\ProvidesFile{Numerik.tex}[2006/02/23 v0.01 Numerik-Kapitel]
\chapter{Numerische Ergebnisse}
\label{chap:Numerik}

\section{\SDFT{}-Vorstudie}
Zu Beginn der Untersuchung des \bccNi standen keine experimentellen
Daten zur Ver\-fügung, bei denen nicht-kubische Verzerrungen
vernachlässigbar waren.  
So musste, um eine optimale theoretische Gitterkonstante zu erhalten,
eine \SDFT-Vorstudie betrieben werden. 
Hierzu wurden mit dem \Wientk-Programmpaket (\cite{Wien2k}), das in 
Anhang \vref{cha:Wientk} beschrieben ist, selbstkonsistente 
Gesamt\-energie\-rech\-nungen zu ferromagnetischem \bccNi mit dem in 
\cite{PW1992} von Perdew und Wang veröffentlichten \LSDA-Funktional 
durchgeführt.  
Hierbei zeigten sich Konvergenzprobleme im Bereich der erforderlichen 
Genauigkeit der totalen Energie. 
Diese liegt in der Größenordnung von $\mu\eV$.
Bei dem in \Wientk verwendeten Algorithmen wird dabei die Grenze der
Maschinengenauigkeit der benutzten Computer erreicht.
Außerdem ist im \Wientk-Programmpaket die Standardmethode zur
Berechnung der \Fermi{}energie und der totalen Energie die
Tetraedermethode von Blöchl \etal (\cite{BJA1994}).  
Bei dieser Methode wird eine nicht-lineare
Energie-Interpolationsmethode im ausgedehnten Zonenschema genutzt.   
Dabei werden Tetraeder verwendet, die sich über zwei unterschiedliche
irreduzible \Bri{}zonen erstrecken können. 
Hierbei können an der Grenze der irreduziblen Zonen
Bandkreuzungen auftreten, die beim Verfahren nach Blöchl ignoriert
werden und so das Ergebnis leicht verfälschen. 
Der dadurch verursachte Fehler ist zwar normalerweise klein, aber bei
$\mu\eV$-Genauigkeit von Bedeutung.


Um nun dieses Problem auszuschließen, wurde das Berechnungsgitter im
$k$-Raum auf eine irreduzible \BZ beschränkt und diese in $27648$
Tetraeder mit $5525$ \veck-Punkten passend unterteilt.

Für die Zustandsdichte und die \Fermi{}energie wird dabei innerhalb
der Tetraeder nach \cite{RF1975} die Energie linear interpoliert.
Mit diesem selbst erstellten Tetraedergitter wurden deutlich weniger
Selbstkonsistenzzyklen benötigt, um die Konvergenz zu erreichen.
Die Beachtung der irreduziblen \BZ ist demnach im
vorliegenden Fall wichtiger, als die Berücksichtigung höherer Terme in
der Energie-Interpolation innerhalb der Tetraeder. 
Aus diesem Grund wurden sämtliche \DFT-Rechnungen dieser Arbeit mit dem
eigenen Tetraedergitter und linearer Energie-Interpolation durchgeführt.
Einige Details der verwendeten Tetraedermethode sind im Anhang
\ref{cha:Tetraeder} beschrieben.

Die Ergebnisse der \SDFT-Vorstudien-Rechnungen sind in
Abbildung~\vref{fig:NumLSDA-totEn} 
dargestellt.
Der angenommene Fehler entspricht dem maximal auftretenden Energieunterschied
zwischen mehreren Rechnungen am gleichen Datenpunkt.
Diese Unterschiede können auftreten, wenn unterschiedliche Unterversionen des
\Wientk-Programmpaketes verwendet werden, das Paket mit unterschiedlichen
Compilern übersetzt wurde, oder unterschiedliche Optimierungsstufen des
verwendeten Compilers zum Übersetzen eingesetzt wurden. 
Hierbei wurden Optimierungen vermieden, die zwar die Ausführungszeit senken,
aber gleichzeitig auch die Genauigkeit reduzieren. 
Ein Beispiel hierfür ist die Ersetzung einer Fließkomma-Division durch die
Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors (\cite{Gol1991}\cite[Anhang~D]{Sun2005}). 
Verursacht wird dieser Unterschied durch Rundungsfehler, die auch dazu führen,
dass Fließkommaoperationen im Allgemeinen nicht assoziativ sind.
Verstärkt wird dieser Effekt durch ein zu grobes \veck-Raum-Gitter bei
der Berechnung. 
Aufgrund der Größe des zu untersuchenden Parameterraumes wurde aber
auf eine Verdichtung des \veck-Raum-Gitters verzichtet, zumal das
Minimum auch so zu lokalisieren war.

\IG[\LSDA{}-Gesamtenergie gegen orbitales Moment.]{NumLSDA-totEn}{\LSDA{}-Gesamtenergie
  aufgetragen gegen das orbitale Moment für verschiedene Gitterkonstanten zur
  Bestimmung der optimalen Gitterkonstante in \DFT. Fehler abgeschätzt
  aus den Energieunterschieden unterschiedlicher Rechnungen am
  gleichen Datenpunkt.}  

\fpRegSet{mu-exp-bccNi}{0.52}

\fpDecimalSign{,}
\fpRegRound{mu-exp-bccNi}{-2}
\fpRegGet{mu-exp-bccNi}{\muexpbccNi}
\fpDecimalSign{.}

Vergleicht man die so errechneten theoretischen Werte für die
Gitterkonstante $a_{\mathrm{theo}}=0\text{,}272\;\text{nm}$ mit dem
experimentellen Wert \mbox{$a=0\text{,}282\;\text{nm}$}, so sieht man, dass
die verwendete \SDFT-Methode zu einer um ca. $4\;\%$ zu kleinen
Gitterkonstante führt.
Dies entspricht dem bekannten \glqq \textsl{overbinding}\grqq{} der \LDA.  
Das ermittelte \DFT-\SPO-Moment liegt bei
\mbox{$\mu_{\text{SO}}=0\text{,}51\,\mu_{\text{B}}$}, wobei der experimentelle
Wert für das Gesamtmoment bei \mbox{$\mu=\muexpbccNi\;\mu_{\text{B}}$} liegt.


Nachdem die experimentellen Daten von Tian \etal aus \cite{TQWp2005}, wie in Kapitel \ref{chap:Material} bereits angeführt, zur Verfügung standen, konnten diese Daten als Eingabeparameter für den
\DFT-Gutzwiller-Formalismus verwendet werden. 

\clearpage


\section[\DFT-Rechnungen für paramagnetisches \Fe und \Ni]{Dichtefunktionalrechnungen für paramagne\-tisches Eisen und Nickel}
Um ein \TB-Modell zu erhalten, wurden, wie bereits in
Kapitel~\ref{chap:Theorie} erläutert, Dichtefunktionalrechnungen, in
lokaler Dichtenäherung, für unmagnetisches \bccFe, sowie für \fccNi und,
nachdem auch hier experimentelle Daten zur Verfügung standen, \bccNi,
jeweils an der experimentellen Gitterkonstante durchgeführt.

Die sich aus der Rechnung für \bccNi ergebende \DFT-Bandstruktur ist in
Abbildung~\ref{fig:NumBandLSDA} zu sehen, während der dort und in den folgenden
Bandstrukturabbildungen verwendete Pfad innerhalb einer irreduziblen \BZ in
Abbildung~\ref{fig:NumLDABSPfad} zu sehen ist.
  
