\chapter{Systematische Unsicherheiten
\label{chap:systematik}}

Obwohl die in den vorangegangenen Kapiteln vorgestellten Tests keine Hinweise
auf systematische Fehler in der Bestimmung der gesuchten
Verzweigungsverh\"altnisse liefern, sind die Resultate mit Unsicherheiten
behaftet, die vor allem aus drei Quellen stammen. Erstens basiert die
Bestimmung der Effizienzen allein auf Monte-Carlo-Simulationen, und in diesen
k\"onnen Unterschiede zum tats\"achlichen Datensatz auftreten. Zweitens werden
physikalische Parameter wie zum Beispiel die Verzweigungsverh\"altnisse
der \D- und \DS-Mesonen verwendet, die nur mit endlicher Pr\"azision bestimmt sind.
Schlie\ss lich mu\ss\ drittens quantifiziert werden, inwieweit die numerischen
Ergebnisse der Anpassung durch die teilweise ph\"anomenologische Parametrisierung der
Datenbeschreibung beeinflu\ss t werden.

Aus der Definition der Fitfunktion in Gleichung~\eqref{eqn:fitfunc}
\begin{equation}
f(\dM)=
\sum_{\DSS}^{} \left( N_B \cdot n_\ell \cdot \BR_{\DSS} \cdot \BR_{2nd} \cdot 
 \epsilon_{reco} \cdot \epsilon_{hel} \cdot 
 BW(\dM ; m_{\DSS} , \Gamma_{\DSS} ) \right) 
+ f_{bkg}(\dM)
\nonumber
\end{equation}
folgt, da\ss\ die Unsicherheiten der Simulation und der physikalischen
Parameter nur Einflu\ss\ auf die Vorfaktoren der normierten Resonanzkurve haben und
sich daher in gleicher Weise auf die extrahierten Verzweigungsverh\"altnisse
auswirken. Dabei ist zu beachten, da\ss\ Korrelationen der Einfl\"usse auf die
verschiedenen Resultate in zweierlei Hinsicht auftreten. Zum einen k\"onnen die
Vorfaktoren der verschiedenen Rekonstruktionskan\"ale gleicherma\ss en von einem
Effekt betroffen sein. Ein Beispiel hierf\"ur ist die Wahrscheinlichkeit, ein Lepton
korrekt zu identifizieren, welche in alle Zerfallsketten direkt eingeht.
Zum anderen sind die Ergebnisse zus\"atzlich durch die gemeinsame Anpassung aller
Kan\"ale miteinander verkn\"upft, so da\ss\ beispielsweise die Unsicherheit in der
Rekonstruktionseffizienz f\"ur neutrale Pionen Variationen in allen Ergebnissen
bewirkt, obwohl nur die Rekonstruktionskette \DSSC\TO\DSZ\PIC\ diese Gr\"o\ss e
enth\"alt.

Da beide Effekte gemeinsam auftreten, mu\ss\ bei den systematischen Unsicherheiten
zwischen korrelierten und unkorrelierten Beitr\"agen unterschieden werden. Hat eine
systematische Unsicherheit gleiche Auswirkungen auf mehrere Rekonstruktionsketten, so
sind f\"ur diese Quelle die Einzelbeitr\"age auf die Unsicherheit eines Parameters aus
den verschiedenen Zerfallsketten vollst\"andig korreliert und addieren sich linear.

\section{Korrelationen und Eichkurven}

Zun\"achst werden die Korrelationen, welche durch die simultane Anpassung aller vier
Rekonstruktionskan\"ale hervorgerufen werden, studiert. Es spielt dabei keine Rolle,
welcher der Vorfaktoren von einem bestimmten Effekt beeinflu\ss t wird, weswegen
diese Variation beispielhaft auf je eine Effizienz $\epsilon_{reco}$ angewandt wird.
Die gesamte Anpassung an den kompletten Datensatz wird dann erneut durchgef\"uhrt.
Wiederholt man dieses Vorgehen f\"ur verschieden gro\ss e \"Anderungen der Effizienz,
so ergeben sich aus den Resultaten Eichkurven, aus denen bestimmt werden kann, wie
alle Verzweigungsverh\"altnisse auf systematische Abweichungen in einem einzelnen
Rekonstruktionskanal reagieren. Abbildung~\ref{fig:syst.korrel} zeigt solche
Eichkurven am Beispiel einer Variation der Effizienz im Kanal \DSSZ\TO\DSC\PICC\ im
Rahmen von $\pm20\%$. Die \"ubrigen Eichkurven sind im Anhang~\ref{app:eichkurven}
zu finden.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{pic.syst/br.vs.effie1.eps}
\caption[Eichkurven der Resultate bei Variation der Effizienz $\epsilon_{\DSC}$]
{\label{fig:syst.korrel}
Ver\"anderung der Ergebnisse bei einer Variation des Wertes der Effizienz im 
rekonstruierten Zerfallskanal \DSSZ\TO\DSC\PICC. Gezeigt ist die relative
\"Anderung der Ergebnisse f\"ur die Verzweigungsverh\"altnisse der geladenen
(offene Kreise) und neutralen (Punkte) \DI\ (links oben) und \DII\ (rechts oben),
sowie der beiden Parameter \ADI\ (links unten) und \BDII\ (rechts unten).}
\end{center}
\end{figure}

Die so gewonnenen Korrelationen sind nicht zu verwechseln mit denjenigen, welche aus
der Kovarianzmatrix der Anpassung bestimmt werden (vgl. 
Abschnitt~\ref{sec:fit.korrelationsmatrix}). F\"ur die hier diskutierten
systematischen Studien ist entscheidend, inwieweit die einzelnen
Verzweigungsverh\"altnisse von den vier in die Analyse eingehenden Zerfallskan\"alen
abh\"angen. Entsprechend ergibt sich eine relativ klare Trennung zwischen den geladenen
und neutralen \DSS, welche untereinander nur durch die gemeinsam verwendeten Parameter
\dM, \ADI\ und \BDII\ verbunden sind. Ferner best\"atigt sich die Erwartung, da\ss\
die Verzweigungsverh\"altnisse $\BR(B\TO\DII\ell\nu)$ ganz wesentlich durch die
Kan\"ale \DII\TO\D\PIC\ bestimmt sind (vgl. Abschnitt~\ref{sec:fit.phaenomenologie}).
Insofern zeigt sich, da\ss\ jeder der vier rekonstruierten Zerfallskan\"ale
dominant eines der vier gesuchten Verzweigungsverh\"altnisse festlegt. Die
R\"uckkopplungen aus den \"ubrigen drei Kan\"alen sind dagegen deutlich
unterdr\"uckt.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
& \multicolumn{4}{|c|}{Effizienz variiert im Kanal} \\
& \DSSZ\TO\DSC\PICC & \DSSZ\TO\DC\PICC\ & \DSSC\TO\DSZ\PIC & \DSSC\TO\DZ\PIC \\
\hline \hline
$\BR_{\DIZ}$  & $-1.0305$ & $+0.0207$ & $+0.0226$ & $-0.0217$ \\
$\BR_{\DIIZ}$ & $-0.2594$ & $-0.7465$ & $-0.0969$ & $+0.1265$ \\
$\BR_{\DIC}$  & $+0.0542$ & $-0.0676$ & $-1.0819$ & $+0.0578$ \\
$\BR_{\DIIC}$ & $-0.1368$ & $+0.1500$ & $-0.1995$ & $-0.7722$ \\
\hline
\ADI          & $+0.0091$ & $-0.0040$ & $+0.0037$ & $+0.0091$ \\
\BDII         & $+0.2224$ & $-0.2275$ & $+0.1401$ & $-0.1564$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Korrelation zwischen Ergebnissen und Effizienzen]
{\label{tab:syst.korrel}
\"Anderung der Anpassungsergebnisse in Abh\"angigkeit der Ver\"anderung der
Effizienzen in den vier rekonstruierten Zerfallskan\"alen.}
\end{center}
\end{table}

Im Rahmen der auftretenden Unsicherheiten von nur einigen Prozent sind die Eichkurven
in sehr guter N\"aherung Geraden. Die Steigungen dieser Geraden werden durch eine
Anpassung einer linearen Funktion an die Kurven im Bereich $\pm10\%$ relativer
\"Anderung der Effizienz gewonnen. Die so gefundenen Korrelationskoeffizienzen sind
in Tabelle~\ref{tab:syst.korrel} angegeben. Sie k\"onnen als Matrix aufgefa\ss t
werden, welche Unsicherheiten in den rekonstruierten Zerfallskan\"alen in Abweichungen
bei den gemessenen Resultaten \"uber\-setzt. Diese Matrix entspricht dem
totalen Differential der Anpassung $(\partial\BR_i/\partial\epsilon_j)$.

