewide GradTX eta]
= FX tildewide : GradX eta
= tildewideX = tildewide : GradX eta
= tr(tildewideTheta GRADTTheta eta FTheta)
= tr(F-1Theta tildewide F-TTheta GRADTTheta eta FTheta)
= tr(tildewide (GRADTheta eta F-1Theta )T (FTheta F-1Theta ))
= tr(tildewide gradTx eta gradx x)
= tildewide : gradTx x gradx eta
= tildewidex = tildewide : gradx eta.
In der obigen Darstellung wurde die Testfunktion eta anstelle einer Zeitableitung ú verwendet.
Die Auswertung liefert nach kurzer Rechnung mit eta = ú die Aussagen
tildewideP = tildewidePx = tildewideT : d =
= tildewideX = tildewide : ú =
= tildewideTheta = tildewideTheta : ú Theta = 12 tildewideij úij.
A.5. Transformation und Variation der Spannungen 189
A.5.4 Variation der Spannungsleistung
Die Spannungsleistung wird unter Verwendung der Zerlegung P = rhoTheta tildewideTheta variiert, d.h.
deltaP = deltarho× tildewide× + rho× delta tildewide× = rho× tildewide× Div deltaX + rho× delta tildewide×. (A.85)
Die nachfolgenden Darstellungen geben die Variation der massenspezifischen Spannungslei-
stung tildewide = tildewideTheta = tildewideX = tildewidex an. Hierbei sind grunds¨ zlich zwei ¨ uivalente Vorgehensweisen
m¨ lich, die beide vollst¨ dargestellt werden. Die Vertauschbarkeit von Transformati-
on und Variation ist deshalb erlaubt, weil die Spannungsleistung als Skalar invariant bei
Transformationen zwischen den Konfigurationen und dem Parameterraum ist.
A.5.4.1 Transformation der variierten lokal-konvektiven Spannungsleistung
In der ersten Vorgehensweise wir die lokal-konvektive Darstellung der Spannungsleistung
delta tildewideTheta variiert und anschließend in die bezogenen Darstellungen transformiert, d.h. es gilt
delta tildewideTheta = GRADTheta eta : deltatildewideTheta
= FTTheta GRADTheta eta : deltatildewideTheta + tildewideTheta : GRADTTheta deltax GRADTheta eta
= FTX GradX eta : psiasteriskmath(deltatildewideTheta) + tildewide : GradTX deltax GradX eta
= FTx gradx eta : phi1asteriskmath(deltatildewideTheta) + tildewide : gradTx deltax gradx eta.
F¨ die weitere Auswertung ist die Kenntnis der Variation der lokal-konvektiven Spannungs-
tensoren tildewide bzw. tildewideTheta erforderlich.
Mit der Variation von tildewideTheta gem¨ Gleichung (3.67), d.h. von
deltatildewideTheta = tildewideTheta : FTTheta deltaFTheta + tildewideTheta : KTTheta deltaKTheta,
k¨ die Beziehungen auf Seite 60 hergeleitet werden.
A.5.4.2 Variation der transformierten Spannungsleitung
Zun¨ hst wird die materielle Darstellung tildewideX = tildewide : GradX eta = tildewide : FTX GradX eta betrachtet.
Eine Variation liefert
delta tildewideX = GradX eta : deltatildewide + tildewide : delta[GradX eta]
= GradX eta : deltatildewide - tildewide : GradX eta GradX deltaX
= FTX GradX eta : deltatildewide + tildewide : delta[GradTX x GradX eta]
= FTX GradX eta : deltatildewide + tildewide : GradTX deltax GradX eta
- tildewide : GradTX deltaX GradTX x GradX eta
- tildewide : GradTX x GradX eta GradX deltaX.
190 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
F¨ die r¨ he Darstellung folgt mit tildewidex = tildewide : gradx eta die Beziehung
delta tildewidex = gradx eta : deltatildewide + tildewide : delta[gradx eta]
= gradx eta : deltatildewide - tildewide : gradx eta gradx deltax.
A.6. Details zu den Materialgesetzen 191
A.6 Details zu den Materialgesetzen
An dieser Stelle werden einige erg¨ Details zu der knappen Darstellung im Abschnitt
3.4 angegeben.
Das kompressible Neo-Hooke-Material ist ein hyperelastisches Materialgesetz, welches sowohl
physikalisch als auch geometrisch nichtlineares Verhalten aufzeigt. Die freie Energiefunktion
ist mit den Lam´ µ und lambda, siehe Abschnitt 3.4, durch
Psi = ˜ I,I ,II) = 12 µ (I -3) -µln J + 12 lambda ln2 J
gegeben. Die ersten Ableitungen nach den Invarianten lauten
partialdiffPsi
partialdiffI =
1
2 µ,
partialdiffPsi
partialdiffI = 0,
partialdiffPsi
partialdiffII =
lambda ln J -µ
J ·
1
2 J =
lambda ln J -µ
2 II .
Die Ableitungen der Invarianten nach mTheta,MTheta sind in Abschnitt A.2.4.4 und die Ableitungen
nach BTheta in Abschnitt A.4.4.4 aufgef¨
Die unterschiedlichen lokal-konvektiven Spannungstensoren werden durch weitere Ableitung
nach den Tensoren BTheta,mTheta,MTheta ermittelt, d.h. mit den Beziehungen (3.59a), (3.51) folgt
somit
tildewideATheta = 2 partialdiffPsi
partialdiffBTheta = µ1Theta + (lambda ln J -µ) B
-T
Theta ,
tildewideSTheta = 2 partialdiffPsi
partialdiffmTheta = µM
-1
Theta + (lambda ln J -µ) m
-1
Theta ,
tildewideRTheta = 2 partialdiffPsi
partialdiffMTheta = -µM
-1
Theta mTheta M
-1
Theta - (lambda ln J -µ) M
-1
Theta .
Die entsprechenden zweiten Ableitungen f¨ zu den Materialtensoren
tildewideETheta = 2 partialdiff tildewideATheta
partialdiffBTheta = lambda B
-1
Theta circlemultiplyB
-1
Theta - 2 (lambda ln J -µ) IB-TTheta
tildewideATheta = 2 partialdiff tildewideRTheta
partialdiffMTheta
tildewideBTheta = 2 partialdiff tildewideRTheta
partialdiffmTheta
tildewideCTheta = 2 partialdifftildewideSTheta
partialdiffmTheta = lambda m
-1
Theta circlemultiplym
-1
Theta - 2 (lambda ln J -µ) Im-1Theta
tildewideDTheta = 2 partialdifftildewideSTheta
partialdiffMTheta = lambda m
-1
Theta circlemultiplyM
-1
Theta + 2 µIM-1Theta .
Die Variation der Spannungen setzt sich somit zusammen aus
tildewideSTheta = partialdifftildewideSTheta
partialdiffmTheta : deltamTheta +
partialdifftildewideTheta
partialdiffMTheta : deltaMTheta
= tildewideTheta : FTTheta deltaFTheta + tildewideTheta : KTTheta deltaKTheta.
192 Anhang A. Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
Anhang B
Hinweise zur Strukturoptimierung
und zur Sensitivit¨ sanalyse
Dieses Kapitel soll einen Einblick in die Grundlagen der Strukturoptimierung und der Sen-
sitivit¨ sanalyse geben sowie die heutzutage gebr¨ hlichsten Methoden zusammenfassen.
