\section{Test- und Bewertungsverfahren basierend auf Datenhäufigkeiten}\label{sec:6.1}%
\markboth%
%%%{KAPITEL \thechapter.\quad NEUE STRATEGIEELEMENTE FÜR DIE GENERIERUNG VON MAMDANI"=REGELN}%
%%%{\thesection.\quad TEST- UND BEWERTUNGSVERFAHREN BASIEREND AUF DATENHÄUFIGKEITEN}%
{Kapitel \thechapter.\quad Neue Strategieelemente für die Generierung von Mamdani"=Regeln}%
{\thesection.\quad Test- und Bewertungsverfahren basierend auf Datenhäufigkeiten}%

Die unbedingte Wahrscheinlichkeit $p(C)$ für das Auftreten der Konklusion $C$
einer Hypothese ist unbekannt und wird, basierend auf den vorhandenen Daten,
wie folgt geschätzt:
\begin{equation}\label{equ:pC}
    \hat{p}(C)=\frac{1}{D} \cdot \sum\limits_{q=1}^{D}{\mu_{Y_{j}}(y_{q})} \qquad .
\end{equation}
Die bedingte Wahrscheinlichkeit $p(C|P)$ für das Auftreten der Konklusion $C$
einer Hypothese unter der Voraussetzung, dass die in der Prämisse $P$
definierte Bedingung vorliegt, ist unbekannt und wird, basierend auf den
vorhandenen Daten, wie folgt geschätzt:
\begin{equation}\label{equ:pCP}
    \hat{p}(C|P)=\frac{1}{D_{sup}} \cdot \sum\limits_{q=1}^{D}{\mu_{Y_{j}}(y_{q}) \wedge \mu_{P}(\mathbf{x}_{q})} \qquad .
\end{equation}
Da die wahren Wahrscheinlichkeiten nicht bekannt sind und daher anhand der
vorhandenen Daten (Stichproben) geschätzt werden müssen, ist es angebracht, zu
den geschätzten Werten entsprechende Konfidenzintervalle \cite{HEK95,Kro99}
anzugeben. Der wahre, aber unbekannte Wert sollte innerhalb des berechneten
Konfidenzintervalls liegen. Dies lässt sich jedoch nicht mit absoluter
Sicherheit gewährleisten. Darum wird zu einem Konfidenzintervall stets eine
bestimmte Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ angegeben. Typischerweise wählt
man $\alpha=0.01$, also eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 1\%. Dies bedeutet
anschaulich, dass in 99\% aller Stichproben das jeweilige Konfidenzintervall
den wahren Wert enthält und in 1\% nicht. Oftmals wird dies auch als
Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Wert innerhalb des Konfidenzintervalls
liegt, bezeichnet. Die Größe des Konfidenzintervalls richtet sich nach der
geforderten Irrtumswahrscheinlichkeit und dem Umfang der Stichprobe. Betrachtet
man den Fall einer Stichprobe konstanten Umfangs und einer variablen
Irrtumswahrscheinlichkeit, so wird das Konfidenzintervall umso größer, je
kleiner die geforderte Irrtumswahrscheinlichkeit gewählt wird. Mit anderen
Worten: Man erreicht die gewünschte Sicherheit dadurch, dass man das
Konfidenzintervall groß genug wählt. Betrachtet man hingegen den Fall einer
Stichprobe variablen Umfangs und einer konstanten Irrtumswahrscheinlichkeit, so
wird das Konfidenzintervall umso größer, je kleiner der Umfang der Stichprobe
ist. Mit anderen Worten: Je größer die Stichprobe ist, desto gesicherter ist
der geschätzte Wert und desto kleiner kann das Konfidenzintervall ausfallen.

Zu einem geschätzten Wert kann ein einseitiges oder ein zweiseitiges
Konfidenzintervall angegeben werden. Ein zweiseitiges Konfidenzintervall liegt
in der Regel symmetrisch um den geschätzten Wert. Die Wahrscheinlichkeit, dass
der wahre Wert oberhalb der oberen Grenze des Intervalls liegt, soll gleich
groß sein wie die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Wert unterhalb der unteren
Grenze des Intervalls liegt. Bei einem einseitigen Konfidenzintervall wird eine
der beiden Grenzen entsprechend zu $+\infty$ bzw. $-\infty$ gesetzt. In diesem
Fall ist es nur von Interesse, ob der wahre Wert unterhalb bzw. oberhalb eines
bestimmten Grenzwertes liegt. Lautet die interessierende Fragestellung
beispielsweise, wie hoch der durchschnittliche Benzinpreis ist, so muss zu dem
mittleren Benzinpreis, der anhand der zu Grunde liegenden Stichprobe von
Benzinpreisen bestimmt worden ist, ein zweiseitiges Konfidenzintervall
angegeben werden. Lautet die Fragestellung aber, ob der durchschnittliche
Benzinpreis oberhalb einer bestimmten Marke liegt, so muss zu dem Mittelwert
ein einseitiges Konfidenzintervall angegeben werden.