Beeinflu\ss t ein Effekt mehrere Zerfallskan\"ale, so sind die einzelnen Beitr\"age
unter Be\-r\"uck\-sich\-ti\-gung der Vorzeichen zu addieren. Beispielsweise ist das
Verzweigungsverh\"altnis $\BR(\DZ\TO\KM\PIP)$ mit einer relativen Genauigkeit von 
1.8\% bekannt. Da es in allen Kan\"alen mit Ausnahme des Zerfalls \DSSZ\TO\DC\PICC\ 
verwendet wird, ist die daraus resultierende relative Unsicherheit f\"ur das
Verzweigungsverh\"altnis $\BR(\B\TO\DIIZ\ell\nu)$ gegeben durch
$(-0.2594-0.0969+0.1265)\times 1.8\%=-0.4\%$.
Das Vorzeichen kennzeichnet dabei, wie diese Unsicherheit mit denen der \"ubrigen
Resultate korreliert ist: Gleiche Vorzeichen bedeuten eine positive Korrelation.

Alle im folgenden diskutierten Unsicherheiten werden auf diese Weise in systematische
Unsicherheiten der Resultate \"ubersetzt.

\section{Die verwendete Simulation}

Damit die Effizienzen korrekt aus der Simulation bestimmt werden k\"onnen, mu\ss\
sowohl das Ansprechen des \babar-Detektors auf die in ihm erzeugten Elementarteilchen
richtig beschrieben, als auch der zu Grunde liegende physikalische Proze\ss\
korrekt modelliert sein.
Die Detektorreaktion kann dabei anhand von physikalisch gut verstandenen Vorg\"angen
studiert werden. Abweichungen von den Erwartungen sind dann eindeutig einer
fehlerhaften Detektorbeschreibung zuzuordnen.

Schwieriger ist es, das verwendete physikalische Modell f\"ur die Signalzerf\"alle
zu \"uberpr\"ufen. Dazu werden verschiedene Modelle verglichen und die Abweichungen
in den Vorhersagen werden dann als Ma\ss\ f\"ur die Unsicherheit der Modellbildung
interpretiert.

\subsection{Unsicherheiten der Detektorbeschreibung}

Prinzipiell werden in der Simulation dieselben Algorithmen verwendet, die auch
bei der Rekonstruktion der realen Daten benutzt werden. Abweichungen zwischen
Realit\"at und Simulation k\"onnen aber aus der Beschreibung der Wechselwirkungen von
Teilchen mit dem Detektormaterial, von Rauschen und Untergr\"unden der
Detektorkomponenten oder dem Ansprechen der Ausleseelektronik stammen.
Solche Abweichungen wirken sich auf die Rekonstruktionseffizienzen geladener und
neutraler Teilchen sowie der Teilchenidentifikation aus.

F\"ur die Standardverfahren der Teilchenrekonstruktion und -identifikation sind im
Verlauf des \babar-Experimentes auch Standardmethoden entwickelt worden, um die
systematischen Unsicherheiten zu bestimmen~\cite{reco}. Die Resultate dieser
Untersuchungen dienen als Ausgangsgr\"o\ss en f\"ur die Bestimmung der systematischen
Unsicherheiten der vorliegenden Analyse.

\subsubsection{Spurrekonstruktion
\label{sec:syst.tracking}}

Die Pr\"azision, mit der die Simulation die Spurrekonstruktion des Detektors
beschreibt, wird unter anderem anhand von Ereignissen gepr\"uft, in denen keine
$B$-Mesonen sondern ein Paar von $\tau$-Leptonen entsteht~\cite{syst.tracking}.
Diese Leptonen zerfallen sowohl in ein leichteres Lepton und zwei Neutrinos als auch
in leichte Mesonen und ein $\tau$-Neutrino.
Die leptonischen Zerf\"alle $\tau^-\to\ell^-\overline{\nu}_\tau\nu_\ell$ dienen dazu,
$\tau$-Paar-Ereignisse zu identifizieren und die Rekonstruktionseffizienz f\"ur
das zweite $\tau$-Lepton zu pr\"ufen.

Um Aussagen \"uber die Spurrekonstruktion machen zu k\"onnen, werden Zerf\"alle der
Art $\tau^-\to\pi^-\pi^-\pi^+\nu_\tau$ verwendet. Werden zwei Spuren rekonstruiert,
so ist aufgrund der Ladungserhaltung gesichert, da\ss\ ein drittes geladenes Teilchen
enstanden sein mu\ss. Aus der H\"aufigkeit, mit der diese dritte Spur auch
tats\"achlich nachgewiesen wurde, kann die Effizienz der Spurrekonstruktion bestimmt
und mit den Vorhersagen der Simulation verglichen werden.

F\"ur die verwendete Version der Rekonstruktions- und Simulationssoftware wurden keine
signifikanten Abweichungen gefunden. Die Pr\"azision dieser Analyse dient als
Absch\"atzung der verbleibenden systematischen Unsicherheit auf die Spurrekonstruktion.
Sie wird in Abh\"angigkeit des verwendeten Rekonstruktionsalgorithmus und der
Periode der Datennahme angegeben.

Tabelle~\ref{tab:syst.track} gibt die Unsicherheiten auf die Spurrekonstruktion der
Selektionskriterien {\tt GoodTracksLoose} und {\tt GoodTracksVeryLoose} sowie die
daraus entstehenden Unsicherheiten auf die gemessenen Verzweigungsverh\"altnisse an.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|cc||c|c|c|c||c|}
\hline
Periode & \multicolumn{2}{|c||}{Liste} & \multicolumn{4}{|c||}{Zerfallskanal} & \\
& GTL & GTVL & \DSC\PICC & \DC\PICC & \DSZ\PIC & \DZ\PIC & \\
\hline \hline
Run1 [\%] & 0.94 & 0.51 &  2.06  &  2.22  &  1.99  &  1.99  & \\
Run2 [\%] & 0.39 & 0.35 &  0.85  &  0.87  &  0.77  &  0.77  & \\
Run3 [\%] & 0.54 & 0.26 &  1.11  &  1.20  &  1.08  &  1.08  & \\
Run4 [\%] & 0.35 & 0.41 &  0.82  &  0.80  &  0.71  &  0.71  & \\
\hline \hline
\multicolumn{2}{|c}{$\Delta\epsilon/\epsilon$} & [\%] 
                        &   1.74  &   1.32  &   1.02  &   1.15  & Summe \\
\hline \hline
\multicolumn{2}{|c}{$\Delta\BR_{\DIZ}/\BR_{\DIZ}$} & [\%]
                        & $-1.79$ & $+0.03$ & $+0.02$ & $-0.02$ & $1.76$ \\
\multicolumn{2}{|c}{$\Delta\BR_{\DIIZ}/\BR_{\DIIZ}$} & [\%]
                        & $-0.45$ & $-0.99$ & $-0.10$ & $+0.15$ & $1.39$ \\
\multicolumn{2}{|c}{$\Delta\BR_{\DIC}/\BR_{\DIC}$} & [\%]
                        & $+0.09$ & $-0.09$ & $-1.10$ & $+0.07$ & $1.03$ \\
\multicolumn{2}{|c}{$\Delta\BR_{\DIIC}/\BR_{\DIIC}$} & [\%]
                        & $-0.24$ & $+0.19$ & $-0.20$ & $-0.89$ & $1.14$ \\
\hline                              
\multicolumn{2}{|c}{$\Delta\ADI/\ADI$} & [\%]
                        & $+0.02$ & $-0.01$ & $+0.003$& $+0.01$ & $0.02$ \\
\multicolumn{2}{|c}{$\Delta\BDII/\BDII$} & [\%]
                        & $+0.39$ & $-0.30$ & $+0.14$ & $-0.18$ & $0.05$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Systematische Unsicherheiten aufgrund der Spurrekonstruktion]
{\label{tab:syst.track}
Systematische Unsicherheiten aufgrund der Spurrekonstruktion. Im oberen Teil
der Tabelle sind die Unsicherheiten pro Spur und die resultierenden Unsicherheiten
auf die Rekonstruktionseffizienzen angegeben, im unteren Teil deren Auswirkungen
auf die Resultate der vorliegenden Analyse.}
\end{center}
\end{table}

Da die Nachweiswahrscheinlichkeiten f\"ur die einzelnen Spuren voneinander unabh\"angig
sind, m\"ussen die Einzelbeitr\"age jeder Spur quadratisch addiert werden, um die
Unsicherheit f\"ur eine gegebene Multiplizit\"at zu erhalten. Daraus ergibt sich,
unter Ber\"ucksichtigung der verschiedenen Datennahmeperioden, f\"ur jeden
Zerfallskanal eine Gesamtunsicherheit. Diese wiederum sind untereinander korreliert,
so da\ss\ sich f\"ur die Resultate die einzelnen Beitr\"age der verschiedenen
Zerfallsketten unter Ber\"ucksichtigung der Vorzeichen summieren.

