%----------------------------------------------------------------
%
% transform.tex
% Transformation von Fuzzy--Regeln
%
%----------------------------------------------------------------
%
\chapter[Merkmalsselektion und Fuzzy--Partitionierung]{Selektion von Sätzen relevanter nichtredundanter Merkmale und effiziente Fuzzy--Partitionierung}
 \label{chap:ESF}


\section{Problemstellung}\label{sec C:_Problem}
Zur Präzisierung der Problemstellung diene die Aufgabenstellung
der Modellierung eines Prozesses mit einer Menge $\SX$ von $n$
bekannten potenziell relevanten Einflussgrößen $\X_{i}$
\begin{equation}
\label{eq:X}
 \SX=\{\X_{1},\X_{2},\ldots,\X_{n}\}
\end{equation}
und einer Ausgangsgröße $\Y$. Durch Prozessbeobachtung wird für
einen datenbasierten Modellierungsansatz eine Datenmenge $\SD$,
bestehend aus $\ND$ Datenpunkten $\Vd_{s}$, aquiriert
\begin{equation}
\label{eq:D} \SD=\{\Vd_{1},\Vd_{2},\ldots,\Vd_{\ND}\}\;.
\end{equation}

Jeder Datenpunkt ${\Vd_{\iD}}$ umfasst dabei die zugehörigen Werte
$\x_{i,\iD}$ aller Einflussgrößen $\X_{i}$ sowie den dazugehörigen
Wert $\y_{\iD}$ der Ausgangsgröße $\Y$
\begin{equation}
\label{eq:d}
 {\Vd_{s}}^T=(\Vx^T_\iD\quad \y_\iD), \quad
\Vx^T_\iD=(\x_{1,\iD}\ldots \x_{n,\iD})\;.
\end{equation}

Ferner werden alle $\ND$ erhaltenen Ausgangsgrößenwerte $\y_{s}$ in
der Menge $\SY$ zusammengefasst
\begin{equation}
\label{eq:Y}
 \SY=\{\y_{1},\y_{2},\ldots,\y_{\ND}\} \;.
\end{equation}

Die dieser Arbeit zugrunde liegende Problemstellung besteht nun in
der Selektion eines Satzes
\begin{equation}
\label{eq:R} \SM\subseteq \SX\;,
\end{equation}

von $q$ möglichst relevanten und nichtredundanten Einflussgrößen
$\X_{i}$. Um zu kennzeichnen, dass ein solcher Satz aus gerade $q$
Einflussgrößen besteht, wird er im Folgenden mit  $\SM_q$
bezeichnet. Dabei soll für die Relevanzbewertung insbesondere auch
das Zusammenspiel der zu bewertenden Einflussgrößen $\X_{i} \in
\SM_q$ zu berücksichtigt werden. Die Anzahl $q$ der selektierten
Einflussgrößen sollte dabei so groß wie nötig und so klein wie
möglich sein, um einen handhabbaren Suchraum für eine
nachgeschaltete Fuzzy--Modellierung bereitzustellen. Zusätzlich
soll bei der Relevanzbewertung die Partitionierung des zugehörigen
Merkmalsraumes berücksichtigt oder zusätzlich optimiert werden
können. Hierdurch wird die Grundlage zur Generierung eines
Fuzzy--Systems mit kompakter Regelbasis und hoher
Modellierungsgüte gelegt.

%\section[Rekonstruktionsbasierte Relevanzbewertung]{Rekonstruktionsbasierte gesamtheitliche Relevanzbewertung von Merkmalssätzen}

\section[Rekonstruktionsbasierte Einflussgrößenselektion]{Grundidee der rekonstruktionsbasierten
Einflussgrößenselektion} \label{sec C:_Grundidee} Den im Folgenden
vorgestellten Verfahren zur Relevanzbewertung liegt die Idee der
Rekonstruktion eines Datenpunktes auf der Basis \emph{aller}
anderen Datenpunkte zu Grunde \cite{Xio01}. Das in Abbildung
\ref{fig:SchemaRelevanz} schematisch dargestellte Konzept kann
durch eine entsprechende Wahl der Bewertungsfunktion für eine
Relevanzanalyse potenzieller Einflussgrößen sowohl von
Approximationsproblemen  als auch von Klassifikationsproblemen
angewendet werden. Den wesentlichen Kern des hier vorgeschlagenen
Konzepts zur gesamtheitlichen Relevanzbewertung von Merkmalssätzen
bildet ein Rekonstruktionsalgorithmus, der für jeden Datenpunkt
$\Vd_\iD$, $\iD=1,\dots,\ND$ mit zugehörigem Eingangsvektor
$\Vx_\iD$ einen Ausgangsgrößenwert $\hat{\y}_{\iD}$ auf der Basis
der übrigen Datenpunkte $\tilde{\Vd_\iD}$ %der umliegenden
%Nachbarschaft $Neig_{_\SM}^s$
schätzt. %Dabei ausschlaggebend ist die Abhängigkeit der
%Nachbarschaft des Datenpunktes $\Vd_s$ vom jeweils betrachteten
%Merkmalsraum $\SM$, der dementsprechend als Index angegeben wird.
Aus den tatsächlichen und rekonstruierten Ausgangsgrößenwerten
$y_{\iD}$ bzw. $\hat{\y}_{\iD}$  wird der Rekonstruktionsfehler
berechnet. Je kleiner der Rekonstruktionsfehler ist, für desto
relevanter wird der zugrunde liegende Satz von Einflussgrößen
angesehen. Einflussgrößen, die bei Entfernung aus dem Satz den
Rekonstruktionsfehler nicht oder nicht nennenswert vergrößern,
werden als redundant angesehen.

Ein mit dem Rekonstruktionsalgorithmus gekoppelter
Minimierungsalgorithmus ermittelt denjenigen Satz von
Einflussgrößen, der zu dem geringsten Rekonstruktionsfehler führt
oder einen guten Kompromiss zwischen den Zielen \glqq möglichst
geringer Rekonstruktionsfehler\grqq{} und \glqq möglichst geringe
Anzahl von Einflussgrößen\grqq{} herstellt. Um alle vorhandenen
Einflussgrößen $\X_i$ gleichwertig zu berücksichtigen, werden die
zugehörigen Einflussgrößenwerte $\x_{i,\iD}$ geeignet normiert.
Eine entsprechende Normierung der Ausgangsgrößenwerte $\y_\iD$ ist
nicht erforderlich.

\begin{figure}[ht] \centering
\ingraph{16.5}{0.4}{../Bilder/efs/SchemaRelevanz}
\caption{\label{fig:SchemaRelevanz} Konzept zur
rekonstruktionsbasierten Selektion relevanter nichtredundanter
Einflussgrößen.}
\end{figure}

\section{Normierung der Einflussgrößen}\label{sec C:_Normier}
\subsection{Kontinuierliche Einflussgrößen} Die im Folgenden
vorgestellten Rekonstruktionsverfahren für kontinuierliche
Einflussgrößen verwenden zur Rekonstruktion Datenpunkte, die
innerhalb lokaler durch Nachbarschaftsfunktionen definierte
Gebiete des Merkmalsraumes $\M$ liegen. Typischerweise
unterscheiden sich die Wertebereiche kontinuierlicher
Eingangsgrößen realer Anwendungsprobleme meist sehr stark.
Beispielsweise kann der Wertebereich einer Einflussgröße im
Intervall $[0,1]$ und der einer anderen im Intervall $[0,100]$
liegen. Um zu vermeiden, dass derartige Unterschiede zu einer
unerwünschten ungleichen Behandlung der Einflussgrößen bei der
Merkmalsselektion führt, werden die Werte $\x_{i,j}$ jeder
Einflussgröße $\X_i$ gemäß
\begin{equation}\label{chap:C_norm}
\widetilde{\x}_{i,j} = \frac{\x_{i,j}-\x_{i}^{min}}{\delta_i}\ \;
\end{equation}

so normiert, dass die auftretenden Werte der komponentenweisen
Abstände zweier Eingangsvektoren $\Vx_a$ und $\Vx_b$ ganz oder
zumindest überwiegend im Intervall $[0,1]$ liegen. In Gleichung
\ref{chap:C_norm} bezeichnet $\x_{i}^{min}$ den minimalen Wert der
Einflussgröße $\X_i$ und $\delta_i$ einen zu wählenden
Normierungsfaktor. Für die Wahl von $\delta_i$ werden statistische
Kennzahlen gemäß Tabelle \ref{tab:kennzahlen} berücksichtigt, die
die Lerndaten charakterisieren.



\begin{table}[!ht]
\begin{center} {
\caption{\label{tab:kennzahlen}Zur Normierung verwendete
statistische Kennzahlen einer Einflussgröße $\X_i$.}
\vspace{0.3cm}
\begin{tabular}{|l|rl|}
\hline
Bezeichnung             &   \multicolumn{2}{|c|}{Definition}\\
\hline\hline
                        &                                     & \\
                        &                                     & \\
\rb{Minimalwert} & \rb{$\x_{i}^{min}\;:=$} & \rb{$\displaystyle \min_{j=1}^N\{ \x_{i,j}\}$} \\

                        &                                      & \\
\rb{Maximalwert} & \rb{$\x_{i}^{max}\;:=$} & \rb{$\displaystyle \max_{j=1}^N\{ \x_{i,j}\}$} \\

                        &                                      & \\
\rb{Spannweite} & \rb{$\x_{i}^{range}\;:=$} & \rb{$\x_{i}^{max}-\x_{i}^{min}$} \\

                        &                                      & \\
\rb{Arithmetischer Mittelwert} & \rb{$\overline{\x}_{i}\;:=$} & \rb{$\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \x_{i,j}$} \\

                        &                                      & \\
\rb{Standardabweichung} & \rb{$\sd_i\;:=$} & \rb{$\displaystyle
\frac{1}{N-1} \sum_{j=1}^N (\x_{i,j}-\overline{\x}_i)^2$}
\\ \hline
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{table}


Vielfach anwendbar ist bereits der einfache Ansatz
\begin{equation} \label{eq:C_normspann} \delta_i =
x_{i}^{range} \;.
\end{equation}

