\chapter[Theoretische Beschreibung der Zerf\"alle \BDSSLN]
{Theoretische Beschreibung der Zerf\"alle {\boldmath \BDSSLN}
\label{chap:theorie}}

Ausgangspunkt der Beschreibung semileptonischer $B$-Zerf\"alle ist der \"Ubergang
$b\to c\ell\nu$ auf dem Niveau der Quarks. In diesem koppeln, wie in
Abbildung~\ref{fig:sl.current} dargestellt ist, der Quarkstrom $Q_\mu$ und der
leptonische Strom $L_\mu$ durch den $W$-Propagator aneinander, so da\ss\ sich das
Matrixelement als
\begin{equation}
\mathcal{M}=L_\mu \frac{-ig}{2\sqrt{2}} P^{\mu\nu} \frac{-ig}{2\sqrt{2}}V_{cb} Q_\nu
\end{equation}
schreiben l\"a\ss t.
Dabei bezeichnet $g$ die Kopplungskonstante der schwachen Wechselwirkung, $V_{cb}$
ist das Element der CKM-Matrix und die Fermionstr\"ome sowie der Propagator sind
gegeben durch:
\begin{subequations}
\begin{align}
L_\mu &= \bar \ell \gamma_\mu (1-\gamma_5) \nu, \\
Q_\mu &= \bar c \gamma_\mu (1-\gamma_5) b \\
\mbox{und}\hspace{1cm} P_{\mu\nu}(q) &= 
\frac{-i(g_{\mu\nu}-q_\mu q_\nu/M^2_W)}{q^2-M^2_W}.
\end{align}
\end{subequations}

\begin{figure}[b!]
\begin{center}
\includegraphics[height=2.5cm]{pic.theo/sl.current1.eps} \hspace{2cm}
\includegraphics[height=2.5cm]{pic.theo/sl.current2.eps}
\caption[Feynmandiagramm der schwachen Wechselwirkung zwischen leptonischem Strom und
Quarkstrom]
{\label{fig:sl.current}
Feynmandiagramm der schwachen Wechselwirkung zwischen leptonischem Strom und Quarkstrom
vermittels des $W$-Propagators (links) und als effektive Strom-Strom-Kopplung
(rechts).}
\end{center}
\end{figure}

Da die $B$-Masse, und damit auch der Impuls\"ubertrag $q^2$, sehr viel kleiner als
die nominelle Masse des ausgetauschten $W$-Bosons ist, kann der Proze\ss\ in guter
N\"aherung als Strom-Strom-Wechselwirkung mit effektiver Kopplungsst\"arke
$G_F/\sqrt{2}=g^2/8 M^2_W$, der Fermi-Konstante, beschrieben werden (vgl.
Abbildung~\ref{fig:sl.current}):
\begin{equation}
\label{eqn:sl-matrix}
\mathcal{M}= -i \frac{G_F}{\sqrt{2}} V_{cb} L^\mu Q_\mu.
\end{equation}

In diesem Matrixelement sind die Einfl\"usse des leichten Quarks der Mesonen nicht
beinhaltet, so da\ss\ Spin und Drehimpuls des erzeugten Mesons $X_c$ nicht beschrieben
sind. Es eignet sich jedoch f\"ur inklusive Vorhersagen, z.B. die Berechnung der
totalen semileptonischen Zerfallsbreite: 
\begin{equation}
\Gamma_{b\to c\ell\nu}=\frac{G_F^2 m_b^5}{192\pi^3}|V_{cb}|^2
(1+\delta_{\rm QED})(1+\delta_{\rm QCD}),
\end{equation}
wobei $\delta_{\rm QED}$ und $\delta_{\rm QCD}$ Korrekturen h\"oherer Ordnung der
elektroschwachen bzw. starken Wechselwirkung enthalten. Insbesondere wird die Bindung
der Quarks im Meson durch den Term $\delta_{\rm QCD}$ beschrieben~\cite{inkl.semilep}.
W\"ahrend $\delta_{\rm QED}$ theoretisch sehr gut berechenbar ist, enth\"alt
$\delta_{\rm QCD}$ sowohl eine st\"orungstheoretische Entwicklung in
$\Lambda_{\rm QCD}/m_b$ als auch nicht-perturbative Korrekturen.

Um exklusive Zerf\"alle in bestimmte Endzust\"ande $X_c$ zu beschreiben, mu\ss\ in der
Berechnung des Matrixelementes $\mathcal{M}$ der Quarkstrom durch den kompletten
hadronischen Strom ersetzt werden:
\begin{equation}
Q_\mu \rightsquigarrow  H_\mu = \left< X_c | Q_\mu | B \right>,
\end{equation}
aus dem inklusiven Proze\ss\ werden also die Teile herausprojiziert, in denen die
Quarks zu den gesuchten Mesonen gebunden sind. 

\section{Heavy Quark Symmetry und Formfaktoren
\label{sec:theo.HQS}}

Die Berechnung des hadronischen Stroms $H_\mu$ macht sich die Tatsache zunutze, da\ss\
sowohl das $b$- als auch das $c$-Quark schwer sind. Schwer bedeutet in diesem
Zusammenhang, da\ss\ erstens die Masse des Quarks gro\ss\ ist verglichen mit der
chrakteristischen Energieskala der starken Wechselwirkung, $m_Q\gg \Lambda_{\rm QCD}$.
Zweitens soll die Compton-Wellenl\"ange des schweren Quarks, $\lambda_Q$, klein sein
verglichen mit den Impulsen der Gluonen, welche die beiden Quarks im Meson binden.
F\"ur diesen Impuls\"ubertrag ist die Gr\"o\ss e des Mesons ein Ma\ss, es soll also
gelten: $\lambda_Q\sim 1/m_Q \ll 1/\Lambda_{\rm QCD}$.
Unter diesen Voraussetzungen sind die Quantenzahlen des schweren Quarks f\"ur das
leichte Quark nicht sichtbar. Das schwere Quark bildet also die punktf\"ormige
Quelle eines Farbfeldes, unabh\"angig von seinem Flavor und seiner Spinausrichtung.

Mesonen lassen sich in dieser N\"aherung durch den Spin und Bahndrehimpuls des
leichten Quarks $j_q=L+S_q$ sowie die Parit\"at $P$ charakterisieren. \D- und
\DS-Mesonen bilden ein Dublett mit den Quantenzahlen $j_q^P=1/2^-$, die schmalen
\DSS-Mesonen geh\"oren zum $j_q^P=3/2^+$-Dublett (vgl. Abbildung~\ref{fig:dss-states}).

