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\section{Einführung}
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\label{sec:Spieltheorie}


Die Spieltheorie\index{Spieltheorie} ist eine mathematische Theorie,
die sich mit strategischem Denken in Situationen befasst, in denen
Entscheidungsträger miteinander interagieren. Das Ergebnis einer
Entscheidung hängt nicht nur von dem Verhalten eines \emph{Spielers}
ab, sondern wird gleichzeitig durch die Entscheidungen aller
beteiligten Spieler determiniert.
Die in der Spieltheorie als \emph{Spiele} bezeichneten
Entscheidungssituationen stimmen nicht nur mit den Spielen im üblichen
Sinn des Wortes überein. Seit John von Neumann und Oskar
Morgenstern~\cite{GameTheoNeumann} werden \emph{Spiele}\index{Spiele} als eine 
wissenschaftliche Metapher für ein weites Feld von Interaktionen
zwischen Entscheidungsträgern gesehen, deren Ausgang von Strategien zweier oder
mehr Personen bestimmt werden. Spiele sind somit alle interaktiven
Entscheidungsprobleme, an denen interagierende Entscheidungsträger teilnehmen. 

Die Spieltheorie basiert dabei auf zwei zentralen Annahmen:
\begin{itemize}
\item Jeder Entscheidungsträger verfolgt ein  gegebenes Ziel.
\item Er berücksichtiget dabei sein Wissen oder seine Erwartung über
das Verhalten anderer Entscheidungsträger.
\end{itemize}

Die Entwicklung der Spieltheorie vollzog sich knapp zusammengefasst in den
folgenden Schritten. 
\begin{itemize}
\item Beginn der mathematische Analyse von Gesellschaftsspielen um die
Jahrhundertwende.
\item Zu Beginn der Analyse konzentriert sich die Forschung auf Nullsummenspiele.
\item John von Neumann und Oskar Morgenstern veröffentlichen 1944
\emph{The Theory of Games and Economic Behavior}~\cite{GameTheoNeumann}, sie
stellten die Spieltheorie auf ein einheitliches mathematisches Fundament.
\item Entwicklung der kooperativen und nicht-kooperativen Spieltheorie. Sie erklärt
zahlreicher Phänomene in der Industrieökonomik, Außenhandelstheorie,
Makroökonomik, politischen Ökonomie.
\item Aus den Erkenntnissen und Methoden der Spieltheorie entwickelt sich die
  Evolutionäre Spieltheorie, die Lerntheorie und die Vertragstheorie.
\end{itemize}

Die Methoden der Spieltheorie werden heute nicht hauptsächlich im Poker,
Baseball, Fußball und Schach angewendet, sondern im Firmenwettbewerb,
dem Arms Race, der Umweltverschmutzung oder dem Verhältnis von Staaten
untereinander. 


Da der Fokus dieser Arbeit auf dem Schachspiel liegt, werden die
Elemente der Spieltheorie, welche auf das Schachspiel anwendbar sind,
intensiver beschrieben und die restlichen Elemente der Theorie nur
gestreift. Obwohl die Spieltheorie mathematisch und formell definiert ist,
wird im folgenden so weit wie möglich darauf verzichtet, um die Kernaussagen der
Theorie einfacher darzustellen. %Die weiterführende Literatur ist in
%Kapitel~\ref{sec:SpielBuecher} kurz zusammengefasst, 
Eine einfache Einführung
zur Spieltheorie ist in~\cite{Klaus:74} zu finden.

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\section{Grundlegende Elemente der Spieltheorie}
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Die Spieltheorie beschäftigt sich mit Entscheidungssituationen, die
als \emph{Spiele} bezeichnet werden. Der Begriff \emph{Spiel} ist zwar eine
Metapher für Interaktionen zwischen Spielern, jedoch sind die Interaktionen von
den \emph{Strategien} der Spieler abhängig. Dies bedeutet aber auch, dass die
\textbf{Spieltheorie sich ausschließlich mit strategischen Spielen
  beschäftigt}. Sie befasst sich nicht mit Glücksspielen, bei denen die
Resultate allein vom Zufall abhängen und der Spieler somit keine persönliche
Entscheidung getroffen hat.

In der Spieltheorie werden zwei Typen von
\emph{Entscheidungssituationen}\index{Spieltheorie!Entscheidungssituationen}
unterschieden, 
diese sind die \emph{nichtkooperativen} und \emph{kooperativen} Situationen.

\textbf{Eine nichtkooperative Situation im Sinne der Spieltheorie liegt vor, wenn der
  Vorteil der einen Seite einem Nachteil der anderen Seite entspricht. Dagegen
  liegt dies nicht bei einer kooperativen Situation vor.}

Das Ziel der Spieltheorie ist es, für reale Entscheidungssituationen in
ökonomischen, politischen oder militärischen Bereichen bestimmte
spieltheoretische Modelle anzugeben, um mit ihrer Hilfe die Situation
beschreiben zu können.

Um eine Situation zu beschreiben und ein theoretisches Modell aufzubauen,
müssen zuerst die Grundlagen der Theorie gelegt werden. Neben der Definition
des Spiels ansich benötigt man auch Instrumente um ein Spiel durchzuführen,
zu bewerten und den Prozess des Spiels zu beschreiben.

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\subsection{Nutzenfunktion}
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In jeder Entscheidungssituation während eines Spiels hat der Spieler mehrere
Möglichkeiten, aus dieser Menge muss er nun die \emph{günstigste} Variante
auswählen. Es muss also ein Maßstab vorhanden sein, mit dem festgestellt
werden kann, ob eine Entscheidung besser ist als eine andere. Das heißt, die
einzelnen Entscheidungen müssen bewertet werden können und ihr Nutzen muss
bestimmt werden können. 

\textbf{In der Spieltheorie ist eine Entscheidung A nützlicher als eine
  Entscheidung B, wenn man A B vorzieht.}

Wenn man diese Aussage auf das Schachspiel bezieht und die drei möglichen
Resultate einer Partie betrachtet, den Gewinn ($G$) der Partie, den Verlust ($V$) der
Partie und das Unentschieden ($U$), so kann man die drei Resultate sofort
miteinander vergleichen und folgende Bewertung vornehmen: 
\[
   G > U > V.
\]
%Der Gewinn wird somit höher bewertet als ein Unentschieden oder der Verlust
%der Partie. Durch die Rangordnung der drei Resultate ist es nun auch einfach,
%diesen Zahlenwerte zuzuordnen. Diese müssen nur die obige Ungleichung
%erfüllen. So kann man dem Gewinn den Wert $+1$, dem Verlust den Wert $-1$ und
%dem Unentschieden den Wert $0$ zuweisen. Dann gilt:
%\[
%   +1 > 0 > -1.
%\]

In der Spieltheorie wird nun der Zusammenhang zwischen den Entscheidungen und
den Spielresultaten durch eine Funktion ausgedrückt. Die
\emph{Nutzenfunktion}\index{Spieltheorie!Nutzenfunktion} $f$ gibt für die verschiedenen
Spielausgänge $x$ den Nutzen $N$ für den Spieler in der Entscheidungssituation
an, so ist
\[
   N = f(x)
\]
die spieltheoretisch exakte Darstellung für die angegebenen Ordnungsrelation.
%Wenn man für $x$ die verschiedenen möglichen Zahlenwerte einsetzt, ergibt sich
%für das Schachspiel:
%\[
%   f(1) > f(0) > f(-1).
%\]

Damit ist eine der Voraussetzungen geschaffen, um spieltheoretische Probleme
mathematisch zu formulieren. So kann man nun die Suche des Spielers nach der
\emph{günstigsten} Variante in einer Entscheidungssituation auch so
formulieren:
\textbf{Der Spieler versucht den maximalen Wert der Nutzenfunktion zu erlangen.}

Eine wichtige Voraussetzung für die Nutzenfunktion in der Spieltheorie ist,
dass die an einer Entscheidungssituation beteiligten Spieler die gleiche
Nutzenfunktion verfolgen. 
%In dem Fall, dass die Nutzenfunktionen verschieden
%sind, muss eine Annahme über die Vergleichbarkeit der Nutzenfunktionen gemacht
%werden, da sonst das Problem auseinander fällt. Auf diese Fragen wird jedoch
%im weiteren nicht eingegangen, siehe hierzu~\cite{Klaus:74}.

