%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter[Die $e$-$e$-WW f"ur reelle d-Orbitale]{Die $e$-$e$-Wechselwirkung in kubischer Symmetrie f"ur reelle d-Orbitale} \label{dhamiltonian}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{table}{0}
\setcounter{figure}{0}
\setcounter{equation}{0}


Schreibt man den atomaren Wechselwirkungs-Hamilton-Operator f"ur die 5 $d$-Orbitale auf, so ergibt sich folgende Gestalt in Form von $t_{2g}$ und $e_g$ in kubisch Harmonischen ausgedr"uckt \cite{sugano:1970}.

\ba
\hat{H} &=& \sum\limits_b \, U(b,b)\, \hat{n}_{b,\uparrow}\, \hat{n}_{b,\downarrow} \label{udiag}\\
&+& \frac{1}{2}\sum\limits_{\stackrel{b\ne b^\prime}{\sigma,\sigma^\prime}}\, \left( U(b,b^\prime) - \delta_{\sigma,\sigma^\prime}\,J(b,b^\prime)\right)\,\hat{n}_{b,\sigma}\, \hat{n}_{b^\prime,\sigma^\prime}\label{unodiag}\label{jspdiag}\\
&+& \sum\limits_{b,\sigma} \, E(b)\,  \hat{n}_{b,\sigma}\label{endiag}\\
&+& \frac{1}{2}\sum\limits_{\stackrel{b\ne b^\prime}{\sigma}}\, J(b,b^\prime)\,  \hat{c}^+_{b,\sigma} \hat{c}^+_{b^\prime,\mbox{-}\sigma} \hat{c}_{b,\mbox{-}\sigma} \hat{c}_{b^\prime,\sigma}\label{jspin}\\
&+& \frac{1}{2}\sum\limits_{b\ne b^\prime}\, J(b,b^\prime)\,\left(  \hat{c}^+_{b,\uparrow} \hat{c}^+_{b,\downarrow} \hat{c}_{b^\prime,\downarrow} \hat{c}_{b^\prime,\uparrow} + \hat{c}^+_{b^\prime,\uparrow} \hat{c}^+_{b^\prime,\downarrow} \hat{c}_{b,\downarrow} \hat{c}_{b,\uparrow}\right)\label{jcharge}\\
&+& \sum\limits_{\stackrel{\stackrel{t \in (\xi,\eta,\zeta)}{e \ne e^\prime \in (u,v)}}{\sigma,\sigma^\prime}} \left( T(t,e,e^\prime) - \delta_{\sigma,\sigma^\prime}\,A(t,e,e^\prime)\right)\, \hat{n}_{t,\sigma}\, \hat{c}^+_{e,\sigma^\prime}\hat{c}_{e^\prime,\sigma^\prime}\label{t3coul} \\
&+& \sum\limits_{\stackrel{\stackrel{t \in (\xi,\eta,\zeta)}{e \ne e^\prime \in (u,v)}}{\sigma}} A(t,e,e^\prime)\, \hat{c}^+_{t,\sigma} \hat{c}^+_{e,\mbox{-}\sigma} \hat{c}_{t,\mbox{-}\sigma} \hat{c}_{e^\prime,\sigma}\label{a4jtee1}
%\\
\ea
\ba
&+&  \sum\limits_{\stackrel{t \in (\xi,\eta,\zeta)}{e \ne e^\prime \in (u,v)}} A(t,e,e^\prime)\, \left( \hat{c}^+_{t,\uparrow} \hat{c}^+_{t,\downarrow} \hat{c}_{e,\downarrow} \hat{c}_{e^\prime,\uparrow} + \hat{c}^+_{e,\uparrow} \hat{c}^+_{e^\prime,\downarrow} \hat{c}_{t,\downarrow} \hat{c}_{t,\uparrow}\right)\label{a4jtee2}\\
&+&  \sum\limits_{\stackrel{\stackrel{t\ne t^\prime \ne t^{\prime\prime} \in (\xi,\eta,\zeta)}{e \in (u,v)}}{\sigma,\sigma^\prime}}\!\!\!\! S(t,t^\prime,t^{\prime\prime},e)\, \left( \hat{c}^+_{t,\sigma} \hat{c}^+_{t^\prime,\sigma^\prime} \hat{c}_{t^{\prime\prime},\sigma^\prime} \hat{c}_{e,\sigma} + \hat{c}^+_{t^{\prime\prime},\sigma} \hat{c}^+_{e,\sigma^\prime} \hat{c}_{t,\sigma^\prime} \hat{c}_{t^\prime,\sigma}\right) \mbox{\hspace{1.5em}}\label{s4jt3e}
\ea

Hierbei wurde die Notation f"ur die verschiedenen $d$-Orbitale von Sugano \cite{sugano:1970} verwendet, d.h.:
\begin{align}
u &= 3z^2 -r^2 \\
v &= x^2 -y^2 \\
\xi &= yz \\
\eta &= zx \\
\zeta &= xy
\end{align}

Eine Formulierung dieses Hamilton-Operators in sph"arisch Harmonischen w"are auch m"oglich, wurde aber in der derzeitigen Programmversion nicht verwendet.

