\subsubsection*{\textbf{Mittelwertbasiertes Test- und Bewertungsverfahren}}%

Das Mittelwertbasierte Test- und Bewertungsverfahren \cite{JS98b,Jes99,Jes00a}
(englisch: Mean Value Based) ist im Hinblick auf die Regelgenerierung für den
Fall konzipiert worden, dass sich Zusammenhänge in den Daten vergleichsweise
schwach abzeichnen. Das Verfahren verfolgt primär das Ziel, durch die
generierten Regeln eine hohe Approximationsgüte hinsichtlich der zu Grunde
liegenden Daten zu erreichen. Es werden zunächst für die unbedingte Verteilung
der Mittelwert $\overline{y}$ und die Standardabweichung $\sigma$ der
Ausgangsgrößenwerte berechnet:
\begin{equation}\label{equ:MVBsigma}
    \overline{y} = \frac{1}{D} \cdot \sum\limits_{q=1}^{D}{y_{q}}
    \quad \mathrm{und} \quad
    \sigma = \sqrt{\frac{\sum\limits_{q=1}^{D}{(y_{q}-\overline{y})^{2}}} {D-1} } \qquad .
\end{equation}
Gleiches wird für die bedingte Verteilung durchgeführt:
\begin{equation}\label{equ:MVBsigmaP}
    \overline{y}_{P}=\frac{1}{D_{sup}} \cdot \sum\limits_{q=1}^{D}{\mu_{P}(\mathbf{x}_{q}) \cdot y_{q}}
    \quad \mathrm{und} \quad
    \sigma_{P}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{q=1}^{D}{\mu_{P}(\mathbf{x}_{q}) \cdot (y_{q}-\overline{y}_{P})^{2}}} {D_{sup}-1} } \qquad .
\end{equation}
Mit Hilfe des Mittelwertbasierten Tests wird untersucht, ob sich die
Mittelwerte der unbedingten und der bedingten Verteilung signifikant
voneinander unterscheiden. Abbildung \ref{pic:MVBdistributions} veranschaulicht
drei typische Szenarien, die bei dieser Fragestellung auftreten.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[height=3.5cm,width=12.5cm]{005_Distributions}
  \caption{Beispiele für stark überlappende (links), wenig überlappende (Mitte) und nicht überlappende (rechts) Verteilungen.}\label{pic:MVBdistributions}
\end{figure}
Im ersten Fall (Abbildung \ref{pic:MVBdistributions}, links) überlappen sich
die unbedingte und die bedingte Verteilung so stark, dass offenbar kein
signifikanter Unterschied in den Mittelwerten vorhanden ist und daher keine
Regel generiert werden sollte. Im dritten Fall (Abbildung
\ref{pic:MVBdistributions}, rechts) überlappen sich die Verteilungen gar nicht,
und da offenbar ein signifikanter Unterschied vorliegt, sollte in diesem Fall
eine Regel generiert werden. Häufig ist die Situation jedoch weniger eindeutig,
wie hier im zweiten Fall dargestellt (Abbildung \ref{pic:MVBdistributions},
Mitte).

Als zu überprüfende Nullhypothese $H_{0}$ wird angenommen, dass die Mittelwerte
gleich sind. Die Alternativhypothese $H_{1}$ ist folglich, dass die Mittelwerte
nicht gleich sind. Zur Überprüfung wird der statistische $t$"~Test
\cite{Gos08,Har95,HEK95} eingesetzt. Der Wert $t_{n}$ der Testgröße berechnet
sich für die zu untersuchenden Verteilungen wie folgt:
\begin{equation}\label{equ:MVBtTest}
    t_{n}=
    \left|
    \frac {\overline{y}_{P}-\overline{y}} {\sigma_{P} / \sqrt{D_{sup}} }
    \right|
    \qquad.
\end{equation}
Die Nullhypothese $H_{0}$ kann für eine gegebene Irrtumswahrscheinlichkeit
$\alpha$ verworfen werden, falls $t_{n}
> t(D_{sup}, \alpha)$ gilt. In diesem Fall unterscheiden sich die
Mittelwerte signifikant voneinander und die Hypothese wird zur Regel erklärt.
Der kritische Wert $t(D_{sup}, \alpha)$ kann dabei aus Tabellen entnommen oder
geeignet approximiert werden. Der Bewertungsindex für eine mit diesem Verfahren
generierte Regel wird folgendermaßen festgelegt:
\begin{equation}\label{equ:J-MVB}
  J_{MVB}=e^{-\sigma_{P} / \sigma} \qquad .
\end{equation}
Da sich die zu prüfende Hypothese (Regel) nicht auf einen bestimmten
linguistischen Ausgangsgrößenwert bezieht, muss die Konklusion der generierten
Regel geeignet gewählt werden. Für den Fall eines hier als gegeben angenommenen
Fuzzy"=Informationssystems kann der mittlere Ausgangsgrößenwert der bedingten
Verteilung höchstens zu zwei linguistischen Ausgangsgrößenwerten in einem Grade
größer Null zugehörig sein. Alle linguistischen Ausgangsgrößenwerte, denen
$\bar{y}_{P}$ nicht zugehörig ist, scheiden als Konklusion grundsätzlich aus.
Im Fuzzy"=ROSA"=Verfahren wird so vorgegangen, dass die Konklusion der Regel so
gewählt wird, dass für den Mittelwert $\bar{y}_{P}$ der bedingten Verteilung
der Grad der Zugehörigkeit maximal wird: $\mu(\bar{y}_{P}=S_{j}) \rightarrow
\mathrm{max}$.