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\subsection{Strategische Spiele}
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\label{sec:strategischeSpiele}

In der abstrakten Betrachtungsweise der Spieltheorie kann ein
\emph{strategisches Spiel}\index{Spieltheorie!strategische Spiele} (im folgenden einfach
Spiel genannt) \textbf{als die Gesamtheit der es bestimmenden Spielregeln
  aufgefasst werden}. Jedoch gibt es keine streng mathematische Fassung des
Begriffs des strategischen Spiels in der Spieltheorie, für spezielle Typen
von Spielen, wie den \emph{Zweipersonen-Nullsummen Spielen} (siehe
Abschnitt~\ref{sec:Spiel2Per0summen}), ist dies aber gelungen. Das
strategische Spiel oder Spiel ist in der Spieltheorie nicht die Realisierung
des Spiels, sondern nur das \emph{System von Spielregeln}, welches das Spiel
definiert. Die konkrete Realisierung von Spielen wird in der Spieltheorie als
\emph{Partien}\index{Spieltheorie!Partien} bezeichnet. Dadurch kann man nun
ein Spiel als die Gesamtheit aller denkbaren Partien auffassen, was später noch
einmal wichtig wird.

Die Spielregeln eines Spiels können sich auf vier Typen beziehen:
\begin{enumerate}
\item auf die Anzahl der am Spiel beteiligten Personen,
\item auf die Festlegung darüber, was in einem Spiel unter \emph{Zügen} zu
  verstehen ist und wie diese durchzuführen sind,
\item auf welche Weise die einzelnen Züge der Spieler aufeinanderfolgen
\item und auf das quantitative Resultat des Spiels, nach der Durchführung
  aller Züge.
\end{enumerate}

Wenn es sich bei einem Spiel um ein Gesellschaftsspiel handelt, ist sofort
klar, was unter Spielregeln zu verstehen ist. Beim Schachspiel sind es die
bestehenden Vereinbarungen über die möglichen Bewegungen der verschiedenen
Figuren und die Vereinbarung, wann eine Partie zu Ende ist und wie der Ausgang
der Partie (Sieg, Verlust oder Unentschieden) zu bewerten ist. Größere
Probleme ergeben sich, wenn man eine reale Entscheidungssituation durch die
Spieltheorie modelliert. 

%Für jede der vier angegebenen Haupttypen von Regeln ergeben sich noch einige
%Probleme bei ihrer Definition. So ist es zwar relativ unproblematisch die
%Personen festzulegen, die an dem Spiel teilnehmen. So gibt es
%Gesellschaftsspiele, an denen zwei, drei oder mehrere Personen teilnehmen
%können, in einem \emph{realen Spiel} kann sich die Anzahl der handelnden
%Personen jedoch ändern. Falls dies eintritt, wird die neue Situation als ein
%\emph{anderes Spiel} betrachtet und auf ein neues Spielmodell abgebildet.

Einen \emph{Zug} kann man etwa beim Schach einfach festlegen, hier ist jedes
Verrücken einer Figur ein Zug. Bei einem \emph{realen Spiel} ergeben sich
wieder Probleme, hier werden aber objektive Möglichkeiten der handelnden
Seiten als Regeln für die Züge und deren Reihenfolge aufgefasst.

Ebenso wie der Begriff des Zuges ist auch der Begriff der
\emph{Strategie}\index{Spieltheorie!Strategie} in der Spieltheorie sehr
abstrakt und im theoretischen und mathematischen Umfeld zu sehen.
\textbf{Eine Strategie ist eine \emph{beliebige} Folge von Zügen für ein Spiel}.
Normalerweise wird unter einer Strategie nicht eine \emph{beliebige Folge} von
Zügen bezeichnet verstanden, sondern eine Folge von Zügen, mit der ein bestimmtes Ziel
erreicht werden soll. In der abstrakten spieltheoretischen Analyse wird jedoch
jede Zugfolge, die eine Partie beendet, als eine Strategie bezeichnet.
Die Bewertung dieser Strategie erfolgt dann erst durch die spieltheoretische
Analyse.
%Es besteht noch ein weiterer Unterschied zwischen einer Strategie im intuitiven Sinne und dem
%der Spieltheorie. 
Im intuitiven Sinne wird davon ausgegangen, dass die
Spieler ihre Zugfolge von Zug zu Zug bestimmen.
\textbf{In der Spieltheorie wird
eine Strategie, also eine Zugfolge, zu Beginn des Spiels festgelegt}. Dies
erfordert natürlich, dass das Spiel durch die Spielregeln vollständig bestimmt
ist und alle möglichen Situationen, die im Spiel auftreten können, von
vornherein erfassbar sind. 

Die spieltheoretische Sicht einer Strategie, also die Annahme, dass alle
strategischen Entscheidungen vor Beginn eines Spiels getroffen worden sind,
hat in der Realität erhebliche Probleme. Wenn man das Schachspiel als Beispiel
nimmt, so hat man schon bei 50 Halbzügen einen Baum mit $1,3 * 10^{80}$
Stellungen, dies würde dann $3,2 * 10^{78}$ Strategien
entsprechen\footnote{Jedes Blatt des Spielbaumes repräsentiert hier eine
  Strategie und somit ist die Zahl der Blätter des Baumes gleich der Zahl der
  Strategien im Baum.}. Wenn beide Spieler von der Schachpartie eine Strategie
im Sinne der Spieltheorie festlegen würden, wäre die betreffende Partie völlig
festgelegt und schon vor der Partie stünde der Gewinner fest.

Bei dem letzten Typ von Regeln für ein Spiel geht es um das quantitative
Resultat eines Spiels. In der Spieltheorie wird dies auch als die
\emph{Auszahlung}\index{Spieltheorie!Auszahlung} bezeichnet. Gewinne werden
bei einer Auszahlung durch \emph{positive} Zahlenwerte bezeichnet und Verluste
durch \emph{negative} Werte. Das Resultat einer bestimmten Partie ist nicht
allein von der Strategie abhängig, die ein Spieler gewählt hat, sondern von
allen Strategien, die von allen beteiligten Spielern ausgewählt worden
sind. Man kann daher den Gewinn, den ein Spieler erzielt, als eine Funktion
der von allen Spielern gewählten Strategien auffassen. Man nennt diese
Funktion die
\emph{Auszahlungsfunktion}\index{Spieltheorie!Auszahlungsfunktion}
des betroffenen Spielers. Bei einem Zweipersonenspiel gibt es zwei
Auszahlungsfunktionen, die durch die beiden Strategien der Spieler bestimmt
werden.