Grundlegende Darstellungen zur Strukturoptimierung finden sich in deutscher Sprache z.B.
in den B¨ hern von Lawo [156], Baier, Seeßelberg, Specht [9] sowie in den Seminarunter-
lagen [177]. Weiterhin in englischer Sprache bei Haug und Arora [125], Arora [5], Haftka
und G¨ dal [120], Kirsch [149]. Hierbei werden die Grundlagen am Beispiel der linearen
Strukturmechanik unter Verwendung der Finite Elemente Methode erl¨ ert.
Weiterf¨ Forschungsergebnisse sind in zahlreichen Monographien und Konferenzb¨
wie z.B. [50, 128, 174, 206, 123, 10, 146, 49, 124, 150] zu finden.
Inhaltsangabe
B.1 Begriffsbildung und Modellprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . 194
B.1.1 Direkte und inverse Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
B.1.2 Sensitivit¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
B.1.3 L¨ der Optimierungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
B.1.4 Ein diskretes Modellproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
B.2 Methoden zur Sensitivit¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
B.2.1 Numerische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
B.2.2 Semianalytische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
B.2.3 Analytische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
B.3 Variationelle Methode der Sensitivit¨ . . . . . . . . . . 200
B.3.1 Material Derivative Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
B.3.2 Domain Parametrization Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
B.3.3 Weiterentwicklung der variationellen Sensitivit¨ . . . . . . 206
193
194 Anhang B. Hinweise zur Strukturoptimierung und zur Sensitivit¨ sanalyse
B.1 Begriffsbildung und Modellprobleme
An dieser Stelle sollen die Begriffe direktes Problem und inverses Problem definiert werden.
Weiterhin wird die Aufgabe der Sensitivit¨ genauer beschrieben. Die Darstellungen
erfolgen zum einen in m¨ lichst allgemeing¨ er Form unter Verwendung der Notation der
Variationsrechnung sowie an einem endlichdimensionalen, reellwertigen Modellproblem.
B.1.1 Direkte und inverse Probleme
Die physikalischen Gesetze, denen eine Ingenieurstruktur gen¨ muß, sind ¨ herweise
als mathematische Beziehungen in Form von gew¨ hen bzw. partiellen Differentialglei-
chungen, Variationsformulierungen o.¨ gegeben. Als Ausgangspunkt der ¨ erlegungen wird
ein physikalisches Gesetz
f(alpha,beta,gamma,...) = 0 (B.1)
betrachtet. Hierbei ist zun¨ hst unwesentlich, welche Struktur die Gleichung f = 0 be-
sitzt und was die Gr¨ en alpha,beta,gamma im Detail darstellen. Wesentlich ist zun¨ hst nur, daß eine
(prim¨ e) Gr¨ e alpha ¨ er f = 0 mit den (weiteren) Gr¨ en beta,gamma,... in Beziehung gesetzt wird,
d.h. werden die Gr¨ en beta,gamma,... fest vorgegeben, so ist auch alpha implizit durch f = 0 gegeben.
Es bleibt somit nur noch die Aufgabe alpha = ˆ(beta,gamma,...) in Abh¨ igkeit der Gr¨ en beta,gamma,...
explizit zu bestimmen, d.h. das direkte Problem zu l¨
Eine interessierende physikalische Gr¨ e
h = ˆ(alpha,beta,gamma,...) = ˆ(ˆ(beta,gamma,...),beta,gamma,...) (B.2)
besitzt ebenfalls die oben aufgezeigten Abh¨ igkeiten und kann nach Bestimmung von alpha
durch eine Nachlaufberechnung (Postprocessing) ermittelt werden.
Das inverse Problem ergibt sich durch Umkehrung der obigen Aufgabenstellung, d.h. es sind
nun nicht mehr alle Gr¨ en beta,gamma,... bekannt und fest vorgegeben. Vielmehr sollen aus den
vorhandenen Informationen zu alpha (teilweise oder vollst¨ bekannt) aus f = 0 die noch
fehlenden Gr¨ en beta,gamma,... gewonnen werden. Die L¨ dieser Aufgabenstellung, d.h. die
inverse Analyse, ist dabei unweit schwieriger. Abh¨ ig von den vorhandenen bzw. fehlenden
Informationen ist somit eine L¨ auch nicht immer garantiert. Im Sinne von Hadamard
[117] spricht man dann auch von schlecht gestellten inversen Problemen.
Das inverse Problem kann auch im Rahmen einer Optimierungsaufgabe behandelt werden,
wobei zun¨ hst die Zielsetzung der Betrachtung, d.h. die Zielfunktion angegeben werden muß.
Weiterhin sind wichtige Eigenschaften einer L¨ immer bzw. mit einer hohen Priorit¨
zu erf¨ d.h. sogenannte Nebenbedingungen m¨ n eingehalten werden. Die sogenann-
ten Designvariablen sind die Freiwerte, die innerhalb zul¨ Grenzen zur L¨ der
Optimierungsaufgabe ver¨ werden k¨
B.1.2 Sensitivit¨ sanalyse
Die Sensitivit¨ oder auch Empfindlichkeitsanalyse stellt das wesentliche Hilfsmittel
f¨ die Quantifizierung der Abh¨ igkeit von direkter und inverser Analyse dar. Anschaulich
B.1. Begriffsbildung und Modellprobleme 195
bedeutet dieses, daß die Ver¨ g einer (weiteren) Gr¨ e beta +deltabeta,gamma +deltagamma,... bei impliziter
Definition durch f = 0 nat¨ h eine Ver¨ ng der (prim¨ en) Gr¨ e alpha + deltaalpha hervorruft.
Genauer gilt dann f¨ den Zusammenhang variierter Gr¨ en
f = ˆ(alpha + deltaalpha,beta + deltabeta,gamma + deltagamma,...) = 0. (B.3)
An dieser Stelle fordern wir eine hinreichende Differenzierbarkeit der Beziehung f und k¨
dann mit dem Hilfsmittel der Variationsrechnung die totale Variation delta von f ¨ er die
zugeh¨ igen partiellen Variationen deltaalpha,deltabeta,deltagamma,... beschreiben, d.h. es gilt
deltaf = 0 = deltaalphaf · deltaalpha + deltabetaf · deltabeta + deltagammaf · deltagamma + ... (B.4)
Entsprechend Gleichung (B.1) sind nun die Variationen deltaalpha,deltabeta,deltagamma,... miteinander verbun-
den, d.h. z.B. kann deltaalpha bei Kenntnis der Variationen deltabeta,deltagamma,... bestimmt werden. Genauer
gilt dann
deltaalpha = deltaˆ(ˆ(beta,gamma,...),beta,gamma,...; deltabeta,deltagamma,...), (B.5)
d.h. die Empfindlichkeitsanalyse kann erst nach Kenntnis der L¨ alpha,beta,gamma,... des direkten
Problems durchgef¨ werden.
Die Berechnung der Variation einer physikalischen Gr¨ e deltah kann dann auch im Rahmen
einer Nachlaufrechnung bestimmt werden, d.h. es gilt.
deltah = deltaalphah · deltaalpha + deltabetah · deltabeta + deltagammah · deltagamma + ... (B.6)
Aus den bisherigen Betrachtungen ergibt sich das folgende prinzipielle Ablaufschema einer
Sensitivit¨ sanalyse.
Tafel B.1: Prinzipielles Ablaufschema von direkter Analyse und Sensitivit¨ sanalyse
1. L¨ das direkte Problem, d.h. berechne alpha = ˆ(beta,gamma,...) f¨ vorgegebene beta,gamma,....
2. F¨ ein Postprocessing f¨ das direkte Problem durch, d.h. berechne die Funk-
tionen h = ˆ(alpha,beta,gamma,...).
