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% appendix.tex
% enthält den Anhang
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\chapter{Eigenschaften einer Fuzzy--Menge}
\label{chap:A_A} Die Zuordnung eines linguistischen Wertes zu
einer Fuzzy--Menge $\s$ gemäß Abschnitt \ref{sec:B_systeme} wird
über eine Zugehörigkeitsfunktion $\msf_\s(\x)$ definiert.

\begin{figure}[ht]
\centering \ingraph{7}{0.2}{../Bilder/appendix/FuzMenge}
\caption{\label{fig:A_A_fuzmenge} Kenngrößen einer normalisierten
Fuzzy--Menge.}
\end{figure}
Die wesentlichsten Kenngrößen einer Fuzzy--Menge sind in Abbildung
\ref{fig:A_A_fuzmenge} illus\-triert. Dabei wird der {\dfc
Support} $\s_{Supp}$ (auch {\dfc Träger} genannt) einer
Fuzzy--Menge definiert durch die Menge aller Werte $\x$ des
Grundbereichs $\mathcal{G}$, für die die Zugehörigkeit
$\msf_\s(\x)$ positive Werte annimmt:
\begin{equation}
\s_{Supp}=\{\x\in\mathcal{G}\:|\:\msf_\s(\x)>0\}\:.
\end{equation}

Der {\dfc Kern} $\s_K$ der Fuzzy--Menge beinhaltet die Menge aller
Werte $\x$ des Grundbereichs $\mathcal{G}$, deren Zugehörigkeit
$\msf_\s(\x)$ genau den Wert Eins annimmt:
\begin{equation}
\s_K=\{\x\in\mathcal{G}\:|\:\msf_\s(\x)=1\}\:.
\end{equation}

Stimmen {\dfc Support} und {\dfc Kern} überein, so ist $\s$ eine
aus der Booleschen Logik bekannte scharfe Menge, die durch eine
rechteckförmige Zugehörigkeitsfunktion charakterisiert wird.

Zusätzlich wird häufig der {\dfc Alpha--Schnitt} $\s_\alpha$ zur
Charakterisierung einer Fuzzy--Menge herangezogen. Dieser
beinhaltet die Menge aller Werte $\x$ des Grundbereichs
$\mathcal{G}$, deren Zugehörigkeit $\msf_\s(\x)$ Werte größer
$\alpha$ annehmen:
\begin{equation}
\s_\alpha=\{\x\in\mathcal{G}\:|\:\msf_\s(\x)>\alpha\}\:.
\end{equation}


Aus den Kenngrößen für Zugehörigkeitsfunktionen ergeben sich zwei
wichtige Eigenschaften für Fuzzy--Mengen:

\vspace{0.1cm}

\begin{description}
\item{\dfc Normalität:} Eine Fuzzy--Menge, deren Zugehörigkeitsfunktion
einen Maximalwert von Eins besitzt, wird {\dfc normal} genannt:
\begin{equation}
 \max_{\x\in\mathcal{G}}\{\msf_\s(\x)\}=1\:.
\end{equation}

\item{\dfc Konvexität:} Eine Fuzzy--Menge, bei der alle Alpha--Schnitte
$\s_\alpha\:\: \mbox{mit}\: 0\leq\alpha\leq1$ direkt
zusammenhängen, wird {\dfc konvex} genannt.  Somit muss für
beliebige $\x_1,\x_2,\x_3 \in \SX $ gelten:
\begin{equation}
\x_1\leq\x_2\leq\x_3\quad \Rightarrow\quad
\min\{\msf_\s(\x_1),\msf_\s(\x_3)\}\leq \msf_\s(\x_2) \:.
\end{equation}

Gilt anstelle von \glqq$\leq$\grqq{} die Relation \glqq$<$\grqq{},
so heißt die Fuzzy--Menge {\dfc streng konvex}.