\IG[Pfad in der irreduziblen \BZ für die Bandstruktur]{NumLDABSPfad}{Pfad in
  der irreduziblen \BZ für die Bandstrukturen der \mbox{\DFT-Rechnung} 
und des \TB-Modells.}
\IG[\bccNi-Bandstruktur der paramagnetischen
\LDA-Rechnung.]{NumBandLSDA}{\bccNi-Bandstruktur der paramagnetischen
  \LDA-Selbst\-konsistenz\-rechnung.}



\clearpage


\section{Das \TB{} Modell}
Aus den \LDA-Bandstrukturdaten wurde unter Berücksichtung der
gruppentheoretischen Analyse der Zustände an Hochsymmetriepunkten und -linien 
ein \TB-Modell erstellt.  
Im Gegensatz zu früheren Arbeiten (z.B \cite{BGOp2003,BGOp2005}) wurde für \bccNi das
\pO-Niveau nach Gewinnung des \TB-Modells nicht verschoben.
Die Slater-Koster-Parameter nach \cite{SK1954} des resultierenden
\TB-Modells sind in den Tabellen \ref{tab:SKPO-bccNi}
und \ref{tab:SKPH-bccNi} dargestellt. 
Hierbei sind für \bccFe und \fccNi sowohl das unverschobene, als auch das verschobene
\pO-Niveau angegeben.

\begin{table}[htbp]
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{center}
\caption[Slater-Koster-Parameter für \bccNi{}: Orbitalenergien]{
Slater-Koster-Parameter für das \bccNi{} \TB{}-Modell:
Orbitalenergien. Verwendete $d$-Orbitalenergien sind gekennzeichnet
(vgl. Text). Angaben in~\eV.} 
\label{tab:SKPO-bccNi}
\vspace{0.5em}
\begin{tabular}{|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{$s$}&
\multicolumn{1}{c|}{$p^{\text{\LDA}}$}&
\multicolumn{1}{c|}{$d_{e_g}$}&
\multicolumn{1}{c|}{$d_{t_{2g}}$}& 
\multicolumn{1}{c|}{$d_{e_g}^{\text{used}}$}&
\multicolumn{1}{c|}{$d_{t_{2g}}^{\text{used}}$}  \\\hline
5.62359485924&10.66373774327  &
 -0.11838039363199999 & 0.07892026242133333&
 -0.21045403311999999 & 0.14030268874666665 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{center}
\caption[Slater-Koster-Parameter für \bccNi{}: \Hoppings{}]{
Slater-Koster-Parameter für das \bccNi{} \TB{}-Modell: \Hoppings{}. Angaben in~\eV.}
\label{tab:SKPH-bccNi}
\vspace{0.5em}
\begin{tabular}{|c|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|}
\hline
&
\multicolumn{1}{c|}{$ss\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$sp\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$sd\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$pp\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$pp\pi$}  \\\hline
1NN & -1.33958465533 &  1.70104593822 & -0.72547694263 &  2.00523376605 & -0.42157756229 \\\hline
2NN & -0.70054914259 &  1.01785355337 & -0.41209459544 &  1.44811984193 & -0.15187640650 \\\hline
3NN &  0.12930266393 & -0.21296702546 &  0.00642943493 & -0.29156431561 &  0.06074998689 \\\hline
\multicolumn{6}{c}{}\\\hline
&
\multicolumn{1}{c|}{$pd\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$pd\pi$}&
\multicolumn{1}{c|}{$dd\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$dd\pi$}&
\multicolumn{1}{c|}{$dd\delta$}  \\\hline
1NN & -0.84237848024 &  0.33285806790 & -0.50905140637 &  0.35263808306 & -0.06040468630 \\\hline
2NN & -0.54114790224 &  0.08235392270 & -0.31497016183 &  0.11124090732 & -0.00921661840 \\\hline
3NN &  0.00074807005 & -0.00207813177 & -0.00699702583 &  0.00919167424 & -0.00220071410 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
\end{table}

Die Bandstruktur dieses \TB-Modells ist in Abbildung \vref{fig:NumBandTB}
gemeinsam mit der Bandstruktur der dem Modell  zugrundeliegenden \LDA-Rechnung zu
sehen. 

Es ist von Vorteil, den Schwerpunkt des $d$-Bandes auf $0\;\eV$ zu setzen.
Aufgrund eines Umrechnungsfehlers ist hierbei eine um den Faktor
\nicefrac{16}{9} zu große
\mbox{$e_\text{g}$-$t_{2\text{g}}$-Aufspaltung} verwendet worden.
Die Bandstruktur dieses tatsächlich verwendeten \TB-Modells ist in
Abbildung \ref{fig:NumBandTBused} dargestellt.
Es ist aber davon auszugehen, dass der hierdurch verursachte Fehler klein ist,
da die wichtigeren \textsl{Hoppings} von diesem Fehler nicht betroffen sind.

\IG[\bccNi-Bandstruktur des \TB-Modells]{NumBandTB}{\bccNi-Bandstruktur des
 aus der \DFT-Rechnung gewonnenen \TB-Modells.}  


\IG[\bccNi-Bandstruktur des benutzten \TB-Modells.]{NumBandTBused}{\bccNi-Bandstruktur des
 tatsächlich verwendeten \TB-Modells.}  

Im Rahmen dieser Arbeit wurden auch analoge \TB-Modelle, allerdings mit im
Vergleich zu den \LDA-Rechnungen verschobenen \pO-Niveaus für \fccNi{}
(\cite{BGOp2003,BGOp2005}) und \bccFe{} ermittelt.  
Die zugehörigen Slater-Koster-Parameter sind in den Tabellen 
\ref{tab:SKPO-fccNi} und \ref{tab:SKPH-fccNi} beziehungsweise
\ref{tab:SKPO-bccFe} und \ref{tab:SKPH-bccFe} angegeben und beinhalten sowohl
das unverschobene, als auch das verschobene \pO-Niveau.



\begin{table}[htbp]
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{center}
\caption[Slater-Koster-Parameter für \fccNi{}: Orbitalenergien]{
Slater-Koster-Parameter für das \fccNi{} \TB{}-Modell: Orbitalenergien. Angaben in~$e$V.}
\label{tab:SKPO-fccNi}
\vspace{0.5em}
\begin{tabular}{|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{$s$}&
\multicolumn{1}{c|}{$p^{\text{\LDA}}$}&
\multicolumn{1}{c|}{$p^{\text{shift}}$}&
\multicolumn{1}{c|}{$d_{e_g}$}&
\multicolumn{1}{c|}{$d_{t_{2g}}$}  \\\hline
 5.6022 & 8.5335& 7.7835 & 0.0436 & -0.0290\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{center}
\caption[Slater-Koster-Parameter für \fccNi{}: \Hoppings{}]{
Slater-Koster-Parameter für das \fccNi{} \TB{}-Modell: \Hoppings{}. Angaben in~\eV.}
\label{tab:SKPH-fccNi}
\vspace{0.5em}
\begin{tabular}{|c|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|}
\hline
&
\multicolumn{1}{c|}{$ss\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$sp\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$sd\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$pp\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$pp\pi$}  \\\hline
1NN &-1.0292  & 1.2047 &-0.5933  & 1.2144 &-0.5284  \\\hline
2NN &-0.1039  & 0.2234 &-0.1089  & 0.5989 &-0.2205  \\\hline
3NN &-0.0050  &-0.0223 &-0.0223  & 0.0137 & 0.0076  \\\hline
\multicolumn{6}{c}{}\\\hline
&
\multicolumn{1}{c|}{$pd\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$pd\pi$}&
\multicolumn{1}{c|}{$dd\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$dd\pi$}&
\multicolumn{1}{c|}{$dd\delta$}  \\\hline
1NN &-0.6960  & 0.2300  &-0.4780  & 0.3150  &-0.0481  \\\hline
2NN &-0.2092  & 0.0524  &-0.0848  & 0.0336  &-0.0007  \\\hline
3NN &-0.0439  &-0.0023  &-0.0245  &-0.0011  & 0.0024  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
\end{table}


