\chapter[Theoretische Modelle der Zerf\"alle \BDSSLN]
{Theoretische Modelle der Zerf\"alle {\boldmath \BDSSLN}}

\section{Berechnung der Formfaktoren im ISGW2-Modell
\label{app:ISGW2-FF}}

Die Autoren des ISGW2-Modells w\"ahlen zur Parametrisierung des hadronischen
Stroms $H_\mu$ die folgende Form:
\begin{subequations}
\begin{align}
\left<\DI(p_X,\epsilon)\right|V^\mu\left|B(p_B)\right> &=
r\epsilon^{*\mu} + 
\left[ s_+(p_B+p_X)^\mu + s_-(p_B-p_X)^\mu \right] (\epsilon^*\cdot p_B), \\
\left<\DI(p_X,\epsilon)\right|A^\mu\left|B(p_B)\right> &=
i v \varepsilon^{\mu\alpha\beta\gamma} \epsilon^*_\alpha
(p_B+p_X)_\beta (p_B+p_X)_\gamma,\\
\left<\DII(p_X,\epsilon)\right|V^\mu\left|B(p_B)\right> &=
i k \varepsilon^{\mu\alpha\beta\gamma} \epsilon^*_{\alpha\delta}p_B^\delta
(p_B+p_X)_\beta (p_B-p_X)_\gamma, \\
\left<\DII(p_X,\epsilon)\right|A^\mu\left|B(p_B)\right> &=
k\epsilon^{*\mu\nu}{p_B}_\nu + 
\left[ b_+(p_B+p_X)^\mu + b_-(p_B-p_X)^\mu \right]
\epsilon^*_{\alpha\beta}p_B^\alpha p_B^\beta,
\end{align}
\end{subequations}
wobei $V^\mu$ und $A^\mu$ die Vektor- bzw. Axialvektoranteile des Quarkstroms $Q^\mu$
bezeichnen.
Die Vierervektoren $p$ sind mit den Vierergeschwindigkeiten verkn\"upft
durch die Beziehung $v^\mu=\frac{1}{m} p^\mu$.

Die Formfaktoren der einzelnen Matrixelemente sind gegeben durch:
\begin{align}
\label{eqn:ISGW2.FF.D1}
v &= \left[ \frac{\tilde m_B\beta_B}{4\sqrt{2}m_b m_c \tilde m_X}
+ \frac{m_d}{\tilde m_X\beta_B}\frac{\tilde w-1}{6\sqrt{2}} \right] F_5^{(v)}, \\
r &= \frac{\tilde m_B\beta_B}{\sqrt{2}} \left[
\frac{1}{\mu_+}+\frac{m_d\tilde m_X}{3m_c\beta_B^2}(\tilde w-1)^2 \right] F_5^{(r)},
\nonumber \\
s_++s_- &= \frac{m_d}{\sqrt{2}\tilde m_B\beta_B} \left[
1-\frac{m_d}{m_c}+\frac{m_d}{2\mu_+}\frac{\beta_B^2}{\beta_{BX}^2} \right] 
F_5^{(s_++s_-)}, \nonumber \\
s_+-s_- &= \frac{m_d}{\sqrt{2}m_c\beta_B} \left[
\frac{4-\tilde w}{3}-\frac{m_dm_c}{2\tilde m_X\mu_+}\frac{\beta_B^2}{\beta_{BX}^2}
\right] F_5^{(s_+-s_-)} \nonumber
\end{align}
und
\begin{align}
\label{eqn:ISGW2.FF.D2}
h &= \frac{m_d}{2\sqrt{2}\tilde m_B\beta_B}\left[
\frac{1}{m_c}-\frac{m_d}{2\tilde m_X\mu_-}\frac{\beta_B^2}{\beta_{BX}^2}\right]
F_5^{(h)}, \\
k &= \frac{m_d}{\sqrt{2}\beta_B}(\tilde w-1) F_5^{(k)}, \nonumber \\
b_++b_- &= \frac{m_d^2}{4\sqrt{2}m_cm_b\tilde m_B\beta_B}
\frac{\beta_X^2}{\beta_{BX}^2}\left[
1-\frac{m_d}{2\tilde m_B}\frac{\beta_X^2}{\beta_{BX}^2}\right] F_5^{(b_++b_-)}, 
\nonumber \\
b_+-b_- &= \frac{-m_d}{\sqrt{2}m_b\tilde m_X\beta_B} \left[
1-\frac{m_dm_b}{2\tilde m_B\mu_+}\frac{\beta_X^2}{\beta_{BX}^2}+
\frac{m_d}{4m_c}\frac{\beta_X^2}{\beta_{BX}^2} \left(
1-\frac{m_d}{2\tilde m_B}\frac{\beta_X^2}{\beta_{BX}^2} \right) \right]
F_5^{(b_+-b_-)}. \nonumber
\end{align}