%Damit ist in der Spieltheorie die Grundlage geschaffen, um die optimale
%Spielweise der beteiligten Spieler abzuleiten. Um die Analyse durchzuführen
%gibt es zwei verschiedene Methoden ein Spiel darzustellen. Die eine Form ist die
%\emph{extensive Form}, sie stellt die Dynamik des Spiel dar. Die
%zweite Form ist die \emph{Normalform}, sie beschreibt  die Statik des
%Spiels. Die Normalform ist die abstraktere Darstellungsform eines Spiels, sie
%wird jedoch in der Spieltheorie hauptsächlich verwendet. Mathematisch gesehen
%sind beide Formen jedoch identisch.

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\subsection{Spielbäume}
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Die \emph{extensive Form}\index{Spieltheorie!extensive Form} zur Darstellung
von Spielen ist sehr intuitiv, besonders bei Spielen, bei denen alle Züge offen sind
und keine verdeckten Züge erfolgen\footnote{In Kartenspielen treten
  verdeckte Züge auf, wie die Verteilung der Karte.}, dies wird in der
Spieltheorie auch mit \emph{vollständiger} und \emph{unvollständiger}
Information bezeichnet, hierzu später mehr.
Im Schachspiel erfolgen alle Züge offen, beide Spieler haben also die
\emph{vollständige Information} über das Spiel. Die extensive Darstellung
eines Schachspiels wäre nun der vollständige Spielbaum, der mit der
Ausgangsstellung beginnend alle Stellungen als Knoten  und die Züge
zwischen den Stellungen als Kanten darstellt. Da das Schachspiel zu komplex
ist um den vollständigen Spielbaum darzustellen, wird der Suchbaum hier am
\emph{Nimmspiel}\index{Nimmspiel} beschrieben. Das Spiel hat folgende
Regeln:
\begin{itemize}
\item Das Spiel beginnt mit fünf Spielsteinen.
\item Es gibt zwei Spieler sie werden A und B genannt.
\item Die Spieler ziehen abwechselnd und dürfen einen oder zwei Steine
  wegnehmen. 
\item Der Spieler hat gewonnen, der den letzten Stein wegnimmt.
\end{itemize}

\begin{figure}
   \centerline{\epsfig{figure=Pictures/Graphik/NimmSpielbaum.eps,width=12cm}}
   \caption{Spielbaum eines Nimmspiels mit fünf Steinen.}
   \label{fig:nimmspielbaum}
\end{figure}

Die Abbildung~\ref{fig:nimmspielbaum} zeigt nun den vollständigen Suchbaum für
das Nimmspiel mit fünf Steinen. Die Auszahlung für den Spieler A wird dabei
durch $+1$ und $-1$ an den Blättern des Baumes gekennzeichnet. Der Spielbaum
bietet eine dynamische Sicht auf das gesamte Spiel, mit allen
Handlungsmöglichkeiten der Spieler. Es wird aber auch deutlich, dass schon ein
Spielbaum mit 20 Knoten unübersichtlich wird, denn der Spielbaum enthält eine
Gewinnstrategie für den Spieler, der anfängt. Sie ist jedoch nicht direkt zu
erkennen, denn die Auszahlungen des Baumes scheinen ausgeglichen zu sein. Wenn
aber der Spieler A am Anfang zwei Steine nimmt, kann Spieler B nicht mehr
gewinnen, egal, ob er einen oder zwei Steine wegnimmt.

%Wenn schon ein Spielbaum mit 20 Knoten unübersichtlich ist, kann man sich
%vorstellen, dass ein Spielbaum für komplizierte Spiele wie Schach nicht mehr
%aufzuzeichnen und zu analysieren ist. Dieser Baum hätte an jedem Knoten
%im Durchschnitt 35 ausgehende Kanten und eine Tiefe von 50 Halbzügen oder
%mehr.

Der Spielbaum muss nicht immer endlich sein, es ist auch möglich zu
\emph{unendlichen Bäumen} überzugehen und es können auch \emph{nicht offene
  Züge} in Bäumen dargestellt werden. Wobei dann nicht die Darstellung des
Baumes an Bedeutung gewinnt, sondern seine \emph{abstrakte mathematische
  Struktur} und deren Möglichkeiten zur Analyse.



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\subsection{Matrizen}
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Die \emph{Normalform}\index{Spieltheorie!Normalform} für Spiele ist eine
Darstellung, die zu den jeweiligen möglichen Strategienkombinationen der
beteiligten Spieler gehörenden Auszahlungswerte in einer \emph{Matrix}
angibt. Bei zwei Spielern ist diese Art der Darstellung sehr übersichtlich,
dann werden in der ersten Spalte die Strategien des ersten Spielers
aufgeschrieben und in der ersten Zeile werden die Strategien des zweiten
Spielers aufgeschrieben. In den Zellen der Matrix wird dann für jedes
\emph{Strategiepaar} die entsprechende Auszahlung aufgeschrieben.
Diese Art der Darstellung wird auch als
\emph{Auszahlungsmatrix}\index{Spieltheorie!Auszahlungsmatrix} bezeichnet. 

\begin{table*}[htbp]
  \centering
  \begin{tabular}{|c|c c c c c |}
    \hline
    \textbf{A \  B} & \textbf{1}  & \textbf{1,1} & \textbf{1,2} & \textbf{2}  & \textbf{2,1} \\
    \hline
    \textbf{1,1}    &      &     & -1  &      & -1  \\
    \textbf{1,2}    &      & -1  &     & +1   &     \\
    \textbf{1,1,1}  &      & +1  &     &      &     \\
    \textbf{2,1}    &      & -1  &     & +1   &     \\
    \textbf{2,2}    & +1   &     &     &      &     \\
    \hline
  \end{tabular}
  \caption{Die Auszahlungsmatrix für das Nimmspiel, das durch den
    Spielbaum~\ref{fig:nimmspielbaum} repräsentiert wird.}
  \label{tab:nimmspielmatrix}
\end{table*}

Die Tabelle~\ref{tab:nimmspielmatrix} stellt die Auszahlungsmatrix des
Nimmspiel dar, welches in der Abbildung~\ref{fig:nimmspielbaum} durch einen
Spielbaum beschrieben wird. Bei der Darstellung eines Spiels in
\emph{Normalform} wird die Dynamik des Spiels nicht mehr deutlich. Diese
Darstellung zeigt aber sofort, welche Strategiepaare für ein
Spiel überhaupt möglich sind. Denn alle freien Felder der Matrix stellen
Strategiepaare dar, die nicht möglich sind. 
Hier wird jetzt auch noch einmal die Bedeutung einer Strategie für die
Spieltheorie deutlich. Sie wird hier als eine \emph{beliebige} Folge von Zügen
für ein Spiel definiert, die vor dem Spiel von den Spielern festgelegt wird
(siehe auch Abschnitt~\ref{sec:strategischeSpiele}). Das heißt, wählt der
Spieler \textbf{A} die Strategie \textbf{1,1,1}, so kann der Spieler
\textbf{B} nur die Strategie \textbf{1,1} wählen, würde \textbf{B} die
Strategie \textbf{1} wählen, wäre das Spiel nicht beendet.

Bei dem Beispiel des Nimmspiels sind alle Züge offen, es gibt aber auch
Spiele, in denen die Züge nicht offen sind und die Spieler so nur eine
unvollständige Information haben. Für diese Spiele ist die Normalform zur
Analyse der Spiele besser geeignet als die extensive Form. Bei diesen Spielen
ist der Verlauf einer Partie weniger entscheidend für die Analyse als die
gewählte Strategie der Spieler und das Resultat. In diesem Fall ist die
Entscheidung über die Strategie ohnehin nicht von Zügen des anderen Spielers
abhängig, da sie ja nicht bekannt sind.