%\clearpage


\begin{table}[htbp]
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{center}
\caption[Slater-Koster-Parameter für \bccFe{}: Orbitalenergien]{
Slater-Koster-Parameter für das \bccFe{} \TB{}-Modell: Orbitalenergien. Angaben in~\eV.}
\vspace{0.5em}
\label{tab:SKPO-bccFe}
\begin{tabular}{|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{$s$}&
\multicolumn{1}{c|}{$p^{\text{\LDA}}$}&
\multicolumn{1}{c|}{$p^{\text{shift}}$}&
\multicolumn{1}{c|}{$d_{e_g}$}&
\multicolumn{1}{c|}{$d_{t_{2g}}$}  \\\hline
5.79751463677&8.453378723770000214 & 7.70337872377 &
 -0.28825484860800005 & 0.19216989907200002 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{center}
\caption[Slater-Koster-Parameter für \bccFe{}: \Hoppings{}]{
Slater-Koster-Parameter für das \bccFe{} \TB{}-Modell: \Hoppings{}. Angaben in~\eV.}
\label{tab:SKPH-bccFe}
\vspace{0.5em}
\begin{tabular}{|c|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|R{2}{4}|}
\hline
&
\multicolumn{1}{c|}{$ss\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$sp\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$sd\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$pp\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$pp\pi$}  \\\hline
1NN & -1.15760635802 &  1.33363287670 & -1.09825522562 &  1.50989707895 & -0.60042439624 \\\hline
2NN & -0.90428375350 &  0.97660784012 & -0.43277215333 &  0.97177787861 & -0.36917580023 \\\hline
3NN &  0.09311522653 & -0.09784205485 &  0.04158776829 &  0.01943012971 & -0.02872612463 \\\hline
\multicolumn{6}{c}{}\\\hline
&
\multicolumn{1}{c|}{$pd\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$pd\pi$}&
\multicolumn{1}{c|}{$dd\sigma$}&
\multicolumn{1}{c|}{$dd\pi$}&
\multicolumn{1}{c|}{$dd\delta$}  \\\hline
1NN & -1.26386614512 &  0.50108484222 & -0.85293647400 &  0.52582098498 & -0.07936818400 \\\hline
2NN & -0.60113033965 &  0.07331674757 & -0.50910132847 &  0.06763524327 &  0.01148923462 \\\hline
3NN &  0.02222098291 &  0.01436084983 &  0.03511743503 &  0.00487636145 &  0.00018388276 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
\end{table}


\clearpage
\section{Anwendung des Gutzwiller-Va\-riations\-ver\-fahrens}
\label{sec:NumAGVV}
Der Fokus dieser Arbeit liegt auf der Anwendung des in Abschnitt
\ref{sec:TheoGW} vorgestellten Gutzwiller-Variationsverfahrens auf
\bccNi. 
Dabei wird für den Bandstrukturanteil das im vorherigen Abschnitt
vorgestellte \TB-Modell verwendet.
Für den atomaren Anteil des Hamiltonoperators werden, wie in
\cite{BGOp2005} für \fccNi die in Tabelle \vref{tab:NumGWAtPar}
aufgeführten \Racah{}parameter verwendet.

\begin{table}[htbp]
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\caption[Atomare Parameter für das
  Gutzwiller-Variationsverfahren]{Atomare Parameter für das
  Gutzwiller-Variationsverfahren: Die \Racah{}parameter $A$, $B$ und
  $C$, sowie die Spinbahnkopplungskonstante $\zeta$. Angaben in~\eV.}
\label{tab:NumGWAtPar}
\vspace{0.5em}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A$&$B$&$C$&$\zeta$\\\hline
$9\text{,}000$&$0\text{,}090$&$0\text{,}400$&$0\text{,}080$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
\end{table}
Für eine gute Übereinstimmung der Bandstruktur mit derjenigen der \LDA
müssen, wie bereits ausgeführt, zusätzlich zur betrachteten offenen
\dO{}-Schale \sO- und \pO-Orbitale mitgeführt werden.
Um hierbei einen Ladungsfluss zwischen den korrelierten
\dO{}-Orbitalen und den zusätzlichen \sO- und
\pO-Orbitalen zu verhindern, werden die drei
Partialladungen mittels chemischer Potentiale auf den Wert der
paramagnetischen \LDA-Rechnung fixiert.
Eine Untersuchung des Ladungsflussproblems an dem
anti\-ferro\-magne\-tischen Isolator \NiO ist Bestandteil der Dissertation
\cite{Wei2005} von Stefan Weiser.

Auch die Spinbahnkopplung wird nur in den \dO{}-Orbitalen betrachtet.
Dafür wird wie in \cite{BGOp2005} für \fccNi der in Tabelle
\vref{tab:NumGWAtPar} aufgeführte Wert für die Spinbahnkopplungsstärke
$\zeta$ verwendet, der dem Wert für ein freies \Ni-Atom entspricht.

Für die Untersuchung der magnetokristallinen Anisotropie ist es
notwendig, verschiedene Gutzwillervariationen durchzuführen, die sich
durch die vorgegebene Ausrichtung des magnetischen Moments im Bezug
auf die Kristallachsen unterscheiden.
Für die vorliegenden Untersuchungen wurde hierfür das magnetische
Moment $\vecmu$ parallel zur $(001)$- bzw. zur $(111)$-Achse des
Kristallgitters ausgerichtet.

Bei den Rechnungen ist zu beachten, dass durch die Spinbahnkopplung
die kubische Symmetrie des Kristallgitters auf tetragonale für
$\vecmu||(001)$ bzw. trigonale Symmetrie für $\vecmu||(111)$ reduziert
wird.
Daher wurden die in dieser Arbeit vorgestellten Rechnungen in der
ganzen \BZ durchgeführt, anstatt die Berechnung, wie im
Fall von Untersuchungen ohne Berücksichtigung der Spinbahnkopplung, auf
die irreduzible \BZ, die in kubischer Symmetrie nur \nicefrac{1}{48} 
des Volumens der ganzen \BZ hat, zu beschränken.

Die Berechnung der \ket{\Psi_\eff} erfolgt mittels in jeder Iteration neu
berechneter, symmetrieangepasster  Eigenvektoren von Multipletts.
Diese basieren auf den durch Clebsch-Gordan-Koeffizienten ermittelten
Eigenvektoren von Multipletts in sphärischer Symmetrie.  
Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind für die hier diskutierten
Rechnungen in Form von Wurzeln von Brüchen ganzer Zahlen für alle \dO
n-Multipletts 
numerisch exakt ermittelt worden. 
Es wurde so vermieden, die atomare Hamiltonmatrix numerisch zu
diagonalisieren.
Diese Präparation war wichtig für die numerische Stabilität der Rechnungen, da
hierdurch \glqq Symmetrie\-ver\-schmutzungen\grqq, das bedeutet durch die Numerik
verursachte, nicht der zugrundeliegenden Symmetrie entsprechende
Beimischungen, der \ket{\Psi_\eff} vermieden werden.


