\section{Anwenderorientierte Erweiterungen des Verfahrens}\label{sec:5.3}%
\markboth%
%%%{KAPITEL \thechapter.\quad ANALYSE DES VERFAHRENS IM HINBLICK AUF VERBESSERUNGSPOTENZIAL}%
%%%{\thesection.\quad ANWENDERORIENTIERTE ERWEITERUNGEN DES VERFAHRENS}%
{Kapitel \thechapter.\quad Analyse des Verfahrens im Hinblick auf Verbesserungspotenzial}%
{\thesection.\quad Anwenderorientierte Erweiterungen des Verfahrens}%

Nachfolgend werden einige Erweiterungen, die an dem Fuzzy"=ROSA"=Verfahren
vorgenommen wurden, beschrieben. Diese stellen jedoch nicht den Schwerpunkt der
Arbeit dar und werden daher an dieser Stelle vergleichsweise knapp behandelt.

Um industriellen Anwendern eine komfortable Verwaltung ihrer Daten und Modelle
zu ermöglichen, sind Anbindungen an gängige Datenbanktypen (Microsoft Access,
Microsoft MySQL"~Server und MySQL) geschaffen worden. Ferner sind eine
grafische Benutzeroberfläche und ein Hilfesystem realisiert worden, um
Anwendern die komplexen Modellierungs- und Optimierungsmethoden des Verfahrens
leicht zugänglich zu machen. Diese Arbeiten wurden in erster Linie vom
Kooperationspartner NuTech durchgeführt.

In Abschnitt \ref{sec:4.3} wird darauf hingewiesen, dass der Zeitaufwand für
die datenbasierte Erstellung eines Modells mit dem Fuzzy"=ROSA"=Verfahren
primär von der Anzahl der zu beachtenden Eingangsgrößen abhängt, da mit
zunehmender Anzahl der Eingangsgrößen die Anzahl der zu prüfenden Hypothesen
exponentiell ansteigt und eine vollständige Durchmusterung des Suchraumes
oftmals nicht mehr in vertretbarer Zeit möglich ist. Eine mögliche
Vorgehensweise kann in diesem Fall darin bestehen, eine evolutionäre Regelsuche
durchzuführen (siehe Abschnitt \ref{sec:4.2}). Eine andere Herangehensweise
besteht darin, die Anzahl der Eingangsgrößen so weit zu reduzieren, dass sich
ein Suchraum handhabbarer Größe ergibt. Die Auswahl relevanter Eingangsgrößen
ist aber auch deshalb von Interesse, da sich so unter Umständen auch Kosten
einsparen lassen, beispielsweise teure Sensoren.

Verfahren für die Selektion von Eingangsgrößen lassen sich anhand von drei
Kriterien kennzeichnen: Erstens ist danach zu fragen, ob in dem Verfahren die
Möglichkeit zur Bewertung kompletter Sätze von Eingangsgrößen und nicht nur von
individuellen Größen vorgesehen ist. Zweitens ist nach der verwendeten
Suchstrategie für Sätze von Eingangsgrößen und drittens nach der
Bewertungsfunktion zu fragen, die zur Relevanzbewertung eingesetzt wird. Die
Möglichkeit zur Bewertung kompletter Sätze von Eingangsgrößen muss hier
gewährleistet sein, um die Interaktion der Eingangsgrößen bereits bei deren
Auswahl zu berücksichtigen, da diese Interaktion für den Erfolg der
nachfolgenden datenbasierten Modellierung von entscheidender Bedeutung ist. Es
müssen ferner geeignete Strategien für die Suche nach relevanten Sätzen von
Eingangsgrößen zur Verfügung stehen, um die Selektion in annehmbarer Zeit
durchführen zu können. Bei der eingesetzten Bewertungsfunktion kann generell
zwischen zwei Ansätzen unterschieden werden. Bei dem \emph{Filter"=Ansatz}
\cite{KW00} wird ein meist einfach und schnell zu berechnendes Maß (zum
Beispiel die aus der Statistik und der Informationstheorie bekannten Maße
Korrelation und Transinformation \cite{Mat96}) verwendet. Im Gegensatz dazu
wird bei dem \emph{Wrapper"=Ansatz} \cite{KJ97} für die Bewertung eines Satzes
von Eingangsgrößen die Güte des tatsächlichen Modells herangezogen, die sich
bei der Verwendung des gewählten Satzes von Eingangsgrößen ergibt.

