%----------------------------------------------------------------
%
% filter.tex
% Advanced Inferenzfilter
%
%----------------------------------------------------------------
%
\chapter{Komplexe Anwendungen}
\label{chap:F_Apps}
% chapter F
Im Folgenden wird zunächst ein Überblick über die Verbesserungen,
die im Vorfeld mit dem  Benchmarkproblemen erhalten worden sind,
gegeben. Anschließend wird auf die Leistungssteigerungen bei
industriellen Anwendungen eingegangen, die im Rahmen dieser Arbeit
durchgeführt worden sind. Die wesentliche Zielsetzung besteht
dabei darin, die Leistungssteigerungen aufgrund der
neuentwickelten Strategieelemente  hinsichtlich der
Komplexitätsreduktion und Steigerung der Interpretierbarkeit sowie
der erreichbaren Modellierungsgüte aufzuzeigen.



\section{Benchmarkprobleme}
\label{sec:F_bench}

Die im Rahmen der Arbeit von \Slawinski{} erstellte systematische
Vorgehensweise  bei der Modellierung mit dem \FR--Verfahren ist
auf verschiedenen Benchmarkproblemen getestet worden.  Die damit
erzielten Ergebnisse $\mbox{FRM}_{sys}$ sind dabei in Relation zu
dem jemals besten mit dem \FR--Verfahren erzielten Ergebnis
$\mbox{FRM}_{best}$ gestellt worden. Durch den vorgelagerten
Einsatz der im Rahmen dieser Arbeit konzipierten evolutionären
Merkmalsselektion sind teilweise deutlich verbesserte Ergebnisse
$\mbox{FRM}_{EFS}$ erzielt worden, die im Folgenden entsprechend
der aus der Literatur Bekannten eingeordnet werden.

\subsection{Klassifikation von Schwertlilien (IRIS)}
Dieses Klassifikationsproblem betrifft den als Benchmarkproblem in
der Literatur häufig verwendeten IRIS--Datensatz
\cite{And35,PPB97}. Die Aufgabe besteht darin, auf Grundlage von
vier Einflussgrößen (\textit{Kelchblattlänge},
\textit{Kelchblattbreite}, \textit{Blütenblattlänge} und
\textit{Blütenblattbreite}) die zugehörige Schwertlilienart
(\textit{Setosa}, \textit{Versicolor} oder \textit{Virginica}) zu
bestimmen.

Die vorhandenen 150 Datenpunkte  wurden zufällig in zwei
Datensätze gleicher Größe für eine Kreuzvalidierung geteilt. Mit
einer gewählten Anzahl von $k=5$ Stützstellen wurde für jede der
vier Einflussgrößen eine Einteilung in vier Intervalle vorgegeben.
Der iterative Selektionsprozess terminierte mit $\eta_{\it 3}=0$
und lieferte als relevanten Satz $\SM_{\it
3}=\{$\textit{Blütenblattlänge}, \textit{Blütenblattbreite},
\textit{Kelchblattbreite}$\}$.

Nach einer automatischen Generierung der
Fuzzy--Zugehörigkeitsfunktionen konnte mit dem
Fuzzy--ROSA--Verfahren ein Klassifikator mit einer Regelbasis von
neun Regeln generiert werden, der sowohl auf Lerndaten als auch
auf Validierungsdaten in jedem Fall korrekt klassifiziert (
$\Evali=\tif{RCE}=0$). Der erzielte relative Klassifikationsfehler
auf Validierungsdaten $\Evali$ wird in Abbildung \ref{fig:IRIS}
mit den Ansätzen aus \cite{Hol98a} verglichen. Zum Vergleich sei
angemerkt, dass die besten bisher bekannten publizierten
Ergebnisse\footnote{UCI Repository of Machine Learning
Databases:\\ \textit{
http://www.ics.uci.edu/}$\sim$\textit{mlearn/MLRepository.html}}
alle vier Einflussgrößen verwenden und dennoch auf
Validierungsdaten relative Klassifikationsfehler im Bereich von
$\tif{RCE}>0,02$ aufweisen. Mit einer Regelanzahl von $\NR=9$ ist
zudem die Interpretierbarkeit des mit $\mbox{FRM}_{EFS}$
erhaltenen Fuzzy--Modells in einem sehr hohen Maße gewährleistet.
\begin{figure}[htbp]
\centering \ingraph{8}{0.5}{../bilder/apps/iris}
%\ingraph{8}{0.85}{../figures/compbench/iris}
\caption{\label{fig:IRIS} Relativer Klassifikationsfehler $\Evali$
auf Validierungsdaten in Prozent  für IRIS bei folgenden Ansätzen:
$\diamond\; \mbox{FRM}_{EFS}$,$\triangledown\; \mbox{FRM}_{sys}$,
$\circ\; \mbox{FRM}_{best}$ und $\times$ Literatur.}
\end{figure}

\subsection{Bestimmung der Herkunft von Weinen (WINE)}
Der WINE--Datensatz \cite{CS94} betrifft die chemische Analyse von
Weinen, die aus der gleichen Region Italiens stammen, aber von
unterschiedlichen Weinbauern angebaut wurden. Das Ergebnis der
chemischen Analysen ist jeweils die gefundene Menge von $13$
Inhaltsstoffen, anhand derer die Herkunft der Weine klassifiziert
werden soll.

Der verfügbare Datensatz von 178 Datenpunkten wurde zufällig in
zwei Datensätze von je 89 Datenpunkten für eine Kreuzvalidierung
geteilt. Mit einer vorgegebenen Anzahl von $k=6$ Stützstellen für
jede Einflussgröße terminierte der iterative Selektionsprozess mit
$\eta_{\it 3}=0$ und lieferte $\mc{R}_{\it
3}=\{$\textit{flavonoids}, \textit{color intensity}, \textit{malic
acid}$\}$ als relevanten Satz von Einflussgrößen.

Darauf aufsetzend, wurden unter Verwendung automatisch generierter
Fuzzy--Zu\-ge\-hö\-rig\-keits\-funk\-tionen mit dem
Fuzzy--ROSA--Verfahren für beide Datensätze Klassifikatoren mit 42
bzw. 25 Regeln generiert. Die resultierenden Klassifikationsfehler
beider Klassifikatoren ergeben sich auf Lerndaten im Mittel zu
$\tif{RCE}=0,006$ sowie zu $\Evali=\tif{RCE}=0,026$ auf
Validierungsdaten. Der relative Klassifikationsfehler auf
Validierungsdaten $\Evali$ wird in Abbildung \ref{fig:WINE} mit
den Ansätzen aus \cite{Hol98a} verglichen.
\begin{figure}[htbp]
\centering %\ingraph{8}{0.85}{../figures/compbench/wine}
\ingraph{8}{0.5}{../bilder/apps/wine} \caption{\label{fig:WINE}
Relativer Klassifikationsfehler $\Evali$ auf Validierungsdaten in
Prozent  für WINE bei folgenden Ansätzen: $\diamond\;
\mbox{FRM}_{EFS}$,$\triangledown\; \mbox{FRM}_{sys}$, $\circ\;
\mbox{FRM}_{best}$ und $\times$ Literatur.}
\end{figure}

Bemerkenswert ist hier, dass die Reduktion von $13$ potenziell
relevanten Einflussgrößen auf nur drei relevante nichtredundante
Einflussgrößen zu einer erheblichen Reduzierung des Regelsuchraums
führt. Des Weiteren führen die hier generierten Fuzzy--Systeme zu
Klassifikationsfehlern, die deutlich besser sind als alle bisher
mit dem Fuzzy--ROSA--Verfahren erzielten Ergebnisse. Im Vergleich
zu publizierten, mit anderen Ansätzen$^1$ erzielten Ergebnissen
wird hier das zweitbeste Ergebnis auf Validierungsdaten erzielt.

\subsection{Klassifikation von Intron--Exon--Übergängen (DNA)}

Bei diesem Benchmarkproblem\footnote{ UCI Repository of Machine
Learning Databases:\\
\textit{ftp.ics.uci.edu/pub/}$\sim$\textit{/molecular-biology/splice-junction-gene-sequences/}}
geht es um die Klassifikation von Intron--Exon--Verbindungen in
Nu\-kle\-otid\-sequen\-zen \cite{Pre94}. Aus einem Fenster von 60
DNA--Nu\-kleotid\-sequenz\-ele\-menten soll entschieden werden, ob
sich in der Mitte ein Intron--Exon--Übergang (Donator), ein
Exon--Intron--Übergang (Akzeptor) oder keines von beiden befindet.
Dieses Klassifikationsproblem wurde zum Testen des iterativen
Selektionprozesses ausgewählt, da die als Einflussgrößen
vorhandenen 60 Nukleotidsequenzelemente jeweils nur einen von vier
symbolischen Werten annehmen, so dass eine Optimierung der
Granularisierungen nicht erforderlich ist.

Für den iterativen Selektionsprozess wurden die symbolischen Werte
der $60$ Einflussgrößen mit $\{1,2,3,4\}$ kodiert und eine
entsprechende feste Einteilung in vier Intervalle je Einflussgröße
vorgegeben. Wie bei allen Klassifikationsproblemen wurde als
Relevanzmaß der relative Klassifikationsfehler (\ref{RCE})
benutzt. Die Definition der Partialfunktionen erfolgte durch
Ermittlung der am häufigsten vertretenen Klasse innerhalb eines
mit Datenpunkten besetzten Hyperquaders nach Gleichung
\ref{eq:C_RekZellKlass} aus Abschnitt \ref{chap:C_PartRekFunk}.
Der iterative Selektionsprozess lieferte $\SM_{\it 11}=\{X_{\it
29},X_{\it 30},X_{\it 32},X_{\it 31},X_{\it 28},X_{\it 35},X_{\it
21},X_{\it 33},X_{\it 44},X_{\it 22},X_{\it 3}\}$ als Satz
relevanter Einflussgrößen mit $\eta_{\it 11}=0,007$. Bemerkenswert
dabei ist, dass die zuerst ermittelten
--- und damit relevantesten
--- fünf Einflussgrößen sich auf Elemente um die Mitte der
Nu\-kleotid\-sequenz beziehen ($X_{\it 29},X_{\it 30},X_{\it
32},X_{\it 31},X_{\it 28}$). Am wenigsten relevant dagegen sind
die Einflussgrößen, die sich auf die äußeren Bereiche der Sequenz
beziehen.
\begin{figure}[htbp]
\centering %\ingraph{8}{0.85}{../figures/compbench/gene}
\ingraph{8}{0.5}{../bilder/apps/gene} \caption{\label{fig:GENE}
Relativer Klassifikationsfehler $\Evali$ auf Validierungsdaten in
Prozent für GENE bei folgenden Ansätzen:
$\diamond\;\mbox{FRM}_{EFS}$,$\triangledown\; \mbox{FRM}_{sys}$,
$\circ\; \mbox{FRM}_{best}$ und $\times$ Literatur.}
\end{figure}

Für die nachgeschaltete Modellierung mit dem
Fuzzy--ROSA--Verfahren wurden entsprechend der kodierten
symbolischen Werte für jede ermittelte Einflussgröße aus $\SM_{\it
11}$  vier und für die drei Klassen der Ausgangsgröße drei
Singletons definiert. Die vorhandenen $3175$ Datenpunkte wurden in
einen Lerndatensatz mit $1588$ Datenpunkten und einen
Validierungsdatensatz mit $1587$ Datenpunkten zufällig aufgeteilt.
Als Ergebnis konnte ein Fuzzy--Klassifikator mit $141$ Regeln
generiert werden, der auf Lerndaten einen Klassifikationsfehler
von $\tif{RCE}=0,033$ und für die Validierungsdaten einen
Klassifikationsfehler von $\Evali=\tif{RCE}=0,058$ aufweist. Der
hier erzielte relative Klassifikationsfehler auf Validierungsdaten
$\Evali$ wird in Abbildung \ref{fig:GENE} mit den Ansätzen aus
\cite{MST94} verglichen.

