\section{Regelgenerierung nach dem Konzept des Inkrementellen Relevanzindex}\label{sec:6.4}%
\markboth%
%%%{KAPITEL \thechapter.\quad NEUE STRATEGIEELEMENTE FÜR DIE GENERIERUNG VON MAMDANI"=REGELN}%
%%%{\thesection.\quad REGELGENERIERUNG NACH DEM KONZEPT DES INKREMENTELLEN RELEVANZINDEX}%
{Kapitel \thechapter.\quad Neue Strategieelemente für die Generierung von Mamdani"=Regeln}%
{\thesection.\quad Regelgenerierung nach dem Konzept des Inkrementellen Relevanzindex}%

Die in den Abschnitten \ref{sec:6.1} und \ref{sec:6.2} vorgestellten Test- und
Bewertungsverfahren weisen gewisse Schwachstellen im Hinblick auf die Erzeugung
negativer Regeln auf \cite{Kie97a}. Im Sinne einer möglichst gleichberechtigten
Behandlung positiver und negativer Regeln ist von \namestyle{Kiendl} der
Inkrementelle Relevanzindex für die Regelgenerierung vorgeschlagen worden
\cite{Kie00,KKSS02b}. Hierbei handelt es sich nicht um ein Test- und
Bewertungsverfahren, sondern hierunter ist vielmehr ein spezielles Konzept für
die Regelgenerierung zu verstehen.

Die Regelsuche verläuft hierbei grundsätzlich so wie in anderen Fällen auch,
jedoch werden zusätzlich zu den anhand eines Test- und Bewertungsverfahrens
generierten Regeln noch weitere Regeln der Regelbasis hinzugefügt. Das Konzept
des Inkrementellen Relevanzindex basiert auf der Verwendung von Regeln, die
sich in ihrer Bedeutung in drei Kategorien aufteilen lassen: universelle
Regeln, herkömmliche Regeln und komplementäre Regeln. Universelle Regeln haben
folgende Form:
\begin{equation}\label{equ:MAM-UniRule}
   \mathrm{WENN}\;<\text{\emph{1=1>}}\;\mathrm{DANN}\;<\text{\emph{C}}>\qquad .
\end{equation}
Da die Prämisse einer solchen Regel stets erfüllt ist, wird eine solche Regel
unabhängig von dem Eingangsgrößenvektor $\mathbf{x}$ immer aktiviert. Zu jedem
der $S$ linguistischen Ausgangsgrößenwerte wird genau eine universelle Regel
erzeugt. Das Glaubensmaß einer universellen Regel richtet sich primär nach zwei
Aspekten, zum einen danach, welche Fläche $F_{i}$ von der
Zugehörigkeitsfunktion des linguistischen Wertes eingeschlossen wird, auf den
sich die Konklusion der universellen Regel bezieht, zum anderen danach, wie oft
der linguistische Wert in der Konklusion der universellen Regel durch die zu
Grunde liegenden Lerndatenpunkte aktiviert wird. Die von einer
Zugehörigkeitsfunktion eingeschlossene Fläche wird mit $F_{i}$ bezeichnet. Die
Summe der Teilflächen aller Zugehörigkeitsfunktionen ist $F_{G}=\sum{F_{i}}$.
Die Aktivierung der Konklusion einer universellen Regel durch die
Lerndatenpunkte ist gleich der relativen unbedingten Häufigkeit
$\hat{p}(y=S_{i})$. Ferner wird ein globaler Parameter $0 \leq \lambda \leq 1$
eingeführt, über den gesteuert wird, wie stark universelle Regeln grundsätzlich
zu berücksichtigen sind. Es wird zunächst ein vorübergehendes Glaubensmaß für
eine universelle Regel wie folgt festgelegt:
\begin{equation}\label{equ:J-UNI1}
   \tilde{\rho_{i}} = \hat{p}(y=S_{i}) \frac{F_{i}}{F_{G}} \qquad .
\end{equation}
Eine universelle Regel wird als umso relevanter eingestuft, je stärker ihre
Konklusion durch die Lerndatenpunkte aktiviert wird und je größer die
eingeschlossene Fläche unter der entsprechenden Zugehörigkeitsfunktion ist. Es
wird für die endgültigen Glaubensmaße der universellen Regeln ferner gefordert,
dass $\sum{\rho_{i}}=\lambda$ gilt. Um dies zu gewährleisten, wird ein
Normierungsfaktor $q$ eingeführt, der sich zu $q=1/\sum{\tilde{\rho_{i}}}$
ergibt. Damit ergibt sich das endgültige Glaubensmaß einer universellen Regel
zu
\begin{equation}\label{equ:J-UNI2}
   \rho_{i} = \lambda q \tilde{\rho_{i}} \qquad .
\end{equation}
Das Verhältnis der Glaubensmaße der universellen Regeln zueinander ist damit
gerade so gewählt, dass sich für den Fall, dass ausschließlich die universellen
Regeln aktiviert sind, bei der Defuzzifizierung der so erzeugten
ausgangsseitigen Zugehörigkeitsfunktion\footnote{Als ODER"~Operator werde dabei
die algebraische Summe verwendet.} nach der Schwerpunkt"=Methode der mittlere
Ausgangsgrößenwert der Lerndatenpunkte einstellt. Da die universellen Regeln
immer aktiviert sind, ist dieser Wert gleichzeitig auch ein Basis"=Ausgabewert
des Mamdani"=Systems. Alle weiteren Regeln, ob positiv oder negativ, wirken
inkrementell und erzeugen Abweichungen von diesem Basis"=Ausgabewert, was bei
deren Generierung und Bewertung zu beachten ist.

