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% task.tex
% enthält die Aufgabenstellung
%
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%
\chapter{Einordnung und Zielsetzung}
\label{chap:task}
% chapter A
\section{Ausgangssituation}

In diesem Kapitel wird, ausgehend von dem übergeordneten
Themenkomplex der quantitativen Modellierung, eine Präzisierung
der dieser Arbeit zugrunde liegenden Aufgabenstellung und
Zielsetzung vorgenommen. Zunächst wird dafür die
Leistungsfähigkeit der datenbasierten Fuzzy--Modellierung
aufgezeigt. Von essenzieller Bedeutung für die
Modellierungsverfahren ist dabei der Grad der Komplexität des zu
lösenden Modellierungsproblems. Diese wird zum einen durch die
Anzahl der beteiligten Systemgrößen bestimmt, die direkt als
potenzielle Einflussgrößen bei der Fuzzy--Modellierung verwendet
werden können. Zum anderen wird die Komplexität durch die Art der
Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Systemgrößen maßgeblich
beeinflusst. Fehlendes Expertenwissen über das betrachtete System
bedingt darüber hinaus Methoden zur automatisierten
Fuzzy--Partitionierung der bei der Modellierung verwendeten
Systemgrößen und führt dementsprechend ebenfalls beträchtlich zu
einer Verminderung der Komplexität. Trotz vielfältiger
methodischer Weiterentwicklungen vieler Verfahren zur
datenbasierten Fuzzy--Modellierung sind damit vergleichsweise
geringe Fortschritte in der Richtung erzielt worden, dass
hochkomplexe Systeme besser beherrscht werden können. In den
einschlägigen Publikationen sind keine wesentlichen Erfolge zur
Ausdehnung ihrer Anwendungsgrenzen hinsichtlich dieser Komplexität
von Modellierungsproblemen zu finden. Statt dessen zeigen Ansätze
zu einer der Modellierung vorgeschalteten Komplexitätsreduktion
wesentlich bessere Erfolge. Insbesondere Verfahren zur Selektion
von Eingangsgrößen --- der sogenannten \emph{Merkmalsselektion}
---  entlasten die Modellierungsverfahren erheblich und
ermöglichen meist die Generierung von genaueren Modellen mit zudem
verminderter Komplexität. Vor diesem Hintergrund werden die
generellen Anforderungen, die im Rahmen dieser Arbeit an die zu
entwickelnden Verfahren zur Merkmalsselektion zu stellen sind, wie
folgt formuliert: Durch aufeinander abgestimmte neue Verfahren zur
Merkmalsselektion und Fuzzy-Partitionierung soll auch für sehr
komplexe Anwendungen die Generierung interpretierbarer
quantitativer Fuzzy--Modelle automatisch, d.~h. auch bei wenig
verfügbarem Systemwissen, ermöglicht werden.

Hinsichtlich dieses Anforderungsprofils wird zunächst in Abschnitt
\ref{sec:A_aufg_modell} die Aufgabenstellung der quantitativen
Modellbildung sowie die prinzipielle Vorgehensweise der
datenbasierten Modellierung vorgestellt. Darauf aufbauend wird in
Abschnitt \ref{sec:A_fuzz_modellierung} der Einsatz der
Fuzzy--Logik motiviert und die Vor- und Nachteile verschiedener
Ansätze für die datenbasierte Fuzzy--Modellierung miteinander
verglichen. Dabei wird auch eine Einordnung des in dieser Arbeit
verwendeten Fuzzy--ROSA--Verfahrens vorgenommen. Nach einem
 Exkurs in die COD-Problematik\footnote{engl.: {\em Curse
of Dimensionality}} (Abschnitt \ref{sec:A_Merkmalsselektion}) und
einer kurzen Darstellung des Einflusses der Fuzzy--Partitionierung
(Abschnitt auf das Modellierungsergebnis
\ref{sec:A_fuzz_partitionierung}) werden schließlich in Abschnitt
\ref{sec:A_ziele} Ansatzpunkte für eine Ausdehnung des
Anwendungsfelds der datenbasierten Fuzzy--Modellierung in Richtung
höherer Komplexität durch geeignete Methoden der
Datenvorverarbeitung herausgearbeitet und konkrete Ziele für diese
Arbeit formuliert.


\subsection{Quantitative Modellierung} \label{sec:A_aufg_modell}

\subsubsection{Aufgabenstellung} Ausgangspunkt dieser Arbeit ist
die quantitative Modellierung, deren Aufgabenstellung in Abbildung
\ref{fig:task} illustriert ist. Das grundlegende Ziel besteht
dabei in einer möglichst guten Nachbildung des
Eingangs-/Ausgangsverhaltens eines betrachteten
MISO\footnote{engl.: {\em Multi Input Single Output}}--Systems mit
$\NV$ Eingangsgrößen $\X_{\iV}$, $\iV \in \{1, \dots,\NV\}$ und
einer Ausgangsgröße $\Y$.

\begin{figure}[h]
\centering \ingraph{16}{0.5}{../Bilder/task/task}
\caption{\label{fig:task} Aufgabenstellung der quantitativen
Modellierung.}
\end{figure}

Der Begriff System ist dabei so weitläufig gefasst, dass damit
sowohl konkrete reale technische Systemen als auch virtuelle
Systemen, wie beispielsweise wirtschaftliche Prozessabläufe,
erfasst werden können. Die Abbildung des
Eingangs-/Ausgangsverhaltens erfolgt bei komplexen Systemen häufig
vereinfachend, da in den meisten Fällen nie der ganze Umfang eines
zu modellierenden Systems erfasst werden kann. Das entworfene
Modell enthält in der Regel eine Berechnungsvorschrift, mit der
der interessierende Ausgangsgrößenwert $\y_{\sit}$ des in der
$\sit$--ten Situation (z.~B. im Zeitpunkt $t_{\sit}$) betrachteten
Systems auf Grundlage der anstehenden Eingangsgrößenwerte
$\x_{1,\sit},\dots,\x_{\NV,\sit}$ möglichst genau ermittelt werden
kann. Die Modellierungsgüte ist dabei umso besser, je weniger die
berechneten Werte $\ym_{\sit}$ von den tatsächlichen
Ausgangsgrößenwerten $\y_{\sit}$ im Mittel aller $\sit$ gegebenen
oder beobachteten Eingangssituationen abweicht.

\subsubsection{Typisierung der Systemgrößen}
In Anlehnung an die deskriptive Statistik können die beobachtbaren
Systemgrößen in drei verschiedene Typen eingeteilt werden:

\begin{itemize}
\item {\em Nominale Größen} nehmen ausschließlich symbolische
Werte an, die nicht miteinander vergleichbar sind und keiner
Rangfolge bezüglich einer kleiner--größer Relation angeordnet
werden können. Beispielsweise können die Werte einer Systemgröße
{\em Beruf} die Werte {\em Bäcker}, {\em Schlosser} und {\em
Verkäufer} annehmen. Im Rahmen dieser Arbeit werden prinzipiell
die verschiedenen symbolischen Werte einer nominalen Größe als von
eins an aufsteigende natürliche Zahlen kodiert.

\item {\em Ordinale Größen} nehmen ebenfalls wie nominale Größen
ausschließlich symbolische Werte an, die sich jedoch in ihrer
Intensität unterscheiden und sich somit bezüglich einer
kleiner--größer Relation anordnen lassen. Die Abstände zwischen
den symbolischen Werten lassen sich jedoch nicht interpretieren.
Als Beispiel hierfür sei die Systemgröße {\em Temperatur}
angeführt, die in Form qualitativer Temperaturangaben die
symbolischen Werte {\em kalt}, {\em normal}, {\em warm} und {\em
heiß} annehmen kann. Im Rahmen dieser Arbeit werden ordinale
Größen ebenso wie nominale Größen behandelt und entsprechend
kodiert.

