\chapter{Rekonstruktion und Selektion}

\section{Verteilungen der zur Selektion genutzen Variablen
\label{app:selection.vars}}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[height=14cm]{pic.reco/cosbdssl.all.eps}
\caption[Verteilung der Variablen \COSBY\ in allen Zerfallsketten]
{Verteilung der Variablen \COSBY\ in allen Zerfallsketten.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=14cm]{pic.reco/cosbdssl.wrongsign.eps}
\caption[Verteilung der Variablen \COSBY\ f\"ur Kombinationen falscher Ladung]
{Verteilung der Variablen \COSBY\ in allen Zerfallsketten f\"ur
\DSSL-Kombinationen, die die Ladungskorrelation zwischen Lepton und
Kaon verletzen.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=14cm]{pic.reco/probdssl.all.eps}
\caption[Verteilung der Variablen $P_{Vtx}(\DSSL)$ in allen Zerfallsketten]
{Verteilung der Variablen $P_{Vtx}(\DSSL)$ in allen Zerfallsketten.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=14cm]{pic.reco/cosdssl.all.eps}
\caption[Verteilung der Variablen $\cos \angle(\DSS,\ell)$ in allen Zerfallsketten]
{Verteilung der Variablen $\cos \angle(\DSS,\ell)$ in allen Zerfallsketten.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=14cm]{pic.reco/mnu.all.eps}
\caption[Verteilung der Variablen $\tilde m_{\nu}^2$ in allen Zerfallsketten]
{Verteilung der Variablen $\tilde m_{\nu}^2$ in allen Zerfallsketten. In den Kan\"alen
\DSS\TO\DS\PI\ wird die Kandidatenselektion basierend auf $\tilde m_{\nu}^2$ nicht
angewandt, da diese Spektren erheblich weniger Untergrund beinhalten, der in Gr\"un
eingezeichnete Signalbeitrag wird also nicht verworfen. Er ist aber zum Vergleich
mit den Kan\"alen \DSS\TO\D\PI\ separat eingezeichnet.}
\end{center}
\end{figure}

\clearpage

\section[Die Reflexion im \DSZ\PIC-Spektrum]
{Die Reflexion im {\boldmath \DSZ\PIC-Spektrum}
\label{app:reflexion.dsz}}

Wird das geladene Pion eines Zerfalls \DSC\TO\DZ\PIC\ f\"alschlich als Pion eines
\DSS-Zerfalls verwendet, so bilden diese fehlrekonstruierten Ereignisse eine
sehr scharfe Resonanzstruktur im \dM-Spektrum der Zerfallskette \DSSC\TO\DSZ\PIC.
Dies l\"a\ss t sich am einfachsten im Ruhesystem des wahren \DSC\ zeigen.
In diesem Bezugssystem gilt f\"ur die Impulse der beteiligten Teilchen:
\begin{subequations}
\begin{align}
|\vec p_{\DSC}| &= 0 \\
|\vec p_\D| = |\vec p_{\pi_S}| &=
 \frac{\sqrt{(m^2_{\DSC}-(m_\D+m_\pi)^2)(m^2_{\DSC}-(m_\D-m_\pi)^2)}}{2 m_{\DSC}} 
 = 39\mev.
\end{align}
\end{subequations}
Mit den bekannten Massen der Teilchen lassen sich so auch die Energien
berechnen zu:
\begin{subequations}
\begin{align}
E_{\DSC}  &= m_{\DSC} = 2,010\gev \\
E_D       &= \sqrt{|\vec p_D|^2 + m_D^2} = 1,865\gev \\
E_{\pi_S} &= \sqrt{|\vec p_{\pi_S}|^2 + m_{\pi_S}^2} = 0,145\gev. 
\end{align}
\end{subequations}

