\chapter[Extraktion der Verzweigungsverh\"altnisse]
{Extraktion der semileptonischen Verzweigungsverh\"altnisse
\label{chap:fit}}

Im vorangegangenen Kapitel wurde gezeigt, wie aus dem mit dem \babar-Detektor
aufgenommenen Datensatz Ereignisse des Typs \BDSSLN\ selektiert werden. Zur
Bestimmung der gesuchten semileptonischen Verzweigungsverh\"altnisse m\"ussen
nun zum einen die Beitr\"age von Signal und Untergrund, und zum anderen die
einzelnen Signalbeitr\"age voneinander getrennt werden.

In den Spektren von $\Delta m$ f\"ur die Kan\"ale \DSS\TO\D\PI\ tr\"agt nur das
\DII\ als Signal bei, w\"ahrend in den Kan\"alen \DSS\TO\DS\PI\ die Erh\"ohungen
der beiden Beitr\"age des \DI\ und des \DII\ so dicht beieinander liegen, da\ss\ sie
aufgrund der Masseninformation alleine nicht zu trennen sind.

Da das Verh\"altnis $\Gamma(\DII\to D \pi)/\Gamma(\DII\to \DS\pi)$ nicht pr\"azise
bekannt ist, hilft die gemeinsame Betrachtung der Kan\"ale nur dahingehend, das
Signal der \DII\ in seiner Position in den Spektren der Kan\"ale \DS\PI\ zu
fixieren. Notwendig ist daher die Verwendung einer weiteren Information. Diese besteht
darin, da\ss\ sich die beiden \DSS-Zust\"ande im Ge\-samt\-dreh\-impuls unterscheiden
und daher der Drehimpuls des produzierten \DS, also sein Spin, davon abh\"angt,
welcher Art das urspr\"ungliche \DSS\ war. Der Spin des \DS\ wiederum kann durch
den Helizit\"atswinkel analysiert werden. Wie dies geschieht, wird im folgenden
Abschnitt erkl\"art.

\section{Der Helizit\"atswinkel
\label{sec:fit.helicity}}

Im Ruhesystem des \DSS\ definiert der Zweik\"orperzerfall eine z-Achse, auf die der
relative Drehimpuls zwischen dem \DS\ und dem \PI\ senkrecht steht. Nimmt man die
Zerfallsachse als Bezug, so ist der relative Drehimpuls also, da es sich um
D-Wellen-Zerf\"alle handelt, gegeben durch $J_L=\left|2,0\right>$. Entsprechend kann man den
Ge\-samt\-dreh\-impuls des \DSS\ und den Spin des \DS\ ausdr\"ucken und erh\"alt, da
das Pion keinen Eigendrehimpuls besitzt, die Gleichung
\begin{equation}
\left|J_{\DSS},m_z(\DSS)\right> = \left|2,0\right> + \left|1,m_z(\DS)\right>.
\label{eqn:helicity}
\end{equation}

Prinzipiell sind f\"ur \DSS\ alle $m_z$-Komponenten m\"oglich, und ihre relativen
Beitr\"age h\"angen davon ab, ob und wie das \DSS\ urspr\"unglich polarisiert war.
Trotzdem beinhaltet Gleichung~\eqref{eqn:helicity} eine Einschr\"ankung, denn f\"ur
den Beitrag $m_z(\DS)=0$ gilt, da\ss\ sich der Spin des \DS\ und ein Bahndrehimpuls
von $L=2$ nicht zu einem Gesamtdrehimpuls $J=2$ addieren k\"onnen. Die Addition der
z-Komponenten liefert n\"amlich $m_z(\DSS)=0$ und f\"ur den entsprechenden
Clebsch-Gordan-Koeffizienten gilt:
\begin{equation}
\left<j_1,j_2;m_1,m_2|J,M\right> = \left<1,2;0,0|2;0\right> = 0.
\end{equation}
Damit kann (im Ruhesystem des \DSS) der Spin von \DS-Mesonen, die aus \DII-Zerf\"allen
stammen, nicht in Richtung der \DS-Flugrichtung liegen.

Im Zerfall \DS\TO\D\PI\ wird der Spin
des \DS\ in einen Bahndrehimpuls zwischen dem  \D\ und dem Pion umgewandelt und
steht daher, im Ruhesystem des \DS, wieder senkrecht auf die Zerfallsachse.
So kann man nun den Spin des \DS\ statistisch analysieren, indem man die Zerfallsachse
des \DS\ in seinem Ruhesystem in Bezug setzt zur Flugrichtung des \DS\ im Ruhesystem
des \DSS. Um den Winkel zwischen den beiden Richtungen, die zun\"achst in
unterschiedlichen Bezugssystemen definiert sind, bestimmen zu k\"onnen, ben\"otigt
man die relative Bewegung der beiden Systeme gegeneinander, auch
{\em Boost}-Richtung genannt. Sie ist gegeben durch den Impuls des Pions aus dem
\DSS-Zerfall, da im \DS-Ruhesystem $\vec p_{\pi_J}=\vec p_{\DSS}$ gilt.
Somit ist der Helizit\"atswinkel $\vartheta_h$ des \DS\ definiert als der Winkel
zwischen den Impulsen der beiden Pionen aus den Zerf\"allen des \DSS\ und des \DS\
im Ruhesystem des \DS\ (vgl. Abbildung~\ref{fig:helicity-definition}). 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=60mm]{pic.fit/dss_decay-dss_sys.eps} \hspace*{2cm}
\includegraphics[width=40mm]{pic.fit/dss_decay-ds_sys.eps}
\caption[Definition des Helizit\"atswinkels]
{\label{fig:helicity-definition}
Die Zerfallskette \DSS\TO\DS\PI\TO\D\PI\PI\ in den Ruhesystemen des \DSS\ (links)
und des \DS\ (rechts). Die Achse der relativen Bewegung zwischen den beiden Systemen
ist durch die Flugrichtung des Pions aus dem \DSS-Zerfall gegeben, wodurch der
Zerfallswinkel des \DS\ als der Winkel zwischen den beiden Pionen der Zerfallskette
im \DS-System gegeben ist.}
\end{center}
\end{figure}