Im Grenzfall der Heavy-Quark Symmetrie (HQS), $m_Q\to\infty$, ist somit -- aus der
Pespektive des leichten Quarks -- die einzige Auswirkung des Zerfalls $b\to c\ell\nu$
eine Impuls\"anderung des schweren Quarks und damit des Hadrons. Dieser Impuls\"ubertrag
wird durch die Gr\"o\ss e $q^2$ charakterisiert, die invariante Masse des virtuellen
$W$-Bosons bzw. des Ensembles aus geladenem Lepton und Neutrino.\footnote{F\"ur die
semileptonischen $B$-Zerf\"alle mit $\ell=e,\mu$ kann in guter N\"aherung $m_\ell=m_\nu=0$
angenommen werden.}
\"Aquivalent zu $q^2$ ist die Variable $w$, definiert als
\begin{equation}
w=\frac{m^2_B+m^2_{X_c}-q^2}{2 m_B m_{X_c}}=\frac{p_B\cdot p_{X_c}}{m_B m_{X_c}}.
\end{equation}
Sie gibt das Produkt der Vierergeschwindigkeiten des urspr\"unglichen $B$-Mesons und
des entstandenen charm Mesons $X_c$ an. Diese Gr\"o\ss e entspricht im Ruhesystem des
$B$-Mesons dem relativistischen $\gamma$-Faktor des Tochterhadrons $X_c$.
F\"ur $q^2\to 0$ wird $w$ dabei maximal und f\"ur den maximalen Werte von
$q^2=(m_B-m_{X_c})^2$ gilt $w=1$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{pic.theo/HQET.meson.eps}
\caption[Skizze eines semileptonischen $B$-Zerfalls im Bild der HQS]
{\label{fig:HQET.meson}
Schematische Darstellung eines semileptonischen $B$-Zerfalls im Bild der HQS.
Gezeigt sind das $B$-Meson vor dem Zerfall (links), ein Zerfall ohne R\"ucksto\ss\
durch das virtuelle $W$, also $w=1$, (Mitte) und bei maximalem $w$ (rechts).}
\end{center}
\end{figure}

Erf\"ahrt das schwere Quark eines Mesons durch den Zerfall eine
Geschwindigkeits\"anderung, so mu\ss\ diese \"Anderung durch Gluonaustausch auch auf
das leichte Quark \"ubertragen werden, damit beide weiter als Meson gebunden bleiben.
Abbildung~\ref{fig:HQET.meson} zeigt die Situation schematisch f\"ur den minimalen
und maximalen Wert von $w$.
Die Auswirkung eines Impuls\"ubertrages auf das schwere Quark -- und damit auch auf
das Meson als Ganzes -- l\"a\ss t sich im Rahmen der HQS durch eine Funktion
beschreiben, der Isgur-Wise-Funktion~\cite{isgur-wise-fkt}. 
Diese Funktion variiert, je nachdem, in welchem Drehimpulszustand das Meson nach dem
Zerfall vorliegt. Zerf\"alle in die \D- und \DS-Mesonen, also der \"Uberg\"ange
$1/2^-\to1/2^-$, gleichen im Grenzfall der HQS einer elastischen Streuung. Die
Isgur-Wise-Funktion entspricht dann dem \"Uberlapp der Wellenfunktionen vor und nach
der Streuung. Sie wird mit $\xi(w)$ bezeichnet.
F\"ur Zerf\"alle in orbital angeregte Mesonen gibt es entsprechende Funktionen. Die
Isgur-Wise-Funktion f\"ur das Dublett $j_q^P=1/2^+$ wird mit $\zeta(w)$ bezeichnet,
diejenige f\"ur die schmalen \DSS\ des Dubletts $j_q^P=3/2^+$ mit $\tau(w)$.

Da die Quarks der realen Mesonen endliche Masse besitzen, ist die HQS gebrochen.
Die Korrekturen zur exakten HQS werden systematisch in Reihenentwicklungen erfa\ss t.
Sie erfolgen in Potenzen der Gr\"o\ss e $\Lambda_{\rm QCD}/m_Q$ und der starken
Kopplungskonstante $\alpha_s(m_Q)$.
Diese Entwicklung wird {\em Heavy Quark Effective Theory} (HQET) genannt. Sie
erm\"oglicht es prinzipiell, die Zerfallsraten semileptonischer $B$-Zerf\"alle in
exklusive Endzust\"ande $X_c$ zu berechnen.

Die Vorgehensweise ist dabei wie folgt: Zun\"achst wird der hadronische Strom $H_\mu$ 
ganz allgemein durch die Gr\"o\ss en parametrisiert, welche die Mesonen in Anfangs-
und Endzustand beschreiben. Konkret sind dies die Vierergeschwindigkeiten der Mesonen
sowie ihre Polarisationen. Die Koeffizienten der einzelnen Beitr\"age sind
lorentzinvariante Gr\"o\ss en, welche nur vom Impuls\"ubertrag $q^2$ bzw. $w$
abh\"angen und Formfaktoren genannt werden.
Die HQET erm\"oglicht es dann, die verschiedenen Formfaktoren in Beziehung zueinander
und zu der jeweiligen Isgur-Wise-Funktion zu setzten.

\section[Qualitative Betrachtung der Zerf\"alle \BDSSLN]
{Qualitative Betrachtung der Zerf\"alle {\boldmath \BDSSLN}
\label{sec:theo.qual-dynamic}}

Bevor die relevanten Formfaktoren f\"ur die gesuchten Zerf\"alle explizit bestimmt
werden, lassen sich aus dem Grenzfall der HQS Schlu\ss folgerungen auf die Dynamik
der Zerf\"alle \BDSSLN\ ziehen.

Im Limit unendlich gro\ss er Massen ist das leichte Quark blind f\"ur Flavor und
Spin des schweren Quarks. Trotzdem mu\ss\ sich, um ein \DSS-Meson zu erzeugen, der
Bahndrehimpuls des leichten Quarks um $\Delta L=1$ \"andern. Dies kann nur als
Reaktion darauf geschehen, da\ss\ das schwere Quark durch den Zerfall seine
Geschwindigkeit \"andert. Die Erzeugung von \DSS-Mesonen ist also bei minimalem
R\"ucksto\ss\ $w=1$ nur durch die Brechung der HQS m\"oglich und daher entsprechend
unterdr\"uckt.

