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\chapter{Numerische Ergebnisse} \label{numerikkapitel}
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\setcounter{table}{0}
\setcounter{figure}{0}
\setcounter{equation}{0}

\section{Die Minimierung der "au"seren Variations\-para\-meter}\label{avpmin}
\markboth{\MakeUppercase{Kapitel}\ \thechapter. \ {\MakeUppercase{Numerische Ergebnisse}}}{\thesection. \ \MakeUppercase{Minimierung der "au"seren Variations\-para\-meter}}

W"ahrend die Minimierung der inneren Variationsparameter im wesentlichen durch Zufallsvariationen erfolgt (siehe Kapitel \ref{PRGmainv5w}), bzw. durch ein beigemischtes Gradientenverfahren, gibt es im Gutzwiller-Programm der Arbeitsgruppe noch keinen Algorithmus zur effizienten Minimumsuche hinsichtlich der "au"seren Variationsparameter.
Ein h"aufig angewendetes Verfahren, die am wichtigsten erscheinenden Variationsparameter der Reihe nach zu minimieren und dann gegebenenfalls nachzujustieren, ist zwar brauchbar, erfordert aber stete Beobachtung der Zwischenergebnisse.
Andererseits f"uhrt der Einsatz von Zufallsvariationen der "au"seren Variationsparameter zu sehr hoher Rechenzeit ($\gg 100$ "au"sere Datenpunkte).
Ziel war es daher, ein multidimensionales Interpolationsverfahren zu erproben, das zun"achst einen groben Hinweis auf das Minimum liefert und dann die Minimumsuche automatisch verfeinert.
Optional sollte dabei sein, da"s das magnetische Moment w"ahrend der Variation festgehalten werden kann.
\vspace{0.5em}
 
Um die im Rahmen der {\em charge flow} Methode m"oglichen "au"seren
Variationsparameter Kristallfeldaufspaltung ($\Delta_{cf}$),
Austauschaufspaltung der $e_g$- ($\Delta_{eg}$) und der $t_{2g}$-Orbitale
($\Delta_{t2g}$) sowie die Verschiebung der Sauerstoff-Energieniveaus
($\Delta_{O}$) zu minimieren, wurden zun"achst 17 Punkte (16 Ecken eines
4-dimensionalen Hyperquaders und der Mittelpunkt) im Variationsraum verteilt berechnet. 
Anhand dieser Ergebnisse wurde dann eine quadratische Funktion

\ba
\label{ecflwfit}
\mbox{\hspace{-2em}}E_{int}^{cflw} &=&\alpha_1\,(\Delta_{t2g})^2 + \alpha_2\,(\Delta_{t2g})(\Delta_{eg}) + \alpha_3\,(\Delta_{t2g})(\Delta_O) \nonumber\\
&+&\alpha_4\,(\Delta_{t2g})(\Delta_{cf}) + \alpha_5\,(\Delta_{eg})^2 + \alpha_6\,(\Delta_{eg})(\Delta_O)  \nonumber\\
&+&\alpha_7\,(\Delta_{eg})(\Delta_{cf}) + \alpha_8\,(\Delta_O)^2 + \alpha_9\,(\Delta_O)(\Delta_{cf}) + \alpha_{10}\,(\Delta_{cf})^2\nonumber \\
&+&\alpha_{11}\,(\Delta_{t2g}) + \alpha_{12}\,(\Delta_{eg}) + \alpha_{13}\,(\Delta_O) + \alpha_{14}\,(\Delta_{cf}) + \alpha_{15}
\ea

f"ur den Verlauf der Hyperfl"ache der Energie in diesem mehrdimensionalen Raum angepa"st.
F"ur den Verlauf der Magnetisierung in diesem Variationsraum wurde eine lineare Anpassung mittels der Funktion
\ba
\label{mucflwfit}
\mu_{int}^{cflw} = \beta_1\,(\Delta_{t2g}) + \beta_2\,(\Delta_{eg}) + \beta_3\,(\Delta_O) + \beta_4\,(\Delta_{cf}) + \beta_5
\ea 
durchgef"uhrt.
\vspace{0.5em}

Unter Verwendung eines Lagrange-Parameters l"a"st sich eine feste Magnetisierung wie beispielsweise $\mu_{Soll}=1.65\,\mu_{Bohr}$ als {\em spin-only} Moment vorgeben und eine Minimierung unter Zwangsbedingungen durchf"uhren. 
In der Umgebung des vermuteten Zielpunktes k"onnen zur Verbesserung des Ergebnisses weitere Punkte bestimmt werden, um das Ergebnis zu verfeinern. 
Diese Methode ist aufgrund der hohen anf"anglichen Zahl der zu bestimmenden Koeffizienten zun"achst zwar etwas schwerf"allig, aber in dem mehrdimensionalen Variationsraum vereinfacht es anschlie"send die Suche nach dem Minimum bei fester Magnetisierung deutlich und das Minimum wird mit etwa 80-100 berechneten Datenpunkten erreicht.
\vspace{0.5em}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{Bilder/enecontr}
\end{center}
\caption{Dargestellt sind Fl"achen gleicher Energie der angepa"sten Funktion
  $E_{int}$ bei festen Werten von $\Delta_{CF}$ und $\Delta_{t2g}$ in Abh"angigkeit der beiden wesentlichen Parameter $\Delta_{eg}$ und $\Delta_{O}$. Die angepa"sten Ebenen $\mu_{int}$ der vorgegebenen Sollmagnetisierungen sind ebenfalls eingetragen. Die minimale Energie wird durch den Ber"uhrpunkt der Energiefl"achen und der Sollmagnetisierungsebene definiert.}
\label{enercontour}
\end{figure}
In Abbildung \ref{enercontour} sind die f"ur den {\em charge flow}-Fall angepa"sten Funktionen $E_{int}$ und $\mu_{int}$ in Abh"angigkeit der beiden einflu"sreichsten Parameter, der $e_g$-Austauschaufspaltung $\Delta_{eg}$ und der Sauerstoff-Verschiebung $\Delta_O$ dargestellt.
Dabei wurden die beiden anderen weniger signifikanten  Parameter, die $t_{2g}$-Austauschaufspaltung $\Delta_{t2g}$ und die Kristallfeldauspaltung $\Delta_{CF}$, konstant gehalten.
Die Hyperfl"achen konstanter Energie bilden sich dabei in guter N"aherung als
Ellipsen ab, w"ahrend die Hyperfl"achen konstanter Magnetisierung Geraden liefern. 
Der optimale Parametersatz f"ur $\Delta_{eg}$ und $\Delta_O$ ergibt sich aus dem Punkt, an dem eine bestimmte Ellipse die Gerade als Tangente hat und die Bedingungen f"ur das Minimum (m"oglichst kleine Ellipse und vorgegebene Magnetisierung) erf"ullt sind.  

Aus Abbildung \ref{enercontour} kann man ersehen, da"s eine unabh"angige Minimierung der Parameter wenig sinnvoll ist, da der Tagentialpunkt relativ stark von den einzelnen Parametern abh"angt. 
\vspace{0.5em}

Unter Anwendung dieses Verfahrens wurden f"ur den {\em charge flow}-Fall die in Tabelle \ref{cflwwerte} angegebenen Werte als Minimum gefunden.

\begin{table}[h!]
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} 
\hline
$\Delta_{t2g}$ & $\Delta_{eg}$ & $\Delta_O$ & $\Delta_{cf}$ \\
 \hline
$0.121\, \mathrm{eV}$ & $5.570\, \mathrm{eV}$ & $0.364\, \mathrm{eV}$ & $0.367\, \mathrm{eV}$ \\
\hline
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}
\caption{\label{cflwwerte} Minimale "au"sere Variationsparameter mittels {\em charge flow} Methode unter Verwendung von Racah $A_{Ni}=10\,\mathrm{eV}$, $A_{pd} = A_p = 7.136$ und $\mu_{Soll}=1.65\,\mu_{Bohr}$.}
\end{table}

Die optimalen Werte der "au"seren Variationsparameter zeigen, da"s die Austauschaufspaltung sehr anisotrop ist, bei den
$t_{2g}$-Zust"anden sehr gering, bei den $e_g$-Zust"anden mit "uber
$5.5\,\mathrm{eV}$ dagegen sehr gro"s. 
Die Kristallfeld-Aufspaltung und die Sauerstoff-Verschiebung sind von vergleichbarer moderater Gr"o"se von etwas "uber $360\,\mathrm{meV}$.

In diesem Zusammenhang wurden auch verschiedenen Werte der Racah-Parameter $A$ und $B$ am Sauerstoff untersucht.
Es zeigt sich, da"s es zwischen den Ergebnissen f"ur den Bereich $A_O=0\,$-$\,10\,\mathrm{eV}$ bzw. $B_O=0\,$-$\,0.20$ keine qualitativen Unterschiede in allen untersuchten Gr"o"sen gibt.
Angemerkt sei hierzu, da"s ein Ladungsflu"s im Bereich physikalisch sinnvoller Werte $n_d\approx8.3|e|$ \underline{ohne} $E_{WW}$ erst bei $A_O\approx18\,\mathrm{eV}$ erreicht wird.
Daher werden im weiteren Verlauf dieser Arbeit nur noch Ergebnisse mit den Racah-Parametern $A_O=0$ und $B_O=0$ am Sauerstoff dargestellt.

