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\chapter[Die Hund'schen Regeln]{Die Hund'schen Regeln} \label{App:Hund}
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Diese Regeln stellte Friedrich Hund anhand von Untersuchungen spektroskopischer Daten von Atomen mit offenen Elektronen-Schalen fest \cite{hund:202}.
Sie sind in der genannten Reihenfolge zu befolgen.

\begin{enumerate}
\item Die Einzelspins $s_i$ jedes Elektrons einer Schale kombinieren zum maximalen Gesamtspin $S=\sum\limits_i s_i$, der nach dem Pauli-Prinzip m\"oglich ist.
\item Die Projektion der Bahndrehimpulse auf eine gegebene Richtung, also die magnetischen Quantenzahlen, kombinieren zum maximalen Bahndrehimpuls $L = \sum\limits_i l_i$, der mit dem Pauli-Prinzip und dem ersten Satz vertr\"aglich ist.
\item Der Gesamtdrehimpuls ist $J = L - S$, wenn die Schale weniger als halb und $J = L + S$, wenn sie mehr als halb gef\"ullt ist.
\end{enumerate}

Auch wenn diese Regeln Ergebnisse quantenmechanischer Prozesse beschreiben, so
ist es dennoch m\"oglich sich deren Bedeutung klassisch zu veranschaulichen.
Ausgangspunkt f\"ur diese \"Uberlegungen ist die elektrostatische Absto"sung
der Elektronen.
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Die erste Regel stellt hierbei zun\"achst sicher, da"s die Elektronen innerhalb einer Schale aufgrund des Pauli-Prinzips ungleiche Werte f"ur die Quantenzahlen $m_l$, also unterschiedliche r"aumliche Bahnen, einnehmen m\"ussen da sonst alle Quantenzahlen einschlie"slich der Spinquantenzahlen $s$ identisch w"aren. 
Hinter den verschiedenen r"aumlichen Bahnen steht jedoch auch die Minimierung der elektrostatischen Energie aufgrund gr"o"seren Abstandes der Elektronen.
Betrachtet man dies aus Sicht des Ortsraumes, so beg"unstigt die Coulombkraft im Ortsraum einen m"oglichst antisymmetrischen Zustand und damit nach der Pauliregel im Spinraum einen m"oglichst symmetrischen Zustand, welcher durch m"oglichst gro"sen Gesamtspin realisiert wird.
\vspace{0.5em}

Die zweite Regel bringt zum Ausdruck, da"s es f\"ur die Elektronen energetisch
g\"unstiger ist, wenn sie sich im gleichen Umlaufsinn um den Atomkern bewegen
und sich nicht ``begegnen'', indem sie sich gegenl\"aufig um den Kern bewegen.
In der klassischen Betrachtung einer Bewegung im Zentralkraftfeld beschreibt der Drehimpuls die kleine Halbachse der Ellipsenbahn. 
Maximaler Drehimpuls f"uhrt zu kreisf"ormigeren Bahnen.
Die Elektronen versuchen nach der zweiten Regel, entsprechend dem semiklassischen Bohr'schen Atommodel, m"oglichst Kreisbahnen um den Atomkern einzunehmen und auf diese Weise ihre Gesamtenergie zu minimieren.   
Auch diese Regel ist somit eine Konsequenz der Coulomb-Wechselwirkung der Elektronen untereinander.
\vspace{0.5em}

Hinter der dritten Regel steht ein relativistischer Effekt, die Spin-Bahn-Kopplung.
Der Atomkern stellt aus der Sicht eines umlaufenden Elektrons betrachtet eine
sich bewegende elektrische Ladung dar, die ein Magnetfeld mit sich
f\"uhrt. 
Dieses Magnetfeld ist jedoch dem magnetischen Moment der Elektronenbahn entgegengesetzt. 
Daher richten sich die Spin- und Bahnmomente antiparallel zueinander aus.
Ist die Orbitalschale des Kerns nun noch nicht halb gef\"ullt, so ist daher
auch der Gesamtspin dem Gesamtdrehimpuls entgegengerichtet.
Eine halbgef\"ullte Schale hat in diesem Fall maximalen Spin (nach der ersten
Regel) und f\"ur den Bahndrehimpuls gilt $L=0$.
F\"ullt sich die Schale nun weiter, so m\"ussen nach dem Pauliprinzip die
Spins antiparallel zum Gesamtspin sein. 
Der Bahndrehimpuls $L$ dieser Elektronen ist dann jedoch parallel zum Gesamtspin $S$ und der Gesamtdrehimpuls $J$ betr\"agt $J=L+S$.
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In einer spektroskopischen Betrachtung der zun"achst entarteten Zust"ande mit gleicher Drehimpulsquantenzahl $l$, welches ein zuf"alliges Artefakt des $\frac{1}{r}$-Potentials der Coulomb-Wechselwirkung ist, sorgt die Spin-Bahn-Kopplung zu einer Aufspaltung dieser zun"achst entarteten Zust"ande. 
Hierbei entsteht die sogenannte Feinstruktur.
Die dritte Regel ist die mathematische Konsequenz der bevorzugten Besetzung der energetisch niedrigsten Feinstruktur-Zust"ande.
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In dem Verhalten in der dritten Regel kommt zum Ausdruck, da"s die Reihenfolge
der Regeln eine wichtige Rolle spielt, denn es zeigt sich, da"s beispielsweise
bei halber F\"ullung einer Schale die erste Regel oberste Priorit\"at hat und
der Gesamtspin maximal wird. 
Erst nach dieser Maximierung wird der nun noch mit der ersten Regel vertr"agliche maximale Bahndrehimpuls $L$ bestimmt.
Regel 3 ist erst nach der Bestimmung von $S$ und $L$ auswertbar.

Die erste Regel ist aber auch aus quantenmechanischer Sicht ein wesentlicher
Aspekt, denn die geforderte Maximierung des Gesamtspins f\"uhrt zu einer
m\"oglichst symmetrischen Spinwellenfunktion. 
Da die Gesamtwellenfunktion f\"ur Fermionen jedoch antisymmetrisch werden mu"s, erm\"oglicht dies eine m\"oglichst unsymmetrische Ortswellenfunktion, welche mit einem m\"oglichst gro"sen mittleren Abstand der Elektronen einhergeht. 
Damit ist der klassische Grenzfall, da"s sich Elektronen aufgrund gleicher Ladung m\"oglichst weit voneinander absto"sen, auch aus quantenmechanischer Sicht erf\"ullt.


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