Zerf\"alle \BDSSLN\ erfolgen also bevorzugt in der Konfiguration, die im rechten Teil
von Abbildung~\ref{fig:HQET.meson} gezeigt ist. Die beiden Leptonen werden demnach
kollinear emittiert, w\"ahrend das entstandene \DSS-Meson einen Impuls in die
entgegengesetze Richtung erh\"alt. 

Diese Konfiguration hat weiterhin Auswirkungen auf die m\"oglichen Spin-Aus\-rich\-tung\-en
des \DSS-Mesons. Die beiden Leptonen bilden, wenn sie kollinear emittiert werden,
zusammen einen Zustand mit einer Spinkomponente $S_z=0$ in Richtung der Zerfallsachse.
Da das urspr\"ungliche $B$-Meson ein Pseudoskalar mit $J=0$ ist, mu\ss\ dann auch 
die Helizit\"at des \DSS-Mesons $\lambda=0$ sein.

Eine direkte Folge der in N\"aherung erf\"ullten HQS ist also, da\ss\ in den
Zerf\"allen \BDSSLN\ die \DSS-Mesonen, unabh\"angig von ihrem Gesamtdrehimpuls,
bevorzugt bei kleinen Werten von $q^2$ und mit Helizit\"at $\lambda=0$ erzeugt werden.
Anders ausgedr\"uckt sind Abweichungen von diesen Vorhersagen der Brechung der HQS
geschuldet und erlauben somit einen Einblick in die QCD-Struktur der gebundenen
Mesonen.

\section[Modelle f\"ur die Zerf\"alle \BDSSLN]
{Modelle f\"ur die Zerf\"alle {\boldmath \BDSSLN}
\label{sec:theo.b2dssl}}

Der hadronische Strom $H_\mu$ kann f\"ur die beiden schmalen \DSS-Mesonen im Endzustand
folgenderma\ss en parametrisiert werden~\cite{FF.definition}:
\begin{subequations}
\begin{multline}
\left< \DI(v^\prime,\epsilon)\right| Q^\mu \left| B(v) \right> =
\sqrt{m_{\DI} m_B} \times \\
\left[ f_{V_1} \epsilon^{*\mu} + 
\left( f_{V_2} v^\mu + f_{V_3}v^{\prime\mu} \right) (\epsilon^*\cdot v)
 -i f_A \varepsilon^{\mu\alpha\beta\gamma} \epsilon^*_\alpha v_\beta v^\prime_\gamma 
\right] ,
\end{multline}
\begin{multline}
\left< \DII(v^\prime,\epsilon)\right| Q^\mu \left| B(v) \right> =
\sqrt{m_{\DII} m_B} \times \\
\left[ i k_V \varepsilon^{\mu\alpha\beta\gamma}
\epsilon^*_{\alpha\sigma}v^\sigma v_\beta v^\prime_\gamma
- k_{A_1}\epsilon^{*\mu\alpha}v_\alpha 
- \left( k_{A_2}v^\mu + k_{A_3} v^{\prime\mu}\right) 
  \epsilon^*_{\alpha\beta} v^\alpha v^\beta \right].
\end{multline}
\end{subequations}
Dabei geben $v$ und $v^\prime$ die Geschwindigkeiten des Mesons vor und nach dem
Zerfall an, und $\epsilon^*$ ist der Polarisationsvektor bzw. -Tensor des \DI\ bzw. 
des \DII. Die $f_i$ und $k_i$ sind die dimensionslosen Formfaktoren und h\"angen
nur von $w$ ab.

Unter Verwendung dieser Parametrisierungen im Matrixelement aus
Gleichung~\eqref{eqn:sl-matrix} ergeben sich die differentiellen Zerfallsbreiten zu
\begin{subequations}
\begin{multline}
\frac{{\rm d}\Gamma(B\to\DI\ell\nu)}{{\rm d}w} = 
\frac{G_F^2|V_{cb}|^2m_B^5r_1^3}{48\pi^3}(w^2-1)^{\frac{1}{2}}\times \\
\left\{2\left(1-2w r_1+r_1^2\right)\left[f^2_{V_1}+(w^2-1)f^2_A\right]
+\left[(w-r_1)f_{V_1} + (w^2-1)(f_{V_3}+r_1 f_{V_2}) \right]^2 \right\}
\end{multline}
und
\begin{multline}
\frac{{\rm d}\Gamma(B\to\DII\ell\nu)}{{\rm d}w} = 
\frac{G_F^2|V_{cb}|^2m_B^5r_2^3}{144\pi^3}(w^2-1)^{\frac{3}{2}}\times \\
\left\{3\left(1-2w r_2+r_2^2\right)\left[k^2_{A_1}+(w^2-1)k^2_V\right]
+2\left[(w-r_2)k_{A_1} + (w^2-1)(k_{A_3}+r_2 k_{A_2}) \right]^2 \right\}
\end{multline}
\end{subequations}
mit den Massenverh\"altnissen $r_1=m_{\DI}/m_B$ und $r_2=m_{\DII}/m_B$.

Im Rahmen der HQET lassen sich die verschiedenen $f_i$ und $k_i$ zueinander in 
Beziehung setzten, so da\ss\ die differentiellen Zerfallsbreiten jeweils durch nur
einen Formfaktor $\mathcal{F}_{\DSS}(w)$ ausgedr\"uckt werden
k\"onnen~\cite{HQET-FF.DSS}:
\begin{subequations}
\label{eqn:HQET.dGamma/dw}
\begin{multline}
\frac{{\rm d}\Gamma(B\to\DI\ell\nu)}{{\rm d}w} = 
\frac{G_F^2 |V_{cb}|^2 m_B^5 r_1^3}{48\pi^3} (w^2-1)^{\frac{3}{2}}
\mathcal{F}_{\DI}^2\times \\
\frac{2}{3}(w+1)\left[ (w-1)(1+r_1)^2 + w(1-2w r_1+r_1^2) \right]
\end{multline}
und
\begin{multline}
\frac{{\rm d}\Gamma(B\to\DII\ell\nu)}{{\rm d}w} = 
\frac{G_F^2 |V_{cb}|^2 m_B^5 r_2^3}{48\pi^3} (w^2-1)^{\frac{3}{2}}
\mathcal{F}_{\DII}^2\times \\
\frac{2}{3}(w+1)\left[ (w+1)(1-r_2)^2 + 3w(1-2w r_2+r_2^2) \right].
\end{multline}
\end{subequations}
Die beiden Formfaktoren $\mathcal{F}_{\DI}(w)$ und $\mathcal{F}_{\DII}(w)$ wiederum
stehen \"uber die Isgur-Wise-Funktion $\tau(w)$ in Beziehung zueinander.