Dazu wird nun eine Kombination aus zwei Photonen hinzugef\"ugt. Damit dieses
Photonpaar zusammen mit dem \DZ\ als \DSZ-Kandidat selektiert wird, mu\ss\ die
Bedingung der Massendifferenz $m(\DZ\PIZ)-m(\DZ)$ erf\"ullt sein. Au\ss erdem
werden bei der kinematischen Anpassung an die \PIZ-Masse Energie und Impuls der
beiden Photonen derart variiert, da\ss\ die invariante Masse der beiden Photonen
exakt der eines \PIZ\ entspricht. Es gilt also:
\begin{subequations}
\begin{align}
E^2_{\GG} - |\vec p_{\GG}|^2 = m^2_{\PIZ} &= (0,135\gev)^2 \\
(E_D+E_{\GG})^2 - (\vec p_D+\vec p_{\GG})^2 = m^2_{\DSZ} &= (2,007\gev)^2.
\end{align}
\end{subequations}
Diese beiden Gleichungen kann man zusammenfassen zu
\begin{equation}
\Delta_{m^2} = m^2_{\DSZ}-m^2_{\D}-m^2_{\PIZ} = 
 2 E_D \sqrt{m^2_{\PIZ}+|\vec p_{\GG}|^2} - 2 \vec p_D \cdot \vec p_{\GG},
\end{equation}
was nach ausquadrieren der Wurzel zu einer quadratischen Gleichung f\"ur
$|\vec p_{\GG}|$ f\"uhrt:
\begin{equation}
|\vec p_{\GG}|^2 \left( E_D^2 - |\vec p_D|^2 \cos^2 \vartheta_{D,\GG} \right)
- |\vec p_{\GG}| \cdot \Delta_{m^2} |\vec p_D| \cos \vartheta_{D,\GG}
+ E_D^2 m_{\PIZ}^2 - 1/4\cdot \Delta_{m^2}^2 = 0.
\end{equation}

Mit den drei Koeffizienten dieser Gleichung,
\begin{subequations}
\begin{align}
c_2 &= E_D^2 - |\vec p_D|^2 \cos^2 \vartheta_{D,\GG} \\
c_1 &= \Delta_{m^2} |\vec p_D| \cos \vartheta_{D,\GG} \\
c_0 &= E_D^2 m_{\PIZ}^2 - 1/4\cdot\Delta_{m^2}^2,
\end{align}
\end{subequations}
ergibt sich die L\"osung f\"ur $|\vec p_{\GG}|$ formal zu
\begin{equation}
|\vec p_{\GG}|
= \frac{c_1}{2 c_2} \pm \sqrt{\left(\frac{c_1}{2 c_2}\right)^2 - \frac{c_0}{c_2}}.
\label{eqn:pgg.solution}
\end{equation}

Die drei Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind dabei nicht exakt bestimmt,
da sie zum einen von dem unbekannten Winkel $\vartheta_{D,\GG}$ abh\"angen, zum
zweiten aber auch die Selektion von \DSZ-Kandidaten eine Abweichung von der
nominellen \DSZ-Masse von $\pm 2\mev$ toleriert, so da\ss\ auch der Wert
von $\Delta_{m^2}$ variiert. Beide Einfl\"usse sind allerdings gering, da der
Winkel $\vartheta_{D,\GG}$ nur in Verbindung mit $p_D$ in die Rechnung eingeht
und $p_D$ mit 39\mev\ extrem klein im Vergleich zu $E_D$ ist. Ebenso ist die
Variation in der \DSZ-Selektion mit 2\mev\ klein gegen den Wert von $m(\DSZ)$.
Insgesamt ergeben sich f\"ur die drei Koeffizienten die folgenden erlaubten
Wertebereiche:
\begin{subequations}
\begin{align}
  3,477\gev^2 \le &c_2 \le 3,478\gev^2 \\
-0,0211\gev^3 \le &c_1 \le +0,0211\gev^3 \\
-0,0098\gev^4 \le &c_0 \le -0,0055\gev^4.
\end{align}
\end{subequations}

Damit kann man die Variation der L\"osung n\"aher untersuchen. 
Zun\"achst kann die Unsicherheit in $c_2$ vernachl\"assigt werden.
Ferner ist $c_2$ um rund zwei Gr\"o\ss en\-ord\-nun\-gen gr\"o\ss er als $c_1$ und
$c_0$, so da\ss\ der quadratische Term unter der Wurzel in
Gleichung~\eqref{eqn:pgg.solution} ebenfalls vernachl\"assigt werden kann. 
Schlie\ss lich kommt, da das Vorzeichen von $c_0$ in allen F\"allen negativ ist,
vor der Wurzel nur das Pluszeichen in Betracht, um eine physikalisch sinnvolle,
also positive L\"osung f\"ur $|\vec p_{\GG}|$ zu erhalten.