3. Berechne die partiellen Variationen der Funktion f, d.h. deltaalphaf,deltabetaf,deltagammaf,..., sowie
der Funktionen h, d.h. deltaalphah,deltabetah,deltagammah,... an der Stelle ˆ(beta,gamma,...),beta,gamma,...
4. Berechne f¨ vorgegebene Variationen deltabeta,deltagamma,... die zugeh¨ ige Variation von alpha
durch Auswertung der Beziehung
deltaf = 0 = deltaalphaf · deltaalpha + deltabetaf · deltabeta + deltagammaf · deltagamma + ...
5. F¨ ein Postprocessing f¨ die Sensitivit¨ en durch, d.h. werte die Beziehungen
deltah = deltaalphah · deltaalpha + deltabetah · deltabeta + deltagammah · deltagamma + ...
f¨ jede Wahl von deltaalpha,deltabeta,deltagamma aus.
F¨ die theoretische und numerische Behandlung der Sensitivit¨ sanalyse sind hierbei zwei
wesentliche Bestandteile zu betrachten und zwar
196 Anhang B. Hinweise zur Strukturoptimierung und zur Sensitivit¨ sanalyse
1. die effiziente Bereitstellung der partiellen Variationen physikalischer Funktionen f und
h bzgl. beliebiger (prim¨ er und weiterer) Variablen alpha,beta,gamma,..., sowie
2. die Durchf¨ der Sensitivit¨ sanalyse selbst, d.h. die Auswertung der Gleichungen
(B.4) und (B.6).
Diese Schritte werden auch im Hauptteil getrennt dargestellt.
B.1.3 L¨ ung der Optimierungsaufgabe
F¨ die L¨ der Ingenieuraufgabe als ein Optimierungsproblem sind vielf¨ ige L¨ s-
strategien einsetzbar. Eine erste Klassifizierung wurde in der Einleitung auf Seite 7 gegeben.
Eine weitere Einteilung unterscheidet zwischen den gradientenfreien und gradientenbasier-
ten mathematischen Optimierungsstrategien. Die gradientenfreien Zug¨ e, d.h. z.B. die
Evolutionsstrategie [199, 190], k¨ insbesondere dann effektiv eingesetzt werden, wenn
Funktionsauswertungen relativ schnell und billig erstellt werden k¨ siehe z.B. [108].
Demgegen¨ er nutzen die Gradientenverfahren, wie z.B. das SQP-Verfahren [122, 188, 195]
bzw. die MMA-Methode [101, 217], die vorhandenen Informationen vollst¨ aus, d.h. im
Idealfall kann eine superlineare (quadratische) Konvergenz gegen ein lokales Minimum fest-
gestellt werden. Ein Vergleich der Leistungsf¨ keit unterschiedlicher NLP-Algorithmen im
Einsatz auf praxisrelevante Problemstellungen gibt z.B. [196].
Die Berechnung der Gradienten im Rahmen der Sensitivit¨ sanalyse ist ein komplexes Pro-
blem, daß die Kenntnis der gesamten Zusammenh¨ e von CAGD-Beschreibung und nicht-
linearem Strukturverhalten erfordert. Diese Kenntnis kann im Rahmen einer kommerziellen
Konstruktions- und Berechnungsstrategie i.d.R. nicht bereitgestellt werden. Aus dieser Situa-
tion heraus wurden Konzepte entwickelt, approximierende Funktionen f¨ das Strukturver-
halten einzuf¨ Bei dieser sogenannten response surface technique oder auch multipoint
approximation technique wird das Minimum einer Ersatzfunktion bestimmt, die sich adaptiv
aus den bereits ermittelten Funktionswerten von Zielfunktion und Nebenbedingungen ergibt,
siehe z.B. [15].
Weiterhin k¨ unterschiedliche Strategien f¨ die Problemtypen der Strukturoptimierung,
d.h. die Form- bzw. Topologieoptimierung entwickelt werden. F¨ Hinweise auf den zweiten
Problemkreis siehe z.B. Bendsøe [49] und die dort angegebene Literatur sowie [165, 173].
B.1. Begriffsbildung und Modellprobleme 197
B.1.4 Ein diskretes Modellproblem
Die Beziehungen der linearen Strukturanalyse, die durch Verwendung der Finite Elemente
Methode in Matrixform formuliert werden k¨ stellen ein geeignetes diskretes Modell-
problem f¨ die direkte Analyse dar. Es gilt dann als Ersatz f¨ f = 0 die diskretisierte
schwache Form des Gleichgewichts R = 0. Exemplarisch sei die Abh¨ igkeit von einem
Parametervektor z element Rm gew¨ , der entweder geometrische bzw. materielle Parameter
bezeichnet. Somit gilt die funktionale Abh¨ igkeit von R element Rn in der Form
R = ˆ ( ˆ (z),z) = K(z) V(z) -P(z) = 0 (B.7)
mit dem diskreten Verschiebungsvektor V element Rn, der linearen Steifigkeitsmatrix K element Rn×n
sowie dem ¨ eren Knotenlastvektor P element Rn.
Die L¨ des direkten Problems besteht in der Invertierung des obigen Gleichungssystems,
d.h. in der Berechnung von
V = K-1 P. (B.8)
Als Beispiel f¨ eine Problemfunktion h wird die Spannung sigmae = Be Ve betrachtet, die sich
aus der B-Matrix und den Verschiebungen Ve des finiten Elementes berechnet.
F¨ die Strukturoptimierung wird dieses klassische Beispiel ebenfalls verwendet. Eine Ablei-
tung der diskreten Beziehung nach einer skalaren Designvariablen zi ergibt die Beziehungen
dK
dzi V + K
dV
dzi -
dP
dzi = 0 und somit
dV
dzi = -K
-1
bracketleftbigg dK
dzi V -
dP
dzi
bracketrightbigg
. (B.9)
Zur Berechnung der Sensitivit¨ der Strukturantwort ist somit ein weiteres lineares Glei-
chungssystem mit ver¨ ter rechten Seite zu bestimmen. Die Ableitung der Nebenbedin-
gung h liefert
dhj
dzi =
partialdiffhj
partialdiffzi +
partialdiffhj
partialdiffV
dV
dzi =
partialdiffhj
partialdiffzi -
partialdiffhj
partialdiffV K
-1
bracketleftbigg dK
dzi V -
dP
dzi
bracketrightbigg
. (B.10)
Die notwendige L¨ eines linearen Gleichungssystems kann auf zwei Arten durchgef¨
werden. Beim direkten Problem wird f¨ jede Designvariable die Ableitung dV/dzi berechnet,
w¨ end beim adjungierten Problem f¨ jede Nebenbedingung hj zun¨ hst eine adjungierte
Variable ?j = K-1 [partialdiffhj/partialdiffV] ermittelt wird, d.h. die Klammerung gibt schematisch das
algorithmische Vorgehen an
dhj
dzi =
partialdiffhj
partialdiffzi -
partialdiffhj
partialdiffV
bracketleftbigg
K-1
bracketleftbigg dK
dzi V -
dP
dzi
bracketrightbiggbracketrightbigg
= partialdiffhjpartialdiffz
i
-
bracketleftbiggpartialdiffh
j
partialdiffV K
-1
bracketrightbigg bracketleftbigg dK
dzi V -
dP
dzi
bracketrightbigg
.