Die so erhaltenen relativen Unsicherheiten liegen f\"ur die semileptonischen
Verzweigungsverh\"altnisse im Bereich $1-2\%$. F\"ur die Parameter
\BDII\ und \ADI\ reduziert sich der Einflu\ss\ auf lediglich 0.05\% und darunter,
da diese beiden Parameter als das Verh\"altnis von Daten in verschiedenen
Zerfallskan\"alen bzw. Helizit\"atswinkelbereichen definiert sind.

\subsubsection{Rekonstruktion neutraler Pionen}

\"Ahnlich den Studien zur Spurrekonstruktion wird auch die Rekonstruktion neutraler
Pionen an Ereignissen der Art $e^+e^-\to\tau^+\tau^-$ getestet~\cite{syst.pi0}.
Aus dem Verh\"altnis der rekonstruierten Zerf\"alle $\tau^-\to\pi^-\nu_\tau$ und
$\tau^-\to\pi^-\pi^0\nu_\tau$ wird die Rekonstruktionseffizienz f\"ur \PIZ, bzw.
eine Korrektur von etwas mehr als 3\% f\"ur die Simulation bestimmt (vgl.
Abschnitt~\ref{sec:exp.mc-correction}). Diese Korrektur hat eine Unsicherheit von
ebenfalls 3\%, welche als systematische Unsicherheit der Rekonstruktionseffizienz
angenommen wird.

Von dieser Unsicherheit ist ausschlie\ss lich der Zerfallskanal \DSS\TO\DSZ\PIC\
betroffen, in welchen sie als Unsicherheit in der Effizenz eingeht. Dieser Kanal
dominiert die Unsicherheit des semileptonischen Verzweigungsverh\"altnisses f\"ur
geladene \DI. Der Einflu\ss\ auf geladene \DII\ wird durch den zus\"atzlichen
Zerfallskanal \DII\TO\D\PIC\ reduziert, und die neutralen \DSS\ sind von der
\PIZ-Rekonstruktion nahezu unbetroffen.

Entsprechend ergibt sich f\"ur die relativen systematischen Unsicherheiten ein
Wert von 3.11\% f\"ur das \DIC, 0.60\% f\"ur das \DIIC\ und noch geringere Werte
f\"ur die beiden \DSSZ. Durch den unterschiedlichen Einflu\ss\ auf die beiden
Zerfallskan\"ale des \DII\ bewirkt die \PIZ-Effizienz eine Unsicherheit von
0.42\% f\"ur das Verzweigungsverh\"altnis \BDII. Die Auswirkungen auf den
Parameter \ADI\ sind verschwindend gering.

\subsubsection{Teilchenidentifikation}

Wie in Abschnitt~\ref{sec:exp.pid} diskutiert wurde, wird die Teilchenidentifikation
anhand von Kontrolldatens\"atzen hoher Reinheit \"uberpr\"uft. So werden in
Abh\"angigkeit von Impuls- und Winkelbereichen f\"ur jede Spur Gewichtungsfaktoren
$c_{\rm PID}(\vec p)$ angegeben, um die in der Simulation leicht \"ubersch\"atzten
Identifizierungsraten den Daten anzupassen~\cite{pid,pid.control}.
Neben der statistischen Pr\"azision dieser Gewichte entsteht eine Quelle
systematischer Unsicherheiten daraus, da\ss\ die Kon\-troll\-daten\-s\"atze eine
spezielle Ereignistopologie aufweisen, um die erforderte Reinheit zu gew\"ahrleisten.
F\"ur die von dieser Topologie abweichenden Ereignisse, die in der Analyse selektiert 
werden, kann auch die tats\"achliche Nachweiswahrscheinlichkeit von der simulierten
abweichen.

Im Falle der Kaonen sind die Kontrolldatens\"atze den Ereignissen dieser Analyse sehr
\"ahnlich, da Kaonen aus \D-Zerf\"allen zum Test der Teilchenidentifizierung
verwendet werden. Bei den Leptonen jedoch werden radiative Di-Lepton-Ereignisse
verwendet, die im Vergleich zu den Multi-Hadron-Ereignissen aus $B$-Zerf\"allen
eine v\"ollig andere Spur-Multiplizit\"at aufweisen. Inwieweit dies die
Leptonidentifizierung beeintr\"achtigt, ist schwer zu quantifizieren.
Daher wird als konservative Absch\"atzung der systematischen Unsicherheit ein
hundertprozentiger Fehler auf die Korrektur angenommen~\cite{syst.pid}.
Entsprechend werden die Effizienzen aus der Signalsimulation ohne Ber\"ucksichtigung
der Gewichtungsfaktoren $c_{\rm PID}(\vec p)$ bestimmt und die Abweichung zu den
Standardwerten als systematische Unsicherheit in der Effizienz angenommen. Die
relativen \"Anderungen liegen im Bereich $2.5-3.0\%$ und sind, zusammen mit den
Auswirkungen auf die Resultate, in Tabelle~\ref{tab:syst.pid} angegeben.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|cc||c|c|c|c||c|}
\hline
&& \multicolumn{4}{|c||}{Zerfallskanal} & total \\
&& \DSC\PICC & \DC\PICC & \DSZ\PIC & \DZ\PIC & \\
\hline \hline
$\Delta\epsilon/\epsilon$       & [\%] &    2.61 &    2.85 &    2.98 &    2.74 & \\
\hline \hline
$\Delta\BR_{\DIZ}/\BR_{\DIZ}$   & [\%] & $-2.68$ & $+0.06$ & $+0.07$ & $-0.06$ & $2.61$ \\
$\Delta\BR_{\DIIZ}/\BR_{\DIIZ}$ & [\%] & $-0.68$ & $-2.13$ & $-0.29$ & $+0.35$ & $2.75$ \\
$\Delta\BR_{\DIC}/\BR_{\DIC}$   & [\%] & $+0.14$ & $-0.19$ & $-3.22$ & $+0.16$ & $3.11$ \\
$\Delta\BR_{\DIIC}/\BR_{\DIIC}$ & [\%] & $-0.36$ & $+0.43$ & $-0.59$ & $-2.12$ & $2.64$ \\
\hline                              
$\Delta\ADI/\ADI$               & [\%] & $+0.02$ & $-0.01$ & $+0.01$ & $+0.02$ & $0.04$ \\
$\Delta\BDII/\BDII$             & [\%] & $+0.58$ & $-0.65$ & $+0.42$ & $-0.43$ & $0.08$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Systematische Unsicherheiten aufgrund der Teilchenidentifizierung]
{\label{tab:syst.pid}
Systematische Unsicherheiten aufgrund der Teilchenidentifizierung.}
\end{center}
\end{table}

Da in allen Zerfallskan\"alen identische Anforderungen an die Teilchenidentifizierung
gestellt werden, je ein Kaon aus dem \D-Zerfall und das Lepton des $B$-Zerfalls,
sind die Unsicherheiten auf die vier Effizienzen vollst\"andig korreliert und die
Einzelbeitr\"age m\"ussen unter Ber\"ucksichtigung der Vorzeichen linear addiert
werden. Entsprechend ergeben sich auch auf die semileptonischen
Verzweigungsverh\"altnisse relative systematische Unsicherheiten von etwa 3\%,
w\"ahrend die Einfl\"usse auf die Parameter \ADI\ und \BDII\ vernachl\"assigbar
klein bleiben.

\subsubsection{Effizienzkorrektur in den Helizit\"atsintervallen
\label{sec:syst.effiecorr}}

Wie in Abschnitt~\ref{sec:fit.effiecorr} diskutiert wurde, ist die Effizienz in
den verschiedenen Intervallen des Helizit\"atswinkels $\vartheta_h$ nicht gleich,
und es wurden Korrekturen in der Gr\"o\ss enordnung von 10\% bestimmt. Diese
Korrekturen h\"angen mit den Nachweiswahrscheinlichkeiten f\"ur die langsamen
Pionen aus dem \DS-Zerfall zusammen und resultieren insofern aus der Beschreibung des
Detektors. Die bereits diskutierte Unsicherheit in der Rekonstruktionseffizienz des
langsamen Pions basiert auf der Annahme, da\ss\ eine Abweichung der Simulation
unabh\"angig vom Impuls des Pions ist, was eine maximale Auswirkung auf die
Gesamteffizienz hat.
Die Effi\-zienz\-kor\-rek\-tur\-en in den Helizit\"atswinkelintervallen w\"aren davon
jedoch nicht betroffen, f\"ur sie ist eine impulsabh\"angige Untersuchung der Effizienz
notwendig. Au\ss erdem werden die Korrekturfaktoren mittels eines ph\"anomenologischen
Ansatzes bestimmt, und auch dieser kann systematische Fehlerquellen enthalten.