Damit sind alle QCD-Effekte der Bindung der beiden Quarks im Meson beschrieben durch
nur eine einzige Funktion, die noch bestimmt werden mu\ss.
Im Grenzfall der HQS bleibt beim \"Ubergang $1/2^-\to1/2^-$ die Struktur des Hadrons
identisch, wenn keine Geschwindigkeits\"anderung auf das Hadron \"ubertragen wird,
also $w=1$ gilt. Dies definiert die entsprechende Isgur-Wise-Funktion im Punkt
minimalen R\"ucksto\ss es zu $\xi(1)=1$, und die gesamte Funktion $\xi$ kann
als Reihenentwicklung um diesen Punkt beschrieben werden~\cite{HQET-FF.xi(1)}.
F\"ur die angeregten \DSS-Mesonen ist eine solche Normierung der Isgur-Wise-Funktion
an einem Punkt nicht m\"oglich. Die f\"ur die Partialbreite in
Gleichung~\eqref{eqn:HQET.dGamma/dw} entscheidende Funktion $\tau(w)$ mu\ss\ also
anhand von Modellbeschreibungen des Mesons im gesamten erlaubten Bereich von $w$
bestimmt werden. Zwei solche Modelle, die in der vorliegenden Analyse verwendet werden,
werden im Folgenden genauer vorgestellt.

\subsection{Das ISGW2-Modell}

Das ISGW2-Modell~\cite{ISGW2}, benannt nach seinen Autoren Isgur, Scora, Grinstein
und Wise, ist eine Erweiterung des urspr\"unglichen ISGW-Modells und
beschreibt die Mesonen durch ein nicht-relativistisches Konstituenten-Quark-Modell.
Darin ist die Bindung der Quarks im Meson durch ein Farbpotential der Form
\begin{equation}
V(r) = - \frac{4 \alpha_s}{3 r} + b r + c
\end{equation}
gegeben. Der Coulomb-Term beschreibt die starke Wechselwirkung f\"ur kleine Ab\-st\"an\-de
mit einer laufenden Kopplungskonstante $\alpha_s=0.5\to0.3$ und der lineare Anstieg
mit den Paramtern $b=0.18\gev^2$ und $c=-0.84\gev$ bewirkt das Confinement der Quarks.
Als L\"osungen der Schr\"odinger-Gleichung dieses Potentials dienen Variationen der
Wellenfunktionen eines harmonischen Oszillators:
\begin{subequations}
\begin{align}
\psi^{1S} &= \frac{\beta_S^{3/2}}{\pi^{3/4}}e^{-\beta_S^2 r^2/2} \\
\mbox{und}\hspace{1cm}
\psi^{1P}_{11} &= -\frac{\beta_P^{5/2}}{\pi^{3/4}}r_+e^{-\beta_P^2 r^2/2},
\end{align}
\end{subequations}
welche den Mesonen mit $L=0$ bzw. $L=1$ entsprechen. Die $\beta$-Parameter werden
dabei angepa\ss t, um die jeweiligen Mesonen zu beschreiben. F\"ur das $B$-Meson gilt
$\beta_S=0.43$ und f\"ur die \DSS-Mesonen $\beta_P=0.33$.  

Das ISGW2-Modell beinhaltet die korrekten Beziehungen der Formfaktoren zueinander
im HQS-Limit und Korrekturen der Ordnung $\Lambda_{\rm QCD}/m_Q$. Au\ss erdem
wird in erster Ordnung die Brechung der HQS durch kinematische Effekte der
verschiedenen Flavor-Zust\"ande ber\"ucksichtigt, sowie die chromomagnetische
Wechselwirkung des schweren Quarks mit dem Farbfeld, welche sowohl die Flavor- als
auch die Spin-Symmetrie des HQS-Limits verletzt.

In diesem Modell werden alle Formfaktoren f\"ur die Zerf\"alle \BDSSLN\
zu\-r\"uck\-ge\-f\"uhrt auf die Funktion
\begin{equation}
\label{eqn:ISGW2-FF}
F_5(q^2) \propto 
\left[ 1+ \frac{r_{BX_c}^2}{12}\left( q_{\max}^2-q^2 \right)\right]^{-2}.
\end{equation}
Die genaue Form des Proportionalit\"atsfaktors, der als eine Funktion der Massen der
beteiligten Quarks und Hadronen gegeben ist, die explizite Abh\"angigkeit der einzelnen
Formfaktoren von $F_5$ und die Definition des Parameters $r_{BX_c}$ sind detailliert
im Anhang~\ref{app:ISGW2-FF} beschrieben.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||cc|r@{$\pm$}l|}
\hline
$X_c$ & \multicolumn{2}{|c|}{ISGW2} & \multicolumn{2}{|c|}{Messung} \\
& $\Gamma_{X_c}\,[10^{13}|V_{cb}|^2/{\rm s}]$ 
& $\Gamma_{X_c}/\Gamma_{b\to c\ell\nu}\,[\%]$ 
& \multicolumn{2}{|c|}{$\Gamma_{X_c}/\Gamma_{b\to c\ell\nu}\,[\%]$} \\
\hline \hline
\D           & 1.19 & 29.3 & \hspace{5mm} 20.1&1.9 \\
\DS          & 2.48 & 61.1 &              55.8&3.3 \\
\DI          & 0.18 & 4.43 &               5.3&1.5 \\
\DII         & 0.09 & 2.22 & \multicolumn{2}{|c|}{} \\
$D_0^*$      & 0.03 & 0.74 & \multicolumn{2}{|c|}{} \\
$D_1^*$      & 0.03 & 0.74 & \multicolumn{2}{|c|}{} \\
\hline
$\Sigma X_c$ & 4.06 & 100  & \multicolumn{2}{|c|}{} \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Vorhersagen des ISGW2-Modells f\"ur die Partialbreiten
$\Gamma(B\to X_c\ell\nu)$]
{\label{tab:ISGW2}
Vorhersagen des ISGW2-Modells~\cite{ISGW2} f\"ur die Partialbreiten der Zerf\"alle
$B\to X_c\ell\nu$ und Vergleich mit bisherigen Messungen nach~\cite{pdg}.}
\end{center}
\end{table}