%In diesem Abschnitt wurden die wichtigsten Begriffe und ihre Bedeutung in
%der Spieltheorie erläutert. Mit diesen Grundlagen hat man nun die Möglichkeit
%die Aufgabe der Spieltheorie, die Analyse von Spielen, näher zu
%betrachten. Dazu werden im folgenden die verschiedenen Spieltypen näher
%beschrieben. 
 
Die Normalform ist die abstraktere Darstellungsform eines Spiels, sie
wird jedoch in der Spieltheorie hauptsächlich verwendet. Mathematisch gesehen
ist sie mit der \emph{extensiven Form} jedoch identisch.

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\section{Typen von Spielen}
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Die Spieltheorie befasst sich zwar ausschließlich mit strategischen Spielen,
aber auch in dieser Gruppe von Spielen gibt es eine große Anzahl verschiedener
Spieltypen. Diese Typen unterscheiden sich nicht nur in der Definition oder
der Beschreibung des Spiels, sondern auch in ihrer mathematischen
Problemstellung, so dass bei ihrer Analyse unterschiedliche Methoden
angewendet werden müssen. Im Zusammenhang mit den verschiedenen Spieltypen
ist auch das \emph{Reduktionsprinzip} wichtig, auf welches später noch genauer
eingegangen wird. 

Zur Unterscheidung von Spielen gibt es verschiedene Haupt- und Untermerkmale
und verschiedene Kombinationsmöglichkeiten dieser Merkmale.
Die Hauptmerkmale zur Unterscheidung von Spielen sind:
\begin{itemize}
\item die Anzahl der beteiligten Spieler,
\item die Art der im Spiel zugelassenen Züge und Strategien
\item und die Art der Auszahlungfunktion.
\end{itemize}
Im folgenden soll auf diese Merkmale etwas genauer eingegangen werden.

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\subsection{Anzahl der Spielpartner}
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Ein Spiel verlangt mindestens zwei Spieler, die an dem Spiel
teilnehmen. Die
\emph{Zweipersonenspiele}\index{Spieltheorie!Zweipersonenspiel} sind die
\emph{einfachsten Spieltypen}. 

Die mathematische Theorie für diesen Spieltyp ist besonders weit
entwickelt. Dies liegt auch daran, dass viele Spiele mit mehr als zwei Spieler
auf ein Zweipersonenspiel \emph{reduziert} werden können. Die einfachste Art
der Reduktion ist dabei der Zusammenschluss aller am Spiel beteiligten Spieler
zu zwei einander entgegengesetzten Parteien. In der Spieltheorie spricht man
dann von der Bildung einer \emph{Koalition} und einer \emph{Gegenkoalition}.
Eine Koalition als einen Spieler im Sinne der Spieltheorie zu verstehen ist
nur dann möglich, wenn von den abweichenden Interessen der einzelnen Spieler
in der Koalition abstrahiert werden kann.

Bei vielen Gesellschaftsspielen ist die Bildung von Koalitionen durch die
Spielregeln aber verboten, auch reale Situationen kann man nicht immer auf
zwei Koalitionen reduzieren. In einem solchen Fall spricht man dann von
\emph{Mehrpersonenspielen}\index{Spieltheorie!Mehrpersonenspiel}. Die starke Trennung
zwischen Zweipersonenspielen und Mehrpersonenspielen in der Spieltheorie
liegt daran, dass die Probleme bei Mehrpersonenspielen
wesentlich schwieriger  zu analysieren sind und die mathematische Theorie mit
zunehmender Anzahl von Spielern immer komplizierter wird. Dies ist ein Grund,
warum die mathematische Theorie über Mehrpersonenspiele nicht so gut ausgebaut
ist wie über die Zweipersonenspiele.


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\subsection{Züge und Strategien}
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Bei der Unterscheidung von Spielen durch die Art der Züge gibt es verschiedene
Möglichkeiten, das wichtigste Unterscheidungsmerkmal ist, ob es ausschließlich
\emph{persönliche} Züge oder auch \emph{zufällige} Züge gibt. Unter
persönlichen Zügen\index{Spieltheorie!persönliche Züge} versteht man Züge, die
nur von der Entscheidung eines der Spieler abhängen. Zufällige
Züge\index{Spieltheorie!zufällige Züge} dagegen sind Handlungen, die nicht von
der Entscheidung eines der Spieler abhängen, die an dem Spiel teilnehmen,
sondern zufallsbedingt sind. Spiele, in denen \emph{nur} Zufallszüge auftreten, sind
nicht Gegenstand der Spieltheorie. Denn wenn ein Spiel nicht von
Entscheidungen eines Spielers abhängig ist, kann es in solchen Spielen auch
keine Strategie geben.
\textbf{Gegenstand der Spieltheorie sind strategische Spiele mit
  ausschließlich persönlichen Zügen oder in denen sowohl persönliche als auch
  zufällige Züge auftreten.}



Das Unterscheidungsmerkmal von Spielen nach dem Charakter der Züge ist eng mit
der von den Spielern verfolgten Strategie verbunden. 
Eine \emph{Strategie}\index{Spieltheorie!Strategie} ist bisher immer als eine
diskrete Folge von Zügen dargestellt 
worden, diese Betrachtungsweise ist auch für die meisten Spiele gültig, im
Besonderen für das Schachspiel. Diese Spiele werden als \emph{diskontinuierliche
  Spiele}\index{Spieltheorie!diskontinuierliche Spiele} bezeichnet. 
 Es muss aber darauf hingewiesen werden, dass die Spieltheorie
auch Züge betrachtet, in denen Züge als ein Intervall der reellen Zahlen
interpretiert wird. Spiele, in denen solche Züge auftreten, heißen
\emph{kontinuierliche Spiele}\index{Spieltheorie!kontinuierliche Spiele}.

Der Strategiebegriff ist einer der fundamentalen Begriffe der
Spieltheorie, denn sie soll Empfehlungen für rationales Verhalten
herleiten. Dies bedeutet, dass die Spieltheorie für ein bestimmtes Spiel eine
möglichst \emph{optimale Strategie}\index{Spieltheorie!optimale Strategie}
bestimmen soll. Der Begriff der \emph{optimalen Strategie} wird hier im
Zusammenhang mit den \emph{Zweipersonen-Nullsummenspielen} entwickelt (siehe
hierzu Abschnitt~\ref{sec:Spiel2Per0summen}). Sofern es aber optimale
Strategien für ein Spiel gibt, so gibt es auch \emph{nichtoptimale Strategie}
oder \emph{suboptimale Strategie}. Bei der Analyse von Strategien sind viele
Methoden darauf ausgerichtet festzustellen, ob überhaupt optimale Strategien
existieren oder nicht. Die weitere Analyse versucht dann die optimale
Strategie zu bestimmen, dies ist jedoch komplizierter. So gibt es viele Typen
von Spielen, für die es gelungen ist zu zeigen, dass es eine optimale
Strategie gibt, aber die Bestimmung der optimalen Strategie noch nicht
gelungen ist. Ein Beispiel für diese Situation ist das Schachspiel.