Somit erh\"alt man f\"ur den gesuchten Impulsbetrag des selektierten \PIZ\
relative enge Grenzen zu
\begin{equation}
40\mev \le |\vec p_{\GG}| \le 53\mev.
\label{eqn:res.pgg}
\end{equation}

Trotz der Unkenntnis des Winkels zwischen den Impulsen des \PIZ-Kandidaten und des
\DZ\ und der Unsicherheit aufgrund der \DSZ-Selektion ist der Betrag des Impulses
f\"ur selektierte \PIZ-Kandidaten also mit einer Genauigkeit von einigen \mevc\
bestimmt. Entsprechend ist die Energie der \PIZ-Kandidaten beschr\"ankt auf das
Intervall:
\begin{equation}
141\mev \le E_{\GG} \le 145 \mev.
\label{eqn:res.egg}
\end{equation}

Mit diesen Einschr\"ankungen f\"ur \PIZ-Kandidaten kann man nun untersuchen, wo
solche Ereignisse im \dM-Spektrum als \DSS-Kandidaten auftreten. Dazu wird die
invariante Masse des \DSS-Kandidaten berechnet:
\begin{equation}
m(D \pi_S \PIZ) = 
\sqrt{(E_D + E_{\pi_S} + E_{\GG})^2 - (\vec p_D + \vec p_{\pi_S} + \vec p_{\GG})^2}.
\end{equation}
Da die Berechnung im \DS-Ruhesystem erfolgt, ist $\vec p_D + \vec p_{\pi_S}=0$.
$E_D$ und $E_{\pi_S}$ sind bekannt, und mit den Grenzen f\"ur die kinematischen
Eigenschaften des \PIZ-Kandidaten aus den Gleichungen~\eqref{eqn:res.pgg}
und~\eqref{eqn:res.egg} erh\"alt man f\"ur die Masse des \DSS-Kandidaten den
erlaubten Bereich
\begin{equation}
2.150\gev \le m(D \pi_S \PIZ) \le 2.154\gev.
\end{equation}
Dieser \"ubersetzt sich in der Massendifferenz zu
\begin{equation}
\dM = \left ( 287 \pm 2 \right) \mevcc.
\end{equation}

Bei einer Binbreite von 10\mevcc, wie sie in Abbildung~\ref{fig:dss.mass.cut}
gezeigt ist, treten also alle Ereignisse des Typs \DSC\TO\DZ\PIC, bei denen das
\DZ\ zusammen mit einem \PIZ-Kandidaten auch die \DSZ-Selektion erf\"ullt, im
gleichen Bin auf. Dies erkl\"art die starke Anh\"aufung im ersten Bin oberhalb
der kinematischen Schwelle im Spektrum des Kanals \DSSC\TO\DSZ\PIC\ in
Abbildung~\ref{fig:dss.mass.cut}.