Bezogen auf die im Fuzzy"=ROSA"=Verfahren betrachteten geschätzten relativen
Häufigkeiten $\hat{p}(C)$ und $\hat{p}(C|P)$ sind ohne Beachtung von
Konfidenzintervallen zunächst drei grundsätzliche Fälle zu unterscheiden.
Erstens kann  $\hat{p}(C|P)
> \hat{p}(C)$ gelten. Die Konklusion tritt also unter
der Bedingung, dass die in der Prämisse spezifizierte Eingangssituation
vorliegt, häufiger auf als in dem Fall, dass keine spezielle Eingangssituation
vorliegt. Es gibt offenbar einen kausalen Zusammenhang zwischen dem Vorliegen
einer speziellen Eingangssituation und dem Auftreten einer bestimmten
Ausgangssituation. Dieser Zusammenhang kann in der bekannten Form einer
positiven Regel gemäß Gl. (\ref{equ:MAM-Rule}) formuliert werden. Zweitens kann
$\hat{p}(C|P) = \hat{p}(C)$ gelten. Das Auftreten der Konklusion ist im
unbedingten Fall und im bedingten Fall gleich häufig. Da sich kein Unterschied
zeigt, gibt es keinen Zusammenhang zwischen Prämisse und Konklusion und es
leitet sich folglich keine Regel daraus ab. Drittens kann $\hat{p}(C|P) <
\hat{p}(C)$ gelten. Die Konklusion tritt also unter der Bedingung, dass die in
der Prämisse spezifizierte Eingangssituation vorliegt, weniger häufig auf als
in dem Fall, dass keine spezielle Eingangssituation vorliegt. Dieser
Zusammenhang kann in Form einer negativen Regel gemäß Gl.
(\ref{equ:MAM-RuleNeg2}) formuliert werden.

Aus den oben genannten Gründen ist es sinnvoll, bei dieser Untersuchung
Konfidenzintervalle zu beachten. Abgeleitet aus den zuvor beschriebenen
Fallunterscheidungen stellt sich die Frage, ob die entsprechenden
Konfidenzintervalle disjunkt sind oder nicht. Aus diesem Grund werden
einseitige Konfidenzintervalle verwendet, da für eine mögliche Überlappung
zweier Konfidenzintervalle nur die obere Grenze des einen und die untere Grenze
des anderen Konfidenzintervalls relevant sind. Für die unbedingte relative
Häufigkeit ergeben sich die einseitigen Konfidenzintervalle
\begin{equation}\label{equ:Confidence1}
    I_{l}^{\alpha}(C)=[0,\hat{p}_{l}^{\alpha}(C)] \quad \mathrm{und} \quad
    I_{u}^{\alpha}(C)=[\hat{p}_{u}^{\alpha}(C),1]
\end{equation}
und für die bedingte relative Häufigkeit entsprechend die einseitigen
Konfidenzintervalle
\begin{equation}\label{equ:Confidence2}
    I_{l}^{\alpha}(C|P)=[0,\hat{p}_{l}^{\alpha}(C|P)] \quad \mathrm{und} \quad
    I_{u}^{\alpha}(C|P)=[\hat{p}_{u}^{\alpha}(C|P),1] \qquad .
\end{equation}
Übertragen auf den Fall, dass $\hat{p}(C|P)
> \hat{p}(C)$ gilt, ist zu prüfen, ob $I_{l}^{\alpha}(C)$ und
$I_{u}^{\alpha}(C|P)$ disjunkt sind. Falls dies zutrifft, kann eine positive
Regel formuliert werden. Für den Fall, dass $\hat{p}(C|P) < \hat{p}(C)$ gilt,
ist entsprechend zu prüfen, ob $I_{u}^{\alpha}(C)$ und $I_{l}^{\alpha}(C|P)$
disjunkt sind. Ist dies der Fall, kann eine negative Regel formuliert werden.
Abbildung \ref{pic:Confidence} veranschaulicht die unterschiedlichen Fälle.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[height=5cm,width=12cm]{004_Confidence}
  \caption{Beispiele für disjunkte bzw. nicht disjunkte Konfidenzintervalle: keine positive Regel (oben links), positive Regel (oben rechts), keine negative Regel (unten links) und negative Regel (unten rechts).}\label{pic:Confidence}
\end{figure}
Im Fuzzy"=ROSA"=Verfahren stehen eine Reihe von Test- und Bewertungsverfahren
zur Verfügung, die auf der Betrachtung der hier beschriebenen relativen
Datenhäufigkeiten basieren \cite{JS98a,Kro99,KT01}. Sie unterscheiden sich zum
Teil aber darin, inwieweit auf Konfidenzintervalle sowohl für den Test einer
Hypothese als auch für die gegebenenfalls vorzunehmende Bewertung einer Regel
zurückgegriffen wird. Eine detaillierte Vorstellung dieser Test- und
Bewertungsverfahren findet sich in Anhang \ref{app:B}.