F\"ur die drei m\"oglichen Orientierungen des Spins des \DS\ kann man anhand der
Kugelfl\"achenfunktionen die Verteilungen des Helizit\"atswinkel bestimmen. F\"ur die
Komponenten $m_z(\DS)=\pm 1$ ist ${\rm d}N/{\rm d}\cos\vartheta_h$ proportional
zu $\sin^2\vartheta_h$ verteilt, w\"ahrend die Komponente $m_z(\DS)=0$ zu einer
Verteilung proportional zu $\cos^2\vartheta_h$ f\"uhrt.

\subsubsection{Helizit\"atsverteilung in {\boldmath \DII-Zerf\"allen}}

Da das \DII\ wegen Drehimpuls- und Parit\"atserhaltung \"uber eine D-Welle ($L=2$)
zerfallen mu\ss, gilt unabh\"angig von einer m\"oglichen Polarisation des \DII,
da\ss\ der Spin des Tochter-\DS\ eine z-Komponente von $\pm1$ haben mu\ss.
Daher folgt die Helizit\"atswinkelverteilung in solchen Zerf\"allen exakt einer
Proportionalit\"at zu $\sin^2\vartheta_h$.

\subsubsection{Helizit\"atsverteilung in {\boldmath \DI-Zerf\"allen}}

Im Falle des \DI\ treten dagegen alle Helizit\"atsamplituden f\"ur das \DS\ auf,
das hei\ss t, es kommt in der Verteilung zu einer Summe aus Termen proportional 
zu $\cos^2\vartheta_h$ und $\sin^2\vartheta_h$, die allgemein als
$1+\ADI \cos^2\vartheta_h$ beschrieben werden kann.
Dabei bestimmt \ADI\ das Verh\"altnis zwischen den beiden Beitr\"agen.

L\"a\ss t man zun\"achst eine m\"ogliche Polarisation des \DI\ au\ss er acht, so
sind die St\"arken der jeweiligen Beitr\"age durch die entspechenden
Clebsch-Gordan-Koeffi\-zienten gegeben:
\begin{subequations}
\begin{align}
\left|1,\pm 1\right> &= 
\sqrt{1/10} \cdot \left( \left|2,0\right> + \left|1,\pm 1\right> \right)\\
\left|1,0\right>     &= 
-\sqrt{2/5} \cdot \left( \left|2,0\right> + \left|1,0\right> \right).
\end{align}
\end{subequations}
Aus dem Verh\"altnis der Clebsch-Gordan-Koeffizienten folgt, da\ss\ der Beitrag
proportional zu $\cos^2\vartheta_h$ doppelt so h\"aufig auftritt, wie die
Komponente proportional zu $\sin^2\vartheta_h$. Ber\"ucksichtigt man die Normierung
der beiden Funktionen 
($\int_{-1}^{+1} 1-x^2 {\rm d}x = 2 \int_{-1}^{+1} x^2 {\rm d}x$),
so erh\"alt man f\"ur die Summe eine Verteilung von $1+3\cos^2\vartheta_h$,
also $\ADI=3$.

Allerdings kann \ADI\ von diesem Wert abweichen, wenn die \DI\ aufgrund ihrer 
Produktion polarisiert sind. Die beiden Extremf\"alle, da\ss\ die Komponente
mit $m_z=0$ ausschlie\ss lich oder gar nicht auftritt, sind durch die Grenzen
$\ADI=-1$ und $\ADI=\infty$ gegeben, in denen die Helizit\"atsverteilung
ausschlie\ss lich durch $\sin^2\vartheta_h$ oder $\cos^2\vartheta_h$ beschrieben
ist.

Im Gegensatz zum \DII\ ist beim \DI\ allerdings auch ein Zerfall via S-Welle
m\"oglich. Die Erhaltung des Drehimpulses h\"atte dann, analog zu
Gleichung~\eqref{eqn:helicity}, die Form
\begin{equation}
\left|1,m_z(\DSS)\right> = \left|0,0\right> + \left|1,m_z(\DS)\right>.
\end{equation}
Dieser Beitrag ist HQS-unterdr\"uckt, aber im Rahmen einer endlichen $c$-Masse
m\"og\-lich. Sofern das \DI\ nicht polarisiert ist, bevorzugt der S-Wellen-Zerfall
keine Ausrichtung des Spins des \DS\ und ergibt also einen flachen Beitrag in der
Helizit\"ats\-winkel\-ver\-teilung, bzw. der Wert f\"ur \ADI\ wird kleiner als 3 sein.
Allerdings wurde in Abschnitt~\ref{sec:einltg.dss} bereits gezeigt, da\ss\
aufgrund der Breite des \DI\ ein S-Wellen-Beitrag zum Zerfall klein sein sollte.
Die in der Simulation verwendeten Helizit\"ats\-win\-kel\-ver\-teil\-ung\-en sind in
Abbildung~\ref{fig:helicity} dargestellt.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=120mm]{pic.fit/helicity.eps}
\caption[Helizit\"atswinkelverteilung f\"ur \DS\ aus \DSS-Zerf\"allen]
{\label{fig:helicity}
Die Verteilungen der Helizit\"atswinkel f\"ur \DS, welche aus Zerf\"allen des \DI\
(links) bzw. \DII\ (rechts) stammen. Gezeigt sind die Verteilungen f\"ur simulierte
Ereignisse von \DSS, die unpolarisiert erzeugt werden und in reinen
D-Wellen-\"Uberg\"angen zerfallen.}
\end{center}
\end{figure}