%\section{\"Ubersicht \"uber alle Selektionskriterien
%\label{app:cutflow}}
%
%\begin{sidewaystable}
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l||c|c|c|c||c|c|c|}
%\hline
%\hspace*{1cm} mode & \multicolumn{4}{|c||}{\DSC\PICC} & \multicolumn{3}{|c|}{\DC\PICC} \\
%\hline
%\hspace*{1cm} cut & \DIZ & \DIIZ & \BB-bkg. & \qqbar-bkg. & \DIIZ & \BB-bkg. & \qqbar-bkg. \\
%\hline \hline
%generiert \\
%Vorselektion \\
%\hline
%Spurrekonstruktion \D \\
%Kaonidentifikation \\
%invariante \D-Masse \\
%Vertex \DC \\
%\hline
%Spurrekonstruktion \DS \\
%invariante \DS-Masse \\
%\hline
%Spurrekonstruktion \DSS \\
%Spurrekonstruktion $\ell$ \\
%$-1<\COSBY<1$ \\
%$\COSBYP<-1$ \\
%Hemisph\"are \\
%Vertex $\DSS\ell$ \\
%minimales $|\tilde m_{\nu}^2|$ \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\caption[Die Selektionsschritte der Analyse f\"ur $B^0\to\DSSP\ell\nu$]
%{}
%\end{sidewaystable}
%
%\begin{sidewaystable}
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l||c|c|c|c||c|c|c|}
%\hline
%\hspace*{1cm} mode & \multicolumn{4}{|c||}{\DSZ\PIC} & \multicolumn{3}{|c|}{\DZ\PIC} \\
%\hline
%\hspace*{1cm} cut & \DIC & \DIIC & \BB-bkg. & \qqbar-bkg. & \DIIC & \BB-bkg. & \qqbar-bkg. \\
%\hline \hline
%generiert \\
%Vorselektion \\
%\hline
%Spurrekonstruktion \D \\
%Kaonidentifikation \\
%invariante \D-Masse \\
%Veto \DSC\TO\DZ\PIC \\
%\hline
%\PIZ\ Rekonstruktion \\
%Laterales Moment \\
%invariante \DS-Masse \\
%\hline
%Spurrekonstruktion \DSS \\
%Spurrekonstruktion $\ell$ \\
%$-1<\COSBY<1$ \\
%$\COSBYP<-1$ \\
%Hemisph\"are \\
%Vertex $\DSS\ell$ \\
%minimales $|\tilde m_{\nu}^2|$ \\
%\hline
%\end{tabular}
%\caption[Die Selektionsschritte der Analyse f\"ur $B^+\to\DSSZ\ell\nu$]
%{}
%\end{center}
%\end{sidewaystable}

\clearpage

\section[Detektoraufl\"osung in \dM]
{Detektoraufl\"osung in {\boldmath \dM}
\label{app:dm.reso}}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[height=14cm]{pic.reco/dm.reso.all.eps}
\caption[Detektoraufl\"osung in \dM\ f\"ur alle Zerfallsketten]
{Detektoraufl\"osung in \dM\ f\"ur alle Zerfallskan\"ale, gewonnen aus den
jeweiligen Signalsimulationen. Die eingezeichneten Kurven entsprechen der
Anpassung einer Gau\ss-Funktion an die Verteilung.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{table}[h!]
\begin{center}
\begin{tabular}{|cc||r@{$\pm$}lr@{$\pm$}l|r@{$\pm$}lr@{$\pm$}l|}
\hline
\multicolumn{2}{|c||}{Kanal} & 
\multicolumn{2}{|c}{\DSC\PICC} & \multicolumn{2}{c|}{\DSZ\PIC} & 
\multicolumn{2}{|c}{\DC\PICC} & \multicolumn{2}{c|}{\DZ\PIC} \\
\hline \hline
$\sigma(m_{\DSS})$ & $[\mevcc]$ & 
6.62&0.06 & 6.55&0.05 & 6.87&0.05 & 6.20&0.06 \\
$\sigma(\dM)$ & $[\mevcc]$ & 
2.40&0.02 & 2.56&0.03 & 2.96&0.02 & 3.02&0.03 \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Detektoraufl\"osung in $m_{\DSS}$ und \dM\ f\"ur alle Zerfallsketten]
{Detektoraufl\"osung in $m_{\DSS}$ und \dM\ f\"ur alle Zerfallsketten. Die 
Aufl\"osungen entsprechen den Breiten $\sigma$ der an die Verteilungen angepa\ss ten
Gau\ss-Funktionen, die Unsicherheiten sind die statistischen Unsicherheiten der
Anpassung.}
\end{center}
\end{table}
