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\chapter{Einleitung} \pagenumbering{arabic}
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Materialien mit magnetischen Eigenschaften haben von je her f\"ur Verwunderung und \"Uberraschungen gesorgt.
Ihre Eigenschaften waren teilweise so unverst\"andlich, da"s man ihnen sogar
magische Eigenschaften nachsagte.
Der Glaube an das magische ist historisch durchaus in dem fehlenden
Verst\"andnis der zugrunde liegenden Prozesse zu verstehen, zumal
Materialien mit makroskopisch beobachtbaren magnetischen Eigenschaften recht
selten sind.
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Im Periodensystem der Elemente finden sich die bekanntesten magnetischen
Elemente in der Reihe der $3d$-\"Ubergangsmetalle, namentlich Eisen, Kobalt und Nickel.
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Nickel wurde schon im Altertum in dem Erz Kupfernickel f\"ur die Bronzeherstellung verwendet, wobei es zum einen nicht als Beimischung identifiziert wurde und zum anderen der Qualit\"at sogar schadete. 
Aus diesen Grund wurden Nickel und Kobalt bei Bergleuten Schimpfworte und die
\"Ahnlichkeit der Worte Kobold und Kobalt ist nicht zuf\"allig.
Ist doch ein Kobold ein kleiner Berg-/Erdgeist, der es liebt so seinen kleinen
Schabernack mit den Menschen zu spielen.
Das deutsche Adjektiv ``nickelig'' zeugt auch heute noch f\"ur die
Hinterh\"altigkeit und Boshaftigkeit, die das Nickel in den Erzen darstellte.
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R\"atsel geben die \"Ubergangsmetalle den Menschen immer noch reichlich
auf. 
Glaubt man bei den Hauptgruppen-Elementen nun weitgehend verstanden zu
haben, wie die Valenzelektronen sich in den $s$- und $p$-Orbitalen der Atome
anordnen und im Festk"orper verhalten, so sind die stark gebundenen Elektronen, die man bei den $d$- und bei den $f$-Orbitalen der \"Ubergangsmetalle, der Lanthanide und der Actinide ber\"ucksichtigen mu"s, in ihrer Zwitterstellung zwischen lokalisiert und delokalisiert noch immer ein in gro"sen Teilen unverstandenes Ph"anomen. 
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Im Atom kann man mit Hilfe des Pauli-Prinzips und der
Hund'schen Regeln die Besetzung der offenen Schalen im wesentlichen verstehen.
Wendet man seinen Blick auf einen makroskopischen Festk\"orper, bestehend aus ungef\"ahr $10^{23}$ Atomen pro $\mathrm{cm}^3$,
so betrachtet man in der Regel einen Kristall mit einer genau definierten
r"aumlich-periodischen Anordnung der Atome.
Die Beschreibung der Elektronen eines Kristalls wurde zuerst von Bloch
\cite{bloch:555} in seinen Arbeiten zur elektrischen Leitf"ahigkeit f"ur nahezu ''freie'' Elektronen bekannt.
Die Bloch'sche Methode f"uhrt auf periodische Zust"ande, die ''Blochzust"ande'', welche zu einer immensen Vereinfachung in der Beschreibung der elektronischen Struktur f"uhren. 
Sie bilden die Basis der Energieb"ander der quasifreien Kristallelektronen.
Innerhalb dieses Einteilchenbildes wird die Elektron-Elektron-Wechselwirkung als eine relativ kleine St"orung ber"ucksichtigt.
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Seit Mitte des 20. Jahrhunderts wird versucht, die Eigenschaften der
\"Ubergangsmetalle theoretisch zu beschreiben.
Hierbei haben sich zwei gegens\"atzliche Ans\"atze zur Beschreibung der
magnetischen Eigenschaften ergeben, die mit all ihren St\"arken und
Schw\"achen in der Beschreibung sehr kontroverse Diskussionen hervorgebracht haben.
Auf der einen Seite gibt es, ausgehend von den Ideen von Slater, Stoner und
Wohlfarth die Annahme, die Valenzelektronen k\"onnen sich im periodischen Gitter  als quasifreie Elektronen bewegen
\cite{slater:537,slater:931,slater:198,stoner:43,stoner:372,wohlfarth:211,wohlfarth:1980}.
Diese Sichtweise beinhaltet auch die partiell besetzten $3d$-Zust\"ande in den Elementkristallen der Eisengruppe und beschreibt die Elektron-Elektron Wechselwirkung in der $d$-Schale in einfachen N"aherungen.
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Demgegen\"uber stehen die Ideen von van-Vleck \cite{vanvleck:220}
und Gutzwiller\cite{gutzwiller:159}, die den atomar lokalisierten Charakter der
$3d$-Elektronen betonen, der in den magnetischen Isolatoren, wie beispielsweise den meisten der "Ubergangsmetalloxide und -halogenide, klar zu Tage tritt, der aber auch in den metallischen Elementkristallen vorhanden sein soll.
