\section{Medianbasiertes Test- und Bewertungsverfahren}\label{sec:6.3}%
\markboth%
%%%{KAPITEL \thechapter.\quad NEUE STRATEGIEELEMENTE FÜR DIE GENERIERUNG VON MAMDANI"=REGELN}%
%%%{\thesection.\quad MEDIANBASIERTES TEST- UND BEWERTUNGSVERFAHREN}%
{Kapitel \thechapter.\quad Neue Strategieelemente für die Generierung von Mamdani"=Regeln}%
{\thesection.\quad Medianbasiertes Test- und Bewertungsverfahren}%

Die in Abschnitt \ref{sec:6.2} vorgestellten Test- und
Bewertungsverfahren sind im Hinblick auf die Handhabung gestörter
Daten bzw. die Aufdeckung nur schwach ausgeprägter Zusammenhänge
in den Daten entwickelt worden. Ihr Vorteil gegenüber den in
Abschnitt \ref{sec:6.1} beschriebenen Verfahren liegt darin, dass
sie, abgesehen von der Festlegung der Konklusion einer Regel,
unabhängig von der Partitionierung der Ausgangsgröße arbeiten und
daher auch vergleichsweise schwach ausgeprägte Zusammenhänge
aufdecken können. Sie sind daher auch weniger anfällig gegenüber
einer ungünstig gewählten Partitionierung der Ausgangsgröße.
Sowohl das Mittelwertbasierte Verfahren als auch das
Varianzbasierte Verfahren haben jedoch auch gewisse Schwachstellen
im Hinblick auf die Anwendung zur Regelgenerierung. Beide Ansätze
verwenden parametrische Testverfahren, das heißt, es werden
Hypothesen über die Parameter (Mittelwert und Standardabweichung)
der Verteilungen geprüft. Die Verfahren gehen daher von der
Annahme aus, dass die dem Test zu Grunde liegenden Daten
näherungsweise normalverteilt sind und zu einer kontinuierlichen
Größe erhoben wurden. Die Annahme normalverteilter Daten ist
oftmals durchaus gerechtfertigt, insbesondere dann, wenn
vergleichsweise viele Datenpunkte vorliegen. Gerade im Fall von
nur wenigen Datenpunkten ist diese Annahme über die Verteilung
allerdings kritisch zu sehen, denn die Verletzung dieser Annahme
-- durch Ausreißer innerhalb der Daten -- hat Einschränkungen auf
die Gültigkeit der Testergebnisse.

Nicht"~parametrische Testverfahren machen keine Annahmen über die Verteilungen
und werden daher häufig auch als \emph{verteilungsfreie} Verfahren bezeichnet.
Im Fall nominaler oder ordinaler Größen lassen sich Verteilungen nicht
zutreffend durch Mittelwert und Standardabweichung charakterisieren. Für den
Fall, dass zwei Stichproben zu einer kontinuierlichen Größe erfasst werden,
keine speziellen Annahmen über die Verteilungen der Daten gemacht werden und
voneinander unabhängige Stichproben vorliegen, ist der
Wilcoxon"=Rangsummen"=Test \cite{Wil45,Har95} konzipiert worden. Dieser ist
äquivalent zu dem Mann"=Whitney"=\emph{U}"=Test. Mit Hilfe dieses Tests wird
geprüft, ob sich die Mediane zweier Stichproben signifikant voneinander
unterscheiden. Der Median wird auch als Zentralwert bezeichnet, da 50\% der
Werte einer Datenstichprobe unterhalb und 50\% der Werte oberhalb des Medians
liegen. Hieraus leitet sich die im Rahmen dieser Arbeit verwendete Abkürzung
CVB (englisch: Central Value Based) für dieses Verfahren ab.