Wichtig im Zusammenhang mit Strategien ist die Unterscheidung zwischen
\emph{reinen Strategien} und \emph{gemischten Strategien}. Unter einer
\emph{reinen Strategie} versteht man eine Strategie im intuitiven Sinne. 
Eine \emph{gemischte Strategie} kann man sich so vorstellen, dass der Spieler die
Entscheidung für eine seiner reinen Strategien nicht mehr selbst trifft,
sondern von einem Zufallsmechanismus abhängig macht. Der Spieler bestimmt
lediglich noch die Wahrscheinlichkeiten, mit der der Zufallsmechanismus die
einzelnen Strategien wählt. Damit wird die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten
zur eigentlichen Strategie des Spielers. Er muss sich nun überlegen, mit
welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung er den höchsten erwarteten Nutzen
realisiert.  Bei reinen Strategien wird an einer Strategie festgehalten und bei
einer gemischten Strategie wird diese immer wieder gewechselt. Die
Unterscheidung zwischen diesen beiden Strategiearten wird jedoch nicht zur
Unterscheidung von Spielen genutzt.


Ein weiteres Unterscheidungsmerkmal für Spiele ist es, ob die Strategien
bzw. die Züge, aus denen sich die Strategien zusammensetzen, \emph{offen} oder
\emph{verdeckt} erfolgen. Bei \emph{offenen Zügen} ist jeder Spieler in jeder
Phase des Spiels über die aktuelle Situation genau informiert. In einem Spiel
mit \emph{verdeckten Zügen} jedoch kennt der Spieler die Züge des Gegners
teilweise nicht oder alle nicht. Man spricht in diesem Zusammenhang dann auch
von Spielen mit \emph{vollständiger
  Information}\index{Spieltheorie!vollständige Information} oder mit 
\emph{unvollständiger Information}\index{Spieltheorie!unvollständige
 Information}.  Das Schachspiel ist ein Spiel mit \emph{vollständiger
 Information}, denn hier kennt jeder Spieler zum Zeitpunkt des Zuges die
Resultate aller vergangenen Züge beider Seiten. Das Skatspiel ist ein Beispiel
für Spiele mit \emph{unvollständiger Information}, denn hier ist nicht bekannt,
welche Karten der andere Spieler in der Hand hat.

Ein weiteres Unterscheidungsmerkmal von Spielen ist die \emph{Anzahl möglicher
Strategien}. Danach kann man Spieler mit \emph{endlichen} und
\emph{unendlichen Strategien} unterscheiden. Bei \emph{endlichen
  Spielen}\index{Spieltheorie!endliche Spiele} hat jeder Spieler nur eine
endliche Anzahl von Strategien, aus denen er wählen kann. Bei \emph{unendlichen
  Spielen}\index{Spieltheorie!unendliche Spiele} hat mindestens einer der
beteiligten Spieler unendlich viele Strategien zur Verfügung. Alle bisher
vorgestellten Spiele waren endliche Spiele, wobei die Anzahl der Strategien
teilweise sehr groß sein kann. Diese trifft zum Beispiel auf das Schachspiel
zu. 


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\subsection{Gewinnverteilung}
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Die \emph{Gewinnverteilung}\index{Spieltheorie!Gewinnverteilung} ist ein
weiteres Merkmal um Spiele zu unterscheiden. Ist die Gewinnverteilung für die
beteiligten Spieler gleich und hängt nur von der gewählten Strategie ab, so
nennt man die Spiele \emph{gerechte (faire)} Spiele. Bei \emph{ungerechten
  (unfairen)} Spielen sind bestimmte Spieler durch die Spielregeln bevorzugt,
sie haben höhere Gewinnaussichten durch die Spielregeln zu erwarten. Das
Nimmspiel, welches weiter oben vorgestellt wurde, ist ein unfaires Spiel, da
immer der Spieler gewinnt, der beginnt und die Gewinnstrategie kennt.

Ein wichtiger Spieltyp der \emph{fairen Spiele} ist das
\emph{Nullsummenspiel}\index{Spieltheorie!Nullsummenspiel}\index{Nullsummenspiel},
denn für diesen Spieltyp ist die Spieltheorie am weitesten ausgebaut.
\textbf{In Nullsummenspielen sind die Gewinne aller beteiligten Spieler
  zusammengenommen stets gleich null.}
%Anders formuliert bedeutet dies, dass die Gewinne bestimmter Spieler durch die
%Verluste der anderen Spieler ausgeglichen werden. 
Ein Spezialfall  der
Nullsummenspiele sind die \emph{Zweipersonen-Nullsummenspiele}, für diese
Spiele gibt es eine vollständig abgeschlossene mathematische Theorie, Näheres
dazu in Abschnitt~\ref{sec:Spiel2Per0summen}.

Nullsummenspiele sind ein Spezialfall einer umfassenderen Klasse von Spielen,
den \emph{Konstantsummenspielen}\index{Spieltheorie!Konstantsummenspielen}. Im
Fall der \emph{Konstantsummenspielen} ist die Summe der Gewinne aller
beteiligten Spieler gleich einem konstanten Wert, der ungleich null ist. 
Eine weitere Verallgemeinerung der Konstantsummenspiele besteht darin, die
Gewinnauszahlung nicht konstant zu halten, sondern variabel zu gestalten,
diese \emph{Nicht Konstantsummenspielen} sind noch schwerer zu analysieren als
Konstantsummenspiele. 
Daher werden auch in diesem Bereich Möglichkeiten zur Reduktion, wie bei
den Mehrpersonenspielen genutzt. Dabei wird versucht Nicht-Nullsummenspiele auf
Nullsummenspiele zurückzuführen. Allerdings nimmt man dabei in Kauf, dass die
Anzahl der Spieler um einen erhöht wird, so dass aus einem Zweipersonenspiel
ein Dreipersonenspiel wird. Die Aufgabe dieses fiktiven Spielers ist es nur, die
Differenz in der Gewinnausschüttung zu kompensieren, so dass man wieder ein
Nullsummenspiel erreicht.

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\section{Zweipersonen-Nullsummenspiele}
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\label{sec:Spiel2Per0summen}

\emph{Zweipersonen-Nullsummenspiele}\index{Spieltheorie!Zweipersonen-Nullsummenspiele}\index{Zweipersonen-Nullsummenspiele} 
sind Spiele, die sich 
aus den vorangegangenen Abschnitten wie folgt definieren lassen.
\textbf{Zweipersonen-Nullsummenspiele sind strategische Spiele, an denen zwei
  Personen beteiligt sind und bei denen sich die erzielbaren Gewinne für jedes
  Strategiepaar ausgleichen.}