Bei einer derart parametrisierten Normierung der Daten nach
Gleichung \ref{chap:C_norm} liegen die möglichen komponentenweise
Abstände zweier Lerndatenpunkte $\x_{i,a}$ und $\x_{i,b}$
\begin{equation}
\ab(\x_{i,a},\x_{i,b}) = |\x_{i,a}-\x_{i,b}|\label{EqKompD}
\end{equation}

stets im Intervall $[0,1]$. Dagegen können sich mit dieser an den
Lerndaten orientierten Normierung für die Testdaten unter
Umständen auch komponentenweise Abstände $d_i>1$ ergeben, was aber
keine störende Auswirkungen hat. Die Normierungsvorschrift
(\ref{eq:C_normspann}) hat jedoch den Nachteil, dass eventuelle
Ausreißer, wie sie beispielsweise durch Messfehler entstehen
können, das Normierungsergebnis unerwünscht stark tangieren. Bei
verrauschten Daten ist es daher im Interesse einer großen
Robustheit sinnvoll, zur Ermittlung der Spannweite $x_{i}^{range}$
einen gewissen Prozentsatz von beispielsweise $\alpha=5\%$ der
kleinsten und größten Werte zu ignorieren, um so robustere
Kennzahlen zu erhalten\footnote{Dies entspricht der Verwendung des
Abstandes des $(1-\alpha)$-Quantils zum $\alpha$-Quantil der
betrachteten Einflussgröße.}. Alternativ ist es bei stark
verrauschten Daten sinnvoll in Gleichung \ref{chap:C_norm}
\begin{equation}\label{eq:_NormSTD}
\delta_i = 4 \sigma_i
\end{equation}

zu wählen, wobei $\sigma_i$ die Standardabweichung ist. Dies liegt
darin begründet, dass bei normalverteilten Werten $\x_{i,j}$ einer
Größe $\X_i$ insgesamt $95\%$ aller Werte innerhalb des Intervalls
$[-2\sigma_i, +2\sigma_i]$ liegen, so dass bei dieser Normierung
der Abstand $\ab(\x_{i,a},\x_{i,b})$ zweier zufällig ermittelter
Werte $\x_{i,a}$ und $\x_{i,b}$  meist kleiner als $1$ sein wird.


\subsection{Gemischt kontinuierliche und nominale Einflussgrößen}
Bei Vorliegen sowohl kontinuierlicher als auch nominaler
Einflussgrößen liegen nach der obigen Normierung die
komponentenweisen Abstände zwar ganz oder überwiegend innerhalb
des Intervalls $[0,1]$, jedoch ist der arithmetische Mittelwert
dieser Abstände meist wesentlich größer als derjenige, der sich
bei nur kontinuierlicher Eingangsgrößen ergibt. Dies verletzt bei
der in Abschnitt \ref{chap:C_LokalNachbar} beschriebenen
Rekonstruktion die angestrebte gleichgewichtete Berücksichtigung
kontinuierlicher und nominaler Einflussgrößen.

Eine einfache Möglichkeit zur Vermeidung dieser Nachteile besteht
darin, den Normierungsfaktor $\delta_i$ für kontinuierliche
Eingangsgrößen entweder gemäß Gleichung \ref{eq:C_normspann} an
die Spannweite, oder gemäß Gleichung (\ref{eq:_NormSTD}) an die
Standardabweichung zu koppeln, während davon abweichend für
nominale Eingangsgrößen als Normierungsfaktor  $\delta_{Symb}$
beispielsweise die Anzahl der vorhandenen Symbole gewählt wird.

Eine aufwändigere aber leistungsfähigere Möglichkeit zur
Überwindung des oben beschriebenen Nachteils besteht darin, die
Normierungsfaktoren gleichermaßen für nominale als auch für
kontinuierliche Eingangsgrößen auf Basis eines ermittelten
durchschnittlichen komponentenweisen Abstands $\ab_{avr}$ zu
ermitteln \cite{HoCa99}. Die Idee dieses Ansatzes besteht darin,
die komponentenweisen Abstände jeder Eingangsgröße derart zu
normieren, dass sich im arithmetischen Mittel der Wert $1$ ergibt.
Dazu wird anhand der Datenpunkte der jeweils betrachteten
Lernstichprobe für jede Einflussgröße der durchschnittliche
komponentenweise Abstand zweier Datenpunkte zueinander bestimmt.
In Gleichung (\ref{eq:AverageDistance}) wird der durchschnittliche
komponentenweise Abstand der Einflussgröße $\X_i$ als
arithmetischer Mittelwert über den komponentenweisen Abstand aller
möglichen Kombinationen zweier Eingangsvektoren gemäß
\begin{equation}
\delta_i =  \ab_{avr} = \frac{{\displaystyle \sum_{j=1}^N
\sum_{z=j+1}^N \ab_i(\x_{i,j}, x_{i,z})}}{{\displaystyle
\frac{1}{2} N ( N - 1 )}}\label{eq:AverageDistance}
\end{equation}

ermittelt. Der Rechenaufwand steigt dabei quadratisch mit der
Anzahl der Lerndatenpunkte an. Zur Verminderung des Rechenaufwands
kann daher die Betrachtung nur einer Teilmenge von Datenpunkte
sinnvoll sein.


\section{Abstandsbasierte Ausgangsgrößenwertschätzung}\label{chap:C_LokalNachbar}

Nach der in \ref{sec C:_Grundidee} erläuterten Grundidee stützt
sich die Relevanzbewertung eines Satzes von Einflussgrößen auf
einen Rekonstruktionsalgorithmus, der für jeden Datenpunkt
$\Vd_a^T=(\Vx^T_a, \y_a)$, im Folgenden auch Aufpunkt genannt,
den  Wert $\y_a$ auf der Basis der übrigen Datenpunkte $\Vd_i$
schätzt. Dabei sollten diese Punkte $\Vd_i$ mit umso größerem
Gewicht in den gesuchten Schätzwert $\hat{\y}_{a}$ einfließen, je
geringer ihr Abstand, gemessen im betrachteten Merkmalsraum $\SM$,
zum Aufpunkt ist.

\subsection{Abstandsbasierte Zugehörigkeitsfunktionen}
Eine naheliegende Möglichkeit zur Umsetzung dieses Konzepts
basiert auf der Einführung von abstandsbasierten
Zugehörigkeitsfunktionen:

\begin{definition}{Abstandsbasierte Zugehörigkeitsfunktion $\Nei_{_\SM}(i,a)$:}
Eine Funktion, die jedem Datenpunkt $\Vd_i$ einen Funktionswert
$\Nei _{_\SM}(i,a)  \in [ 0 , 1]$ zuordnet, der umso größer ist,
je geringer der Abstand zwischen dem Datenpunkt $\Vd_i$ und dem
Aufpunkt $\Vd_a$, gemessen im betrachteten Merkmalsraum $\SM$,ist.
\end{definition}

Speziell verwendet werden hierzu in Anlehnung an \cite{SKM03}
Zugehörigkeitsfunktionen der Form

\begin{equation}\label{eq:C_Nachbarschaft}
\Nei_{_\SM}(i,a)=e^{-\lambda \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm}
\ab_{_{\SM}}(i,a)}\;.
\end{equation}

Darin ist $\lambda$ ein wählbarer Anpassungsparameter und
$\ab_{_{\SM}}(i,a)$ der Abstand zwischen den Punkten $\Vd_i$ und
$\Vd_a$ gemessen im p--dimensionalen Merkmalsraum $\SM$ (deshalb
die Kennzeichnung mit dem Index $\SM$). Zur Bestimmung dieses
Abstands wird die {\em Minkowski-Metrik} mit

\begin{equation}
\ab_{_{\SM}}(i,a) = \sqrt[\rho]{\sum_{j=1}^p d_{i,a,j}^\rho}\
\label{EqMinkowski}
\end{equation}

verwendet. Die darin vorkommenden insgesamt $p$ komponentenweisen
Abstände werden gemäß

\begin{equation}
d_{i,a,j} = |x_{i,j}-x_{a,j}|\label{EqKompD}
\end{equation}

bestimmt. Dabei bezeichnen $x_{i,j}$ und $x_{a,j}$ die jeweilige
$j$--te Komponente  des Eingangsvektors $\Vx_i$ bzw. $\Vx_a$.

Die Minkowski--Metrik (\ref{EqMinkowski}) enthält in der Wahl des
Parameters $\rho$ noch einen Freiheitsgrad. Die gebräuchlichsten
Werte für $\rho$ führen auf die in Tabelle \ref{TaMinkowskiMetrik}
erläuterten unterschiedlichen Abstandsmaße.

\begin{table}[ht]
\caption{\label{TaMinkowskiMetrik}Übliche Wahl des Parameters
$\rho$ bei der Minkowski--Metrik.} \centering\vspace{0.2 cm
}\begin{tabular}{lp{1cm}lp{0.5cm}l}
\hline\\[-7pt]
Komponentenweiser Abstand && $\rho = 1$ && ${\displaystyle \ab_{_{\SM}}(i,a) = \sum_{j=1}^p d_{i,a,j}}$\\
\\
Euklidischer Abstand && $\rho = 2$&& ${\displaystyle \ab_{_{\SM}}(i,a) = \sqrt{\sum_{j=1}^p d_{i,a,j}^2}}\qquad$\\
\\
Chebychev--Abstand && $\rho = \infty$ && ${\displaystyle
\ab_{_{\SM}}(i,a) = \max_{j=1}^p
|d_{i,a,j}|}$\\[7pt]
\hline
\end{tabular}\end{table}

\subsection{Rekonstruktionsvorschriften}\label{chap:C_RekFunk}

Die oben eingeführten Zugehörigkeitsfunktionen $\Nei_{_\SM}(i,a)$
stellt die Schlüsselfunktion zur Rekonstruktion (Schätzung) des
Ausgangsgrößenwertes $\y_{a}$ (zugehörig zum Aufpunkt
$\Vd_a^T=(\Vx^T_a, \y_a)$) auf Basis aller anderen Datenpunkte
$\Vd_i$ dar. Zur Ermittlung eines günstigen Schätzwertes
$\hat{y}_{j}$, der im Folgenden auch mit $\Rek(a)$ bezeichnet
wird, sind unterschiedliche Verfahren anzuwenden, je nachdem ob es
sich um ein Problem der \emph{Klassifikation} oder
\emph{Approximation} handelt.
%