\end{description}


\chapter[Statistische Tests]{Statistische Tests zur Regelbewertung im \FR--Verfahren}
\label{chap:A_B} Die Grundlage für die Regeltest- und
Bewertungsstrategien nach Definition \ref{def:JRI},
\ref{def:JRHR}, \ref{def:JNHR} und \ref{def:JCHR} sind die
gegebenenfalls durch Konfidenzintervalle abgeschätzten bedingten
und unbedingten Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten einer
Konklusion $\p(\conc|\prem)$ und $\p(\conc)$. Da die
Wahrscheinlichkeiten im Allgemeinen nicht exakt bestimmt werden
können, werden sie im Fuzzy--ROSA--Verfahren, basierend auf den
Lerndaten, wie folgt geschätzt \cite{Kro99}:

\begin{eqnarray}
\label{eq:ZB_schaetzer} \nonumber
\hat\p(\conc)&=&\frac{1}{\ND}\cdot\sum_{q=1}^{\ND}\msf_{\Y
j}(\y_q)\\
\hat\p(\conc|\prem)&=&\frac{1}{\NDS}\cdot\sum_{q=1}^{\ND}\msf_{\Y
j}(\y_q)\wedge\msf_\prem(\vek{\x}_q)\; .
\end{eqnarray}

Die Summation erfolgt über alle Datenpunkte
$\dt_q=(\vek{\x}_q,\y_q)$ mit $q=1,\dots,\ND$. Der Daten--Support
$\NDS$ ist wie folgt definiert:
\begin{equation}
\NDS:=\sum^{\ND}_{q=1}\msf_\prem(\vek{x}_q)\;.
\end{equation}
Zur statistischen Absicherung des Regeltests werden die Schätzer
für die Wahrscheinlichkeiten nach Gleichung
(\ref{eq:ZB_schaetzer}) durch die obere bzw. untere Grenze der
einseitigen Konfidenzintervalle $\I_L^\alpha=[0,\hat\p_L^\alpha]$
und $\I_U^\alpha=[\hat\p_U^\alpha,1]$ ersetzt \cite{HEK95}. Die
Konfidenzintervalle geben in Abhängigkeit der verwendeten
Datenbasis den Bereich an, in denen sich die geschätzte
Wahrscheinlichkeit $\hat\p$ mit einer vorgegebenen
Irrtumswahrscheinlichkeit, auch $\alpha$--Niveau genannt,
befindet. Darauf aufbauend werden die Bewertungsindizes der
Regeltest- und Bewertungsstrategien im \FR--Verfahren wie folgt
definiert:

\begin{definition}{(Relevanzindex $\JRI$)}
\label{def:JRI} Der Regeltest und die Bewertung mit dem
Relevanzindex $\JRI$ ist wie folgt definiert:
\begin{eqnarray}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\nonumber
\mbox{Test:}&&\;\hat\p_U^\alpha(\conc|\prem)>\hat\p_L^\alpha(\conc)\Rightarrow
\mbox{positive Regel}\\
\nonumber
&&\;\hat\p_L^\alpha(\conc|\prem)<\hat\p_U^\alpha(\conc)\Rightarrow\mbox{negative
Regel}\\
\nonumber\\
\nonumber \JRI &:=& \left\{ \begin{array} {l@{\quad}l@{\quad}l}
\frac{\hat\p_U^\alpha(\conc|\prem)-\hat\p_L^\alpha(\conc)}{1-\hat \p(\conc)}& \mbox{positive Regel}\\
\frac{\hat\p_U^\alpha(\conc)-\hat\p_L^\alpha(\conc|\prem)}{\hat\p(\conc)}&
\mbox{negative Regel}
\end{array}\right.\;.
\end{eqnarray}
\end{definition}

Getestet wird also, ob sich die bedingte Wahrscheinlichkeit für
das Auftreten der Konklusion signifikant von der unbedingten
Wahrscheinlichkeit unterscheidet.

\begin{definition}{(Relevante Trefferquote $\JRHR$)}
\label{def:JRHR}Der Regeltest und die Bewertung mit der relevanten
Trefferquote $\JRHR$ ist wie folgt definiert:
\begin{eqnarray}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\nonumber
\mbox{Test:}&&\;\hat\p_U^\alpha(\conc|\prem)>\hat\p_L^\alpha(\conc)\Rightarrow
\mbox{positive Regel}\\
\nonumber
&&\;\hat\p_L^\alpha(\conc|\prem)<\hat\p_U^\alpha(\conc)\Rightarrow\mbox{negative
Regel}\\
\nonumber\\
\nonumber \JRHR &:=& \left\{ \begin{array} {l@{\quad}l@{\quad}l}
\hat \p(\conc|\prem)& \mbox{positive Regel}\\
1-\hat \p(\conc|\prem)& \mbox{negative Regel}
\end{array} \right.\; .
\end{eqnarray}
\end{definition}