Im Rahmen dieser Arbeit wird die schwache kubischen Näherung verwendet.
Das heißt, dass die sphärischen Eigenvektoren innerhalb eines jeden Multipletts
bedingt durch die kubische Störung so gedreht werden, dass sie mit den
kubischen $A$-, $E$-, $T_1$- und $T_2$-Zuständen verträglich sind.
Dabei wird die kubische Störung jedoch als so klein betrachtet, dass
unterschiedliche Multipletts nicht durch die Störung mischen können.

Durch die Berücksichtigung der Spinbahnkopplung ergibt sich durch diese
zusätzliche Störung der sphärischen Symmetrie mit dem \glqq Drehwinkel\grqq{}
$\alpha_\text{SB}$ für die Beimischung der Spinbahnkopplung ein zusätzlicher
Variations\-parameter.  
Er gibt an, wie die Spinbahn-Störung im Vergleich zur kubischen Störung bei
der Drehung der Eigenvektoren der Multipletts gewichtet wird. 

Auch die Spinbahnkopplung wurde in den atomaren Eigenvektoren
berücksichtigt.
Da die dreifach entarteten kubischen $T_1$- und $T_2$-Zustände sich
wie $l=1$-Zustände bezüglich der Spinbahnkopplung verhalten und wegen
der Spinentartung stark mischen, wurde mit einem kleinen effektiven
\vecB-Feld die Spinentartung des Multipletts aufgehoben und die
Spinbahnkopplung mit $\alpha_{\text{SB}}=2\cdot10^{-2}$ des
\vecB-Feldes in $H_\at^\eff$ beigemischt.
Diese Beimischung wurde global für alle Multipletts von \dO2 bis \dO8
durchgeführt.

Die Variation von $\alpha_{\text{SB}}$ ergab nicht unwesentliche
Änderungen in der Gesamt\-energie.
Die Empfindlichkeit der Rechnung bezüglich der Präparation optimaler
\ket\Gamma-Zustände, die auch in den Rechnungen für \fccNi und
besonders für \Fe beobachtet wurde, war einer der Gründe, in
\cite{BGOp2005} die Kopplung von Konfigurationen $\Gamma$, $\Gammap$
als zusätzliche Variationsparameter einzuführen.


Die so ermittelten optimalen äußeren Variationsparameter sind in Tabelle
\ref{tab:NumGWVPopt} denjenigen für \fccNi gegenübergestellt.
\begin{table}[htbp]
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\caption[Optimale äußere Variationsparameter für \fcc und
  \bccNi]{Optimale äußere Variationsparameter für \fcc und
  \bccNi. Angaben in~\eV.}
\label{tab:NumGWVPopt}
\vspace{0.5em}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&$\Delta_{t_{2g}}$&$\Delta_{e_{g}}$&$\Delta_{cf}$&$\zeta_V$\\\hline
\bccNi $\vecmu||(001)$&$0\text{,}2532$&$0\text{,}194$&$0\text{,}070$&$0\text{,}095$\\\hline
\bccNi $\vecmu||(111)$&$0\text{,}2530$&$0\text{,}193$&$0\text{,}070$&$0\text{,}095$\\\hline
\fccNi $\vecmu||(111)$&$0\text{,}2490$&$0\text{,}127$&$0\text{,}054$&$0\text{,}068$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
\end{table}

Während die Variationsparameter für die $t_{2g}$-Austauschaufspaltung
$\Delta_{t_{2g}}$ bei \bcc und \fccNi nahezu identisch sind, sind die
Werte für die $e_g$-Austauschaufspaltung $\Delta_{e_{g}}$ und die
Kristallfeldaufspaltung $\Delta_{cf}$ bei \bccNi deutlich größer als
bei \fccNi.

Die Auswirkung der Variation von $\Delta_{t_{2g}}$, $\Delta_{e_{g}}$
und $\Delta_{cf}$  auf die Gesamtenergie $E_\tot$ und das Gesamtmoment
$\mu_\tot$ bei konstant gehaltenen, optimalen übrigen
Variationsparametern sind in den Abbildungen \ref{fig:NumGWVPVart2g1} 
bis \ref{fig:NumGWVPVarcf2} graphisch dargestellt.

Der größte Variationsparameter $\Delta_{t_{2g}}$ ist für die durchgeführte
Variation bei fixiertem Moment weit außerhalb des eigentlichen Minimums, so
dass sein Verhalten in der untersuchten Umgebung  des optimalen Punktes, wie
in den Abbildungen  \ref{fig:NumGWVPVart2g1} und  \ref{fig:NumGWVPVart2g2}
zu sehen ist, linear genähert werden kann.
Für die übrigen Austausch\-auf\-spaltungs\-parameter befindet sich das Optimum in der Nähe
des energetischen Minimums für diese Parameter, wie an den quadratischen
Ausgleichskurven in den Abbildungen \ref{fig:NumGWVPVareg1} und
\ref{fig:NumGWVPVareg2} für $\Delta_{e_{g}}$ bzw. in den Abbildungen
\ref{fig:NumGWVPVarcf1} und \ref{fig:NumGWVPVarcf2} für $\Delta_{cf}$  zu
erkennen ist. 
Das totale Moment verhält sich im untersuchten Parameterbereich für alle
Austauschaufspaltungs-Variationsparameter linear.


\IGp{NumGWVPVart2g1}{Variation der $\Delta_{t_{2g}}$-Austauschaufspaltung für $\vecmu||(001)$.}
\IGp{NumGWVPVart2g2}{Variation der $\Delta_{t_{2g}}$-Austauschaufspaltung für $\vecmu||(111)$.}

\IGp{NumGWVPVareg1}{Variation der $\Delta_{e_g}$-Austauschaufspaltung für $\vecmu||(001)$.}
\IGp{NumGWVPVareg2}{Variation der $\Delta_{e_g}$-Austauschaufspaltung für $\vecmu||(111)$.}

\IGp{NumGWVPVarcf1}{Variation der $\Delta_{cf}$-Austauschaufspaltung für $\vecmu||(001)$.}
\IGp{NumGWVPVarcf2}{Variation der $\Delta_{cf}$-Austauschaufspaltung für $\vecmu||(111)$.}

Besonders bemerkenswert sind die Werte der variationellen
Spinbahnkopplungsstärke $\zeta_V$, also der effektiven
Spinbahnkopplung der Variationswellenfunktion $\Psi_G$.
Während $\zeta_V$ für \bccNi fast $20$ \% größer ist als die atomare Stärke
der Spinbahnkopplung $\zeta=0\text{,}080\;\eV$, ist  $\zeta_V$ für \fccNi
$15$ \% kleiner als der atomare Wert~$\zeta$.