Aufgrund der kubischen Symmetrie gibt es insgesamt 10 Wechselwirkungs-Parameter. Diese lassen sich durch 3 unabh"angige
Parameter ausdr"ucken, die Slater-Condon-Integrale oder alternativ durch
Umrechnung die 3 Racah-Parameter \cite{condon:1935,racah:438}.
Die Slater-Integrale $F^k$ $(k=0,2,4)$ lauten dabei wie folgt:
\ba
F^k(d_1,d_2)= \int\limits_0^\infty\, r_1^2 dr_1 \int\limits_0^\infty\, r_2^2
dr_2 R^2_{d_1}(r_1)\, R^2_{d_2}(r_2)\left(\frac{r_>}{r_<}\right)^k\,
\frac{1}{r_<}
\ea 
Daraus ergeben sich die 3 Slater-Condon-Parameter:
\ba
F_0 = F^0 \mbox{\hspace{1.5em};\hspace{1.5em}} F_2 = \frac{1}{49}F^2
\mbox{\hspace{1.5em};\hspace{1.5em}} F_4 = \frac{1}{441} F^4
\ea
Diese 3 Slater-Condon-Parameter k"onnen wie folgt in Racah-Parameter
umgeformt werden:
\ba
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{lclcl}
A &=& F_0 - 49 F_4 &=& F^0 - \frac{1}{9}\, F^4\\
B &=& F_2 - 5 F_4 &=& \frac{1}{49}\left(F^2 - \frac{5}{9}\,F^4 \right)\\
C &=& 35 F_4 &=& \frac{5}{63}\,F^4
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\ea
Im Programm finden die Racah-Parameter $A$, $B$ und $C$ Verwendung. Der Parameter $A$ entspricht dabei dem Parameter $U$ aus dem Hubbard-Formalismus und die Parameter $B$ und $C$ resultieren aus atomarer Physik. 
Der in der Literatur h"aufig verwendete Austausch-Parameter $J$ \cite{anisimov:767} ist bestimmt durch
\ba
\frac{J}{7} = \frac{B}{2} + \frac{C}{5}
\ea
Der Zusammenhang zwischen den 10 kubischen Wechselwirkungs-Parametern und den 3 Racah-Parametern ist laut Sugano \cite{sugano:1970}:

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{align}
U(u,v) &= A -4B +C \\
J(u,v) &= 4B +C \\
U(\zeta,\zeta) &= A + 4B +3C \\
U(\xi,\eta) &= A - 2B +C \\
J(\xi,\eta) &= 3B + C \\
U(\zeta,u) &= A - 4B + C \\
U(\zeta,v) &= A + 4B + C \\
J(\zeta,u) &= 4B + C \\
J(\zeta,v) &= C \\
S(\eta,\xi,\zeta,u) &= \int \!dr\int \!dr^\prime\, \varphi_\eta(r)\varphi_\xi(r^\prime)\varphi_\zeta(r^\prime)\varphi_u(r) / |r-r^\prime| \nonumber\\
&= -\,\sqrt{3} B
\end{align}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

Alle \"ubrigen auftretenden Kombinationen von Wechselwirkungs-Integralen lassen sich durch die vorangegangenen ausdr"ucken.
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{align}
U(u,u) &= U(v,v) = U(u,v) + 2J(u,v) \\
U(\xi,u) &= U(\eta,u) = \left(U(\zeta,u) + 3U(\zeta,v)\right) / 4 \\
U(\xi,v) &= U(\eta,v) = \left(3U(\zeta,u) + U(\zeta,v)\right) / 4 \\
J(\xi,u) &= J(\eta,u) = \left(J(\zeta,u) + 3J(\zeta,v)\right) / 4 \\
J(\xi,v) &= J(\eta,v) = \left(3J(\zeta,u) + J(\zeta,v)\right) / 4 \\
T(\eta,u,v) &= \sqrt{3} \left(U(\zeta,u) - U(\zeta,v)\right) / 4 = -T(\xi,u,v) \\
A(\eta,u,v) &= \sqrt{3} \left(J(\zeta,u) - J(\zeta,v)\right) / 4 = -A(\xi,u,v) \\
S(\xi,\eta,\zeta,u) &= S(\eta,\xi,\zeta,u) \\
S(\zeta,\xi,\eta,u) &= -2S(\eta,\xi,\zeta,u) \\
S(\xi,\eta,\zeta,v) &= -\sqrt{3}S(\eta,\xi,\zeta,u) \\
S(\eta,\xi,\zeta,v) &= \sqrt{3}S(\eta,\xi,\zeta,u) \\
S(\zeta,\xi,\eta,v) &= 0
\end{align}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