Bei einer \emph{Klassifikation} wird dem Eingangsvektor $\Vx_a$
ein Schätzwert $\hat{\y}_{a}$ zugeordnet, der einem der in den
Daten auftretenden $\eta$ diskreten Ausgangsgrößenwerte
$\tilde{y}_1,\tilde{y}_2, \ldots, \tilde{y}_{\eta}$ entspricht.
Hierzu werden alle erhobenen Datenpunkte $\tilde{\Vd_i}$ in
Klassen $\mc{K}_1,\mc{K}_2, \ldots, \mc{K}_{\eta}$ derart
eingeteilt, dass alle Daten einer Klasse $\mc{K}_t$ den gleichen
Ausgangsgrößenwert $\tilde{y}_{t}$ aufweisen. Zur Bestimmung des
Rekonstruktionswertes $\hat{y}_{j}$ für einen Aufpunkt $\Vd_a$
wird zunächst die gewichtete mittlere Häufigkeit

\begin{equation}
H_a(\tilde{y}_{t})=\frac{\sum \Nei_{_\SM}(i,j)}{card(\mc{K}_t)}
\quad \forall j \; \tif{mit} \; \tilde{\Vd_i} \in \mc{K}_t   \;
\end{equation}

berechnet. Der Schätzwert $\hat{y}_{a}$ ergibt sich schließlich
durch Zuweisung desjenigen Klassenwertes $\tilde{y}_{t}$ als
Rekonstruktionswert $\Rek(a)$, für den die gewichtete mittlere
Häufigkeit $H_a({y}_{t})$ maximal wird:

\begin{equation}\label{eq:C_RekFunkKlass}
\hat{y}_{a}=\Rek(a)=\{\tilde{y}_{t} | H_a(\tilde{y}_{t})=
\tif{max} \{H_a(\tilde{y}_{1}), H_a(\tilde{y}_{2}), \ldots,
H_a(\tilde{y}_{\eta}) \} \} \;.
\end{equation}


Demgegenüber wird im Falle einer \emph{Approximation} die
Rekonstruktion eines reellwertigen Ausgangsgrößenwertes anhand
einer gewichteten Mittelwertbildung vollzogen:

\begin{equation} \label{rekonstrukt1}
\Rek(a)=\frac{\sum \limits_{j \neq a} \Nei_{_\SM}(j,a) \cdot
y_{j}}{\sum \limits_{j \neq a}^{} \Nei_{_\SM}(j,a)}\;.
\end{equation}



\subsection{Anwendungsgrenzen der abstandsbasierten Rekonstruktion}\label{chap:C_RekFunk}

In \cite{SKM03} wird  die prinzipielle Tauglichkeit der
abstandsbasierten Rekonstruktion zur Relevanzbewertung von
Merkmalssätzen anhand eines synthetischen Beispiels sowie durch
Ergebnisse bei Anwendung auf einschlägigen Benchmarkproblemen
nachgewiesen. Allerdings hat diese Vorgehensweise auch
Anwendungsgrenzen. Sie liegen vor allem in dem relativ hohen
Rechenaufwand: Für jede der $\ND$ erforderlichen Rekonstruktionen
eines Ausgangsgrößenwertes $\hat{\y_a}$ muss jeweils die
Zugehörigkeit $\Nei_{_\SM}(i,a)$ aller anderen $(\ND-1)$
Datenpunkte $\Vd_i$ ermittelt werden. Die daraus resultierende
Rechenzeit macht eine Analyse von Datensätzen mit mehr als $10000$
Datenpunkten, unabhängig von der Anzahl $\NV$ der vorhandenen
Einflussgrößen $\X_i$, unpraktikabel. Ferner ist zu
berücksichtigen, dass die Relevanzbewertung hier im Hinblick auf
eine nachgeschaltete Fuzzy--Modellierung vorgenommen werden soll.
Ein wesentlicher Nachteil der abstandsbasierten Rekonstruktion
besteht darin, dass der zelluläre Charakter von Fuzzy--Modellen
damit nicht von vornherein berücksichtigt werden kann. Beide
Nachteile werden im Folgenden abgestellt.




\section{Zellenbasierte Ausgangsgrößenwertschätzung}\label{chap:C_GlobalNachbar}

Wie oben erwähnt, ist der Wrapper--Ansatz, d.~h.die Verwendung des
später zur eigentlichen Modellierung verwendeten Verfahrens auch
zur Relevanzbewertung, an sich die Methode der ersten Wahl. Da
eine nachgeschaltete Fuzzy--Modellierung vorgesehen ist, muss
dieser Ansatz aus Aufwandsgründen  ausscheiden und stattdessen ein
Filteransatz verfolgt werden. Der oben beschriebene Filteransatz,
der auf abstandsbasierter Rekonstruktion basiert, hat die
erläuterten Nachteile. Diese werden im Folgenden dadurch
minimiert, dass ein Filteransatz gewählt wird, der \glqq
näher\grqq{ } am Wrapper--Ansatz liegt: Es wird dabei nämlich für
die Relevanzbewertung dieselbe Partitionierung verwendet, wie sie
auch im späteren Fuzzy--Modell vorgesehen wird.



\subsection{Partitionierung des Merkmalsraumes}
Die Granularisierung einer Einflussgröße $\X_{j}$ wird durch einen
Partitionierungsvektor $\Vst_{j}$ beschrieben, dessen $k$
Komponenten die Stützstellen zur Festlegung der Partitionierung
definieren:
\begin{equation}
 \Vst_{j}^T=(\st_{ j,1},\st_{
j,2},\ldots,\st_{j,k})\;.
\end{equation}

Diese Stützstellen teilen den Wertebereich jeder Größe $X_{j}$ in
$k-1$ Intervalle ein (Abbildung \ref{yschlange}). Die Anzahl der
zu verwendenden Intervalle hängt dabei von der Art des
Modellierungsproblems ab. Zum Beispiel sollte die Anzahl der
Intervalle je Einflussgröße bei Klassifikationsproblemen
mindestens der Anzahl $\eta$ der in den Daten vorhandenen
verschiedenen Klassen $\mc{K}_i$ entsprechen. Die Verwendung einer
größeren Anzahl von Intervallen führt zu einer feineren
Partitionierung und damit erhöhten Auflösung des Eingangsraums,
auf Grundlage dessen möglicherweise auch exaktere Klassifikatoren
entworfen werden können. Demgegenüber kann jedoch eine zu groß
gewählte Anzahl von Intervallen neben einer geminderten
Transparenz auch zum Overfitting führen. In diesem Fall liefern
die anschließend generierten Klassifikatoren zwar für die
verwendeten Lerndaten  sehr gute, aber für die nicht verwendeten
Validierungsdaten unbefriedigende Ergebnisse.


Die Menge der Partitionierungsvektoren $\Ss_{_\SM}$ für alle $m$
Einflussgrößen eines potenziellen Merkmalssatzes $\SM$
\begin{equation}\label{eq:C_PartVec}
 \Ss_{_\SM}=\{\Vst_1,\Vst_2,\ldots,\Vst_m\}
\end{equation}

induzieren eine Zerlegung des Merkmalsraumes in eine Menge
 von $q=(k-1)^m$ Hyperquadern $\Hyp_h$:
\begin{equation}
 \SHyp_{_\SM}=\{\Hyp_1,\Hyp_2,\ldots,\Hyp_q\}\;.
\end{equation}

%
%




\subsection{Partialfunktionen}\label{chap:C_PartRekFunk}

Ausgehend von einer solchen Partitionierung werden
Partialfunktionen $\Rek_h(\Vx)$ definiert, deren Funktionswerte
außerhalb des Quaders $\Hyp_h$ Null sind und innerhalb des Quaders
nur von den darin liegenden Datenpunkten $\Vd_i^T=(\Vx^T_i, \y_i)$
abhängen. Die Anzahl der in $\Hyp_h$ gelegenen Datenpunkte wird im
Folgenden mit $m(h)$ bezeichnet.

\subsubsection{Klassifikation}
Für das Anwendungsproblem einer \emph{Klassifikation} werden die
Partialfunktionen $\Rek_h(\Vx)$ so festgelegt, dass sie den am
häufigsten vertretenen Ausgangsgrößenwert im Hyperquader $\Hyp_h$
ausgeben. Hierzu werden alle diskreten Ausgangsgrößenwerte der in
$\Hyp_h$ liegenden Datenpunkte derart in Klassen
$\mc{K}_1,\mc{K}_2, \ldots, \mc{K}_{\eta}$ eingeteilt, dass jede
Klasse nur Punkte aus $\Hyp_h$ mit dem gleichen Ausgangsgrößenwert
enthält.

Aus den daraus abgeleiteten Häufigkeiten
\begin{equation}
k_{t}=card(\mc{K}_t) \quad \forall \;t \in \{1, 2,\ldots,\eta \}\;
\end{equation}

wird der am häufigsten auftretende Ausgangsgrößenwert als
Funktionswert der Partialfunktion im Quader $\Hyp_h$
 festgelegt (Abbildung~\ref{yschlange}a):
\begin{equation}\label{eq:C_RekZellKlass}
\Rek_h(\Vx)=\{\tilde{y}_{t} | k_{t}= \tif{max} \{k_{1}, k_{2},
\ldots, k_{\eta} \}\} \;.
\end{equation}

\subsubsection{Approximation}
Bei dem Anwendungsproblem einer \emph{Approximation} kann die
nachgeschaltete Fuzzy--Modellierung mit Fuzzy--Systemen vom Typ
\emph{Mamdani} (Abschnitt \ref{sec:B_mam}) und vom Typ
\emph{Takagi--Sugeno} (Abschnitt \ref{sec:B_tsk}) erfolgen. Beide
Fälle werden bei der Definition der Partialfunktionen in adäquater
Weise berücksichtigt.