\item {\em Kontinuierliche Größen} können beliebige reelle Werte
annehmen, die einer festen metrischen Skala unterliegen. Alle
Werte lassen sich bezüglich einer kleiner--größer Relation
anordnen. Die Abstände zwischen zwei Werten lassen sich
interpretieren und mit anderen Abständen  ebenfalls im Sinne einer
kleiner--größer Relation vergleichen. Zum Beispiel stellen die
realen in Grad Celsius gemessenen Werte einer Systemgröße {\em
Temperatur} eine kontinuierliche Größe dar.
\end{itemize}

Eine andere gebräuchliche Art der Klassifizierung ist die
Einteilung in {\em stetige} und {\em diskrete Größen}, anhand
derer auch eine Typisierung der Modellierungsprobleme vorgenommen
wird. {\em Diskrete Größen} können ausschließlich eine endliche
Zahl von Werten annehmen. Hierzu zählen demnach die oben
eingeführten nominalen und ordinalen Größen. Demgegenüber
bezeichnet man die kontinuierlichen Größen auch als {\em stetige}
Größen, die beliebig viele Werte in einem bestimmten Bereich
annehmen können.


\subsubsection{Typisierung der Modellierungsaufgaben}
Generell werden zwei Einsatzmöglichkeiten der quantitativen
Modellierung voneinander unterschieden. Unter {\em Approximation}
wird im Rahmen dieser Arbeit die reine Nachbildung des
Eingangs-/Aus\-gangs\-ver\-hal\-tens eines Systems mit stetiger
Ausgangsgröße $\y$ verstanden. Zur Beurteilung der
Modellgenauigkeit des erhaltenen Modells wird in erster Linie der
mittlere quadratische oder mittlere absolute Fehler herangezogen
(Abschnitt \ref{chap:C_RelBewert}). Anwendung finden solche
Modelle in der Simulation, für die Kennfeldnachbildung, bei der
Prognose oder beim Wissenserwerb im Sinne einer Prozessanalyse.
Eine Simulation kann beispielsweise im Rahmen eines Reglerentwurfs
oder dessen Optimierung sehr nützlich sein, indem man Kosten
vermindert und Risiken einschränkt, die bei Experimenten am realen
System auftreten würden. Ein Beispiel hierfür ist die Modellierung
der Strömungskraft für ein Hydraulikventil (Abschnitt
\ref{subsec:F bosch}) oder die Adaption von Strategieparametern
für ein Kraftwerksführungssystem in der Energieversorgung
(Abschnitt \ref{subsec:F vew_strat}). Eine spezielle
Aufgabenstellung der Approximation ist die {\em Prognose}, bei der
aus bekannten Werten ein zukünftiger Wert $\y$ vorhergesagt werden
soll, wie bei der kurzfristigen Lastprognose in der
Energieversorgung (Abschnitt \ref{subsec:F vew_prog}).

Im Gegensatz zu der Problemklasse der Approximation wird bei der
{\em Klassifikation} kein stetiger kontinuierlicher
Ausgangsgrößenwert ermittelt, sondern immer ein diskreter
Ausgangsgrößenwert (auch {\em Klasse} genannt) ausgegeben. Die
zugrunde liegende Modellierungsaufgabe besteht somit in dem
Entwurf eines Klassifikators, der anhand der anstehenden
Eingangsgrößenwerte $\x_{1,\sit},\dots,\x_{\NV,\sit}$ der
$\sit$--Situation den geeignetsten Ausgangsklassenwert
$\ym_{\sit}$ aus der Menge $\Menge{Y}$ mit
$\Menge{Y}=\{\tilde{y}_{\it 1},\tilde{y}_{\it
2},\ldots,\tilde{y}_{\eta}\}$ aller $\eta$ möglichen Klassen
ausgibt. In \cite{BP92chap1} wird diese Aufgabe auch
Parameterbestimmung einer Klassifizierungsfunktion genannt, und
die Lernaufgabe wird mit {\em Supervised Learning} bezeichnet,
weil die Zuordnung zu den Klassen in den Lerndaten bereits
vorliegen muss ({\em gelabelte} Daten). Zur Beurteilung der
Qualität eines entworfenen Klassifikators wird üblicherweise ein
Fehlermaß wie der relative Klassifikationsfehler
(Abschnitt~\ref{chap:C_RelBewert}) verwendet. Neben vielen
etablierten Benchmarkproblemen (Abschnitt \ref{sec:F_bench}) wird
in dieser Arbeit als Anwendungsbeispiel für ein
Klassifikationsproblem die Getriebeklassifikation
(Abschnitt~\ref{subsec:F_daimler}) vorgestellt, bei der anhand
akustischer Qualitätsmerkmale entschieden werden soll, ob ein
Getriebe in Ordnung ist oder nicht. Abschließend sei hier noch
angemerkt, dass in der Literatur (z.~B. \cite{Zim95,HKK97}) unter
Klassifikation auch der Prozess der Zusammenfassung ähnlicher
Objekte (z.~B. mit Clusterverfahren) im Sinne einer {\em
Klassenbildung} verstanden wird. Das Ziel einer derartigen
Klassifikation ist somit das Aufspüren von Strukturen in gegebenen
Daten und kann daher nicht der quantitativen Modellierung
zugeordnet werden.

\subsubsection{Ansätze zur quantitativen Modellierung}
Infolge des breiten Anwendungsfeldes werden in der Literatur
zahlreiche Ansätze für die quantitative Modellierung
vorgeschlagen. Wie in Kapitel \ref{chap:intro} bereits ausgeführt,
unterscheiden sich die verschiedenen Modellierungsverfahren zum
einen im Umfang des benötigten Vorwissens, um zum Beispiel die
Wahl eines geeigneten Strukturansatzes für die Modellierung
treffen zu können. Zum anderen differieren die generierten Modelle
je nach verwendetem Modellierungsverfahren hinsichtlich der
erzielbaren Modellierungsgüte und auch bezüglich der
Interpretierbarkeit. Zusätzlich sind teilweise sehr
unterschiedliche Anwendungsgrenzen der Modellierungsverfahren für
komplexe Aufgabenstellungen zu verzeichnen. Im Folgenden wird ein
kurzer Überblick über existierende Ansätze zur quantitativen
Modellierung gegeben und darauf aufbauend genauer auf die
datenbasierte Modellierung eingegangen.

Ein möglicher Ansatz zur Erstellung eines Modells ist die
sogenannte {\em mathematisch-physikalische} Modellierung
\cite{LW98}. Dabei werden für die Wirkungszusammenhänge des
Systems die entsprechenden beschreibenden physikalischen
Gleichungen aufgestellt und gelöst. Für den Fall dass alle
Systemparameter bekannt und die Gleichungen auch wirklich
eindeutig lösbar sind, kann das ermittelte Modell direkt zur
Berechnung des Eingangs-/Ausgangsverhaltens genutzt werden. Diese
{\em wissensbasierte Modellierung}, auch {\em theoretische
Analyse} genannt, setzt ein tiefgreifendes Verständnis der
betrachteten Systeme voraus und ist für komplexere Anwendungen
meist ungeeignet oder zumindest sehr zeitaufwändig. Für den Fall
einiger unbekannter Systemparameter können diese im Rahmen einer
so genannten {\em experimentellen Analyse} anhand am realen System
gemessener Eingangs- und Ausgangssignale identifiziert werden.
Diese Experimente bieten zudem eine Möglichkeit zur Verifikation
des gewählten Strukturansatzes. Aufgrund der Nachvollziehbarkeit
der ermittelten Modellgleichungen, die auf innerer
Ursache--Wirkungszusammenhänge des Systems basieren, sind die
erhaltenen quantitativen Modelle transparent. Zusätzlich
ermöglichen sie analytische Betrachtungen, die unter Umständen
auch Rückschlüsse auf das Systemverhalten für ein Kontinuum an
möglichen Systemparametern oder Betriebssituationen zulassen. In
Anlehnung an die Vorgehensweise dieser Modellbildung und die damit
verbundene Transparenz der generierten Modelle wird dieser Ansatz
auch {\em deduktive} oder {\em white--box} Modellierung genannt.