Im Vergleich zu $33$ anderen publizierten Ansätzen
\cite{Kro99,MST94} wird hiermit bezüglich des
Klassifikationsfehlers auf Validierungsdaten das viertbeste
Ergebnis erzielt. Die Dimensionalität des Modellierungsproblems
wurde zudem von $60$ auf $11$ zu berücksichtigende Einflussgrößen
reduziert. Damit konnte zusätzlich im Vergleich zu anderen mit dem
Fuzzy--ROSA--Verfahren erzielten Ergebnissen eine deutlich
kompaktere Regelbasis generiert werden. Zusätzlich ist hier
anzumerken, dass der Referenzregelsatz \cite{Kro99} aus einem
aufwändigen und nicht deterministischen Regelgenerierungsprozess
resultiert, der kaum ohne Expertenwissen vorgenommen werden kann.

\subsection{Klassifikation der Erdoberfläche in Satellitenbildern (SAT)}

Der Originaldatensatz \glqq {\em Landsat Satellite Image}\grqq{}
kommt von der NASA und enthält die Intensität von vier
Spektralbändern für 82 x 100 Pixel. Ein Pixel entspricht dabei
einer Fläche von ungefähr 80 x 80 Meter. Die Originalbezeichnungen
für die Bodentypen an der Erdoberfläche sind: {\em Red Soil}, {\em
Cotton Crop}, {\em Gray Soil}, {\em Damp Gray Soil}, {\em Soil
with Vegetation Stubble}, {\em very Damp Gray Soil} und {\em
Mixture}. Die Aufgabe\footnote{UCI Repository of Machine Learning
Databases: {\em
http://www.ics.uci.edu/$\sim$mlearn/MLRepository.html}} besteht
darin, den Bodentyp eines Pixels in Satellitenbildern zu
klassifizieren. Als potenzielle Einflussgrößen stehen Intensitäten
der Spektralbänder des Pixels selbst und die seiner acht
Nachbarpixel zur Verfügung.

Der verfügbare Datensatz von 6435 Datenpunkten wurde zufällig in
zwei gleichgroße Datensätze  für eine Kreuzvalidierung geteilt.
Mit einer vorgegebenen Anzahl von $k=4$ Stützstellen für jede
Einflussgröße lieferte der iterative Selektionsprozess $\SM_{\it
7}=\{X_{\it 19},X_{\it 18},X_{\it 21},X_{\it 11},X_{\it 16},X_{\it
26},X_{\it 35}\}$ als Satz relevanter Einflussgrößen mit
$\eta_{\it 7}=9,2$.

Darauf aufsetzend wurden unter Verwendung automatisch generierter
Fuzzy--Zu\-ge\-hö\-rig\-keits\-funk\-tionen mit dem
Fuzzy--ROSA--Verfahren für beide Datensätze Klassifikatoren mit
149 bzw. 161 Regeln generiert. Die resultierenden
Klassifikationsfehler beider Klassifikatoren ergeben sich auf
Lerndaten im Mittel zu $\tif{RCE}=11,1$ sowie zu
$\Evali=\tif{RCE}=15,1$ auf Validierungsdaten. Der relative
Klassifikationsfehler auf Validierungsdaten $\Evali$ wird in
Abbildung \ref{fig:SAT} mit den Ansätzen aus \cite{MST94}
verglichen.

\begin{figure}[htbp]
\centering %\ingraph{8}{0.85}{../figures/compbench/sat}
\ingraph{8}{0.5}{../bilder/apps/sat} \caption{\label{fig:SAT}
Relativer Klassifikationsfehler $\Evali$ auf Validierungsdaten in
Prozent für SAT bei folgenden Ansätzen:
$\diamond\;\mbox{FRM}_{EFS}$,$\triangledown\; \mbox{FRM}_{sys}$,
$\circ\; \mbox{FRM}_{best}$ und $\times$ Literatur.}
\end{figure}

Mit dem bisherigen besten Ergebnis $\mbox{FRM}_{best}$ und dem
Ergebnis bei systematischen Ansatz $\mbox{FRM}_{sys}$  werden in
diesem Anwendungsbeispiel nur hintere Plätze bezüglich der
Modellierungsgüte belegt.

%\textbf{... Hier bringt die globale Optimierung was!!! Ergebnisse
%von Kate einfügen }

\subsection{Vorhersage der Mackey--Glass--Zeitfolge (MACKEY)}
Die chaotische Mackey--Glass--Zeitfolge \cite{MG77} wird in der
Literatur häufig als Benchmarkproblem für Approximationsverfahren
genutzt. Die diskrete Version der Mackey--Glass--Zeitfolge lässt
sich beschreiben durch
\begin{equation}
x(t+1)=(1-a)x(t)+\frac{bx(t-\tau)}{1+x^{10}(t-\tau)}\;.
\end{equation}

Als Parameter werden $a=0,1$, $b=0,2$ und $\tau=17$, mit $x(t)=0$
für $t<0$ und $x(0)=1,2$ gewählt. Die Aufgabe besteht darin, auf
Basis der Werte $x(t-18)$, $x(t-12$), $x(t-6)$ und $x(t)$ den Wert
$x(t+6)$ vorauszusagen. Für das hier vorgestellte Verfahren wurden
$1000$ Datenpunkte zufällig in zwei Hälften zu je $500$
Datenpunkten für eine Kreuzvalidierung geteilt. Für die
evolutionäre Granularisierung wurde mit $k=6$ Stützstellen für
jede der vier Einflussgrößen eine Einteilung in fünf Intervalle
vorgegeben. Als Relevanzmaß wurde der mittlere quadratische Fehler
(\ref{MSE}) benutzt. In Hinblick auf eine nachgeschaltete
Modellierung von TSK--Fuzzy--Systemen wurden die Partialfunktionen
durch lineare Approximation nach Gleichung~\ref{eq:C_RekZelltsk}
aus Abschnitt \ref{chap:C_PartRekFunk} definiert. Der iterative
Selektionsprozess ermittelte den Satz $\SM_{\it 3}=\{x(t-18),\
x(t-12),\ x(t-6)\}$.

Auf Grundlage dieses Satzes von Einflussgrößen wurden unter
Berücksichtigung der optimierten Granularisierungen --- zur
Generierung der Fuzzy--Zugehörigkeits\-funk\-tio\-nen ---
TSK--Fuzzy--Sys\-teme mit dem Fuzzy--ROSA--Verfahren entworfen.
Diese enthalten je etwa 120 Regeln und liefern im Mittel einen
quadratischen Fehler von $\Evali=\tif{MSE}=0,58\cdot 10^{-4}$
sowie einen mittleren absoluten Fehler von $\tif{MAE}=54\cdot
10^{-4}$ auf Validierungsdaten. Der mittlere quadratische
Modellierungsfehler auf Validierungsdaten $\Evali$ wird in
Abbildung \ref{fig:MACKEY} mit den Ansätzen aus \cite{Kra00}
verglichen.
\begin{figure}[htbp]
\centering %\ingraph{8}{0.85}{../figures/compbench/mackey}
\ingraph{8}{0.5}{../bilder/apps/mackey}
\caption{\label{fig:MACKEY} Mittlerer quadratischer Fehler
$\Evali$ auf Validierungsdaten  für MACKEY bei folgenden Ansätzen:
$\diamond\;\mbox{FRM}_{EFS}$,$\triangledown\; \mbox{FRM}_{sys}$,
$\circ\; \mbox{FRM}_{best}$ und $\times$ Literatur.}
\end{figure}

Das bisher beste bekannte Ergebnis \cite{Kra00}
($\tif{MSE}=1.4\cdot 10^{-4}$) kann damit um 59\% verbessert
werden. Zusätzlich wird die Komplexität des Modellierungsproblems
um eine Dimension reduziert.

