\section{Mögliche Vorteile im Fall nur positiver Regeln}\label{sec:onlyPOS}
\markboth{\thesection\quad Hybrides Fuzzy-System}{Kapitel \thechapter\quad Hybrides Fuzzy-System}

Der in Abschnitt \ref{sec:TSK2} vorgestellte Ansatz kann auch dann
Vorteile bieten, wenn ausschließlich positive Mamdani-Regeln bzw.
deren korrespondierende TSK-Regeln vorhanden sind. Dabei sind zwei
Szenarien voneinander zu unterscheiden.

Das erste Szenarium betrifft die Generierung eines u. U.
ungeeigneten Ausgangsgrößenwertes $u_{D}$ durch Überlagerung
einzelner plausibler Empfehlungen für den Ausgangsgrößenwert. Wenn
nur positive Mamdani-Regeln vorhanden sind, liefert die
Hyperinferenz das resultierende Empfehlungsgebirge
$\mu(u)=\mu^{+}(u)$. Dieses kann durchaus aus mehreren
Teil-Empfehlungsgebirgen bestehen. Folglich gibt es in einem
solchen Fall dann auch Ausgangsgrößenwerte, für die $\mu(u_{i})=0$
gilt. Im Gegensatz zu dem Fall des Vorliegens positiver und
negativer Regeln kann dies in dem Fall nur positiver Regeln aber
nicht bedeuten, dass Verbote verletzt werden, sondern nur, dass
diese Ausgangsgrößenwerte von keiner einzigen Mamdani-Regel
empfohlen werden. Um zu vermeiden, dass $\mu(u_{D_{MAM}})=0$ ist,
kann z.\,B. die \textit{Center Of Largest Area}-Defuzzifizierung
eingesetzt werden. Für die korrespondierenden TSK-Regeln gelten
ebenfalls die Überlegungen aus Abschnitt \ref{sec:TSK2}. Durch die
gewichtete Mittelwertbildung über einzelne plausible Empfehlungen
mit $\mu(f_{i}(\mathbf{x}))>0$ kann sich ein Ausgangsgrößenwert
$u_{D_{TSK}}$ mit $\mu(u_{D_{TSK}})=0$ ergeben. Es kann daher auch
bei nur positiven Regeln sinnvoll sein, eine geeignete Auswahl der
TSK-Regeln in dem oben beschriebenen Sinne vorzunehmen.

Das zweite Szenarium betrifft die Generierung eines u.\,U.
ungeeigneten Ausgangsgrößenwertes $u_{D}$ durch den Einfluss
einzelner unplausibler Empfehlungen für den Ausgangsgrößenwert. In
Abschnitt \ref{subsubsec:TF2} wird beschrieben, wie die
Transformation einer Mamdani-Regel in eine TSK-Regel vollzogen
wird. Ziel dieser Transformation ist es, die Modellgenauigkeit zu
erhöhen und dabei die Interpretierbarkeit der Regel zu erhalten.
Damit die Konklusion der zugrunde liegenden Mamdani-Regel und die
Konklusion der so generierten TSK-Regel ineinander überführbar
bleiben, sollte die Konklusion der TSK-Regel möglichst nur solche
Empfehlungen für den Ausgangsgrößenwert liefern, die im
Wertebereich des linguistischen Wertes $\mathcal{S}_{u,i}$ liegen,
auf den sich die Elementaraussage in der Konklusion der
Mamdani-Regel bezieht. Diese Überlegung motiviert die Auswahl der
Datenpunkte, die für die Bestimmung der freien Parameter in der
Konklusion der TSK-Regel herangezogen werden. Wie in Abschnitt
\ref{subsubsec:TF2} beschrieben, sollten hierfür i.\,d.\,R. nur
die $D_{P \wedge C}$ Datenpunkte des zugrunde liegenden
Lerndatensatzes $\mathcal{D}_{L}$ verwendet werden, die sowohl die
Prämisse der Mamdani-Regel erfüllen, als auch deren Konklusion
aktivieren. Im Fuzzy-ROSA-Verfahren kann die
Zugehörigkeitsfunktion für einen linguistischen Wert
rechteckförmig, trapezförmig oder dreieckförmig sein. Eine
Zugehörigkeitsfunktion lässt sich in diesen Fällen durch vier
Stützstellen $s_{i}$ beschreiben, für die $s_{1} \leq s_{2} \leq
s_{3} \leq s_{4}$ gilt. Der Wertebereich des linguistischen Wertes
$\mathcal{S}_{u,i}$ ist somit durch $[s_{u,i,1},s_{u,i,4}]$
gegeben.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[height=7cm,width=14cm]{Grafik5.eps}
  \caption{Beispiele für eine unkritische Extrapolation (links) und eine eventuell ungünstige Extrapolation (rechts)}\label{pic:4}
\end{figure}