Die Gewinne und Verluste bei Zweipersonen-Nullsummenspielen ergeben sich in
Abhängigkeit von den verschiedenen Kombinationen der Strategien beider
Spieler, daher können sie in einem quadratischen Schema erfasst werden. Dieses Schema
wird auch als \emph{Spielmatrix} bezeichnet, daher bezeichnet man diese Spiele
auch als \emph{Matrixspiele}\index{Spieltheorie!Matrixspiele}.
Die Spieltheorie versucht nun mit Hilfe der Spielmatrix, die beste Spielweise
(die optimale Strategie) zu bestimmen. In der Theorie der Matrixspiele
versteht man unter einer \emph{optimalen
  Strategie}\index{Spieltheorie!optimalen Strategie} die Strategie, mit der
ein Spieler den höchstmöglichen Gewinn in dem Spiel erreichen kann. 
Spiele, für die eine optimale Strategie existiert, heißen \emph{lösbar}. Für
eine optimale Strategie wird auch vorausgesetzt, dass der maximale Gewinn nicht
für jede Partie gesichert werden kann. Er kann nur im Durchschnitt über viele
Partien erreicht werden, somit wird die Angabe des Gewinns auf der Grundlage
einer optimalen Strategie zu einer Wahrscheinlichkeitsaussage über den Gewinn.
Ein wichtiges Prinzip für eine optimale Strategie ist, \textbf{dass
  beide Spieler vernünftig handeln und alles tun, um zu verhindern, dass der
  Gewinn des Gegners maximiert wird.}
Dieses Prinzip wird auch die
\emph{Minimax-Strategie}\index{Spieltheorie!Minimax-Strategie} genannt, man
kann diese sehr leicht an einem Beispiel verdeutlichen. In der
Tabelle~\ref{tab:ZB1matrix} wird die Auszahlungsmatrix eines Spiels
dargestellt, anhand dessen man eine optimale Strategie nach dem Minimax-Prinzip
herleiten kann.

\begin{table*}[htbp]
  \centering
  \begin{tabular}{|c|c c c c c |}
    \hline
    \textbf{A \  B}        & \textbf{$B_1$}  & \textbf{$B_2$} & \textbf{$B_3$} &  \textbf{$B_4$} & \textbf{Zeilenminima} \\
    \hline
    \textbf{$A_1$}         &  4          &  5          & 9  &   3  & 3  \\
    \textbf{$A_2$}         &  5          &  4          & 3  &   7  & 3    \\
    \textbf{$A_3$}         &  7          & \textbf{6}  & 8  &   9  & \textbf{6}   \\
    \textbf{$A_4$}         &  6          &  2          & 4  &   6  & 2   \\
    \textbf{Spaltenmaxima} &  7          & \textbf{6}  & 9  &  9  &    \\
    
    \hline
  \end{tabular}
  \caption{Die Auszahlungsmatrix für ein Beispiel mit Zeilenminima und
    Spaltenmaxima. Die optimalen Werte für die Zeilenminima, Spaltenmaxima
     und der Sattelpunkt sind fett gedruckt.}
  \label{tab:ZB1matrix}
\end{table*}

Die Zeilenminima für das Spiel zeigen, dass die Strategie $A_3$ den
\emph{maximal} möglichen Gewinn unter den möglichen 
Strategien für Spieler $A$ bedeutet, egal welche Strategie Spieler $B$
wählt. Wenn der Spieler $B$  auch der Minimax-Strategie folgt, muss er unter
den Spaltenmaxima den kleinsten Wert suchen, dieser wird durch die Strategie
$B_2$ erreicht.  Der Schnittpunkt beider Strategien in der Matrix wird der
\emph{Sattelpunkt}\index{Spieltheorie!Sattelpunkt} genannt, in der
Tabelle~\ref{tab:ZB1matrix} fettgedruckt. Der Sattelpunkt hat die Eigenschaft,
dass er sowohl das Minimum eines Parameters ist als auch das Maximum eines
anderen. Der Sattelpunkt bei Matrixspielen in der Minimax-Strategie ist
ein Sonderfall, er ist aber ein \emph{wichtiger Sonderfall}, da für Spiele mit
einem Sattelpunkt die Minimax-Strategie \emph{stabil} ist. 

Wenn man nun die Matrix an der Position $A_3$, $B_1$ zu $6$ verändert,
ergibt sich auch für die Spalte $B_1$ ein Spaltenmaximum von $6$. Dadurch
wäre der Spieler $B$, wenn er der Minimax-Strategie folgt, nicht auf die
Strategie $B_2$ festgelegt, sondern kann auch die Strategie $B_1$ wählen. In
diesem Fall wäre die \emph{Minimax-Strategie instabil} und somit auch keine
optimale Strategie.

Es lässt sich aber zeigen, dass \textbf{bei Spielen mit einem Sattelpunkt die
  Minimax-Strategien optimale Strategien sind}. 
Obwohl Matrixspiele mit einem Sattelpunkt ein Sonderfall sind, gilt aber auch,
dass \textbf{jedes Spiel mit vollständiger Information einen Sattelpunkt hat}.
Daraus folgt für das Schachspiel, da es ein Spiel mit vollständiger
Information ist, dass es einen Sattelpunkt hat und dass die
Minimax-Strategie für das Schachspiel optimal ist, jedoch konnte dieses
optimale Paar von Minimax-Strategien für das Schachspiel noch nicht gefunden
werden.

In der Spieltheorie wurde weiterhin gezeigt, dass
\textbf{der Sattelpunkt bei Nullsummenspielen ein Nash-Gleichgewicht ist.}
Allgemeiner konnte gezeigt werden, dass
jedes N-Personen Nicht-Nullsummenspiel ein Nash-Gleichgewicht hat.

Das \emph{Nash-Gleichgewicht}\index{Spieltheorie!Nash-Geleichgewicht} ist ein
wichtiger Satz in der Spieltheorie, der besagt: \textbf{Wenn es in einem Spiel eine
Strategiekombination gibt, für die gilt, dass es für keinen Spieler profitabel
ist seine Strategie zu ändern,  bilden die Strategiekombination und die
resultierenden Payoffs ein Nash-Gleichgewicht} (siehe ~\cite{Nash:Diss:50,Nash:50b}).


John von Neumann konnte zeigen, dass jedes
\textbf{Zweipersonen-Nullsummenspiel eine optimale Lösung in den gemischten
  Strategien wenn nicht in einer reinen Strategie hat.} Dieser Satz ist
deshalb so bedeutungsvoll, da er 
die Suche nach einer optimalen Lösung des Spiels sinnvoll macht.  Dieser Satz
gilt auch für alle Spiele, die auf Zweipersonen-Nullsummenspiele zurückgeführt
werden können. Kann ein Spiel aber nicht auf ein Zweipersonen-Nullsummenspiel
abgebildet werden, so kann auch nicht die Theorie für diese Spieltypen
angewendet werden. Dies ist deshalb sehr wichtig, da bei Nichtnullsummen-
bzw. Nicht-Konstantsummenspielen nicht das Minimax-Prinzip angewendet werden
kann. 

Nun muss für diese Arbeit noch darauf hingewiesen werden, dass das
Schachspiel im engen Sinne kein Nullsummenspiel ist, da die
Auszahlungfunktion  die eines Konstantsummenspiels ist, denn der Gewinner erhält
zwei Punkte, der Verlierer null und im Falle des Remis erhalten beide Spieler
einen Punkt. Es ist aber leicht zu sehen, dass man durch Änderung der
Auszahlungsfunktion ein Nullsummenspiel erhalten kann und somit kann für das
Schachspiel auch die Theorie der Zweipersonen-Nullsummenspiele mit
vollständiger Information angewendet werden. Da nun die spieltheoretischen
Grundlagen für das Schachspiel behandelt wurden, wird auf die weiteren
Elemente der Spieltheorie nur kurz eingegangen.



%----------------------------------------------------------------------
\section{Nicht Konstantsummenspiele}
%----------------------------------------------------------------------

Die \emph{Nicht Konstantsummenspiele}\index{Spieltheorie!Nicht
  Konstatnsummenspiele} sind Spiele, deren Auszahlungsfunktion eine variable
Summe ist. Die \emph{Konstantsummenspiele} gehören nicht zu der gleichen
Klasse wie die Nicht Konstantsummenspiele, denn viele Konstantsummenspiele
lassen sich auf Nullsummenspiele zurückführen. 