\subsection{Modellierung von Wohnungspreisen in Boston (BOSTON)}

Das Boston Housing Problem \cite{HR78} hat zwei Zielsetzungen: Zum
einen soll ein Modell für den \emph{Wohnungspreis} in der Gegend
von Boston anhand einiger ausgewählter Merkmale erstellt, zum
anderen ein Modell für die Schadstoffbelastung anhand der gleichen
Merkmale bestimmt werden. Hier wird nur die erste Zielsetzung
behandelt. Das betrachtete Approximationsproblem besitzt die in
Tabelle \ref{TAB_bostonein} aufgelisteten Einflussgrößen, die alle
für den Menschen direkt verständliche Inhalte beschreiben. Die
Werte der zu modellierenden Ausgangsgröße \emph{Wohnungspreis}
bewegen sich zwischen \$5000 und \$50000.
\begin{table}[ht]
 \vspace{0.025cm} \centering
\begin{tabular}{||c |l ||}
% & Einflussgrößen \\
\hline
$x_{1}$ & Kriminalitätsrate \\
$x_{2}$ & Anteil von Grundstücken $>$ 25000 sq.ft. \\
$x_{3}$ & Anteil Industrie \\
$x_{4}$ & Flussnähe (Charles River) \\
$x_{5}$ & Schadstoffbelastung \\
$x_{6}$ & Durchschnittliche Anzahl Räume pro Haus \\
$x_{7}$ & Anteil Gebäude erbaut vor 1940 \\
$x_{8}$ & Gewichteter Abstand zu fünf Arbeitszentren \\
$x_{9}$ & Index für die Erreichbarkeit der Highways \\
$x_{10}$ & Steuerrate \\
$x_{11}$ & Verhältnis Anzahl Lehrer zu Anzahl Schüler \\
$x_{12}$ & Anteil schwarzer Bevölkerung \\
$x_{13}$ & Armutsanteil \\
\hline
\end{tabular}
\caption{\label{TAB_bostonein} Betrachtete Einflussgrößen für das
BOSTON Housing Problem.}
\end{table}
Ursprünglich sind 506 Datensätze für die Modellierung erhoben
worden. 16 dieser Datensätze scheinen aber zensiert zu
sein\footnote{Vergleich
www.cs.toronto.edu/$\sim$delve/data/boston/bostonDetail.html} und
wurden daher für die Relevanzanalyse nicht betrachtet. Der
iterative Selektionsprozess ermittelte hier genau wie der globale
Selektionsprozess den Merkmalssatz $\SM_{\it 8}=\{ x_{1}, x_{2},
x_{3}, x_{7}, x_{11}, x_{12}, x_{13} \}$. Darauf basierend liefert
eine nachgeschaltete Modellierung mit dem Fuzzy--ROSA--Verfahren
einen Regelsatz von $105$ Regeln, der einen mittleren absoluten
Fehler (MAE) von $\hat{\epsilon}_{lern}=2,2$ auf Lerndaten und von
$\hat{\epsilon}_{vali}=2,8$ auf Validierungsdaten aufweist. Eine
Analyse der generierten Regeln wie beispielsweise
\begin{eqnarray*}
\nonumber&&\mbox{WENN \emph{Kriminalitätsrate} verschwindend UND
A\emph{nteil
Industrie} gering}\\
&&\mbox{DANN \emph{Wohnungspreis} hoch}
\end{eqnarray*}
zeigt in transparenter Weise die nachvollziehbaren Zusammenhänge
zwischen der Ausgangsgröße und den selektierten Einflussgrößen.
Der erzielte mittlere absolute Approximationsfehler auf
Validierungsdaten $\Evali$ wird in Abbildung \ref{fig:BOSTON} mit
den Ansätzen aus \cite{WR96} verglichen.
\begin{figure}[h]
\centering %\ingraph{8}{0.85}{../figures/compbench/mackey}
\ingraph{8}{0.5}{../bilder/apps/boston}
\caption{\label{fig:BOSTON} Mittlerer absoluter Fehler $\Evali$
auf Validierungsdaten in $\$1000$ für BOSTON bei folgenden
Ansätzen: $\diamond\;\mbox{FRM}_{EFS}$,$\triangledown\;
\mbox{FRM}_{sys}$, $\circ\; \mbox{FRM}_{best}$ und $\times$
Literatur.}
\end{figure}

%Damit wird zwar das bisher beste erzielte Ergebnis auf der Basis
%des vollständigen Merkmalsraumes von $\epsilon_{lern}=2,3$ und
%$\epsilon_{vali}=2,5$ nicht ganz erreicht. Bezüglich eines von
%\cite{Kra01} vorgenommenen Modellgütevergleichs mit vier anderen
%aus der Literatur bekannten Lernverfahren ändert dieser Verlust an
%Modellgenauigkeit jedoch nicht die Einordnung auf Platz 2 im
%Ranking.


\section{Industrielle Anwendungen}


\subsection{Kurzfristige Lastprognose für die Kraftwerksführung}
\label{subsec:F vew_prog} Die zentralen Aufgaben der
Energieversorgung bestehen in der \emph{Energieerzeugung} und der
\emph{Netzbetriebsführung} für eine ausreichende und
wirtschaftliche Bereitstellung  sowie den sicheren Transport von
Energie in einem Versorgungsgebiet. Vor der Liberalisierung des
Energiemarktes konnten diese beiden Aufgabenstellungen durch eine
zentrale Kraftwerksführung  erfüllt werden. Für die
Kraftwerksführung wurde dazu ein sogenanntes
Kraftwerksführungs\-sys\-tem eingesetzt, das die Aufteilung der
Energieerzeugung auf die momentan im Einsatz befindlichen
Kraftwerke vornahm (vgl. \cite{Alb97,AAS96,AKA96}). Dabei sollten
Nebenbedingungen wie schonender und kostengünstiger Einsatz der
Kraftwerke und eine möglichst gute Übereinstimmung zwischen der
erzeugten und der tatsächlich nachgefragten Leistung eingehalten
werden. Abbildung \ref{fig:C_lastaufbau} zeigt schematisch die
Wirkungskette eines Kraftwerksführungssystems innerhalb eines
Energieversorgungsnetzes.

\begin{figure}[ht]
\centering \ingraph{12.5}{0.5}{../Bilder/apps/lastaufbau}
\caption{\label{fig:C_lastaufbau} Kraftwerksführungssystem (KWF)
zur Steuerung  eines Kraftwerkparks innerhalb eines
Energieversorgungsnetzes.}
\end{figure}

Da elektrische Energie nicht in ausreichendem Umfang speicherbar
ist, muss zur Erhaltung eines kontinuierlichen
Leistungsgleichgewichts die Erzeugung der Energie an die jeweils
aktuell geforderte Leistung angepasst werden. Damit eine hohe
Versorgungssicherheit in Europa garantiert werden kann, waren und
sind die Netze der verschiedenen Energieversorgungsunternehmen
miteinander gekoppelt. Für einen möglichst wirtschaftlichen
Betrieb des Energieversorgungsprozesses bestand die Notwendigkeit,
die Austauschleistung zwischen dem eigenen Netz und den Netzen
anderer Unternehmen möglichst gering zu halten. Dieses Ziel war
die zentrale Aufgabenstellung für das
Kraftwerksführungs\-sys\-tem.

Die wesentlichen Einflussgrößen, auf denen die
Steuerungsstrategien des Kraftwerksführungssystems basieren, sind
zum einen die \emph{erzeugte} und tatsächlich \emph{verbrauchte
Leistung} und zum anderen eine \emph{Last\-pro\-gno\-se} für
verschiedene Zeithorizonte. Die Lastprognose ist dabei ein sehr
wesentlicher Bestandteil für die Entscheidungsfindung und stützt
sich auf historisch aufgezeichnete Daten. Zur Verbesserung einer
in einem Energieversorgungsunternehmen eingesetzten Lastprognose
sind verschiedene Ansätze zur Entwicklung eines Prognosemodells
gemacht worden \cite{Pra99,Jes00b,Jes00a}.

In der Arbeit \cite{Jes00b} ist die Aufgabenstellung der
Verbesserung der Lastprognose intensiv bearbeitet worden. Neben
der Entwicklung von Methoden zur verbesserten datenbasierten
Generierung von Fuzzy--Modellen bei verrauschten Lerndaten, wie im
Falle der Lastprognose, ist dabei auch der Einsatz von
ARMA--Modellen\footnote{ARMA--Modelle stellen eine Kombination von
Autoregressiven Modellen (AR) und Moving--Average--Modellen (MA)
dar.} für die Last\-prog\-no\-se untersucht worden. Die in Tabelle
\ref{tab:C_lastvergleich} aufgeführten Ergebnisse zeigen jedoch,
dass nur Modellierungsfehler oberhalb des Wertes des
Referenzsystems und somit kein zufriedenstellendes ARMA--Modell
erzielt werden konnte.  In weiteren Arbeiten innerhalb des
\emph{Sonderforschungsbereichs 531} wurde zum Vergleich auch ein
neuronales Netz für die Lastprognose trainiert. Die Fehlerwerte
liegen nur knapp unter denen des Referenzsystems und es konnte
auch hier keine angemessene Verbesserung erzielt werden. Durch den
Einsatz des \FR--Verfahrens mit dem mittelwertbasierten
Bewertungsindex (Definition \ref{def:JMVB}) konnte ein
Prognosemodell erzeugt werden, das einen deutlich niedrigeren
mittleren Fehler als das Referenzsystem aufweist. Die dazu
teilweise aufwändigen notwendigen Schritte sind in \cite{Jes00b}
beschrieben. Der wesentliche Aufwand bestand dabei in der
Definition einer geeignet kaskadierten Fuzzy--Modell--Struktur in
Verbindung mit zeitintensiven empirischen Untersuchungen zur
Selektion geeigneter Merkmalssätze von potenziell relevanten
Einflussgrößen.


Für den Einsatz der im Rahmen dieser Arbeit konzipierten Verfahren
für das hier betrachtete Modellierungsproblem stehen beispielhaft
Daten der tatsächlich verbrauchten Leistung des Jahres 1995 in
15--Minuten--Schritten gerastert zur Verfügung (35040
Datenpunkte). Durch eine entsprechende Datenaufbereitung weiterer
archivierter Daten ist ein Satz von $32$ potenziellen
Einflussgrößen, wie beispielsweise \textit{Tageszeit},
\textit{aktuelle Temperatur}, \textit{Bewölkung},
\textit{aktueller Lastverbrauch}, \textit{Jahreszeit} und
\textit{Tagestyp} (Werktag,Wochenende) erstellt worden. Die
Modellausgangsgröße besteht aus der zu prognostizierenden Änderung
der tatsächlich verbrauchten Leistung (\emph{Laständerung}) für
den zukünftigen Datenpunkt, also in $15$ Minuten. Dabei sind als
Lerndaten die Datenpunkte der ersten Hälfte des Jahres und als
Validierungsdaten die der zweiten Hälfte verwendet worden. Aus den
vielen verschiedenen möglichen Merkmalssätzen liefert der
iterative Selektionsprozess sowohl mit dem Ansatz zur Generierung
eines Mamdani--Fuzzy--Modells als auch für den Ansatz zur
Generierung eines TSK--Fuzzy--Modells den Satz $\SM_3=
\{_{}Tageszeit, Tagestyp, Jahreszeit\}$ zur Prädiktion der zu
erwartenden Laständerung innerhalb der nächsten 15 Minuten. Die
bei einer darauf aufsetzenden Modellierung mit dem \FR--Verfahren
jeweils erzielbaren Ergebnisse sind in Tabelle
\ref{tab:C_lastvergleich} dargelegt.