Dem gegenüber ist beim anderen Ansatz der {\em datenbasierten}
Modellierung kein tieferes Verständnis der Systemzusammenhänge für
eine Nachbildung des Eingangs-/Ausgangsverhaltens erforderlich.
Bei diesem Ansatz werden zunächst Daten, die möglichst alle
relevanten Systemzusammenhänge oder Betriebssituationen abdecken,
am realen System erhoben. Auf Grundlage dieser Beobachtungsdaten
wird dann mittels eines sogenannten {\em Lernverfahrens} induktiv
ein Modell erstellt. Für eine solche rein quantitative
Modellierung wird beispielsweise bei statistischen
Modellierungsansätzen eine allgemeine Funktion angesetzt und deren
freie Parameter werden mit Hilfe einer Regressionsanalyse anhand
der Beobachtungsdaten ermittelt \cite{SliSt95}. Im Bereich der
Computational Intelligence werden für die gleiche Aufgabenstellung
u.~a. künstliche neuronale Netze eingesetzt \cite{Kin94,Roj96}.
Künstliche neuronale Netze haben den biologischen Aufbau eines
Gehirns zum Vorbild. Sie liefern zwar quantitativ häufig genaue
Modelle, sind aber von der Anschauung her in der Regel nicht für
den Menschen verständlich und somit auch nicht interpretierbar.
Dementsprechend werden solche Ansätze auch als {\em induktive}
oder {\em black--box} Modellierung bezeichnet. Die generelle
Vorgehensweise zur datenbasierten Modellierung wird im
nachfolgenden Abschnitt \ref{sec:A_fuzz_modellierung} am Beispiel
der datenbasierten Fuzzy--Modellierung vorgestellt.

Methoden zur Fuzzy--Modellierung generieren eine
Wissensrepräsentation, bei der die in den Daten gefundenen
Systemzusammenhänge in Form von intuitiv verständlichen
\WENN--\DANN--Regeln ausgedrückt werden. Diese Methoden stehen
gegenwärtig im Zentrum des Forschungsinteresses. Dies ist
insbesondere dadurch motiviert, dass die Interpretierbarkeit
solcher generierter Fuzzy--Modelle einen entscheidenden positiven
Einfluss auf die Akzeptanz in industriellen Anwendungsfeldern
ausübt. Von entsprechend hohem Interesse sind datenbasierte
Ansätze, mit denen interpretierbare Modelle generiert werden
können.  In Abgrenzung zu der Exaktheit der allumfassenden
mathematischen Modellierung wird diese mehr qualitative
Beschreibung der Zusammenhänge durch Fuzzy--Regeln in der
Literatur auch {\em grey--box} Modellierung genannt. Neben der
Interpretierbarkeit bieten Fuzzy--Modelle den Vorzug, die
generierte Wissensrepräsentation in Form der sogenannten {\em
Regelbasis} nach eingehender Analyse bearbeiten oder auch ergänzen
zu können, indem bestehende Regeln geändert oder der Regelbasis
neue Regeln hinzugefügt werden. Dies ist vor allem dann
interessant, wenn für bestimmte Systemzustände keine Daten
verfügbar sind oder etwa aus sicherheitstechnischen Gründen nicht
generiert werden können.




\subsection{Datenbasierte Fuzzy--Modellierung}
\label{sec:A_fuzz_modellierung} Im Rahmen dieser Arbeit werden
Ansätze zur Modellierung mit Hilfe von Daten nur dann als {\em
datenbasierte Modellierung} bezeichnet, wenn für ihren Einsatz
kein oder nur sehr wenig Systemverständnis notwendig ist. Damit
ist eine klare Abgrenzung gegenüber den wissensbasierten Ansätzen
möglich. Die generelle Vorgehensweise hierzu wird im Folgenden
illustriert.

\subsubsection{Ablauf einer datenbasierten Modellierung}

Die datenbasierte Modellierung lässt sich grob in die drei
Schritte {\em Datenaufbereitung}, {\em Merkmalsbildung} und {\em
Modellbildung} einteilen. Diese werden im Folgenden, anhand von
Abbildung \ref{fig:steps} beschrieben. Speziell für die
datenbasierte Fuzzy--Modellierung erforderliche zusätzliche
Schritte werden im nachfolgenden Abschnitt bei der Beschreibung
der verschiedenen Ansätze für eine datenbasierte
Fuzzy--Modellierung vorgestellt. Weiterführende Betrachtungen
hierzu sind z.~B. in \cite{BP92chap1,Zim95,CF98} zu finden.


\begin{description}

\item{\dfc Datensatzbildung:}
Zunächst wird in Form einer \emph{Datenaufnahme} am realen System
eine Stichprobe mit $\ND$ Rohdaten von \emph{potenziellen
Einflussgrößen} $\X_1,\X_2,\dots,\X_{\NV}$ und der zugehörigen
\emph{Ausgangsgröße} $\Y$ aufgenommen. Diese Datenpunkte sollten
dabei für eine möglichst repräsentative Auswahl von
Systemzuständen erhoben werden. Im Rahmen einer explorativen
\emph{Datenanalyse} werden fehlerhafte, inkonsistente oder mit
Unsicherheiten behaftete Datenpunkte, welche beispielsweise durch
Messfehler auftreten können, eliminiert. Ebenso können einfache
Methoden zur \emph{Datenaufbereitung}, wie beispielsweise eine
Normierung, Filterung, Glättung oder Offset--Bereinigung, zum
Einsatz kommen. Ergebnis der Datensatzbildung ist der {\em primäre
Datensatz} $\SD$, bestehend aus den $\ND$ Datenvektoren der in
unterschiedlichen Situationen $\iD$ (z.~B. Zeitpunkte $t_{\iD}$)
gemessenen Datenpunkte
$\Vd_{\iD}=(\Vx_{1,\iD},\Vx_{2,\iD},\dots,\Vx_{\NV,\iD},\Vy_{\iD})$,
$\iD=1,2,\dots,\ND$.


\item{\dfc Merkmalsbildung:}
Die Merkmalsbildung hat die Aufgabe aus der Menge $\SX$ aller
primären potenziellen Einflussgrößen $\X_i$ einen möglichst
kleinen Satz von relevanten und nichtredundanten Größen, einen
sogenannten \emph{Merkmalssatz} $\SM$, zu bilden. Die Werte der
aus der Merkmalsbildung hervorgegangenen $\NVsel$ Merkmale
$\M_{\iVsel}$ und der zugehörige Ausgangsgröße $\Y$ bilden die
{\em Lernstichprobe} $\SDL=(\Vm_1,\Vm_2,\dots,\Vm_{\NVsel},\Vy)$
für das nachfolgende Modellierungsverfahren. Dieser Prozess der
Merkmalsbildung hat eine entscheidende Bedeutung für den Erfolg
der nachgeschalteten datenbasierten Modellierung: Eine
Modellierung auf Grundlage des selektierten Merkmalssatzes $\SM$
kann zu einer höheren Modellgenauigkeit, als dies anhand aller
primären Einflussgrößen möglich wäre, führen. Die nachgelagerten
Verfahren zur Modellbildung werden durch die Beschränkung der
Suchraums auf die relevantesten Größen erheblich entlastet und
können zudem durch die verringerte Dimensionalität des
Modellierungsproblems Modelle mit deutlich reduzierter Komplexität
generieren (s.~a. Abschnitt \ref{sec:A_Merkmalsselektion}). Die
einzelnen Merkmale $\M_i$, $i=1,2,\dots,\NVsel$ des Merkmalssatzes
$\SM$ sind somit die späteren Eingangsgrößen des Modells und
können durch Verfahren der \emph{Merkmalswahl} einerseits direkt
aus der Menge der gemessenen potenziellen Einflussgrößen $\X_i$
selektiert werden. Andererseits können im Rahmen einer
\emph{Merkmalsgenerierung} bei der Merkmalsauswahl auch zusätzlich
von den primären Einflussgrößen abgeleitete oder aggregierte
\emph{sekundäre Merkmale} berücksichtigt werden. Die Konzeption
von Methoden zur datenbasierten Selektion relevanter und
nichtredundanter Merkmale für die datenbasierte
Fuzzy--Modellierung ist ein wesentlicher Gegenstand dieser Arbeit.
Anforderungen und Ziele hierzu werden in Kapitel~\ref{sec:A_ziele}
ausführlich erläutert.