Um nun aus einer Anpassung sowohl das Verh\"altnis von \DI\ und \DII, als auch
die genaue Form des Beitrages der \DI-Mesonen extrahieren zu k\"onnen, wird der
Datensatz in den Kan\"alen \DSS\TO\DS\PI\ in verschiedene Bereiche der Variablen
$\cos\vartheta_h$ aufgespaltet. Da alle Helizit\"atswinkelverteilungen symmetrisch
sind, wird der Betrag $|\cos\vartheta_h|$ betrachtet und das Intervall
$|\cos\vartheta_h|\in[0|1]$ in vier \"aquidistante Bereiche unterteilt.

\section{Die Funktionen der Anpassung
\label{sec:fit.fitfunc}}

Nach der Aufteilung im Helizit\"atswinkel gibt es insgesamt zehn Spektren in
$\Delta m$, n\"amlich vier verschiedene Helizit\"atsbereiche im Kanal \DS\PI\ sowie
den Kanal \D\PI, und dies jeweils in den zwei verschiedenen Ladungszust\"anden
\DSSZ\ und \DSSC. An diese zehn Verteilungen werden nun simultan Funktionen
angepa\ss t, die die einzelnen Signalbeitr\"age der beiden schmalen \DSS\ sowie
die Untergr\"unde beschreiben.

Alle diese Funktionen sind der Art
\begin{align}
f(\dM) =& 
\sum_{\DSS}^{} \left( N_B \cdot n_\ell \cdot \BR_{\DSS} \cdot \BR_{2nd} \cdot 
 \epsilon_{reco} \cdot \epsilon_{hel} \cdot 
 BW(\dM ; m_{\DSS} , \Gamma_{\DSS} ) \right) 
\nonumber \\
& + f_{bkg}(\dM).
\label{eqn:fitfunc}
\end{align}
Die einzelnen Parameter bedeuten dabei die Anzahl der im Datensatz enthaltenen
$B$-Me\-sonen, $N_B$, die Zahl der in der Analyse verwendeten Leptonarten, $n_\ell$,
die Verzweigungsverh\"altnisse der Produktion und des Zerfalls
der \DSS, $\BR_{\DSS}$ und $\BR_{2nd}$, sowie die Effizienzen der
Rekonstruktion, $\epsilon_{reco}$, und der Unterteilung in der Helizit\"at,
$\epsilon_{hel}$.
Das Produkt all dieser Gr\"o\ss en liefert die Anzahl der in einem Datensatz
enthaltenen rekonstruierten \DSS\ und wird multipliziert mit einer normierten 
Verteilungsfunktion, welche die Resonanzkurve der \DSS\ beschreibt. In den Kan\"alen
\DS\PI\ wird dabei \"uber die beiden Signale f\"ur \DI\ und \DII\ summiert.
Schlie\ss lich wird eine empirisch gefundene Funktion, welche den Untergrund
beschreibt, hinzuaddiert.

Im folgenden werden nun die einzelnen Parameter beschrieben.

\subsection[Die Anzahl der $B$-Mesonen]
{Die Anzahl der {\boldmath $B$-Mesonen}}

Wie bereits im Abschnitt~\ref{sec:exp.lumi} beschrieben, existiert ein
Standardverfahren, um zu einem verwendeten Teil des \babar-Datensatzes die
entsprechende integrierte Luminosit\"at und gleichbedeutend die Anzahl der
enthaltenen \BB-Ereignisse zu bestimmen~\cite{bcount}.
F\"ur den vorliegenden Datensatz ist die Anzahl der $B$-Paare:
\begin{equation}
N_{\BB} = 235994456.1 \pm 2597225.8.
\end{equation}

Nach dem neuesten Weltmittelwert der {\em Heavy Flavour Averaging Group} entstehen
dabei etwas mehr geladenen $B$-Mesonen als neutrale~\cite{HFAG}.
Das Verh\"altnis der beiden ist gegeben zu
\begin{equation}
f_{+-}/f_{00} = 1.065 \pm 0.026.
\end{equation}
Damit erh\"alt man f\"ur die in der Analyse verwendete Anzahl geladener und
neutraler $B$-Mesonen die folgenden Werte:
\begin{subequations}
\begin{align}
N_{\BC} &= \frac{2 N_{\BB}}{1+\left(f_{+-}/f_{00}\right)^{-1}} = 243422852.92 \\
\mbox{und \hspace*{1cm}}
N_{\BZ} &= \frac{2 N_{\BB}}{1+f_{+-}/f_{00}} = 228566059.08,
\end{align}
\end{subequations}
wobei der Faktor zwei der Tatsache Rechnung tr\"agt, da\ss\ die $B$-Mesonen immer
paarweise produziert werden.