\begin{table}[ht]
\caption{\label{tab:C_lastvergleich} Mittlerer absoluter
Prognosefehler (MAE) auf Lerndaten ($\Elearn$) und
Validierungsdaten ($\Evali$) für mit unterschiedlichen Verfahren
generierte Prognosemodelle sowie für das tatsächliche
Referenzsystem.} \vspace{0.25cm} \centering
\begin{tabular}{|l|l|cc|c|}
\hline
{\rule[-2mm]{0mm}{7mm}}\textbf{Modelltyp} & \textbf{Verfahren} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{MAE in MW}} \\
{\rule[-2mm]{0mm}{7mm}}&  & $\Elearn$ & $\Evali$ \\
\hline
Eingesetztes Referenzsystem
& {\rule[-2mm]{0mm}{7mm}Statistik}                          &      & 46.3 \\
\hline
\multirow{2}{40mm}{Alternative Ansätze}
& {\rule[-2mm]{0mm}{7mm}ARMA--Modell}                       & 49.2 & 47.9 \\
& {\rule[-2mm]{0mm}{7mm}neuronales Netz}                    & 44.0 & 45.1 \\
\hline
 kaskadiertes \Mam--Fuzzy--Modell
& {\rule[-2mm]{0mm}{7mm}Empirik, \FR--Verfahren}                       & 40.9 & 40.9 \\
\hline \hline\multirow{2}{50mm}{\Mam--Fuzzy--Modell}
& {\rule[-2mm]{0mm}{7mm}iterativer Selektionsprozess} & &\\
& {\rule[-2mm]{0mm}{7mm}\FR--Verfahren}                       & 40.1 & 40.3 \\
\hline \multirow{2}{40mm}{TSK--Fuzzy--Modell}
& {\rule[-2mm]{0mm}{7mm}iterativer Selektionsprozess} & &\\
& {\rule[-2mm]{0mm}{7mm}\FR--Verfahren}      & 38.7 & 39.2 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

Durch den vorgeschalteten Einsatz des Verfahrens zur
Merkmalsselektion und der optimiert generierten
Fuzzy--Partitionierungen des Eingangsgrößenraumes werden mit dem
ansonsten gleich parametrisierten \FR--Verfahren deutlich
verbesserte Modelle generiert. In Abbildung \ref{fig:prognose}
werden die mit diesem Ansatz erzielten besten Ergebnisse mit denen
des Referenzsystems der VEW AG verglichen. Dabei konnte der
mittlere absolute Fehler der Prognose von gut 46 MW auf ca. 39 MW
reduziert werden. Zur damaligen Zeit bestand zur Quantifizierung
des Kosteneinsparpotenzials folgende Faustregel: Eine Verbesserung
der kurzfristigen Lastprognose um im Mittel $1$ MW bedeutet eine
Kosteneinsparung von etwa $1.000.000$ DM.

\begin{figure}[h]
\label{fig:prognose} \centering
\ingraph{8.4}{0}{../bilder/apps/vew_neu}
\ingraph{8.4}{0}{../bilder/apps/fuzz_neu}
\caption{Prognosefehler in MW des Referenzsystems (links) und des %%@
Fuzzy--Prog\-no\-se\-sys\-tems (rechts); Abzisse: Mittelwert über 15 Minuten Intervalle %%@
für alle 365 Tage des Jahres 1995; Ordinate: Positive/negative Prognosefehler %%@
werden durch helle/dunkle Grautöne dargestellt.}
\end{figure}


\subsection{Adaption von Strategieparametern der Kraftwerksführung}
\label{subsec:F vew_strat}

Innerhalb des im vorigen Abschnitt vorgestellten
Kraftwerksführungssystems übernimmt ein \textit{Optimierungsmodul}
die Aufgabe, die Sollwerte für die einzelnen Kraftwerke unter
Berücksichtigung des prognostizierten Leistungsbedarfs so
einzustellen, dass die erforderliche Leistung insgesamt unter
Einsatz möglichst geringer Brennstoffkosten erbracht und eine
übermäßige Beanspruchung der Kraftwerke durch Vorgabe möglichst
ruhiger Sollwertverläufe vermieden wird. Eine besondere
Schwierigkeit dieser Prozessführungsaufgabe liegt darin, dass der
betrachtete Kraftwerkspark aus unterschiedlichen Kraftwerkstypen
besteht, die sich hinsichtlich ihrer spezifischen Erzeugungskosten
und dynamischen Eigenschaften stark unterscheiden. Deshalb kann
die elektrische Energie durch bevorzugten Einsatz der
kostengünstigen Kraftwerke um so wirtschaftlicher erzeugt werden,
je frühzeitiger und genauer das Optimierungsmodul über zukünftige
Leistungsänderungen anhand der Lastprognose informiert wird.
Ebenso wirkt es sich kostensenkend aus, wenn die für die Regelung
vorgehaltene Leistungsreserve nicht unnötig groß bemessen wird.

Zur Lösung dieser komplexen Kraftwerksführungsaufgabe wurde in
Vorprojekten ein neues Verfahren entwickelt, das gegenüber dem
Stand der Technik wesentliche Vorzüge aufweist
\cite{AAS96,Alb97,AKM95,KA97}. Ein zentrales Element des
Verfahrens besteht darin, dass die für die Regelung vorzuhaltende
Reserve nicht anteilmäßig einzelnen Kraftwerken fest zugewiesen
wird, sondern stattdessen die Forderung nach einer summarischen
Reserve (\textit{Regelband}) erhoben und diese situationsabhängig
den beteiligten Kraftwerken zugewiesen wird. Dieses Konzept der
summarischen Reserve schafft eine größere Flexibilität, in der ein
wesentliches Kosteneinsparpotenzial liegt. Die eigentliche
Optimierung, d. h. die Aufteilung der Prognose auf die einzelnen
Kraftwerke unter Freihaltung der Reserve, wird durch ein
voraus\-schauendes Verfahren gelöst, das mit Rücksicht auf die
erforderliche Onlinefähigkeit suboptimal arbeitet. Darüber hinaus
verfügt das Verfahren über eine Reihe von Strategieparameter (wie
beispielsweise die Bemessung der vorzuhaltenden summarischen
Reserve), die nach dem damaligen Entwicklungsstand des Verfahrens
auf solche Werte fest oder nach einem Fahrplan eingestellt wurden,
die sich im Mittel als günstig erwiesen hatten.

Ausgangspunkt zur Adaption von Strategieparametern des
Kraftwerksführungssystems war die Überlegung, dass die
Prozessexperten vor Ort aufgrund langjähriger Erfahrung die
Prozessführungsgüte in unterschiedlichen Prozesssituationen
intuitiv bewerten und daraufhin Vorschläge darüber machen können,
wie die Werte bestimmter Strategieparameter zur Verbesserung der
Prozessführungsgüte zu verändern sind. Dies betraf insbesondere
drei Strategieparameter:

\begin{description}
\item \textit{Größe des Regelbandes}: Vorgabe
der mindestens vorzuhaltenden summarischen Leistungsreserve zur
Ermöglichung des Eingriffs der \textit{Leistungsfrequenzregelung}.
Durch diese Vorgabe wird der Spielraum für die kostenoptimale
Lastaufteilung vorgegeben.

\item \textit{Anpassung der Basisprognose}: Verbesserung der
Genauigkeit der langfristigen Lastprog\-nose durch eine geeignete
Offsetverschiebung der Basisprognose.

\item \textit{Zusatzreserve}: Vergrößerung der verfügbaren
Leistungsreserve durch Vorverlegung bzw. Zurückverlegung von An-
und Abfahrtzeiten bestimmter Kraftwerke.
\end{description}

Das letztendlich eingeschlagene Modellierungskonzept bestand
darin, ohne den Umweg über eine Prozessführungsgüte direkt
Handlungsvorschläge der Prozessexperten hinsichtlich einer
situationsabhängigen Adaption dieser drei Strategieparameter zu
modellieren.  Zur datenbasierten Modellierung hochdimensionaler
Systeme ist bei der Datenakquisition durch Expertenbefragung zu
berücksichtigen, dass der Prozess durch eine große Zahl von
Prozessgrößen, die ein Experte nicht simultan erfassen kann,
gekennzeichnet ist. Deshalb muss eine sinnvolle Auswahl von
möglichst wenigen Prozessgrößen, die die Prozesssituationen
dennoch angemessen beschreiben, getroffen werden. Zudem müssen
diese Größen so präsentiert werden, dass alle Situationen als
Grundlage für den Entscheidungsprozess überschaubar und bewertbar
sind. Beim vorliegenden Kraftwerksführungssystem stand eine
Datenbasis zur Verfügung, die Werte von näherungsweise 150
Prozessgrößen enthielt. Diese Größen waren Soll- und Istwerte der
Kraftwerke, innere Systemgrößen des Kraftwerksführungssystems,
Trendgrößen bezüglich zeitlich zurückliegender Werte sowie
zukünftiger Prognosewerte und kalendarische Größen wie Tageszeit
und Tagestyp.

Zur Informationskondensation wurden alle im Minutentakt gemessenen
Prozessgrößen soweit möglich reduziert, beispielsweise, indem
artverwandte Prozessgrößen wie solche, die zu ähnlichen
Kraftwerkstypen gehören, zu einer einzigen Größe zusammengefasst
wurden. Ferner wurden Daten durch Mittelwertbildung über
Stundenintervalle konzentriert und es wurde für Trendgrößen ein
maximaler Zeithorizont von zwei Stunden festgelegt. Auf diese
Weise wurde eine reduzierte Datenbasis, die sich nur noch auf 47
Prozessgrößen bezieht, erzeugt. Diese wurde in einer grafischen
Benutzeroberfläche, die sich an vertraute Flussdiagramme des
vorhandenen Prozessleitsystems anlehnt, präsentiert. Insgesamt
wurden 882 Betriebssituationen in dieser Form aufbereitet und vier
voneinander unabhängig agierenden Prozessexperten zur Abgabe ihrer
Handlungsvorschläge vorgelegt.
\begin{figure}[h]
\label{fig:prognose} \centering
\ingraph{17}{0}{../bilder/apps/dataquise} \caption{Graphische
Benutzeroberfläche zur Präsentation eines aktuellen
Prozesszustandes und Erhebung der drei Handlungsvorschläge im
unteren rechten Bereich.}
\end{figure}

Zur Modellierung der Expertenvorschläge wurde für jede der drei
genannten Strategieparameter mit Hilfe des Fuzzy--ROSA--Verfahrens
ein separates Teil\-modell generiert. Details hierzu sind
ausführlich in \cite{ssk01} beschrieben. An dieser Stelle werden
beispielhaft die Ergebnisse zur Modellierung der
Expertenvorschläge zum Strategieparameter \textit{Anpassung der
Basisprognose} detailliert beschrieben. Dabei wurden zum Vergleich
unterschiedliche Sätze von Prozessgrößen als Eingangsgrößen
verwendet und die so generierten Fuzzy--Module miteinander
verglichen. Die Zugehörigkeitsfunktionen für jede Eingangsvariable
wurde mit Ausnahme der Vorverabeitung mit der evolutionären
iterativen Merkmalsselektion anhand einer Analyse der
Häufigkeitsverteilung, die durch Projektion der Lerndaten auf die
zur betreffenden Eingangsvariablen gehörigen Koordinatenachse
entsteht, bestimmt. Die Regelgenerierung  wurde auf Basis der
Lerndaten vorgenommen. Zur Bewertung der Modellgüte wird das
Modell anhand der Validierungsdaten getestet, wobei die vorhandene
Datenbasis im Verhältnis 1~:~1 zufällig in Lern- und
Validierungsdaten aufgeteilt wurde. Als Maß für die Modellgüte
wird der Korrelationskoeffizient zwischen tatsächlichem
Expertenvorschlag und Modellausgang verwendet. Zur Einordnung der
resultierenden Fehler wird der mittlere absolute Fehler \textbf{a}
(Mittelwert) bzw. \textbf{b} (Mittelwert) angegeben, der
beschreibt, wie stark die einzelnen Handlungsvorschläge im Mittel
vom Mittelwert dieser Handlungsvorschläge abweichen.