In Abbildung \ref{fig:NumGWVPzetav1} sind die Auswirkungen einer Variation der 
effektiven Spinbahnkopplungsstärke $\zeta_V$ bei konstantem Gesamtmoment
dargestellt, während in Tabelle \ref{tab:NumgFak} die bei der Variation
erhaltenen Werte für das orbitale Moment $\mu_\Orb$ angegeben sind.
\IG[Variation der effektiven Spinbahnkopplungsstärke
$\zeta_v$]{NumGWVPzetav1}{Variation der effektiven Spinbahnkopplungsstärke
  $\zeta_v$   für $\vecmu||(001)$ bei fixiertem totalen Moment
  $\mu=0\text{,}52\;\mu_B$ für $\vecmu||(001)$.}

Die Renormierung der Spinbahnkopplung ist ein Vielteilcheneffekt, der in
Einteilchentheorien, wie der relativistischen \DFT nicht enthalten ist.
Vorläufige Ergebnisse für \bccFe deuten ebenfalls auf ein signifikant
gegenüber dem atomaren Wert $\zeta^\Fe=0\text{,}055$ erhöhtes $\zeta_V$.
Man sieht, dass bei einer Erhöhung der effektiven Spinbahnkopplungsstärke $\zeta_V$ um
$20$~\% sich auch das orbitale Moment um ca. $20\;\%$ erhöht.
Das große ermittelte orbitale Moment $\mu_\Orb=0\text{,}0520\;\mu_B$ für
\bccNi kann experimentell überprüft werden.

\begin{table}[htb]
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\caption{$g$-Faktoren für verschiedene $\zeta_V$.}
\label{tab:NumgFak}
\vspace{0.5em}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$\zeta_V\;/\;\eV$ & $\mu_\Orb\;/\;\mu_B$&$g$&$g'$\\\hline
$0\text{,}060$ & $0\text{,}0316$ & $2\text{,}129$& $1\text{,}885$\\\hline
$0\text{,}065$ & $0\text{,}0341$ & $2\text{,}140$& $1\text{,}877$\\\hline
$0\text{,}075$ & $0\text{,}0389$ & $2\text{,}162$& $1\text{,}861$\\\hline
$0\text{,}080$ & $0\text{,}0412$ & $2\text{,}172$& $1\text{,}853$\\\hline
$0\text{,}085$ & $0\text{,}0436$ & $2\text{,}183$& $1\text{,}845$\\\hline
$0\text{,}090$ & $0\text{,}0459$ & $2\text{,}194$& $1\text{,}838$\\\hline
$0\text{,}095$ & $0\text{,}0481$ & $2\text{,}204$& $1\text{,}831$\\\hline
$0\text{,}100$ & $0\text{,}0504$ & $2\text{,}215$& $1\text{,}823$\\\hline
$0\text{,}105$ & $0\text{,}0526$ & $2\text{,}225$& $1\text{,}816$\\\hline
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
\end{center}
\end{table}
Trifft diese Berechnung zu, so sollte laut den hier vorgestellten Ergebnissen
mittels ferromagnetischer Resonanz $g=2\text{,}204$ gemessen werden. 
Sollte hingegen $\zeta_V=\zeta$ gelten, so müsste ein $g$-Faktor von
$g=2\text{,}172$ gemessen werden. 


\clearpage
\section{Quasiteilchen-Bandstruktur}
Für die im Rahmen dieser Arbeit verwendete Gutzwiller-Methode wird,
wie bereits am Anfang dieses Kapitels beschrieben, eine paramagnetische
\LDA-Rechnung für den Bandstrukturanteil des zugrundeliegenden
Mehrband-Hubbardmodells genutzt.
Um das durch Variation erhaltene Modell mit \DFT-Rechnungen zu vergleichen,
wurde eine \LSDA-Rechnung für die experimentelle Gitterkonstante
\mbox{$a=0\text{,}282\;\text{nm}$} bei einem fixierten Spinmoment
$\mu=0\text{,}51\;\mu_B$ durchgeführt.
Die hierbei erhaltene \LSDA-Bandstruktur ist in Abbildung
\vref{fig:NumQTBLSDAvsSPO} der \SPO-Bandstruktur des Gutzwiller-Modells
gegenübergestellt.
Für die Berechnung der \SPO-Bandstruktur wurde die Spinbahnkopplung im
Bandstrukturprogramm abgeschaltet.
Alle anderen Variationsparameter des Gutzwillermodells, insbesondere die
Hüpfreduktionsfaktoren $R_\sigma^\sigmap$ sind aber auch in dieser Rechnung
berücksichtigt.
Trotz unterschiedlicher Variationsparameter für die beiden berechneten
Orientierungen des Spinmomentes im Bezug auf den Kristall sind die erhaltenen
\SPO-Bandstrukturen für unterschiedliche Richtungen des magnetisches
Momentes optisch nicht voneinander zu unterscheiden. 

Während in der \DFT-Bandstruktur die Majoritäts($\downarrow$)- und
Minoritäts($\uparrow$)-Bänder nahezu konstant gegeneinander verschoben sind,
unterscheiden sich die Majoritäts- und Minoritätsbänder der
\SPO-Gutzwiller-Bandstruktur deutlich.
So kommt es am $N$-Punkt, wie in dem vergrößerten Ausschnitt um den $N$-Punkt
in Abbildung  \vref{fig:NumQTBLSDAvsSPON} zu erkennen ist, zu einer
Invertierung der Reihenfolge der Minoritätszustände $N_1^\uparrow$ und
$N_4^\uparrow$ der \SPO-Gutzwiller-Bandstruktur sowohl im Vergleich zu den
Majoritätszuständen $N_1^\downarrow$ und $N_4^\downarrow$, als auch im
Vergleich zu den entsprechenden \DFT-Zuständen $N_1^{\uparrow\downarrow}$ und
$N_4^{\uparrow\downarrow}$.
Dieser Korrelationseffekt beruht auf der durch Variation erhaltenen deutlichen
Anisotropie der $\text{\textsl{d}}_{t_{2g}}$- und
$\text{\textsl{d}}_{e_g}$-Austauschaufspaltung und der variationellen
Kristallfeldaufspaltung, die bereits in Tabelle \vref{tab:NumGWAtPar}
vorgestellt wurden, und der unterschiedlichen Größe der Hüpfreduktionsfaktoren
$R_\sigma^\sigmap$ für die Majoritäts- und Minoritätsbänder:
\begin{equation}
R^2_{\text{Maj}}-R^2_{\text{Min}}\simeq0\text{,}04.
\end{equation}
Diese hier vorhergesagte Inversion der Reihenfolge der $N_1^\uparrow$- und
$N_4^\uparrow$-Zustände kann mittels Photoemissionsspektroskopiemessungen
überprüft werden. 
Der $N_{2'}$-Zustand liegt in der \DFT-Bandstruktur sowohl im Majoritätsband,
als auch im Minoritätsband oberhalb der \Fermi{}kante. 
Die entsprechenden Zustände der Gutzwiller-\SPO-Bandstruktur liegen im
Gegensatz dazu beide unterhalb der \Fermi{}kante.
Demzufolge unterscheiden sich die Topologien des \Fermi{körpers} in der
Gutzwiller-\SPO-Rechnung um den $N$-Punkt deutlich von der der \DFT-Rechnung.
Der Tabelle \ref{tab:NumNPkt} sind die Energien am $N$-Punkt zu entnehmen.