Abbildung \ref{pic:4} zeigt zwei unterschiedliche Szenarien für die
Transformation einer Regel. Dabei sind die $D_{P \wedge C}$ regelstützenden
Datenpunkte des Lerndatensatzes $\mathcal{D}_{L}$ jeweils durch die schwarzen
Dreiecke dargestellt. Die dreieckförmigen Zugehörigkeitsfunktionen für die in
diesem Beispiel relevanten linguistischen Werte (sowohl der Eingangs- als auch
der Ausgangsgröße) sind in Abbildung \ref{pic:4} grau dargestellt. Die freien
Parameter in der Konklusion $f_{i}(\mathbf{x})$ der TSK-Regel werden mit einem
Least-Squares-Algorithmus bestimmt. In dem Beispiel aus Abbildung \ref{pic:4}
mit nur einer Eingangsgröße $x_{1}$ ist $f_{i}(\mathbf{x})=a_{0}+a_{1}\cdot
x_{1}$. Die resultierende Ausgleichsgerade ist jeweils als durchgezogene
schwarze Linie dargestellt. Die regelstützenden Datenpunkte haben in beiden
Fällen identische Ausgangsgrößenwerte, ihre Eingangsgrößenwerte unterscheiden
sich aber. Folglich unterscheiden sich auch die Ausgleichsgeraden, die sich in
den beiden Fällen ergeben. Für die $D_{P \wedge C}$ Datenpunkte des
Lerndatensatzes trifft in diesen Beispielen die Annahme nach (\ref{equ:DLan})
zu, es ist also $\mu_{U_{C_{i}}}(f_{i}(\mathbf{x}))>0$ bzw. $s_{u,i,1} \leq
f_{i}(\mathbf{x}) \leq s_{u,i,4}$. Grundsätzlich ist jedoch nicht
auszuschließen, dass diese Annahme für einen der $D_{P \wedge C}$ bzw. der
$D_{P}$ Datenpunkte im Einzelfall nicht zutrifft. Diese Möglichkeit ist aber
vor allem im Hinblick auf die Prognose bei Eingangsgrößenvektoren zu bedenken,
die nicht in den Lerndaten enthalten sind. Dieser Aspekt ist also für den
späteren praktischen Einsatz des Fuzzy-Modells von großer Bedeutung. Solche
Eingangsgrößenvektoren -- und die zugehörigen prognostizierten
Ausgangsgrößenwerte -- sind in den Grafiken in Abbildung \ref{pic:4}
beispielhaft durch die weißen Quadrate dargestellt. Im ersten Fall liegen die
durch $f_{i}(\mathbf{x})$ prognostizierten Ausgangsgrößenwerte noch innerhalb
des angestrebten Wertebereichs, im zweiten Fall liegen sie außerhalb. Die
Empfehlung der TSK-Regel deckt sich also in der rechten Grafik im Prinzip nicht
mehr mit der der Mamdani-Regel.

Es stellt sich die Frage, wie eine solche Extrapolation zu
bewerten, und in der Berechnung des scharfen Ausgangsgrößenwertes
$u_{D_{TSK}}$ zu berücksichtigen ist. Grundsätzlich kann der so
empfohlene Ausgangsgrößenwert $f_{i}(\mathbf{x})$ unverändert bei
der Berechnung von $u_{D_{TSK}}$ verwendet werden. Es besteht aber
dann die Gefahr, dass ein solcher {\glqq Ausreißer\grqq} zu einem
unplausiblen Wert für $u_{D_{TSK}}$ führt. Eine andere Möglichkeit
kann darin bestehen, dass man jeder generierten TSK-Regel
zusätzlich noch entsprechend eine untere und eine obere Grenze
zuweist und den von dieser Regel empfohlenen Ausgangsgrößenwert
dann ggf. hart auf $f_{i}(\mathbf{x})=s_{u,i,1}$ bzw.
$f_{i}(\mathbf{x})=s_{u,i,4}$ begrenzt, falls dieser sonst unter-
bzw. oberhalb der entsprechenden Grenze liegen würde. Damit wird
die Extrapolation im Prinzip unterdrückt, wodurch aber auch evtl.
Vorteile verloren gehen. Außerdem werden so auch solche
Empfehlungen erzeugt, für die eigentlich $f_{i}(\mathbf{x}) \ll
s_{u,i,1}$ bzw. $f_{i}(\mathbf{x}) \gg s_{u,i,4}$ gilt, bei denen
also die Empfehlung der TSK-Regel und die der zugrunde liegenden
Mamdani-Regel  {\glqq überhaupt nicht mehr zueinander
passen\grqq}. Eine Alternative besteht darin, für das TSK-System
eine Regelselektion anhand des resultierenden Empfehlungsgebirges
$\mu(u)$ des Mamdani-Systems in der oben beschriebenen Form
durchzuführen. Bei dieser Vorgehensweise müssen keine Grenzen zu
den TSK-Regeln gespeichert werden. Die oben beschriebene
Extrapolation wird so zwar zugelassen, aber nur in dem Maße, wie
es durch die Gesamtempfehlung aller aktivierten Mamdani-Regeln
angemessen erscheint.