\begin{figure}[t]
\centering \ingraph{15}{0.1}{../Bilder/task/steps}
\caption{\label{fig:steps} Ablauf der datenbasierten
Modellierung.}
\end{figure}


\item{\dfc Modellbildung:}
Vor der eigentlichen \emph{Modellidentifikation} sind in der Regel
zunächst noch eine Reihe von \emph{Strategieparametern} des
ausgewählten Modellierungsverfahrens für ein möglichst gutes
Modellierungsergebnis festzulegen. Daraufhin wird auf Basis der
erstellten Lernstichprobe datenbasiert ein Modell generiert. Eine
anschließende \emph{Bewertung} wird häufig durch eine Validierung
des Modells auf den verwendeten Lerndaten vorgenommen. Eine
Analyse der erzielten Modellgüte sowie sonstiger interessierender
Modell\-eigenschaften gibt Aufschluss darüber, ob eine erneute
Modellidentifikation mit veränderten Strategieparametern
erfolgversprechend erscheint oder ob mittels geeigneter
Algorithmen zur Struktur- oder Parameteroptimierung noch leichte
Verbesserungen von gewünschten Modelleigenschaften notwendig sind.
Zur Vermeidung einer zu starken Anpassung des generierten Modells
an die Lerndaten ({\em Overfitting}) wird die {\em
Generalisierungsfähigkeit} meist durch eine Validierung auf einer
\emph{Teststichprobe} durchgeführt. Diese Teststichprobe besteht
aus einem Teil der Lernstichprobe, der ausschließlich der
Validierung vorbehalten ist und somit zur eigentlichen
Modellidentifikation nicht verwendet wird. Wird auf diesen
Testdaten eine ähnliche Prognosegüte wie auf den Lerndaten, die
zur Modellierung verwendet wurden, erzielt, so kann daraus eine
gute Generalisierungsfähigkeit des generierten Modells abgeleitet
werden. Eine detaillierte Beschreibung verschiedener Maße zur
Bewertung der Prognosegüte findet sich in Kapitel
\ref{chap:C_RelBewert}.

\end{description}

In der Praxis zeigt sich, dass eine streng sukzessive Abarbeitung
dieser Schritte selten möglich ist. Gerade bei komplexeren
Problemen ist meistens eine iterative Vorgehensweise notwendig,
bei dem für Teile des Modellierungsprozesses verschiedene
Varianten und Algorithmen ausprobiert und somit mehrfach
durchlaufen werden.


\subsubsection{Methoden zur datenbasierten Fuzzy--Modellierung}

In den Anfängen der Fuzzy--Modellierung wurde zunächst
hauptsächlich wissensbasiert vorgegangen, bevor sich in den
letzten Jahren stark gesteigerte Forschungsaktivitäten im Bereich
der datenbasierten Fuzzy--Modellierung entwickelten. Von vielen
Wissenschaftlern konnte die Möglichkeit der datenbasierten
Generierung von Fuzzy--Modellen zur Approximation, Klassifikation,
Prognose, Reglersynthese und dynamischen Prozessmodellierung
belegt werden. In diesem Abschnitt wird zunächst ein Überblick
über die grundlegend verschiedenen Modellierungsansätze gegeben.
Dabei wird insbesondere auf die Interpretierbarkeit der
generierten Modelle, die verwendete Regelstruktur und die
handhabbare Dimensionalität des Suchraums eingegangen. Weiterhin
wird der Einsatz evolutionärer Algorithmen im Bereich der
Fuzzy--Modellierung thematisiert. Dabei werden teilweise einige
Grundprinzipien und Begriffe der Fuzzy--Logik als bekannt
vorausgesetzt, auch wenn diese inhaltlich erst in Abschnitt
\ref{chap:B_fuzzy} systematisch eingeführt werden.

Die beiden gebräuchlichsten Typen von Fuzzy--Modellen sind das
\Mam--Fuzzy--Modell \cite{MG81} und das \TSK--Fuzzy--Modell
\cite{TS85}. Der Hauptunterschied dieser Modelle liegt in der
Konklusionen der zugehörigen Fuzzy--Regeln. \Mam--Fuzzy--Regeln
haben die Form
\begin{equation*} \Regel{\mbox{\glqq \em Prämisse\grqq}}{\mbox{\glqq \em Linguistischer Term der
Ausgangsvariablen\grqq}}.
\end{equation*}

\TSK--Fuzzy--Regeln dagegen erscheinen in der Form
\begin{equation*} \Regel{\mbox{\glqq \em Prämisse\grqq}}{\mbox{\glqq \em Auswertung einer Funktion\grqq}}.
\end{equation*}

Durch die Verwendung von linguistischen Termen in der Konklusion
ist die Transparenz einer \Mam--Fuzzy--Regel gewährleistet,
während die Verwendung einer Funktion in der Konklusion einer
\TSK--Fuzzy--Regel die Nachbildung eines Systems mit geringerem
Approximationsfehler ermöglicht, wobei aber die Transparenz
deutlich eingeschränkt wird.

Wie bereits im vorherigen Abschnitt angedeutet, sind demnach bei
der datenbasierten Erstellung eines Fuzzy--Modells bei der
Modellbildung zusätzliche Anforderungen zu erfüllen:
\begin{itemize}
\item{Definition der linguistischen Werte $\ls_{\iM,\ils}$ für die zur Modellierung selektierten Merkmale $\M_{\iM}$,}
\item{Definition der linguistischen Werte $\ls_{Y,\ils}$ für die Ausgangsgröße $\Y$,}
\item{Bestimmung der Konklusionen $\conc_\iR$ bei \TSK--Fuzzy--Regeln,}
\item{Optimierung des generierten Regelsatzes $\SR$ (optional nach der Bewertung).}
\end{itemize}

Die Erfüllung dieser einzelnen Anforderungen wird bei den
verschiedenen Modellierungsverfahren in der Regel entkoppelt von
der eigentlichen Modellidentifikation durch Regelgenerierung
durchgeführt. Ausschließlich bei den Modellierungsverfahren, die
auf dem sogenannten {\em Pittsburgh--Ansatz} \cite{Smi80}
basieren, können diese Anforderung direkt bei der Regelgenerierung
mit berücksichtigt werden. Bei diesem Modellierungsansatz werden
für die Identifikation von Regelsätzen alle möglichen
Kombinationen von Regeln aufgestellt und hinsichtlich der
Modellierungsgüte bewertet. Diese vollständige Durchmusterung
aller möglichen Regelsätze garantiert, dass der bezüglich des
Gütekriteriums beste Regelsatz gefunden wird. Aufgrund der
kombinatorischen Explosion ist eine solche Vorgehensweise jedoch
nur für einfachere Anwendungsprobleme mit geringer Dimensionalität
durchführbar und wird daher in der Praxis bei hochdimensionalen
Problemen kaum angewendet. Eine simultane Identifikation bzw.
Optimierung von Zugehörigkeitsfunktionen verschärft die Situation
zusätzlich.

Durch eine individuelle Bewertung jeder einzelnen Regel anstelle
der globalen Bewertung eines Regelsatzes kann diese Problematik
umgangen werden. Dies ist der wesentliche Kern von
Modellierungsverfahren, die auf dem {\em Michigan--Ansatz}
\cite{HHN86} basieren. Das komplexe Problem, einen guten Regelsatz
zu finden, wird dadurch auf das einfachere Problem, einzelne gute
Regeln zu finden, zurückgeführt. Dies ist auch die grundlegende
Idee des im Rahmen dieser Arbeit eingesetzten
Fuzzy--ROSA--Verfahrens \cite{KK95a,Kro99,SKK01}, das in Abschnitt
\ref{sec:B_rosa} genauer beschrieben wird. Der Regelsatz wird
dabei sukzessive aus den gefundenen Regeln aufgebaut. Die
Strukturierung des Suchraums durch Definition der
Zugehörigkeitsfunktionen wird dabei praktisch offline vor der
eigentlichen Modellidentifikation durch Regelgenerierung
vorgenommen. In Abhängigkeit von der festgelegten Struktur des
Suchraums führt auch diese Vorgehensweise mit zunehmender
Komplexität zu einem unvertretbar hohen Aufwand. Somit sind auch
bei diesem Ansatz der kompletten Durchmusterung, also dem Bewerten
aller möglichen Regeln, Grenzen gesetzt \cite{KSK00}.