Wie in Abschnitt \ref{sec:6.2} einleitend erläutert, handelt es
sich im Rahmen der Regelgenerierung um einen
Zwei"~Stichprobenfall, bei dem die Stichproben $\mathcal{S}_{A}$
und $\mathcal{S}_{B}$ voneinander unabhängig sind. Die Stichprobe
$\mathcal{S}_{A}$ mit dem Umfang $N_{A}$ beinhaltet die
Ausgangsgrößenwerte aller Datenpunkte des zu Grunde liegenden
Lerndatensatzes. Die Stichprobe $\mathcal{S}_{B}$ mit dem Umfang
$N_{B} \leq N_{A}$ umfasst die Ausgangsgrößenwerte derjenigen
Datenpunkte, die die Prämisse der zu prüfenden Hypothese (Regel)
erfüllen. In der Regel gilt $N_{B}<N_{A}$, da typischerweise nicht
alle Datenpunkte des Lerndatensatzes die Prämisse der zu prüfenden
Hypothese in einem Grade größer Null erfüllen. Die beiden
Stichproben werden für den Test zunächst in einer gepoolten Probe
$\mathcal{S}_{P}$ mit dem Umfang $N_{P}=N_{A}+N_{B}$
zusammengefasst. Zu jedem Element der gepoolten Probe wird dabei
anhand einer Markierung festgehalten, aus welcher der beiden
Stichproben es stammt. Die Elemente der gepoolten Probe werden
dann in aufsteigender Reihenfolge sortiert. Jedem Element der
sortierten gepoolten Probe wird eine Rangnummer $R$ zugewiesen,
beginnend bei dem kleinsten Element mit $R=1$ und kontinuierlich
fortlaufend für alle weiteren Elemente bis hin zu $R=N_{P}$ für
das größte Element. Danach ist zu prüfen, ob Werte innerhalb der
sortierten gepoolten Probe mehrfach auftreten, ob also so genannte
Verbundwerte (englisch: \emph{ties}) vorliegen. Ist dies der Fall,
so würden ein und demselben Wert mehrere unterschiedliche
Rangnummern zugeordnet, was nicht plausibel ist. Solchen
Verbundwerten wird dadurch begegnet, dass die Rangnummern über
solche Verbundwerte aufsummiert und gemittelt werden und dann
jedem entsprechenden Element die gemittelte Rangnummer zugewiesen
wird. Aus der aufbereiteten sortierten gepoolten Probe werden die
Rangsummen $W_{A}$ und $W_{B}$ über die Stichproben
$\mathcal{S}_{A}$ und $\mathcal{S}_{B}$ gebildet:
\begin{equation}\label{equ:CVBranksum1}
    W_{A} = \sum\limits_{R_{i} \in \mathcal{S}_{A}}{R_{i}} \quad \mathrm{und} \quad W_{B} = \sum\limits_{R_{j} \in \mathcal{S}_{B}}{R_{j}} \qquad ,
\end{equation}
deren Summe
\begin{equation}\label{equ:CVBranksum2}
    W_{A} + W_{B} = \frac{N_{P}(N_{P}+1)}{2}
\end{equation}
gleich der Rangsumme über die gepoolte Probe $\mathcal{S}_{P}$ ist. Wenn in der
Stichprobe $\mathcal{S}_{B}$ beispielsweise überwiegend niedrigere Werte als in
der Stichprobe $\mathcal{S}_{A}$ enthalten sind, so sollte sich dies darin
wiederspiegeln, dass in der Stichprobe $\mathcal{S}_{B}$ insgesamt niedrigere
Rangnummern vertreten sind als in Stichprobe $\mathcal{S}_{A}$. Mit anderen
Worten: In der Stichprobe $\mathcal{S}_{B}$ würde man eine niedrigere Summe
über alle Rangnummern erwarten als in der Stichprobe $\mathcal{S}_{A}$. Wenn
also die Nullhypothese $H_{0}: \text{\emph{Mediane sind gleich}}$ gültig sein
sollte, dann sollten die Rangsummen der beiden Stichproben (bzw. die mittleren
Rangnummern) in etwa gleich sein. Dabei ist zu bedenken, dass die Stichproben
unterschiedlich groß sein können.