Der Einflu\ss\ der Effizienzkorrekturen auf die semileptonischen
Ver\-zweigungs\-ver\-h\"alt\-nisse \BR(\BDSSLN), welche den Hauptaspekt der
vorliegenden Arbeit darstellen, ist gering. Haupts\"achlich beeinflussen die
Korrekturen den Zerfallsparameter \ADI, der die
Heli\-zi\-t\"ats\-win\-kel\-ver\-tei\-lung in den \DI-Zerf\"allen bestimmt.
Daher werden die durch die Korrekturfaktoren bedingten systematischen Unsicherheiten 
lediglich in konservativen Absch\"atzungen erfa\ss t.
Dies geschieht, indem die Effi\-zienz\-kor\-rek\-tur\-en halbiert bzw. um die H\"alfte
vergr\"o\ss ert werden. Es wird also davon ausgegangen, da\ss\ die verwendeten
Korrekturfaktoren den Einflu\ss\ der Nachweiswahrscheinlichkeiten auf die
Effizienzen qualitativ richtig wiedergeben, jedoch die Absolutwerte erhebliche
Abweichungen aufweisen k\"onnen. Die Gr\"o\ss e der Variation von 50\% entspricht dabei
dem Verh\"altnis aus der gr\"o\ss ten systematischen Unsicherheit (3\% der neutralen
Pionen) und der mittleren Gr\"o\ss e der Effizienzkorrektur.

Tabelle~\ref{tab:syst.effiecorr} zeigt die Ver\"anderung der Resultate der Anpassung. 
Die Auswirkungen auf die semileptonischen Verzweigungsverh\"altnisse betragen weniger
als 1\%, der Einflu\ss\ auf den Zerfallsparameter \BDII\ ist
vernachl\"assigbar klein. Erwartungsgem\"a\ss\ ergibt sich aber f\"ur den Parameter
\ADI\ eine signifikante relative Unsicherheit von etwa 15\%.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c||cr|cr|}
\hline
& Standard & \multicolumn{2}{|c|}{$-50\%$} & \multicolumn{2}{|c|}{$+50\%$} \\
\hline \hline
$\BR_{\DIZ}$  & 4.59 & 4.56 &  $(-0.5\%)$ & 4.62 &  $(+0.7\%)$ \\
$\BR_{\DIIZ}$ & 3.53 & 3.53 &  $(-0.0\%)$ & 3.53 &  $(+0.1\%)$ \\
$\BR_{\DIC}$  & 4.07 & 4.06 &  $(-0.2\%)$ & 4.07 &  $(+0.0\%)$ \\
$\BR_{\DIIC}$ & 2.58 & 2.57 &  $(-0.3\%)$ & 2.58 &  $(+0.0\%)$ \\
\hline 
\ADI          & 3.81 & 3.29 & $(-13.6\%)$ & 4.40 & $(+15.5\%)$ \\
\BDII         & 0.62 & 0.62 &             & 0.62 &  \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Systematische Unsicherheiten durch die Effizienzkorrekturen in den
Heli\-zi\-t\"ats\-winkel\-be\-reichen]
{\label{tab:syst.effiecorr}
Systematische Unsicherheiten aufgrund der Korrekturfaktoren der Effizienz in den
Intervallen des Helizit\"atswinkels. Angegeben sind die Ver\"anderungen der
Anpassungsparameter, wenn die Korrekturfaktoren um 50\% reduziert oder erh\"oht
werden.}
\end{center}
\end{table}

\subsection{Unsicherheiten des verwendeten Modells}

Die Simulation der Signalereignisse \BDSSLN\ basiert auf dem
ISGW2-Modell~\cite{ISGW2}. Dieses Modell definiert die Verteilungen der physikalischen
Gr\"o\ss en wie die Impulsspektren, Winkelverteilungen etc. in der
Simulation. Diese Verteilungen k\"onnen von den in der Natur tats\"achlich
realisierten abweichen, was Auswirkungen auf die Rekonstruktionseffizienzen hat.

\subsubsection{Beschreibung der Zerf\"alle {\boldmath \BDSSLN}}

Um die Abh\"angigkeiten der Effizienzen vom in der Signalsimulation verwendeten Modell
zu testen, werden die Effizienzen mit denen verglichen, die man unter Verwendung eines
alternativen Modells erh\"alt. Dazu wird keine v\"ollig neue Simulation erstellt,
sondern der vorhandene Datensatz so umgewichtet, da\ss\ er der alternativen
Beschreibung durch das LLSW-Modell~\cite{LLSW} entspricht.

Die Kinematik des Zerfalls \BDSSLN\ ist, bis auf Rotationssymmetrien, durch den
Impuls\"ubertrag auf das virtuelle $W$-Boson bzw. das damit verbundene
Geschwindigkeitsprodukt $w$ (vgl. Abschnitt~\ref{sec:theo.HQS}) bestimmt.
Aus den differentiellen Zerfallsbreiten der beiden Modelle wird daher f\"ur jedes
simulierte Ereignis ein Gewichtungsfaktor
\begin{equation}
c=\frac{\frac{\rm d}{{\rm d}w} \Gamma_{\rm LLSW}(w)}
       {\frac{\rm d}{{\rm d}w} \Gamma_{\rm ISGW2}(w)}
\end{equation}
berechnet. Die Verteilungen dieser Faktoren sind in Abbildung~\ref{fig:hqet-weight.raw}
dargestellt.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{pic.syst/hqet-weight.raw.eps}
\caption[Verteilung der Faktoren, mit denen die Signalsimulation auf ein alternatives
Modell umgewichtet wird]
{\label{fig:hqet-weight.raw}
Verteilung der verwendeten Faktoren (oben), mit denen die Signalsimulation auf ein
alternatives Modell umgewichtet wird, sowie die Korrelation (unten) zwischen den Faktoren
und dem Impuls des \DSS\ f\"ur \DI\ (links) und \DII\ in den Zerfallskan\"alen \DS\PIC\
(Mitte) und \D\PIC\ (rechts).}
\end{center}
\end{figure}

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l||cc|c|}
\hline
Effizienz [\%]    & ISGW2-Modell & LLSW-Modell & rel. \"Anderung \\
\hline \hline
\DIZ\TO\DSC\PICC  &  6.934       &  7.034      & $+1.4$ \\
\DIIZ\TO\DSC\PICC &  6.824       &  6.506      & $-4.6$ \\
\DIIZ\TO\DC\PICC  & 12.877       & 12.376      & $-3.9$ \\
\hline			        	      
\DIC\TO\DSZ\PIC   &  5.344       &  5.515      & $+3.2$ \\
\DIIC\TO\DSZ\PIC  &  5.339       &  5.189      & $-2.8$ \\
\DIIZ\TO\DZ\PIC   & 17.562       & 17.351      & $-1.2$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Effizienzen der auf das LLSW-Modell umgewichteten Simulation]
{\label{tab:hqet-effie}
Resultate der Effizienzbestimmung, nachdem die Simulation auf das LLSW-Modell
umgewichtet wurde.}
\end{center}
\end{table}

Aus der so umgewichteten Simulation werden die Effizienzen neu bestimmt. Die Resultate
sind in Tabelle~\ref{tab:hqet-effie} zu finden. Die relativen \"Anderungen liegen
im Bereich $1-4.5\%$, allerdings werden die Effizienzen f\"ur die \DII-Mesonen in
allen Rekonstruktionskan\"alen kleiner, w\"ahrend diejenigen f\"ur die \DI-Mesonen
gr\"o\ss er werden. Durch diese unterschiedlichen \"Anderungen stimmen die Effizienzen
der beiden \DSS-Arten in einem Rekonstruktionskanal nicht mehr gut \"uberein.
Im Kanal \DSZ\PIC\ betr\"agt die Wahrscheinlichkeit, da\ss\ beide Werte
eine gemeinsame Effizienz beschreiben, noch 19\%, im Kanal \DSC\PICC\ nur noch 3\%.
Daher werden in dieser Studie die Effizienzen f\"ur die \DI- und \DII-Mesonen nicht
kombiniert.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|lc||cc|c|}
\hline
              &             & ISGW2-Modell & LLSW-Modell & rel. \"Anderung in \% \\
\hline \hline
$\BR_{\DIZ}$  & [$10^{-3}$] & 4.44         & 4.36        & 2.11 \\
$\BR_{\DIIZ}$ & [$10^{-3}$] & 3.43         & 3.60        & 4.75 \\
$\BR_{\DIC}$  & [$10^{-3}$] & 4.19         & 4.04        & 3.21 \\
$\BR_{\DIIC}$ & [$10^{-3}$] & 2.66         & 2.70        & 1.95 \\
\hline
\ADI          &             & 3.81         & 3.81        & 0.09 \\
\BDII         &             & 0.62         & 0.62        & 0.65 \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Resultate der Anpassung mit umgewichteten Effizienzen]
{\label{tab:syst-hqet}
Resultate der Anpassung unter Verwendung der Effizienzen, die aus der auf das
LLSW-Modell umgewichteten Simulation bestimmt wurden.}
\end{center}
\end{table}