In den Abbildungen \ref{enevarcflw} und \ref{magvarcflw} sind die "Anderungen der totalen Energie und der Magnetisierung bei Variation jeweils eines "au"seren Parameters um diesen optimalen Wert dargestellt.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{Bilder/varenecflw-2}
\end{center}
\caption{{\em{Charge flow}}-Fall: Ver"anderung der totalen Energie $E_{tot}$ bei Variation der "au"seren Parameter um den optimalen Parametersatz.}
\label{enevarcflw}
\end{figure}

Abbildung \ref{enevarcflw} veranschaulicht die Abh"angigkeit der Energie von
den verschiedenen "au"seren Variationsparametern. Hierbei wird deutlich, da"s
der Parameter f"ur die Austauschaufspaltung f"ur die $t_{2g}$-Zust"ande fast
keinen Einflu"s auf die Minimierung hat. 
Der relevante Parameter ist zun"achst die Austauschaufspaltung f"ur die $e_g$-Zust"ande aufgrund der absoluten Gr"o"se des Variationsparameters. 
Die Sauerstoff-Energie-Verschiebung $\Delta_O$ und die
Kristallfeld-Aufspaltung $\Delta_{CF}$ sind ebenfalls Parameter, die einen nicht unerheblichen Einflu"s auf die Gesamtenergie haben. 

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{Bilder/varmagcflw-2}
\end{center}
\caption{{\em Charge flow}-Fall: Ver"anderung des magnetischen Moments $\mu$ bei Variation der "au"seren Parameter um den optimalen Parametersatz.}
\label{magvarcflw}
\end{figure}

In Abbildung \ref{magvarcflw} sind die Ver"anderungen der Magnetisierung bei Variation der "au"seren Parameter dargestellt. 
Auch hier zeigt sich der fast vollst"anding fehlende Einflu"s der Austausch-Aufspaltung der $t_{2g}$-Zust"ande auf das Ergebnis der variationellen Magnetisierung. 
Die "ubrigen Parameter, $e_g$-Austauschaufspaltung, Sauerstoff-Energie-Verschiebung und Kristallfeld-Aufspaltung haben jedoch auch auf die Magnetisierung einen wesentlichen Einflu"s. 
Dies zeigt die Problematik bei der Fixierung des magnetischen Moments. 
Eine Minimierung der Parameter in einer bestimmten Reihenfolge ist nur bedingt m"oglich, da die verbliebenen Parameter zur Kompensation der variationsbedingten Abweichung von der vorgegebenen Magnetisierung ben"otigt werden.
\vspace{0.5em}

In den Rechnungen l"a"st sich ein maximales {\em spin-only} Moment von $1.6$-$1.7\,\mu_{Bohr}$ erzielen. 
Es bleiben ca. 0.3 Lochelektronen auf Grund des starken $pd\sigma$-Hoppings zwischen den Nickel-$d(e_g)$ und $p$-Sauerstoff-Orbitalen.
Da am Sauerstoff aus Symmetriegr"unden kein magnetisches Moment existiert, l"a"st sich der Wert des {\em spin-only}-Moments praktisch nicht weiter in Richtung $2\,\mu_{Bohr}$ verschieben.
Wie ausgef"uhrt tragen die \tg-Orbitale nicht zum Moment bei, so da"s eine Diskrepanz von ca. $0.2\,\mu_{Bohr}$ im magnetischen Moment zu dem experimentellen Moment von $1.9\,\mu_{Bohr}$ \cite{cheetham:6964,low:247} bleibt, die durch ein gro"ses orbitales Moment zu erkl"aren ist. 
{\em X-Ray Magnetic Dichroism}-Experimente ({\em{XMD}}) belegen dies auch \cite{fernandez:7870}.
Ein erweitertes Gutzwillerprogramm unter Einbeziehung der Spin-Bahn-Kopplung
liefert in der Tat in ersten Ergebnissen ein gro"ses orbitales Moment. Weitere
Untersuchungen hierzu sind in Vorbereitung.
\vspace{0.5em}

Da die physikalisch sinnvollen Werte der $d$-Lochelektronenzahl bei ca. 1.5-1.8 liegen, kann man f"ur einige Fragestellungen auf die {\em charge flow}-Methode verzichten, und stattdessen die {\em chemical potential}-Methode w"ahlen, bei der die $d$-Lochzahl vorgegeben wird.
In der Tat kann man die beiden Methoden auch kombinieren, in dem ein bestimmter Ladungsflu"s vorgegeben wird und dann die Rechnung mittels chemischer Potentiale durchgef"uhrt wird.
Auf diese Weise kann man die Genauigkeit der {\em charge flow}-Rechnungen in der inneren Minimierung deutlich steigern.
Im {\em chemical potential}-Fall ist der mehrdimensionale "au"sere Variations\-para\-meter-Raum kleiner, da $\Delta_O$ wegf"allt. 
So treten nur die Variationsparameter der Austauschaufspaltungen der $e_g$- ($\Delta_{eg}$) und $t_{2g}$- Zust"ande ($\Delta_{t2g}$), sowie die Kristallfeldaufspaltung ($\Delta_{cf}$) auf.
Analog der Energie-Funktion \ref{ecflwfit} wird auch hier wieder die Energie quadratisch mittels folgender Funktion \ref{ecpfit} angepa"st.

\ba
\label{ecpfit}
\mbox{\hspace{-2em}}E_{int}^{cpot} &=&\alpha_1\,(\Delta_{t2g})^2 + \alpha_2\,(\Delta_{t2g})(\Delta_{eg}) + \alpha_3\,(\Delta_{t2g})(\Delta_{cf}) \nonumber\\
&+&\alpha_4\,(\Delta_{eg})^2 + \alpha_5\,(\Delta_{eg})(\Delta_{cf}) + \alpha_6\,(\Delta_{cf})^2  \nonumber\\
&+&\alpha_7\,(\Delta_{t2g}) + \alpha_8\,(\Delta_{eg}) + \alpha_9\,(\Delta_{cf}) + \alpha_{10}
\ea

Dabei wurde f"ur die Rechnung das {\em spin-only}-Moment auf $1.65\,\mu_{Bohr}$ gesetzt und wieder durch eine lineare Beziehung analog der Funktion \ref{mucflwfit} beschrieben.

\ba
\label{mucpfit}
\mu_{int}^{cpot} = \beta_1\,(\Delta_{t2g}) + \beta_2\,(\Delta_{eg}) + \beta_3\,(\Delta_{cf}) + \beta_4
\ea 

Unter Verwendung eines Lagrange-Parameters l"a"st sich wieder eine konstante
Magnetisierung erzwingen und die angepa"ste Energiefunktion bez"uglich der
"au"seren Variationsparameter minimieren.

Diese Minimierung liefert im Fall gleicher Parameter wie im {\em
  charge flow}-Fall und einer vorgegebenen Partialladung f"ur die $d$-Zust"ande von
  $8.30$ Elektronen beziehungsweise von $5.70$ f"ur die $p$-Zust"ande,
  entsprechend der Elektronenanzahl von {\em NiO} die in Tabelle
  \ref{cpotwerte}  angegebenen optimalen "au"seren Parameter.
Die Partialladungen wurden hierbei den Ergebnissen der optimalen Parameter bei der
  {\em charge flow}-Methode als N"aherung entnommen. Dort regelte sich eine
  Besetzung von etwa $n_d=8.31$ als Wert bei einer {\em spin-only} Magnetisierung
  von $1.65\,\mu_{Bohr}$ ein.

\begin{table}[h!]
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|c|c|c|} 
\hline
$\Delta_{t2g}$ & $\Delta_{eg}$ & $\Delta_{cf}$ \\
 \hline
$0.194\, \mathrm{eV}$ & $4.003\, \mathrm{eV}$ & $1.046\, \mathrm{eV}$ \\
\hline
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}
\caption{Optimale "au"sere Variationsparameter mittels {\em
    chemical potential} Methode unter Verwendung der Elektronen-Dichten
  $n_d=8.30$ und $n_p=5.70$ pro Ion entsprechend der Gesamtelektronenzahl von
  {\em NiO}. Als magnetisches Moment wurden $1.65\,\mu_{Bohr}$ vorgegeben.}
\label{cpotwerte} 
\end{table}

Die Ergebnisse sind sehr "ahnlich: 
Auch hier zeigt sich eine deutliche Diskrepanz zwischen der
Austauschaufspaltung der $t_{2g}$- und $e_g$-Zust"ande. Die
Austauschaufspaltung der $e_g$-Zust"ande dominiert analog der Ergebnisse der
{\em charge flow}-Methode auch hier die "au"seren Variationsparameter,
w"ahrend die  Austauschaufspaltung der $t_{2g}$-Zust"ande auch hier fast
belanglos klein ist.
Die Kristallfeldaufspaltung hat in diesem Fall jedoch deutlich an Bedeutung
gewonnen. Die Aufspaltung der  $e_g$-Zust"ande ist gegen"uber der {\em
  charge flow}-Methode etwas kleiner geworden.
\vspace{0.5em}

Bevor hieraus Folgerungen "uber m"ogliche Ursachen gezogen werden sollen, erscheint auch hier zun"achst eine Betrachtung der Variation der Energie und der
Magnetisierung bei Variation jeweils eines "au"seren Parameters um den
Optimalwert von Interesse.
In Abbildung \ref{enevarcp} ist hierzu zun"achst die totale Energie als
Funktion der Energievariation um den Optimalwert des jeweiligen "au"seren
Variationsparameters dargestellt. 
\begin{figure}[h!]
{\centering 
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{Bilder/varenecpot-2}
\vspace{-0.5em}