\subsection{Die Verzweigungsverh\"altnisse}

Die vier Verzweigungsverh\"altnisse der semileptonischen \DSS-Produktion,
$\BR_{\DSS}$, sind die wesentlichen Gr\"o\ss en, die in der vorliegenden
Analyse bestimmt werden sollen. Sie sind also freie Parameter der Anpassung.

Im Vergleich zu den Mesonen sind sowohl das Elektron als auch das Myon
hinreichend leicht, um Unterschiede im Verzweigungsverh\"altnis aufgrund ihrer
Masse vernachl\"assigen zu k\"onnen. Mit dieser Annahme,
$\BR(B\to\DSS e\nu_e)=\BR(B\to\DSS \mu\nu_\mu)$, verdoppelt sich bei der Verwendung
von Elektronen und Myonen das rekonstruierte Verzweigungsverh\"altnis. Es gilt
also
\begin{subequations}
\begin{align}
n_\ell &= 1 \hspace{1cm} \mbox{f\"ur $e$ oder $\mu$}, \\
n_\ell &= 2 \hspace{1cm} \mbox{f\"ur $e$ und $\mu$}.
\end{align}
\end{subequations}

Die sekund\"aren Verzweigungsverh\"altnisse $\BR_{2nd}$ geben die
Wahrscheinlichkeit an, da\ss\ ein produziertes \DSS\ in genau den Endzustand,
in dem es rekonstruiert wird, zerf\"allt.
F\"ur die Verzweigungsverh\"altnisse der \DSS-Zerf\"alle m\"ussen einige Annahmen
gemacht werden, da bisher keine pr\"azisen Messungen vorliegen. Prinzipiell kann
man die m\"oglichen Endzust\"ande anhand von drei Kriterien unterscheiden.

\begin{enumerate}
\item Ladung des Pions\\
Da die Zerf\"alle der \DSS\ von der starken Wechselwirkung bestimmt sind, kann
man annehmen, da\ss\ der Isospin in diesen Zerf\"allen erhalten ist. Im
Isospin-Formalismus tragen die Pionen einen Isospin von 1 und unterscheiden
sich in ihrer dritten Komponente, wobei das \PIZ\ durch den Zustand $|1,0>$,
geladene Pionen durch die Zust\"ande $|1,\pm 1>$ beschrieben werden.
Da das $c$-Quark keinen Isospin tr\"agt, haben die Charm-Mesonen einen Isospin
von $|\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}>$. Die relativen Beitr\"age k\"onnen nun wieder
aus den Clebsch-Gordan-Koeffizienten bestimmt werden:
\begin{equation}
\left| \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2} \right> = 
\frac{1}{3} \cdot \left( 
  \left|\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\right> + \left|1,0\right> \right) + 
\frac{2}{3} \cdot \left(
  \left|\frac{1}{2},\mp\frac{1}{2}\right> + \left|1,\pm1\right> \right),
\end{equation}
das hei\ss t, da\ss\ die Zerf\"alle in geladene Pionen doppelt so h\"aufig auftreten,
wie diejenigen in neutrale Pionen (vgl. Abschnitt~\ref{sec:einltg.isospin}). F\"ur
alle vier betrachteten Zerfallsketten liefert der Isospin also einen Faktor
von $2/3$.

\item Spin des schweren Tochtermesons\\
Wie in Abschnitt~\ref{sec:einltg.dss} bereits diskutiert wurde, kann das \DI\ 
wegen der Erhaltung von Drehimpuls und Parit\"at resonant nur nach \DS\PI\ zerfallen,
w\"ahrend dem \DII\ beide Endzust\"ande, \DS\PI\ und \D\PI, zug\"anglich sind.

Das Verh\"altnis der beiden Kan\"ale ist bisher lediglich mit einer Genauigkeit 
von etwa 30\% bestimmt~\cite{pdg,Exp-BDII}, theoretische Vorhersagen haben sogar noch
gr\"o\ss ere Unsicherheiten~\cite{HQS.BDII}.
Daher wird dieses Verh\"altnis ebenfalls aus den Daten bestimmt, indem ein
Parameter \BDII, definiert als
\begin{equation}
\BDII = \frac{\BR(\DII\TO\D\PI)}{\BR(\DII\TO\D\PI)+\BR(\DII\TO\DS\PI)},
\end{equation}
in der Anpassung frei zwischen Null und Eins variiert werden kann.

\item Dreik\"orper-Zerf\"alle\\
Prinzipiell sind neben den \"Uberg\"angen $\DSS\to D^{(*)}\pi$ auch 
Dreik\"orper-Zerf\"alle $\DSS\to D\pi\pi$ m\"oglich. Belle hat solche 
Zerf\"alle in der Analyse von hadronischen $B$-Zerf\"allen
nachgewiesen~\cite{belle.D1-nonres} und ihren Beitrag mit etwa
20\% bestimmt, allerdings mit gro\ss er relativer Unsicherheit.

In der vorliegenden Analyse werden diese Beitr\"age bei der Extraktion der
Resultate vernachl\"assigt und sp\"ater die Ergebnisse entspechend korrigiert
(vgl. Abschnitt~\ref{sec:res.interpretation}).