Eine vollständige Durchmusterung aller möglichen Sätze von
Eingangsgrößen ist aufgrund der kombinatorischen Vielfalt und dem
damit verbundenen Zeitaufwand in der Praxis oftmals nicht möglich.
Häufig wird daher eine \emph{Greedy"=Suche} eingesetzt, bei der
ein Satz von Eingangsgrößen, ausgehend von einer Eingangsgröße,
sukzessive erweitert oder, ausgehend von allen Eingangsgrößen,
sukzessive reduziert wird. Bei diesem Suchansatz ist der Aufwand
zwar geringer als bei einer vollständigen Suche, es ist aber nicht
gewährleistet, dass der so gefundene Satz von $n$ Eingangsgrößen
auch derjenige aller möglichen Sätze mit $n$ Eingangsgrößen ist,
der die höchste Relevanz aufweist. Daher wird eine dritte
Suchstrategie entwickelt, die als \emph{eingeschränkte
vollständige Suche} bezeichnet wird. Diese Strategie generiert und
testet all diejenigen Sätze, die eine bestimmte Anzahl an
Eingangsgrößen beinhalten. Der Nachteil der Greedy"=Suche wird so
behoben, und da der Suchraum bei dieser Strategie meist deutlich
kleiner ist als bei einer vollständigen Suche, kann die Selektion
in einer für den Anwender vertretbaren Zeit durchgeführt werden.
Der Wrapper"=Ansatz zur Bewertung der Relevanz eines betrachteten
Satzes von Eingangsgrößen scheidet hier aus, da der Zeitaufwand zu
groß ist und sich so nicht die gewünschte Beschleunigung der
Modellerstellung erzielen lässt. Es werden daher
Selektionsverfahren eingesetzt, die auf dem Filter"=Ansatz
basieren. Die Verfahren arbeiten hier rekonstruktionsbasiert, das
heißt es wird auf Grundlage eines Satzes ausgewählter
Eingangsgrößen ein vergleichsweise einfaches und schnell zu
berechnendes Modell erzeugt und bewertet. Der erzielte
Modellierungsfehler wird als Bewertungsmaß für die Relevanz des
betrachteten Satzes von Eingangsgrößen aufgefasst. Je kleiner der
Fehlerwert ist, desto höher ist die Relevanz. Der Satz von
Eingangsgrößen mit der höchsten Relevanz wird für die nachfolgende
datenbasierte Modellierung mit dem Fuzzy"=ROSA"=Verfahren
eingesetzt. Dem ersten Selektionsverfahren \cite{SKMM03} liegt
eine abstandsbasierte Rekonstruktionsfunktion zu Grunde. Der
verwendete Rekonstruktionsalgorithmus schätzt zu einem
Eingangsgrößenvektor $\mathbf{x}_{j}$ einen Ausgangsgrößenwert
$\hat{y}_{j}$ auf der Basis aller übrigen Datenpunkte, wobei
möglichst ${y}_{j}=\hat{y}_{j}$ gelten soll. Dieses Prinzip wird
auch als \emph{leave one out cross"~validation} bezeichnet. Der
Ausgangsgrößenwert $y_{i}$ eines Datenpunktes geht um so stärker
in die Rekonstruktion ein, je kleiner der Abstand zwischen den
Eingangsgrößenvektoren $\mathbf{x}_{j}$ und $\mathbf{x}_{i}$ ist,
was über eine geeignete Gewichtungsfunktion erreicht wird. Der
Abstand wird dabei jeweils in dem Raum bestimmt, der von den in
diesem Fall betrachteten Eingangsgrößen aufgespannt wird. Dieser
Ansatz ist eher für den Fall vergleichsweise weniger Datenpunkte
praktikabel, da der Rekonstruktionsalgorithmus die Ordnung
$O(N^2)$ aufweist. Das zweite Selektionsverfahren
\cite{SNK01b,SNK01a} arbeitet ebenfalls rekonstruktionsbasiert,
allerdings werden hier für die Rekonstruktion eines Datenpunktes
nicht alle übrigen Datenpunkte verwendet, sondern nur solche, die
in dessen Nachbarschaft liegen. Als einander benachbart werden in
diesem Fall solche Datenpunkte angesehen, die in einer gemeinsamen
Zelle liegen. Unter einer Zelle wird dabei ein achsparalleler
Hyperquader im $n$"~dimensionalen Raum der betrachteten
Eingangsgrößen verstanden. Der Wertebereich einer Eingangsgröße
$X_{i}$ wird durch $k_{i}$ frei wählbare Stützstellen in
$(k_{i}+1)$ überlappungsfreie Intervalle unterteilt\footnote{Die
untere und die obere Grenze des Wertebereichs einer Eingangsgröße