Für jedes Element der kleineren Stichprobe $\mathcal{S}_{B}$ kann bestimmt
werden, wie viele Elemente in der Stichprobe $\mathcal{S}_{A}$ eine höhere
Rangnummer aufweisen als dieses Element. Die Summe dieser Rangunterschreitungen
über alle Elemente der Stichprobe $\mathcal{S}_{B}$ ergibt sich zu:
\begin{equation}\label{equ:CVBuB}
    U_{B} = (N_{A} \cdot N_{B})  + \frac{N_{B}(N_{B}+1)}{2} - W_{B} \qquad .
\end{equation}
Gleiches kann für die Elemente der Stichprobe $\mathcal{S}_{A}$, bezogen auf
die Elemente in der Stichprobe $\mathcal{S}_{B}$, durchgeführt werden:
\begin{equation}\label{equ:CVBuA}
    U_{A} = (N_{A} \cdot N_{B})  + \frac{N_{A}(N_{A}+1)}{2} - W_{A} \qquad .
\end{equation}
Man kann zeigen, dass
\begin{equation}\label{equ:CVBuA}
    U_{A} + U_{B}= N_{A} \cdot N_{B}
\end{equation}
gilt. Man bestimmt den kleineren der beiden Werte $U=\min(U_{A},U_{B})$ und
verwendet diesen als Testgröße. Für kleine Stichprobengrößen kann die kritische
Größe $U_{K}$ für das geforderte Signifikanzniveau $\alpha$ aus Tabellen
entnommen werden. Falls $U<U_{K}$ gilt, kann die Nullhypothese zugunsten der
Alternativhypothese zurückgewiesen werden. Für insgesamt große Stichproben ist
die Testgröße $U$ näherungsweise normalverteilt und kann geeignet approximiert
werden. Aus der verwendeten Testgröße leitet sich der Begriff $U$"~Test ab.

Äquivalent zu dem Mann"=Whitney"=\emph{U}"=Test ist der
Wilcoxon"=Rangsummentest. Für insgesamt kleine Stichproben kann die
Wahrscheinlichkeit $P(W_{B})$, dass sich die Rangsumme $W_{B}$ zufällig so
ergibt, wie folgt exakt berechnet werden: Man stellt alle möglichen
Kombinationen auf, $N_{B}$ Elemente ohne Wiederholung aus den
$N_{P}=(N_{A}+N_{B})$ Elementen der gepoolten Probe zu ziehen. Die Anzahl der
möglichen Kombinationen beträgt:
\begin{equation}\label{equ:CVBnoverk}
    k = \frac{N_{A}!}{(N_{A}-N_{B})!N_{B}!} \qquad .
\end{equation}
Mit anderen Worten: Man erzeugt aus der gepoolten Probe $\mathcal{S}_{P}$
unterschiedliche neue Stichproben $\mathcal{S}_{\widetilde{B}}$ mit jeweils
$N_{B}$ Elementen. Für jede der $k$ Kombinationen wird die Rangsumme
$W_{\widetilde{B}}$ berechnet und mit dem Wert $W_{B}$ verglichen. Die Anzahl
der Kombinationen, für die $W_{\widetilde{B}}<W_{B}$ gilt, wird mit $k_{L}$
bezeichnet, die Anzahl der Kombinationen, für die $W_{\widetilde{B}} \geq
W_{B}$ gilt, wird entsprechend mit $k_{U}$ bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit
berechnet sich zu
\begin{equation}\label{equ:CVBnoverk}
    P(W_{B}) = 2 \cdot \min\{k_{L}/k,k_{U}/k\} \qquad .
\end{equation}
Der Faktor 2 berücksichtigt, dass es sich um eine zweiseitige Fragestellung
handelt. Für insgesamt große Stichproben nähert sich die Verteilung von $W_{B}$
einer Normalverteilung mit folgendem Mittelwert $\mu$ und Standardabweichung
$\sigma$:
\begin{equation}\label{equ:CVBnormdist}
    \mu = \frac{N_{B} \cdot (N_{P}+1)}{2} \quad \mathrm{und} \quad \sigma = \frac{N_{A} \cdot  N_{B} \cdot (N_{P}+1)}{12} \quad .
\end{equation}
Die Testgröße $z$ ergibt sich durch Standardisierung von $W_{B}$ zu
%\begin{equation}\label{equ:CVBz}
%    z = \frac{(W_{B}-\mu) - \mathrm{sign}(W_{B}-\mu)/2}{\sigma} \qquad .
%\end{equation}
\begin{equation}\label{equ:CVBz}
    z = \frac{W_{B}-\mu} {\sigma} \qquad .
\end{equation}
Die Testgröße $z$ ist normalverteilt mit dem Mittelwert $\mu=0$ und der
Standardabweichung $\sigma=1$ (Standard"=Normalverteilung). Die
Wahrscheinlichkeit $P$, dass ein einzelner beobachteter Wert $x$ einer ($\mu$,
$\sigma$)"~normalverteilten Zufallsgröße $X$ innerhalb des Intervalls
$[-\infty,x]$ liegt, berechnet sich allgemein zu \cite{BSM99}:
\begin{equation}\label{equ:CVBnormcdf}
    P(X \leq x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x}{e^{-\frac{(t-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}
    dt} \qquad .
\end{equation}
Für den hier betrachteten Fall der Prüfgröße $z$ und deren
Standard"=Normalverteilung kann die Wahrscheinlichkeit daher wie folgt
berechnet werden:
\begin{equation}\label{equ:CVBnormcdfSTD}
    P(Z \leq z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{z}{e^{-\frac{t^{2}}{2}} dt} \qquad .
\end{equation}
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit existieren geeignete
Approximationsfunktionen. Falls $2 \cdot P(Z \leq z)<\alpha$ gilt, kann die
Nullhypothese zugunsten der Alternativhypothese zurückgewiesen werden. Die
Mediane der beiden Stichproben unterscheiden sich signifikant voneinander und
die zu prüfende Hypothese wird zu einer Regel erklärt.