Unter Verwendung dieser so bestimmten Effizienzen wird nun die Anpassung an die
Daten wiederholt. Die Resultate sind in Tabelle~\ref{tab:syst-hqet} gezeigt. 
F\"ur die semileptonischen Verzweigungsverh\"altnisse liegen die \"Anderungen mit
einigen Prozent in der Gr\"o\ss enordnung der Variation der Effizienzen. F\"ur die
Parameter \ADI\ und \BDII\ sind die Einfl\"usse deutlich geringer, sie betragen
weniger als 1\%. Im Fall von \BDII\ ist dies zu erwarten, da das Modell
nur die Produktion der \DII-Mesonen beschreibt, nicht aber deren Zerfallsbreiten.

Beim Parameter \ADI\ k\"onnten sich \"Anderungen ergeben, sollten die \DI-Mesonen in
den Modellen mit unterschiedlicher Polarisation erzeugt werden.\footnote{Die
unterschiedlichen Abh\"angigkeiten der einzelnen Helizit\"atsamplituden von $w$
sind in Abschnitt~\ref{sec:theo.qual-dynamic} diskutiert.}
In Abbildung~\ref{fig:hqet-weight.vs.heli} ist die Korrelation zwischen den
Gewichtungsfaktoren und dem Helizit\"atswinkel gezeigt. Die Gr\"o\ss en sind nahezu
unkorreliert, was den geringen Einflu\ss\ der Modelle auf den Parameter \ADI\
erkl\"art.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{pic.syst/hqet-weight.vs.heli.eps}
\caption[Korrelation zwischen den Gewichtungsfaktoren der Signal-Modelle und dem
Helizit\"atswinkel]
{\label{fig:hqet-weight.vs.heli}
Die Korrelation zwischen den Gewichtungsfaktoren $c$ und dem Helizit\"atswinkel 
$\vartheta_h$ f\"ur Zerf\"alle \DI\TO\DS\PIC\ (links) und \DII\TO\DS\PIC\ (rechts).}
\end{center}
\end{figure}

\subsubsection{Statistische Pr\"azision der Simulation}

Da die Simulation nur \"uber eine endliche Statistik verf\"ugen kann, sind die aus
ihr gewonnenen Effizienzen mit einem statistischen Fehler behaftet. Die Gr\"o\ss en
dieser Unsicherheiten werden zusammen mit den Effizienzen aus der Anpassung an die
Simulation bestimmt und entsprechen den in Gleichung~\eqref{eqn:effies} angegebenen
Intervallen. Basierend auf der Anzahl der simulierten Signalereignisse und den
Rekonstruktionseffizienzen erwartet man eine statistische Pr\"azision der Effizienz
von etwa einem Prozent. Da\ss\ die relativen Unsicherheiten je nach
Rekonstruktionskanal zwischen 1.7 und 7.5\% liegen, erkl\"art sich aus den verschieden
gro\ss en Untergrundbeitr\"agen in den Kan\"alen: Je gr\"o\ss er der Untergrundbeitrag
unter dem selektierten Signal ist, desto gr\"o\ss er wird sein Einflu\ss\ auf die
Pr\"azision der Effizienzbestimmung und damit der gesamten Analyse.

Die Werte f\"ur die vier rekonstruierten Zerfallsketten sind voneinander statistisch
unabh\"angig. Ihr Einflu\ss\ auf die Resultate der Analyse ist in
Tabelle~\ref{tab:syst.mcstat} angegeben. Insgesamt variieren die relativen
systematischen Unsicherheiten f\"ur die Verzweigungsverh\"altnisse zwischen 1.8 und
5.6\%. 

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|lr||c|c|c|c||c|}
\hline
& & \multicolumn{4}{|c||}{Zerfallskanal} & total \\
& & \DSC\PICC & \DC\PICC & \DSZ\PIC & \DZ\PIC & \\
\hline \hline
$\Delta\epsilon/\epsilon$       & [\%] &    1.74 &    7.45 &    2.25 &    3.99 & \\
\hline \hline		       
$\Delta\BR_{\DIZ}/\BR_{\DIZ}$   & [\%] & $-1.79$ & $+0.15$ & $+0.05$ & $-0.09$ & $1.80$ \\
$\Delta\BR_{\DIIZ}/\BR_{\DIIZ}$ & [\%] & $-0.45$ & $-5.56$ & $-0.22$ & $+0.50$ & $5.61$ \\
$\Delta\BR_{\DIC}/\BR_{\DIC}$   & [\%] & $+0.09$ & $-0.50$ & $-2.43$ & $+0.23$ & $2.50$ \\
$\Delta\BR_{\DIIC}/\BR_{\DIIC}$ & [\%] & $-0.24$ & $+1.12$ & $-0.45$ & $-3.08$ & $3.32$ \\
\hline                               
$\Delta\ADI/\ADI$               & [\%] & $+0.02$ & $-0.03$ & $+0.01$ & $+0.04$ & $0.05$ \\
$\Delta\BDII/\BDII$             & [\%] & $+0.39$ & $-1.69$ & $+0.32$ & $-0.62$ & $1.87$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Systematische Unsicherheiten aufgrund der Monte-Carlo Statistik]
{\label{tab:syst.mcstat}
Systematische Unsicherheiten aufgrund der endlichen Statistik der zur
Effizienzbestimmung verwendeten Simulation.}
\end{center}
\end{table}

Da sich der Parameter \BDII\ aus dem Verh\"altnis ergibt, in welchem \DII-Zerf\"alle
in den Kan\"alen \DS\PIC\ und \D\PIC\ rekonstruiert werden, wirken sich die
Unsicherheiten aller vier Effizienzen gleicherma\ss en auf dieses Resultat aus, was
zu einer relativen systematischen Unsicherheit von 1.87\% f\"uhrt.

Der Parameter \ADI\ hingegen wird von den Effizienzen nur in geringer Weise
beeinflu\ss t. Ebenfalls hat die statistische Pr\"azision der aus der Simulation
bestimmten Effizienzkorrekturen f\"ur die Aufspaltung im Helizit\"atswinkel, welche im
Promillebereich liegt, nur einen vernachl\"assigbaren Einflu\ss. Insgesamt ergibt sich
f\"ur \ADI\ eine relative systematische Unsicherheit von 0.05\%.

\section{Verwendete physikalische Parameter}

Neben der Bestimmung der Effizienzen, welche mit Hilfe der Simulation erfolgt, werden
in der Analyse verschiedene Gr\"o\ss en verwendet, welche experimentell bestimmt,
daher allerdings nur im Rahmen der Me\ss genauigkeit bekannt sind.
Im folgenden wird der Einflu\ss\ dieser Unsicherheiten diskutiert. 

\subsection[Die Anzahl der $B$-Mesonen]
{Die Anzahl der {\boldmath $B$-Mesonen}}

Die Unsicherheit in der Gesamtzahl der in der Analyse verwendeten $B$-Mesonen stammt
aus zwei Quellen. Zun\"achst ist die Anzahl der Ereignisse, in denen ein Proze\ss\
der Art $e^+e^-\to\FourS\to\BB$ stattgefunden hat, nur fehlerbehaftet bekannt.
Des weiteren ist auch das Verh\"altnis, in welchem neutrale und geladene $B$-Mesonen
erzeugt werden, mit einer Me\ss ungenauigkeit behaftet.