Im Jahr 1953 kritisierte van Vleck das von Slater und Stoner vorgeschlagene
Bandmodell zur Beschreibung des Magnetismus als unzureichend \cite{vanvleck:220}.
Slater und Stoner hatten argumentiert, da"s im wesentlichen die Hartree-Fock-N"aherung ausreicht, um die metallischen Magnete durch Bandmagnetismus zu beschreiben.
Van Vleck bem\"angelte jedoch, da"s sich in der Hartree-Fock-Theorie die Elektronen statistisch \"uber alle m"oglichen atomaren Zust"ande verteilen w\"urden. 
Dies h\"atte jedoch viel zu starke Ladungsfluktuationen bei den \"Ubergangsmetallatomen zur Folge.
Van Vleck schlug einen alternativen Ansatz vor, in dem die Elektronen
sich nicht einfach im mittleren Feld der anderen Elektronen bewegen, sondern aufgrund der starken Elektron-Elektron-Wechselwirkung korrelierte Bewegungen ausf"uhren, so da"s die Ladungsfluktuationen stark unterdr"uckt werden. 
Diese Idee ist
unter dem Namen ``Minimum Polarity Model'' bekannt. 
In seinem Modell ist der Magnetismus auch bei metallischen Magneten stark von den atomaren Eigenschaften gepr"agt. 
Die Korrelationen der einzelnen Elektronen, sprich das
Kollektiv-Verhalten, sind bei diesem Ansatz von herausragender Bedeutung und weniger die Bewegung eines einzelnen Teilchens.
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Allerdings stellte die Behandlung von korrelierten Elektronensystemen
ein derart komplexes Thema dar, da"s erst fast 40 Jahre sp\"ater Verfahren zur
Verf\"ugung standen, um dieses Vielteilchenproblem in konkreten Materialien n\"aher zu untersuchen.
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Im Jahre 1963 schlugen Gutzwiller, Hubbard und Kanamori unabh\"angig voneinander das heute als ``Hubbard-Modell'' \cite{gutzwiller:159,gutzwiller:A923,hubbard:238,hubbard:237,hubbard:401,kanamori:275} bekannte
Modell-System vor, welches beide Aspekte, sowohl die starke lokale Wechselwirkung, als auch die Bewegung der Elektronen durch den Kristall, beinhaltet. 
Gutzwiller untersuchte dieses Modell mittels variationeller Wellenfunktionen,
die sowohl schwache als auch starke Korrelationen beschreiben konnten \cite{gutzwiller:159,gutzwiller:A923,gutzwiller:A1726}.
Dabei stellte er fest, da"s der Ferromagnetismus im Einband-Hubbard-Modell
keineswegs zwingend ist.
Der Mehrbandfall konnte viele Jahrzehnte nicht behandelt werden, da alle Versuche den Gutzwiller-Formalismus zu verallgemeinern \cite{chao:1420,chao:4034,chao:1088,chao:127} bis in die 90er Jahre fehlschlugen.
Exakte L"osungen konnten damals nicht erzielt werden und st\"orungstheoretisch lie"s sich dieses Problem auch nicht sinnvoll
bearbeiten, da der interessante Bereich, starke Korrelation, eben keine
kleine St\"orung darstellt. 
Aufgrund der Probleme blieben Untersuchungen korrelierter Systeme "uber Jahrzehnte auf den Einband-Fall beschr"ankt.
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Dagegen war in den vergangenen Jahrzehnten der Einteilchen-Zugang nach Slater, Stoner und Wohlfarth so erfolgreich, da"s man ihn als die Standardtheorie des metallischen Magnetismus betrachten kann. 
Die urspr"ungliche Hartree-Fock-Theorie von Stoner und Wohlfarth entwickelte sich "uber Slater's ''gemittelten Austausch'' in die Dichte-Funktional-Theorie ({\em DFT}) und deren spinabh"angige Erweiterung, die Spin-Dichte-Funktional-Theorie ({\em SDFT}).
Mit Hilfe dieser Theorie werden seit mehreren Jahrzehnten Bandstrukturen f\"ur
magnetische Metalle bestimmt, aus denen man diverse Materialeigenschaften wie magnetische Momente, Formen von Fermi-Oberfl\"achen und viele andere Eigenschaften von Festk\"orpern mit recht hoher Genauigkeit berechnen kann.
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Jedoch brachte die {\em DFT}, in der Regel in der Variante der Lokalen-Dichte-N\"aherung ({\em{LDA}}) (vergleich hierzu Anhang \ref{App:LDA}), neben den Erfolgen auch einige Ergebnisse hervor, die im Widerspruch zu Experimenten stehen. 