Wie bei dem Mittelwertbasierten und dem Varianzbasierten Test- und
Bewertungsverfahren muss die Konklusion einer mit dem
Medianbasierten Verfahren generierten Regel geeignet gewählt
werden. Hierfür wird vom Ansatz her im Prinzip wie bei den beiden
genannten Verfahren vorgegangen, es wird jedoch nicht der
Mittelwert, sondern der Median der bedingten Verteilung
betrachtet. Aus den Ausgangsgrößenwerten der regelstützenden
Datenpunkte wird der gewichtete Median $y_{\xi_{0.5_{P}}}$
gebildet. Der Ausgangsgrößenwert $y_{i}$ eines Datenpunktes erhält
dabei den zugehörigen Erfülltheitsgrad der Prämisse als Gewicht
$w_{i}=\mu_{p}(\mathbf{x}_{i})$. Die Berechnung des gewichteten
Median einer Datenstichprobe wird in Abschnitt \ref{sec:7.5}
detailliert beschrieben.

Die Bewertung der Relevanz einer generierten Regel orientiert sich ebenfalls an
dem Prinzip, das bei dem Mittelwertbasierten und dem Varianzbasierten Test- und
Bewertungsverfahren angewandt wird. Bei den beiden genannten Verfahren wird die
Relevanz einer Regel umso höher, je kleiner das Verhältnis $\sigma_{P} /
\sigma$ der bedingten zu der unbedingten Standardabweichung ist. Es wird bei
dem Medianbasierten Verfahren jedoch nicht die Standardabweichung, sondern die
\emph{median absolute deviation} (MAD) $\varsigma$ bzw. $\varsigma_{P}$ als
statistisches Maß für die Streuung herangezogen. Dabei werden über die Elemente
der Stichprobe $\mathcal{S}_{A}$ bzw. $\mathcal{S}_{B}$ die einzelnen
betraglichen Abweichungen zu dem Median der jeweiligen Stichprobe berechnet und
in den Proben $\mathcal{S}_{A2}$ bzw. $\mathcal{S}_{B2}$ gespeichert. Für die
Stichprobe $\mathcal{S}_{B}$ wird die Abweichung dabei mit dem jeweiligen
Erfülltheitsgrad der Regelprämisse gewichtet:
\begin{equation}\label{equ:MADsamples}
    \mathcal{S}_{A2}= \{|y_{\xi_{0.5}}-y_{j}|\;|\; y_{j} \in \mathcal{S}_{A}\}  \quad \text{und} \quad \mathcal{S}_{B2}= \{\mu_{P}(\mathbf{x}_{j}) \cdot |y_{\xi_{0.5_{P}}}-y_{j}|\;|\; y_{j} \in \mathcal{S}_{B}\} \qquad .
\end{equation}
Die MAD ist der Median der betragsmäßigen Abweichungen:
\begin{equation}\label{equ:MADa}
    \varsigma=\mathrm{median}(\mathcal{S}_{A2}) \quad \text{und} \quad \varsigma_{P}=\mathrm{median}(\mathcal{S}_{B2}) \qquad.
\end{equation}
Die Relevanz einer generierten Regel wird folgendermaßen festgelegt:
\begin{equation}\label{equ:J-CVB}
  J_{CVB}=e^{-\varsigma_{P} / \varsigma} \qquad .
\end{equation}
Die Relevanz einer Regel ist damit umso höher, je kleiner die MAD der bedingten
Verteilung im Verhältnis zu der der unbedingten Verteilung ist.