Die Anzahl der $B$-Paare im Datensatz, $N_{\BB}=\left(236.0\pm 2.6\right)\cdot 10^6$,
ergibt eine relative Unsicherheit von 1.10\%, welche vollst\"andig korreliert alle
Ergebnisse f\"ur die semileptonischen Verzweigungsverh\"altnisse betrifft. Auf die
Resultate f\"ur \ADI\ und \BDII\ hat dies allerdings nur einen verschwindenen
Einflu\ss, da diese beiden Gr\"o\ss en aus den relativen Beitr\"agen der einzelnen
Helizit\"atsintervalle bzw. Zerfallskan\"ale bestimmt werden, nicht aber aus der
absoluten Zahl der Ereignisse.

Bei den Me\ss ungenauigkeiten von $f_{+-}/f_{00}$ mu\ss\ beachtet werden, da\ss\
auch hier der Einflu\ss\ f\"ur alle Zerfallsketten vollst\"andig korreliert ist,
jedoch eine Antikorrelation zwischen den Kan\"alen besteht, in denen ein neutrales
bzw. geladenes \DSS\ rekonstruiert wird.

Tabelle~\ref{tab:syst.fB} zeigt, in welcher Weise sich die Unsicherheit in
$f_{+-}/f_{00}$ auf die verschiedenen Rekonstruktionskan\"ale auswirkt und welche
systematischen Unsicherheiten sich daraus f\"ur die Resultate ergeben. 
Auch hier zeigt sich, da\ss\ sich die urspr\"ungliche relative Unsicherheit nahezu
eins zu eins in die Verzweigungsverh\"altnisse \"ubersetzt, w\"ahrend die Auswirkung
auf die Verh\"altnisse \ADI\ und \BDII\ stark unterdr\"uckt ist.

\begin{table}[bh!]
\begin{center}
\begin{tabular}{|lr||c|c|c|c||c|}
\hline
& & \multicolumn{4}{|c||}{Zerfallskette} & Summe \\
& & \DSC\PICC & \DC\PICC & \DSZ\PIC & \DZ\PIC & \\
\hline \hline
$\Delta N_B/N_B$               & [\%] & $+2.44$ & $+2.44$ & $-2.44$ & $-2.44$ & \\
\hline \hline		     
$\Delta\BR_{\DIZ}/\BR_{\DIZ}$  & [\%] & $-2.51$ & $+0.05$ & $-0.06$ & $+0.05$ & $-2.47$ \\
$\Delta\BR_{\DIIZ}/\BR_{\DIIZ}$& [\%] & $-0.63$ & $-1.82$ & $+0.24$ & $-0.31$ & $-2.52$ \\
$\Delta\BR_{\DIC}/\BR_{\DIC}$  & [\%] & $+0.13$ & $-0.16$ & $+2.64$ & $-0.14$ & $+2.47$ \\
$\Delta\BR_{\DIIC}/\BR_{\DIIC}$& [\%] & $-0.33$ & $+0.36$ & $+0.47$ & $+1.88$ & $+2.38$ \\
\hline
$\Delta\ADI/\ADI$              & [\%] & $+0.02$ & $-0.01$ & $-0.01$ & $-0.02$ & $-0.02$ \\
$\Delta\BDII/\BDII$            & [\%] & $+0.54$ & $-0.56$ & $-0.34$ & $+0.38$ & $+0.02$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Systematische Unsicherheiten aufgrund von $f_{+-}/f_{00}$]
{\label{tab:syst.fB}
Systematische Unsicherheiten der Resultate aufgrund der Me\ss genauigkeit, mit der
das Verh\"altnis $f_{+-}/f_{00}$ von neutralen und geladenen $B$-Mesonen bekannt ist.
Die Einfl\"usse sind vollst\"andig korreliert, weisen aber eine Antikorrelation
zwischen den Kan\"alen von neutralen und geladenen \DSS\ auf, was die Vorzeichen
in $\Delta N_B/N_B$ erkl\"art.}
\end{center}
\end{table}

\subsection{Verzweigungsverh\"altnisse der rekonstruierten Zerfallsketten}

F\"ur die Zerfallsbreiten der in den Rekonstruktionsketten intermedi\"ar entstandenen
Resonanzen werden die Weltmittelwerte aus~\cite{pdg} verwendet.
Die einzelnen Beitr\"age k\"onnen dabei als voneinander unabh\"angig angenommen
werden, wirken sich aber jeweils korreliert auf alle Ergebnisse aus.

Die relativen Unsicherheiten der Verzweigungsverh\"altnisse liegen im Bereich einiger
Prozent. In den Auswirkungen auf die gemessenen semileptonischen Zerfallsbreiten
erkennt man die Abh\"angigkeit der einzelnen \DSS\ von den verschiedenen
Rekonstruktionsketten wieder. Die Unsicherheiten der \DS-Mesonen \"ubersetzen sich
fast direkt in Variationen der Ergebnisse f\"ur die \DI-Mesonen, da diese
ausschlie\ss lich in den Zerf\"allen \DI\TO\DS\PIC\ nachgewiesen werden. Die
Auswirkungen auf die Resultate der \DII\ sind dagegen geringer, da f\"ur sie die
Zerfallsmodi \DII\TO\D\PIC\ dominant sind.

Entsprechend wirkt sich die Kenntnis der Zerf\"alle \DP\TO\KM\PIP\PIP\ fast nur auf
das Verzweigungsverh\"altnis $\BR_{\DIIZ}$ aus. Dieses wiederum ist deutlich weniger
abh\"angig von der Unsicherheit des Zerfalls \DZ\TO\KM\PIP, welcher sich dagegen
auf die \"ubrigen drei semileptonischen Verzweigungsverh\"altnisse auswirkt.

Das Verh\"altnis \BDII\ wird von allen vier Zerfallsbreiten beeinflu\ss t, da es
die Relation zwischen den jeweiligen Zerf\"allen in die Endzust\"ande \DS\PI\ und
\D\PI\ mi\ss t. Die Auswirkungen werden aber dadurch abgemildert, da\ss\ \BDII\
die Zerf\"alle sowohl geladener als auch neutraler \DII\ beschreibt und damit
Auswirkungen in einem Ladungszustand durch den jeweils anderen nivelliert werden.

Auf den Helizit\"atsparameter \ADI\ zeigen die Verzweigungsverh\"altnisse fast keine
Auswirkungen.
In Tabelle~\ref{tab:syst.pdg} sind die Unsicherheiten auf die Zerfallsbreiten
der intermedi\"aren Mesonen gemeinsam mit den Auswirkungen auf die Resultate
zusammengefa\ss t.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|lr||c|c|c|c|}
\hline
& & \multicolumn{4}{c|}{Zerfall} \\
& & \DSP\TO\DZ\PIP & \DSZ\TO\DZ\PIZ & \DZ\TO\KM\PIP & \DP\TO\KM\PIP\PIP \\
\hline \hline
$\Delta\BR/\BR$                 & [\%] &    0.74 &    4.68 &    1.83 &    3.58  \\
\hline \hline		   
$\Delta\BR_{\DIZ}/\BR_{\DIZ}$   & [\%] & $-0.76$ & $+0.11$ & $-1.89$ & $+0.07$  \\
$\Delta\BR_{\DIIZ}/\BR_{\DIIZ}$ & [\%] & $-0.19$ & $-0.45$ & $-0.42$ & $-2.67$  \\
$\Delta\BR_{\DIC}/\BR_{\DIC}$   & [\%] & $+0.04$ & $-5.07$ & $-1.78$ & $-0.24$  \\
$\Delta\BR_{\DIIC}/\BR_{\DIIC}$ & [\%] & $-0.10$ & $-0.93$ & $-2.03$ & $+0.54$  \\
\hline                     
$\Delta\ADI/\ADI$               & [\%] & $+0.01$ & $-0.03$ & $+0.04$ & $+0.03$  \\
$\Delta\BDII/\BDII$             & [\%] & $+0.16$ & $-1.69$ & $+0.38$ & $-0.56$  \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Systematische Unsicherheiten aufgrund der verwendeten sekund\"aren
Verzweigungsverh\"altnisse]
{\label{tab:syst.pdg}
Systematische Unsicherheiten aufgrund der verwendeten Verzweigungsverh\"altnisse.
Angegeben ist die relative Unsicherheit der vier relevanten Zerfallsbreiten, sowie
deren Auswirkungen auf die Resultate der vorliegenden Messung.}
\end{center}
\end{table}

\section{Unsicherheiten der Parametrisierung
\label{sec:syst.param}}

Als letzter Beitrag zu den systematischen Unsicherheiten mu\ss\ noch untersucht
werden, inwieweit die f\"ur die Anpassung gew\"ahlte Parametrisierung einen
Einflu\ss\ auf die Resultate hat.