Die {\em DFT} war nur bei den metallischen Magneten erfolgreich, nicht aber bei den magnetischen Isolatoren wie den antiferromagnetischen Monoxiden von Eisen, Kobalt und Nickel.
Diese sind keine Band-Isolatoren mit gro"ser Bandl"ucke, wie dies bei gerader Zahl von Valenzelektronen vorkommen mag (z.B. $MgO$), sondern sie sind Mott-Hubbard-Isolatoren \cite{mott:416,brandow:651} mit gro"ser Bandl"ucke bei {\underline{jeder}} ganzzahligen Valenzelektronenanzahl.
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Es wurde versucht, durch zahlreiche Erweiterungen, zun"achst durch die
zus\"atzliche Ber\"ucksichtigung des Gradienten der Ladungsdichte ({\em{GGA-Methode}}) \cite{perdew:8800,perdew:8822,jones:689}, die Theorie zu verbessern.
Bez"uglich magnetischer Isolatoren brachte die $GGA$ keine Verbesserung.
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Auch die sogenannte {\em LDA-GW}-N\"aherung, die f"ur
das Bandl"ucken-Problem in Halbleitern entwickelt wurde, zeigte sich in der Anwendung auf magnetische Isolatoren als wenig erfolgreich \cite{aryasetiawan:3221}.  
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\"Uber viele Jahre hinweg f\"uhrten die Ideen von van Vleck und Gutzwiller
ein Nischendasein, da die Bearbeitung des darin enthaltenen komplexen
Vielteilchenproblems sowohl analytisch wie auch numerisch f\"ur Multiband-F\"alle zu aufwendig war.
So konzentrierte sich das Interesse der Vielteilchentheorie auf Modellsysteme, wie das Hubbard-Modell mit der Einschr\"ankung auf ein einziges Band, das Kondo-Problem, das {\em Single Impurity Anderson Model} ($SIAM$) und das periodische Anderson-Modell ($PAM$). 
F"ur eine "Ubersicht seien die Arbeiten \cite{kondo:37,anderson:41,gruener:1497,keiter:227,bichers:845,hewson:1993} und deren Literaturlisten empfohlen.
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Im Rahmen des Gutzwiller-Formalismus fanden Brinkman und Rice 1970 f"ur das Einband-Hubbard-Modell bei halber Bandf"ullung einen Metall-Isolator-"Ubergang ($MIT$) \cite{brinkman:1324,brinkman:4302}. 
Ogawa {\em et.al.} reformulierten den urspr"unglichen Gutzwiller-Formalismus f"ur die Anwendung auf das Hubbard-Modell 1975 \cite{ogawa:614,ogawa:355}. Diese Umformulierung bildete die Grundlage f"ur die Arbeit von Vollhardt \cite{vollhardt:99}, welche den Gutzwiller-Formalismus erstmals auf ein bestimmtes Material, $^3He$, anwendete.
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Zu Beginn der 90er Jahre wurde die {\em Dynamical-Mean-Field-Theory} ({\em DMFT}) zur Beschreibung der Einteilchen-Dynamik f\"ur korrelierte Gitterelektronen entwickelt, wobei die N\"aherung im Grenzfall einer unendlichen
Zahl n\"achster Nachbarn exakt wird \cite{metzner:324,brandt:365,brandt:295,brandt:37}. 
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Dies setzte eine umfangreiche methodische Entwicklung in Gang, die bald auch erlaubte,  Multiband-Modelle zu betrachten.
Es wurde versucht, Multiband-Modelle aus der {\em DFT} herauszupr"aparieren.
Dies f"uhrte u.a. auch zur sogenannten {\em LDA+U} Methode (wo das herauspr"aparierte Modell wieder in Hartree-Fock-N"aherung betrachtet wird).
In der Regel wird die {\em DMFT} bei relativ hohen (Rechen-) Temperaturen eingesetzt, so da"s im wesentlichen Spektren berechnet werden, die dann mit Photo-Emissions-Spektren ({\em{PES}}) verglichen werden.
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Gegen Ende der 1980er Jahre gelang es, die Gutzwiller-Wellenfunktion im Einband-Modell in einer Dimension ($1$-$dim$) exakt zu berechnen \cite{metzner:121,gebhard:1472,metzner:7382,gebhard:6911}. 
Desweiteren stellte sich die sogenannte Gutzwiller-N\"aherung, das Ersetzen einer hypergeometrischen Reihe durch ihr gr"o"stes Glied, das dann mittels Kombinatorik berechnet wird, in unendlichen Raumdimensionen ($d \rightarrow \infty$) als exakte L\"osung heraus.