Die Wahl des effizientesten Vorgehens richtet sich nach der Anzahl der Designvariablen bzw.
der Nebenbedingungen.
Bei der Betrachtung des obigen Modellproblems m¨ n zwei wesentliche Einschr¨ un-
gen beachtet werden. Zum einen wird ein diskretes Problem behandelt, d.h. es treten keine
Variationen sondern nur Ableitungen auf und es k¨ keine Aussagen zur adaptiven Ver-
besserung der diskreten Formulierung erwartet werden. Weiterhin wird die Sensitivit¨ ¨ er
die Ableitung der Steifigkeitsmatrix formuliert. Diese Beschreibung ist f¨ die lineare FEM
richtig, kann aber nicht einfach auf eine allgemeine nichtlineare Situation erweitert werden.
Eine grunds¨ zliche Darstellung zeigt der Hauptteil der Arbeit.
198 Anhang B. Hinweise zur Strukturoptimierung und zur Sensitivit¨ sanalyse
B.2 Methoden zur Sensitivit¨ sanalyse
Im vorherigen Abschnitt wurde zur Struktur der Gr¨ en f und h sowie der Variablen
alpha,beta,gamma,... mit Ausnahme der Differenzierbarkeitsforderung keine weitere Aussage gemacht.
An dieser Stelle soll nun eine grobe Klassifizierung der unterschiedlichen L¨ smethoden
der Sensitivit¨ sanalyse zur Bestimmung der Variation deltah vorgenommen werden. Die Eintei-
lung richtet sich dabei nach den jeweils erforderlichen Informationen, die zur Durchf¨
der jeweiligen Methodik zug¨ lich sein m¨ n. Zur Vereinfachung wird nur die funktionale
Abh¨ igkeit der Gr¨ en f und h von den Variablen alpha und beta betrachtet.
B.2.1 Numerische Methode
Bei der numerischen Sensitivit¨ sanalyse der Funktion h wird jede Variation deltah durch die
Auswertung eines totalen Differenzenquotienten approximiert. Dabei muß die Ver¨
der Gr¨ e beta durch eine reellwertige Gr¨ e beschrieben werden. Dieses kann z.B. durch ent-
sprechende Parametrisierung einer kontinuierlichen Gr¨ e in der Form beta + sdeltabeta geschehen.
Damit erfolgt eine Diskretisierung der Variation von beta, d.h. es wird eine Richtungsableitung
vorgenommen und somit nur die Ver¨ von h in genau diese Richtung deltabeta berechnet.
Bekannt sei die L¨ des direkten Problems an der Stelle beta. F¨ die Bereitstellung jeder
Richtungsableitung ist jeweils ein weiteres direktes Problem f¨ unterschiedliche Funktionen
beta + sdeltabeta durchzuf¨ d.h. neben alpha(beta) muß auch jeweils alpha(beta + sdeltabeta) bestimmt werden.
Damit gilt
deltah = epsilon partialdiffhpartialdiffs approxequal epsilon h[alpha(beta + sdeltabeta),beta + sdeltabeta] -h[alpha(beta),beta]s . (B.11)
Bei dieser Methode bleibt die L¨ der direkten Methode verborgen, d.h. jeder L¨
zur Bestimmung von alpha aus f = 0 kann durch Vorgabe unterschiedlicher Parameter beta bzw.
beta + sdeltabeta eingesetzt werden. Weiterhin sind keine zus¨ zlichen Funktionen auszuwerten, d.h.
der obige Differenzenquotient liefert direkt die gew¨ hte (Approximation der) Variation
deltah. Die Genauigkeit der numerischen Methode wird durch die spezielle Wahl des Differenzen-
quotienten bestimmt, d.h. sie ist von der erster Ordnung f¨ die Vorw¨ ts- bzw. R¨ kw¨ ts-
Differenzen-Methode sowie von zweiter Ordnung f¨ die Zentrale-Differenzen-Methode.
Entsprechend der einfachen Struktur ist diese Methode numerisch leicht umzusetzen. Nach-
teile bestehen in dem genannten Mehraufwand f¨ die L¨ der zus¨ zlichen direkten
Probleme sowie in der der Problematik großer Abbruchfehler der numerischen Differenzen,
welche durch geeignete Wahl hinreichend kleiner St¨ ungen epsilon vermieden werden k¨
Eine Wahl sehr kleiner St¨ ungen liefert aber auch numerische Rundungsfehler.
B.2.2 Semianalytische Methode
Bei der semianalytischen Methode wird die genaue Kenntnis von h als Funktion der Variablen
alpha,beta vorausgesetzt. Damit k¨ die Variationen deltaalphah und deltabetah theoretisch hergeleitet werden
und m¨ n f¨ unterschiedliche Werte alpha,beta nur noch ausgewertet werden.
B.2. Methoden zur Sensitivit¨ sanalyse 199
F¨ die weitere Vorgehensweise sind zwei F¨ zu unterscheiden:
1. Zur Bestimmung von deltah gem¨ Gleichung (B.6) ist bei Vorgabe von deltabeta nur noch deltaalpha
bereitzustellen. Bei dieser Methodik wird hierf¨ wieder ein numerischer Differenzen-
quotient verwendet, d.h. es gilt die Approximation
deltaalpha = epsilon partialdiffalphapartialdiffs approxequal epsilon alpha(beta + sdeltabeta) -alpha(beta)s (B.12)
und damit gilt f¨ die Variation deltah = deltaalphah · deltaalpha + deltabetah · deltabeta. F¨ jede Variation ist
(wie bei der numerischen Methode) ein zus¨ zliches direktes Problem zu l¨ aber
die Sensitivit¨ der L¨ von f = 0 muß nicht betrachtet werden. Damit ist eine
genauere Kenntnis der L¨ direkter Verfahren nicht erforderlich.
2. Eine verfeinerte Form der semianalytischen Methode erfordert die Kenntnis der funk-
tionalen Abh¨ igkeiten von f um die notwendigen Variationen deltaalphaf und deltabetaf berechnen
zu k¨ Diese Variationen werden nur zum Teil analytisch bereitgestellt. F¨ die
verbleibenden Variationen, i.d.R. f¨ die Berechnung von deltabetaf, bedient man sich wie-
derum des numerischen Differentenquotienten, d.h.
deltabetaf = epsilon partialdifffpartialdiffs approxequal epsilon f(alpha,beta + sdeltabeta) -f(alpha,beta)s . (B.13)
Wesentlich hierbei ist, daß nunmehr keine weitere direkte Analyse durchzuf¨ ist,
da dieser numerischer Differenzenquotient f¨ festes alpha durchgef¨ wird. Eine Aus-
wertung der verbleibenden Gleichungen liefert dann deltah.
B.2.3 Analytische Methode
Die analytische Methode erfordert eine genauere Kenntnis der direkten Probleme und ih-
rer L¨ smethoden, um effizient die erforderlichen Sensitivit¨ en deltaalphaf und deltabetaf sowie deltaalphah
und deltabetah bestimmen zu k¨ In diesem Fall werden alle partiellen Variationen analytisch
bereitgestellt und die Auswertung der Beziehungen (B.4) und (B.6) liefert die gew¨ hten
Sensitivit¨ en.