In Anbetracht dessen wird für die Identifikation von Regeln und
Regelsätzen in der Literatur vielfach der Einsatz evolutionärer
Algorithmen \cite{Sch95,BHS97,SHF94} vorgeschlagen, die oftmals
neben der Generierung der Regeln bzw. Regelsätze auch für die
Optimierung weiterer freier Parameter, wie insbesondere Lage und
Form der Zugehörigkeitsfunktionen
\cite{Kar91,HM92,KG93,LT93,HLV93,KKK94,Sur94,KKS00b}, verwendet
werden. Im Fall der Generierung von Regelsätzen mit Hilfe
evolutionärer Algorithmen wird häufig der Pittsburgh--Ansatz
verfolgt, bei dem ein einzelnes Individuum der Population einen
gesamten Regelsatz repräsentiert
\cite{HM92,KG93,KKK94,Wol94,Xio01}. Die grundsätzliche Aufgabe
besteht dann darin,  aus einer vorgegebenen Menge möglicher Regeln
eine bezüglich der Modellierungsgüte optimale Teilmenge als
Regelsatz auszuwählen. Für diese kombinatorische Problemstellung
werden vorzugsweise genetische Algorithmen \cite{Hol75,Gol89}
verwendet. Allerdings führt diese Vorgehensweise mit einer
steigenden Zahl von Eingangsgrößen schnell zur kombinatorischen
Explosion der Größe des resultierenden Suchraums. Der
kombinatorischen Explosion kann zumindest teilweise durch eine
Einschränkung des Suchraums entgegengewirkt werden. Dies kann
beispielsweise durch eine Begrenzung der Individuen (Regelsätze)
auf eine maximale Größe erreicht werden.  Noch viel effizienter
dagegen ist eine Beschränkung der Suche auf einzelne relevante
Regeln \cite{KKS00a}. Dies entspricht einer Modellierung nach dem
Michigan--Ansatz, wobei jede einzelne Regel von einem Individuum
repräsentiert wird. Eine wesentliche Voraussetzung dafür ist, dass
ein Bewertungsmaß für die Güte (Fitness) einzelner Regeln
konzipiert wird. Die evolutionäre Regelsuche im
Fuzzy--ROSA--Verfahren \cite{KK97a,SKH99} beruht auf der
grundsätzlichen Idee, dass während der Suche nach der im Sinne des
Bewerungsmaßes besten Regel viele gute Regeln generiert werden,
aus denen ein Regelsatz dann sukzessiv aufgebaut wird. Summa
summarum bleibt deutlich herauszustellen, dass der
Michigan--Ansatz auch für sehr komplexe Anwendungen geeignet ist
\cite{SPS99} und somit der Mehraufwand beim Entwurf und die
Tolerierung etwas geringerer Modellierungsgüten gerechtfertigt
ist.

\begin{figure}[t]
\centering \ingraph{11}{0.1}{../Bilder/task/approaches}
\caption{\label{fig:approach} Zur datenbasierten
Fuzzy--Modellierung genutzte etablierte Methoden.}
\end{figure}

Ein alternativer Zugang zur datenbasierten Fuzzy--Modellierung
bietet der Einsatz von \emph{Clusterverfahren}
\cite{Bez81,JD88,HKK97,Zim95}. Diese \emph{Instanz--basierten}
Lernverfahren (\emph{IBL}) \cite{WiMa00} sind insbesondere sehr
gut für eine Strukturierung des Suchraums und für eine erste grobe
Modellierung geeignet. Die Strukturierung des Suchraums kann dabei
in einer Merkmalsselektion \cite{Bas96}, in einer Festlegung der
Zugehörigkeitsfunktionen \cite{KS98} oder in einer Vorgabe der
Anzahl der Regeln \cite{PR96,RW96} bestehen. Sehr verbreitet ist
auch eine direkte Modellierung durch Überführung des Ergebnisses
der Clusteranalyse in Regeln \cite{ACP96,GSJ97,HC97,ON96,Chi96}.
Dabei wird jedem Cluster eine Regel zugeordnet, deren Prämisse im
Sinne von $\praemissenteil{\mbox{\em\glqq Datenpunkt im
Cluster\grqq}}$ interpretiert werden kann. Bei dieser Sichtweise
korrespondiert der Erfülltheitsgrad der Prämisse mit der
Zugehörigkeit zum Cluster. Dies wird meist durch entsprechende
eingangsseitige Zugehörigkeitsfunktionen individuell für jedes
Cluster und damit individuell für jede Regel definiert. Nachteilig
daran ist die mit Anzahl der Regeln stark ansteigende Zahl von
Zugehörigkeitsfunktionen. Da diese sich zudem stark überlappen
oder sogar vollständig überdecken können, sind die resultierenden
Modelle kaum noch interpretierbar. Zur Ermittlung der Konklusionen
der Fuzzy--Regeln werden verschiedene Verfahren zur
Datenauswertung der einzelnen Cluster vorgeschlagen. Im
einfachsten Fall erfolgt die Festlegung der Konklusion für
Mamdani--Modelle analog zur Prämisse anhand der Cluster
\cite{GSJ97}, und für Takagi--Sugeno--Kang--Modelle werden die
freien Parameter der ausgangsseitigen Funktion mit einem
klassischen Regressionsalgorithmus identifiziert \cite{BDB97}.
Insgesamt wird das Modellierungsergebnis sowie die handhabbare
Komplexität bei der beschriebenen Vorgehensweise in starkem Maße
vom verwendeten Clusterverfahren bestimmt. In hochdimensionalen
Suchräumen komplexer Anwendungspobleme können im Allgemeinen nur
unbefriedigende Resultate erzielt werden. Neben dem Nachteil, dass
bei der Mehrzahl der einsetzbaren Verfahren die Anzahl der Cluster
und damit die Anzahl der Regeln vorgegeben werden muss, wirken
sich zudem die starke Abhängigkeit des Ergebnisses von der
Initialisierung des Clusterverfahrens sowie häufig auch von der
Reihenfolge der Datenpunkte im Lerndatensatz negativ aus.

Mittlerweile finden zunehmend \emph{künstliche neuronale Netze}
(\emph{KNN}) \cite{NeuralNetFAQ} in der Fuzzy--Modellierung ihren
Einsatz mit dem Ziel, die im Allgemeinen höhere Approximationsgüte
ohne Verzicht auf die Interpretierbarkeit in sogenannten
\emph{Neuro--Fuzzy--Systemen} zu nutzen. Dazu werden in der
Literatur vermehrt Verfahren vorgeschlagen, mit denen neuronale
Netze in Fuzzy--Modelle überführt werden können
\cite{CW96,CER96,CF97,IDC97,NK97,ISU98,CL98,NK98,SKB98}.
Voraussetzung dafür sind spezielle Netzarchitekturen, bei denen im
einfachsten Fall die Eingangsneuronen der Fuzzifizierung, die
verborgenen Neuronen den Regeln und die Ausgangsneuronen der
Inferenz entsprechen. Die Hauptschwierigkeit bei der Übertragung
dieses Ansatzes auf komplexere Problemstellungen liegt darin, eine
geeignete Netzstruktur zu finden, die sowohl eine hohe
Approximationsgüte aufweist als auch zu interpretierbaren
Ergebnissen führt. Eine weitere Einsatzmöglichkeit von neuronalen
Netzen ist die Optimierung bereits bestehender Fuzzy--Modelle
\cite{JSS98,SM98,PR96}.