\begin{table}[h]
\caption{\label{tab:prog}Modellierungsergebnisse zur
\textit{Anpassung der Basisprognose} für unterschiedlich
ausgewählte Merkmalssätze.}
 \vspace{0.25cm}\centering
\begin{tabular}{|l||r|c||r|c|}
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  \hline
     \multicolumn{1}{|c||}{\raisebox{-1.5ex}[2.5ex]{\textbf{Modell}}} &  \multicolumn{2}{c||}{\textbf{Validierungsdaten}} &  \multicolumn{2}{c|}{\textbf{Lerndaten}}  \\
   \cline{2-5} %\cline{7-10} \cline{12-15}
    & MAE $\Evali$ & Korrelation & MAE $\Elearn$  & Korrelation\\
  \hline
   % \cline{1-5} \cline{7-10} \cline{12-15}
  \textbf{a}(Mittelwert) &90,3 MW &-   &90,0 MW &-\\
  \textbf{a}(47) &10,1 MW &0,991   &11,2 MW &0,994\\
  \textbf{a}(29) &8,8 MW &0,994   &8,6 MW &0,994\\
  \textbf{a}(4)  &6,2 MW &0,997   &6,1 MW &0,995 \\ \hline
  \textbf{a}(2) &5,7 MW &0,998   &5,4 MW &0,999\\ \hline \hline
  \textbf{b}(Mittelwert) &90,3 MW &-   &90,0 MW &-\\
  \textbf{b}(47) &9,5 MW &0,990   &9,8 MW &0,989\\
  \textbf{b}(29) &6,5 MW &0,992   &6,4 MW &0,991\\
  \textbf{b}(4)  &4,6 MW &0,994   &4,4 MW &0,993\\ \hline
  \textbf{b}(2) &3,6 MW &0,997   &3,1 MW &0,999\\ \hline
\end{tabular}
\end{table}


Die erzielten Ergebnisse zur Modellierung der Vorschläge der
Experten \textbf{a} bzw. \textbf{b} sind in Tabelle \ref{tab:prog}
beispielhaft für mehrere Modelle angegeben, die für
unterschiedliche Merkmalssätze als Eingangsgrößen erhalten wurden.
Die mit \textbf{a}(47) und \textbf{b}(47) gekennzeichneten Modelle
verwenden als Merkmalssatz alle ursprünglichen 47 Prozessgrößen,
während sich die Modelle \textbf{a}(29) und \textbf{b}(29) auf den
Satz von Eingangsgrößen beziehen, der sich durch aufwändige
empirische Reduktion ergeben hatte. Durch die Anwendung der
datenbasierten Komplexitätsreduktion nach \cite{PKS99} auf diese
$29$ Prozessgrößen konnte ein Merkmalssatz von vier Eingangsgrößen
ermittelt werden, worauf die Modelle \textbf{a}(4) und
\textbf{b}(4) generiert wurden. Die Anwendung der evolutionären
iterativen Merkmalsselektion erlaubte schließlich, die Modelle
\textbf{a}(2) und \textbf{b}(2) auf Basis eines Merkmalssatzes mit
zwei Eingangsgrößen zu generieren. Obwohl sich diese
resultierenden Modelle nur noch auf zwei Eingangsgrößen stützen,
weisen sie den geringsten Modellfehler auf. Dies unterstreicht die
überragende Bedeutung, die der Auswahl relevanter Eingangsgrößen
zukommt. Die sehr gute Qualität der Modelle \textbf{a}(2) und
\textbf{b}(2), die mit nur noch 24 bzw. 34 Regeln eine deutlich
kleinere Regelbasis als alle anderen Modelle aufweisen, wird durch
Abbildung \ref{fig:ergprog} unterstrichen. Dargestellt sind die
Ausgangsgrößenwerte des Modells und die zugehörigen
Expertenvorschläge  sortiert nach steigenden Werten der
Expertenvorschläge.

\begin{figure}[h]
\label{fig:prognose} \centering
\ingraph{7.4}{0}{../bilder/apps/erg_prog_a1_p2} \quad \quad
\ingraph{7.4}{0}{../bilder/apps/erg_prog_b1_p2} \caption{\rm
Modellierungsergebnisse zur \textit{Anpassung der Basisprognose}
für die Experten \textbf{a} und \textbf{b} (links bzw. rechts).
\label{fig:ergprog}}
\end{figure}


Ebenso wie Tabelle \ref{tab:prog} zeigt auch dieses Bild, dass das
Modell \textbf{b}(2) die Vorschläge des Experten \textbf{b} noch
besser wiedergibt als das Modell \textbf{a}(2) die Vorschläge des
Experten \textbf{a}. Aus dieser Beobachtung lässt sich zudem die
Feststellung ableiten, dass der Modellfehler allein zur Bewertung
eines Modells nicht immer ausreicht. Vielmehr interessiert neben
einer guten Übereinstimmung zwischen Modellausgang und Lern- bzw.
Validierungsdaten auch ein ausreichend glattes monotones
Modellverhalten: Kleine Änderungen der Eingangssituationen sollen
nicht zu unplausibel großen Änderungen des Ausgangsgrößenwertes
führen. Wenn ein im Hinblick auf den Modellfehler inkorrekt
erscheinendes Modell in diesem Sinne glatter als die Lerndaten
sind, hat man einen Hinweis darauf, dass das Modell tatsächlich
korrekter als die Lerndaten ist.


\subsection{Qualitätskontrolle von Automatikgetrieben}
\label{subsec:F_daimler} Ein namhafter deutscher
Automobilhersteller ermittelt vor der Endmontage die
Fehlerfreiheit und Laufruhe von Automatikgetrieben (siehe
Abbildung \ref{fig:getriebe}) durch eine akustische Prüfung von
Prozessexperten. Ziel dabei ist die Steigerung der
Produktqualität, die Senkung der Kosten und eine schnellere
Detektion von Fehlerquellen.

\begin{figure}[htbp]
\centering \ingraph{9}{0}{../bilder/apps/getriebe}
\caption{\label{fig:getriebe} Automatikgetriebe, zu
Demonstrationszwecken geöffnet.}
\end{figure}

Die akustische Prüfung erfüllt dabei zwei Aufgaben: Zum einen
sollen für den Menschen unangenehm laute Aggregate aussortiert und
zum anderen mechanische Defekte durch ihre charakteristischen
akustischen Signaturen ermittelt werden. Der Prüfentscheid des
Experten kann nur "`in Ordnung"' ({\em i.o.}) oder "`nicht in
Ordnung"' ({\em n.i.o.}) lauten. Um den Prüfentscheid des
menschlichen Prozessexperten zu unterstützen und letztendlich zu
automatisieren, ist in \cite{Lie99,Spr97,Hae99} ein
Fuzzy--Klassifikator wissensbasiert entwickelt worden, der auf
einen Merkmalssatz von insgesamt 149 aus gemessenen Zeitsignalen
ermittelten Prozessmerkmalen aufsetzt. In diesem hochdimensionalen
Eingangsgrößenraum ist der Entwurf eines Fuzzy--Klassifikators ein
sehr komplexes Problem. Ein wissensbasierter Ansatz ist daher sehr
zeitaufwändig und setzt sehr gute Prozesskenntnisse voraus. Im
Rahmen einer langjährigen Arbeit war es möglich, von Hand einen
Fuzzy--Klassifikator zu entwerfen. Mit über 200 Regeln und einer
maximalen Kombinationstiefe von $\cmax=16$ linguistischer Aussagen
in der Regelprämisse kann dieser mehr als $95 \%$ der im Datensatz
enthaltenen Getriebe {\em richtig} klassifizieren, wobei {\em
richtig} die Übereinstimmung von Fuzzy--Klassifizierung mit dem
Urteil des menschlichen Prozessexperten meint.

In einem alternativen datenbasierten Ansatz \cite{SSP98,SPS99}
wurde zunächst ein Fuzzy--Klassifikator mit dem
Fuzzy--ROSA--Verfahren auf der Basis von 1060 Datensätzen (1000
{\em i.o.}, 60 {\em n.i.o.}) generiert. Um zu demonstrieren, dass
kein Prozesswissen in den Entwurf einfließt, wurde jedes der 149
potenziellen Prozessmerkmale  auf den vorliegenden Wertebereich
normiert und mit fünf äquidis\-tanten Zugehörigkeitsfunktionen
partitioniert. Nach einer Rechenzeit von etwa 20 Stunden war es
möglich, unter Verwendung aller Datenpunkte als Lerndaten einen
Regelsatz mit \emph{mehreren tausend Regeln} zu generieren, der
die Getriebe zu 100~\% richtig klassifiziert. Die von \Slawinski{}
entwickelte systematische Vorgehensweise für die Modellierung
führte im besten Ergebnis zu einem Regelsatz von 1276 Regeln, der
auf Validierungsdaten $67,5~\%$ der defekten {\em n.i.o.}-
Getriebe richtig klassifiziert.
\begin{table}[t]
\caption{\label{tab:C_lgetriebevergleich} Mittlerer absoluter
Klassifikationsfehler (RCE) auf Lerndaten ($\Elearn$) und
Validierungsdaten ($\Evali$) für  mit dem \FR--Verfahren
generierte Fuzzy--Klassifikatoren basierend auf unterschiedlichen
Merkmalssätzen.} \vspace{0.25cm} \centering
\begin{tabular}{|l|c|c|cc|}
\hline
{\rule[-2mm]{0mm}{7mm}}\textbf{Selektionsverfahren} & \textbf{Anzahl}& \textbf{Anzahl}& \multicolumn{2}{c|}{\textbf{\quad RCE [\%]\quad \quad}} \\
{\rule[-2mm]{0mm}{7mm}}& \textbf{Einflussgrößen}& \textbf{Regeln} & $\Elearn$ & $\Evali$ \\
\hline alle verfügbaren Einflussgrößen
& {\rule[-2mm]{0mm}{7mm}149}                 & 1276        &    88,7   & 67,5 \\
\hline {datenbasierte Komplexitätsreduktion}
& {\rule[-2mm]{0mm}{7mm}93}                  &  230   & 100 & 92,3 \\

\hline  \hline \multirow{2}{70mm}{evolutionäre global operierende
Merkmalsselektion}
& {\rule[-2mm]{0mm}{7mm}}                 &      &  &  \\
& {\rule[-2mm]{0mm}{7mm}47}               &   254    & 100 & 100 \\
\hline \multirow{2}{70mm}{evolutionäre iterative
Merkmalsselektion}
& {\rule[-2mm]{0mm}{7mm}} & & &\\
& {\rule[-2mm]{0mm}{7mm}7} & 134 & 100 & 99,9\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

Mit dem Ziel, die Komplexität des Suchraums zu verringern und
damit das Suchverfahren zu entlasten, ist auch das in
\cite{PSK98,PKS99,Pra99} entwickelte Verfahren zur datenbasierten
Komplexitätsreduktion auf diese Aufgabenstellung angewendet
worden. Damit konnten die 149 potenziellen Merkmale auf 93
relevante nicht redundante Merkmale reduziert werden. Mit dieser
reduzierten Anzahl von Prozessmerkmalen wurde analog zur im
vorherigen Abschnitt beschriebenen Vorgehensweise ein
Fuzzy--Klassifikator, bestehend aus 230 Regeln, generiert. Dieser
Fuzzy--Klassifikator erzielt auf den Lerndaten eine
Klassifizierungsrate von 100~\% und auf den Validierungsdaten eine
von 92~\%.

