\subsubsection*{\textbf{Statistisches Testen}}%

Ein statistischer Test dient zur Überprüfung einer statistischen Hypothese und
ihrer Signifikanz. Man kann prüfen, ob bestimmte Verhältnisse in
Stichprobendaten (zum Beispiel Unterschiede in den Mittelwerten zweier
Stichproben) auf Zufall zurückzuführen sind oder nicht. Man formuliert dabei
zunächst eine Nullhypothese $H_{0}$ (Beispiel: \emph{Mittelwerte unterscheiden
sich nicht}) und eine Alternativhypothese $H_{1}$ (Beispiel: \emph{Mittelwerte
unterscheiden sich}). Aus den Stichproben wird eine Testgröße gebildet und der
kritische Bereich für die Testgröße zu dem spezifizierten Signifikanzniveau
festgelegt. Liegt die Testgröße nicht innerhalb des kritischen Bereichs, so
wird die Nullhypothese beibehalten, andernfalls zugunsten der
Alternativhypothese verworfen.

Dabei können zwei unterschiedliche Fehler auftreten. Als Fehler erster Art wird
die Fehlentscheidung zugunsten der Alternativhypothese bezeichnet. Mit anderen
Worten: Man verwirft die Nullhypothese, obwohl diese eigentlich zutrifft. Die
Wahrscheinlichkeit, mit der man diesen Irrtum begeht, wird mit $\alpha$
bezeichnet. Als Fehler zweiter Art bezeichnet man die Fehlentscheidung
zugunsten der Nullhypothese. Mit anderen Worten: Man verwirft die Nullhypothese
nicht, obwohl diese eigentlich nicht zutrifft. Die Wahrscheinlichkeit, mit der
man diesen Irrtum begeht, wird mit $\beta$ bezeichnet. Bei vielen Testverfahren
ist die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ frei wählbar und das Vorliegen der
Alternativhypothese ist durch das Testverfahren mit der Wahrscheinlichkeit
$(1-\alpha)$ abgesichert. Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ der
Nullhypothese ist meist nicht bekannt und von verschiedenen Faktoren abhängig.
Die Wahrscheinlichkeit $(1-\beta)$ wird auch als Teststärke bezeichnet. Das
primäre Ziel des statistischen Testens besteht darin, die Nullhypothese
zugunsten der statistisch signifikanten Alternativhypothese zurückzuweisen.
Will man also beispielsweise prüfen, ob sich die Mittelwerte zweier Stichproben
unterscheiden, so stellt man die Nullhypothese \emph{Mittelwerte unterscheiden
sich nicht} auf und versucht, diese zugunsten der Alternativhypothese
\emph{Mittelwerte unterscheiden sich} zurückzuweisen.

Ein wichtiger Aspekt des statistischen Testens ist die Anzahl der zu
beachtenden Stichproben. Im Ein"~Stichprobenfall kann beispielsweise die
Fragestellung von Interesse sein, ob der Mittelwert der Stichprobe oberhalb
eines bestimmten Wertes liegt oder nicht. Ein Beispiel für einen solchen Fall
ist die Frage, ob der Benzinpreis im Mittel oberhalb einer bestimmten Schwelle
liegt. Im Zwei"~Stichprobenfall (bzw. im allgemeinen $k$"~Stichprobenfall) kann
beispielsweise die Fragestellung von Interesse sein, ob sich die Mittelwerte
der Stichproben signifikant voneinander unterscheiden oder nicht. Ein weiterer
wichtiger Aspekt ist, ob im Zwei- und $k$"~Stichprobenfall die Stichproben
voneinander abhängig oder unabhängig sind. Voneinander abhängige Stichproben
werden häufig auch als \emph{verbundene} Stichproben bezeichnet. Ein Beispiel
hierfür ist die Fragestellung, ob sich bei einer Gruppe von Patienten das
Auftreten allergischer Reaktionen vor und nach einer Behandlung im Mittel
signifikant unterscheidet.

Für die unterschiedlichen Fälle, die sich nach der Anzahl der zu beachtenden
Stichproben und nach der Art der Abhängigkeiten zwischen den Stichproben
ergeben können, sind unterschiedliche Testverfahren etabliert. Im Rahmen der
Regelgenerierung innerhalb des Fuzzy"=ROSA"=Verfahrens handelt es sich um einen
Zwei"~Stichprobenfall: Die eine Stichprobe $\mathcal{S}_{A}$ bilden diejenigen
Datenpunkte bzw. deren Ausgangsgrößenwerte, die im unbedingten Fall vorliegen.
Es handelt sich dabei folglich um alle Datenpunkte des zu Grunde liegenden
Lerndatensatzes bzw. deren Ausgangsgrößenwerte. Die andere Stichprobe
$\mathcal{S}_{B}$ bilden diejenigen Datenpunkte des Lerndatensatzes bzw. deren
Ausgangsgrößenwerte, die im bedingten Fall auftreten, also die Prämisse der zu
prüfenden Hypothese erfüllen. Die Stichproben sind voneinander unabhängig.