\caption{{\em Chemical potential}-Fall: Ver"anderung der totalen Energie $E_{tot}$ bei Variation der "au"seren Parameter um den optimalen Parametersatz.}
\label{enevarcp}
}\end{figure}
Vergleichbar mit Abbildung \ref{enevarcflw} zieht die Variation der
$e_g$-Aus\-tausch\-auf\-spaltung  starke Ver"anderungen der Energie nach sich,
w"ahrend ein Einflu"s der $t_{2g}$-Austauschaufspaltung fast nicht vorhanden ist.
Der Einflu"s der Kristallfeldaufspaltung erscheint gegen"uber der
$e_g$-Austauschaufspaltung jedoch deutlich abgeschw"acht.
Die entsprechende Darstellung der Magnetisierung als Funktion der Variation um
den Optimalwert ist in Abbildung \ref{magvarcp} graphisch dargestellt.
\begin{figure}[h!]
{\centering  
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{Bilder/varmagcpot-2}
\vspace{-0.5em}

\caption{{\em Chemical potential}-Fall: Ver"anderung des magnetischen Moments $\mu$ bei Variation der "au"seren Parameter um den optimalen Parametersatz.}
\label{magvarcp}
}\end{figure}
Auch bei der Magnetisierung zeigt sich der aus dem {\em charge flow}-Fall
bekannte starke Einflu"s der $e_g$-Austauschaufspaltung. Ein Einflu"s der
$t_{2g}$-Austauschaufspaltung dagegen ist auch hier nicht vorhanden. Die
Kristallfeldaufspaltung hat im Gegensatz zu ihrer Rolle im {\em
  charge flow}-Fall ebenfalls nahezu keinen Einflu"s mehr.
\vspace{0.5em}
 
Das magnetische Moment wird durch die Zahl der {\em Ni}-\eg-Lochzust"ande
bestimmt, die wiederum von der Besetzung der Sauerstoff-$p$-Zust"ande
abh"angt.
Wie erw"ahnt ist ein Rest kovalenter Bindung nur m"oglich, wenn auch
Sauerstoff-$p$-L"ocher vorliegen (die Gesamtzahl von {\em Ni} und {\em O}
L"ochern ist 2). 
Daher ist auch verst"andlich, warum die Energie und die Magnetisierung in der Variation, siehe Abbildung \ref{enevarcflw} und \ref{magvarcflw}, stark von der $e_g$-Austauschaufspaltung und der energetischen Verschiebung der Sauerstoff-Orbitale abh"angen.
Mit diesen beiden Gr"o"sen wird die Besetzungswahrscheinlichkeit der energetisch h"oheren Zust"ande stark beeinflu"st. 

Die gefundene geringe Austauschaufspaltung der $t_{2g}$-Zust"ande steht im
Widerspruch zu Resultaten der $SDFT$, $GW$-$DFT$ und "ahnlicher Methoden. 
Innerhalb des Gutzwiller-Verfahrens ist sie ein Variationsparameter, w"ahrend
die Austauschaufspaltung in {\em SDFT} ein Resultat eines spin-abh"angigen
Potentials ist, welches zwischen $e_g$- und $t_{2g}$-Zust"anden keinen Unterschied macht (vgl. folgendes Kapitel \ref{gapsec}). 
\vspace{0.5em}

\clearpage

\section[{\em Charge flow}-Methode: Bestimmung des Mott-Hubbard-Gaps]{Die {\em charge flow}-Methode: Bestimmung des Mott-Hubbard-Gaps}\label{gapsec}
\markboth{\MakeUppercase{Kapitel}\ \thechapter. \ {\MakeUppercase{Numerische Ergebnisse}}}{\thesection. \ \MakeUppercase{Bestimmung des Mott-Hubbard-Gaps}}

Bisherige Rechnungen mittels $SDFT$- und $SDFT+GW$-Verfahren geben die Anregungsl"ucke in \nio sehr ungenau wieder, insbesondere wird die Gr"o"se der L"ucke (sehr) deutlich fehleingesch"atzt \cite{aryasetiawan:3221,terakura:4734}.

In Abbildung \ref{doscflw} sind die totale und die partiellen Zustandsdichten f"ur den optimalen Satz an Variationsparametern im {\em charge flow}-Fall dargestellt.
\vspace{0.5em}

 
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[height=15cm]{Bilder/dosplotcflwneu-2}
\end{center}
\vspace{-3em}
\caption{Darstellung der totalen und der einzelnen partiellen Zustandsdichten
  im {\em charge flow}-Fall.}
\label{doscflw}
\end{figure}

Zum Vergleich der gefundenen Zustandsdichte wird eine mittels $SDFT$ bestimmte Zustandsdichte f"ur {\em NiO} von Terakura {\em et.~al.} \cite{terakura:4734} gezeigt.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{Bilder/terakura_NiO_DOS}
\end{center}
\caption{DFT-Zustandsdichte nach Terakura {\em et al.}\cite{terakura:4734}.}
\label{terakura-nio-dos}
\end{figure}

Beim Vergleich der totalen Zustandsdichten (oberste Kurve in Abb. \ref{doscflw} und Abb. \ref{terakura-nio-dos}) zeigt sich zun"achst deutlich, da"s im Vergleich zu $DFT$-Rechnungen {\em NiO} bei der Gutzwiller-Variationsrechnung eine deutliche Bandl"ucke aufweist.
{\em NiO} ergibt sich innerhalb der Gutzwiller-Variationsrechnung als
magnetischer Isolator.

Bei den Sauerstoff-B"andern zeigt sich eine grobe "Ubereinstimmung, w"ahrend das breite Minimum zwischen den Peaks bei 0.22 und 0.46 Ry in den Gutzwiller-Rechnungen nicht auftritt.
Dies und die anderen Unterschiede d"urften sich durch die unterschiedliche Austauschaufspaltung ergeben.

In Abbildung \ref{terakura-d-dos} sind nun nach Terakura {\em et.~al.} \cite{terakura:4734} die mittels DFT-Rechnung bestimmten partiellen Zustandsdichten f"ur die Nickel-$d$-Zust"ande dargestellt.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.84\textwidth]{Bilder/terakura_Ni_d_DOS}
\end{center}
\vspace{-1em}

\caption{DFT-Zustandsdichte der Ni-$d$-Zust"ande nach Terakura {\em et al.}\cite{terakura:4734}.}
\label{terakura-d-dos}
\end{figure}

Daraus l"a"st sich eine Austauschaufspaltung innerhalb der $SDFT$ -Rechnung von $\Delta^{SDFT}_{ex}\approx 1.0\,\mathrm{eV}$ absch"atzen.
Die $d$-Zust"ande unterliegen hierbei einer isotropen Austauschaufspaltung, was im Widerspruch zu unseren Ergebnissen steht.
Diese gleichm"a"sige Austauschaufspaltung f"ur beide Nickelzust"ande ($e_g$'s und $t_{2g}$'s) erscheint unphysikalisch, da
die vollst"andig besetzten Nickel-$t_{2g}$-Zust"ande durch eine Austauschaufspaltung keine Energieabsenkung beitragen k"onnen. 
Die Besetzungen der $t_{2g}$-Orbitale "andern sich 
erst, wenn die Austauschaufspaltung mehrere eV betr"agt.
Dann aber tritt ein metallischer Antiferromagnet auf und nicht ein magnetischer Isolator.
Im Gegensatz dazu liefert die Gutzwiller-Rechnung die stark anisotropen Austauschaufspaltungen $\Delta_{t2g}\approx 120\,\mathrm{meV}$ und $\Delta_{eg}\approx 5.6\,\mathrm{eV}$.
\vspace{0.5em}

Eine analoge Beobachtung zeigte sich bereits bei ferromagnetischem Nickel.
Auch hier gibt es eine relativ isotrope Austauschaufspaltung $\Delta^{SDFT}_{ex}$ "uber die Fermioberfl"ache in $SDFT$, w"ahrend die Gutzwiller-Methode umgekehrt zum \nio-Resultat f"ur ferromagnetisches Nickel eine gro"se Austauschaufspaltung  $\Delta_{t2g}$ und eine kleine $\Delta_{eg}$ in der Variation liefert \cite{bunemann:667}.
\vspace{0.5em}

Die Quasiteilchen-Bandl"ucke in Abbildung \ref{doscflw} ist nicht identisch mit der Energiel"ucke f"ur Teilchen-Loch-Anregungen.
Die in Abbildung \ref{doscflw} erkennbaren unbesetzten B"ander sind die angeregten Zust"ande des $N$-Teilchenproblems.
F"ugt man nun jedoch eine Ladung hinzu, so hat man ein $N+1$-Teilchenproblem.
Dieses Problem der Bandl"ucke ist in der $DFT$-Literatur ausf"uhrlich behandelt \cite{perdew:1691,perdew:1884,sham:1888,sham:3883} und f"uhrte zur $GW$-Korrektur, die allerdings f"ur stark korrelierte Systeme wenig geeignet ist \cite{aryasetiawan:3221}.
Im Gutzwiller-Formalismus ist die Anregungsenergie zu erhalten, wenn man die totale Energie, das hei"st im {\em charge flow}-Fall die Gesamtenergie \ref{etotcf}, als Funktion der Teilchenzahl $n$ ermittelt und im Minimum das chemische Potential $\mu_{cp}$ bestimmt.