Mit Hilfe von $F_5(q^2)$ macht das ISGW2-Modell Vorhersagen f\"ur die differentiellen
Zerfallsraten ${\rm d}\Gamma_{X_c}/{\rm d}w$ der charm Mesonen, sowie der relativen
Beitr\"age von \D-, \DS- und \DSS-Mesonen zur totalen semileptonischen Breite.
Diese Resultate sind in Tabelle~\ref{tab:ISGW2} zusammengefa\ss t. Im ISGW2-Modell ist
die totale semileptonische Zerfallsbreite $\Gamma(b\to c\ell\nu)$ zu rund 90\%
durch die $j_q^P=1/2^-$ Zust\"ande \D\ und \DS\ gegeben, und der verbleibende Teil
wird dominiert von den schmalen \DSS-Resonanzen des Dubletts $j_q^P=3/2^+$. 
Der Vergleich mit den bisherigen Messungen exklusiver semileptonischer Zerf\"alle
zeigt, da\ss\ dabei erstens der Anteil der \D- und \DS-Mesonen \"ubersch\"atzt wird 
und zweitens die Beitr\"age der breiten \DSS-Mesonen sowie von nicht-resonanten
Dreik\"orperzerf\"allen $B\to D^{(*)}\pi\ell\nu$ offensichtlich untersch\"atzt werden.
Insbesondere das Verh\"altnis von schmalen und breiten \DSS-Zust\"anden wird im
Folgenden, in Abschnitt~\ref{sec:theo.sumrules}, noch diskutiert.

Die beim \babar-Experiment verwendete Monte-Carlo-Simulation der semileptonischen
Zerf\"alle \BDSSLN\ beruht auf der Vorhersage des ISGW2-Modells f\"ur die
differentielle Zerfallsbreite. Allerdings sind die einzelnen Verzweigungsverh\"altnisse
an die neuesten experimentellen Resultate~\cite{pdg} angepa\ss t.

\subsection{Das LLSW-Modell}

Eine Alternative zum ISGW2-Modell bildet das LLSW-Modell~\cite{LLSW} von Leibovich,
Ligeti, Stewart und Wise, welches sich explizit mit der Beschreibung semileptonischer
$B$-Zerf\"alle in drehimpulsangeregte charm Mesonen besch\"aftigt.

Ausgangspunkt der \"Uberlegungen zum LLSW-Modell ist die Tatsache, da\ss\
einerseits die Produktion von \DSS-Mesonen in semileptonischen $B$-Zerf\"allen f\"ur
$w=1$ aufgrund der HQS unterdr\"uckt ist (vgl. Abschnitt~\ref{sec:theo.qual-dynamic}),
andererseits wird der Phasenraum f\"ur den Zerfall \BDSSLN\ bei minimalem R\"ucksto\ss\
maximal. Korrekturen zur HQS der Gr\"o\ss enordnung
$\mathcal{O}(\Lambda_{\rm QCD}/m_Q)$ k\"onnen also aufgrund des Phasenraums
signifikante \"Anderungen der gesamten Zerfallsbreite bewirken. Daher ist der
Ansatz des LLSW-Modells, die $\Lambda_{\rm QCD}/m_Q$-Korrekturen zur HQS direkt in
die Lagrange-Funktion der QCD zu integrieren.

Ist $h_v^{(Q)}$ das Feld des schweren Quarks im Grenzfall $m_Q=\infty$, so ist das
Feld des Quarks mit realistischer endlicher Masse gegeben durch die Entwicklung
\begin{equation}
Q(x)=e^{-im_Q v\cdot x}\left[ 1+\frac{i\diracslash{D}}{2m_Q}+
\mathcal{O}\left(\frac{\Lambda_{\rm QCD}}{m_Q}\right)^2 \right] h_v^{(Q)}.
\end{equation}
Mit diesem Quarkfeld kann die Lagrange-Funktion der QCD,
$\mathcal{L}=\bar{Q}(i\diracslash{D}-m_Q)Q$, ausgedr\"uckt werden als
\begin{equation}
\mathcal{L} = \mathcal{L}_{\rm HQS} + \delta\mathcal{L} + ...\,.
\end{equation}
Der zus\"atzliche Term $\delta\mathcal{L}$ enth\"alt dabei \"Anderungen aufgrund der
kinetischen Energie des schweren Quarks sowie seiner Wechselwirkung mit dem
Farbfeld.

Wie in Abschnitt~\ref{sec:theo.qual-dynamic} diskutiert wurde, werden die \DSS-Mesonen
bei maximalem $w$ ausschlie\ss lich in der Helizit\"atskomponente $\lambda=0$
erzeugt. F\"ur $w=1$ jedoch, wenn das \DSS-Meson im Ruhesystem des zerfallenden
$B$ keinen Impuls erh\"alt, erfolgt die Produktion unpolarisiert, es m\"ussen also
die drei Helizit\"atskomponenten $\lambda=-1,0,+1$ gleicherma\ss en erzeugt
werden.\footnote{Auch im Falle des \DII\ sind, aufgrund der $V-A$-Struktur der
schwachen Wechselwirkung, nur diese drei Helizit\"atskomponenten m\"oglich.}
Die Korrekturen $\delta\mathcal{L}$, welche die Produktion von \DSS-Mesonen
bei $w=1$ erst erm\"oglichen, m\"ussen also f\"ur die verschiedenen
Helizit\"atsamplituden unterschiedlich sein. Daher separiert das LLSW-Modell die
differentielle Zerfallsrate aus Gleichung~\eqref{eqn:HQET.dGamma/dw} in die Beitr\"age
der einzelnen Helizit\"atskomponenten und entwickelt diese in Potenzen von $w-1$:
\begin{subequations}
\begin{multline}
\frac{{\rm d}^2\Gamma_{\DI}}{{\rm d}w\,{\rm d}\cos\theta} =
\Gamma_0 \tau^2(1)r_1^3\sqrt{w-1}\times \sum\limits_n(w-1)^n \\
\left\{\sin^2\theta s_1^{(n)} + (1-2r_1w+r_1^2) \left[
(1+\cos^2\theta) t_1^{(n)} - 4\cos\theta\sqrt{w^2-1}u_1^{(n)}\right]\right\}
\end{multline}
und
\begin{multline}
\frac{{\rm d}^2\Gamma_{\DII}}{{\rm d}w\,{\rm d}\cos\theta} =
\frac{3}{2}\Gamma_0 \tau^2(1)r_2^3(w-1)^{\frac{3}{2}} \times \sum\limits_n(w-1)^n \\
\left\{\frac{4}{3}\sin^2\theta s_2^{(n)} + (1-2r_2w+r_2^2) \left[
(1+\cos^2\theta) t_2^{(n)} - 4\cos\theta\sqrt{w^2-1}u_2^{(n)}\right]\right\}
\end{multline}
\end{subequations}
mit den Formfaktoren $s_L^{(n)}$, $t_L^{(n)}$ und $u_L^{(n)}$ f\"ur die einzelnen
Helizit\"atsamplituden.

