\subsection*{\textbf{Mackey"=Glass"=Zeitreihe} ($N=4$, $D=1000$)}

Die Mackey"=Glass"=Zeitreihe \cite{MG77} ist ein in der Literatur häufig zum
Testen von Modellierungsverfahren eingesetztes Benchmarkproblem. Es handelt
sich hierbei um eine chaotische Zeitreihe, deren diskrete Form wie folgt
gegeben ist:
\begin{equation}\label{equ:MGTS}
  x(t+1) = (1-a)x(t) + \frac{b x(t-\tau)}{1+x^{10}(t-\tau)} \qquad .
\end{equation}
Als Parameter werden $a=0.1$, $b=0.2$ und $\tau=17$ gewählt. Es ist $x(t<0)=0$
und $x(t=0)=1.2$. Die Modellierungsaufgabe besteht in diesem Fall darin, den
zukünftigen Wert $x(t+6)$ anhand des aktuellen Wertes $x(t)$ und dreier
zeitlich zurückliegender Werte $x(t-18)$, $x(t-12)$ und $x(t-6)$ zu
prognostizieren.

Man erkennt in den grafischen Darstellungen deutlich, dass sich
die Eingangsgrößen sehr stark ähneln, da sie die gleichen Werte,
nur zeitlich versetzt, beinhalten. Daher sind auch die erzeugten
Partitionierungen nahezu identisch. Dies zeigt sich auch anhand
der hohen Korrelation der Eingangsgrößen untereinander. Für die
Ausgangsgröße werden durch das Clusterverfahren vier linguistische
Werte erzeugt. Ein Vergleich der Modellierungsergebnisse, die mit
dieser automatischen Partitionierung erzielt werden, mit denen
verschiedener anderer Standard"=Partitionierungen zeigt, dass
diese Anzahl offenbar nicht ausreicht, um eine gute Modellierung
zu erzielen (siehe Abschnitt \ref{app:D}). Bessere
Modellierungsergebnisse stellen sich ein, wenn die Anzahl der
linguistischen Ausgangsgrößenwerte auf fünf oder sieben erhöht
wird.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[height=7cm,width=7cm]{BOXsp_AutoLT-CLU_04D_A_MackeyGlass}
  \hspace{1.5cm}
  \includegraphics[height=7cm,width=7cm]{HISsp_AutoLT-CLU_04D_A_MackeyGlass}
  \caption{Box-Plots (links) und Histogramm-Plots (rechts) für das Benchmarkproblem Mackey"=Glass"=Zeitreihe.}\label{pic:SYSmackey}
\end{figure}

\begin{table}[H]
    \begin{center}
    \begin{tabular}{lr}
    MedianAD          &                       0.173\\
    Std               &                       0.241\\
    Skewness          &                      -0.478\\
    IQR               &                       0.378\\
    RatioDataLow      &                       0.000\\
    RatioDataHigh     &                       0.000\\
    In2InCorr         &                       0.589\\
    %In2InCov          &                       0.034\\
    \end{tabular}
    \hspace{1cm}
    \begin{tabular}{lr}
    MedianAD            &                       0.177\\
    Std                 &                       0.241\\
    Skewness            &                      -0.441\\
    IQR                 &                       0.379\\
    RatioDataLow        &                       0.000\\
    RatioDataHigh       &                       0.000\\
    In2OutCorr          &                       0.590\\
    %In2OutCov           &                       0.034\\
    \end{tabular}
    \end{center}
    \caption{Aggregierte Merkmale für die Eingangsgrößen (links) und für die Ausgangsgröße (rechts) des Benchmarkproblems Mackey"=Glass"=Zeitreihe.}\label{tab:SYSmackey}
\end{table}