Die Unterschiede zwischen den Methoden k¨ durch Betrachtung der genannten Glei-
chungen verdeutlicht werden. Bei den numerischen Zug¨ en werden die Variationen durch
numerische Auswertung von Richtungsableitungen (Gˆ -Ableitung) bereitgestellt. Bei
der analytischen Methode ist jedoch die Bereitstellung der Fr´ het-Ableitung, d.h. des zu-
geh¨ igen linearen Operators m¨ lich. Erst die Auswertung mit einer beliebigen Variation
deltabeta liefert die Richtungsableitung. Die theoretisch aufwendigere Methodik kann f¨ viele Ap-
plikationen wichtige Informationen liefern.
Die analytische Methode geht in die variationelle Methode ¨ er, falls die zu untersuchenden
Gr¨ en alpha,beta,... selbst Funktionen darstellen. In diesem Fall sind mit delta tats¨ hlich Varia-
tionen gem¨ der Variationsrechnung gemeint. Diese Situation liegt f¨ die Kontinuumsme-
chanik vor. F¨ ein diskretes Problem, wie es die lineare FEM darstellt, verliert man jedoch
wieder den theoretischen Hintergrund der Variationsrechnung und beschr¨ t sich auf die
M¨ lichkeiten der totalen und partiellen Ableitungen einer mehrdimensionalen Analysis.
200 Anhang B. Hinweise zur Strukturoptimierung und zur Sensitivit¨ sanalyse
B.3 Variationelle Methode der Sensitivit¨ sanalyse
Dieses Kapitel widmet sich eingehend der variationellen Sensitivit¨ und begr¨
den Zugang zu den Untersuchungen im Hauptteil.
Die Abgrenzung zur analytischen Bereitstellung der Ableitungen f¨ diskrete Probleme ist
offensichtlich, sollte aber in aller Deutlichkeit herausgehoben werden. Wichtig ist zun¨ hst
den Unterschied zwischen der Variation einer Funktion und der (partiellen oder totalen)
Ableitung einer Funktion zu erkennen. Im Rahmen der Kontinuumsmechanik und ihrer dis-
kretisierenden Methoden werden Variationen kontinuierlicher L¨ en in unendlichdimen-
sionalen Funktionenr¨ in Ableitungen der zugeh¨ igen diskreten Approximationen im
Rn ¨ erf¨ Hierbei ist zu beachten, daß es im Rahmen adaptiver Methoden m¨ lich ist,
die Genauigkeit der diskreten Approximationen zu kontrollieren. Dieses gilt jedoch nur, wenn
der variationelle Hintergrund grunds¨ zlich bekannt ist und zur Verf¨ steht. Damit sind
durch den variationellen Zugang weitreichende Informationen zu gewinnen, d.h. nicht nur
die vordergr¨ Aufgabe einer Gradientenberechnung ist zu beachten.
Zwei unterschiedliche Zug¨ e zur variationellen Sensitivit¨ sanalyse, d.h. die Methoden des
Material Derivative Approach (MDA) und des Domain Parametrization Approach (DPA)
haben sich seit 1980 herausgebildet und werden heutzutage in zahlreichen Anwendungen
eingesetzt. Die nachfolgenden Abschnitte B.3.1 und B.3.2 geben Hinweise zur historischen
Entwicklung, eine Charakterisierung ihrer wesentlichen Aspekte sowie ein (evtl. subjektiver)
Kommentar zu den Vor- und Nachteilen. Die ¨ ersichtsartikel von Haftka und Grandhi
[119] sowie Haftka und Adelman [118] liefern weitere Hinweise zu den Methoden und ihre
gegenseitigen Verzahnungen.
Im Abschnitt B.3.3 wird die Kritik an den genannten Methoden zusammengefaßt und Hin-
weise auf verbesserte Ans¨ ze zur variationellen Sensitivit¨ sanalyse gegeben. Dieser Ab-
schnitt beschreibt den Ausgangspunkt f¨ die eigenen Arbeiten des Autors sowie formuliert
die Motivation zur Anfertigung gerade dieser Schrift.
An dieser Stelle werden noch einige Literaturhinweise zu wichtigen Entwicklungen der Sen-
sitivit¨ sanalyse im Rahmen der Computational Mechanics gegeben.
Die derzeit modernste und vollst¨ ste Zusammenstellung der Sensitivit¨ sanalyse findet
man in dem Buch Structural Optimization: Status and Promise [146]. Die neueren Ent-
wicklungen f¨ die Sensitivit¨ sanalyse werden in mehreren Kapiteln beschrieben, wobei
alle wichtigen Arbeitsgruppen zu Wort kommen. Das Buch wurde 1993 von M.P. Kamat
herausgegeben, spiegelt aber immer noch die wesentlichen Entwicklungen in der Struktur-
optimierung wider.
Als weiteres Buch, welches sich intensiv mit der Sensitvit¨ sanalyse besch¨ t, ist Kleiber et
al. [150] zu nennen. Entsprechend dem Titel Parameter sensitivity in nonlinear mechanics
beschr¨ en sich die Autoren auf die Untersuchung diskreter FE-Beziehungen, ohne die
Eignung der Grundstrukturen der Kontinuumsmechanik f¨ die Sensitivit¨ sanalyse n¨
zu untersuchen.
B.3. Variationelle Methode der Sensitivit¨ sanalyse 201
B.3.1 Material Derivative Approach
B.3.1.1 Historische Entwicklung
Die ersten Schritte zur Entwicklung dieser Methode entstanden Ende der siebziger Jahre
mit Arbeiten franz¨ her (angewandter) Mathematiker um J. C´ an der Universit¨ Nizza,
siehe [68, 69, 234]. Mit den Darstellungen von J. C´ [71, 70] sowie von J.P. Zol´ [236, 235]
im Rahmen des NATO Advanced Study Institute on Optimization of Distributed Parameter
Structures [126], (Iowa City, Iowa, 1980), wurden diese Arbeiten bekannt und zunehmend
von anderen Wissenschaftlern, sowohl Mathematikern als auch Ingenieuren, aufgenommen.
Neben weiteren Mitgliedern der eigenen Arbeitsgruppe (B. Rousselet, siehe z.B. [191]) ha-
ben sich z.B. auch O. Pironneau von der Universit¨ Paris-Nord (siehe z.B. [186]) sowie
J. Sokosuppress wski von der Polnischen Akademie der Wissenschaften in Warschau (siehe z.B.
[204]) vor allem mit den mathematischen Grundproblemen der Methode besch¨ t. Dabei
wurden auch Fragen der Existenz und Eindeutigkeit der Formulierung und der L¨ en
untersucht. Eine Zusammenfassung der Ergebnisse dieser Arbeiten sowie weitere Literatur-
hinweise sind in den B¨ hern von O. Pironneau [186], J. Sokosuppress wski und J.P. Zol´ [205]
sowie J. Haslinger und P. Neittaanm¨ i [123, 124] zu finden.
Die interessierten Ingenieure, in den ersten Jahren vor allem in den USA und Polen, haben
sich um die Anwendung der Methode auf strukturmechanische Probleme bem¨ t. Zun¨ hst
wurden Fragestellungen der linearen Elastizit¨ , der Elastodynamik und der Stabilit¨ unter-
sucht, zunehmend aber auch nichtlineare (geschichtsabh¨ ige und gekoppelte) Probleme.