Alle Formfaktoren wiederum sind Reihenentwicklungen in $\Lambda_{\rm QCD}/m_Q$, die
allerdings mit der Isgur-Wise-Funktion $\tau(w)$ verkn\"upft sind. Um diese 
zweifache Entwicklung systematisch zu einer gegebenen Ordnung ausf\"uhren zu
k\"onnen, nehmen die Autoren zwei Szenarien an:
$\mathcal{O}(w-1)\approx\mathcal{O}(\Lambda_{\rm QCD}/m_Q)$ und
$\mathcal{O}(w-1)\ll\mathcal{O}(\Lambda_{\rm QCD}/m_Q)$. In beiden F\"allen sind die
Vorhersagen miteinander konsistent.

Im Gegensatz zum ISGW2-Modell macht das LLSW-Modell keine Aussage \"uber die
absoluten Verzweigungsverh\"altnisse, sondern bestimmt diese relativ zur Normierung
$\tau(1)$ und Form $\tau^{\prime}(1)$ der Isgur-Wise-Funktion. Allerdings ergeben sich
so aus dem LLSW-Modell Vorhersagen f\"ur die Verh\"altnisse der Beitr\"age einzelner
\DSS-Mesonen in semileptonischen $B$-Zerf\"allen, insbesondere:
\begin{align}
\mathcal{R}=\frac{\Gamma_{\DII}}{\Gamma_{\DI}} &\simeq 0.6 \\
\mbox{und}\hspace{1cm}
\frac{\Gamma_{\DI}+\Gamma_{\DII}+\Gamma_{D_0^*}+\Gamma_{D_1^*}}{\Gamma_{\DI}} 
&\simeq 2.6.
\end{align}

In der Aussage, da\ss\ in semileptonischen $B$-Zerf\"allen \DI- und \DII-Mesonen etwa
im Verh\"altnis 2:1 produziert werden, stimmen die Modelle LLSW und ISGW2 miteinander
\"uberein. Ein deutlicher Widerspruch zwischen den beiden Modellen tritt jedoch im
Bereich der breiten Resonanzen des Dubletts $j_q^P=1/2^+$ zutage. Im LLSW-Modell
werden schmale und breite \DSS-Mesonen nahezu in gleicher Zahl erzeugt, w\"ahrend das
ISGW2-Modell eine Dominanz der schmalen Zust\"ande vorhersagt.

Au\ss erdem bestimmt das LLSW-Modell die relativen Beitr\"age der
Heli\-zi\-t\"ats\-kom\-po\-nente $\lambda=0$ zu den Zerf\"allen. F\"ur die schmalen
\DSS-Mesonen sind die Resultate
\begin{subequations}
\label{eqn:LLSW.DSS-heli}
\begin{align}
\Gamma^{(\lambda=0)}_{\DI}\Big/\Gamma_{\DI}   &\simeq 0.8 \\
\mbox{und}\hspace{1cm}
\Gamma^{(\lambda=0)}_{\DII}\Big/\Gamma_{\DII} &\simeq 0.6.
\end{align}
\end{subequations}
Das LLSW-Modell sagt also einerseits eine deutliche Polarisation der \DSS-Mesonen
voraus, andererseits aber auch einen signifikanten Beitrag der im HQS-Limit
unterdr\"uckten Helizit\"atskomponenten $\lambda=\pm 1$.

Bei der Erstellung von Simulationen f\"ur das \babar-Experiment dient das LLSW-Modell
als Vergleichsmodell zum ISGW2-Modell.

\subsection{Weitere Modelle}

Neben dem ISGW2- und dem LLSW-Modell gibt es noch viele weitere theoretische
Beschreibungen der semileptonischen Zerf\"alle \BDSSLN.

Das Modell von Suzuki, Ito, Sawada und Matsude~\cite{SISM} \"ahnelt dem
urspr\"unglichen Ansatz des ISGW-Modells, verwendet aber einen anderen Ansatz f\"ur
die Isgur-Wise-Funktion $\tau(w)$. Es beinhaltet allerdings keine Korrekturen
h\"oherer Ordnung in $\Lambda_{\rm QCD}/m_Q$ zur Brechung der HQS.
Gleiches gilt f\"ur das Modell von Veseli und Olsson~\cite{HQET-FF.DSS}, welches
drei verschiedene Beschreibungen der Bindung der leichten Quarks im Meson diskutiert
und konsistente  Ergebnisse f\"ur die Zerf\"alle der Mesonen erh\"alt.

Im Gegensatz zu den vorangenannten Modellen, die nicht-relativistische Quark-Modelle
verwenden, benutzen Sutherland, Holdom, Jaimungal und Lewis einen relativistischen
Ansatz~\cite{SHJL} zur Beschreibung der Quarks. Ihr Modell verwendet keine Entwicklung
in $\Lambda_{\rm QCD}/m_Q$, trotzdem erf\"ullt es die Randbedingungen der HQS im
Grenzfall $m_Q\to\infty$. Resultate werden sowohl in diesem Limit, als auch f\"ur
endliche Quarkmassen angegeben. Eine Besonderheit dieses Modells ist, da\ss\ es
einen signifikanten Beitrag von nicht-resonanten Zerf\"allen $B\to D^{(*)}\pi\ell\nu$
vorhersagt.