Da ein Mamdani--Fuzzy--System durch die Konklusion einer Regel
konstant einen kleinen Wertebereich der Ausgangsgröße empfiehlt,
wird der Mittelwert aller Ausgangsgrößenwerte, die zu den
Datenpunkten aus $\Hyp_i$ gehören, als konstanter Funktionswert
\begin{equation} \label{eq:C_RekZellMam}
\Rek_h(\Vx)=\frac{1}{m(h)} \cdot \sum  \y_i  \quad ;\quad\;\Vx_i
\in \Hyp_i\;
\end{equation}

der Partialfunktion festgelegt (Abbildung~\ref{yschlange}b).

Soll ein Approximationsproblem mit einem Fuzzy--System vom Typ
\textit{Takagi--Sugeno--Kang} (TSK) gelöst werden, so wird im
Hyperquader $\Hyp_i$ die Partialfunktion $\Rek_h(\Vx)$ in Form
einer linearen Funktion
\begin{equation}\label{eq:C_RekZelltsk}
\Rek_h(\Vx) = c_{h,0}+\sum c_{h,j}\cdot x_j \quad ;\quad\;\Vx_i
\in \Hyp_i
\end{equation}

definiert (Abbildung~\ref{yschlange}c).

Dabei ergeben sich die Koeffizienten $c_{h,0}$ und $c_{h,j}$, aus
einer \textit{Least--Square--Approximation} \cite{PTV99}, die
innerhalb des Hyperquaders $\Hyp_h$ zu einem minimalen
quadratischen Fehler
\begin{equation}
\sum \limits^{m(h)} \limits_{j=1}(y_j - \Rek_h(\Vx_j))^{2}
\end{equation}

führt. Unabhängig vom gewählten Typ der Partialfunktion wird die
gesuchte Schätzfunktion im vollständigen Merkmalsraum $\SM$ durch
\begin{equation}
\label{eq:C_globRekZell} \Rek(\Vx) = \Rek_a(\Vx) \quad \tif{für }
\mbf{x} \in \Hyp_a
\end{equation}

erklärt.
\begin{figure}[h]
\subfigure[\textsl{häufigste Klassen}]{ \label{yschlange:klasse}
\begin{minipage}[b]{0.5\textwidth}
\centering
%\ingraph{16.5}{0.4}{../Bilder/efs/SchemaRelevanz}
\ingraph{6}{0}{../Bilder/efs/Klasse.eps}
\end{minipage}}%
\subfigure[\textsl{Mittelwerte}]{ \label{yschlange:mean}
\begin{minipage}[b]{0.5\textwidth}
\centering \ingraph{6}{0}{../Bilder/efs/Mean.eps}
\end{minipage}}\\[5pt]
\subfigure[\textsl{ lineare Approximationen}]{
\label{yschlange:hyper}
\begin{minipage}[b]{0.5\textwidth}
\centering \ingraph{6}{0}{../Bilder/efs/Hyper.eps}
\end{minipage}}
\begin{minipage}[b]{0.5\textwidth}
\caption{\textsl{Eindimensionales Beispiel zur Illustration der
Wirkungsweise der verschiedenen Definitionen von Partialfunktionen
$\Rek_h(\Vx)$. Die originären Ausgangsgrößenwerte $y$ und die
rekonstruierten Werte $\hat y$ werden durch die Symbole
``$\circ$'' und ``$+$'' dargestellt.}\label{yschlange}}
\end{minipage}
\end{figure}






\section{Relevanzbewertung eines Merkmalssatzes}\label{chap:C_RelBewert}
Wie einleitend in \ref{sec C:_Grundidee} als Grundidee skizziert,
spiegelt der Grad der Übereinstimmung zwischen den rekonstruierten
Ausgangsgrößenwerten $\hat{y}_{j}$ und den tatsächlichen
Ausgangsgrößenwerten $y_{j}$ die Relevanz des zu bewertenden
Merkmalssatzes $\SM$ wider. Im Folgenden werden
anwendungsspezifische Präzisierungen dieses Schätzfehlers
beschrieben. Die dazu definierten Funktionen dienen zudem auch als
Zielfunktion für eine Optimierung der Partitionierung des
Merkmalsraumes durch evolutionäre Variation der
Partitionierungsvektoren $\Ss_{_\SM}$.


\subsubsection{Klassifikation}
In Falle eines Klassifikationsproblems wird der relative
Klassifikationsfehler
\begin{equation}
 \label{RCE}
\tif{RCE}(\Ss_{_\SM}) = \frac{1}{\ND} \sum_{i=1}^{\ND}
\tif{sgn}\left|y_{i}-\Rek(\Vx_i)\right|
\end{equation}
über alle $\ND$ Datenpunkte $\Vd_i^T=(\Vx^T_i, \y_i)$ des
Datensatzes $\SD$ als Relevanzmaß $\eta_{_\SM}$ für den
betrachteten Merkmalssatzes $\SM$ verwendet. Ersichtlich bedeutet
der Wert $\tif{RCE}(\Ss_{_\SM}) = 0$, dass stets richtig
klassifiziert wird, was einer größtmöglichen Relevanz entspricht
und auf einen optimal partitionierten Merkmalssatzes $\SM$
hinweist.

\subsubsection{Approximation}
Für den Fall eines Approximationsproblems wird der empirische
Korrelationsfehler
\begin{equation}
\label{ECE} \tif{ECE}(\Ss_{_\SM}) = 1 - \left|\frac{
\sum\limits_{i=1}^{\ND} (y_{i} - \bar y) \sum\limits_{i=1}^{\ND}
(\Rek(\Vx_i) - \hat{\bar{y}})} {\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{\ND}
(y_{i} - \bar y)^{2} \sum\limits_{i=1}^{\ND} (\Rek(\Vx_i) -
\hat{\bar{y}})^{2}}}\right|\;
\end{equation}

mit
\begin{equation}
\bar{y} = \frac{1}{\ND} \sum_{i=1}^{\ND}y_i \quad \tif{und} \quad
\hat{\bar{y}} = \frac{1}{\ND} \sum_{i=1}^{\ND}\Rek(\Vx_i)
\end{equation}

als Relevanzmaß $\eta_{_\SM}$ des betrachteten Merkmalssatzes
$\SM$ verwendet. Auch hier entspricht der Wert
$\tif{ECE}(\Ss_{_\SM}) = 0$ der größtmöglichen Relevanz. Der
empirische Korrelationsfehler beinhaltet neben der reinen
Bewertung des Rekonstruktionsfehlers, wie z.~B. bei der
Betrachtung des mittleren quadratischen Fehlers
\begin{equation}
\label{MSE} \tif{MSE}(\Ss_{_\SM}) = \frac{1}{\ND}
\sum\limits_{i=1}^{\ND} (\y_i - \Rek(\Vx_i))^{2}\;
\end{equation}

oder des mittleren absoluten Fehlers
\begin{equation}
\label{MAE} \tif{MAE}(\Ss_{_\SM}) = \left|\frac{1}{\ND}
\sum\limits_{i=1}^{\ND} (y_{i} - \Rek(\Vx_i))\right|\;
\end{equation}

auch eine Bewertung der Ähnlichkeit im Sinne der Korrelation der
Zeitreihe der rekonstruierten Ausgangsgrößenwerte $\hat{\SY}$ mit
der Zeitreihe der tatsächlichen Ausgangsgrößenwerte $\SY$.



\section{Optimierung der Partitionierung des
Merkmalsraumes}\label{subsec:opt} Zur Ermittlung der maximal
möglichen Relevanz eines Merkmalssatzes $\SM$ werden die Elemente
der zugehörigen Partitionierungsvektoren $\Vst_i$ aus $\Ss_{_\SM}$
(Gleichung~\ref{eq:C_PartVec}) im Sinne einer möglichst guten
Partitionierung des Merkmalsraumes optimiert. Hierzu wird als zu
optimierende Zielfunktion das verwendete Relevanzmaß $\eta_{_\SM}$
angesetzt, welches es zu minimieren gilt. Aufgrund der stückweisen
Definition dieser Zielfunktion weist diese im Allgemeinen viele
Unstetigkeiten, Plateaus und nichtlineare Charakteristiken auf.
Daher wird als Optimierungsverfahren eine Evolutionsstrategie
vorgesehen. Diese erlaubt zudem eine multikriterielle Optimierung,
indem weitere Zielfunktionen, die unabhängig vom Relevanzmaß
$\eta_{_\SM}$ die Partitionierung des Merkmalsraumes unter anderen
Gesichtspunkten bewerten, synchron mitberücksichtigt werden.

\subsection{Kodierung der Partitionierung}
Sämtliche Komponenten aller Stützstellenvektoren $\Vst_i$ der
Menge $\Ss_{_\SM}$ des betrachteten Merkmalssatzes $\SM$ werden
als Individuum einer Evolutionsstrategie repräsentiert. Dabei
werden folgende Aspekte besonders beachtet:

\begin{itemize}

\item Die Stützstellen $\st_{i,j}$ können jeweils
ausschließlich innerhalb der Spannweite $\x_{j}^{range}$ des
Wertebereichs der  Eingangsgröße $\X_j$ liegen.

\item Die Stützstellen $\st_{i,j}$ unterliegen innerhalb des
Wertebereichs der Eingangsgröße $\X_j$ einer geordneten Rangfolge,
die es aufrechtzuerhalten gilt.
\end{itemize}

Prinzipiell gibt es zwei mögliche Kodierungsarten zur
Repräsentation einer Stützstellenkonfiguration $\Ss$.


\subsubsection{Abstandskodierung}
Zur garantierten Einhaltung der geforderten Stützstellenrelationen
\begin{equation} \label{rel}
\st_{j,min} \leq \st_{j,1} \leq \st_{j,2} \leq \ldots \leq
\st_{j,k_{j}^{max}} \leq \st_{j,max}\;
\end{equation}

kann eine Abstandskodierung derart definiert werden, dass für jede
Dimension $i$ die erste Stützstelle $\st_{j,1}$ absolut und alle
weiteren Stützstellen $\st_{j,k}$ relativ in Form des Abstandes
$\Vgr{\lambda}_{j,k}$ zum linken Nachbarn $\st_{j,k-1}$ erfolgt.