Hierzu geh¨ en f¨ den Zeitraum bis 1986 insbesondere die Arbeitsgruppen um E.J. Haug
und K.K. Choi in Iowa (siehe z.B. [129, 130, 192] in Verbindung mit der franz¨ hen
Schule, [73, 231, 127] sowie die wichtige Monographie [128]), die Arbeitsgruppe von J. Arora,
ebenfalls in Iowa (siehe z.B. [137, 138]), die Gruppe von Z. Mr´ und K. Dems in Warschau
(siehe z.B. [85, 86, 87, 178, 185] sowie mit R.T. Haftka [121]).
Die Arbeiten nach 1986 entwickeln die Darstellung der grundlegenden Methodik nicht mehr
wesentlich. Vielmehr werden zunehmend die unterschiedlichen nichtlinearen Ph¨ mene der
Computational Mechanics untersucht, siehe z.B. die Beitr¨ e in [146].
Die Monographie von Haug, Choi & Komkov [128] besch¨ t sich eingehend mit dieser
Methode. Ein zusammenfassende Darstellung in einer moderneren Notation ist in Arora
[6] zu finden. Die Arbeiten bis 1993 sowie die sich aus der Analyse der zitierten Literatur
ergebenden Folgerungen waren der Ausgangspunkt f¨ die eigenen Forschungsarbeiten zur
variationellen Sensitivitatsanalyse, siehe Abschnitt B.3.3.
B.3.1.2 Erl¨ erung der Methode
Die Grundidee der MDA-Methode ist die Analogie einer Gebietsver¨ mit der zeit-
abh¨ igen Deformation des K¨ pers. Entsprechend der materiellen Zeitableitung, bei der
die Bewegung deformierbarer K¨ per in Abh¨ igkeit der skalaren Gr¨ e Zeit t beschrieben
wird, wird eine materielle Designableitung eingef¨ Der seitdem ¨ he Sprachgebrauch
vom design velocity field entspricht dabei der Analogie.
202 Anhang B. Hinweise zur Strukturoptimierung und zur Sensitivit¨ sanalyse
Zur Charakterisierung dienen die folgenden Bemerkungen.
• Verwendung des Konzepts der materiellen Zeitableitung der Kontinuumsmechanik im
Analogieschluß auf Geometriever¨ en.
• Verwendung der Hilfsmittel aus der Variationsrechnung zur Berechnung der Variation
von Integralen ¨ er ver¨ he Gebiete.
• Die Grundstruktur der materiellen Zeitableitung besteht dabei aus zwei Anteilen:
– lokale Ableitung einer Gr¨ e bei festem materiellen Punkt des Gebietes sowie
– konvektive Ableitung einer Gr¨ e aufgrund der Variation des Gebietes.
Die Zusammenh¨ e seien am Beispiel einer vektorwertigen Funktion alpha aufgezeigt,
d.h. Dˆalpha(s)
Ds =
Dalpha(X,s)
Ds =
partialdiffalpha
partialdiffs +
partialdiffalpha
partialdiffX
D X
D s
Das nachfolgende Bild veranschaulicht die Grundidee dieser Methode.
X
alpha(X,0)
Xs
alpha(Xs,s)
aopenbullet as
xi(X,s)
Omegaopenbullet (0) Omegaopenbullet (s)
design trajectory
design variable s
Dˆ
Ds sensitivity
v := partialdiffxipartialdiffs design velocity field
Bild B.1: Abbildungen und Konfigurationen des Material Derivative Approach
Ein Punkt X zum Design sopenbullet, d.h. Omegaopenbullet (0), bewegt sich auf einer Designtrajektorie xi in den
Punkt Xs zum Design s. Die Tangente an diese Bewegung, d.h. partialdiffxi/partialdiffs stellt das design
velocity field dar. Die Sensitivit¨ Dˆ/Ds ist somit die Tangente an die Ver¨ ung der
Strukturantwort, d.h. an die Kurve ˆ. Diese Darstellung zeigt die starke Anlehnung an die
Geschwindigkeit eines K¨ pers und die reichen M¨ lichkeiten, vorhandene Grundlagen der
Kontinuumsmechanik zu nutzen.
B.3. Variationelle Methode der Sensitivit¨ sanalyse 203
B.3.1.3 Zusammenfassende Kritik
F¨ die Computational Mechanics wurde die Bedeutung der konsistenten Linearisierung der
schwachen Form des Gleichgewichts Ende der siebziger Jahre erkannt, siehe z.B. Hughes und
Pister [141]. Diese Entwicklung setzt dabei nicht auf die Weiterverwendung der Anschau-
ung in Form einer materiellen Zeitableitung, sondern auf eine konsequente mathematische
Berechnung auf der Basis von Richtungsableitungen. Die Entwicklung in der Strukturme-
chanik (konsistente Linearisierung) und der Strukturoptimierung (Verwendung von MDA)
haben sich damals getrennt.
Die praktische Auswertung der Beziehungen ist bei der MDA-Methode komplex und mitun-
ter unhandlich. Die oben skizzierten Schw¨ hen gegen¨ er der konsistenten Linearisierung
existieren auch in der Sensitivit¨ sanalyse.
Weiterhin beschr¨ t die Analogie zur Zeitableitung naturgem¨ die Sichtweise auf diskrete
Designvariablen. Obwohl diese technische Schw¨ he leicht behoben werden kann, werden
kontinuierliche Geometriefunktionen im Rahmen der MDA-Literatur kaum behandelt.
Eine weitere konzeptionelle Schw¨ he der MDA-Methode liegt in der Ver¨ ung der Masse
einer Struktur infolge von Design¨ ungen. Im Rahmen der Strukturanalyse wird ¨ her-
weise –zumindestens bei Festk¨ pern– die Massenkonstanz bei zeitabh¨ igen Deformationen
vorausgesetzt. Die Probleme, die sich bei Anwendung der Idee der materiellen Zeitableitung
auf die Strukturoptimierung ergeben, wurden bisher kaum diskutiert.
204 Anhang B. Hinweise zur Strukturoptimierung und zur Sensitivit¨ sanalyse
B.3.2 Domain Parametrization Approach
B.3.2.1 Historische Entwicklung
Die ersten Ans¨ ze f¨ die Bedeutung einer Parametrisierung der Geometrie f¨ die Sensiti-
vit¨ sanalyse finden sich in den Beitr¨ en von J. C´ [71, 70] auf der bereits oben genannten
Tagung, siehe auch [126]. Sein Konzept eines image of a fixed domain wurde jedoch zun¨ hst
nicht weiter beachtet.
Erst im Jahr 1986 wurde mit dem Beitrag von R.B. Haber [113] auf der NATO Advan-
ced Study Institute on Computer Aided Optimal Design: Structural and Mechanical Systems
(Tr´ , Portugal, 1986) [174] die Idee einer designunabh¨ igen Referenzkonfiguration wie-
deraufgenommen.1 Diese Entwicklung entstand aus den Arbeiten von B. Haber ¨ er An-
wendungen der ALE-Formulierung auf Problemstellungen der Festk¨ permechanik. Dieses
waren Arbeiten zu großen Deformationen in der Strukturmechanik [112], Reibkontakt bei
großen Deformationen [115] sowie f¨ die Berechnung der Energiefreisetzungsrate bei virtu-
ellen Riߨ ungen [116].
Das Konzept der Gebietsparametrisierung wurde von seiner Arbeitsgruppe (D.G. Phelan,
PhD 1988; D.A. Tortorelli, PhD 1988; C.A. Vidal, PhD 1992) in den folgenden Jahren
weiterentwickelt und auf nichtlineare Problemstellungen angewendet. Ein zusammenfassende
Darstellung ist in Tortorelli und Wang [219] enthalten. Die Arbeiten bis 1993 sowie die sich
aus der Analyse der zitierten Literatur ergebenden Folgerungen waren der Ausgangspunkt
f¨ die eigenen Forschungsarbeiten zur variationellen Sensitivitatsanalyse, siehe Abschnitt
B.3.3.