\end{enumerate}

Zus\"atzlich m\"ussen neben den Zerf\"allen der \DSS\ noch die weiteren 
Ver\-zweigungs\-ver\-h\"alt\-nisse der \D- und \DS-Mesonen ber\"ucksichtigt werden. 
Diese sind bereits relativ pr\"azise vermessen, und die Weltmittelwerte aus~\cite{pdg}
werden verwendet. Die verbleibenden Unsicherheiten auf diese Werte 
sind im Rahmen der systematischen Fehler ber\"ucksichtigt.

Die sich so ergebenen Werte f\"ur $\BR_{2nd}$ sind in Tabelle~\ref{tab:br2nd}
gelistet.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{c||c|c|c||c}
Zerfall & $\BR(\DSS\to D^{(*)}\pi)$ & $\BR(\DS)$ & $\BR(D)$ & $\BR_{2nd}$ \\
\hline
\DIC\TO\DSZ\PIC   & $2/3$ & 0.619 & 0.0382 & 0.0158 \\
\DIIC\TO\DSZ\PIC  & $2/3 \cdot (1-\BDII)$ & 0.619 & 0.0382 & $0.0158\cdot(1-\BDII)$ \\
\DIIC\TO\DZ\PIC   & $2/3 \cdot \BDII$ & --- & 0.0382 & $0.0255 \cdot \BDII$ \\
\hline
\DIZ\TO\DSC\PICC  & $2/3$ & 0.677 & 0.0382 & 0.0172 \\
\DIIZ\TO\DSC\PICC & $2/3 \cdot (1-\BDII)$ & 0.677 & 0.0382 & $0.0172\cdot(1-\BDII)$ \\
\DIIZ\TO\DC\PICC  & $2/3 \cdot \BDII$ & --- & 0.0951 & $0.0634\cdot \BDII$ \\
\end{tabular}
\caption[Sekund\"are Verzweigungsverh\"altnisse in den selektierten Zerfallsketten]
{\label{tab:br2nd}
Beitr\"age zu $\BR_{2nd}$ der einzelnen Zerf\"alle vom \DSS\ in den 
rekonstruierten Endzustand. Die angegebenen Faktoren werden in der Anpassung 
verwendet, \BDII\ ist in der Anpassung ein freier Parameter.}
\end{center}
\end{table}

\subsection{Die Resonanzkurven
\label{sec:fit.lineshape}}

Zur Beschreibung der Signale ist es notwendig, die Form der Resonanzen im
\dM-Spektrum zu kennen. Diese ist gegeben zum einen durch die physikalische
Breite der \DSS-Resonanz und zum anderen durch die Detektoraufl\"osung.
Die durch den \babar-Detektor gegebene Massenaufl\"osung wurde bereits in
Abschnitt~\ref{sec:reco.aufl} diskutiert. Sie liegt f\"ur alle vier
rekonstruierten Zerfallsketten im Bereich von zwei bis drei \mevcc.

\subsubsection{Form der Resonanzkurven}

Die physikalische Breite der Resonanzen entspringt der Tatsache, da\ss\ die
\DSS\ keine stabilen Teilchen sind und so aufgrund ihrer endlichen Lebensdauer
im Rahmen der Unsch\"arferelation invariante Massen aufweisen k\"onnen, die nicht
der nominellen Masse entsprechen. Diese Massenverteilung erh\"alt man aus der
Fourier-Transformation der zeitlichen Entwicklung des Zustandes, welche
wiederum durch die Schr\"odinger-Gleichung gegeben ist. Die resultierende
Resonanzkurve wird Breit-Wigner-Kurve genannt. Als energieabh\"angiger
Wirkungsquerschnitt ausgedr\"uckt ist sie gegeben durch die Funktion:
\begin{equation}
\frac{{\rm d}\sigma_{rel}(E)}{{\rm d}E} = \sigma_0 \cdot
\frac{m^2 \Gamma^2_p}{\left(m^2 - E^2 \right)^2 + m^2 \Gamma^2_{tot}},
\label{eqn:BW.rel}
\end{equation}
wobei $m$ die nominelle Masse des Zustands ist, $\Gamma_p$ die Partialbreite
des betrachteten Prozesses, $\Gamma_{tot}$ die Gesamtbreite der Resonanz und
$\sigma_0$ der Wirkungsquerschnitt bei $E=m$.

In klassischer N\"aherung, also f\"ur $E\approx m$, geht dieser Ausdruck in die
klassische Breit-Wigner-Verteilung \"uber:
\begin{equation}
\frac{{\rm d}\sigma_{klass}(E)}{{\rm d}E} = \sigma_0 \cdot
 \frac{\Gamma^2_p/4}{(m - E)^2 + \Gamma^2_{tot}/4}.
\label{eqn:BW.klass}
\end{equation}

In beiden Beschreibungen ist die Dynamik des betrachteten Prozesses, insbesondere
der Phasenraum, vernachl\"assigt. Solche Effekte gewinnen vor allem dann einen
gro\ss en Einflu\ss\ auf die beobachtete Resonanzstruktur, wenn der betrachtete
Proze\ss\ nahe der kinematischen Grenze liegt.