Hieraus resultiert das Optimierungsproblem zur Minimierung der
anwendungsabhängig gewählten Zielfunktion, beispielsweise
$\tif{ECE}(\Ss_{_\SM})$ nach Gleichung \ref{ECE} für ein
Approximnationsproblem unter Einhaltung der Nebenbedingungen
\begin{equation}
\st_{j,1} + \sum_{k=2}^{k_{j}^{max}}(\st_{j,k}-\st_{j,k-1})
=\x_j^{max}\;.
\end{equation}

Die  Optimierungsparameter --- die sogenannten
\emph{Zielvariablen}
--- werden daher für den Einsatz der Evolutionsstrategie als Individum
\begin{equation}
\Ind = (\underbrace{\st_{1,1},\Vgr{\lambda}_1, \st_{2,1},
\Vgr{\lambda}_{2}, \ldots, \st_{m,1},
\Vgr{\lambda}_{m}}_{Zielvariablen}, \underbrace{\Vgr{\sigma}_{1},
\Vgr{\sigma}_{2}, ..., \Vgr{\sigma}_{m}}_{Strategieparameter})\;
\end{equation}

mit
\begin{equation}
%\label{eq:C_Ind_stütz}
{\lambda}_{j,k} = \st_{j,k} - \st_{j,k-1} \quad \forall k \in
\{2,\ldots,k_{j}^{max}\} \; \wedge \; \forall j \in
\{1,2,\ldots,m\} \;
\end{equation}

und
\begin{equation}
 \Vgr{\sigma}_j =
(\sigma_{j,1},\sigma_{j,2},\ldots,\sigma_{j,k_{j}^{max}}) \quad
\forall j \in \{1,2,\ldots,m\} \;
\end{equation}

kodiert. Des Weiteren wird dem Individuum je Zielvariable ein
Strategieparameter $\sigma_{j,k}$ hinzugefügt, der nach \Schwefel
\cite{Sch95} zur Schrittweitenadaption  der Mutationsweiten im
evolutionären Optimierungsprozesses dient (vergleiche Abschnitt
\ref{chap:B_ES}).

Auch wenn mit dieser Repräsentation die geforderten
Stützstellenrelationen garantiert eingehalten werden, so wirkt
sich die hierzu eingeführte Verkopplung der Zielvariablen extrem
ungünstig auf den Optimierungsprozess aus. Dies liegt darin
begründet, dass eine Variation der ersten Zielvariablen
$\st_{j,1}$ sich auf alle weiteren Stützstellen der $j$--ten
Dimension auswirkt. Auch eine Veränderung einer Komponente von
$\Vgr{\lambda_j}$ wirkt sich auf alle weiteren \glqq
hinteren\grqq{} Stützstellen aus.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Stützstellenkodierung}
Bei der Stützstellenkodierung werden in jedem Individuum als zu
optimierende Zielvariablen  die Stützstellen $\st_{j,k}$
voneinander entkoppelt angesetzt:
\begin{equation}
\Ind = (\underbrace{\Vst_1, \Vst_2, ..., \Vst_m}_{Zielvariablen},
\underbrace{\Vgr{\sigma}_{1}, \Vgr{\sigma}_{2}, ...,
\Vgr{\sigma}_{m_{\sigma}}}_{Strategieparameter})\;
\end{equation}

mit
\begin{equation}
%\label{eq:C_Ind_stütz}
\Vst_j = (\st_{j,1}, \ldots,\st_{j,k_{j}^{max}} )\; \wedge \;
\Vgr{\sigma}_j = (\sigma_{j,1},\ldots,\sigma_{j,k_{j}^{max}})
\quad \forall j \in \{1,\ldots,m\} \;.
\end{equation}

Ein Nachteil der Stützstellenkodierung besteht allerdings darin,
dass während der evolutionären Optimierung, insbesondere bei der
Ausführung der Mutationen, sich die Stützstellen $\st_{j,k}$ einer
Dimension $j$ möglicherweise \glqq{}überholen\grqq{} und damit die
vorgesehenen Relationen nach Gleichung \ref{rel} verletzt werden.
In \cite{Bri98} wird zu Überwindung dieses Problems ein relativ
aufwändiger Ansatz zur Adaption der Strategieparameter
$\Vgr{\sigma}_{j}$ an die jeweils aktuelle Konfiguration der
Zielvariablen $\st_j$ vorgestellt und die deutliche Überlegenheit
dieser Stützstellenkodierung gegenüber der Abstandskodierung
bezüglich der Effizienz des Optimierungsprozesses nachgewiesen.

Da die Einhaltung der Stützstellenrelationen in diesem
Anwendungsfall rein rechentechnisch begründet und nicht
beispielsweise zur Aufrechterhaltung semantischer Beziehungen
damit verknüpfter Regeln erforderlich ist, wird im Rahmen dieser
Arbeit ein weniger aufwändiger und dennoch effizienterer
pragmatischer Ansatz eingeführt. Dieser besteht in der
dimensionsweisen aufsteigenden Sortierung der Komponenten einer
jeden Zielvariablen $\Vst_j$ zu $\bar{\Vst_j}$
\begin{equation}
\overline{\Ind}={sort}(\Ind )=(\bar{\Vst}_1, \bar{\Vst}_2, ...,
\bar{\Vst}_m, \bar{\Vgr{\sigma}}_{1}, \bar{\Vgr{\sigma}}_{2}, ...,
\bar{\Vgr{\sigma}}_{m_{\sigma}})\;,
\end{equation}

wobei die Zuordnung eines Strategieparameters $\bar{\sigma}_{j,k}$
zu $\bar{\st}_{j,k}$ analog der Zuordnung von $\sigma_{j,k}$ zu
$\st_{j,k}$ erhalten bleibt.

Um die Komplexität des evolutionären Optimierungsproblems nicht
künstlich zu erhöhen, wird diese Sortierung als Bestandteil der
Evolutionsstrategie derart implementiert, dass diese auf jedes neu
erzeugte Individuum unverzüglich, also im Genotypraum, ausgeführt
wird. Eine ausschließliche Anwendung der Sortierung im
Phänotypraum zur Fitnessauswertung würde die Repräsentation einer
bestimmten Stützstellenkonfiguration $\Ss_{_\SM}$ des betrachteten
Merkmalssatzes $\SM$ durch die immens hohe Anzahl von
\begin{equation}
\prod_{j=1}^{m}(k_{j}^{max} !)
\end{equation}
verschiedenen Repräsentationsformen ermöglichen und somit die
Effizienz des Optimierungsprozesses beeinträchtigen.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Zusätzliche Zielfunktionen}
\label{chap:C_ZusRelBewert}Zusätzlich wird für die Optimierung
einer Stützstellenkonfiguration $\Ss_{_\SM}$ ein weiterer Vorteil
Evolutionärer Algorithmen ausgenutzt, indem eine multikriterielle
Optimierung angestrebt wird. Damit ist es möglich, mehrere ---
auch tendenziell gegenläufige --- Zielfunktionen gleichzeitig zu
berücksichtigen und die zugehörige Paretomenge zu ermitteln. Dies
wird hier dahingehend eingesetzt, dass neben der hauptsächlich
interessierenden Relevanz weitere Eigenschaften wie z.~B. die
Robustheit oder Generalisierungsfähigkeit einer
Stützstellenkonfiguration $\Ss_{_\SM}$ berücksichtigt wird. Dies
ist insbesondere bei der Verwendung des global operierenden
Selektionsprozesses (Abschnitt \ref{chap:C GlobSel}) von wichtiger
Bedeutung. Damit wird dem Anwender die Möglichkeit in die Hand
gegeben, unter einer Vielzahl möglicher Lösungen die für ihn
geeignetste Kompromisslösung aus der gefundenen Paretomenge
auszuwählen.

\subsubsection{Merkmalsanzahl}
Ein grundlegender eingangs motivierter Gütegesichtspunkt besteht
in der Selektion ausschließlich relevanter und nichtredundanter
Einflussgrößen. Daraus resultiert die Anforderung der Minimierung
der Dimensionalität des Merkmalsraumes $\SM$:
\begin{equation}\label{chap:C AnzMerk}
G_2=card(\SM)\;.
\end{equation}

\subsubsection{Zellenanzahl}
Im Sinne einer guten Generalisierungsfähigkeit ist es
erstrebenswert, eine Stützstellenkonfiguration $\Ss_{_\SM}$ zu
finden, die eine möglichst geringe Anzahl mit Datenpunkten
besetzter Hyperquader $ \SHyp_{_\SM}^{*}$ induziert. Die Anzahl
von unbesetzten Hyperquadern $ \SHyp_{_\SM}^{o}$ sollte ebenfalls
möglichst gering sein. Dies führt insgesamt zur Anforderung der
generellen Minimierung der Hyperquaderanzahl:
\begin{equation}\label{chap:C AnzZell}
G_3=card(\SHyp_{_\SM})\;.
\end{equation}

\subsubsection{Datendichte}
Ebenfalls im Sinne einer guten Generalisierungsfähigkeit sind
solche Stützstellenkonfigurationen $\Ss_{_\SM}$ zu bevorzugen, die
zu einer möglichst gleichmäßigen Verteilung aller Datenpunkte über
die $q^*$ besetzten Hyperquader $\Hyp_{_\SM}^*$ führen. Dies führt
zur Anforderung der Minimierung der Varianz der
Datenpunktverteilung:

\begin{equation}\label{chap:C DatDicht}
G_4=\frac{1} {q^*} \sum_{i=1}^{q^*}(\ND_i^2-\bar{\ND}^2)\;,
\end{equation}

wobei
\begin{equation}
\bar{\ND}=\frac {\ND} {card(\SHyp_{_\SM}^{*})}
\end{equation}

die mittlere Datendichte über alle Hyperquader $\SHyp_{_\SM}^{*}$
darstellt und $\ND_i$ die Anzahl von Datenpunkten innerhalb eines
Hyperquaders $\Hyp_{_\SM}^{* i}$ quantifiziert.