Von den im Rahmen dieser Arbeit konzipierten Verfahren ist
aufgrund der hohen Dimensionalität des Modellierungsproblems an
diesem Anwendungsbeispiel zunächst die evolutionäre global
operierende Merkmalsselektion angewendet worden. Mit diesem
Verfahren ist innerhalb einiger Minuten ein Merkmalssatz
$\SM_{47}$ von 47 Einflussgrößen ermittelt worden, auf dessen
Grundlage ein vollständig richtig entscheidender
Fuzzy--Klassifikator mit 254 Regeln generiert werden konnte. Im
Vergleich dazu hat eine mehrstündige Anwendung des evolutionären
iterativen Verfahrens zur Merkmalsselektion einen extrem
verkleinerten Merkmalssatz $\SM_7$ von sieben Einflussgrößen
ermittelt. Von den gefundenen sieben Einflussgrößen finden sich
sechs in dem vorher mittels global operierendem
Selektionsverfahren ermittelten Merkmalssatz $\SM_{47}$ wieder.
Basierend darauf konnte ein Fuzzy--Klassifikator mit 134 Regeln
generiert werden, der auf den Lerndaten eine Klassifizierungsrate
von 100~\% und auf den Validierungsdaten von 99~\% erzielt. Bei
den falschen Klassifikationsergebnissen handelte es sich um genau
vier korrekt gefertigte Getriebe, die fälschlicherweise als {\em
n.i.o.} klassifiziert wurden. Eine übersichtliche Zusammenfassung
der Ergebnisse findet sich in Tabelle
\ref{tab:C_lgetriebevergleich}.



\subsection{Strömungskraftschätzung eines Hydraulikventils}
\label{subsec:F bosch}

Die im Rahmen eines mittlerweile langjährigen
Kooperationsprojektes mit der der Bosch Rexroth AG (ehemals Robert
Bosch GmbH) durchgeführten Arbeiten dienten der Weiterentwicklung
der automatisierten Regleroptimierung für ein industrielles
Hydraulikventil am Beispiel eines Regelventils NG6. Ein
wesentlicher Teilaspekt der Forschungsarbeiten bestand dabei in
der datenbasierten Modellierung der an dem Hydraulikventil
auftretenden Strömungskräfte.

Der Einsatzbereich industrieller Hydraulikventile erstreckt sich
über weite Bereiche des Maschinen- und Anlagenbaus, wie
beispielsweise in der Holz-, Papier- und Verpackungsindustrie.
Abbildung \ref{pic:Ventil} zeigt schematisch das zur Gruppe der
Schieberventile gehörende Regelventil  einer
Querschittsdarstellung.

\begin{figure}[htbp]
\centering \ingraph{12}{0}{../bilder/apps/Ventil}
\caption{\label{pic:Ventil} Querschnittsdarstellung des
eingesetzten Hydraulikventils \cite{BLS00}.}
\end{figure}

Daraus ersichtlich enthält das Ventil mittig in einer Längsbohrung
im Gehäuse einen Kolben (Ventilschieber), der durch magnetische
Krafteinwirkung in Längsrichtung verschiebbar ist. In die
Längsbohrung sind Ringkanäle eingearbeitet, die jeweils mit einem
äußeren Anschluss am Gehäuse verbunden sind (Anschlüsse A, B, P
und T). Eine Bewegung des Ventilschiebers bewirkt eine Veränderung
der Durchflusswege für eine Hydraulikflüssigkeit durch Schließung
und Öffnung der einzelnen Ringkanäle. Die Position $x(t)$ (auch
als \emph{Ventilhub} bezeichnet) des Ventilschiebers soll mit
Hilfe der eingesetzten \emph{Lageregelung} geregelt werden.
Detailliertere Informationen zur Wirkungsweise und zum Einsatz von
Hydraulikventilen sind in \cite{Bosch99} zu finden.

Die Dynamik hydraulischer Stetigventile wird wesentlich
beeinflusst durch Nichtlinearitäten wie Strombegrenzung,
Coulombsche Reibung, magnetische Hysterese, Sättigung der
Flussdichte sowie durch Störgrößen in Form von Strömungskräften.
Die Struktur des implementierten Lagereglers ist aus diesem Grund
stark an die Nichtlinearitäten der Strecke angepasst und
beinhaltet insgesamt $24$ einzustellende Parameter.

Nachdem das Bewertungsverhalten von Prozessexperten bei
eigenhändigen Parametrisierungen des Reglers mit einem
Fuzzy--Bewertungsmodul nachgebildet worden war, konnte eine
automatisierte Optimierung der Reglerparameter mit dem realen
Hydraulikventil Hardware--in--the--Loop durchgeführt werden. Als
Optimierungsalgorithmus wurde aufgrund der großen Anzahl der
Reglerparameter eine Evolutionsstrategie eingesetzt. Abbildung
\ref{pic:HIL} zeigt schematisch den Aufbau des Laborstands.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\ingraph{14}{0}{../bilder/apps/HIL}
%\includegraphics[width=4.0in] {Bilder/HIL.eps}
\caption{Aufbau der evolutionären
Hardware--in--the--Loop--Optimierung. \label{pic:HIL}}
\end{center}
\end{figure}

\pagebreak



Das Auftreten der Strömungskräfte an dem Regelventil in einem
geschlossenen Hydrauliksystem wurde bei der Optimierung für eine
lange Projektlaufzeit ignoriert. Die Gründe hierfür waren zum
einen, dass eine Optimierung unter dem Einfluss einer
hydraulischen Last aufgrund des erforderlichen hydraulischen
Laborstandes nur vor Ort bei der Bosch Rexroth AG unter einem
erheblichen Mehraufwand möglich gewesen wäre. Der andere Grund lag
darin, dass es keine geeignete Möglichkeit gab, das Auftreten
dieser Kräfte zu simulieren. Die Ergebnisse einer "`trockenen
Optimierung"' zeigen zwar auch beim Betrieb unter Lasteinwirkung
ein akzeptables Verhalten, stellen aber höchstwahrscheinlich nur
eine suboptimale Lösung dar. Man kann davon ausgehen, dass eine
unter Lasteinwirkung optimierte Parametereinstellung beim
praktischen Einsatz ein besseres Resultat liefern würde. Das
unterschiedliche Ventilverhalten bei Betrieb mit oder ohne
hydraulische Last zeigt sich beispielsweise auch bei einer
Hysteresemessung in Abbildung \ref{pic:stromhyst}.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \ingraph{14}{0}{../bilder/apps/stromkennlinie}
  %\includegraphics[height=9cm,width=14cm]{./grafiken/zellenmodell5.tif}
  \caption{Stromkennlinie beim Betrieb mit und ohne hydraulische Last.}\label{pic:stromhyst}
\end{figure}



Für die Aufgabenstellung der Modellierung stellte sich zunächst
das Problem, dass eine direkte Messung der Strömungskräfte nicht
möglich ist, so dass Standardverfahren für eine datenbasierte
Modellierung nicht unmittelbar eingesetzt werden konnten. Eine
wissensbasierte Modellierung konnte ebenfalls nicht durchgeführt
werden, da keine genaueren Zusammenhänge für die Beschreibung der
Strömungskräfte bekannt sind. Durch den Einsatz verschiedener
individuell angepasster aufwändiger Funktionsmodule gelang es, das
Verhalten unter Lasteinwirkung im trockenen Betrieb größtenteils
ausreichend gut zu simulieren. Die Verwendung der Funktionsmodule
war allerdings wenig flexibel und nur bedingt transparent.
Angestrebt wurde daher eine datenbasierte Modellierung, die sich
auf die Messwerte, die mit den Funktionsmodulen aufgezeichnet
wurden, stützen sollte. Ein so entworfenes Modell musste
allerdings nicht nur von der Modellierungsgüte her gute Ergebnisse
liefern, sondern auch in einer geeigneten Form realisierbar sein,
um in die "`Hardware--in--the--Loop--Optimierung"' eingebunden
werden zu können. Es kamen daher sowohl ein Neuronales Netz als
auch ein neu entwickeltes Zellenmodell in Frage, wobei sich das
Zellenmodell für das hier vorliegende Problem als die wesentlich
geeignetere Modellierungsvariante erwies.

In den ersten Modellierungen  als Zellenmodell wurde das
evolutionäre Verfahren zur Merkmalsselektion nur zur Optimierung
der Partitionierungen der vorhandenen Einflussgrößen
\emph{Position}, \emph{Geschwindigkeit} und \emph{Beschleunigung},
also ohne ohne Relevanzanalyse verwendet.  In weiteren
Modellierungsansätzen wurden im Hinblick auf eine Verbesserung der
Modellierungsgüte aus den vorhandenen Eingangsgrößen neue Größen
abgeleitet, mit deren Hilfe eine bessere Trennung der Daten für
bestimmte aufgenommene Trajektorien gelingen sollte. Dazu wurden
aus den ursprünglichen drei Eingangsgrößen mit Hilfe von
Verzögerungsgliedern erster Ordnung (PT1-Glieder) mit
unterschiedlichen Zeitkonstanten neue abgeleitete Einflussgrößen
generiert. Die Zeitkonstanten wurden dabei in Anlehnung an die
typischen Sprungantworten gewählt. Zusätzlich wurden
unterschiedliche Summen aus den normierten Daten von Position und
Geschwindigkeit gebildet. Insgesamt wurden so 15 neue potenzielle
Einflussgrößen generiert und mit Hilfe der iterativen
evolutionären Merkmalsselektion ausgewertet. Für das Zellenmodell
wurden so die Eingangsgrößen \emph{Position},
\emph{Geschwindigkeit} und \emph{ver\-zögerte Position
(T1=25.5ms)} ausgewählt. Der Ansatz zur Approximation mit
Hyperebenen ermöglichte dabei deutlich die besten
Modellierungsergebnisse.