Um dies zu ber\"ucksichtigen, werden die in der Resonanzkurve verwendeten
Breiten als Funktion der Energie variiert. Dabei gibt $\Gamma(E)$ die Breite
an, welche die Resonanz h\"atte, w\"are ihre nominelle Masse $E$ anstelle von $m$.
Dabei bietet es sich an, als Parameter von $\Gamma$ anstelle der Energie den
Impuls der Tochterteilchen im Ruhesystem der Resonanz zu verwenden. Beim
Zweik\"orperzerfall eines Teilchens der Ruheenergie $E$ ist dieser Impuls
gegeben durch
\begin{equation}
p(E)=\frac{\sqrt{\left(E^2-(m_1+m_2)^2\right)\cdot\left(E^2-(m_1-m_2)^2\right)}}{2 E},
\label{eqn:p2body}
\end{equation}
wobei $m_1$ und $m_2$ die Massen der beiden T\"ochter bezeichnen. An der
Phasenraumgrenze $E=m_1+m_2$ ist dabei $p=0$ und f\"ur die Resonanz mu\ss\
$\Gamma(p=0)=0$ gelten.

In welcher Form die energieabh\"angige Breite der Resonanz an der Phasenraumgrenze
gegen Null strebt, h\"angt wesentlich von den auftretenden Drehimpulsen ab. Je
geringer die Impulse der Tochterteilchen sind, desto schwieriger ist es, einen
relativen Bahndrehimpuls $\vec v\times \vec r$ zu erzeugen.
Erfolgt ein Zweik\"orperzerfall \"uber eine Partialwelle mit Drehimpuls $L$, so ist
die Breite nahe der Schwelle gegeben durch
\begin{equation}
\Gamma(p) \sim p^{2L+1}.
\end{equation}
Diese Abh\"angigkeit vom Drehimpuls wird Zentrifugal-Barriere genannt. Sie gilt
allerdings nur in unmittelbarer N\"ahe der Phasenraumgrenze. Bei h\"oheren
Energien und damit h\"oheren Impulsen der Tochterteilchen verschwindet der
Einflu\ss\ des Dreh\-impulses. Daher kann die Breite nicht weiter als Potenzgesetz
ansteigen, was zu einer unsinnigen Erh\"ohung des Wirkungsquerschnitts f\"uhren 
w\"urde.
Eine f\"ur alle Energiebereiche anwendbare Beschreibung der Breite ist durch die
Blatt-Weisskopf-Funktionen $F_L$ gegeben~\cite{Blatt-Weisskopf}:
\begin{equation}
\Gamma(p) = \Gamma_0 \cdot \left[ F_L \left(p/p_0 \right) \right]^2,
\end{equation}
wobei $\Gamma_0$ und $p_0$ die Breite bzw. den Impuls bei der nominellen Masse
der Resonanz, $m$, angeben. Diese Funktionen $F_L$ sind derart normiert, da\ss\
$F(1)=1$ gilt, f\"ur $p\to 0$ gehen sie in die entsprechende Potenzfunktion \"uber,
und im Grenzwert $p\to\infty$ werden sie asymptotisch konstant.
  
F\"ur die D-Wellen-Zerf\"alle der schmalen \DSS\ gilt
\begin{equation}
F_2(x) = \sqrt{\frac{13 x^2}{(x-3)^2 + 9 x}}.
\label{eqn:Blatt-Weisskopf}
\end{equation}
Abbildung~\ref{fig:BW.varGam} zeigt die Variation der Breite $\Gamma(E)$ und deren
Einflu\ss\ auf die Resonanzkurve sowohl f\"ur ein reines Potenzgesetz als auch
die realistische Parametrisierung mittels der Blatt-Weisskopf-Funktion.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{pic.fit/bw_vargam.eps}
\caption[Breit-Wigner-Resonanz mit energieabh\"angiger Breite]{
\label{fig:BW.varGam}
Relativistische Breit-Wigner-Resonanz (rechts) mit energie\-ab\-h\"an\-giger
Breite (links) am Beispiel der \DIZ-Resonanz. Die gepunkteten Kurven entsprechen
einem reinen Potenzgesetz f\"ur die Breite, die durchgezogenen Kurven der
realistischen Blatt-Weisskopf-Parametrisierung.}
\end{center}
\end{figure}

Generell l\"a\ss t sich der Einflu\ss\ der Dynamik auf die Resonanzstruktur so
beschreiben, da\ss\ der Wirkungsquerschnitt auf der niederenergetischen Flanke
der Resonanz abgesenkt wird, so da\ss\ er an der kinematischen Schwelle
verschwindet. Im gleichen Ma\ss e wird der Wirkungsquerschnitt f\"ur Energien
oberhalb der nominellen Masse angehoben, allerdings f\"allt er trotzdem f\"ur
hohe Energien asymtpotisch auf Null.