F\"ur die Parametrisierung der Signale ist dies in Abschnitt~\ref{sec:fit.lineshape}
bereits geschehen. Dort wurde mit Hilfe von {\em Toy-Studien\ } eingehend verifiziert,
da\ss\ die in der Anpassung verwendeten Resonanzkurven geeignet sind, die
physikalisch relevanten Parameter Position, Breite und Normierung der Resonanz zu
bestimmen. Da all diese Gr\"o\ss en in der Anpassung freie Parameter sind und aus den
Daten bestimmt werden, wird keine systematische Unsicherheit mit der Signalform
verbunden.

Damit verbleibt als Fehlerquelle noch die Parametrisierung der Untergrundfunktion.
Da die Untergrundbeitr\"age bei der Bestimmung der Effizienz mit ber\"ucksichtigt
wurden, ist kein gro\ss er Einflu\ss\ auf die Resultate zu erwarten, sofern der
Untergrund von der Simulation richtig beschrieben wird. In
Abschnitt~\ref{sec:res.fixed-shape} wurde gezeigt, da\ss\ die Untergrundbeschreibung
der Simulation im Rahmen der statistischen Pr\"azision ad\"aquat ist. Dennoch gibt es
Diskrepanzen zwischen Monte-Carlo und Daten, so zum Beispiel die resonanzartigen
Strukturen in den \dM-Spektren der Kan\"ale \DSS\TO\DS\PIC\ bei rund 450\mevcc\
(vgl. auch Abschnitt~\ref{sec:stud.ds-peaks}).
Um diesen Effekten Rechnung zu tragen, wird die Analyse mit unterschiedlichen
Untergrundbeschreibungen wiederholt.

Alternativ zu den Polynomen dritten Grades wird eine Wurzelfunktion verwendet,
welche das Verhalten an der Phasenraumgrenze der \dM-Spektren in den Zerfallsketten
\DSS\TO\DS\PIC\ beschreibt.
Diese wird, um das Untergrundspektrum f\"ur gr\"o\ss ere Massendifferenzen anzupassen,
mit einem Polynom oder einer Exponentialfunktion multipliziert:
\begin{subequations}
\begin{align}
f_1(\dM) &= a_0 \cdot \sqrt{\dM - \dM_0} \cdot \left( 1+a_1\dM+a_2\dM^2 \right), \\
f_2(\dM) &= a_0 \cdot \sqrt{\dM - \dM_0} \cdot \left( e^{-a_1 \cdot \dM} +a_2 \right).
\end{align}
\end{subequations}
Die in der Anpassung bestimmten freien Parameter dieser Funktionen sind dabei die
Normierung $a_0$, die Position der Phasenraumgrenze $\dM_0$, sowie $a_1$ und $a_2$,
welche die Form der Spektren f\"ur gro\ss e \dM\ beschreiben.

Unter Verwendung dieser Funktionen werden nun zuerst die Effizienzen neu bestimmt.
Man erh\"alt mit
\begin{subequations}
\begin{align}
\epsilon_{\DSC}^{f_1}&=7.02\% & \epsilon_{\DSZ}^{f_1}&=5.52\% \\
\epsilon_{\DSC}^{f_2}&=7.39\% & \epsilon_{\DSZ}^{f_2}&=5.70\%
\end{align}
\end{subequations}
Abweichungen von bis zu 7\% im Vergleich zu den Werten, die mittels eines Polynoms
gewonnen wurden.

Nun werden Anpassungen an die \dM-Spektren mit den unterschiedlichen Parametrisierungen
der Untergrundfunktionen durchgef\"uhrt. Dies geschieht sowohl unter Verwendung der
jeweils passenden Effizienzen -- also derjenigen, welche mit derselben Parametrisierung
gewonnen wurden -- als auch mit den Alternativen. Die Resultate dieser Anpassungen sind
in Tabelle~\ref{tab:fit.bkg-model} zusammengefa\ss t, die Spektren mit den
\"uberlagerten Anpassungsfunktionen sind im Anhang~\ref{app:bkg-funktionen}
dargestellt.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c||c|c||c|}
\hline
\multicolumn{2}{|c||}{Parametrisierung} 
& \multicolumn{4}{|c||}{\BR(\BDSSLN) $[10^{-3}]$} & \ADI & \BDII & $\chi^2/n$ \\
\hspace{5mm}$\epsilon$\hspace{5mm} & Daten 
& \DIZ & \DIIZ & \DIC & \DIIC & & & \\
\hline \hline
\multicolumn{2}{|c||}{Standard ($P_3$)} 
              & 4.58 & 3.52 & 4.06 & 2.58 & 3.81 & 0.62 & 1.23 \\
\hline \hline
$f_1$ & $f_1$ & 4.66 & 3.58 & 4.16 & 2.63 & 3.51 & 0.62 & 1.27 \\
$f_2$ & $f_2$ & 4.67 & 3.57 & 3.93 & 2.51 & 3.32 & 0.63 & 1.31 \\
\hline \hline
$f_1$ & $P_3$ & 4.43 & 3.43 & 4.01 & 2.55 & 3.78 & 0.62 & 1.23 \\
$f_2$ & $P_3$ & 4.39 & 3.44 & 4.13 & 2.63 & 3.59 & 0.62 & 1.23 \\
\hline
$P_3$ & $f_1$ & 5.09 & 3.65 & 4.54 & 2.87 & 3.21 & 0.60 & 1.27 \\
$f_2$ & $f_1$ & 4.34 & 3.48 & 4.34 & 2.80 & 3.23 & 0.59 & 1.27 \\
\hline
$P_3$ & $f_2$ & 5.45 & 4.08 & 4.74 & 2.92 & 3.51 & 0.60 & 1.31 \\
$f_1$ & $f_2$ & 4.41 & 3.61 & 4.19 & 2.69 & 3.43 & 0.61 & 1.31 \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Resultate f\"ur verschiedene Untergrundparametrisierungen]
{\label{tab:fit.bkg-model}
Resultate der Analyse bei der Verwendung verschiedener Parametrisierungen der
Untergrundfunktion bei der Anpassung an die Daten und/oder der
Effizienzbestimmung.}
\end{center}
\end{table}

Die Resultate erweisen sich als stabil, solange dieselbe Parametrisierung f\"ur sowohl
die Anpassung als auch die Effizienzbestimmung verwendet wird. Benutzt man daf\"ur
hingegen verschiedene Funktionen, so ergeben sich teils erhebliche Abweichungen, da
effektiv eine falsche Effizienz verwendet wird. Das Vorhandensein einer Variation der
Effizienzen mit den verschiedenen Parametrisierungen zeigt, wie wichtig es ist, die
Effizienzen unter Ber\"ucksichtigung des kompletten Untergrundes und seiner
Beschreibung in der Anpassung zu bestimmen.

Als systematische Unsicherheit werden daher nur Unterschiede in Betracht gezogen,
die entstehen, wenn f\"ur Effizienz und Anpassung eine einheitliche Parametrisierung
verwendet wird. Die gr\"o\ss ten dort auftretenden Abweichungen betragen zwischen
1.7\% und 3.1\%, je nach Art der \DSS.

Es ist nicht auszuschlie\ss en, da\ss\ mit diesem Verfahren eine
Unsicherheit f\"ur die semileptonischen Verzweigungsverh\"altnisse doppelt
veranschlagt wird, denn bereits die statistische Unsicherheit der Effizienzen zieht
m\"ogliche Variationen des Untergrundes in Betracht. Je geringer das
Signal-zu-Untergrund-Verh\"altnis in einem Zerfallskanal ist, desto gr\"o\ss er wird
die statistische Unsicherheit auf die entsprechende Effizienz, da die Anpassung, mit
der die Effizienz bestimmt wird, sowohl das Signal, als auch den Untergrund
beschreiben mu\ss, und aus dieser gemeinsamen Anpassung die Fehlergrenzen bestimmt
werden. Insofern ist zumindest ein Teil der durch die Untergrundparametrisierung
gegebenen Unsicherheit schon durch die Pr\"azision der Effizienzen beschrieben.

Die Bestimmung der Gesamteffizienz in dieser Analyse l\"a\ss t prinzipiell zu,
da\ss\ Teile des Signals durch die Untergrundfunktionen mitbeschrieben werden oder
umgekehrt. Dieser Effekt wird bei der Bestimmung der Effizienzkorrekturen f\"ur die
Helizit\"atswinkelintervalle nicht ber\"ucksichtigt, da diese Korrekturen aus den
Verteilungen in $\vartheta_h$, nicht in \dM, extrahiert werden. Entsprechend sind
diese Korrekturen von der verwendeten Untergrundparametrisierung abh\"angig, was
die gro\ss e Auswirkung der Parametrisierung auf den Parameter \ADI\ erkl\"art.

