\section{Ansatz für ein hybrides Fuzzy"=System}\label{sec:8.3}%
\markboth%
%%%{KAPITEL \thechapter.\quad HYBRIDES FUZZY"=SYSTEM}%
%%%{\thesection.\quad ANSATZ FÜR EIN HYBRIDES FUZZY"=SYSTEM}%
{Kapitel \thechapter.\quad Hybrides Fuzzy"=System}%
{\thesection.\quad Ansatz für ein hybrides Fuzzy"=System}%

Zur Nutzung negativer Mamdani"=Regeln in Verbindung mit TSK"~Systemen wird ein
hybrides Fuzzy"=System \cite{SKK05b,SKK06a} vorgeschlagen, das in Abbildung
\ref{pic:HybridFuzzy} schematisch dargestellt ist. Ziel ist es, die Vorteile
von negativen Mamdani"=Regeln (kompakte und transparente Formulierung von
Warnungen bzw. Verboten) und die Vorteile von TSK"~Regeln (hohe
Approximationsgenauigkeit) innerhalb eines Systems nutzen zu können. Anwender
sollen dieses Fuzzy"=System in der gleichen Weise erstellen und einsetzen
können wie die ihnen bereits bekannten Mamdani"=Systeme und TSK"~Systeme. Das
in dieser Arbeit konzipierte hybride Fuzzy"=System beinhaltet sowohl ein
Mamdani"=System als auch ein TSK"~System. Die Regelbasis des Mamdani"=Systems
setzt sich aus positiven und negativen Regeln zusammen. Die Regelbasis des
TSK"~Systems beinhaltet hingegen nur positive Regeln, die durch Transformation
aus den positiven Regeln des Mamdani"=Systems hervorgehen. Für einen gegebenen
Eingangsgrößenvektor $\mathbf{x}$ wird zunächst die Mamdani"=Regelbasis nach
dem zweisträngigen Konzept (siehe Abschnitt \ref{sec:8.1}) ausgewertet. Hieraus
ergeben sich die ausgangsseitigen Empfehlungsgebirge $\mu^{+}(y)$ für die
Empfehlungen der positiven Regeln und $\mu^{-}(y)$ für die Warnungen oder
Verbote der negativen Regeln. Nach Durchführung der Hyperinferenz ergibt sich
für das Mamdani"=System das resultierende Empfehlungsgebirge $\mu(y)$, das aus
mehreren Teilempfehlungsgebirgen $\mu_{i}(y)$ bestehen kann, die jeweils in den
Intervallen $[y_{i, min}, y_{i, max}]$ erklärt sind, in denen $\mu(y)>0$ ist.
Aus $\mu(y)$ wird das am stärksten gewichtete Teilempfehlungsgebirge
$\mu_{j}(y)$ und das zugehörige Intervall $[y_{j,min}, y_{j,max}]$, in dem
dieses definiert ist, bestimmt. Dieses Intervall ist, bezogen auf den gegebenen
Eingangsgrößenvektor $\mathbf{x}$, der prädestinierte Wertebereich -- das heißt
zulässig im Sinne der Verbote und am stärksten empfohlen im Sinne der
Empfehlungen --  für den scharfen Ausgangsgrößenwert $y_{D}$. Der abschließende
Schritt der Hyperdefuzzifizierung wird für das Mamdani"=System jedoch
ausgesetzt. Für die Berechnung des Ausgangsgrößenwertes $y_{D}$ des hybriden
Fuzzy"=Systems wird das TSK"=System herangezogen. Der anhand des
Mamdani"=Systems bestimmte prädestinierte Wertebereich für den scharfen
Ausgangsgrößenwert wird in das TSK"~System eingekoppelt und dort für eine
situationsbezogene Regelselektion genutzt. Aus denjenigen TSK"~Regeln, die
durch den Eingangsgrößenvektor $\mathbf{x}$ aktiviert werden, werden nur
diejenigen TSK"~Regeln, für die $y_{j,min} \leq f_{i}(\mathbf{x}) \leq
y_{j,max}$ gilt, ausgewählt und für die Berechnung des Ausgabewertes
herangezogen. Die Berechnung des scharfen Ausgabewertes anhand der so
selektierten TSK"~Regeln erfolgt dann in der gewohnten Weise durch eine
gewichtete Mittelwert- oder Medianbildung (siehe Gl. (\ref{equ:TSK-Output1})
und Gl. (\ref{equ:TSK-Output2a})). Da alle Empfehlungen der so selektierten
positiven TSK"~Regeln innerhalb des gewünschten Wertebereichs liegen, gilt dies
auch für den daraus berechneten Ausgabewert $y_{D}$ des TSK"~Systems, der
gleichzeitig auch der scharfe Ausgangsgrößenwert des hybriden Fuzzy"=Systems
ist.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[height=7.0cm,width=12.0cm]{015_Hybrid}
  \caption{Schematische Darstellung eines hybriden Fuzzy"=Systems.}\label{pic:HybridFuzzy}
\end{figure}