\ba
\label{chempot}
\mu_{cp} = \left.\frac{\mathrm{d} E_{ges}}{\mathrm{d} n}\right|_{E_{ges}=min}
\ea

Unter der Annahme, da"s wir das antiferromagnetische System mit seinen 14 Valenzelektronen pro Formeleinheit mit einer kleinen Zusatzladung bef"ullen bzw. etwas Ladung herausnehmen, ohne da"s sich das antiferromagnetische System "andert, k"onnen wir die Anregungsenergie bestimmen.
Hierzu werden zun"achst die Differenzenquotienten

\ba
\begin{array}{ccc}
\mu_{cp}^> =  \frac{\mathrm{d} E_{ges}}{\mathrm{d} n_>} & \mbox{bzw.} & \mu_{cp}^< =  \frac{\mathrm{d} E_{ges}}{\mathrm{d} n_<}
\end{array}
\ea
bestimmt und aus deren Differenz die Anregungsenergie
\ba
E_{gap} = \mu_{cp}^> - \mu_{cp}^<.
\ea

$n_>$ und $n_<$ bezeichnen hierbei die links- und rechtsseitigen Limiten bei der Berechnung der Differenzenquotienten.
Bestimmt man nun die Ableitung (\ref{chempot}) am Minimum $E_{ges}(n)$, so l"a"st sich die Anregungsl"ucke $E_{gap}$ bestimmen.
Aufgrund der hierbei ber"ucksichtigten elektronischen Wechselwirkung der $N$-Elektronen mit der hinzugef"ugten Ladung ist die Anregungsl"ucke in der Regel gr"o"ser als die Bandl"ucke. 
\vspace{0.5ex}

Bei der Berechnung der Energiel"ucke k"onnen wir auch die Wahl des Wechselwirkungsparameters $A$ "uberpr"ufen.
Der verwendete Wert $A=10\,\mathrm{eV}$ sollte mit der Anregungsl"ucke und dem
experimentellen magnetischen Moment von {\em NiO} vertr"aglich sein. 
Die Anregungsl"ucke liegt bei 3.5~eV \cite{sasi:149} und das experimentelle magnetische Moment betr"agt $1.90\,\mu_{Bohr}$, wobei der {\em spin-only}-Anteil bei ca. $1.65\,\mu_{Bohr}$ liegt, wenn man einen gemessenen orbitalen Anteil von ca. $0.25\,\mu_{Bohr}$ zugrunde legt \cite{cheetham:6964,low:247}. 
Als Konsequenz des zu erreichenden magnetischen Moments liegt die Obergrenze der $d$-Lochladung bei etwa $1.7\,|e|$.
Dann liefert die Variationsrechnung bei Racah $A=10$-$12\,\mathrm{eV}$ ein optimales $\Delta_{eg}$ von ca. 6 eV und ein Moment von $1.65\,\mu_{Bohr}$.
Die Anregungsl"ucke liegt unter diesen Vorgaben bei etwa 4 eV, was den gew"ahlten Bereich von $A=10$-$12\,\mathrm{eV}$ als physikalisch sinnvoll legitimiert. 
Ein Wert $A \approx 15\,\mathrm{eV}$ w"are eigentlich zu gro"s, wie Abb. \ref{bandluecken} zeigt, in der typische Werte f"ur $E_{gap}$ als Funktion von Racah $A$ dargestellt sind. 
Ferner geht aus Abb. \ref{bandluecken} hervor, da"s der Quotient $A_p/A_{pd}$ die Werte der Anregungsl"ucke $E_{gap}$ nur unwesentlich beeinflu"st.
Da in der {\em charge flow}-Methode die Werte von $A_p$ und $A_{pd}$ so gew"ahlt werden, da"s im ummagnetischen, metallischen Fall das Minimum von $E_{tot}$ bei der gleichen Partialladung $n_d \approx 9.0$ liegt wie in $DFT$, kann der Quotient "uber den physikalisch sinnvollen Bereich $0.5\leq A_p/A_{pd} \leq 1$ variiert werden ohne da"s sich $E_{gap}$ ver"andert.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{Bilder/bgap-racahneu-2}
\end{center}
\vspace{-4.5ex}
\caption{Ver"anderung der Anregungsl"ucke  $E_{gap}$ bei Variation des
  Verh"altnisses $A_p / A_{pd}$ bei vorgegebenem magnetischem Moment von $\mu $ = $1.65\,\mu_{Bohr}$. Die eingetragene experimentelle Anregungsl"ucke stammt aus \cite{sasi:149}. Es zeigt sich, da"s die Anregungsl"ucke somit deutlich gr"o"ser als die Bandl"ucke aus Abbildung \ref{doscflw} ist, die etwa $2.3\,\mathrm{eV}$ betr"agt.}
\label{bandluecken}
\end{figure}
Auch die Ver"anderung des {\em spin-only} Moments von $1.65\,\mu_{Bohr}$ auf $1.75\,\mu_{Bohr}$ "andert nur wenig am Wert von $E_{gap}$.
\vspace{0.5em}

Insgesamt findet sich "uber einen recht breiten Bereich des Wechselwirkungsparameters $A$ und des vorgegebenen magnetischen Moments eine sehr gute "Ubereinstimmung der Gr"o"se der Anregungsl"ucke mit dem experimentellen Wert $3.54\,\mathrm{eV}$ \cite{sasi:149}.
Dies ist durchaus ein Beleg, da"s die Korrelationseffekte, die zu einem gro"sen Mott-Hubbard-Gap f"uhren, mit dem verwendeten Gutzwiller-Verfahren gut wiedergeben werden.
\vspace{0.5em}

Es sei darauf hingewiesen, da"s eine Berechnung der Anregungsl"ucke mit der {\em chemical potential}-Methode nicht m"oglich ist, da hier $E_{tot}$ unter Vorgabe eines festen $n_d$-Wertes minimiert wird.
Eine Zusatzladung kann also nicht eindeutig hinzugef"ugt werden.

\clearpage

\section[Erg"anzende Ergebnisse mit {\em chemical potential}]{Erg"anzende Ergebnisse der {\em chemical potential}-Methode}\label{chempotsec}


Nachdem im vorherigen Abschnitt \ref{gapsec} Ergebnisse der {\em charge flow}-Methode vorgestellt wurden, soll in diesem Unterkapitel die urspr"ungliche aus den Nickel-Rechnungen bew"ahrte Variante der Berechnung mittels chemischer
Potentiale untersucht werden. 
Aufgrund der in der {\em charge flow}-Minimierung gewonnenen Erfahrung ist es m"oglich eine feste $d$-Ladung von etwa 8.2-8.3 $|e|$ per Hand vorzugeben, die als Obergrenze ein Moment von 1.8 (1.7) $\mu_{Bohr}$ erlaubt. 
\vspace{0.7em}

Die {\em chemical potential}-Methode ist im Vergleich der beiden Berechnungsmethoden die rechentechnisch bessere Alternative, da es weniger "au"sere Variationsparameter gibt, was die "au"sere Minimierung vereinfacht.
Die Gutzwiller Energien $E_{tot}$ sind, bedingt durch die fixierten Partialladungen, bei diesem Verfahren auch etwas genauer bestimmt. 
Daher kann die Methode innerhalb des {\em charge flow}-Verfahrens benutzt werden, um die numerische Genauigkeit zu steigern.
Zum Vergleich mit der {\em charge flow}-Methode sind die totale und die partiellen Zustandsdichten analog Abbildung \ref{doscflw} ({\em{charge flow}}-Fall) f"ur den {\em  chemical potential}-Fall in Abbildung \ref{doscp} dargestellt. 

\begin{figure}[h!]
{\centering 
\includegraphics[height=15cm]{Bilder/dosplotcpneu-2}
\vspace{-0.5em}

\caption{{\em Chemical potential}-Fall: Darstellung der totalen und partiellen Zustandsdichten.}
\label{doscp}
}\end{figure}
\vspace{0.7em}

Hier zeigt sich, abgesehen von kleineren Verschiebungen, die aus den etwas
ver"anderten optimalen Parametern resultieren, qualitativ das gleiche
Ergebnis. 
Es ist eine deutliche Bandl"ucke zu erkennen, die auch hier wieder um ca. 30\% kleiner als die Anregungsl"ucke ist.
Die Sauerstoff-Zust"ande sind, wie auch schon im {\em charge flow}-Fall durch den ganzen Energiebereich
hindurch nicht unwesentlich beigemischt.  
Die Zust"ande oberhalb der Fermienergie werden weitestgehend durch die $e_g$-Zust"ande beschrieben.
\vspace{0.7em}

Die Methoden liefern somit beide ein qualitativ und unter
Ber"ucksichtigung der etwas unterschiedlichen Parameter ein quantitativ
vergleichbares Ergebnis bei den Zustandsdichten.
\vspace{0.7em}

Die in Abschnitt \ref{avpmin} vorgegebene $d$-Partialladung von $n_d=8.30|e|$ im {\em chemical potential}-Fall war an das {\em charge flow}-Ergebnis von $n_d=8.31|e|$ angelehnt.
In Tabelle \ref{varcpotwerte} sind die Ver"anderungen des optimalen "au"seren Variationsparameters f"ur die Austauschaufspaltung der \eg-Zust"ande bei ver"anderten vorgegebenen Partialladungen dargestellt.
Hierbei zeigt sich tendenziell ein vergleichbares Ergebnis wie im {\em charge flow}-Fall f"ur Partialladungen von $n_d=8.31|e|$.
\begin{table}[h!]
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|c|c|c|} 
\hline
$n_d$ & $d$-Lochdichte & $\Delta_{eg}$  \\
 \hline
$8.20$ & $1.80$ & $1.444\, \mathrm{eV}$ \\
 \hline
$8.28$ & $1.72$ & $3.084\, \mathrm{eV}$ \\
 \hline
$8.30$ & $1.70$ & $4.003\, \mathrm{eV}$ \\
 \hline
$8.32$ & $1.68$ & $5.816\, \mathrm{eV}$ \\
\hline
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}
\label{varcpotwerte}
\caption{Ver"anderung der optimalen \eg-Austauschaufspaltung in der {\em{chemical potential}}-Methode als Funktion der Partialladung $n_d$ bzw. der $d$-Lochdichte ($=10-n_d$) bei festgehaltenem Moment $\mu=1.65\,\mu_{Bohr}$. Die jeweils zugeh"orige Sauerstoff-$p$-Partialladung errechnet sich als $n_p = 14 - n_d$ f"ur {\em NiO}.}
\end{table}
Eine steigende $d$-Lochdichte f"uhrt somit zu stark verminderten
\eg-Austauschaufspaltungen.
\vspace{0.7em}