\section{Selektionsstrategien}

Für die dieser Arbeit zugrunde liegende Problemstellung der
Selektion relevanter und nichtredundanter Einflussgrößen kommen im
Wesentlichen zwei grundlegend verschiedene Ansätze in Betracht.
Diese unterscheiden sich einerseits in der jeweils damit
verbundenen Handhabbarkeit im Sinne der Dimensionalität des
Modellierungsproblems und andererseits bezüglich der Möglichkeit
zur Quantifizierung von Relevanzrelationen zwischen einzelnen
Einflussgrößen. Zusätzlich kann noch die Möglichkeit bzw.
Notwendigkeit einer erweiterten multikriteriellen Optimierung als
Unterscheidungsmerkmal herangezogen werden.

\subsection{Iterativer Selektionsprozess}

Zur Generierung eines Merkmalssatzes $\SM_q\subseteq \SX$ von $q$
möglichst relevanten und nichtredundanten Einflussgrößen $\X_i \in
\SX$ werden beim {\em Iterativen Selektionsprozess} gemäß einer
{\em Vorwärtsselektion} iterativ $q$ Selektionsstufen durchlaufen.
In der ersten Selektionsstufe $h=1$ wird dabei zunächst die
maximal erzielbare Relevanz $\eta_i$ einer jeden potenziellen
Einflussgröße $\X_i \in \SX$ durch eine evolutionäre Optimierung
EFS($\X_i$) der zugehörigen Stützstellenverteilung $\Ss_i$
ermittelt. Die Relevanzbewertung erfolgt dabei
anwendungsspezifisch anhand eines der eingeführten Maße
(\ref{RCE}), (\ref{ECE}), (\ref{MSE}) oder (\ref{MAE}). Auf
Grundlage der ermittelten Relevanzwerte wird die Einflussgröße mit
der höchsten Relevanz $\eta_1$ als erste Größe des Merkmalssatzes
$\SM_1$ übernommen.

Darauf aufbauend wird der Merkmalssatz iterativ um diejenige noch
nicht ausgewählte Einflussgröße erweitert, deren Hinzufügung zum
bereits selektierten Merkmalssatz die größte Relevanzsteigerung
erbringt. Hierzu wird nach einem abgeschlossenen Selektionsschritt
$h$ der dabei gebildete Merkmalssatz $\SM_h$ in Kombination mit
jeweils einer verbliebenen, noch nicht selektierten Einflussgröße
\mbox{$\X_i \notin \SM_h$} untersucht, indem die
Stützstellenverteilungen $\Ss_{h+1}$ der damit jeweils
betrachteten $h+1$ Einflussgrößen mit EFS$(\SM_h \cup \{ \X_i\})$
simultan gemäß des gewählten Relevanzmaßes optimiert werden.
Diejenige Einflussgröße $X_j$, die die größte Relevanzsteigerung
induzieren kann, wird für die Erweiterung des Merkmalssatzes
$\SM_{h}$ ausgewählt. Auf diese Weise wird der neue Merkmalssatz
$\SM_{h+1}$ mit optimierten Stützstellen für $\X_j$ sowie neu
optimierten Stützstellen aller Größen von $\SM_{h}$ gebildet.
Dieser sequentielle Erweiterungsprozess wird beendet, wenn keine
oder keine \glqq signifikante\grqq{} Relevanzsteigerung $
\Delta\eta_{h+1}$ durch Hinzufügung einer weiteren potenziellen
Einflussgröße erzielt werden kann. Folglich beinhaltet der
letztendlich selektierte Satz $\SM_{q}$ keine überflüssigen ---
und somit redundanten oder gar irrelevanten --- Einflussgrößen.
Bei der Festlegung, was als \glqq signifikant\grqq{} anzusehen
ist, ist durch die Wahl einer Signifikanzschwelle
$\varepsilon_{\eta}$ ein meist anwendungsspezifischer Kompromiss
zwischen den gegenläufigen Zielen \glqq hohe Relevanz\grqq{} und
\glqq möglichst wenig Einflussgrößen\grqq{} zu schließen. Der
nachfolgende Algorithmus~\ref{algo_Selek} beschreibt detailliert
die genaue Funktionsweise dieser iterativen Selektionsstrategie.

\begin{algorithm} \caption{Iterative Selektion des Merkmalssatzes
$\SM_q$} \label{algo_Selek}
\begin{algorithmic}[1]
{\small
\REQUIRE Menge $\SX$ aller $\NV$ gegebenen Einflussgrößen $\X_i$, Schwellwert $\varepsilon_{\eta}$\\
\ENSURE Merkmalssatz $\SM_q$

\STATE$\SM_0\leftarrow \emptyset$,\quad $\eta_{0}=0$,\quad
$\Delta\eta_{0}=\varepsilon_{\eta}$,\quad $h=0$

\WHILE{$ \Delta\eta_{h} \nless \varepsilon_{\eta} \wedge
h\leq\NV$}

\STATE $h \leftarrow h+1$

\FORALL{$\X_i \notin \SM_{h-1}$}

\STATE $\tilde{\SM_i} \leftarrow \SM_{h-1} \cup \{\X_i\}$

\STATE $\eta_i = \tif{EFS}(\tilde{\SM})$

\ENDFOR

\STATE $t = \{ i \, | \, \eta_i = \max\{\eta_i\}, \, \forall i\}$

\STATE $\eta_h = \eta_t$

\STATE $\Delta\eta_{h}= \eta_h - \eta_{h-1}$

\IF{$\Delta\eta_{h} \geq \varepsilon_{\eta}$}

\STATE ${\SM_h} \leftarrow \SM_{h-1} \cup \{\X_t\}$

\ENDIF

\ENDWHILE }

\STATE $q=h$

\STATE $\SM_q \leftarrow \SM_{h}$



\end{algorithmic}
\end{algorithm}




\subsection{Global operierender Selektionsprozess} \label{chap:C GlobSel}

Der oben beschriebene iterative Selektionsprozess eröffnet dem
Anwender aufgrund der erzielten Reihenfolge der Erweiterung des
Merkmalssatzes $\SM_{q}$ in Verbindung mit den jeweils erzielten
Relevanzsteigerungen $ \Delta\eta_{j}$ eine entsprechende
Relevanzrelation zwischen den selektierten Merkmalen $\X_j \in
\SM_{q}$. Aufgrund der COD--Problematik ist die Anwendung des
iterativen Greedy--Algorithmus bei großen  Datenmengen $\SD$ und
einer hohen Anzahl $n$  potenziell relevanter Einflussgrößen
$\X_{i} \in \SX$ nicht mehr praktikabel. Unter Verzicht auf das
Ergebnis einer Relevanzrelation zwischen selektierten
Einflussgrößen kann für solche Anwendungsfälle eine Verbindung von
Merkmalsselektion und Suchraumpartitionierung innerhalb einer
einzigen --- dafür entsprechend aufwändigeren --- evolutionären
Optimierung als global operierender Selektionsprozess wie folgt
implementiert werden:

Die Granularisierung einer Einflussgröße $\X_{i}$ wird nicht mehr
absolut über einen Partitionierungsvektor $\Vst_{i}$ definiert.
Stattdessen wird über einen Parameter \mbox{$k_i \in
\{0,1,2,\ldots\}$} die \emph{Anzahl} und über einen zweiten
Parameter \mbox{$p \in [ -2, 2]$} die \emph{Lage} der Stützstellen
zur Partitionierung der Einflussgröße $\X_{i}$ kodiert.

Eine Einflussgröße  $\X_{i}$ ist während der evolutionären
Optimierung zur Relevanzbewertung genau dann selektiert, wenn
\begin{equation}
k_i \neq 0 \quad \wedge \quad p_i \neq 0\;
\end{equation}
gilt. Zur Ermittlung des Partitionierungsvektors
\mbox{$\Vst_{i}^T=(\st_{\it i,1},\st_{\it i,2},\ldots,\st_{i,k})$}
wird zunächst ein Vektor \mbf{a} mit einer {\"a}quidistanten
Verteilung der St{\"u}tzstellen in einem Bereich von $[0 , 1]$ für
$p < 0$ bzw von $[-1 , 1]$ für $p > 0$ ermittelt:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
 \mbf{a} = \begin{cases}
-1 +\frac{2}{k-1},-1+\frac{4}{k-1}, \ldots, 1 -\frac{4}{k-1},
1-\frac{2}{k-1} &\text{f{\"u}r $p > 0$}\\
\frac{1}{k-1},\frac{2}{k-1},\ldots,1-\frac{2}{k-1},
1-\frac{1}{k-1} &\text{f{\"u}r $p < 0$}
\end{cases} \end{array}\;.
\end{equation}

Anschließend wird  in Anlehnung an \cite{CHMV01} die Lage der
Stützstellen über eine nichtlineare Skalierungsfunktion verändert
und gegebenenfalls in den Wertebereich $[0,1]$ transformiert:
\begin{equation}
f(\mathbf{a}) = \begin{cases} \text{sign(a)}
\cdot|\mbf{a}|^{|{p}|} &\text{f{\"u}r $p > 0$}\\
1-(1-|\mbf{a}|)^{\frac{1}{|{p}|}} &\text{f{\"u}r $p  < 0$}
\end{cases}\;.
\end{equation}

Abbildung \ref{fig:Stuetz_global} illustriert am Beispiel von
sechs Stützstellen, inwieweit sich in Abhängigkeit des Parameters
$p$ die Lage der St{\"u}tzstellen zur Mitte, zu beiden R{\"a}ndern
oder zum linken bzw. rechten Rand des normierten Merkmalsraums hin
verdichten.

\begin{figure}[ht] \centering
\ingraph{17}{-0.1}{../Bilder/efs/stuetzvar}
\caption{\label{fig:Stuetz_global} Exemplarische Darstellung
möglicher Stützstellenkonfigurationen in Abhängigkeit von $p$.}
\end{figure}

Das derart formulierte Optimierungsproblem ist im Verhältnis zum
iterativen Selektionsprozess deutlich komplexer. Von daher werden
neben dem eigentlichen anwendungsabhängig gewählten Relevanzmaß
aus Abschnitt \ref{chap:C_RelBewert} auch alle zusätzlichen
Bewertungskriterien aus Abschnitt \ref{chap:C_ZusRelBewert}
multikriteriell optimiert.


