\section{Anwendungsbeispiel}\label{sec:8.4}%
\markboth%
%%%{KAPITEL \thechapter.\quad HYBRIDES FUZZY"=SYSTEM}%
%%%{\thesection.\quad ANWENDUNGSBEISPIEL}%
{Kapitel \thechapter.\quad Hybrides Fuzzy"=System}%
{\thesection.\quad Anwendungsbeispiel}%

Der prinzipielle Nutzen des hybriden Fuzzy"=Systems wird im Folgenden an einem
Beispiel illustriert. Es wird dabei der hypothetische Fall betrachtet, dass die
Aktionen eines Prozessbedieners beobachtet und durch ein Fuzzy"=Modell
nachgebildet werden. Der Eingriff des Experten in den Prozess wird im Folgenden
mit $Y$ bezeichnet und richtet sich nach zwei Prozessgrößen $X_{1}$ und
$X_{2}$. Dabei entspricht der Wert $x_{1}=0$ bzw. $x_{2}=0$ dem gewünschten
Sollwert einer Prozessgröße. Abweichungen von den gewünschten Sollwerten werden
durch geeignete Eingriffe in den Prozess korrigiert. Durch Beobachtung des
Experten wird zunächst ein Datensatz gewonnen, der die Grundlage für die
nachfolgende Modellierung bildet. Durch Interpolation wird aus den so erhobenen
Messdaten ein Kennfeld erzeugt, das die Bedienstrategie des Experten
repräsentiert (siehe Abbildung \ref{pic:NegTSK1}). Anhand des Kennfeldes zeigt
sich, dass der Experte bei gleichzeitig betragsmäßig kleinen Werten beider
Prozessgrößen mit einem betragsmäßig geringen Eingriff reagiert. Für $-1.5 \leq
x_{1}\leq 1.5$ ist der Eingriff des Experten unabhängig von dem jeweiligen Wert
für $x_{2}$ ebenfalls vergleichsweise gering und für $-1.5 \leq x_{2}\leq 1.5$
nahezu unabhängig von dem jeweiligen Wert für $x_{1}$. Die Steigung des
Kennfeldes in $x_{2}$-Richtung ist in diesem Fall aber deutlich stärker als die
in $x_{1}$-Richtung im zuvor beschriebenen Fall.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[height=6.5cm,width=6.5cm]{01a_01KFa}
  \hspace{1.5cm}
  \includegraphics[height=6.5cm,width=6.5cm]{01a_01KFb}
  \caption{Aus den durch Beobachtung des Experten gewonnenen Daten interpoliertes Kennfeld unter verschiedenen Blickwinkeln.}\label{pic:NegTSK1}
\end{figure}

Die wesentlichen Eigenschaften des Kennfeldes sollen sich in dem zugehörigen
Kennfeld eines wie auch immer gearteten Fuzzy"=Modells zeigen. Anhand der
erhobenen Messdaten wird ein solches Fuzzy"=Modell erstellt; gleichzeitig
sollen aber auch Modifikationen hieran ermöglicht werden. Für das
Regelungsverhalten ist es oftmals von Vorteil, bei kleineren Regelabweichungen
gar nicht in einen Prozess einzugreifen, um so ein unruhiges Prozessverhalten
zu vermeiden. Eine Maßnahme, um dies zu erreichen, ist das Einfügen einer so
genannten toten Zone in einen Kennfeldfeldregler, beispielsweise eines
Zweipunktreglers. Das von dem Fuzzy"=Modell erzeugte Kennfeld soll daher in der
Art von dem ursprünglichen Kennfeld abweichen, dass es eine tote Zone für
betragsmäßig kleine Sollwertabweichungen aufweist.