Im Falle der schmalen \DSS-Resonanzen ist dabei eine klare Hierarchie der
eingehenden Parameter erf\"ullt: Die Breite von wenigen zehn \mev\ ist klein
verglichen mit dem Abstand der Resonanz von der Phasenraumgrenze, welcher
rund 300\mev\ betr\"agt, und dieser wiederum ist klein gegen die Masse der \DSS.
Dadurch ist erstens der Einflu\ss\ der kinematischen Grenze auf die energieabh\"angige
Breite gering, und zweitens ist die klassische N\"aherung $E\approx m$ erf\"ullt.
Dies motiviert die Verwendung der klassischen Beschreibung, was drei entscheidende
Vorteile hat:
\begin{enumerate}
\item Durch die Verwendung einer konstanten Breite $\Gamma$ wird die Funktion
hinreichend einfach, so da\ss\ sie in einem multidimensionalen Fit problemlos
benutzt werden kann.
\item Da die Masse der Resonanz ausschlie\ss lich die Position des Maximums der
Funktion bestimmt und sonst keinen weiteren Einflu\ss\ auf die Form der Kurve hat,
kann die Resonanzkurve $BW(E)$ durch eine einfache Verschiebung auf die Spektren
der Massendifferenz $BW(\dM)$ \"ubertragen werden.
\item Von den drei diskutierten Resonanzkurven ist die klassische
Breit-Wigner-Funktion die einzige, deren Integral analytisch berechenbar ist.
\end{enumerate}
Insbesondere der letzte Punkt, die Integrierbarkeit der Funktion, ist von gro\ss er
Bedeutung f\"ur die Bestimmung der gesuchten semileptonischen Produktionsraten.
Da verschiedene Zerfallskan\"ale mit unterschiedlichen Verzweigungsverh\"altnissen
simultan verwendet werden, m\"ussen alle auftretenden Verteilungsfunktionen
(vgl. Gleichung~\eqref{eqn:fitfunc}) normiert sein. Diese Normierung wird im
n\"achsten Abschnitt genauer untersucht.

Zur Verdeutlichung des prinzipiellen Einflusses der Phasenraumgrenze auf die Form
der Resonanz, sowie die Unterschiede zwischen klassischer und relativistischer
Beschreibung, wird im Anhang in Abschnitt~\ref{app:BW.lineshape} eine hypothetische
breite Resonanz nahe der kinematischen Grenze diskutiert.

\subsubsection{Normierung der Resonanzkurven}

Bei der Definition der klassischen Breit-Wigner-Resonanz in
Gleichung~\eqref{eqn:BW.klass} steht im Z\"ahler der Funktion die Partialbreite
$\Gamma_p$ des betrachteten Zerfallskanals. Das bedeutet, da\ss\ eine Resonanz
in allen Zerfallskan\"alen dieselbe Form aufweist, ihre H\"ohe allerdings vom
Verzweigungsverh\"altnis des betrachteten Kanals abh\"angt.

Im hier gew\"ahlten Ansatz, alle rekonstruierten Zerfallskan\"ale simultan zu
beschreiben, wird den unterschiedlichen Verzweigungsverh\"altnissen dadurch
Rechnung getragen, da\ss\ sie explizit als Faktoren in der Anpassungsfunktion
Gleichung~\eqref{eqn:fitfunc} auftreten. Damit k\"onnen die unterschiedlichen
Partialbreiten alle durch die nominelle Breite der Resonanz ersetzt werden,
so da\ss\ die Resonanzkurve gegeben ist durch
\begin{equation}
BW(\dM) = \frac{\Gamma^2/4}{\left(\dM - \dM_0 \right)^2 + \Gamma^2/4}
= \frac{1}{\left(2 \frac{\dM - \dM_0}{\Gamma} \right)^2 +1},
\end{equation}
wobei $\dM_0$ die Position der Resonanz im \dM-Spektrum bestimmt, also
$\dM_0 = m(\DSS)-m(\DZ)$ gilt.

Diese Funktion ist, wie bereits erw\"ahnt, analytisch integrierbar. Die
Integrationsgrenzen sind dabei $\pm\infty$. W\"urde das Integral auf den
in der Anpassung verwendeten Bereich eingeschr\"ankt, so w\"are die Normierung
der Resonanz abh\"angig von ihrer Position, was nicht sinnvoll ist. Mit der
Verwendung der klassischen Breit-Wigner-Kurve wird der Einflu\ss\ des erlaubten
Phasenraums auf die Resonanz bewu\ss t vernachl\"assigt, so da\ss\ dies nun auch
bei der Normierung der Fall sein sollte.
Somit erh\"alt man die Norm zu
\begin{equation}
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} BW(\dM) {\rm d}\dM = 
\left[ \frac{\Gamma}{2} \mbox{atan} \left( 2 \frac{\dM - \dM_0}{\Gamma} \right)
\right]_{-\infty}^{+\infty} = \frac{\pi}{2}\cdot\Gamma.
\end{equation}

Als letzter Punkt ist die Unterteilung der Spektren in Intervalle in \dM\ zu
beachten. Enth\"alt der Bereich $[\dM_1|\dM_2]$ $n$ Intervalle, so geht der
Faktor ${\rm d}m = (\dM_2-\dM_1)/n$ in die Normierung ein.

Die in der Anpassung verwendete dimensionslose Resonanzkurve hat also die Form
\begin{equation}
BW_{fit}(\dM) = \frac{{\rm d}m}{2\pi} \cdot
\frac{\Gamma}{\left(\dM - \dM_0 \right)^2 + \Gamma^2/4}.
\label{eqn:BW_fit}
\end{equation}
Dabei sind die freien Parameter die Position $\dM_0$ und Breite $\Gamma$ der
Resonanz.