Wenn man das Nicht Konstantsummenspiel auf zwei Personen beschränkt, bei dem
beide Spieler über eine endliche Anzahl von Strategien verfügen, kann man auch
diese Spiele als  Matrixspiele darstellen. Da  aber bei diesen Spielen der
Gewinn des einen Spielers nicht dem Verlust des anderen entspricht, braucht
man zwei Matrizen um das Spiel zu beschreiben. Streng genommen braucht man auch
für Zweipersonen-Nullsummenspiele zwei Matrizen, um ein Spiel vollständig zu
beschreiben, da sie sich aber nur im Vorzeichen unterscheiden, wird darauf
immer verzichtet.
% NEU ANFANG
Es ist üblich
diese Matrizen zu einer \emph{Doppelmatrix}\index{Spieltheorie!Doppelmatrix}
zusammenzufassen. Dann enthält jedes Element der Matrix zwei Zahlen, welche
die jeweiligen Auszahlungswerte der beiden Spieler für diese Strategie
angeben. 
% NEU ENDE

%Um den Unterschied zwischen Nullsummenspielen,
%Konstantsummenspielen und Nicht Konstantsummenspielen zu verdeutlichen 
%sind in den
%Tabellen~\ref{tab:Vergleichmatrix}~\ref{tab:VergleichmatrixKonst}~\ref{tab:VergleichmatrixNichtKonst}
%die Bewertungen für ein Nullsummenspiel, ein Konstantsummenspiel und ein
%Nicht-Konstantsummenspiel dargestellt. Dabei ist die Auszahlungsmatrix für den
%ersten Spieler in allen drei Fällen gleich. Man kann leicht sehen, dass in der
%Tabelle~\ref{tab:Vergleichmatrix} die Summe der entsprechenden Spielresultate
%gleich null ist und in der Tabelle~\ref{tab:VergleichmatrixKonst} für die
%Konstantsummenspiele den Konstantenwert fünf annimmt. Im dritten Fall ist die
%Summe der Gewinne im allgemeinen unterschiedlich, dies schließt jedoch nicht
%aus, dass einige Summe gleich sind oder sogar null. 

%\begin{table*}[htbp]
%  \centering
%  \begin{tabular}{| c c c |}
%    \hline  
%    +2    &  -7   &   +6   \\
%    +4    &  +8   &   0   \\
%    +3    &  -2   &   -1   \\
%    
%    \hline
%  \end{tabular}
%\hspace{2cm}
% \begin{tabular}{| c c c |}
%    \hline  
%    -2    &  +7   &   -6   \\
%    -4    &  -8   &   0   \\
%    -3    &  +2   &   +1   \\
%    
%    \hline
%  \end{tabular}
%  \caption{Die Auszahlungsmatrizen für ein Nullsummenspiel.}
%  \label{tab:Vergleichmatrix}
%\end{table*}
%
%\begin{table*}[htbp]
%  \centering
%  \begin{tabular}{| c c c |}
%    \hline  
%    +2    &  -7   &   +6   \\
%    +4    &  +8   &   0   \\
%    +3    &  -2   &   -1   \\
%    
%    \hline
%  \end{tabular}
%\hspace{2cm}
% \begin{tabular}{| c c c |}
%    \hline  
%    +3    &  +12  &   -1   \\
%    +1    &  -3   &   +5   \\
%    +2    &  +7   &   +6   \\
%    
%    \hline
%  \end{tabular}
%  \caption{Die Auszahlungsmatrizen für ein  Konstantsummenspiel, die Summe, die
%    für beide Spieler ausgezahlt wird, ist immer 5.}
%  \label{tab:VergleichmatrixKonst}
%\end{table*}
%
%\begin{table*}[htbp]
%  \centering
%  \begin{tabular}{| c c c |}
%    \hline  
%    +2    &  -7   &   +6   \\
%    +4    &  +8   &   0   \\
%    +3    &  -2   &   -1   \\
%    
%    \hline
%  \end{tabular}
%\hspace{2cm}
% \begin{tabular}{| c c c |}
%    \hline  
%    +3    &  +7  &   +4   \\
%    +4    &  +8  &   -6   \\
%    -12   &  +11 &   -3   \\
%    
%    \hline
%  \end{tabular}
%  \caption{Die Auszahlungsmatrizen für ein Nicht-Konstantsummenspiel, die Summe, die
%    für beide Spieler ausgezahlt wird, ist für jede Strategie anders.}
%  \label{tab:VergleichmatrixNichtKonst}
%\end{table*}

%Alle Zweipersonen-Nicht-Konstantspiele können durch zwei Matrizen, wie sie in der
%Tabelle~\ref{tab:VergleichmatrixNichtKonst} dargestellt werden, es ist üblich
%diese Matrizen zu einer \emph{Doppelmatrix}\index{Spieltheorie!Doppelmatrix}
%zusammenzufassen. Dann enthält jedes Element der Matrix zwei Zahlen, welche
%die jeweiligen Auszahlungswerte der beiden Spieler für diese Strategie
%angeben. In der Tabelle~\ref{tab:Doppelmatirx} sind die Matrizen für ein
%Nicht-Konstantsummenspiel in einer Doppelmatrix zusammengefasst worden. 


%\begin{table*}[htbp]
%  \centering
%  \begin{tabular}{| c | c c c |}
%    \hline  
%    \textbf{A \  B}        & \textbf{$B_1$}  & \textbf{$B_2$} & \textbf{$B_3$}  \\
%    \hline
%    \textbf{$A_1$}         &  +2, +3      &  -7, +7      & +6, +4   \\
%    \textbf{$A_2$}         &  +4, +4      &  +8, +8      &  0, -6   \\
%    \textbf{$A_3$}         &  +3, -12     &  -2, +11     & -1, -3   \\    
%    \hline
%  \end{tabular}
%
%  \caption{Die Doppelmatrix für ein Nicht-Konstantsummenspiel, die einzelnen
%    Werte für die beiden Spieler stehen in einer Zelle der Matrix.}
%  \label{tab:Doppelmatirx}
%\end{table*}


%Ein wichtiger Unterschied zwischen Nicht-Konstantsummenspielen und
%Zweipersonen-Nullsummenspielen ist, dass es aus spieltheoretischer Sicht keine
%objektive Grundlage für eine Kooperation zwischen den Spielern gibt. Bei
%Nicht-Konstantsummenspielen gibt es eine objektive Grundlage für eine
%Kooperation. Diese drückt sich direkt in der Spielmatrix aus, denn der Gewinn
%des einen Spielers ist nicht stets der Verlust des anderen. Dadurch
%gewinnen Verhandlungen, Einigungen über die Wahl einer bestimmten Strategie
%oder die Form einer Kooperation bei Nicht-Konstantsummenspielen einen Sinn.

%Obwohl jedes Nicht Konstantsummenspiel die \emph{Möglichkeit} für eine
%Kooperation bietet, wird nicht jedes Spiel als ein Spiel mit Kooperation
%betrachtet. Daher unterscheidet man bei den Nicht-Konstantsummenspielen auch
%die \emph{nichtkooperative}\index{Spieltheorie!nichtkooperative Theorie} und
%\emph{kooperative Theorie}\index{Spieltheorie!kooperative Theorie}. 