B.3.2.2 Erl¨ erung der Methode
Die Grundidee der Methode besteht in der Transformation der Referenzkonfiguration auf
eine design- und zeitfeste Bezugskonfiguration. Hiermit wird die wesentliche Schw¨ he der
MDA-Methode umgangen. Nach der Transformation alle physikalischen Gr¨ en auf diese
Konfiguration ist das betrachtete Gebiet konstant und die Variationen k¨ vereinfacht
ausgef¨ werden.
Die Einzelschritte dieser Methode k¨ folgendermaßen zusammengefaßt werden.
• Einf¨ einer designunabh¨ igen Bezugskonfiguration TTheta.
• Transfer aller physikalischer Gr¨ en auf die Bezugskonfiguration TTheta
˜(Theta,s) := alpha(˜(Theta,s),s).
• Direkte Ableitung von ˜ nach den Designvariablen s
Dˆ(s)
Ds =
D˜(Theta,s)
Ds .
1Interessant ist, daß hierbei der Titel des Konferenzbeitrages
”Application of the Eulerian-Lagrangiankinematic description to structural shape optimization“ sich von der anschließend gedruckten Fassung [114]
mit dem Titel ”A new variational approach to structural shape design sensitivity analysis“ unterscheidet. In
der R¨ kschau w¨ digt m.E. die urspr¨ gliche Bezeichnung die Bedeutung des Beitrages besser.
B.3. Variationelle Methode der Sensitivit¨ sanalyse 205
Die nachfolgende Darstellung veranschaulicht das Vorgehen.
Theta Theta
TTheta TTheta
X X X
Omegaopenbullet Omegaopenbullet Omegaopenbullet
alpha(X,s)
˜psi(Theta,s) ˜psi(Theta,s)
as
as
˜(Theta,s)
+ =
Bild B.2: Abbildungen und Konfigurationen des Domain Parametrization Approach
B.3.2.3 Zusammenfassende Kritik
Die DPA-Methode basiert auf einer Transformation vorhandener physikalischer Formulierun-
gen der Lagrangeschen Betrachtungsweise auf ein (im Rahmen der Kontinuumsmechanik)
neues Parametergebiet. Demzufolge ist sie ein zus¨ zliches Konzept, welches einer klassischen
Beschreibung hinzugef¨ wird.
Es ist im Rahmen der Entwicklung der Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) Methode und
der damit verbundenen DPA-Methode nicht zu einer Integration dieses Ansatzes in die Kon-
tinuumsmechanik gekommen. Vielmehr wurde die DPA-Methode (im wesentlichen nur von
den Entwicklern selbst) f¨ vielf¨ ige numerische Untersuchungen verwendet.
¨Ahnlich wie bei der MDA-Methode wurde ein n¨utzliche Konzept der Strukturmechanik,
n¨ h die pull back – Variation – push forward Vorgehensweise, bisher nur unzureichend
eingesetzt. Weiterhin wurden bei der DPA die weitreichenden M¨ lichkeiten einer Darstel-
lung der Kontinuumsmechanik auf dem neuen Parametergebiet nicht ausgenutzt, d.h. der
in dieser Arbeit vollzogene Schritt zur Reformulierung der Grundlagen wurde nicht durch-
gef¨
206 Anhang B. Hinweise zur Strukturoptimierung und zur Sensitivit¨ sanalyse
B.3.3 Weiterentwicklung der variationellen Sensitivit¨ sanalyse
Die oben angef¨ Methoden der Sensitivit¨ sanalyse sind Ende der siebziger bzw. in
den achtziger Jahren entstanden. Dabei wurden die zeitgleich entwickelten modernen Be-
schreibungsweisen (differentialgeometrisch motivierte Darstellungen, z.B. nach [164]) sowie
die effiziente Methodik der Computational Mechanics (konsistente Linearisierung, pull back
– push forward) bisher nur z¨ erlich in der Sensitivit¨ sanalyse verwendet.
Weiterhin stehen beide Zug¨ e nebeneinander und wurden in der Literatur miteinander
verglichen, siehe z.B. [7]. Es ist jedoch bisher nicht zu einer gemeinsamen Weiterentwicklung
bzw. Vereinheitlichung gekommen.
Aus den dargestellten Beobachtungen habe ich die zentrale Schlußfolgerung gezogen, aus
denen sich die Ziele dieser Arbeit ableiten:
Die Strukturoptimierung ist ein Teil der Kontinuumsmechanik.
So banal bzw. selbstverst¨ h diese Aussage auch sein mag, die notwendigen Konsequen-
zen sind bisher nicht gezogen worden.
1. Wenn die Strukturoptimierung ein Teil der Kontinuumsmechanik ist, dann muß dies
auch in den theoretischen Grundlagen deutlich werden.
2. Die Grundlagen der Diskretisierungsmethoden (CAGD, FEM) m¨ n mit der Struk-
turoptimierung in der Kontinuumsmechanik integrativ zusammengef¨ werden.
3. Die modernen Konzepte (z.B. konsistente Linearisierungen, Tangententransformatio-
nen) m¨ n in allen Bereichen der Theorie und der Numerik eingesetzt werden.
4. Die theoretischen Erkenntnisse m¨ n die nachfolgenden numerischen Methoden und
diese die softwaretechnischen Umsetzungen diktieren.
Die obigen Bemerkungen f¨ zu der Entscheidung, eine geeignete Kontinuumsmechanik
neu zu formulieren. Hierbei war es wichtig, keine der ¨ hen Vorgehensweisen der Lagran-
geschen Betrachtungsweisen vorschnell zu ¨ ernehmen. Das Ergebnis dieser ¨ erlegungen
ist im Hauptteil dokumentiert.
Die Zug¨ e zur numerischen Behandlung der Strukturoptimierung sind im Bild B.3 ver-
anschaulicht. Basierend auf den CAGD- und FE-Methoden werden ¨ herweise diskrete
Problemstellungen betrachtet, die zu der dargestellten Sensitivit¨ sberechnung f¨ Hier-
bei wird die totale Ableitung einer Zielfunktion bzw. Nebenbedingung nach skalaren De-
signvariablen berechnet, wobei die Problemfunktionen aus dem FE-Modell stammen und
die Designvariablen aus dem CAGD-Modell. Die sich hieraus ergebenden Probleme f¨ die
praktische Durchf¨ und Kopplung der Algorithmen ist hinreichend bekannt.