\begin{table}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\caption[Energien am $N$-Punkt der \LSDA und der
  \SPO-Rechnungen]{Energien am $N$-Punkt der \LSDA und der
    GW-\SPO-Rechnungen des Spins. Angaben in~\eV.}
\label{tab:NumNPkt}
\vspace{0.5em}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|R{2}{3}|R{2}{3}|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{}&
\multicolumn{1}{c|}{\mbox{\hspace{2em}\LSDA\hspace{2em}}}&
\multicolumn{1}{c|}{GW-\SPO}  \\\hline 
$N_3^\uparrow$    &0.733949 & 0.62702754\\\hline
$N_{2'}^\uparrow$ &0.162927 & -0.31103525\\\hline
$N_3^\downarrow$  &0.129157 & 0.12595365\\\hline
$N_{2'}^\downarrow$  &0.092075 & -0.31103525\\\hline
$N_4^\uparrow$    &-0.250436 & -0.51672159\\\hline
$N_1^\uparrow$    &-0.476635 & -0.43997980\\\hline
$N_4^\downarrow$  &-0.728879 & -0.76509357\\\hline
$N_1^\downarrow$  &-0.982491 & -0.80084096\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
\end{table}



\IG{NumQTBLSDAvsSPO}{Vergleich der Bandstruktur einer \LSDA-Rechnung für
  \mbox{$\mu_{\text{SO}}=0\text{,}51\,\mu_B$} mit der einer \SPO-Gutzwiller-Bandstruktur.}

\IG{NumQTBLSDAvsSPON}{Vergleich der Bandstruktur einer \LSDA-Rechnung für
  \mbox{$\mu_{\text{SO}}=0\text{,}51\,\mu_B$} mit der einer \SPO-Gutzwiller-Bandstruktur:
  Vergrößerte Darstellung um den $N$-Punkt.}

Da durch die Spinbahnkopplung die kubische Symmetrie des Kristalls reduziert
wird, hängen die dargestellten Bandstrukturbänder vom genauen Pfad im
\mbox{$\veck$-Raum}, und nicht nur vom Pfad im Bereich der kubischen irreduziblen
\BZ ab.

Die Bandstruktur ist nun abhängig von der Ausrichtung der betrachteten Linien im
Bezug auf die Richtung  von $\vecmu$.
Der für die folgenden Bandstrukturdarstellungen verwendete Pfad ist in
Abbildung \ref{fig:NumQTBPfad} dargestellt.

Wie in Abschnitt \vref{sec:NumAGVV} erwähnt, beziehen sich die im Rahmen dieser
Arbeit verwendeten Richtungsangaben für das magnetische Moment auf die realen
Kristallachsen.
Diese sind aber in kubischer Symmtrie wegen der identisch langen orthogonalen
Achsen $x$, $y$ bzw. $z$ parallel zu den Achsen $k_x$, $k_y$ und $k_z$ im
reziproken Raum, so dass auch die Richtung des magnetischen Moments im
Vergleich zu den Achsen der \BZ im reziproken Raum betrachtet werden kann.

In den Abbildungen \ref{fig:NumQTBSPOvs001} und \ref{fig:NumQTBSPOvs111}
sind die Bandstrukturen entlang dieses Pfades für $\vecmu||(001)$
bzw. $\vecmu||(111)$ dargestellt.
Durch die Spinbahnkopplung kommt es je nach Richtung des magnetischen
Momentes relativ zu den Kristallachsen zu unterschiedlichen Hybridisierungen
der \SPO-Bänder, die zum Vergleich auch in den beiden Abbildungen
wiedergegeben sind.

Um diese deutlicher darzustellen ist in den Abbildungen
\vref{fig:NumQTBSPOvs001NGamPN} und \vref{fig:NumQTBSPOvs111NGamPN} der
Pfadabschnitt $N-\Gamma-P-N$ vergrößert dargestellt.
Die zusätzlich dargestellten Magnetisierungsrichtungen entsprechen der
Betrachtung eines anderen nicht-äquivalenten Pfades in der \BZ.
So entspricht die Betrachtung der $(010)$-Richtung in Abbildung
\ref{fig:NumQTBSPOvs001NGamPN} für die Magnetisierung einer zyklischen
Linksverschiebung der Achsen des betrachteten Pfades für die $(001)$-Ausrichtung
des magnetischen Momentes; die $(\bar111)$-Richtung in
\ref{fig:NumQTBSPOvs111NGamPN} entspricht dabei einem Pfad mit negierter
$k_x$-Achse für die $(111)$-Richtung.

An der $G$-Linie, die in den Abbildungen \ref{fig:NumQTBSPOvs001HN} und
\vref{fig:NumQTBSPOvs111HN} vergrößert abgebildet ist, unterscheiden sich im
Bereich um die \Fermi{}kante alle Bandstrukturen für die untersuchten
Richtungen des magnetischen Moments von der \SPO-Bandstruktur.
Während sich bei der \SPO-Bandstruktur ein Majoritäts- und ein Minoritätsband
ca. $20\;\text{m}\eV$ unterhalb der \Fermi{}kante kreuzen, hybridisieren sie
unter Berücksichtigung der Spinbahnkopplung oberhalb der \Fermi{}kante.
Da hierdurch zwei Bänder weniger die \Fermi{}kante kreuzen, bedeutet dies
eine Veränderung der Topologie des in Abschnitt \ref{sec:NumFermi} betrachteten
\Fermi{}körpers, wenn die Spinbahnkopplung berücksichtigt wird.

\IG{NumQTBPfad}{Pfad in der \BZ für die Quasiteilchen-Bandstruktur.}

\IG{NumQTBSPOvs001}{Vergleich der \SPO-Bandstruktur mit einer vollen Spinbahn-Rechnung
  für $\vecmu || (001)$.}

\IG{NumQTBSPOvs111}{Vergleich der \SPO-Bandstruktur mit einer vollen Spinbahn-Rechnung
  für $\vecmu || (111)$.}

\IG{NumQTBSPOvs001NGamPN}{Einfluss der Spinbahnkopplung auf die Bandabstoßung
  für $\vecmu || (001),(010),(100)$. Vergrößerte Darstellung entlang $N$-$\Gamma$-$P$-$N$.}

\IG{NumQTBSPOvs111NGamPN}{Einfluss der Spinbahnkopplung auf die Bandabstoßung
  für $\vecmu || (111),(\bar111),(1\bar11),(11\bar1)$. Vergrößerte Darstellung
  entlang $N$-$\Gamma$-$P$-$N$.} 

\IGp{NumQTBSPOvs001HN}{Einfluss der Spinbahnkopplung auf die Topologie der \Fermi{}fläche für $\vecmu || (001)$. Vergrößerte Darstellung entlang der $G$-Linie.}

\IGp{NumQTBSPOvs111HN}{Einfluss der Spinbahnkopplung auf die Topologie der \Fermi{}fläche für $\vecmu || (111)$. Vergrößerte Darstellung entlang der $G$-Linie.}

Die Bandstrukturen für alle betrachteten Spinrichtungen entlang des gesamten
in Abbildung \ref{fig:NumQTBPfad} dargestellten Pfades sind in den Abbildungen
\vref{fig:NumQTB001vs010vs100} und \vref{fig:NumQTB111vs1b11} wiedergegeben.
Aus Gründen der Übersichtlichkeit wurde hierbei auf die Darstellung der
\SPO-Bänder verzichtet.

\IG{NumQTB001vs010vs100}{Vergleich der Quasiteilchenbandstruktur für verschiedene Hauptachsen-Richtungen
  des magnetischen Momentes $\vecmu$.}

\IG{NumQTB111vs1b11}{Vergleich der Quasiteilchenbandstruktur für verschiedene Rich\-tungen
  des magnetischen Momentes $\vecmu$ parallel zu einer dreifachen kubischen Achse.}

Wie bereits zuvor erwähnt, reduziert sich die Symmetrie, je nachdem, ob
das magnetische Moment parallel zu $(001)$- oder zur $(111)$-Richtung des
Kristalls ist, entweder auf tetragonale oder auf trigonale Symmetrie.
Daher sind die Bandstrukturdaten für diese beiden Richtungen in Abbildung
\vref{fig:NumQTB001vs111} auch gemeinsam dargestellt. 