%Eine wichtige Frage, die sich für die Nicht-Konstantsummenspiele stellt, ist, ob
%es etwas ähnliches wie eine \emph{optimale Strategie} nach dem Vorbild der
%Theorie der Zweipersonen-Nullsummenspiele gibt.
%Hierzu wird eine Variante der \emph{Minimax-Strategie} aus
%Abschintt~\ref{sec:Spiel2Per0summen} verwendet. Hierbei nimmt der Spieler
%jetzt an, dass \textbf{jeder der Spieler lediglich an seinem eigenen Gewinn
%  interessiert ist}. Zum richtigen Verständnis des Prinzips ist es wichtig zu
%bedenken, dass die jeweiligen Spieler ein \emph{indirektes} Interesse am
%Wohlergehen des anderen Spielers haben, weil zwischen beiden auf Grund der
%Auszahlungsmatrix eine Verbindung besteht, die ihren eigenen Gewinn beeinflusst.

%Wenn man eine Auszahlungsmatrix betrachtet, die nur für ein Strategiepaar eine
%positive Auszahlung für beide Spieler ermöglicht, dann wird dieses Strategiepaar
%einen \emph{Gleichgewichtspunkt} bilden. 
%\textbf{Im allgemeinen gibt es in Nicht-Konstantsummenspielen mehr als einen
%  Gleichgewichtspunkt und die verschiedenen Gleichgewichtspunkte können
%  unterschiedliche Wertigkeit haben.}
%Dies wird direkt in der Auszahlungsmatrix~\ref{tab:Gleichgewichte} deutlich,
%hier bilden sowohl die Strategiepaare $A_2,B_1$ und $A_1,B_2$ einen
%Gleichgewichtspunkt, jedoch sind die Auszahlungsbeträge für die einzelnen
%Spieler bei den verschiedenen Strategiepaaren unterschiedlich.

\begin{table*}[htbp]
  \centering
  \begin{tabular}{| c | c c |}
    \hline  
    \textbf{A \  B}        & \textbf{$B_1$}  & \textbf{$B_2$}  \\
    \hline
    \textbf{$A_1$}         &  -2, -2      &  +1, +2       \\
    \textbf{$A_2$}         &  +2, +1      &  -2, -2       \\ 
    \hline
  \end{tabular}

  \caption{Die Doppelmatrix für ein Nicht Konstantsummenspiel, die einzelnen
    Werte für die beiden Spieler stehen in einer Zelle der Matrix.}
  \label{tab:Gleichgewichte}
\end{table*}

%Damit wird klar, dass es für 
Für diesen Spieltyp gibt es keine ähnlich einfache Theorie
 wie für die Zweipersonen-Nullsummenspiele. Zwar gibt es einen
\emph{Existenzsatz über Gleichgewichtspunkte}, aber für den Fall wie er in der
Tabelle~\ref{tab:Gleichgewichte} beschreiben wird, gibt es keine
\emph{eindeutigen} Lösungen. Dieser Existenzsatz über Gleichgewichtspunkte
besagt auch, dass ein Sattelpunkt ein Spezialfall eines Gleichgewichtspunktes
im Fall der Nullsummenbedingung ist. Daher kann ein Sattelpunkt auch als
Gleichgewichtspunkt aufgefasst werden. 

Für Zweipersonen-Konstantsummenspiele können zwar auch mehrere
Gleichgewichtspunkte auftreten, aber es lässt sich mathematisch zeigen, dass
die Strategiepaare dieser Gleichgewichtspunkte stets zum selben Resultat
führen. Man spricht in diesem Zusammenhang davon, dass \textbf{ alle
  Gleichgewichtspunkte bzw. die entsprechenden Strategiepaare äquivalent sind.}
Somit weist die Theorie der Zweipersonen-Konstantsummenspiele eine größere
Ähnlichkeit zu den Zweipersonen-Nullsummenspielen auf als die der
Nicht-Konstantsummenspiele.  

%Für das Problem der \emph{nichtäquivalenten Gleichgewichtspunkte} bei
%Nicht-Konstantsummenspielen gibt es noch keine überzeugende Lösung. Das
%Problem 
%besteht darin, ein Kriterium anzugeben, wonach mehrere nichtäquivalente
%Gleichgewichtspunkte miteinander verglichen werden können, um dann
%Empfehlungen für eine Verhaltensweise der Spieler abgeben zu können.
%Man spricht hierbei vom \emph{Eindeutigkeitsproblem für die
%  Gleichgewichtspunkte bei allgemeinen Nicht-Konstantsummenspielen}. 


%----------------------------------------------------------------------
\section{Mehrpersonenspiele}
%----------------------------------------------------------------------

\emph{Mehrpersonenspiele}\index{Spieltheorie!Mehrpersonenspiele} sind Spiele,
an denen mehr als zwei Spieler beteiligt sind. Die Besonderheit dieser Spiele
zu den Zweipersonenspielen ist, dass sich Spielpartner zu \emph{Koalitionen}
zusammenschließen können. Dadurch ist es oft möglich, die Mehrpersonenspiele
auf Zweipersonenspiele zu reduzieren. Wenn es sich dann noch um ein
Nullsummenspiel handelt, kann man die gesamte Theorie der
Zweipersonen-Nullsummenspiele auf diese Situation anwenden und die optimale
Strategie 
bestimmen. Das eigentliche Problem des Mehrpersonenspiels ist aber noch nicht
gelöst, dies ist die \textbf{Verteilung der Gewinne unter den Mitgliedern der
  Koalitionen}. Dies ist ein Hauptproblem der Theorie der Mehrpersonenspiele.




%----------------------------------------------------------------------
\section{Evolutionäre Spieltheorie}
%----------------------------------------------------------------------

Die \emph{Evolutionäre Spieltheorie}\index{Spieltheorie!Evolutionäre
  Spieltheorie} hat in der neueren Zeit große Bedeutung gefunden. Diese
Interpretation der Spieltheorie wurde maßgeblich durch Anwendungen in der
Evolutionsbiologie vorangetrieben. John Maynard Smith hat dabei das Konzept
der \emph{evolutionär stabilen Strategien (ESS)} entwickelt. Aber auch in
der Ökonomik gibt es wichtige Fragestellungen, die mit Hilfe des
evolutionären Ansatzes und seiner Weiterentwicklung behandelt werden. Die
\emph{Evolutionäre Spieltheorie} untersucht, welche Verhaltensweisen sich in
einem Spiel entwickeln, wenn die Spieler ausgehend von einer bestimmten
Anfangskonstellation ihr Verhalten gemäß einfacher Regeln anpassen können. Ein
wichtiger Aspekt der Theorie ist dabei die Frage, ob die Vorhersagen gestützt
werden, die sich aus der Analyse des Verhaltens rationaler Spieler ergeben.
Weiterführende Bücher zu diesem Gebiet sind~\cite{Vega:96,Weibull:95}.

Während in den Modellen der evolutionären Spieltheorie die Abweichungen von
der Annahme der Rationalität der Spieler theoretischer Natur sind, verfolgt
die experimentelle Spieltheorie einen empirischen Ansatz. Dieser Zweig der
Theorie erfuhr wesentliche Anregungen durch die Psychologie. Obwohl auch
dieser Ansatz sehr neu ist, begannen die ersten Experimente schon sehr früh in
der RAND Corporation
(siehe~\cite{Nash:Evo:52,Nash:Evo:54,Flood:Evo:52,Flood:Evo:54a,Flood:Evo:54b}). 
Neuere Bücher zur experimentellen Ökonomik sind~\cite{Davis:93,Cramerer:2003}.






%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "mainChessDiss"
%%% End: 