Im Gegensatz zum Relevanzindex wird nicht der normierte Abstand
der Konfidenzintervalle für die Bewertung verwendet, sondern die
Trefferquote auf den Lerndaten.

\begin{definition}{(Normierte Trefferquote $\JNHR$)}
\label{def:JNHR}Der Regeltest und die Bewertung mit der normierten
Trefferquote $\JNHR$ ist wie folgt definiert:
\begin{eqnarray}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\nonumber \mbox{Test:}&&\;\hat \p(\conc|\prem)
>\theta\Rightarrow
\mbox{positive Regel}\\
\nonumber &&\hat \p(\conc|\prem)<\theta'\Rightarrow\mbox{negative
Regel}\\
\nonumber\\
\nonumber \JNHR &:=& \left\{ \begin{array} {l@{\quad}l@{\quad}l}
\frac{\hat \p(\conc|\prem)-\theta}{1-\theta}& \mbox{positive Regel}\\
\frac{\theta'-\hat \p(\conc|\prem)}{\theta'}& \mbox{negative
Regel}
\end{array} \right.\; .
\end{eqnarray}
\end{definition}

Getestet wird also, ob die Trefferquote auf den Lerndaten größer
als eine bestimmte Schwelle $\theta$ ist. Dabei ist im
Fuzzy--ROSA--Verfahren die Schwelle für positive Regeln mit
$\theta=,.5$ so gewählt, dass eine Regel mehr \glqq
Richtiges\grqq{} als \glqq Falsches\grqq{} empfiehlt. Entsprechend
ist der Standardwert für die Schwelle auch bei negativen Regeln
durch $\theta'=0,5$ gegeben.

\begin{definition}{(Konfidente Trefferquote $\JCHR$)}
\label{def:JCHR}Der Regeltest und die Bewertung mit der
konfidenten Trefferquote $\JCHR$ ist wie folgt definiert:
\begin{eqnarray}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\nonumber
\mbox{Test:}&&\hat\p_U^\alpha(\conc|\prem)>\theta\Rightarrow
\mbox{positive Regel}\\
\nonumber
&&\hat\p_L^\alpha(\conc|\prem)<\theta'\Rightarrow\mbox{negative
Regel}\\
\nonumber\\
\nonumber \JCHR &:=& \left\{ \begin{array} {l@{\quad}l@{\quad}l}
\frac{\hat\p_U^\alpha(\conc|\prem) -\theta}{1-\theta}& \mbox{positive Regeln}\\
\frac{\theta'-\hat\p_L^\alpha(\conc|\prem)}{\theta'}&
\mbox{negative Regeln}
\end{array} \right.\; .
\end{eqnarray}
\end{definition}

Abweichend von der normierten Trefferquote wird hier die
Trefferquote auf den Lerndaten durch das Konfidenz\-intervall nach
unten abgeschätzt.

Im Gegensatz zu den bisher vorgestellten Bewertungsindizes wird
für den mittelwertbasierten Index getestet, ob sich der bedingte
Mittelwert der Ausgangsgröße $\bar \y_\prem$ in der durch die
Prämisse $\prem$ spezifizierten Eingangssituation signifikant von
dem unbedingten Mittelwert $\bar \y$ der Ausgangsgröße
unterscheidet. Im Fuzzy--Fall wird der Mittelwert $\bar\y_\prem$
und die Standardabweichung $\sd_\prem$ der bedingten Verteilung
wie folgt geschätzt \cite{JS98a}:
\begin{eqnarray}
\nonumber
\bar\y_\prem&=&\frac{1}{\NDS}\cdot\sum_{q=1}^\ND\y_q\cdot\msf_\prem(\vek{\x}_q)\quad \mbox{und}\\
\sd_\prem&=&\sqrt{\frac{\sum_{q=1}^\ND(\y_q-\bar\y_\prem)^2\cdot\msf_\prem(\vek{x}_k)}{\NDS-1}}\;.
\end{eqnarray}

\begin{definition}{(Mittelwertbasierter Index $\JMVB$)}
Der Regeltest und die Bewertung mit dem mittelwertbasierten Index
$\JMVB$ ist für positive Regeln wie folgt definiert:
\label{def:JMVB}
\begin{equation}
\nonumber \left| \frac{\bar
\y_\prem-\bar\y}{\sd_\prem/\sqrt{\NDS}}\right|>t(\NDS,\alpha)\Rightarrow\JMVB
:=  e^{\sd_\prem/\sd} \; .
\end{equation}
\end{definition}