$X_{i}$ werden nicht als Stützstellen aufgefasst, da sie nicht
frei platzierbar sind. Diese Grenzen werden zusätzlich zu den
$k_{i}$ Stützstellen verwendet, um die $(k_{i}+1)$ Intervalle
festzulegen.}. Durch die Gesamtheit aller Stützstellen wird der
von den $n$ Eingangsgrößen aufgespannte Raum in $m =
\prod_{i=1}^{n}{(k_{i}+1)}$ überlappungsfreie, achsparallele
Hyperquader segmentiert. Ein Hyperquader entspricht im Prinzip dem
Teilvolumen, das von der Prämisse einer vollständigen Regel, so
wie sie im Fuzzy"=ROSA"=Verfahren ausgelegt ist, abgedeckt wird.
Dieses Zellenmodell weist jedoch zwei wesentliche Unterschiede
gegenüber einem Fuzzy"=Modell auf: erstens werden keine graduellen
Zugehörigkeiten zu einem Hyperquader verwendet, und zweitens
werden nur vollständige und keine generalisierenden Hyperquader
betrachtet. Das Auffinden mit Datenpunkten besetzter Zellen
erfolgt mittels einer effizienten baumorientierten Suche. Für
diejenigen Datenpunkte, die in einer gemeinsamen Zelle liegen,
wird zum Beispiel im Fall eines Approximationsproblems der
mittlere Ausgangsgrößenwert $\bar{y}$ dieser Datenpunkte berechnet
und für deren Rekonstruktion $\hat{y}_{i}=\bar{y}$
verwendet\footnote{Im Falle eines Klassifikationsproblems wird für
$\hat{y}_{i}$ entsprechend der Wert der am häufigsten auftretenden
Klasse in einer Zelle genutzt.}. Für einen Satz von Eingangsgrößen
und zugehöriger Stützstellen lässt sich so ein
Rekonstruktionsfehler bezüglich aller Datenpunkte berechnen und
für eine evolutionäre Optimierung der Stützstellen nutzen.
Abbildung \ref{pic:FeatureSel} zeigt beispielhaft die Vorzüge
einer Zelleneinteilung durch evolutionär optimierte Stützstellen
gegenüber zum Beispiel äquidistant angeordneten Stützstellen
anhand eines Klassifikationsproblems.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[height=5cm,width=15cm]{003_Partitions}
  \caption{Beispiele für unterschiedliche Zelleneinteilungen und daraus generierten Zugehörigkeitsfunktionen: äquidistant (links), äquifrequent (Mitte) und optimiert (rechts).}\label{pic:FeatureSel}
\end{figure}
In diesem Beispiel mit zwei Eingangsgrößen $X_{1}$ und $X_{2}$ sind nur zwei
Klassen vorhanden, in Abbildung \ref{pic:FeatureSel} dargestellt durch Kreise
und Kreuze. In einer Zelle sollten möglichst nur Datenpunkte, die zu einer
Klasse gehören, enthalten sein, damit der Rekonstruktionsfehler minimal wird.
Es ist zu erkennen, dass hier sowohl bei einer äquidistanten als auch bei einer
äquifrequenten Platzierung der Stützstellen die angestrebte Trennung nicht
vollständig gelingt. Im Gegensatz dazu werden bei den evolutionär optimierten
Stützstellen die Datenpunkte in der gewünschten Weise voneinander separiert.
Aus den optimierten Stützstellen der letztlich selektierten Eingangsgrößen
können nachgeschaltet automatisch linguistische Werte und entsprechende
Zugehörigkeitsfunktionen hierzu für die Regelsuche mit dem
Fuzzy"=ROSA"=Verfahren generiert werden \cite{SNK01b}. Dies geschieht in der
Art, dass sich die dabei erzeugten Zugehörigkeitsfunktionen in einem vom
Anwender vorgegebenen Maße überlappen und so eine der wesentlichen
Eigenschaften eines Fuzzy"=Modells gegeben ist. In Abbildung
\ref{pic:FeatureSel} ist dies ebenfalls beispielhaft dargestellt. Der gewählte
Ansatz des Selektionsverfahrens (Segmentierung in überlappungsfreie,
achsparallele Hyperquader) ist dem des eingesetzten Modellierungsverfahrens
(Regelsuche in überlappenden, achsparallelen Hyperquadern) sehr ähnlich und
führt daher oftmals zu signifikanten Verbesserungen gegenüber den Resultaten,
die mit Standard"=Partitionierungen erzielt werden \cite{SNK01b}.