Des Weiteren haben sich für die datenbasierte Fuzzy--Modellierung
baumorientierte Verfahren \cite{JMM00} aus dem Bereich des {\em
Maschinellen Lernens} etabliert \cite{Qui93,Wys97}. Die Verfahren
zur Fuzzy--Regelgenerierung beruhen dabei meist auf dem von
\Quinlan{} entwickelten ID3--Algorithmus zur Induktion von
\emph{Entscheidungsbäumen} \cite{Qui93}. Entscheidungsbäume sind
aus Knoten und Blättern bestehende Graphen. Ausgehend von einem
sogenannten \emph{Wurzelknoten} werden die Knoten des Graphen bis
zu einem Blatt, d.h. einem Knoten ohne weitere Nachfolgeknoten,
durchlaufen. In jedem Knoten wird dabei aufgrund einer Bedingung
über die Auswahl des Nachfolgeknotens entschieden. Eine einfache
Bedingung kann beispielsweise die Abfrage sein, ob eine bestimmte
Eingangsgröße einen bestimmten Wert überschreitet. Ein Blatt
schließlich enthält das Entscheidungsergebnis. Entscheidungsbäume
sind jederzeit in einen Regelsatz aus Fuzzy--Regeln überführbar,
indem das Entscheidungsergebnis eines Blattes als Konklusion im
\DANN--Teil der zugehörigen Regel gesetzt wird. Die Bedingungen,
die auf dem graphischen Weg vom Wurzelknoten über die
verschiedenen Nachfolgeknoten zu diesem betrachteten Blatt zu
erfüllen sind, werden dann konjunktiv verknüpft als Prämisse im
\WENN--Teil der Regel übernommen. Der Effizienz dieser
baumorientierten Regelinduktionsverfahren stehen verschiedene
Nachteile gegenüber. Ähnlich wie bei vielen Clusterverfahren ist
das Ergebnis in Form des resultierenden Entscheidungsbaums
abhängig von der Reihenfolge der Datenpunkte im Lerndatensatz.
Zusätzlich neigen die Verfahren zu einer starken Überanpassung an
die Lerndaten (\emph{Overfitting}) und und induzieren häufig
schwer interpretierbare Regeln von hohem Spezialisierungsgrad.

Die bisher vorgestellten Ansätze belegen eindrucksvoll, dass eine
datenbasierte Generierung von Fuzzy--Modellen prinzipiell sehr gut
möglich und Gegenstand vielfältiger Forschungsaktivitäten ist. In
neueren Arbeiten sind im Bereich der Modellierungsverfahren
zunehmende Bestrebungen festzustellen, die Modellierungsgüte
weiter zu erhöhen, dabei möglichst ein Overfitting zu vermeiden
und möglichst einfach interpretierbare Fuzzy--Modelle zu erhalten.
Insbesondere die Interpretierbarkeit ist im Hinblick auf die
Akzeptanz in industriellen Anwendungsfeldern ein außerordentlich
wichtiger Aspekt, der nicht von allen Autoren angemessen
berücksichtigt wird \cite{KKN97,NK98}. Eine wesentliche
Voraussetzung für die Nachvollziehbarkeit von Regeln ist, dass sie
lokal vernünftig sind, d.~h. einen tatsächlichen Einzelaspekt des
Gesamtverhaltens beschreiben \cite{INM96,CHL96,JS98a,KT98,Kro99}.
Im Fuzzy--ROSA--Verfahren wird dies dadurch gewährleistet, dass
einzelne Regeln bezüglich ihrer Relevanz getestet werden
(Abschnitt \ref{sec:B_rosa}). Wie in \cite{YWG98} gezeigt wird,
kann bei Modellierungsansätzen, die ausschließlich den
Modellierungsfehler minimieren, dies nicht garantiert werden. Auch
bei neuronalen Netzen kann die Forderung nach lokal vernünftigen
Regeln meist nur schwer berücksichtigt werden. \pagebreak

Hinsichtlich der Interpretierbarkeit der erzeugten Modelle ist
zudem auf die Anzahl der generierten Regeln im Sinne der
Übersichtlichkeit zu achten. Der Einsatz einer nachgelagerten
Regelreduktion kann in diesem Zusammenhang eine Möglichkeit zur
Erhöhung der Interpretierbarkeit darstellen \cite{Kro96,KKS00a}.
Zusätzlich ist bezüglich der Zugehörigkeitsfunktionen anzumerken,
dass die Interpretierbarkeit der Fuzzy--Modelle steigt, wenn eine
sogenannte \emph{Standard--Fuzzy--Partitionierung} (Definition
\ref{def:standardpart}) oder zumindest eine geordnete Folge nicht
zu stark überlappender Zugehörigkeitsfunktionen verwendet wird.
Gerade bei Verfahren, die für jede Regel eigene
Zugehörigkeitsfunktionen erzeugen, ist dies häufig nicht Fall.
Teilweise kann sogar von einer Verlagerung der Komplexität von den
Regeln hin zu den Zugehörigkeitsfunktionen gesprochen werden.

Hieraus motiviert, rücken neuerdings zunehmend Methoden zur
datenbasierten Merkmalsselektion (\emph{feature selection}) zur
Komplexitätsreduktion und Entlastung der Modellierungsverfahren in
das Interesse der Forschungsaktivitäten. Im Hinblick auf die zur
Fuzzy--Modellierung erforderlichen Zugehörigkeitsfunktionen sind
dabei in der Literatur nur wenige Ansätze zur Berücksichtigung
oder gar Optimierung einer Partitionierung des Suchraumes bekannt.
Eine Einführung in diese bedeutsamen Aspekte sowie ein Überblick
über die ersten bekannten Ansätze mit Literaturangaben wird in den
folgenden beiden Unterkapiteln gegeben.



\subsection[{Merkmalsselektion zur Komplexitätsreduktion}]{Merkmalsselektion zur Komplexitätsreduktion und Begegnung der
COD-Problematik } \label{sec:A_Merkmalsselektion}

Der Begriff der {\em Curse of Dimensionality}\footnote{Fluch der
Dimension oder Leere der hochdimensionalen Räume} (COD) wurde 1961
von \Bell{} bei seiner Aufgabe, Wahrscheinlichkeitsdichten in
hochdimensionalen Räumen anhand einer gezogenen Stichprobe zu
schätzen, geprägt \cite{Bel61}. Diese Aufgabe kann derart
präzisiert werden, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte in jeder
Zelle eines mehrdimensionalen Gitternetzes zu bestimmen ist. Ist
die Anzahl an Gitterlinien pro betrachteter Dimension fest
vorgegeben, so steigt die Anzahl der Zellen exponentiell mit der
Anzahl der Dimensionen an. Damit steigt ebenfalls die Größe der
Stichprobe, die für eine Schätzung der gesuchten
Wahrscheinlichkeitsdichte unter Berücksichtigung einer bestimmten
statistischen Sicherheit benötigt wird.

Mittlerweile wird der Begriff der COD--Problematik für alle
Probleme verwendet, die bei einem Algorithmus mit zunehmender
Anzahl von zu berücksichtigenden Einflussgrößen auftreten können.
Für sämtliche Methoden zur datenbasierten Modellierung ergeben
sich daraus teilweise leicht unterschiedliche Auswirkungen
bezüglich Laufzeit, Speicherplatzbedarf und Qualität der
Ergebnisse in Abhängigkeit von der Größe der verwendeten
Lerndatenstichprobe.

So treten beispielsweise bei den Instanzbasierten Lernverfahren
(\emph{IBL}) Probleme mit der verwendeten Abstandsfunktion bei der
Clusterbildung dahingehend auf, dass sich die ermittelten
Abstandswerte für den nächsten und den fernsten Nachbarn einer
betrachteten Eingangsraumposition mit zunehmender Anzahl der
Dimension des Raumes immer mehr einander angleichen und damit
letztlich bedeutungslos werden \cite{HiAgKe00}.

Auch bei Modellierungsverfahren, die auf dem {\em
Pittsburgh--Ansatz} oder {\em Michigan--Ansatz} basieren, wirkt
sich in der Regel mit steigender Dimensionalität der
Modellierungsprobleme die daraus resultierenden Komplexität
dahingehend störend aus, dass diese Verfahren mit akzeptablem
Rechenaufwand keine handhabbaren und nachvollziehbaren Regelsätze
generieren können. Das zeigt sich schon daran, dass viele
veröffentlichte Ergebnisse über Weiterentwicklungen von Methoden
zur datenbasierten Modellierung ihre Leistungsfähigkeit nur auf
Anwendungsbeispiele mit höchstens drei Eingangsgrößen beziehen
\cite{ACP96,BSK96,Bas96,CW96,Fag96,NFM96,ON96,PR96,RW96,ZGW96,Ben97,CF97,CH97,HC97,IDC97,MT97,GSJ97,TH97,CL98,JSS98,SKB98,SM98,YWG98}.