Der Vergleich von Zellenmodell \textbf{A} mit Zellenmodell
\textbf{B} zeigt eindrucksvoll die Steigerung der erreichbaren
Modellierungsgüte bei Verwendung der optimierten Partitionierung
der selektierten Merkmale. Die Verwendung einer äquidistanten
Intervalleinteilung für das Zellenmodell \textbf{A} erlaubte die
Modellierung mit einem mittleren absoluten Fehler von $0,023$
(siehe Abbildung \ref{pic:zellenmodell5}), was im Vergleich zu
vorherigen Modellierungen mit Verwendung der originalen
vorhandenen Einflussgrößen einer Verminderung des
Modellierungsfehlers auf ein Drittel der vorherigen Werte
entsprach. Trotzdem trat aber noch immer ein maximaler absoluter
Fehler von $1,357$ auf. Durch die Optimierung der
Partitionierungen der gefundenen Merkmale für das Zellenmodell
\textbf{B} ergab sich ein mittlerer absoluter Fehler von nur noch
$0,005$, wobei der maximale absolute Fehler signifikant auf
$0,141$ gesenkt wurde.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \ingraph{13}{0}{../bilder/apps/zellenmodell5}
  %\includegraphics[height=9cm,width=14cm]{./grafiken/zellenmodell5.tif}
  \caption{Modellierungsergebnis Zellenmodell \textbf{A}.}\label{pic:zellenmodell5}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \ingraph{13}{0}{../bilder/apps/zellenmodell6}
%  \includegraphics[height=9cm,width=14cm]{./grafiken/zellenmodell6.tif}
  \caption{Modellierungsergebnis Zellenmodell \textbf{B}.}\label{pic:zellenmodell6}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \ingraph{14}{0}{../bilder/apps/zellenmodell6_tr1}
  %\includegraphics[height=9cm,width=14cm]{./grafiken/zellenmodell6_tr1.tif}
  \caption{Modellierungsergebnis Zellenmodell \textbf{B} Trajektorie 1.}\label{pic:zellenmodell6_tr1}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \ingraph{14}{0}{../bilder/apps/zellenmodell6_tr8}
  %\includegraphics[height=9cm,width=14cm]{./grafiken/zellenmodell6_tr8.tif}
  \caption{Modellierungsergebnis Zellenmodell \textbf{B} Trajektorie 8.}\label{pic:zellenmodell6_tr8}
\end{figure}

\pagebreak

Die Abbildungen \ref{pic:zellenmodell6_tr1} und
\ref{pic:zellenmodell6_tr8} zeigen beispielhaft für zwei
ausgewählte Sprungantworten die extrem gute Übereinstimmung von
aufgenommenen Datenwerten und Ausgangswerten des Zellenmodells
\textbf{B}. Welches Verbesserungspotenzial sich in Bezug auf die
Regleroptimierung durch die Beachtung der Strömungskräfte ergibt,
wird aus Abbildung \ref{pic:lastoptimiert} deutlich. Darin ist das
Führungsverhalten eines NG6--Ventils beim Betrieb unter Last
dargestellt, wobei das verwendete Ventil einen größeren
Arbeitsbereich aufweist als das üblicherweise betrachtete Ventil.
Dieses Ventil wird einmal mit dem Standardregler betrieben und
einmal mit einem unter simulierter Last optimierten Regler.
Aufgrund des größeren Arbeitsbereichs ist das Strömungskraftmodell
nicht optimal an dieses Ventil angepasst. Das führt dazu, dass
beispielsweise beim dritten Sprung der dargestellten Sprungfolge
eine Verschlechterung auftritt. Es können aber trotzdem bereits
deutliche Verbesserungen erzielt werden.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \ingraph{14}{0}{../bilder/apps/lastoptimiert}
  %\includegraphics[height=9cm,width=14cm]{./grafiken/lastoptimiert.tif}
  \caption{Vergleich des Standardreglers mit dem unter simulierter Last optimierten Regler.}\label{pic:lastoptimiert}
\end{figure}

Der unter simulierter Last optimierte Regler verhindert beim
ersten Groß\-sig\-nal\-sprung ein großes Überschwingen, wie es
beim Einsatz des Standardreglers auftritt. Auch bei dem zweiten
Großsignalsprung ist die Schwingneigung reduziert. Besonders
deutlich tritt der Unterschied auch  bei dem letzten
Mittelsig\-nal\-sprung hervor, wo die großen Oszillationen des
Standardreglers vollständig beseitigt sind.

\subsection[Evolution von TSK--Fuzzy--Reglern]{Relevanzbasierte strukturelle Evolution von TSK--Fuzzy--Reglern}
\label{subsec:F pendel}

Ausgehend von den vorherigen sehr guten Modellierungsergebnissen
ist die Grundidee der graduellen Verfeinerung beim evolutionären
iterativen Selektionsverfahren für die Fuzzy--Modellierung auf
einen schrittweisen Entwurf von TSK--Fuzzy--Regler für
nichtlineare Systeme übertragen und an einem realen
Anwendungsbeispiel untersucht worden \cite{ HSS05,HS05}. Da das
optimale Kennfeld eines Fuzzy--Reglers im vorhinein nicht bekannt
ist, lässt sich beim datenbasierten Reglerentwurf nicht wie bei
der Fuzzy--Modellierung ein lokaler Modellfehler bewerten, anhand
dessen sich Strukturparameter optimieren ließen. Es lässt sich
lediglich das Gesamtverhalten des geschlossenen Regelkreises im
Zusammenspiel aller Regeln bestimmen. Darüber hinaus ist analog
zur Problematik der Merkmalsselektion auch beim Reglerentwurf
nicht bekannt, welche Partitionierung für das Regelungsproblem
optimal ist, also entlang welcher Zustandsgrößen der Zustandsraum
zu partitionieren ist und in welche Fuzzy--Mengen diese zu
unterteilen sind. Zur Lösung dieses komplexen Entwurfsproblems ist
das im Rahmen dieser Arbeit entwickelte evolutionäre iterative
Verfahren zur Merkmalsselektion dahingehend übertragen worden,
dass sowohl die Struktur und die Parameter der
Zustandsraumpartitionierung als auch die Verstärkungsfaktoren in
der Konklusion der TSK--Fuzzy--Regeln in Bezug auf ein
anwendungsszpezifisch formuliertes Gütefunktional optimiert
werden. Dieses Verfahren ist am Beispiel eines inversen
Rotationspendels erprobt worden.

\begin{figure}[htp]
\centering \ingraph{6.5}{0}{../Bilder/apps/InversesPendel.eps}
\caption{Inveres Rotationspendel.} \label{fig_pendulum}
\end{figure}


Das inverse Rotationspendel in Abbildung \ref{fig_pendulum}
besteht aus zwei senkrecht zueinander angeordneten Achsen, wobei
die erste vertikale Achse von einem Motor angetrieben wird. Das an
der zweiten horizontalen Achse befestigte Pendel kann dagegen frei
schwingen. Das Regelungsziel besteht im Aufschwingen des Pendels
aus der unteren Ruhelage und der anschließenden Stabilisierung des
freien Pendels in der oberen instabilen Ruhelage. Das dynamische
Verhalten des inversen Rotationspendels ist beschrieben durch ein
nichtlineares Differentialgleichungssystem vierter Ordnung
\begin{equation}
\ddot{\varphi}  =   -c_1 \, \dot{\varphi} + c_2\,u \quad
\mbox{und}
\end{equation}
\begin{equation}
%\begin{split}
\ddot{\theta}=c_3 \left[-c_4 \,\ddot{\varphi}\,\cos(\theta) + c_5 \,\dot{\varphi}^2\cos(\theta)\sin(\theta) \right.\\
\left. + c_6\,\sin(\theta) - c_7 \,\dot{\theta}\right]\,,
%\end{split}
\end{equation}

wobei $\theta$ die Winkelstellung des inversen Pendels, $\varphi$
die Winkelstellung des horizontalen Armes und $\tau$ das vom Motor
erzeugte Drehmoment darstellen. Die Koeffizienten $c_i$ lassen
sich aus den Systemparametern
\begin{align*}
c_1 =  \mu_{_{gear}} \; \; \; c_3 = \frac {1} {J_p + m_p \; \left(\frac {l_p} {2}\right)^2} \; \; \; c_5  = m_p \; \left(\frac {l_p} {2}\right)^2\\
c_2 = \eta \; \; \; c_4  = m_p \; \frac {l_p \; l_b} {2} \; \; \;
c_6 = m_p \; g \; \frac {l_p}{2} \; \; \; c_7 = \mu_{_{bearing}} \\
\end{align*}
berechnen, wobei $l_p$ die Länge, $m_p$ die Masse und  $J_p$ das
Trägheitsmoment des vertikalen Armes, $\mu_{gear}$ und
$\mu_{bearing}$ die Reibungskoeffizienten des Motorgetriebes und
des Pendellagers und $\eta$ die statische Verstärkung zwischen
Motorspannung und Motorgeschwindigkeit beschreiben. Die
Regelungsaufgabe wird durch zwei separate Fuzzy--Regler gelöst,
zwischen denen über ein Hystereseglied situationsabhängig
umgeschaltet wird: Ein Regler soll das Pendel in möglichst kurzer
Zeit aufschwingen, wohingegen ein zweiter Regler das Pendel für
kleinere Auslenkungen um die obere Ruhelage stabilisiert.



