\chapter{Unterteilung der \BZ in Tetraeder}
\label{cha:Tetraeder}
\section[Unterteilung der \BZ]{Unterteilung der  \BZ in Kuben und andere Teilvolumina}
Bei kubischer Symmetrie erweist es sich als praktisch, ein sogenanntes
gerades Gitter zu verwenden. 
Dazu wählt man eine gerade ganze Zahl $nn$ für die Unterteilung der \BZ in
Gitterpunkte.
So entspricht dann $(nn,nn,nn)$ dem $(1,1,1)$-Punkt im \veck-Raum.
Nun wird für jeden ungeraden Punkt $(k,l,m)$, d.h. einen Punkt nur mit
ungeraden Koordinaten, innerhalb des $(\pm nn,\pm nn,\pm nn)$-Kubus
überprüft, ob er innerhalb der \BZ oder ihrem zu untersuchenden
irreduziblen Teil liegt. 
Ist dies der Fall, so bildet dieser Punkt das Zentrum des nun zu
untersuchenden Teilkubus $(k\pm1,l\pm1,m\pm1)$.
Liegen alle Ecken des Teilkubus innerhalb des gewünschten Bereiches,
so wird er wie im folgenden Abschnitt beschrieben in Tetraeder
unterteilt.
Gehören nicht alle Eckpunkte zu der gewünschten Zone, so bilden die
Ecken, die innerhalb der Zone liegen, die Ecken des gesuchten
Teilvolumens, also z.B. eines Dreiecksprismas, einer vierseitigen
Pyramide oder eines Tetraeders.


\section{Unterteilung eines Kubus in Tetraeder}
Es exisitiert eine Vielzahl von Möglichkeiten einen Kubus in Tetraeder zu
unterteilen.
Da die Ecken des Kubus Stützstellen für die durchgeführten Rechnungen sind,
kommen nur solche Unterteilungen des Kubus in Tetraeder in Frage, bei denen
die Ecken des Kubus auch sämtlich Ecken der einbeschriebenen Tetraeder sind.
Wenn man sechs gleichgroße Tetraeder verwenden möchte, um den Kubus
auszufüllen, so hat man $24$ Möglichkeiten, dies zu tun. 
Eine derartige Unterteilung liegt nahe, da bei dem von uns verwendeten
Berechungsverfahren für die Zustandsdichte nach \cite{RF1975} neben den
Energien an den Ecken eines Tetraeders nur dessen Volumen eingeht. 
Bei Untersuchungen des Sterns eines allgemeinen \veck-Punktes zeigte
sich aber, dass diese Unterteilung des Kubus bei der Berechnung der
Zustandsdichte und der \Fermi{}energie zu numerischem Rauschen führt. 

Daher unterteilen wir die Kuben in unserem Stützstellengitter in fünf
Tetraeder, wobei einer dieser Tetraeder das doppelte Volumen der anderen
besitzt.
Für diese Unterteilung gibt es nur zwei unterschiedliche
Realisierungen, die in Abbildung \ref{fig:TetraAB} dargestellt sind.
Numerische Untersuchungen am Stern eines allgemeinen \veck-Punktes
zeigten nur vernachlässigbare Unterschiede.

\IG{TetraAB}{Die zwei unterschiedlichen Realisierungen der Unterteilung eines
  Kubus in fünf Tetraeder.}

\section[Anordnung der Tetraeder]{Anordnung der Tetraeder für das
  Darstellen von Isoenergieflächen} 
Wenn man mit Tetraedern Isoenergieflächen, wie zum Beispiel \Fermi{}flächen,
berechnen und darstellen möchte, so muss man darauf achten, dass benachbarte
Tetraeder jeweils eine ihrer vier Dreiecksflächen gemeinsam haben.
Ist dies nicht der Fall, so kommt es aufgrund der linearen Interpolation
zwischen den Ecken der Tetraeder an den Grenzflächen des Kubus zu
unterschiedlich interpolierten Isoenergieflächen.
Dies führt dazu, dass die interpolierten Isoenergieflächen, Dreiecke oder
Vierecke, benachbarter Tetraeder nicht eine gemeinsame Oberfläche bilden,
sondern windschief zueinander sind.

Innerhalb eines Kubus kann durch eine geeignete Wahl der Tetraeder erreicht
werden, dass die einbeschriebenen Tetraeder jeweils eine ihrer
Dreiecksflächen mit ihren Nachbarn gemeinsam haben.
Für die zuvor aufgeführte Einteilung eines Kubus in fünf Tetraeder ist
dies zum Beispiel der Fall.
 
Zwischen den Kuben erreicht man dies durch die Anordnung der beiden
Realisierungen in einem 3-dimensionalen $AB$-Gitter. 
Der hierdurch entstehende Superkubus ist in Abbildung
\ref{fig:TetraABGitter} dargestellt. 
\vspace{1.0em}

\IG[Anordung der Tetraeder in einem $AB$-Gitter.]{TetraABGitter}{Anordnung der
  Tetraeder in einem $AB$-Gitter. Dieser Superkubus wird in der
  Zelle periodisch wiederholt.}

Es ist außerdem darauf zu achten, dass diese Anordnung der äußeren
Dreiecksflächen eines Kubus auch am Zonenrand beachtet wird.
Auch diese besonders behandelten Teilvolumina müssen also dem $AB$-Gitter
entsprechend in Tetraeder unterteilt werden. 

\cleardoublepage