Nur wenige Autoren präsentieren Beispiele mit vier Eingangsgrößen
\cite{CFM96,Chi96,HL96a, RY96,NGF96,BDB97,HC98,CHH98,NK98} und
kaum noch welche mit fünf bis zehn Eingangsgrößen
\cite{KFR95,CER96,KS96,KK97a,Hol98a,ISU98}.

Abgesehen von Arbeiten, die auf dem Fuzzy--ROSA--Verfahren
\cite{KK97a,SPS99,SKH99,SKK99a,SKK99b,KKS00a,KKS00b,KSK00,SKK01}
basieren, wie sie im Rahmen dieser Arbeit zum größten Teil als
Referenz verwendet werden (vergleiche Kapitel \ref{chap:F_Apps}),
finden sich für höherdimensionale Eingangsgrößenräume nur noch
sehr wenige Arbeiten \cite{INM96,KK97a,Hol98a}. Die großen Erfolge
des Fuzzy--ROSA--Verfahrens zur effizienten Generierung relevanter
Fuzzy--Regeln in hochdimensionalen Suchräumen ist ein Ergebnis
konsequenter Forschungsarbeiten und Weiterentwicklungen von
\Slawinski{} \cite{Sla01}, der unter Anderem eine Reduzierung des
erforderlichen Rechenaufwands durch sicheres Beschneiden des
Suchraums erzielte.

Unabhängig vom gewählten Modellierungsverfahren sind
erfahrungsgemäß nur selten alle gemessenen oder zur Verfügung
stehenden Einflussgrößen des zu modellierenden Systems notwendig,
um die zugrunde liegenden Prozesszusammenhänge mit ausreichender
Genauigkeit zu modellieren. Eine dem Modellierungsprozess
vorgelagerte Selektion von relevanten und nichtredundanten
Einflussgrößen wirkt sich aus mehreren Gründen oftmals vorteilhaft
aus:

\begin{itemize}
\item Der Arbeitsaufwand zum Messen und zum Speichern der Daten
 wird reduziert.

\item Der Rechenaufwand für die Modellidentifikation wird reduziert, da
die Laufzeit vieler Modellierungsverfahren mit zunehmender Anzahl
berücksichtigter Einflussgrößen stark ansteigt.

\item Das generierte Modell ist häufig leichter zu
interpretieren.

\item Eine Elimination irrelevanter oder redundanter
Einflussgrößen erhöht meistens die erzielbare
Generalisierungsfähigkeit der generierten Modelle deutlich.
\end{itemize}



\subsection{Einfluss der Fuzzy--Partitionierung des Merkmalsraumes}
\label{sec:A_fuzz_partitionierung} Zum einen beeinflusst die
\emph{Anzahl} der definierten linguistischen Werte für die
Fuzzifizierung der eingangsseitigen Merkmale sowie der zu
modellierenden Ausgangsgröße die Anzahl möglicher Regeln und damit
die Komplexität des Suchraums, da hierdurch die Feinheit der
sogenannten \emph{Granularisierung} des Merkmalsraumes induziert
wird. Hierdurch wird die Leistungsfähigkeit des gewählten
Verfahrens zur datenbasierten Regelgenerierung stark tangiert. Zum
anderen bestimmt die \emph{Lage} der Zugehörigkeitsfunktionen die
Partitionierung des Merkmalsraumes, also das jeweils adressierte
Gebiet einer möglichen Regel. Wie in \cite{Zhen92,BKC96,CHV00}
gezeigt, ist der Einfluss dieser Fuzzy--Partitionierung auf die
damit erzielbare Modellierungsgüte viel größer als der Einfluss
des Zusammenspiels der generierten Regeln, welcher in
unmittelbarem Zusammenhang mit dem gewählten Verfahren zur
Regelgenerierung steht. Dies wird an einem einfachen
zweidimensionalen fiktivem Klassifikationsbeispiel in Abbildung
\ref{fig:partitions} verdeutlicht. Zur vereinfachten Illustration
werden dabei scharfe Partitionierungen des zweidimensionalen
Merkmalsraumes betrachtet. Ferner wird angenommen, dass die
Ausgangsgröße genau zwei Klassenwerte annehmen kann, die durch die
Symbole ``$\circ$'' und ``$+$'' dargestellt werden.

\begin{figure}[ht]
\centering \ingraph{16}{0.5}{../Bilder/task/partitionen}
\caption{\label{fig:partitions} \emph{Äquidistante} (links),
\emph{äquifrequente} (mitte) und \emph{optimal angepasste}
(rechts) Partitionierung des Merkmalsraumes.}
\end{figure}

Die beiden einfachsten heuristisch motivierten und am häufigsten
eingesetzten Verfahren sind die sogenannte {\em äquidistante} und
die {\em äquifrequente} Partitionierung. Beide Verfahren arbeiten
univariat und unüberwacht, d.~h. die Einteilung des Raumes wird
ohne Berücksichtigung der Werte einer anderen Einflussgröße oder
der Werte der Ausgangsgröße vorgenommen. Für beide Verfahren wird
die Vorgabe einer festen Anzahl $\SC$ von
Partitionierungssintervallen benötigt.


\begin{itemize}
\item {\em Äquidistante Partitionierung: } Der Wertebereich einer
Größe $\X$ wird unter Verwendung der anhand der Lernstichprobe
ermittelten Spannweite $X_{range}$ äquidistant in $\SC$ Intervalle
der Breite

\begin{equation}
w=\frac{X_{range}}{\SC}
\end{equation}

eingeteilt. Zur Unterdrückung des Einflusses statistischer
Ausreißer ist es ratsam, bei Ermittlung der Spannweite einen
geringen Prozentsatz der kleinsten und größten Werte zu
ignorieren, um ein stabileres Ergebnis zu erhalten.

\item {\em Äquifrequente Partitionierung: } Als Nachteil der
gleichmäßigen Aufteilung des Wertebereichs einer Größe erweist
sich häufig die starke Streuung der Anzahl der Datenpunkte in den
Diskretisierungsintervallen. Die äquifrequente Diskretisierung
umgeht dieses Problem, indem die Intervallgrenzen so positioniert
werden, dass sich die $\ND$ Datenpunkte der Lernstichprobe zu
gleichen Teilen

\begin{equation}
N_{\SC}=floor\left(\frac{N}{\SC}\right)
\end{equation}

auf die $\SC$ Intervalle verteilen. Der Operator $floor(x)$
liefert dabei den ganzzahligen Anteil einer Gleitkommazahl.
\end{itemize}

Beide Verfahren liefern eine scharfe Partitionierung, welche
nachträglich, wie in Abbildung \ref{fig:partitions} an den Achsen
angedeutet, leicht in eine \emph{Standard--Fuzzy--Partitionierung}
(Definition \ref{def:standardpart}) umgewandelt werden kann (siehe
Kapitel \ref{chap:GMF}). In Abbildung \ref{fig:partitions} ist
direkt erkennbar, dass eine Anwendung dieser Verfahren  für das
fiktive Beispiel Partitionierungen liefert, bei denen
{\emph{nicht}} in allen resultierenden Zellen des Raumes
ausschließlich Datenpunkte mit gleicher Ausgangsklasse zu finden
sind. Unter Verwendung dieser Partitionierung kann daher mit
keinem Verfahren zur automatischen Regelgenerierung ein
vollständig exakt klassifizierendes Fuzzy--Modul generiert werden.
Nur durch eine Berücksichtigung der Ausgangsgröße kann eine den
Daten optimal angepasste Partitionierung gefunden werden.