Wird allerdings versucht unphysikalische Werte vorzugeben, wie beispielweise eine Partialladung von $n_d=8.4|e|$ bei einem magnetischen Moment von $\mu=1.65\,\mu_{Bohr}$, so ergibt sich keine konvergente numerische L"osung mehr. 
Dies ist jedoch auch nicht verwunderlich, da $1.6$ $d$-L"ocher maximal ein Moment von $\mu=1.6\,\mu_{Bohr}$ ergeben k"onnen. 
Solche Fehlvorgaben sind anhand des Konvergenzverhaltens des Programms somit
erkennbar. 
Das Programm kann die Sauerstoff-Niveaus dann nicht mehr entsprechend justieren, um die Vorgaben zu erf"ullen.
Bei der Vorgabe von Partialladungen ist das geforderte magnetische Moment von Anfang an zu ber"ucksichtigen und die $d$-Lochdichte mu"s das Moment auch erm"oglichen. 
Eine beliebige Vorgabe kann von dem Programm aufgrund der chemischen Potentiale nicht korrigiert werden.  

\clearpage
\markboth{\MakeUppercase{Kapitel}\ \thechapter. \ {\MakeUppercase{Numerische Ergebnisse}}}{\thesection. \ \MakeUppercase{Energieabsenkung durch Variation}}
\section[Energieabsenkung durch Variation - Besetzung der Zust"ande]{Energieabsenkung durch Variation - Besetzung der Zust"ande}
\markboth{\MakeUppercase{Kapitel}\ \thechapter. \ {\MakeUppercase{Numerische Ergebnisse}}}{\thesection. \ \MakeUppercase{Energieabsenkung durch Variation}}

Betrachtet man den unmagnetischen Fall z.B. bei $n_d=8.3$ der keine "au"seren Variationsparameter enth"alt und auch keine Minimierung der inneren Variationsparameter als Ausgangspunkt ({\em{unmagnetischer HF-Limit}}), so wird allein durch die Einf"uhrung der Austauschaufspaltung $\Delta_{eg}$ und der anderen "au"seren Variationsparameter eine Energieabsenkung von ca. $3.5\,\mathrm{eV}$ erreicht ({\em{afm HF-Limit}}).
Die Minimierung der inneren Variationsparameter liefert weitere ca. $0.25\,\mathrm{eV}$.
Trotz des relativ kleinen Energiegewinns ist die Gutzwiller-Methode auch bei magnetischen Isolatoren wichtig, denn eine Minimierung im {\em HF-Limit} w"urde zu unphysikalisch gro"sen Austauschaufspaltungen $\Delta_{eg}$ Werten von $\approx 10\,\mathrm{eV}$ f"uhren.
Im Gegensatz zum \nio liefert die Gutzwiller-Rechnung f"ur metallisches Nickel eine Absenkung von ca. $0.3\,\mathrm{eV}$ durch die "au"seren Variationsparameter allein, also im {\em HF-Limit}, w"ahrend die Variation der inneren Variationsparameter eine Absenkung um ca. $2\,\mathrm{eV}$ liefert.
\vspace{0.5em}

Die Tatsache, da"s wir beim \nio nahe am {\em HF-Limit} liegen, spiegelt sich auch in den Besetzungen der Zust"ande und anderen Kennzahlen wie den {\em Hopping-Reduktionsfaktoren} $q_\sigma$ wieder.
Diese Werte gehen wurzelf"ormig in die Gleichungen
ein und beschreiben eine Renormierung der {\em Hopping}-Matrixelemente aufgrund der Vielteilcheneffekte. 
Bei optimalem "au"seren Variations-Parametersatz im {\em charge flow}-Fall (vergleich Tabelle \ref{cflwwerte}) stellen sich die in Tabelle \ref{qscflw} angegebenen $q$-Werte f"ur {\em NiO} ein.
F"ur den {\em chemical potential}-Fall ergeben sich "ahnliche Werte.

\begin{table}[h!]
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} 
\hline
 & $Ni^{(\uparrow)}_{t_{2g}}$ & $Ni^{(\uparrow)}_{e_{g}}$ & $Ni^{(\downarrow)}_{t_{2g}}$ & $Ni^{(\downarrow)}_{e_{g}}$ & $O_{p}$  \\
 \hline
orb. Besetzung& 0.9997 & 0.9907 & 0.9996 & 0.1657 & 0.9482 \\ 
\hline
$q_\sigma$-Wert& 0.7389 & 0.7693 & 0.7572 & 0.9408 & 1 \\
\hline
$\sqrt{q_\sigma}$-Wert& 0.8596 & 0.8771 & 0.8702 & 0.9700 & 1 \\
\hline
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}
\caption{\label{qscflw} $q$-Werte und orbitale Besetzungen f"ur {\em NiO} bei optimalem "au"seren Variations-Para\-meter\-satz (s. Tab. \ref{cflwwerte}).}
\end{table}

Die Gr"o"se der $q$-Werte beeinflu"st die Hybridisierung der Zust"ande. In Abbildung \ref{smallq} sind zwei verschiedene Szenarien dargestellt. 
In Abb. \ref{smallq}(a) liegen beide Zust"ande unterhalb der Fermikante. 
Hierbei k"onnen die $q$-Werte sehr klein werden und damit die Hybridisierung zwischen den beiden beteiligten Zust"anden nahezu ''abschalten''. 
Durch die Hybridisierung entsteht kein Energiegewinn, da die B"ander voll
besetzt sind.

Die zweite Situation ist in Abb. \ref{smallq}(b) dargestellt. 
Ein Zustand liegt oberhalb und der andere unterhalb der Fermikante.
Hier wird $q\approx 1$ vorliegen und die Hybridisierung beibehalten, denn ohne Hybridisierung ($q\rightarrow 0$) der Zust"ande oberhalb und unterhalb der Fermikante w"urde die Bandenergie deutlich ansteigen und so eine h"ohere Gesamtenergie entstehen.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Bilder/smallq2}
\end{center}
\caption{Beeinflussung der Hybridisierung durch die $q$-Werte. 
In (a) wird dir Hybridisierung f"ur $q\ll 1$ nahezu ''abgeschaltet'', da die
B"ander unterhalb der Fermikante besetzt sind und somit kein Energieverlust entstehen kann. 
In (b) dagegen wird mit $q\approx 1$ die Hybridisierung beibehalten, da ohne Hybridisierung ($q\rightarrow 0$) ein Energieverlust entstehen w"urde.}
\label{smallq}
\end{figure}

\vspace{0.5em}


Ein wichtiger Unterschied zwischen der Gutzwiller-Variationsrechnung und einer
Beschreibung auf Hartree-Fock-Niveau ist die Besetzung der Multielektronen-Zust"ande.
Hierzu wurden die Elektronenzahlen in den verschiedenen $d^n$-Besetzungen
sowohl im statistischen Limes der Gutzwiller-Methode, welche einer Hartree-Fock-Beschreibung entspricht, als auch in den Gutzwiller-Variationsrechnungen
bestimmt.
Diese sind in Tabelle \ref{umbesetzungen} und in Abbildung \ref{d-besetzungen} gegeneinander aufgetragen.
 
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.85\textwidth]{Bilder/d_besetzungen-log2}
\end{center}
\caption{Besetzungen der verschiedenen $d$-Multipletts auf Hartree-Fock-Niveau und mit der Gutzwiller-Variations-Methode.}
\label{d-besetzungen}
\end{figure}
\begin{table}[h!]
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} 
\hline
$d^n$ & $m_{HF}$ & $m_{GW}$ & $m_{GW}\,/\,m_{HF}$ \\
 \hline
$d^6$ & 0.00053433 & 0.00003206 & $6\,\%$\\
\hline
$d^7$ & 0.10031583 & 0.03492206 & $35\,\%$ \\
\hline
$d^8$ & 5.49903139 & 5.49979537 & $100\,\%$\\
\hline
$d^9$ & 2.44185250 & 2.69538714 & $110\,\%$\\
\hline
$d^{10}$ & 0.26884091 & 0.08043909 & $30\,\%$\\
\hline
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}
\caption{\label{umbesetzungen} Besetzungen in den $d^n$-Multipletts im statistischen Limes ($m_{HF}$) ({\em{HF-Limit}}) und bei der Gutzwiller-Methode ($m_{GW}$).}
\end{table}