Der kritische Wert $t(\NDS,\alpha)$ für die Zurückweisung einer
Hypothese kann durch Approximation berechnet oder Tabellen
entnommen werden \cite{HEK95}.  Der linguistische Wert für die
Konklusion der Regel wird so festgelegt, dass der Erfülltheitsgrad
für den bedingten Mittelwert $\y_\prem$ maximal wird: $\msf_{\Y
j}(\bar{\y}_\prem)=\{\max{\msf_{\Y,j}(\bar{\y}_\prem):1\leq j \leq
\Nls_\Y }\}$.


\chapter[Least--Squares--Algorithmus]{Least--Squares--Algorithmus für allgemeine Funktionsansätze}
\label{chap:A_C} Die $m+1$ Parameter $a_j$ einer Funktion
\begin{equation}
\label{eq:ZC_fapprox} f(\Vektor{\x})=a_0+\sum^m_{j=1}a_j\cdot
g_j(\Vektor{\x})
\end{equation}
mit $m$ konstanten Elementarfunktionen $g_j(\Vektor{\x})$ sollen
so identifiziert werden, dass die Datenmenge
\begin{equation}
\SD=\{d_1,\ldots ,d_\ND\} \quad \mbox{mit} \quad
d_i=(\Vektor{\x}_i \quad \y_i)^T
\end{equation}
durch die Funktion (\ref{eq:ZC_fapprox}) im Sinne einer
Minimierung des quadratischen Fehlers approximiert wird. Mit
$\Vektor{g}(\Vektor{\x})=(1\quad g_1(\Vektor{\x})\ldots
g_m(\Vektor{\x}))^T$ und $\Vektor{a}=(a_0\ldots a_m)^T$ ergibt
sich, dass eine Gütefunktion
\begin{equation}
J(\Vektor{a})=\sum^\ND_{i=1}(\Vektor{g}^T(\Vektor{\x}_i)\;\Vektor{a}-\y_i)^2
\end{equation}
minimiert werden muss. Zur Bestimmung des globalen Minimums muss
das folgende Gleichungssystem gelöst werden:
\begin{eqnarray}
\nonumber
\mbox{grad}\:J(\Vektor{a})&=&\Matrix{0}\\
\nonumber
\Leftrightarrow\mbox{grad}\left[\sum^\ND_{i=1}(\Vektor{g}^T(\Vektor{\x}_i)\;\Vektor{a}-\y_i)^2\right]&=&\Matrix{0}\\
\nonumber
\Leftrightarrow\sum^\ND_{i=1}2(\Vektor{g}^T(\Vektor{\x}_i)\;\Vektor{a}-\y_i)\cdot \Vektor{g}(\Vektor{\x}_i)&=&\Matrix{0}\\
\Leftrightarrow\sum^\ND_{i=1}\Vektor{g}(\Vektor{\x}_i)\Vektor{g}^T(\Vektor{\x}_i)\;\Vektor{a}&=&\sum^\ND_{i=1}\y_i\cdot\Vektor{g}(\Vektor{\x}_i)\quad.
\end{eqnarray}
Dies lässt sich mit
\begin{equation}
\Matrix{G}=\sum^\ND_{i=1}\Vektor{g}(\Vektor{\x}_i)\Vektor{g}^T(\Vektor{\x}_i)\quad
\mbox{und}\quad
\Vektor{b}=\sum^\ND_{i=1}\y_i\cdot\Vektor{g}(\Vektor{\x}_i)
\end{equation}
schreiben als
\begin{equation}
\label{eq:ZC_lgs}\Matrix{G}\cdot\Vektor{a}=\Vektor{b}\quad.
\end{equation}
Unter der Voraussetzung, dass $m+1$ linear unabhängige Datenpunkte
gegeben sind, lässt sich das Gleichungssystem (\ref{eq:ZC_lgs})
lösen. Die Funktion, die sich aus der Lösung des Gleichungssystems
ergibt, approximiert die Punkte im Sinne der Minimierung der
Fehlerquadrate. Eine mögliche Umsetzung des Verfahrens für die
Anwendung auf einem Computer findet sich in \cite{PTV99}.









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% Ende von appendix.tex