Daher werden die oben erw\"ahnten Abweichungen f\"ur die
Verzweigungsverh\"altnisse als konservative Absch\"atzungen der systematischen
Unsicherheit verwendet. F\"ur den Parameter \ADI\ ergibt sich so eine Unsicherheit
von etwa 13\%, w\"ahrend das Verh\"altnis \BDII\ der \DII-Zerf\"alle nahezu keine
Unsicherheit durch die Untergrundbeschreibung erf\"ahrt.

\section{Summe der systematischen Unsicherheiten}

Die in den vorangegangenen Abschnitten diskutierten systematischen Unsicherheiten
sind in Tabelle~\ref{tab:systematics} zusammengefa\ss t. Die einzelnen Fehlerquellen
k\"onnen dabei als unkorreliert betrachtet werden, so da\ss\ sich die gesamte
systematische Unsicherheit aus der quadratischen Addition der Einzelbeitr\"age
ergibt. 
Zum Vergleich ist die statistische Pr\"azision der Messung mit angegeben.

\begin{table}[b!]
\begin{center}
\begin{tabular}{|l||r@{.}l|r@{.}l|r@{.}l|r@{.}l||r@{.}l|r@{.}l|}
\hline
relative Unsicherheit [\%] & \multicolumn{8}{|c||}{\BR(\BDSSLN)} &
\multicolumn{2}{|c|}{\ADI} & \multicolumn{2}{|c|}{\BDII} \\
& \multicolumn{2}{|c|}{\DIZ} & \multicolumn{2}{|c|}{\DIIZ} &
\multicolumn{2}{|c|}{\DIC} & \multicolumn{2}{|c||}{\DIIC} & 
\multicolumn{2}{|c|}{} & \multicolumn{2}{|c|}{} \\
\hline \hline
Spurrekonstruktion          & 1&76  & 1&39  &  1&03 &  1&14 &  0&02 &  0&05 \\
\PIZ-Rekonstruktion         & 0&06  & 0&29  &  3&25 &  0&60 &  0&01 &  0&42 \\
Teilchenidentifikation      & 2&61  & 2&75  &  3&11 &  2&64 &  0&04 &  0&08 \\
Effizienzkorrektur          & 0&65  & 0&06  &  0&17 &  0&31 & 15&46 &  0&00 \\
\hline			     
Zerfallsmodell \BDSSLN      & 2&11  & 4&75  &  3&21 &  1&95 &  0&09 &  0&65 \\
Statistik der Simulation    & 1&80  & 5&61  &  2&50 &  3&32 &  0&05 &  1&87 \\
\hline			     
Anzahl der \BB-Paare        & 1&11  & 1&07  &  1&14 &  1&05 &  0&01 &  0&02 \\
$f_{+-}/f_{00}$             & 2&47  & 2&53  &  2&47 &  2&40 &  0&02 &  0&03 \\
\hline			     
\BR(\DSC\TO\DZ\PIC)         & 0&76  & 0&19  &  0&04 &  0&10 &  0&01 &  0&16 \\
\BR(\DSZ\TO\DZ\PIZ)         & 0&11  & 0&45  &  5&07 &  0&93 &  0&03 &  1&69 \\
\BR(\DZ\TO\K\PI)            & 1&89  & 0&42  &  1&78 &  2&03 &  0&04 &  0&38 \\
\BR(\DC\TO\K\PI\PI)         & 0&07  & 2&67  &  0&24 &  0&54 &  0&03 &  0&56 \\
\hline			     
Untergrundparametrisierung  & 1&97  & 1&70  &  3&14 &  2&61 & 12&76 &  0&48 \\
\hline \hline
Systematische Unsicherheit  & 5&78  & 9&03  &  9&17 &  6&51 & 20&05 &  2&77 \\
\hline \hline
Statistische Unsicherheit   & 5&63  & 9&91  &  9&07 & 15&41 & 15&75 &  4&84 \\
\hline \hline 
Gesamtunsicherheit       &\,\,8&07  &13&41  & 12&90 & 16&73 &\,25&50&\,\,\,5&58 \\
\hline
\end{tabular}
\caption[\"Ubersicht der systematischen Unsicherheiten]
{\label{tab:systematics}
\"Ubersicht aller relativen systematischen Unsicherheiten, sowie der statistischen
Pr\"azision der Anpassung und der daraus resultierenden Gesamtunsicherheit.}
\end{center}
\end{table}

F\"ur die gemessenen semileptonischen Verzweigungsverh\"altnisse ist festzustellen,
da\ss\ es jeweils mehrere Beitr\"age derselben Gr\"o\ss enordnung gibt, welche die
systematische Unsicherheit vorrangig bestimmen. Diese Beitr\"age stammen vor allem aus
der Teilchenidentifikation des Detektors, Modell und Umfang der verwendeten
Signalsimulation, sowie den Zerf\"allen der \FourS-Resonanz und der intermedi\"aren
charm Mesonen. Das hei\ss t, da\ss\ die Analyse nicht von einer einzelnen Fehlerquelle
limitiert wird und durch die Verringerung eines Einzelbeitrags keine nennenswerte
Reduzierung der Gesamtunsicherheit erreicht werden kann. Im Vergleich zu der
statistischen Pr\"azision der Messung findet man, mit Ausnahme des geladenen \DII,
systematische und statistische Unsicherheiten gleicher Gr\"o\ss e. Eine Erweiterung
der Analyse auf den gesamten inzwischen vorhandenen Datensatz des \babar-Experimentes
w\"are also nur dann sinnvoll, wenn in gleichem Ma\ss e systematische Unsicherheiten
reduziert werden k\"onnten. Allerdings werden, unabh\"angig von dieser Analyse, zur
Bestimmung vieler systematischer Einfl\"usse bereits die \babar-Daten in vollem
Umfang verwendet, so da\ss\ eine signifikante Reduzierung der systematischen
Unsicherheit kaum zu erreichen ist.

Anders ist die Situation bei den beiden Parametern \BDII\ und \ADI, welche die
Zerf\"alle der \DSS\ beschreiben. Da sie das Verh\"altnis der Daten in verschiedenen
Zerfallskan\"alen bzw. Helizit\"atsintervallen beschreiben, sind f\"ur sie viele
systematische Einfl\"usse unterdr\"uckt. Nennenswerte Unsicherheiten entstehen im
Fall von \BDII\ nur aus der Statistik der Simulation und den sekund\"aren
Verzweigungsverh\"altnissen. Entsprechend ist das Ergebnis f\"ur \BDII\ statistisch
limitiert.

Die systematische Unsicherheit von \ADI\ schlie\ss lich ist dominiert von den
Effizienzkorrekturen in den Helizit\"atsintervallen, entspricht in ihrer Gr\"o\ss e
aber auch der statistischen Pr\"azision der Messung. Das Verfahren, mit welchem
die Korrekturfaktoren bestimmt werden, folgt einem ph\"anomenologischen Ansatz,
daher w\"are es durchaus m\"oglich, mit weiteren Studien zur Abh\"angigkeit der
Rekonstruktionseffizienz vom Helizit\"atswinkel, diese Fehlerquelle zu reduzieren.
Zusammen mit dem gesamten Datensatz k\"onnte so die Messung von \ADI\ deutlich
pr\"azisiert werden.

\subsection{Korrelierte und unkorrelierte Beitr\"age}

Sollen die einzelnen Resultate dieser Arbeit miteinander verglichen oder kombiniert
werden, so ist es wichtig, die Korrelationen zwischen den Unsicherheiten der
jeweiligen Messungen zu kennen.

Durch die gemeinsame Anpassung an die betrachteten Rekonstruktionskan\"ale sind die
systematischen Unsicherheiten der Resultate f\"ur nahezu alle Fehlerquellen
miteinander korreliert.
Die einzige Ausnahme stellt die Unsicherheit aufgrund der Untergrundparametrisierung
dar. Hier h\"angen die jeweiligen Auswirkungen auf die einzelnen Resultate stark von
der speziell gew\"ahlten Form der Parametrisierung ab, so da\ss\ dieser Einflu\ss\ 
als unkorreliert angenommen wird.

F\"ur alle \"ubrigen Quellen sind die jeweiligen systematischen Unsicherheiten
voll\-st\"an\-dig korreliert. Dabei mu\ss\ zwischen positiver und negativer
Korrelation unterschieden werden. Entsprechend wird die Gesamtunsicherheit der
Resultate in drei Beitr\"age aufgeteilt, n\"amlich korrelierte, antikorrelierte und
unkorrelierte Anteile. 
Die Einzelbeitr\"age sind im Anhang~\ref{app:syst.corr} tabelliert.