Die Hartree-Fock-Rechnungen haben noch deutliche Beitr"age der
$d^7$- und $d^{10}$-Besetzungen.
Dagegen ist in den Gutzwiller-Resultaten die Elektronenverteilung viel st"arker auf $d^8$ und $d^9$ konzentriert - auch hier sind die Ladungsfluktuationen auf Grund der Wechselwirkung stark unterdr"uckt.
Der Anteil an $d^9$ ({\em{ligand hole}}) ist Ausdruck eines Rests kovalenter Bindung mit einem Lochzustand am Sauerstoff.
Dies liegt bereits im Bandbild bei gro"ser Austauschaufspaltung vor, wie an den Hartree-Fock-Ergebnissen zu erkennen ist. 
"Ahnliche Situationen gibt es in allen anderen magnetischen Isolatoren, nur sind dort andere $d^n$ Konfigurationen involviert.
\vspace{0.75ex}

\begin{table}[h!]
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} 
\hline
$d^n$ &Zu-&orb.&spin& $s_z$ & $m_{GW}$ & $\frac{m_{GW}}{m_{HF}}$ & Art d. dominanten \\
&stand&Ent.& Ent.&&&&Lochzustands\\
 \hline
$d^6$ &$^1\!A_g$& 1 & 1 &0& 0.000004 &$7\,\%$ & $u^\uparrow u^\downarrow v^\uparrow v^\downarrow$\\
\hline
$d^7_{(1)}$ &$^4T_u$& 3 & 4 & $\frac{3}{2}$& 0.000075 & $34\,\%$&$\xi^\downarrow u^\downarrow v^\downarrow$\\
$d^7_{(2)}$ &$^4T_u$& 3 & 4 & $\frac{3}{2}$& 0.000075 & $34\,\%$&$\zeta^\downarrow u^\downarrow v^\downarrow$\\
$d^7_{(3)}$ &$^4T_u$& 3 & 4 & $\frac{3}{2}$& 0.000075 & $34\,\%$&$\eta^\downarrow u^\downarrow v^\downarrow$\\
$d^7_{(4)}$ &$^4T_u$& 3 & 4 & $\frac{3}{2}$& 0.000028 & $41\,\%$&$\xi^\downarrow u^\downarrow v^\uparrow\!+\!\xi^\uparrow u^\downarrow v^\downarrow\!+\!\xi^\downarrow u^\uparrow v^\downarrow$\\
$d^7_{(5)}$ &$^4T_u$& 3 & 4 & $\frac{3}{2}$& 0.000028 & $41\,\%$&$\eta^\downarrow u^\downarrow v^\uparrow\!+\!\eta^\uparrow u^\downarrow v^\downarrow\!+\!\eta^\downarrow u^\uparrow v^\downarrow$\\
$d^7_{(6)}$ &$^4T_u$& 3 & 4 & $\frac{3}{2}$& 0.000028 & $41\,\%$&$\zeta^\downarrow u^\downarrow v^\uparrow\!+\!\zeta^\uparrow u^\downarrow v^\downarrow\!+\!\zeta^\downarrow u^\uparrow v^\downarrow$\\
$d^7_{(7)}$ &$^2\!E_g$& 2 & 2 & $\frac{1}{2}$& 0.002071 & $36\,\%$&$u^\downarrow v^\uparrow v^\downarrow$\\
$d^7_{(8)}$ &$^2\!E_g$& 2 & 2 & $\frac{1}{2}$& 0.002071 & $36\,\%$&$u^\uparrow u^\downarrow v^\downarrow$\\
\hline
$d^8_{(1)}$ &$^3\!A_g$& 1 & 3 & 1& 0.673869 & $99\,\%$& $u^\downarrow v^\downarrow$\\
$d^8_{(2)}$ &$^3\!A_g$& 1 & 3 & 0& 0.004442 & $348\,\%$& $u^\uparrow$$v^\downarrow + u^\downarrow$$v^\uparrow$\\
$d^8_{(3)}$ &$^1\!E_g$& 2 & 1 & 0& 0.002682 & $225\,\%$&$u^\uparrow$$v^\downarrow\!-\!u^\downarrow$$v^\uparrow$, $v^\uparrow$$v^\downarrow\!-\!u^\uparrow$$u^\downarrow$\\
\hline
$d^9$ &$^2\!E_g$& 2 & 2 & $\frac{1}{2}$& 0.148692 & $110\,\%$& $u^\downarrow$ bzw. $v^\downarrow$\\
\hline
$d^{10}$ &$^1\!A_g$& 1 & 1 & 0& 0.008044 & $30\,\%$& ---\\
\hline
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}
\caption{\label{singlestates} Ver"anderungen der dominanten Zust"ande in den jeweiliegen $d^n$-Multipletts vom statistischen Limes zu den Gutzwiller-Variationsergebnissen. Bezeichnung der Zust"ande nach Sugano \cite{sugano:1970} f"ur die \tg's $\xi\,\widehat{=}\,yz$, $\eta\,\widehat{=}\,zx$, $\zeta\,\widehat{=}\,xy$ und die \eg's $u\,\widehat{=}\,3z^2$ sowie $v\,\widehat{=}\,x^2\!-\!y^2$. Die Benennung der Zust"ande erfolgte nach der Notation von Mulliken \cite{mulliken:279,bradley:1972} ($A$ einfach, $E$ zweifach, $T$ dreifach entartet; $u$ ungerader, $g$ gerader Zustand). Die Spinentartung ergibt sich aus $S_{Ent}=2|s_z|+1$}
\end{table}

Die jeweils am st"arksten besetzten Zust"ande der $d^n$-Multipletts und deren Charakterisierung sind in Tabelle \ref{singlestates} zusammengestellt.
Im Gegensatz zu $fm$ Nickel-Metall sind innerhalb der verschiedenen $d^n$-Multipletts die Zust"ande sehr unterschiedlich besetzt.
Wie zu erwarten, treten \eg-Lochzust"ande dominant auf. 
Dies sind insbesondere die Zust"ande in $d^9$ und in $d^8$ der alles dominierende $^3\!A_g$.
Daneben, zwei Gr"o"senordnungen kleiner, treten weitere $e_{g}$ dominierte
Multipletts in $d^7$, $d^8$ und $d^{10}$ auf.
\vspace{1.5ex}

\clearpage

\markboth{\MakeUppercase{Kapitel}\ \thechapter. \ {\MakeUppercase{Numerische Ergebnisse}}}{\thesection. \ \MakeUppercase{Absch"atzung der Heisenberg-Kopplungskonst.}}
\section[Absch"atzung der Heisenberg-Kopplungskonstanten]{Absch"atzung der Kopplungs-Konstanten f"ur ein Heisenberg-Modell} \label{HEISENBERG:SEC}
\markboth{\MakeUppercase{Kapitel}\ \thechapter. \ {\MakeUppercase{Numerische Ergebnisse}}}{\thesection. \ \MakeUppercase{Absch"atzung der Heisenberg-Kopplungskonst.}}

In \nio mit AF-2 Struktur alternieren aufeinanderfolgende dichtest gepackte ferromagnetische Nickel-Ebenen ihre Spinrichtung (vgl. Abb. \ref{af2str}).
Damit ist die Richtung ausgezeichnet, die senkrecht zu den dichtest gepackten Ebenen liegt, die $(111)$-Richtung.
Wie schon erw"ahnt, liegt im Grunde eine trigonale Symmetrie des Gitters vor.
Die Abweichungen sind jedoch sehr klein gegen"uber der kubischen Kochsalzstruktur.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Bilder/AF2str}
\end{center}
\caption{Die NiO-Struktur AF-2. Die wei"sen (grauen) Kugeln stellen die {\em spin-up (spin-down)} Nickel-Ionen dar. Die schwarzen symbolisieren die Sauerstoff-Ionen.}
\label{af2str}
\end{figure}

Da"s die AF-2-Struktur vorliegt, resultiert aus der Dominanz der "ubern"achsten  ($2NN$) antiferromagnetischen Kopplung der $Ni$-Spins. 
Dies wiederum ist eine Folge davon, da"s nur die entlang der kartesischen Achsen gerichteten $d(e_g)$-Orbitale zu den am Magnetismus beteiligten Energieb"andern beitragen, nicht aber die $d(t_{2g})$-Orbitale, die in $d^8$ Konfiguration der $Ni^{2+}$-Ionen alle besetzt sind.
Die $d(e_g)$-Orbitale bilden $\sigma$-artige Hopping-Matrixelemente $pd\sigma$ zu den n"achstbenachbarten Sauerstoff-$p$-Orbitalen, die sehr gro"s sind (ca. $1.1\,\mathrm{eV}$) und damit deutlich gr"o"ser als die $d(t_{2g})$-$p$ Hopping-Matrixelemente $pd\pi$ ($0.5\,\mathrm{eV}$), siehe Anhang \ref{App:TBParams}.
Man kann sagen, da"s in den Nickel-Sauerstoff-Energieb"andern die am st"arksten antibindenden  $d(e_g)$-$p$ B"ander partiell unbesetzt sind, da ja noch 2 L"ocher in der $Ni$-$d$-Schale vorhanden sind.
\vspace{0.5em}

Im Falle einer Ausbildung magnetischer Ordnung k"onnen die magnetischen Kopplungen in Form eines Heisenbergmodells
\ba
\hat{H}=\sum\limits_{i,j} J_{i,j}\,\hat{\vec{s}}_i\,\hat{\vec{s}}_j
\ea
beschrieben werden.
Die Kopplungsparameter $J_{i,j}$ k"onnen bei st"orungstheoretischer Behandlung im Rahmen eines halbgef"ullten Hubbard-artigen Modells erhalten werden.
Wegen des gro"sen Wertes von $pd\sigma$ ist daher starke $2NN$-Kopplung von $Ni$-Spins zu erwarten und eine kleine $1NN$-Kopplung der $Ni$-Spins, da die \tg-Orbitale voll besetzt sind. 
Diese Erwartung kann mit Gutzwiller-Rechnungen an verschiedenen magnetischen Strukturen, die alle auf dem Kochsalzgitter basieren, "uberpr"uft werden.
Zun"achst k"onnen wir die AF-2-Struktur mit einem reinen ferromagnetischen Zustand vergleichen.
Dabei werden die 6 magnetischen Kopplungen von antiferromagnetisch nach ferromagnetisch gezwungen, was die Energie erh"ohen mu"s ({\em AF-2-fm-Rechnung}).