\section{Generierung effizienter Fuzzy--Zugehörigkeitsfunktionen}
\label{chap:GMF}
% chapter D

Für die selektierten Einflussgrößen $X_i$ aus $\SM_q$ werden
automatisch adäquate trapezförmige Fuzzy--Zugehörigkeitsfunktionen
auf Grundlage der evolutionär optimierten Stützstellenverteilungen
$\mc{S}_i$  in Form eines Fuzzy--In\-for\-mations\-systems
 generiert (Abschnitt \ref{subsec:setein}). Die
Generierung der Zugehörigkeitsfunktionen für die Ausgangsvariable
$Y$ erfolgt für Approximationsprobleme, basierend auf einer
Auswertung der Verteilungen der Ausgangsgrößenwerte $y_s$,
innerhalb der mit Datenpunkten besetzten Hyperquader
$\Hyp_{\delta}$ (Abschnitt \ref{subsec:setaus}). Für
Klassifikationsprobleme ist diese Auswertung nicht erforderlich.
In diesem Fall wird für jede in den Daten vorhandene Klasse ein
Singleton definiert.

\subsection{Eingangsseitige Zugehörigkeitsfunktionen}
\label{subsec:setein} Die Definition der
Fuzzy--Zugehörigkeitsfunktionen $\mu_{i,j}(X_i)$  für jede der
selektierten Einflussgrößen $X_i$ erfolgt durch Spezifizierung von
vier Parametern $a_{i,j}$, $b_{i,j}$, $c_{i,j}$ und $d_{i,j}$,
basierend auf der ermittelten Stützstellenverteilung $\mc{S}_i$.
Zwei benachbarte Stützstellen $s_{i,j}$ und $s_{\it i,j+1}$ bilden
dabei jeweils die linke und rechte Grenze eines Intervalls $j$,
$1\leq j\leq k-1$, worin mittig der Kern der trapezförmigen
Zugehörigkeitssfunktion $\mu_{i,j}(x_i)$ definiert wird (Abbildung
\ref{mue1}). Zur Bestimmung der steigenden und fallenden Flanken
wird der Grad der Zugehörigkeit für zwei benachbarte überlappende
Zugehörigkeitsfunktionen in der Stützstelle $s_{i,j}$ auf jeweils
$\mu_{i,j}(s_{i,j}) := \mu_{i,j-1}(s_{i,j}) := 0.5$ gesetzt.

\begin{figure}[ht]
 \centering
\ingraph{9}{0}{../Bilder/gmf/MueEinzel}
%\begin{center}
%{ \epsfig{file=pictures/MueEinzel.eps}
\caption{\textsl{Trapezförmige Zugehörigkeitsfunktion
$\mu_{i,j}(x_i)$ mit den zu bestimmenden Parametern $a_{i,j}$,
$b_{i,j}$, $c_{i,j}$ und $d_{i,j}$ im Intervall $j$, das durch die
Stützstellen $s_{i,j}$ und $s_{i,\it j+1}$ spezifiziert wird.}}
        \label{mue1}
%}
%\end{center}
\end{figure}

%\pagebreak

Die Berechnung der vier Parameter erfolgt gemäß
\begin{eqnarray}
    a_{i,j} & = & s_{i,j} - \gamma\\
    b_{i,j} & = & s_{i,j} + \gamma\\
    c_{i,j} & = & s_{\it i,j+1} - \gamma\\
    d_{i,j} & = & s_{\it i,j+1} + \gamma
\end{eqnarray}

mit
\begin{eqnarray}
\gamma & = & \left(1 - \alpha \right) \cdot \frac{ab_{i,min}}{2}
\;.
\end{eqnarray}

Dabei ist $ab_{i,min}$ die Spannweite des kleinsten Intervalls der
Einflussgröße $X_{i}$ %und $ab_{i,j}$ die Spannweite des Intervalls
%$j$ mit den Grenzen $s_{i,j}$ und $s_{i,\it j+1}$
(Abbildung \ref{mue2}). Mit dem Faktor $\alpha$, $0\leq \alpha\leq
1$ ist die Steilheit der Flanken skalierbar. Für $\alpha = 1$
erhält man überlappungsfreie Rechtecke. Mit abnehmenden Werten für
$\alpha$ wird die Steilheit der Flanken zunehmend erniedrigt, so
dass der Kern der Zugehörigkeitsfunktion innerhalb des Intervalls
vermindert und gleichzeitig der Support erweitert wird.
Letztendlich liefert $\alpha = 0$ im kleinsten Teilintervall eine
dreieckförmige Zugehörigkeitsfunktion.

Ferner werden an den linken bzw. rechten Randintervallen des
Wertebereichs von $X_i$ die Parameter $a_{\it i,1} = b_{\it i,1}$
bzw. $c_{\it i,k-1} = d_{\it i,k-1}$ so gewählt, dass die
Zugehöhrigkeitsfunktionen jeweils um die halbe Intervallbreite
rechteckförmig nach außen gezogen werden.

\begin{figure}[H]
 \centering
\ingraph{9}{0}{../Bilder/gmf/MueAlle}
%\begin{center}
%{
%        \epsfig{file=pictures/MueAlle.eps}
        \caption{\textsl{Beispiel einer Standard-Fuzzy-Partition
            mit 5 St"utzstellen.}}
        \label{mue2}
%}
%\end{center}
\end{figure}

\subsection{Ausgangsseitige Zugehörigkeitsfunktionen}
\label{subsec:setaus}

Wie bereits in Abschnitt \ref{subsec:opt} ausgeführt, induziert
die ermittelte optimierte Granularisierung für die $q$
Einflussgrößen aus $\mc{R}_{q}$ eine Zerlegung des Eingangsraumes
in $(k-1)^q$ Hyperquader. Die Definition der ausgangsseitigen
Zugehörigkeitsfunktion $\mu(y)$ erfolgt für Approximationsprobleme
auf Grundlage der Verteilungen der Ausgangsgrößenwerte von
$\mc{Y}_\delta$, die jeweils in einem mit Datenpunkten besetzten
Hyperquader $H_{\delta}$ eingeschlossen sind. Für jeden
Hyperquader $H_{\delta}$ --- und damit für jede Teilmenge
$\mc{Y}_\delta$ --- wird eine schiefe, d.h. nicht notwendigerweise
zum Medianwert symmetrische Partialverteilungsfunktion
$\tilde{f}_{\delta}(y)$ zur Approximation der Verteilung der darin
enthaltenen Ausgangsgrößenwerte bestimmt
(Abbildung~\ref{pic:gauss}).

Die maximale Amplitude der Partialverteilungsfunktion
$\tilde{f}_{\delta}(y)$ wird an der Stelle des Medians
$y_{\delta,med}$ durch den partiellen
Gewichtungsfaktor %$\omega_\delta$
\begin{equation} \label{Gewicht} \omega_{\delta} =  c_{\delta}
\cdot \left(1-\frac{y_{\delta,sp}}{y_{sp}}\right)
\end{equation}
bestimmt. Hierdurch wird jedem Hyperquader $H_{\delta}$ bei der
Generierung der ausgangsseitigen Zugehörigkeitsfunktionen ein
Gewicht $\omega_\delta$ proportional zur Anzahl $c_\delta$ der in
$H_{\delta}$ eingeschlossenen Datenpunkte zugewiesen. Mit der
gleichen Zielsetzung wird die partielle Spannweite $y_{\delta,sp}$
des Wertebereichs der $c_\delta$ enthaltenen Datenpunkte
berücksichtigt
\begin{eqnarray}
\label{y:spann} y_{\delta,sp}& = & \ y_{\delta,max} -
y_{\delta,min}\;,
\end{eqnarray}

wobei $y_{\delta,max}$ und $y_{\delta,min}$ den maximalen  bzw.
minimalen Ausgangsgrößenwert $y_s$ der Datenpunkte in $H_\delta$
bezeichnen. Hiermit werden solche Hyperquader, für die der
Wertebereich der Ausgangsgrößenwerte der darin eingeschlossenen
Datenpunkte klein ist, ebenfalls höher gewichtet. Dazu wird die
partielle Spannweite $y_{\delta,sp}$ ins Verhältnis zum gesamten
Wertebereich $y_{sp} = y_{s,max} - y_{s,min}$ aller $m$
Ausgangsgrößenwerte $y_s$ aus $\mc{Y}$ gesetzt (\ref{Gewicht}).

\begin{figure}[h]
\centering \ingraph{9}{0}{../Bilder/gmf/gaussN}
%\begin{center}
%\epsfig{file=pictures/gaussN.eps}
\caption{\textsl{Schiefe Partialverteilungsfunktion
$\tilde{f}_{\delta}(y)$} zur Approximation der Verteilung der
Ausgangsgrößenwerte der Datenpunkte innerhalb eines Hyperquaders.}
\label{pic:gauss}
%\end{center}
\end{figure}