Die Parameter $\tilde m$ sind dabei die Summen der Massen der Konstituentenquarks,
$\tilde m_B=m_b+m_d$ und $\tilde m_X=m_c+m_d$. Die $\beta$-Faktoren sind die
Parameter der Mesonwellenfunktionen $\beta_X=0.33$ und $\beta_B=0.43$, sowie
$\beta_{BX}^2=\frac{1}{2}(\beta_B^2+\beta_X^2)$. Die Faktoren $\mu$ sind definiert
als $\mu_\pm = (1/m_c \pm 1/m_b)^{-1}$. Tabelle~\ref{tab:ISGW2.m_q} gibt eine
\"Ubersicht \"uber die verwendeten Quark-Massen.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||ccccc|}
\hline
& $u$ & $d$ & $s$ & $c$ & $b$ \\
\hline
$m_q \, [\gev]$ & 0.33 & 0.33 & 0.55 & 1.82 & 5.12 \\
\hline
\end{tabular}
\caption{\label{tab:ISGW2.m_q}
Im ISGW2-Modell verwendete Quark-Massen}
\end{center}
\end{table}

Der Parameter $\tilde w$ ist eine Funktion von $w$:
\begin{equation}
(\tilde w-1) = \frac{m_X m_B}{\bar m_X \bar m_B}(w-1)
\end{equation}
mit den Spin-gewichteten Massen $\bar m_B=\frac{1}{4}m_B+\frac{3}{4}m_{B^*}$ und
$\bar m_X=\frac{3}{8}m_{\DI}+\frac{5}{8}m_{\DII}$.

Alle Formfaktoren in den Gleichungen~\eqref{eqn:ISGW2.FF.D1} und
\eqref{eqn:ISGW2.FF.D2} sind proportional zu einer Funktion $F_5^{(\alpha)}$, wobei
$\alpha$ den jeweiligen Formfaktor bezeichnet.
Diese Funktionen sind alle, mit jeweils verschiedenen konstanten Vorfaktoren, gegeben
durch die in Gleichung~\eqref{eqn:ISGW2-FF} verwendete universelle Funktion $F_5(q^2)$.
Explizit gilt:
\begin{equation}
F_5^{(\alpha)} = \left(\frac{\bar m_B}{\tilde m_B}\right)^{n_B(\alpha)}
\left(\frac{\bar m_X}{\tilde m_X}\right)^{n_X(\alpha)}
\left(\frac{\tilde m_X}{\tilde m_B}\right)^{\frac{1}{2}}
\left(\frac{\beta_B\beta_X}{\beta_{BX}^2}\right)^{\frac{5}{2}}
\left[1+\frac{r_{BX}^2}{12}\left(q^2_{\max}-q^2\right)\right]^{-2}.
\end{equation}
Die Potenzen der ersten beiden Vorfaktorn variieren je nachdem, welcher
Formfaktor $\alpha$ betrachtet wird; die Werte der Exponenten sind
Tabelle~\ref{tab:ISGW2.n(alpha)} zu entnehmen.
Der Faktor $r_{BX}^2$ wird \glqq Ladungsradius\grqq\
genannt~\cite{ISGW2}, er betr\"agt f\"ur charm Mesonen typischerweise
$r_{BX}^2\sim 0.2\gev^{-2}c^4$.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||cc|}
\hline
Formfaktor $\alpha$ & $n_B(\alpha)$ & $n_X(\alpha)$ \\
\hline \hline
$v$       & $-1/2$ & $-1/2$ \\
$r$       & $+1/2$ & $+1/2$ \\
$s_++s_-$ & $-3/2$ & $+1/2$ \\
$s_+-s_-$ & $-1/2$ & $-1/2$ \\
\hline
$h$       & $-3/2$ & $-1/2$ \\
$k$       & $-1/2$ & $+1/2$ \\
$b_++b_-$ & $-5/2$ & $+1/2$ \\
$b_+-b_-$ & $-3/2$ & $-1/2$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{\label{tab:ISGW2.n(alpha)}
Potenzen der Vorfaktoren des universellen Formfaktors $F_5$ im ISGW2-Modell}
\end{center}
\end{table}