Besonders geeignet zur Beschreibung dieser nicht-resonanten Zerf\"alle ist das
Modell von Goity und Roberts~\cite{Goity-Roberts}. Es untersucht die Emission von
Pionen im Rahmen der HQET, wobei der eigentliche schwache Zerfall und die Produktion
des Pions als zwei eigenst\"andige Prozesse betrachtet werden, mit einem
Zwischenzustand $\tilde B$ oder $\tilde D$. Das $\tilde D$ kann dabei prinzipiell
durchaus ein orbital angeregtes \DSS\ sein. Allerdings zeigt sich, da\ss\ gerade die
schmalen \DI\ und \DII\ in diesem Modell nicht enthalten sind, da die zugrunde
liegende Lagrange-Funktion in Ordnungen $\mathcal{O}(p_\pi)$ entwickelt wird, und die
Rechnungen nur die f\"uhrende Ordnung ber\"ucksichtigen. Das $j_q=3/2$-Dublett jedoch
tritt erst in h\"oheren Ordnungen des Pion-Impulses auf.
Einen \"ahnlichen Ansatz verfolgen Lee, Lu, Wise, Cheng {\em et al.} in~\cite{CLLW}.

Einen anderen Weg beschreiten Colangelo, Nardulli und Paver~\cite{CNP}, welche die
Elemente der gesuchten \"Ubergangsmatrix aus QCD-Summenregeln~\cite{QCD-sumrules}
bestimmen. Auch sie benutzen den Grenzfall $m_Q\to\infty$ zur Berechnung ihrer
Ergebnisse, weisen aber darauf hin, da\ss\ Korrekturen der Ordnung
$\Lambda_{\rm QCD}/m_Q$ durchaus einen wichtigen Beitrag liefern k\"onnen. 

\section{Summenregeln
\label{sec:theo.sumrules}}

In den Rechnungen der HQET sind sowohl die Partialbreiten f\"ur exklusive Zerf\"alle
$B\to X_c\ell\nu$ als auch die inklusive Rate $\Gamma(b\to c\ell\nu)$ Entwicklungen
in den Quarkmassen und den QCD-Parametern. In diesem Kontext wird die Aussage, da\ss\
die Summe der exklusiven Zerf\"alle der inklusiven Rate entsprechen soll, zu einer
expliziten Bedingung, welche die beteiligten Formfaktoren erf\"ullen m\"ussen.
Die \"Ubereinstimmung der Rechnungen auf Quark-Niveau und f\"ur Hadronen wird
Quark-Hadron-Dualit\"at genannt.

Gruppiert man die einzelnen Terme in der Summe der exklusiven Zerf\"alle neu nach
Ordnungen der Entwicklungsparameter, so m\"ussen diese den jeweiligen Koeffizienten
der inklusiven Rechnung entsprechen.
F\"ur die Terme der Ordnung $\mathcal{O}(1)$, also im Grenzfall der HQS, ist f\"ur
$w=1$ nur der \"Ubergang in \D- und \DS-Mesonen des $j_q^P=1/2^-$-Dublettes erlaubt,
das hei\ss t nur die Isgur-Wise-Funktion $\xi$ spielt eine Rolle, was letztlich zu
der Normierung $\xi(1)=1$ f\"uhrt.

In erster Ordnung treten dann die orbital angeregten \DSS-Mesonen auf und mit
ihnen die entsprechenden Formfaktoren $\zeta$ und $\tau$. F\"ur $\xi$ wird in
dieser Ordnung auch die erste Ableitung ${\rm d}\xi/{\rm d}w|_{w=1}\equiv \rho^2$
relevant. Daraus ergibt sich die Bjorken-Summenregel~\cite{Bjorken-sumrule}
\begin{equation}
\rho^2-\frac{1}{4}=\sum\limits_n \left[ |\zeta^{(n)}(1)|^2 + 2 |\tau^{(n)}(1)|^2 \right],
\end{equation}
wobei die Summe \"uber alle radialen Anregungen $n$ l\"auft.

Mit \"ahnlichen Ans\"atzen findet Uraltsev~\cite{HQET-sumrules.Uraltsev}
\begin{equation}
\sum\limits_n \left[ |\tau^{(n)}(1)|^2 - |\zeta^{(n)}(1)|^2 \right] = \frac{1}{4},
\end{equation}
und Neubert~\cite{HQET-sumrules.Neubert} leitet
\begin{equation}
\sum\limits_n \Delta_{3/2}^{(n)}|\tau^{(n)}(1)|^2 =
4 \sum\limits_n \Delta_{1/2}^{(n)}|\zeta^{(n)}(1)|^2
\end{equation}
ab, wobei $\Delta_{j_q}^{(n)}$ die jeweilige Massendifferenz zum Grundzustand \D\ angibt.
Alle diese Summenregeln f\"uhren, unter Annahmen f\"ur die Beitr\"age aus radialen
Anregungen, zu der Vorhersage $|\tau^{(0)}(1)|^2>|\zeta^{(0)}(1)|^2$, und dies wird
auch durch Resultate aus Gitterrechnungen best\"atigt~\cite{lattice.tau(1)}.
Die genannten Summenregeln sind zwar zun\"achst nur an der Stelle $w=1$ g\"ultig, sie
k\"onnen aber \"uber den gesamten erlaubten Bereich von $w$ erweitert
werden~\cite{HQET-sumrules.JYOR}.

Insgesamt sagen die Summenregeln also einem wesentlich st\"arkeren Beitrag der
schmalen \DSS-Mesonen, verglichen mit dem der breiten \DSS, zur semileptonischen Breite
der $B$-Mesonen voraus.

\section{Theoretische Implikationen der Messung}

In den vorangegangenen Abschnitten wurden theoretische Modelle diskutiert, mit Hilfe
derer semileptonische $B$-Zerf\"alle beschrieben werden. Diese Modelle sind einerseits 
notwendig f\"ur die vorliegende Analyse, um z.B. Signalsimulationen zur Bestimmung der
Rekonstruktionseffizienzen zu erstellen. Andererseits stellt sich die Frage, inwieweit
die Analyse der \babar-Daten Auswirkungen auf die Modellbildung hat, und wie
insbesondere die in der vorliegenden Analyse gesuchten Gr\"o\ss en helfen k\"onnen,
die theoretischen Modelle zu pr\"azisieren.

Die ultimative Messung w\"are die Bestimmung der differentiellen Zerfallsbreite
in Abh\"angigkeit von $q^2$ und allen Zerfallswinkeln, welche die komplette Information
\"uber die Dynamik der Zerf\"alle \BDSSLN\ enth\"alt. F\"ur eine solche Analyse
m\"u\ss ten \DSS-Mesonen in gro\ss er Zahl und nahezu untergrundfrei rekonstruiert
und zus\"atzlich die einzelnen Beitr\"age der verschiedenen \DSS\ sauber
getrennt werden. Dies ist derzeit mit den vorhandenen Datens\"atzen nicht m\"oglich.
Ziel dieser Arbeit ist es, die integrierten Zerfallsbreiten f\"ur die schmalen
\DSS-Mesonen zu bestimmen, doch auch schon diese Gr\"o\ss en lassen klare R\"uckschl\"usse
auf die zugrunde liegenden Prozesse und deren theoretische Beschreibung zu.