Um die Kopplungskonstanten aus den Energiedifferenzen zu ermitteln, mu"s die Zahl der jeweiligen antiferro- und ferromagnetischen Kopplungen pro Ion ber"ucksichtigt werden.
Die Anzahlen der einzelnen Nachbarkopplungen f"ur die verschiedenen Rechnungen sind in Tabelle \ref{Koordinationszahlen} zusammengestellt.
Die Rechnungen wurden mit der {\em chemical potential}-Methode unter Vorgabe von $n_d=8.30$ durchgef"uhrt.

\begin{table}[h!]
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|c||c|c||c|c|} 
\hline
& AF-2 (af)& AF-2 (fm)& $Cu_3Au$ (fi)& $Cu_3Au$ (fm)\\
 \hline
1NN-af & 6 & 0 & 4 & 0 \\
\hline
1NN-fm & 6 & 12 & 8 & 12 \\
\hline
2NN-af& 6 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
2NN-fm& 0 & 6 & 6 & 6 \\
\hline
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}
\caption{\label{Koordinationszahlen} Anzahl der n"achsten (1NN) und
  "ubern"achsten (2NN) ferro- und antiferromagnetischen Nachbar-Kopplungen der
  antiferromagnetischen (af) AF-2-Struktur, der ferrimagnetischen (fi)
  $Cu_3Au$-Struktur, sowie der jeweils komplett ferromagnetischen (fm) Struktur.}
\end{table}

Mit der Energiedifferenz kann aber nur eine Information bez"uglich der beiden Kopplungsparameter $J_{1NN}$ und $J_{2NN}$ erhalten werden.
Unter der Annahme $J_{1NN}=0$, folgt  $J_{2NN}\approx 20\,\mathrm{meV}$.
\vspace{0.5em}

Allerdings verliert der Sauerstoff-Platz seine spezielle Inversionssymmetrie der AF-2-Struktur, die dazu f"uhrt, da"s das magnetische Moment des Sauerstoffs aus Symmetriegr"unden Null sein mu"s.
In der ferromagnetischen Rechnung gibt es ein kleines ferromagnetisches Moment des Sauerstoffs (ca. $0.2\,\mu_{Bohr}$), so da"s die Abbildung der Energiedifferenz auf ein Heisenberg-Modell mit gewissen kleinen Fehlern behaftet ist.
\vspace{0.5em}

Man kann nun andere kristallographische und magnetische Strukturen betrachten, und versuchen, die Zahl der ferromagnetischen $1NN$-Kopplungen zu variieren, unter Beibehaltung der Zahl der 2NN magnetischen Kopplungen.
\vspace{0.5em}

Man k"onnte z.B. in der AF-2-Struktur eine nicht-ferromagnetische Ordnung in eine urspr"ungliche ferromagnetisch dichtestgepackte $Ni$-Schicht legen.
Dies bewirkt aber Vervielfachungen der Einheitszelle, die ja schon aus 8 \nio Molek"ulen besteht.
Eine solche Rechnung f"uhrt zu einem sehr stark erh"ohtem numerischen Aufwand.
\vspace{0.5em}

Hingegen sind Strukturen, die auf der tetragonalen AF-1-Struktur beruhen, viel einfacher (vgl. Abb. \ref{oktstr}).
Eine weitere, relativ einfach zug"angliche Struktur f"ur Berechnungen von Energiedifferenzen von magnetischen Gittern ist die $Cu_3Au$-Struktur.
Allerdings ist der Preis, da"s alle 2NN magnetischen Kopplungen ferromagnetisch sind, und ferner, da"s es symmetrieverschiedene Sauerstoff-Positionen mit unterschiedlichen Momenten gibt. 
Die Struktur ist au"serdem aufgrund unterschiedlicher Zahl von $Ni^{(1)}$- und $Ni^{(2)}$-Ionen in der Einheitszelle ferrimagnetisch ($fi$). 

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Bilder/Oktstr}
\end{center}
\caption{Die ferrimagnetische $Cu_3Au$-Struktur. Die wei"sen (grauen) Kugeln stellen die {\em spin-up (spin-down)} Nickel-Ionen dar. Die schwarzen symbolisieren die Sauerstoff-Ionen.}
\label{oktstr}
\end{figure}

Die Berechnung dieser vier verschiedenen Varianten liefert die in Tabelle
\ref{Koordinationsenergien} angegebenen totalen Energien. Die Energien der
beiden ferromagnetischen (fm) Rechnungen differieren aufgrund der
unterschiedlichen verwendeten Gitter bei der Diskretisierung der Brillouinzone.
 
\begin{table}[h!]
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|c||c|c|} 
\hline
& Totale Energien $E_{tot}/\mathrm{eV}$ & $(E^{tot}_{fm}-E^{tot}_{af})/\mathrm{meV}$ \\
 \hline
AF-2-Struktur (af) & 246.\,71\,29\,2 & \multirow{2}*{$120.7$}\\
\cline{1-2}
AF-2-Struktur (fm) & 246.\,83\,36\,4 &\\
\hline
$Cu_3 Au$-Struktur (fi) & 246.\,82\,17\,2 & \multirow{2}*{$11.0$}\\
\cline{1-2}
$Cu_3 Au$-Struktur (fm) & 246.\,83\,27\,5 &\\
\hline
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}
\caption{\label{Koordinationsenergien} Totale Energien f"ur beide Strukturen
  sowohl ferromagnetisch (fm) wie auch antiferromagnetisch (af)
  bzw. ferrimagnetisch (fi) berechnet.}
\end{table}

Unter Ber"ucksichtigung der verschiedenen Koordinationszahlen
(s. Tab. \ref{Koordinationszahlen}) l"a"st sich aus der $Cu_3 Au$-Struktur
zun"achst die Energieabsenkung pro N"achste-Nachbar-Bindung beim {\em
  spin-flip} von ferro- zu antiferromagnetischer Anordnung bestimmen. Dies
liefert
\ba
J_{1NN} = -2.8\,\mathrm{meV}
\label{NNkopplungsenergie}
\ea
pro $1NN$-Bindung.
\vspace{0.5cm}

Aus der AF-2-Struktur ergibt sich hierbei zun"achst die Energieabsenkung beim
{\em spin-flip} der n"achsten und "ubern"achsten Nachbarkopplung.
Bezieht man nun die in Gl.~\ref{NNkopplungsenergie} bestimmte Energie der
N"achsten-Nachbar-Kopplung mit ein, so l"a"st sich die Energieabsenkung pro
"Ubern"achster-Nachbar-Kopplung unter Verwendung der in
Tab. \ref{Koordinationszahlen} angegebenen Koordinationszahlen bestimmen.
Hierbei ergibt sich eine Energieabsenkung von ferro- zu antiferromagnetischer
Kopplung von
\ba
J_{2NN} =  -17.4\, \mathrm{meV}
\ea
pro $2NN$-Bindung.
\vspace{0.5cm}

Diese beiden Werte stehen von der Gr"o"senordnung her im Einklang mit
experimentellen Werten, die durch Hutchings und Samuelsen \cite{hutchings:3447} in inelastischen Neutronen-Streu-Experimenten bestimmt wurden. 
Diese fanden bei ihren Messungen f"ur die n"achste Nachbarkopplung einen Wert
von $1.4\, \mathrm{meV}$ und $-19\, \mathrm{meV}$ f"ur die "ubern"achste Nachbarkopplung.

Das Ergebnis dieser Betrachtungen f"uhrt zu sehr guten "Ubereinstimmungen f"ur die 2NN-Kopplung $J_{2NN}$. F"ur die kleine 1NN-Kopplung $J_{1NN}$ stimmt die Gr"o"senordnung, nicht aber das Vorzeichen.
Hierf"ur k"onnte es folgende Erkl"arungen geben:
\begin{itemize}
\item Das bei den ferromagnetischen  und ferrimagnetischen Rechnungen entstehende magnetische Moment am Sauerstoff m"usste kompensiert werden.
\item Aus den Bandstruktur-Rechnungen geht hervor, da"s praktisch keine $d(t_{2g})$-L"ocher vorhanden sind. W"aren diese nennenswert vorhanden, so w"urde man eine antiferromagnetische Kopplung erwarten. Ob diese L"ocher "uber Spin-Bahn-Kopplung bewirkt werden, mu"s n"aher untersucht werden.
\end{itemize}


\clearpage

\section{Die Quasiteilchen-Bandstrukturen}

Ein weiteres Ergebnis, welches viele R"uckschl"usse auf die Eigenschaften von Festk"orpern zul"a"st, sind die Quasiteilchen-Bandstrukturen. 
Hierzu wurden zur Veranschaulichung zwei Richtungen durch die Brillouinzone ausgew"ahlt.
Es wurde eine kubische Brillouinzone zugrundegelegt, da {\em ARPES}-Ergebnisse in der kubischen Brillouinzone angegeben sind. 
Eigentlich m"u"ste eine trigonale Brillouinzone gew"ahlt werden, die der magnetischen AF-2-Struktur (vgl. Abb. \ref{kriststruktaf2}) entspricht.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.85\textwidth]{Bilder/fcc_brillouinzone}
\end{center}
\caption{Darstellung der Brillouinzone einer kubisch-fl"achen\-zen\-trierten ({\em{fcc}}) Kristallstruktur \cite{straube:1}.}
\label{fccbrillouinzone}
\end{figure}