\IG{NumQTB001vs111}{Vergleich der Quasiteilchenbandstruktur für die Ausrichtungen
  des magnetischen Momentes $\vecmu||(001)$ und $\vecmu||(111)$.}

\clearpage
\section{\Fermi{}körper}
\label{sec:NumFermi}
Die Oberfläche des \Fermi{}körpers ist eine Isoenergiefläche im $\veck$-Raum
bei der \Fermi{}\-energie $E_F$.
Experimentell ist der \Fermi{}\-körper zum Beispiel über \textsl{de
  Haas}-\textsl{van Alphen}-Experimente oder über die winkelaufgelöste
Photoemissionsspektroskopie (\textsl{ARPES}) zugänglich.
In begrenztem Umfang können aber auch die winkel\-inte\-grierte
Photoemissionsspektroskopie (\textsl{AIPES}) zur Datengewinnung verwendet
werden.

Wie schon im vorherigen Abschnitt herausgestellt, unterscheiden sich der
\Fermi{körper} einer \SPO-Rechnung in seiner Topologie von dem
der Rechnung mit Spinbahnkopplung.
In den Bandstrukturen trat dies bereits deutlich an der $G$-Linie zu Tage.

In den Abbildungen \ref{fig:NumFKS001-001} bis \ref{fig:NumFKS11b1}
sind mehrere Schnitte durch den \Fermi{}körper dargestellt.
In den Schnitten kann man Hybridisierungen zwischen den Majoritäts- und
Minoritätsbändern der \SPO-Rechnung infolge der Spinbahnkopplung
erkennen.
Diese führen ähnlich der Hybridisierung an der $G$-Linie, die 
oberhalb der \Fermi{}energie liegt, zu einer Änderung der Topologie
des \Fermi{}körpers. 
In Abbildung \ref{fig:NumFKS001-001} liegt die Schnittfläche, in diesem Fall die
basale Ebene, senkrecht zur Richtung des magnetischen Momentes.
Daher bleibt innerhalb dieses Schnittes die volle Symmetrie erhalten, so dass
acht identische Teilflächen $X\Gamma N$ vorhanden sind.

Der zweite \Fermi{}schnitt in Abbildung \ref{fig:NumFKS100-001} liegt in der
$k_y$-$k_z$-Ebene, wobei die Magnetisierungsrichtung wieder parallel zur
$(001)$-Richtung des Kristalls ist.
Hier gibt es auch Hybridisierungen zwischen zwei Minoritätsbändern in der Nähe
der gedachten, vertikalen Verbindungslinien zweier $N$-Punkte. 
Dieser Schnitt ist identisch zu einem Schnitt in der basalen Ebene bei
dem die Magnetisierungsrichtung parallel zur $(010)$-Achse des
Kristalls liegt. 
Da die Magnetisierungsrichtung parallel zur Schnittfläche liegt, werden die
ursprünglich vier Spiegelgeraden der Schnittebene auf zwei $\overline{XX}$-Geraden
reduziert.


\IG{NumFKS001-001}{\Fermi{}schnitt in der basalen Ebene für das magnetische Moment $\vecmu||(001)$.}

\IG{NumFKS100-001}{\Fermi{}schnitt in der Ebene senkrecht zu $(100)$ für das magnetische Moment $\vecmu||(001)$.}

Ähnliches gilt für die dritte Schnittfläche, mit der basalen Ebene und der
Magnetisierungsrichtung parallel zur $(111)$-Richtung des Kristalls, in
Abbildung \ref{fig:NumFKS001-111}. 
Auch hier bleiben zwei Spiegelgeraden übrig, die beiden $\overline{NN}$-Geraden.
Zusätzlich gibt es in diesem Schnitt keinerlei Kreuzung von Bändern.
Alle Bandkreuzungen sind durch Hybridisierungen aufgehoben.


\IG{NumFKS001-111}{\Fermi{}schnitt in der basalen Ebene für das magnetische Moment $\vecmu||(111)$.}

In den Abbildungen \ref{fig:NumFKS111} und \ref{fig:NumFKS11b1} liegen
die Schnittebenen senkrecht zur $(111)$- bzw. $(1\bar{1}1)$-Achse im
reziproken Raum und verlaufen durch den $\Gamma$-Punkt.
In diesen Ebenen, jeweils senkrecht zu einer dreifachen Achse der \BZ,
liegen die Bänder der \SPO-Rechnung deutlich voneinander getrennt, so
dass es durch die im Vergleich zum Kristallfeld schwache
Spinbahnkopplung nicht zu Hybridisierungen kommen kann. 
Es treten aber leichte, richtungsabhängige Verzerrungen auf, die jedoch
in den Abbildungen nicht zu erkennen sind.

\IG{NumFKS111}{\Fermi{}schnitt in der Ebene senkrecht zu $(111)$ für das magnetische
  Moment $\vecmu||(001)$ und $\vecmu||(111)$.}
\IG{NumFKS11b1}{\Fermi{}schnitt in der Ebene senkrecht zu $(1\bar{1}1)$ für das
  magnetische Moment $\vecmu||(001)$ und $\vecmu||(111)$.}

\clearpage
Die Abbildungen \ref{fig:NumFK-O3D-SPO-001} bis
\ref{fig:NumFK-O3D-111-11b1} zeigen in orthogonaler Projektion
verschiedene Aufsichten auf die drei betrachteten Fermikörper.
Diese Projektionen können so verallgemeinert werden, dass sie
$2D$-\ARPES-Analysen von $3D$ \Fermi{}flächen entsprechen
(\cite{Gre2001}). 

Die einzelnen \Fermi{}flächen sind hierbei fast transparent
dargestellt, so dass die dargestellte Sättigung in den Abbildungen die
Anzahl der an dem Punkt übereinanderliegenden \Fermi{}flächen
wiederspiegelt und somit eine Art Integraldarstellung bietet.


Während in Abbildung \ref{fig:NumFK-O3D-SPO-001} der innere Teil des
\Fermi{}körpers der \SPO-Rechnung mit dem äußeren deutlich überlappt,
ist dies in den Abbildungen \ref{fig:NumFK-O3D-001-001} bis
\ref{fig:NumFK-O3D-001-111} nicht der Fall.
Die Separation ist dabei am deutlichsten beim \Fermi{}körper für die
Magnetisierungsrichtung parallel zur $(111)$-Achse des Kristalls in
Abbildung \ref{fig:NumFK-O3D-001-111}.

\IG{NumFK-O3D-SPO-001}{Sicht auf den \SPO-\Fermi{}körper aus der $(001)$-Richtung.}

Die Ansichten des \Fermi{}körpers für die Magnetisierungsrichtung
parallel zur $(001)$-Achse des Kristalls in den Abbildungen
\ref{fig:NumFK-O3D-001-001} aus der $(001)$-Richtung,
\ref{fig:NumFK-O3D-001-010} aus der $(010)$-Richtung und
\ref{fig:NumFK-O3D-001-100} aus der $(100)$-Richtung unterscheiden
sich aufgrund der Auszeichnung der $(001)$-Achse des reziproken Raumes
durch die Ausrichtung des magnetischen Momentes parallel zu dieser Achse.
So weist die in Abbildung \ref{fig:NumFK-O3D-001-001} dargestellte
Ansicht eine achtfache Symmetrie auf, die in den anderen beiden
Ansichten gebrochen ist.