\subsubsection{\boldmath $\Gamma_{\DI}+\Gamma_{\DII}$}

Aus der Summe der Partialbreiten der schmalen \DSS\ l\"a\ss t sich direkt ablesen,
ob damit die inklusiv gemessene semileptonische Zerfallsbreite aufgef\"ullt wird.
Ist dies nicht der Fall, so m\"ussen die breiten \DSS-Mesonen oder nicht-resonante
Drei\-k\"or\-per\-zer\-f\"alle einen signifikanten Beitrag zu $\Gamma_{b\to c\ell\nu}$
liefern. Das widerspr\"ache sowohl dem ISGW2-Modell~\cite{ISGW2} als auch HQET-basierten
Summenregeln~\cite{HQET-sumrules.Uraltsev,HQET-sumrules.Neubert}.

Insbesondere die Vorhersagen der Summenregeln sind nur schwer mit einem signifikanten
Defizit $\Gamma_D+\Gamma_{\DS}+\Gamma_{\DI}+\Gamma_{\DII}<\Gamma_{b\to c\ell\nu}$ in Einklang
zu bringen. In \cite{HQET-sumrules.YMMOPR} wird diskutiert, inwieweit Korrekturen 
in $1/m_c$ oder Beitr\"age radialer Anregungen die Vorhersagen beeinflussen
k\"onnen, und die Autoren von~\cite{HQET-sumrules.BGM} geben ein Beispiel daf\"ur, da\ss\
auch Strahlungskorrekturen unerwartet gro\ss en Einflu\ss\ auf die theoretischen
Rechnungen erlangen k\"onnen.

Eine Messung von $\Gamma_{\DI}+\Gamma_{\DII}$ kann also sehr weitreichende
Einschr\"ankungen f\"ur die Modellbildung ergeben.

\subsubsection{\boldmath $\Gamma_{\DI}/\Gamma_{\DII}$}

Auch das Verh\"altnis der Verzweigungsverh\"altnisse der schmalen \DSS-Zust\"ande
gibt Aufschlu\ss\ \"uber notwendige Korrekturen zur HQS. Berechnungen, die die Terme
h\"oherer Ordnung in $\Lambda_{\rm QCD}/m_Q$ vernachl\"assigen, kommen zu dem
Resultat, da\ss\ in semileptonischen $B$-Zerf\"allen mehr \DII-Mesonen produziert
werden~\cite{HQET-FF.DSS,SISM,CLLW,CNP}, w\"ahrend die Korrekturterme der Entwicklung
in $\Lambda_{\rm QCD}/m_Q$ zu der Vorhersage f\"uhren, da\ss\ die Zerf\"alle in
\DI-Mesonen dominieren~\cite{ISGW2,LLSW}. Die Bestimmung des Verh\"altnisses
\begin{equation}
\mathcal{R} = \frac{\Gamma(B\to\DII\ell\nu)}{\Gamma(B\to\DI\ell\nu)}
\end{equation}
gibt also experimentelle Hinweise darauf, ob und wie die Terme h\"oherer Ordnung in
$\Lambda_{\rm QCD}/m_Q$ ber\"ucksichtigt werden m\"ussen.

\subsubsection{Polarisation der {\boldmath \DSS-Mesonen}}

Bei der Trennung der Signale von \DI- und \DII-Mesonen in der Rekonstruktionskette
\DSS\TO\DS\PIC\ spielt der Helizit\"atswinkel des sekund\"aren \DS\ eine gro\ss e
Rolle (vgl. Abschnitt~\ref{sec:fit.helicity}). Die Helizit\"atswinkelverteilung f\"ur
\DS-Mesonen aus \DII-Zerf\"allen ist bekannt. Die Verteilung der aus \DI-Zerf\"allen
stammenden \DS\ wird durch die Gr\"o\ss e \ADI\ parametrisiert, die in der
vorliegenden Analyse zusammen mit den Verzweigungsverh\"altnissen bestimmt wird.

Aus der Gr\"o\ss e \ADI\ k\"onnen zwar nicht direkt die einzelnen
Helizit\"atsamplituden $\lambda_-,\lambda_0$ und $\lambda_+$ extrahiert werden,
\ADI\ enth\"alt aber eine Sensitivit\"at auf die Polarisation der \DI-Mesonen.
Ist \ADI\ in \"Ubereinstimmung mit einer unpolarisierten Erzeugung der \DI, so ist
dies ein Beleg daf\"ur, da\ss\ der semileptonische Zerfall \BDSSLN\ nicht im
Grenzfall der HQS beschrieben werden kann. Den Zusammenhang der kinematischen
Gr\"o\ss en des Zerfalls \BDSSLN, der entsprechenden Polarisationen, sowie der
Vorhersagen der HQS verdeutlicht die folgende Skizze: 

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl} 
w&=&1 \\ q^2&=&q^2_{\max} \\ \vec p_{\DSS}&=&\vec p_B \approx 0 
\end{array}
\xleftarrow[\mbox{HQS verletzend}]{\lambda_-=\lambda_0=\lambda_+} 
\quad \xrightarrow[\mbox{HQS erhaltend}]{\lambda_-=\lambda_+=0<\lambda_0}
\begin{array}{rcl} 
w&=&w_{\max} \\ q^2&=&0 \\ |\vec p_{\DSS}|&=&|\vec p_\ell|+|\vec p_\nu|\gg 0 
\end{array}
\end{displaymath}

Die Messung von \ADI\ kann mit der Vorhersage des LLSW-Modells~\cite{LLSW} f\"ur die
einzelnen Beitr\"age der verschiedenen Helizit\"atskomponenten in
Gleichung~\eqref{eqn:LLSW.DSS-heli} verglichen werden. 
Da das LLSW-Modell die einzelnen Helizit\"atsamplituden
${\rm d}\Gamma^{\lambda}_{\DSS}/{\rm d}w$ auf die Isgur-Wise-Funktion $\tau(w)$
zur\"uckf\"uhrt, ist die Bestimmung von \ADI\ letztlich eine Einschr\"ankung f\"ur
die Form von $\tau(w)$.