Zum einen wird die in kubischer Symmetrie $\Delta$-Linie genannte Richtung, welche entlang der $(00\xi)$-Richtung verl"auft, betrachtet und zum anderen die der $\Sigma$-Linie entsprechende die $(\xi\xi0)$-Richtung. 
Zum Vergleich werden die experimentell bestimmten Quasiteilchen-Bandstrukturen in den entsprechenden Richtungen herangezogen. 
Diese experimentellen Daten wurden aus einer Arbeit von Shen {\em et al.} \cite{shen:3604} redigitalisiert. 
Die Gutzwiller-Quasiteilchen-Bandstrukturen aus den {\em charge flow}-Rechnungen und die experimentellen Datenpunkte sind in Abbildung \ref{origbandstrukturen} dargestellt.
\vspace{0.5em}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{Bilder/Bandstruktur-orig-20050302}
\end{center}
\caption{Vergleich der mittels der {\em charge flow}-Methode berechneten Quasi\-teilchen-Bandstruktur mit redigitalisierten Daten aus Shen {\em et al.}\cite{shen:3604} ohne Verschiebung des Nullpunktes.}
\label{origbandstrukturen}
\end{figure}

Die absoluten Energien sind jedoch in der Arbeit von Shen {\em et al.} an die in dieser Arbeit bestimmten DFT-Bandstrukturen angepa"st. 
Verschiebt man die experimentell bestimmten B"ander um -$300\,\mathrm{meV}$ f"ur einen Vergleich im {\em charge flow}-Fall, so erh"alt man Abbildung \ref{bandstrukturencflw}.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{Bilder/Bandstruktur-20050511}
\end{center}
\caption{Vergleich der mittels der {\em charge flow}-Methode berechneten Quasi\-teilchen-Bandstruktur mit energetisch um -$300\,\mathrm{meV}$ verschobenen redigitalisierten Daten aus Shen {\em et al.}\cite{shen:3604}.}
\label{bandstrukturencflw}
\end{figure}
\vspace{0.5em}

Die mittels der {\em chemical potential}-Methode bestimmte Quasiteilchen-Band\-struktur mit den redigitalisierten und an die Fermienergie angepa"sten Daten aus der Arbeit von Shen {\em et.~al.} \cite{shen:3604} ist in Abbildung \ref{bandstrukturencp} dargestellt. 
Die Daten wurden in diesem Fall jedoch nur um $-130\,\mathrm{meV}$ verschoben,
da die Fermienergie im {\em chemical potential}-Fall um $170\,\mathrm{meV}$
niedriger lag und eine Verschiebung um $-130\,\mathrm{meV}$ somit konsistent
ist zum {\em charge flow}-Fall, in dem die experimentellen Daten um
$-300\,\mathrm{meV}$ verschoben wurden.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{Bilder/Bandstruktur-chempot}
\end{center}
\caption{Vergleich der im {\em chemical potential}-Fall berechneten
  Quasi\-teilchen-Bandstruktur mit energetisch um $-130\,\mathrm{meV}$ verschobenen redigitalisierten Daten aus Shen {\em et al.}\cite{shen:3604}.}
\label{bandstrukturencp}
\end{figure}
Durch Verschiebung des Nullpunktes der experimentellen Daten l"a"st sich eine gute "Ubereinstimmung mit den Gutzwiller-B"andern erzielen. 
\vspace{0.5em}

Die Unterschiede der beiden Abbildungen \ref{bandstrukturencflw} und \ref{bandstrukturencp} liegen im wesentlichen in den geringf"ugig variierenden "au"seren Variationsparametern begr"undet, was zu leichten Verschiebungen der B"ander f"uhrt. 
Die Ergebnisse unterstreichen wieder die "Aquivalenz der beiden Varianten bez"uglich der Quasiteilchenb"ander.
\vspace{0.5em}

Andererseits gibt es auf Seiten der experimentellen Daten einige Fragen, die nicht gekl"art sind.
\nio ist ein Isolator, so da"s eine Beeinflussung der Ergebnisse w"ahrend einer Me"sreihe durch elektrostatische Aufladungseffekte nicht auszuschlie"sen ist. 
Andererseits sind gerade im energetisch tiefer liegenden Bereich die in \cite{shen:3604} angegebenen Resonanzen innerhalb der Rohdaten sehr breit, so da"s die experimentell bestimmten Quasiteilchen-B"ander weit unterhalb der Fermi-Energie einen relativ gro"sen Fehler-Bereich haben (vgl. Abb. \ref{shen100raw}).
\vspace{0.5em}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Bilder/shen-100-raw2}
\end{center}
\caption{Rohdaten der Photo-Elektronen-Spektroskopie ($PES$) von Shen {\em et al.}\cite{shen:3604} in $(100)$-Richtung. Das mit ''E'' markierte und mit schwarz ausgef"ullten Kreisen angedeutete energetisch tief liegende Band ist keineswegs sehr deutlich zu erkennen.}
\label{shen100raw}
\end{figure}

Es ist ebenfalls nicht gekl"art, ob das h"ochstgelegene experimentelle Band, das praktisch keine Dispersion zeigt, ein Oberfl"achenzustand ist.
\vspace{0.5em}

Die Bandbreite stimmt zwischen den experimentellen und theoretischen Daten gut
"uberein. 
Die starke Banddispersion der tiefliegenden Sauerstoff-$p$-artigen
B"ander, insbesondere entlang der $(00\xi)$-Linie, in den {\em ARPES}-Daten wird vom Gutzwillerverfahren nicht
wiedergegeben. 
Sie ist allerdings von sehr schwach strukturierten Rohdaten
abgeleitet und sollte von experimenteller Seite "uberpr"uft werden.
\vspace{0.5em}

Eine weitere Fragestellung ist der orbitale Charakter der B"ander. 
Hierzu wurden die Beitr"age der verschiedenen Zust"ande an jedem $k$-Punkt ausgewertet.
Abbildung \ref{dspinup} zeigt zun"achst die Majorit"ats-Zust"ande des Nickels. Die \tg-Zust"ande liegen dabei in einem breiten Bereich unterhalb der Fermikante.
Die besetzten \eg-Zust"ande bilden einen engen Bereich weit unterhalb der Fermienergie, entsprechend der hohen Austauschaufspaltung.

In der darauf folgenden Abbildung \ref{dspindown} sind Minorit"ats-Zust"ande des Nickels dargestellt. Die \tg-Zust"ande bleiben dabei nahezu unver"andert in dem breiten Bereich unterhalb der Fermienergie und die \eg-Zust"ande bilden ein Band von Zust"anden oberhalb der Fermi-Kante. 
In den beiden darauf folgenden Abbildungen \ref{egp} und \ref{t2gp} sind die Hybridisierungen der \eg- und \tg-Orbitale mit den \p-Orbitalen der Sauerstoff-Ionen dargestellt. 

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{Bilder/Bandstruktur-sres-egt2gup}
\end{center}
\vspace{-1em}
\caption{Nickel $e_g$- ($\nabla$) und $t_{2g}$- ($\Delta$) Majorit"ats-Anteile
  ({\em{spin-up}}). 
Die verschiedenen Symbole sind bei reinem Zustand alle gleich gro"s und werden mit abnehmendem Anteil entsprechend kleiner.}
\label{dspinup}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{Bilder/Bandstruktur-sres-egt2gdown}
\end{center}
\vspace{-1em}
\caption{Nickel $e_g$- ($\nabla$) und $t_{2g}$- ($\Delta$) Minorit"ats-Anteile ({\em{spin-down}}). 
Die verschiedenen Symbole sind bei reinem Zustand alle gleich gro"s und werden mit abnehmendem Anteil entsprechend kleiner.}
\label{dspindown}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{Bilder/Bandstruktur-sres-egp}
\end{center}
\vspace{-1em}
\caption{Nickel $e_g$- ($\nabla$) und Sauerstoff-$p$- ($\Box$) Anteile. 
Die verschiedenen Symbole sind bei reinem Zustand alle gleich gro"s und werden mit abnehmendem Anteil entsprechend kleiner.}
\label{egp}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{Bilder/Bandstruktur-sres-t2gp}
\end{center}
\caption{Nickel $t_{2g}$-  ($\Delta$) und Sauerstoff-$p$- ($\Box$) Anteile. 
Die verschiedenen Symbole sind bei reinem Zustand alle gleich gro"s und werden mit abnehmendem Anteil entsprechend kleiner.}
\label{t2gp}
\end{figure}
\vspace{0.5em}

Ein weiterer Aspekt ist die durch die magnetische Ordnung vergr"o"serte Einheitszelle von einer kubisch-fl"achenzentrierten (vgl. Abb. \ref{kriststruktaf2}) zu einer trigonalen. Die Stapelung der ferromagnetischen Ebenen in $(111)$-Richtung vermindert die Symmetrie und vergr"o"sert die Einheitszelle auf 8 Formeleinheiten.

Hierbei wird beispielsweise der in kubischer Notation $X$-Punkt genannte Punkt im $k$-Raum an den verschiedenen urspr"unglich "aquivalenten Punkten ($[100]$ $\equiv$ $[010]$ $\equiv$ $[001]$ $\equiv$ $[110]$ $\equiv$ $[1\bar{1}0]$ etc.)
 unterschiedlich. 
Die Punkte $[001]$ und $[110]$ bleiben trotz magnetischer Ordnung "aquivalent.

So unterscheiden sich beispielsweise die Richtungen $(\xi\xi0)$ und $(\xi\bar{\xi}0)$ und auch die Punkte $[110]\neq[1\bar{1}0]$. 
Diese teilweise erheblichen Unterschiede sind in Abbildung \ref{bandsyms} dargestellt.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{Bilder/Bandstruktur-sres_110_000_1-10}
\end{center}
\caption{Quasiteilchenb"ander in den nicht-"aquivalenten Richtungen $(\xi\xi0)$ und $(\xi\bar{\xi}0)$.}
\label{bandsyms}
\end{figure}


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%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "Diss"
%%% End: 