\IG{NumFK-O3D-001-001}{Sicht auf den \Fermi{}körper für $\vecmu||(001)$ aus der $(001)$-Richtung.}
\IG{NumFK-O3D-001-010}{Sicht auf den \Fermi{}körper für $\vecmu||(001)$ aus der $(010)$-Richtung.}
\IG{NumFK-O3D-001-100}{Sicht auf den \Fermi{}körper für $\vecmu||(001)$ aus der $(100)$-Richtung.}
\IG{NumFK-O3D-111-001}{Sicht auf den \Fermi{}körper für $\vecmu||(111)$ aus der $(001)$-Richtung.}

In den Ansichten aus der $(111)$- bzw. $(1\bar{1}1)$-Richtung in den
Abbildungen \ref{fig:NumFK-O3D-SPO-111} bis
\ref{fig:NumFK-O3D-111-11b1} blickt man immer auf mindestens eine
\Fermi{}fläche.
Der Einfluss der Spinbahnkopplung auf die Topologie und die Form des
jeweiligen \Fermi{}körpers ist durch Vergleich dieser Ansichten zu
erkennen.

Auch hier unterscheiden sich für $\vecmu||(111)$ die Ansichten aus der
$(111)$-, in Abbildung \ref{fig:NumFK-O3D-111-111}, und der
$(1\bar{1}1)$-Richtung, in Abbildung \ref{fig:NumFK-O3D-111-11b1},
leicht, da durch die Richtung 
des magnetischen Momentes die $(111)$-Richtung ausgezeichnet ist.

\IG{NumFK-O3D-SPO-111}{Sicht auf den \SPO-\Fermi{}körper aus der $(111)$-Richtung.}
\IG{NumFK-O3D-001-111}{Sicht auf den \Fermi{}körper für $\vecmu||(001)$ aus der $(111)$-Richtung.}
\IG{NumFK-O3D-111-111}{Sicht auf den \Fermi{}körper für $\vecmu||(111)$ aus der $(111)$-Richtung.}
\IG{NumFK-O3D-111-11b1}{Sicht auf den \Fermi{}körper für $\vecmu||(111)$ aus der $(1\bar{1}1)$-Richtung.}

Die drei Abbildungen
\ref{fig:NumFK-P3D-SPO}, \ref{fig:NumFK-P3D-001} und
\ref{fig:NumFK-P3D-111}  sind perspektivische Ansichten des
\Fermi{}körpers. 
Auch hier sind die Fermiflächen transparent gehalten.

\IG{NumFK-P3D-SPO}{Perspektivische Sicht auf \SPO-\Fermi{}körper.}
\IG{NumFK-P3D-001}{Perspektivische Sicht auf den \Fermi{}körper für $\vecmu||(001)$.}
\IG{NumFK-P3D-111}{Perspektivische Sicht auf den \Fermi{}körper für $\vecmu||(111)$.}

\clearpage
\section{Magnetokristalline Anisotropie}
Für jede der beiden untersuchten Richtungen des magnetischen Momentes wurden
die betrachteten Variationsparameter variiert. 
Die Differenz der mit den optimalen Variationsparametern ermittelten totalen Energie
\begin{equation}
\Delta^{\text{GW}}\tbrackets{E(001)-E(111)}=E_\tot^{(001)}-E_\tot^{(111)}=-11\text{,0}\;\mu\eV
\end{equation}
bestimmt den Anisotropieparameter $K_1$ zu
\begin{equation}
K_1=3\cdot\Delta^{\text{GW}}\tbrackets{E(001)-E(111)}=-33\text{,}0\;\mu\eV.
\end{equation}
Diese Werte sind in Tabelle \ref{tab:NumAI} den experimentell ermittelten
Werten gegenübergestellt.
Wie man sieht, ist zwar der Betrag des Anistropieparameters $K_1$ um eine
Größenordnung zu groß, das Vorzeichen aber richtig.

\begin{table}[htb]
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\caption[Anisotropie-Konstanten $K_i$ für \bccFe, \fccNi und
  \bccNi]{Anisotropie-Konstanten $K_i$ für \bccFe, \fccNi
  (\cite{Esc1975}) und   \bccNi (\cite{TQWp2005}), sowie die
  entsprechende Energiedifferenz $\Delta$ zwischen der $(001)$- und
  der $(111)$-Ausrichtung des Spins. Angaben in 
  $\mu\eV/\text{Atom}$.}
\label{tab:NumAI}
\vspace{0.5em}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|R{2}{2}|R{2}{2}|R{2}{2}|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{}&
\multicolumn{1}{c|}{\bccFe}&
\multicolumn{1}{c|}{\fccNi}&
\multicolumn{1}{c|}{\bccNi}\\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{bei $T\,/\,\text{K}$}&
\multicolumn{1}{c|}{$4\text{,}2$}&
\multicolumn{1}{c|}{$4\text{,}2$}&
\multicolumn{1}{c|}{$5\text{,}0$}\\\hline
$K_1$&4.018995601173020528     &-8.63003483606557377    &2.8\\\hline
$K^{\text{GW}}_1$ &\multicolumn{1}{c|}{}         &\multicolumn{1}{c|}{36}         &\multicolumn{1}{c|}{-33}\\\hline
$K_2$&0.01436950146627565982   & 3.947759562841530055   &\multicolumn{1}{c|}{}\\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{$K_3$}&
\multicolumn{1}{c|}{$0\text{,}0066$}& 
\multicolumn{1}{c|}{$0\text{,}238$}&  
\multicolumn{1}{c|}{ }\\\hline 
$\Delta\tbrackets{E(001)-E(111)}$& -1.339912023460410557 &2.710532786885245902 &-0.9333333333333333333\\\hline 
$\Delta^{\text{GW}}\tbrackets{E(001)-E(111)}$&\multicolumn{1}{c|}{}&\multicolumn{1}{c|}{12}&\multicolumn{1}{c|}{-11}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
\end{table}

Eine Ursache hierfür kann in der Nichtbeachtung der Magnetostriktion gesehen
werden.
Das magnetische Moment bewirkt je nach Material eine Stauchung oder eine
Streckung des Kristalls entlang der zum Moment  parallel liegenden Richtung.
Dies hat in der Regel eine Veränderung der totalen Energie im
$\mu\eV$-Bereich zur Folge und kann damit die kleinere
Anistropieenergie, die ja die Differenz zweier totaler Energien ist, beeinflussen. 
Die Behandlung der Magnetostriktion ist mit dem zur Zeit vorliegenden
Programm nicht möglich.
Dafür wäre zum Beispiel für jede einzelne Verzerrung ein neues \TB-Modell als
Eingabe für das verwendete Gutzwillerverfahren notwendig.

Eine weitere mögliche Ursache liegt in der verwendeten $Z$-Matrix-Näherung.
Nach der allgemeineren Definition des Gutzwillervariationsverfahrens
in \cite{BGOp2005} ist es möglich, nicht nur bei \dO9- oder \dO1-Zuständen,
sondern bei allen \dO n-Konfigurationen die atomaren Zustände
\ket{\Gamma_\eff} variationell zu drehen.
Untersuchungen mit dem verallgemeinerten Multiband-Gutzwiller-Verfahren werden
derzeit in der Arbeitsgruppe an \fccNi und \bccFe durchgeführt.