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Gebhard entwickelte eine Methode, die Gutzwillerwellenfunktion in unendlicher
Dimension zu berechnen und untersuchte das Verhalten der $1/d$-Korrekturen \cite{gebhard:9452}.
Diese Korrekturen stellten sich als relativ klein heraus, so da"s mit den
exakten L\"osungen in unendlicher Raumdimension bereits eine sehr gute
approximative L\"osung in 3 Raumdimensionen vorliegt.
Nach der analytischen Auswertung von verallgemeinerten Gutzwiller-Wellenfunktionen im Limes unendlicher Raumdimension f"ur das periodische Anderson-Modell durch Gebhard \cite{gebhard:992}, folgten weitere verallgemeinernde Schritte durch Okabe mit rein dichteartigen Mehrband-Modellen ohne Hybridisierungsterme im Einteilchen-Hamiltonian \cite{okabe:1056,okabe:2129}.
B"unemann und Weber verallgemeinerten etwa zeitgleich die Gutzwiller-N"aherung auf beliebige Mehrband-Modelle mit dichteartiger Wechselwirkung \cite{buenemann:1996,buenemann:412,buenemann:4011,buenemann:29}.
Gebhards $d\rightarrow\infty$ Verfahren wurde von B\"unemann, Gebhard und Weber auf den Multiband-Fall verallgemeinert \cite{buenemann:1998,bunemann:6896}. 
Damit ist es nun m\"oglich, L\"osungen zu berechnen, wie sie bereits von van Vleck angestrebt wurden.
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Diese L"osungen liefern Ergebnisse f\"ur die Grundzustandsenergie des Systems,
Resultate zu magnetischen Momenten, Einteilchenanregungsenergien im
Rahmen der Fermi-Fl\"ussigkeits-Theorie und Informationen \"uber die
Dispersion der Valenz- und Leitungsb\"ander sowie die Fermi-Fl\"ache. 
Diese Resultate sind auch experimentell beispielsweise mittels winkelaufgel\"oster Photoemissions-Spektroskopie ({\em ARPES}) zug\"anglich. 
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Im Rahmen der Multiband-Gutzwiller-Theorie wurde zun"achst ferromagnetisches Nickel ({\em Ni}) untersucht \cite{bunemann:2011,weber:2001,ohm:1081,bunemann:667,narlikar:2005}, im wesentlichen aus zwei Gr\"unden: 
Zum einen sind die physikalischen Eigenschaften von {\em Ni} sehr genau erforscht und zum anderen sind hier die Abweichungen der {\em SDFT}-Methode zu den experimentellen Ergebnissen am gr\"o"sten.  
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Im Rahmen dieser Arbeit wird versucht, die Multiband-Gutzwiller-Theorie auf einen magnetischen Isolator zu erweitern. 
Von Interesse ist hierbei unter anderem die Frage, wie gut die ''Mott-Hubbard-Anregungsl"ucke'' beschrieben werden kann. 
Das System der Wahl ist Nickeloxid ({\em NiO}), da sich die Behandlung der
Nickelatome in weiten Teilen \"ubernehmen l\"a"st und die Behandlung des
Sauerstoffs als Erweiterung ``nur noch'' hinzugef\"ugt werden mu"s.
Der verwendete Formalismus wird dabei von seinen bisherigen Anwendungsgebieten, den ferromagnetischen Metallen, auf das neue Gebiet der antiferromagnetischen Isolatoren mit gro"ser Anregungsl"ucke ($E_{gap}^{\mathrm{NiO}}\approx 3.5\,
\mathrm{ eV}$ \cite{auret:674}) erweitert. 
Damit w\"urde die Multiband-Gutzwiller-Theorie ein sehr weites Anwendungsfeld finden, nicht nur f"ur ferromagnetische Metalle, sondern auch f"ur magnetische Isolatoren, wobei auch die Frage, ob der Grundzustand metallisch oder nichtmetallisch ist, nicht ''input'' sondern ''output'' der Theorie ist.
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Der Aufbau dieser Arbeit gliedert sich wie folgt.
Nach diesem einf\"uhrenden Kapitel schlie"sen sich mit Kapitel \ref{theoriekapitel} eine Beschreibung der Multiband-Gutzwiller-Theorie und "Uberlegungen zur Umsetzung auf das konkrete System \nio an.
Kapitel \ref{programmkapitel} illustriert die Umsetzung des Formalismus in einen
Programmablauf.
In Kapitel \ref{numerikkapitel} werden die numerischen Ergebnisse dargestellt und erl\"autert.
Abschlie"send wird im darauf folgenden Kapitel \ref{zusamenfassungkapitel}
eine Zusammenfassung der numerischen Ergebnisse und Methoden
vorgenommen. 

   

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