Den Ausgangspunkt zur\emph{ relevanzbasierten Evolution eines
TSK--Fuzzy--Reglers} stellt dabei ein optimaler linearer Regler
dar, welcher aus einem am gewünschten Arbeitspunkt linearisierten
Modell hergeleitet und dann durch eine einzelne globale
Fuzzy--Regel\\

\begin{sl}
\quad IF $X$ is A THEN $u = k_0 + \sum_i k_i x_i$ \end{sl}\,,\quad mit $\mu_A(x)=1 \, , \, \forall x \in X$\\

implementiert wird. Die Verstärkungsfaktoren $k_i$ werden mit
Hilfe des LQR--Verfahrens bestimmt. Das ursprünglich lineare
Kennfeld wird durch eine Partitionierung des Zustandsraumes in
Fuzzy--Mengen schrittweise verfeinert, so dass der Zustandsraum in
verschiedenen Regionen durch Regeln mit unterschiedlichen
Verstärkungsfaktoren überdeckt wird. Die Strukturerweiterung
erfolgt dabei durch Einfügen zusätzlicher Fuzzy--Mengen entlang
jeweils einer Eingangsgröße, einhergehend mit einer Duplizierung
der Regeln. Dabei kann die neue Fuzzy--Menge auf zwei
unterschiedliche Arten generiert werden und zwar durch Teilung
einer Fuzzy--Menge oder durch Einfügen einer neuen Fuzzy--Menge
zwischen zwei bestehende Fuzzy--Mengen. Im Fall des inversen
Rotationspendels als Anwendungsbeispiel sind alle
Fuzzy--Partitionierungen symmetrisch zum Ursprung definiert. Daher
wird dort eine Erweiterungsoperation immer simultan auf die
entsprechende Fuzzy--Menge im negativen und im positiven Teilraum
angewandt.
\begin{figure}[h]  \centering
\ingraph{16}{0}{../Bilder/summary/FuzzKlein.eps}
\caption{\label{fig_augment} Zwei mögliche Partitionierungen des
Zustandsraums für einen TSK--Fuzzy-Regler.}
\end{figure}

Abbildung \ref{fig_augment} illustriert den Erweiterungsschritt
für einen Regler am Beispiel von zwei der vier Zustandsgrößen
($\theta$ und $\dot{\theta}$). Die Anfangspopulation enthält
Individuen, die die Koeffizienten $\{k_0, k_{\varphi},
k_{\dot\varphi}, k_{\theta}, k_{\dot\theta}\}$ einer einzelnen
TSK--Regel $R_1$
(Abbildung~\ref{fig_augment} oben) der Form\\

\begin{sl}\quad{WENN $\theta$ ist A UND $\dot\theta$ ist B \quad DANN
$u = k_0 + k_{\varphi} \varphi + k_{\dot\varphi} \dot\varphi +
k_{\theta} \theta + k_{\dot{\theta}} \dot{\theta}$}\end{sl},\\
$\quad$mit $\mu_A(\varphi)=1 \; \mbox{und} \; \mu_B(\dot\varphi)=1
\;
\, \forall \varphi, \dot\varphi \in X$\\

enthalten. Die Koeffizienten werden entweder zufällig
initialisiert, oder durch die Anwendung des LQR--Verfahrens
ermittelt.

Die Verfeinerung der Zustandsraumpartitionierung kann entlang
jeder der vier Zustandsgrößen erfolgen. Abbildung
\ref{fig_augment} zeigt zwei mögliche Unterteilungen entlang der
Zustandsgrößen $\dot\theta$ (unten links) und $\theta$ (unten
rechts). Im ersten Fall wird die globale Zugehörigkeitsfunktion
$B$ durch drei überlappende trapezförmige Fuzzy--Mengen
$B_1,B_2,B_3$ ersetzt. Die ursprünglich einzige Regel $R_1$ wird
dabei durch drei Regeln $R_1, R_2, R_3$ mit unterschiedlichen
Koeffizienten $k_i^1, k_i^2, k_i^3$ substituiert. Ein zur
Kodierung der $k_i$ ursprünglich aus fünf Zielvariablen
bestehendes Individuum wird durch ein $15$--parametriges
Individuum ersetzt, das zunächst aus drei identischen Kopien der
ursprünglichen Koeffizienten $k_i$ besteht. Zusätzliche Parameter
kodieren die Stützstellen des Überlappungsbereichs der
benachbarten Fuzzy-Mengen $A_1$/$A_2$ und $A_2$/$A_3$ bzw.
$B_1$/$B_2$ und $B_2$/$B_3$.

Jede vorhandene Zustandsgröße wird  entsprechend behandelt und
innerhalb einer isolierten Subpopulation mittels einer verzweigten
Evolutionsstrategie optimiert. Alle Lösungen einer Subpopulation
partitionieren den Eingangsraum entlang der gleichen
Eingangsgröße. In den nachfolgenden Generationen entwickeln sich
die Subpopulationen parallel und unabhängig voneinander, wobei die
Evolutionsstrategie jeweils die ihrer Partitionierung des
Fuzzy--Reglers entsprechenden Parameter optimiert.
\begin{figure}[h]  \centering
\ingraph{9}{0}{../Bilder/summary/LEARNn.eps}\caption{\label{fig_subpop}
Evolutionsschema zum iterativen evolutionären Entwurf eines
TSK--Fuzzy--Reglers für eine Regelstrecke mit vier
Zustandsgrößen.}
\end{figure}

Nach einigen Generationen werden die besten Lösungen der
Subpopulationen untereinander verglichen. Die Population mit dem
größten Fortschritt definiert für die vorgesehene Erweiterung die
relevanteste Einflussgröße und überlebt, alle übrigen
Subpopulation werden verworfen. Dieser Kreislauf aus struktureller
Erweiterung des Fuzzy--Reglers und Optimierung der zusätzlichen
Freiheitsgrade wird so lange fortgesetzt, bis eine feinere
Partitionierung zu keiner nennenswerten Verbesserung des
Regelverhaltens mehr führt. Abbildung \ref{fig_subpop}
verdeutlicht graphisch dieses Schema. Der wesentliche Vorteil
dieser neuen Methode zum Reglerentwurf besteht darin, dass eine
strukturelle Anpassung und Parameteroptimierung kombiniert
angewendet wird. Anstatt eine feste komplexe Struktur mit einer
Vielzahl von Parametern direkt zu optimieren, wird so die
Dimension des Optimierungsraumes schrittweise erhöht und die
Struktur flexibel gehalten. Dabei wird die Population der nächsten
Stufe durch die zunächst neutrale Erweiterung des Reglers bereits
mit einer gut angepassten Lösung der vorherigen Stufe
vorinitialisiert.

Die relevanzbasierte strukturelle Entwicklung des Kennfelds über
die zwei Erweiterungsstufen ist in Abbildung \ref{fig_surface} für
das Beispiel des Stabilisierungsreglers für das inverse
Rotationspendel dargestellt.
\begin{figure}[!htp]
\centering \ingraph{5.5}{0}{../Bilder/apps/regler0_.eps}
\ingraph{5.5}{0}{../Bilder/apps/regler1_3_.eps}
\ingraph{5.5}{0}{../Bilder/apps/regler2_1_.eps}
%\ingraph{4}{0}{../Bilder/apps/regler3_3_.eps}
%\includegraphics[width=1.8in]{Bilder/regler0_.eps}
%\includegraphics[width=1.8in]{Bilder/regler1_3_.eps}
%\includegraphics[width=1.8in]{Bilder/regler2_1_.eps}
%\includegraphics[width=1.8in]{Bilder/regler3_3_.eps}
\caption{Entwicklung des Kennfeldes für die ersten zwei
Erweiterungsstufen.} \label{fig_surface}
\end{figure}

Dabei sei angemerkt, dass die Graphiken jeweils die Projektion des
vierdimensionalen Kennfelds auf die Zustandsgrößen $\varphi$ und
$\theta$ enthalten. In der linken Abbildung ist das beste lineare
Reglergesetz abgebildet. In den nachfolgenden Erweiterungen wird
deutlich, wie die Nichtlinearität des Kennfelds mit wachsender
Anzahl von Regeln in den nächsten zwei Erweiterungsschritten
zunimmt.

Die damit erzielten Ergebnisse bezüglich des Ausregelverhaltens
werden in Abbildung \ref{fig_gamma} verdeutlicht. Darin sind die
Verläufe der beiden Winkel $\theta$ für das Pendel (oben) und
$\varphi$ für den horizontalen Arm (unten) dargestellt, die
während eines Ausregelvorganges bei einer vorgegebenen
Störauslenkung von $\theta=0,6$ auftreten. Beide Abbildung
enthalten sechs zeitliche Verläufe, die dem Ergebnis der nach
Relevanzgesichtspunkten ausgewählten optimierten Reglern der
jeweiligen Erweiterungsstufe entsprechen. Dunklere Linien
korrespondieren dabei mit Reglern gesteigerter Komplexität, wobei
die ganz dunkle Linie dem finalen Regler nach fünf
Erweiterungsschritten mit dem geringsten Zustandsfehler
entspricht. Die Ergebnisse bestätigen eine kontinuierliche
Verbesserung des Regelverhaltens mit zunehmender Komplexitätsstufe
und damit verbundenen zusätzlichen Freiheitsgraden des Reglers.
\begin{figure}[!htp]
\centering \ingraph{9}{0}{../Bilder/apps/theta.eps}
\ingraph{9}{0}{../Bilder/apps/phi.eps}
%\includegraphics[width=2.9in]{Bilder/theta.eps}
%\includegraphics[width=2.9in]{Bilder/phi.eps}
\caption{Entwicklung des Regelverhaltens für verschiedene
Strukturerweiterungen des TSK--Fuzzy--Reglers.}\label{fig_gamma}
\end{figure}

Die Anwendung des relevanzbasierten evolutionären
Entwurfsverfahrens für einen TSK--Aufschwingregler erfolgt analog
der vorher beschriebenen Vorgehensweise unter Verwendung eines an
die Aufgabenstellung angepassten Gütefunktionals. Das erreichte
gute Regelungsverhalten des so gewonnenen Gesamtsystems ist in
Abbildung \ref{fig:zusammen} als gestrichelte Linie dargestellt.
Zur Analyse der Robustheit des Regelungssystems werden zwei
verschiedene Störgrößen auf den Eingang des Pendel\-modells
überlagert. Das Störsignal besteht einerseits aus einem
dauerhaften gaußverteilten Rauschen mit einer Varianz von
\(\sigma^{2}=0,0005\). Zusätzlich wird zum Zeitpunkt $t^*=8s$ dem
bereits stabilisierten Pendel ein Rechteckimpuls mit einer
Pulsweite von $T=200ms$ und einer Amplitude von $0,1$
aufgeschaltet. Diese Störung ist so groß, dass der stabilisierende
Regler diese nicht ausregeln kann, so dass vorübergehend der
Aufschwingregler aktiviert wird. Als Ergebnis zeigt sich insgesamt
ein sehr robustes Regelungsverhalten, welches nach dem Störimpuls
zu einem schnellen Wiederaufschwingen und dauerhaftem
Stabilisieren des inversen Rotationspendels führt (durchgezogene
Linien in Abbildung \ref{fig:zusammen}).

\begin{figure}[h]
  \centering
  \ingraph{10}{0}{../Bilder/apps/zusammen.eps}
    \caption{Ausgangsverhalten des Regelungssystems mit und ohne Störsignale.}\label{fig:zusammen}
\end{figure}


Weitere Details hierzu sowie eine weitere Anwendung des Verfahrens
zum Entwurf eines TSK--Reglers zur Roboternavigation ist in
\cite{HSH07} zu finden.

%\section{Zusammenfassung}
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% Ende von filter.tex