Ausgehend von den Beziehungen (\ref{Gewicht}) und (\ref{y:spann})
wird die schiefe Partialverteilungsfunktion
$\tilde{f}_{\delta}(y)$ durch
\begin{equation}
  \label{verteilung}
  \tilde{f}_{\delta}(y) =
  \begin{cases}
    \omega_{\delta} \cdot \exp(-\frac{(y-y_{\delta,med})^{2}}
    {2 \cdot \sigma_{\it \delta,1}^{2}}) & \text{für $y \leq y_{\delta,med}$}\\
    \omega_{\delta} \cdot \exp(-\frac{(y-y_{\delta,med})^{2}}
    {2 \cdot \sigma_{\it \delta,2}^{2}}) & \text{für $y > y_{\delta,med}$}\\
  \end{cases}
\end{equation}

definiert. Darin werden die beiden Parameter $\sigma_{\it
\delta,1}$ und $\sigma_{\it \delta,2}$ so gewählt, dass die
Funktionswerte $\tilde{f}_{\delta}(y_{\delta,min})$ und
$\tilde{f}_{\delta}(y_{\delta,max})$ an den Wertebereichsgrenzen
5\% des Maximalwertes $\omega_{\delta}$ erreichen:
\begin{eqnarray}
\sigma_{\it \delta,1}& = & (\sqrt{2}\cdot \sqrt{-\ln 0.05})^{-1}
    \cdot (y_{\delta,med}-y_{\delta,min}) \label{y:s1}\\
    \sigma_{\it \delta,2}& = & (\sqrt{2}\cdot \sqrt{-\ln 0.05})^{-1}
    \cdot (y_{\delta,max}-y_{\delta,med}) \label{y:s2}\;.
\end{eqnarray}

Für den Fall, dass alle Ausgangsgrößenwerte von $\mc{Y}_\delta$
innerhalb eines Hyperquaders $H_\delta$ den gleichen Wert
aufweisen ($y_{\delta,sp} = 0$), wird für diesen Hyperquader
$H_\delta$ ein mit der Anzahl $c_{\delta}$ der darin
eingeschlossenen Punkte gewichteter Singleton definiert:
\begin{equation} \label{Singleton}
\tilde{f}_{\delta}(y) =  c_{\delta}\;.
\end{equation}

Durch additive Überlagerung aller zu den $m$ Ausgangsgrößenwerten
$y_s$ aus $\mc{Y}$ gehörigen Partialverteilungsfunktionen
$\tilde{f}_{\delta}(y)$ entsteht die Gesamtverteilungsfunktion
\begin{equation}
F(y) = \sum_{\delta} \tilde{f}_{\delta}(y) \;.
\end{equation}

Hierauf aufsetzend, werden dreieckförmige Zugehörigkeitsfunktionen
wie folgt generiert: Zunächst werden alle Punkte $e_{i}$
ermittelt, in denen die Funktion $F(y)$ relative Maxima aufweist.
Diese werden in einer Menge $\mc{E}=\{e_{\it 1},\ldots,e_{j}\}$
zusammengefasst. Unter Verwendung zweier Reduktionsalgorithmen
wird diese Menge $\mc{E}$ wie folgt reduziert. Zunächst wird von
zwei dicht benachbarten Punkten $e_{i}$ und $e_{j}$, die bezogen
auf ihren Abstand $|e_{i} - e_{j}|$ eine hohe
Funktionswertedifferenz $|F(e_i) - F(e_j)|$ aufweisen, der Punkt
mit dem geringeren Funktionswert eliminiert. Dies leistet der
nachfolgende Algorithmus~\ref{algo1}.
\begin{algorithm}
\caption{Reduktion der Menge $\mc{E}$ durch Elimination
benachbarter Punkte auf Grundlage einer  gewichteten
Funktionswertedifferenz } \label{algo1}
\begin{algorithmic}[1]
{\small
\REQUIRE Menge $\mc{E}$ von Punkten $e_i$, Schwellwert $v_{\it 1}$\\
\ENSURE Reduzierte Menge $\mc{E}_{\it r1}$ von Punkten $e_i$
\STATE $\mc{U}\leftarrow \mc{E}$,\quad $\mc{E}_{\it r1}\leftarrow
\mc{E}$ \WHILE{$\mc{U} \not= \emptyset$} \STATE $u_{\it 0} =
\{u_{i}|\ F(u_i) = \max\{F(u_i)|\ \forall u_{i}\in\mc{U}\}\}$
\STATE $\mc{U}\leftarrow \mc{U}\setminus \{u_{\it 0}\}$
\FORALL{$u_{i}\in \mc{U}$} \STATE $b_{i,breite}=|u_i - u_{\it
0}|$,\quad $b_{i,h"ohe}=|F(u_i) - F(u_{\it 0})|$ \ENDFOR \STATE
$\beta = \max\{b_{i,h"ohe}|\ \forall u_{i}\in\mc{U}\}/
\max\{b_{i,breite}|\ \forall u_{i}\in\mc{U}\}$ \FORALL{$u_{i}\in
\mc{U}$} \IF{$\beta \cdot \frac{b_{i,breite}}{b_{i,h"ohe}} \leq
v_{\it 1}$} \STATE $\mc{U}\leftarrow \mc{U}\setminus
\{u_i\}$,\quad $\mc{E}_{\it r1}\leftarrow \mc{E}_{\it r1}\setminus
\{u_i\}$  \ENDIF \ENDFOR \ENDWHILE }
\end{algorithmic}
\end{algorithm}

Die resultierende Menge $\mc{E}_{r1}$ wird anschließend durch
Agglomeration weiter reduziert. Hierzu werden zwei dicht
benachbarte Punkte $e_{i}$ und $e_{j}$ zum Punkt $e_{\it 0} =
(e_i+ e_j)/2$ zusammengefasst. Zu diesem Zweck wird der
nachfolgende Algorithmus~\ref{algo2} verwendet.
\begin{algorithm}[h]
\caption{Reduktion der Menge $\mc{E}_{\it r1}$ durch Agglomeration
dicht benachbarter Punkte} \label{algo2}
\begin{algorithmic}[1]
{\small
\REQUIRE Menge $\mc{E}_{\it r1}$ von Punkten $e_i$, Schwellwert $v_{\it 2}$\\
\ENSURE Reduzierte Menge $\mc{E}_{\it r2}$ von Punkten $e_i$
\STATE $\mc{U}\leftarrow \mc{E}_{\it r1}$,\quad $\mc{E}_{\it
r2}\leftarrow \mc{E}_{\it r1}$ \WHILE{$\mc{U} \not= \emptyset$}
\STATE $u_{\it 0} = \min\{u_i|\ \forall u_{i}\in\mc{U}\}$\STATE
$\mc{U}\leftarrow \mc{U}\setminus \{u_{\it 0}\}$ \FORALL{$u_{i}\in
\mc{U}$} \STATE $b_{i,breite}=|u_i - u_{\it 0}|$
\IF{$\frac{b_{i,breite}}{y_{sp}} < v_{\it 2}$} \STATE
$\mc{U}\leftarrow \mc{U}\setminus \{u_i\}$,\quad $\mc{E}_{\it
r2}\leftarrow \mc{E}_{\it r2}\setminus \{u_i,\ u_{\it 0}\}$ \STATE
$e_{\it 0} = \frac{u_i + u_{\it 0}}{2}$ \STATE $\mc{E}_{\it
r2}\leftarrow \mc{E}_{\it r2} \cup \{e_{\it 0}\}$ \STATE
$\mc{U}\leftarrow \mc{U}\ \cup \{e_{\it 0}\}$ \ENDIF \ENDFOR
\ENDWHILE }
\end{algorithmic}
\end{algorithm}

Basierend darauf, wird die ausgangsseitige Zugehörigkeitsfunktion
$\mu(y)$ stückweise generiert, indem für jeden Punkt $e_i$ aus
$\mc{E}_{r2}$, $i = \{1, 2,\ldots,\varepsilon \}$ eine
Dreiecksfunktion $\mu_{i}(y)$ so festgelegt wird, dass die
Dreiecksspitze im Punkt $e_i$ und die dazugehörigen Fußpunkte in
den Nachbarpunkten $e_{\it i-1}$ und $e_{\it i+1}$ liegen
(Abbildung~\ref{ergebnis}).

Für die Randpunkte $e_{\it 1}$ und $e_\varepsilon$ werden die
nicht vorhandenen Nachbarpunkte $e_{\it 0}$ bzw. $e_{\it
\varepsilon+1}$ durch die Wertebereichsgrenzen ersetzt. Für den
Fall, dass einer der Punkte $e_{\it 1}$ oder $e_\varepsilon$ mit
einer Wertebereichsgrenze identisch ist, erfolgt die Definition
von $e_{\it 0}$ bzw. $e_{\it \varepsilon+1}$ durch Punktspiegelung
von $e_2$ an $e_{\it 1}$ bzw. von $e_{\it \varepsilon-1}$ an
$e_\varepsilon$.

Die beschriebene Generierung der ausgangsseitigen
Zugehörigkeitsfunktion wird für ein synthetisches Beispiel durch
Abbildung~\ref{ergebnis} verdeutlicht.
\begin{figure}[h]
 \centering
\ingraph{9}{0}{../Bilder/gmf/BspBildN}
%\begin{center}
%{\epsfig{file=pictures/BspBildN.eps}
\caption{\textsl{ Beispiel zur Generierung der ausgangsseitigen
Zugehörigkeitsfunktionen $\mu_i(y)$.}}
        \label{ergebnis}
%}
%\end{center}
\end{figure}

Hierzu wurden insgesamt $15$ mit Datenpunkten besetzte Hyperquader
$H_{\delta}$ generiert, von denen vier Hyperquader
unterschiedliche Ausgangsgrößenwerte $y_s$ einschließen. Die
dazugehörigen partiellen Wertebereichsspannen $y_{\delta,sp}$ sind
durch die vier horizontalen Linien dargestellt. Die von der
Gesamtverteilungsfunktion $F(y)$ (gepunktete Kurve) ermittelten
Extremwertstellen $e_i$ aus $\mc{E}$ sind mit ``$\bullet$''
gekennzeichnet.  Die nach der ersten Reduktion
(Algorithmus~\ref{algo1}) verbliebenen Extremwertstellen $e_i$ aus
$\mc{E}_{\it r1}$ sind mit ``$+$'' markiert. Die nach der zweiten
Reduktion (Algorithmus~\ref{algo2}) verbliebenen Extremwertstellen
$e_i$ aus $\mc{E}_{\it r2}$ sind mit ``$\circ$'' gekennzeichnet.
Diese bilden die Grundlage für die Generierung der sechs
dreieckförmigen Zugehörigkeitsfunktionen $\mu_{i}(y)$.




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% Ende von EFS.tex