Bei den herkömmlichen Regeln handelt es sich um diejenigen Regeln,
die im Zuge der Regelsuche anhand eines Test- und
Bewertungsverfahrens als relevante Regeln generiert werden.
Hierbei kann es sich sowohl um positive als auch um negative
Regeln handeln. Im Prinzip kann jedes der in Abschnitt
\ref{sec:6.2} und in Anhang \ref{app:B} vorgestellten Test- und
Bewertungsverfahren für die Regelgenerierung eingesetzt werden.
Speziell für den Einsatz in Verbindung mit dem Konzept des
Inkrementellen Relevanzindex zur Regelgenerierung sind aber die
inkrementelle Trefferquote $J_{ITQ}$ und die konfidente
inkrementelle Trefferquote $J_{KITQ}$ konzipiert worden (siehe
Anhang \ref{app:B}). Zu jeder erzeugten herkömmlichen Regel werden
zusätzlich $(S-1)$ komplementäre Regeln erzeugt, das heißt, zu
einer herkömmlichen positiven Regel entsprechend negative Regeln
bzw. im Fall einer herkömmlichen negativen Regel dann entsprechend
positive Regeln. Die Relevanzgrade $\rho_{i,j}$ der komplementären
Regeln werden dabei so festgelegt, dass zum einen
$\rho_{i}=\sum_{j=1}^{S-1}{\rho_{i,j}}$ gilt und zum anderen die
Verhältnisse der Relevanzgrade $\rho_{i,j}$ zueinander bzw. zu
$\rho_{i}$ denen entsprechen, die sich für die universellen Regeln
für $\lambda=1$ nach Gl. (\ref{equ:J-UNI2}) ergeben. Aufgrund
dieses speziellen Prinzips der Regelgenerierung ist die Anzahl der
insgesamt erzeugten Regeln meist vergleichsweise hoch.

Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass die Einführung des Basis"=Ausgabewertes
den Vorteil mit sich bringt, dass nur noch in Ausnahmefällen auf den
Default"=Wert zurückgegriffen werden muss und sich so eine höhere Flexibilität
ergibt. Zum einen muss in dem Fall auf den Default"=Wert zurückgegriffen
werden, wenn in der Regelbasis keine negativen Regeln vorhanden sind und keine
positiven Regeln durch den Eingangsgrößenvektor $\mathbf{x}$ aktiviert werden
und $\lambda=0$ ist. In diesem Fall sind die universellen Regeln deaktiviert
und es gibt keinerlei andere Empfehlungen durch positive Regeln. Zum anderen
kann dies für den Fall gelten, dass in der Regelbasis negative Regeln vorhanden
sind und $\lambda > 0$ ist. In diesem Fall sind die universellen Regeln zwar
aktiviert, jedoch wird der Basis"=Ausgabewert durch die negativen Regeln
verboten\footnote{Dies ist auch auf den Fall übertragbar, dass zusätzlich zu
den universellen Regeln noch positive Regeln wirken, aber aufgrund der
negativen Regeln das resultierende ausgangsseitige Empfehlungsgebirge leer
ist.}. Der Vorteil des Basis"=Ausgabewertes ist, dass er sich problemabhängig
einstellt. Dies lässt sich im Prinzip zwar auch problemlos auf den
Default"=Wert übertragen, aber die Verwendung zweier Werte kann gewisse
Vorteile haben. Zieht man das Beispiel eines chemischen Prozesses heran, so
kann eine mögliche Strategie zur Prozesskontrolle darin bestehen, eine
konstante Energiezufuhr (Basis"=Wert) vorzunehmen, solange keine Regeln eine
Abweichung hiervon empfehlen. Gerät der Prozess, aus welchen Gründen auch
immer, aber in einen kritischen Zustand, so sollte die Energiezufuhr durch
Sicherheitsmaßnahmen (negative Regeln) ausgesetzt werden. Die Unterbrechung der
Energiezufuhr kann über den Default"=Wert Null realisiert werden.