Für die datenbasierte Fuzzy"=Modellierung werden für jede Eingangs- und die
Ausgangsgröße jeweils fünf linguistische Werte vorgesehen. Die
Zugehörigkeitsfunktionen hierzu werden äquidistant über den jeweiligen
Wertebereich platziert und überlappen sich in einem gewissen Grad. Es handelt
sich dabei um eine gewöhnliche Standard"=Partitionierung, da hier nicht in
erster Linie die Genauigkeit der Nachbildung, sondern die prinzipielle
Leistungsfähigkeit negativer Regeln in Verbindung mit TSK"~Systemen von
Interesse ist. In Abbildung \ref{pic:NegTSK2} ist die Partitionierung der
Eingangsgrößen $X_{1}$ und $X_{2}$ dargestellt. Zusätzlich sind die
Ausgangsgrößenwerte der Datenpunkte in Abhängigkeit von dem Wert der jeweiligen
Eingangsgröße dargestellt und gemäß des Ausgangsgrößenwertes farblich codiert.
Es ist zu erkennen, dass bei alleiniger Betrachtung der Eingangsgröße $X_{1}$
die Ausgangsgrößenwerte der Datenpunkte, die die Prämisse einer entsprechenden
generalisierenden Hypothese in einem Grade größer Null erfüllen, über einen
großen Wertebereich streuen. Folglich werden bei der Regelsuche keine
entsprechenden generalisierenden Regel erzeugt. Gleiches gilt für
generalisierende Hypothesen, die sich auf die Eingangsgröße $X_{2}$ beziehen.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[height=5.5cm,width=6.5cm]{01a_02PAx1}
  \hspace{1.5cm}
  \includegraphics[height=5.5cm,width=6.5cm]{01a_02PAx2}
  \caption{Partitionierungen der Eingangsgrößen $X_{1}$ (links) und $X_{2}$ (rechts).}\label{pic:NegTSK2}
\end{figure}

Werden für dieses Beispiel beide Eingangsgrößen in der Prämisse betrachtet, so
handelt es sich um vollständige Hypothesen bzw. Regeln. Bei der gewählten
Partitionierung sind 25 vollständige Hypothesen zu prüfen, die in Abbildung
\ref{pic:NegTSK3A} schematisch dargestellt sind. Zur besseren Übersicht wird
auf die Wiedergabe der Überlappungen der Zugehörigkeitsfunktionen verzichtet,
stattdessen werden die Schnittpunkte der Überlappungen als Stützstellen für die
Darstellung verwendet. Für die meisten dieser 25 Hypothesen gelingt es, so eine
Gruppe von Datenpunkten zu separieren, die sich von der Gesamtheit der
Datenpunkte signifikant unterscheidet, beispielsweise im Hinblick auf den
mittleren Ausgangsgrößenwert. Daher werden in 16 der 25 Fälle Regeln generiert.
Es zeigt sich aber auch, dass für neun Hypothesen die Ausgangsgrößenwerte der
entsprechend relevanten Datenpunkte ähnlich stark streuen wie für die
generalisierenden Hypothesen. Dies sind die Hypothesen, in denen mindestens ein
Eingangsgrößenwert einen betragsmäßig kleinen Wert annimmt. Diese Hypothesen
werden daher bei der Regelsuche zurückgewiesen. Um auch für diese Bereiche
Regeln zu erzeugen, müsste die Partitionierung hier entsprechend feiner gewählt
werden.

\begin{minipage}[H]{9.0cm}
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[height=5.0cm,width=6.0cm]{01a_03PAx1x2y}
  \caption{Schematische Darstellung der Suchraumstrukturierung für vollständige Regeln.}\label{pic:NegTSK3A}
\end{figure}
\end{minipage}% !!!prozentzeichen, sonst horizontaler abstand zwischen minipages!!!
\hspace{1cm}
\begin{minipage}[H]{6.0cm}
\begin{figure}[H]
  \includegraphics[height=5.0cm,width=5.0cm]{01a_03PAy}
  \caption{Partitionierung der Ausgangsgröße $Y$.}\label{pic:NegTSK3B}
\end{figure}
\end{minipage}
%\begin{figure}[H]
%  \centering
%  \includegraphics[height=5.0cm,width=5.0cm]{01a_03PAx1x2y}
%  \hspace{2.5cm}
%  \includegraphics[height=5.0cm,width=5.0cm]{01a_03PAy}
%  \caption{Schematische Darstellung der Suchraumstrukturierung für vollständige Regeln (links) und Partitionierung der Ausgangsgröße $Y$ (rechts).}\label{pic:NegTSK3}
%\end{figure}