Hieraus motiviert, wird in \cite{KS98} ein
Streifen--Cluster--Konzept vorgestellt, welches die
Intervalleinteilung des Wertebereichs einer Einflussgröße $\X_i$
anhand einer achsparallelen streifenförmigen Clusterung der
Datenpunkte im zweidimensionalen Raum $\X_i \times \Y$ ermittelt.
Neben dem Einsatz von Clusterverfahren wird in der Literatur auch
der Einsatz von Optimierungsverfahren vorgeschlagen, mit denen bei
festgelegter Diskretisierung der Ausgangsgröße $\Y$ die
Intervalleinteilung des Wertebereichs einer Einflussgröße $\X_i$
durch Maximierung der \emph{Transinformation} $\Menge{I}(\X,\Y)$
\cite{JMM00} ermittelt wird. Ferner sind im hier vorliegenden
Kontext noch ähnliche Ansätze bekannt, die die intervallweise
gemittelte \emph{Entropie} $\Menge{E}(\X,\Y)$ der Ausgangsgröße
$\Y$ rekursiv minimieren \cite{DKS95, HLT99}.

Der wesentliche Nachteil aller bekannten und hier vorgestellten
Ansätze besteht darin, dass prinzipiell keine
Wirkungszusammenhänge mehrerer Einflussgrößen
$\X_i,\X_j,\dots,\X_k$ sowohl untereinander
(\emph{Redundanzanalyse}) als auch mit der Ausgangsgröße $\Y$
(\emph{Relevanzanalyse}) festgestellt werden können.



\section{Ziele dieser Arbeit}
\label{sec:A_ziele}

Generelles Ziel dieser Arbeit ist es, die Anwendungsgrenzen der
Methoden zur datenbasierten Fuzzy--Modellierung in Richtung
höherer Komplexität auszudehnen, wobei ein Verlust an erzielbarer
Modellierungsgüte möglichst vermieden werden soll. Dieses Ziel
soll insbesondere durch eine geeignete Beschneidung und
Vorstrukturierung des Suchraums erzielt werden. Hierzu sind neue,
speziell auf die datenbasierte Fuzzy--Modellierung ausgerichtete
Verfahren zur Merkmalsselektion zu konzipieren, die im Rahmen
einer Datenvoranalyse aus einer gegebenen Menge von potenziellen
Einflussgrößen einen relevante Merkmalssatz selektieren.
Besonderer Wert soll dabei im Hinblick auf eine größtmögliche
Transparenz, Interpretierbarkeit und Generalisierungsfähigkeit der
generierten Fuzzy--Modelle auf Modellierungsverfahren gelegt
werden, die auf dem {\em Michigan--Ansatz} basieren. Durch die
individuelle Bewertung jeder einzelnen Regel gewährleisten diese
implizit, dass lokal vernünftige und damit interpretierbare Regeln
erhalten werden. Für die Regelgenerierung müssen diesen Verfahren
die zu berücksichtigenden Einflussgrößen mit zugehörigen
Fuzzy--Partitionierungen bereitgestellt werden. Eine Gewichtung
der Berücksichtigung von Einflussgrößen oder einer Adaption der
Partitionierungen während des Regelgenerierungsprozesses ist dabei
prinzipiell nicht möglich. Als Repräsentant dieser Klasse von
Modellierungsverfahren wird für die Regelgenerierung im Rahmen
dieser Arbeit das von \Kiendl{}, \Krabs{}, \Krone{} und
\Slawinski{} entwickelte Fuzzy--ROSA--Verfahren
\cite{KK89,Kra94,KK95a,Kro99,Sla01} verwendet, bei dem einzelne
Regeln daraufhin statistisch getestet werden, ob sie einen
relevanten Teilaspekt des betrachteten Systems widerspiegeln.

Zum Einlösen des formulierten generellen Ziels werden in dieser
Arbeit folgende Teilziele verfolgt:
% Insgesamt ergeben sich hieraus
%für die Verfahren zur Merkmalsselektion mehrere Anforderungen:

\begin{description}
\item{\dfc  Relevanzanalyse/Redundanzanalyse potenzieller Einflussgrößen}

Das primäre Teilziel dieser Arbeit ist es, aus einer gegebenen
Menge von potenziellen Einflussgrößen automatisiert einen
relevanten Merkmalssatz zu selektieren. Dieser Merkmalssatz soll
dadurch gekennzeichnet sein, dass ausschließlich solche
Einflussgrößen darin enthalten sind, die entweder direkt oder im
Zusammenspiel mit weiteren Einflussgrößen in engem Zusammenhang
mit der Ausgangsgröße stehen. Letzteres erfordert die Möglichkeit
zur Relevanzbewertung gesamter Sätze von Einflussgrößen
(\emph{potenzielle Merkmalssätze}), was die meisten etablierten
Selektionsverfahren nicht ermöglichen. Zudem erlaubt der Ansatz
zur gesamtheitlichen Relevanzbewertung mehrerer Einflussgrößen,
Redundanzen innerhalb des Merkmalssatzes aufzuspüren und zu
eliminieren. Dies ist ebenfalls von sehr großer Bedeutung, da
redundante Einflussgrößen bei der Modellgenerierung zu einer
Vervielfachung der Regeln führen. Diese Vervielfachung führt nicht
zu einer Erhöhung der Modellgenauigkeit, wohl aber zu einem
deutlichen Verlust an Transparenz und Interpretierbarkeit der
generierten Modelle. Um die Handhabung möglichst komplexer
Modellierungsprobleme zu ermöglichen, ist aus rechentechnischen
Gesichtspunkten eine Entkoppelung der Verfahren zur
Merkmalsselektion vom Modellierungsverfahren erforderlich. Die
dazu zu entwickelten Verfahren sollen alle Typen von
Modellierungsproblemen sowie auch alle möglichen Typen von
Systemgrößen behandeln können.


\item{\dfc Berücksichtigung/Optimierung der Partitionierung des Merkmalsraumes:}

Wie vorab in \ref{sec:A_fuzz_partitionierung} illustriert, ist für
eine datenbasierte Generierung von Fuzzy--Modellen mit hoher
Modellierungsgüte die Bereitstellung einer den Datenstrukturen gut
angepassten Fuzzy--Partitionierung des Merkmalsraumes
erforderlich. Daraus ergibt sich das zweite Teilziel dieser
Arbeit: die Berücksichtigung einer vorgegebene Partitionierung
eines potenziellen Merkmalssatzes bei der Relevanzbewertung.
Darüber hinaus sollen Verfahren zur Variation der Partitionierung
im Sinne einer Abschätzung der maximal möglichen Relevanz eines
potenziellen Merkmalssatzes entwickelt werden. Erst hierdurch wird
die Möglichkeit zu einer einheitlichen vergleichenden Beurteilung
verschiedener Merkmalssätze mit individuell partitionierten
Merkmalsräumen geschaffen. Die Variation der Partitionierungen zur
Abschätzung der maximal möglichen Relevanz soll als
Optimierungsproblem definiert werden. Aufgrund des starken
nichtlinearen Einflusses der Partitionierung soll hierzu eine
Evolutionsstrategie eingesetzt werden.


\item{\dfc Effizienzsteigerung von Evolutionsstrategien:}

Die optimale Anpassung der Partitionierung eines Merkmalsraumes an
die darin enthaltenen Datenpunkte ist ein äußerst komplexes
Optimierungsproblem und stellt aufgrund der zu erwartenden
Multimodalität der Bewertungsfunktion höchste Anforderungen an das
eingesetzte Optimierungsverfahren. Hieraus ergibt sich das dritte
Teilziel dieser Arbeit: die Entwicklung von Mechanismen zur
Effizienzsteigerung von Evolutionsstrategien. Diese sollen ein
sicheres und schnell konvergierendes Auffinden \emph{robuster
Lösungen} in hochgradig multimodalen Gütelandschaften ermöglichen.
Die \emph{Robustheit} einer gefundenen Lösung wird dabei durch die
detektierbare Größe desjenigen umliegenden Gebietes
gekennzeichnet, welches ausschließlich Punkte mit homogen
verteilten geringfügig schlechteren Gütewerten beinhaltet.


%Die \emph{Robustheit} einer gefundenen Lösung wird dabei dadurch
%gekennzeichnet, dass dieses Optimum inmitten eines möglichst
%weitläufigen Gebietes liegt, dessen enthaltene Punkte nur
%geringfügig schlechtere  homogen verteilte Gütewerte aufweisen.

\end{description}




%
%----------------------------------------------------
% Ende von task.tex