Eine konsequente Vorgehensweise, wie sie in dieser Arbeit vorgestellt wird, versucht die
Integration von CAGD und FEM ¨ er die gemeinsamen mathematischen Grundlagen der
Differentialgeometrie im Rahmen der Kontinuumsmechanik. Die theoretischen Ergebnisse
werden abgeleitet und erst danach wird eine problemgerechte Diskretisierung durchgef¨
B.3. Variationelle Methode der Sensitivit¨ sanalyse 207
Strukturoptimierung
Kontinuumsmechanik Differentialgeometrie
Diskretisierung
in Raum und Zeit
Diskretisierung
der Geometrie
FEM
Finite Elemente Methode
CAD
Computer Aided Design
FEM-Netz Topologie
einfache Ansatzfunktionen
Geometriegradient erforderlich
keine Topologie
komplexe Formfunktionen
keine physikalischen Gr¨ en
a63
a63
a63
a63
a63
a63
endlich viele Freiheitsgrade
K V = P
m¨ lichst kleine Anzahl
von Designvariablen si
CAD-FEM-Kopplung
Netzgenerierung, Datenaustausch
Sensitivit¨ sanalyse
dV
dsi = -K
-1
bracketleftbiggpartialdiffK
partialdiffsi V -
partialdiffP
partialdiffsi
bracketrightbigg
a63 a63
a63 a63
a16a16a16
a16a16a16a16a80a80a80a80a80a80
a80
a64
a64
a64
a64a64a82
a0
a0
a0
a0a0a9
variationelle Formulierung
diskrete Formulierung
Bild B.3: Grundlagen der Strukturoptimierung
208 Anhang B. Hinweise zur Strukturoptimierung und zur Sensitivit¨ sanalyse
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Formulations and Linear Problems. 4. Auflage. London : McGraw-Hill, 1989
[233] Zienkiewicz, O.C. ; Taylor, T.L.: The Finite Element Method. Volume 2: Solid and
Fluid Mechanics, Dynamics and Non-Linearity. 4. Auflage. London : McGraw-Hill,
1991
[234] Zol´ , J.P.: Identification de domaines par d´ , University of Nice, Th` e
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[235] Zol´ , J.P.: Domain variational formulation for free boundary problems. In: [126],
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[126], S. 1049–1151
Braunschweiger Schriften zur Mechanik — BSM
Bisher erschienene Berichte in dieser Reihe
1–1990 Plonski,T.:
Dynamische Analyse von schnelldrehenden Kreiszylinderschalen
2–1991 Wegener, K.:
Zur Berechnung großer plastischer Deformationen mit einem Stoffgesetz vom ¨ er-
spannungstyp
3–1991 Gr¨ h, H.:
Finite–Element–Formulierung f¨ vereinheitlichte inelastische Werkstoffmodelle oh-
ne explizite Fließfl¨ henformulierung
4–1992 Hesselbarth, H.:
Simulation von Versetzungsstrukturbildung, Rekristallisation und Kriechsch¨
gung mit dem Prinzip der zellul¨ en Automaten
5–1992 Schlums, H.:
Ein stochastisches Werkstoffmodell zur Beschreibung von Kriechen und zyklischem
Verhalten metallischer Werkstoffe
6–1992 Kublik, F.:
Vergleich zweier Werkstoffmodelle bei ein– und mehrachsigen Versuchsf¨ en
im Hochtemperaturbereich
7–1992 Bechtloff, J.:
Interpolationsverfahren h¨ Grades f¨ Robotersteuerungen
8–1993 M¨ M.:
Dreidimensionale elastodynamische Analyse von Tanks mit fluidbenetzten Einbau-
ten
9–1993 Senker, P.:
Stabilit¨ sanalyse elastischer Rotorsysteme
10–1993 Cheng, W.:
Schallabstrahlung einer schwingenden Reissner/Mindlin Platte
11–1993 Wiebe, T.:
Wellenausbreitung in poroelastischen Medien: Untersuchung mit Randintegralgleichungen
12–1993 Hahne, M.:
Beschreibung der plastischen L¨ sdehnung bei Torsion mit einem makroskopi-
schen Stoffgesetz
13–1993 Heisig, G.:
Zum statischen und dynamischen Verhalten von Tiefbohrstr¨ en in r¨ h ge-
kr¨ Bohrl¨ hern
14–1994 Ara´ o, F. C.:
Zeitbereichsl¨ linearer dreidimensionaler Probleme der Elastodynamik mit ei-
ner gekoppelten BE/FE–Methode
15–1994 Kristen, M.:
Untersuchung zur elektrischen Ansteuerung von Formged¨ htnis-Antrieben in der
Handhabungstechnik
16–1994 Latz, K.:
Dynamische Interaktion von Fl¨ eitsbeh¨ ern
17–1994 J¨ er, M.:
Entwicklung eines effizienten Randelementverfahrens f¨ bewegte Schallquellen
18–1994 August, M.:
Schwingungen und Stabilit¨ eines elastischen Rades, das auf einer nachgiebigen
Schiene rollt
19–1994 Erbe, M.:
Zur Simulation des Rißwachstums in dreidimensionalen, elastisch-plastischen Struk-
turen mit der Methode der Finiten Elemente
20–1995 Gerdes, R.:
Ein stochastisches Werkstoffmodell f¨ das inelastische Materialverhalten metalli-
scher Werkstoffe im Hoch- und Tieftemperaturbereich
21–1995 Tr¨ G.:
Effiziente Schallberechnung mit einem adaptiven Mehrgitterverfahren f¨ die 3-D
Randelementmethode
22–1996 Degenhardt, R.:
Nichtlineare dynamische Bauwerksprobleme und Interaktion mit dem Baugrund
23–1996 Feise, H.J.:
Modellierung des mechanischen Verhaltens von Sch¨ ¨
24–1996 Haubrok, D.:
Reibungsfreie Kontaktprobleme der 2D-Elastostatik und -dynamik als Optimie-
rungsaufgabe mit REM
25–1996 Lehmann, L.:
Numerische Simulation der Spannungs- und Geschwindigkeitsfelder in Silos mit
Einbauten
26–1996 Klein, R.:
Dynamische Interaktion von d¨ wandigen Tragwerken und Boden mit Abschirm-
schlitzen
27–1996 Kopp, T.:
Simulation großer inelastischer Deformationen bei Torsionsversuchen
28–1997 Harder, J.:
Simulation lokaler Fließvorg¨ e in Polykristallen
29–1997 Lewerenz, M.:
Zur numerischen Behandlung von Werkstoffmodellen f¨ zeitabh¨ ig plastisches
Materialverhalten
30–1997 Meywerk, M.:
Stabilit¨ und Verschleiß bei auf Schienen laufenden Eisenbahnrads¨ zen
31–1997 Plagge, F.:
Nichtlineares, inelastisches Verhalten von Spiralseilen
32–1997 Neubert, M.:
Richtungsregelung beim Tiefbohren
33–1998 Sangi, D.:
Die Versetzungsstrukturbildung in Metallen
34–1998 Thielecke, F.:
Parameteridentifizierung von Simulationsmodellen f¨ das viskoplastische Verhal-
ten von Metallen - Theorie, Numerik, Anwendung
35–1998 Vietgen, J.:
Numerische Simulation duktilen Rißwachstums mit Ber¨ ksichtigung von Sch¨
gung
36–1998 L¨ B.:
Einfluß transienter Anregungen auf die Zylinderkopf-Akustik
37–1998 Scheld, C.:
Auswirkungen dynamischer Interaktionen auf das Schwingungsverhalten von Tanks
38–1999 Baaran, J.:
Schallfeldanalyse bei sich bewegenden schallerzeugenden K¨ pern
39–1999 Daros, C.H.:
Wave propagation in unbounded piezoelectric media of transversely isotropic sym-
metry
40–2000 Wagner, N.:
Untersuchung der Boden-Fahrzeug-Interaktion mit gekoppelten Rand- und Finite-
Element-Methoden
41–2001 Langer, S.:
Schalltransmission durch Isolierverglasung
42–2001 Schacht, Th.:
Orientierungsabh¨ ige Rissbildung in duktilen Metallen
43–2002 Ackermann, L.:
Simulation der Schalltransmission durch W¨