Für die oben beschriebene Partitionierung wird ein Fuzzy"=Modell vom Typ
Mamdani mit nur positiven Regeln erzeugt, dessen Regelbasis 16 vollständige
Regeln aufweist. Falls durch einen Eingangsgrößenvektor $\mathbf{x}$ keine
Regel aktiviert wird, wird durch eine Default"=Regel der mittlere
Ausgangsgrößenwert $\hat{y}=5$ der zu Grunde liegenden Datenpunkte empfohlen.
Das resultierende Kennfeld des Mamdani"=Modells ist in Abbildung
\ref{pic:NegTSK4} (links) dargestellt. Es weist ein sehr stufenartiges
Verhalten auf und entspricht nur sehr bedingt dem gewünschten Kennfeld aus
Abbildung \ref{pic:NegTSK1}. Um die Genauigkeit der Approximation zu
verbessern, wird das Mamdani"=Modell in ein korrespondierendes TSK"~Modell
transformiert. Dessen Kennfeld, dargestellt in Abbildung \ref{pic:NegTSK4}
(rechts), nähert sich in den äußeren Bereichen dem ursprünglichen Kennfeld
recht genau an. Deutlich zu erkennen sind auch hier die Bereiche, in denen die
oben erwähnte Default"=Regel greift.

Die gewünschte tote Zone für kleine Sollwertabweichungen wird durch zwei
negative Mamdani"=Regeln realisiert. Um eine große Flexibilität in der
Gestaltung der toten Zone zu erreichen, wird sowohl für jede Eingangsgröße als
auch für die Ausgangsgröße jeweils ein zusätzlicher linguistischer Wert
\emph{Totzone} eingeführt\footnote{In diesem Beispiel wird die
Strong"=Veto"=Hyperinferenz verwendet, daher sind nur die zwei äußeren der
insgesamt vier Stützstellen einer Zugehörigkeitsfunktion für die Breite der
toten Zone entscheidend.}. Durch die generalisierenden negativen
Mamdani"=Regeln
\begin{equation*}\label{equ:MAM-RuleNegEX1}
    \text{WENN} \; < x_{1}=\text{\emph{Totzone}} > \; \text{DANN NICHT} \; < y=\text{\emph{Totzone}}>
\end{equation*}
\begin{equation*}\label{equ:MAM-RuleNegEX2}
    \text{WENN} \; < x_{2}=\text{\emph{Totzone}} > \; \text{DANN NICHT} \; < y=\text{\emph{Totzone}}>
\end{equation*}
lässt sich die tote Zone in dem resultierenden Kennfeld einfach und
nachvollziehbar realisieren. Deren Ausgestaltung lässt sich durch Änderungen an
den Zugehörigkeitsfunktionen der linguistischen Werte leicht anpassen. Wird
beispielsweise für die Eingangsgröße $X_{1}$ die Zugehörigkeitsfunktion über
den Wertebereich verbreitert, so ändert sich damit auch die Breite der toten
Zone in $x_{1}$"~Richtung in dem resultierenden Kennfeld, sofern der
linguistische Ausgangsgrößenwert einen entsprechend großen Wertebereich
umschließt. In Abbildung \ref{pic:NegTSK5} (links) ist die Breite der toten
Zone in $x_{1}$"~ und $x_{2}$"~Richtung gleich groß gewählt, wohingegen in
Abbildung \ref{pic:NegTSK5} (rechts) die Breite der toten Zone in
$x_{2}$"~Richtung doppelt so groß gewählt ist wie in $x_{1}$"~Richtung. In den
nicht durch die negativen Regeln berührten Bereichen bleibt die
Approximationsgenauigkeit des ursprünglichen Kennfeldes durch das Fuzzy"=Modell
aufgrund des Einsatzes von TSK"~Regeln unverändert erhalten.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[height=6.5cm,width=6.5cm]{01a_04KFMAM}
   \hspace{1.5cm}
  \includegraphics[height=6.5cm,width=6.5cm]{01a_04KFTSK}
  \caption{Kennfeld des datenbasiert generierten Mamdani"=Modells (links) und des durch Transformation daraus hervorgehenden TSK"~Modells (rechts).}\label{pic:NegTSK4}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[height=6.5cm,width=6.5cm]{01a_05KFTSKnegA}
   \hspace{1.5cm}
  \includegraphics[height=6.5cm,width=6.5cm]{01a_05KFTSKnegB}
  \caption{Kennfelder zweier hybrider Fuzzy-Module mit unterschiedlichen Ausgestaltungen der toten Zone.}\label{pic:NegTSK5}
\end{figure}