Da die Daten der \DSS-Signale tats\"achlich nicht gem\"a\ss\ einer klassischen
Breit-Wigner-Resonanz verteilt sind, gibt der Vorfaktor $N$ in
Gleichung~\eqref{eqn:BW_fit} nicht exakt die in einem Datensatz absolut enthaltene 
Anzahl von \DSS-Mesonen an. Dieser Effekt wird dadurch korrigiert, da\ss\ die
Effizienz, also der Anteil der aus dem Datensatz selektierten und korrekt
rekonstruierten \DSS-Mesonen, unter Verwendung derselben Funktionen bestimmt wird
(vgl. Abschnitt~\ref{sec:fit.effie}). Dadurch wird der Einflu\ss\ der Resonanzform
auf die Anpassung ber\"ucksichtigt.

Durch die Art der Parametrisierung und der analytischen Bestimmung der Norm \"uber
das komplette Interval $\pm\infty$ des Massenbereichs ist gew\"ahrleistet, da\ss\
die Anzahl der extrahierten Ereignisse, also der Wert von $N$, unabh\"angig von 
der Position und der Breite der Resonanz und proportional zur Anzahl der
Signalereignisse ist.

\subsubsection{Einflu\ss\ der Detektoraufl\"osung}

Bisher unber\"ucksichtigt blieb der Einflu\ss\ der Detektoraufl\"osung in \dM\
auf die Form der rekonstruierten Spektren. 
Die tats\"achlich beobachtete Form der \DSS-Signale ist also eine Faltung der
physikalischen Resonanzkurve mit einer Gau\ss funktion.

Wie in Abschnitt~\ref{sec:reco.aufl} gezeigt wurde, ist die Aufl\"osung vertr\"aglich
mit einer Gau\ss verteilung und liegt in allen Kan\"alen bei wenigen \mevcc.
Da dies klein ist im Vergleich zur Breite der Resonanzkurve, hat die Aufl\"osung nur
geringe Auswirkungen auf die Form der Resonanz.
Zur Best\"atigung dieser Aussage werden die theoretischen Resonanzkurven einer
relativistischen Breit-Wigner-Verteilung sowohl mit fester als auch mit
energieabh\"angiger Breite berechnet und daran eine klassische Breit-Wigner-Funktion
mittels einer $\chi^2$-Minimierung angepa\ss t. Als Parameter werden dabei die einem
\DIZ\ entsprechenden Werte von $m=2420\gevcc$ und $\Gamma=20\mev$ verwendet.
Entsprechend der in der Analyse verwendeten Unterteilung werden die betrachteten
Datenpunkte im Abstand von 10\mevcc\ gew\"ahlt, und der Wert jedes Datenpunktes ist
durch das Integral der Funktion \"uber das zugeh\"orige 10\mevcc\ breite Intervall
gegeben. Die Verteilungsfunktionen werden dabei so skaliert, da\ss\ das Integral 2000
Ereignissen entspricht, die resultierenden Werte also in etwa der zu erwartenden
Statistik der \babar-Daten entsprechen.
Die so erhaltenen Funktionswerte sind im Anhang~\ref{app:BW.wertetabelle} tabelliert,
die Resultate der Anpassungen sind in Tabelle~\ref{tab:BWtyp} gezeigt und in
Abbildung~\ref{fig:BWtyp} graphisch dargestellt.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||*{5}{r@{$\pm$}l|}}
\hline
& \multicolumn{2}{|c|}{$BW_{klass.}\otimes G_\sigma$}
& \multicolumn{2}{|c|}{$BW_{rel.}$}
& \multicolumn{2}{|c|}{$BW_{rel.}\otimes G_\sigma$}
& \multicolumn{2}{|c|}{$BW_{\Gamma(m)}$}
& \multicolumn{2}{|c|}{$BW_{\Gamma(m)}\otimes G_\sigma$} \\
\hline \hline
Norm           & 2008.8&50.4 & 2007.8&51.2 & 2007.9&50.5 & 1963.3&45.4 & 1968.5&45.6 \\
$m [\mevcc]$   & 2420.0&0.4  & 2419.9&0.4  & 2419.9&0.4  & 2421.0&0.4  & 2421.0&0.4  \\
$\Gamma [\mev]$ &  21.4&0.76 &   20.6&0.75 &   21.4&0.75 &   19.9&0.73 &   20.8&0.75 \\
$\chi^2$       & \multicolumn{2}{|c|}{0.09} & 
\multicolumn{2}{|c|}{0.03} & \multicolumn{2}{|c|}{0.10} &
\multicolumn{2}{|c|}{2.89} & \multicolumn{2}{|c|}{2.64} \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Anpassung einer klassischen Breit-Wigner-Funktion an verschiedene
Resonanzformen mit Detektoraufl\"osung]{
\label{tab:BWtyp}
Ergebnisse der Anpassung einer klassischen Breit-Wigner-Funktion an Datenpunkte,
die einer klassischen oder relativistischen Breit-Wigner-Verteilung mit
konstanter Breite bzw. einem relativistischen Breit-Wigner mit energieabh\"angiger
Breite entsprechen sowohl ohne als auch mit einer Detektoraufl\"osung von 3\mevcc.}
\end{center}
\end{table}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{pic.fit/bwsfit.eps}
\caption[Anpassung einer klassischen Breit-Wigner-Funktion an verschiedene
Resonanzformen mit Detektoraufl\"osung]{
\label{fig:BWtyp}
Anpassung einer klassischen Breit-Wigner-Funktion an Datenpunkte, die dieser
Hypothese entsprechen (links), durch eine relativistische Breit-Wigner-Kurve
gegeben sind (Mitte), oder einer relativistischen Breit-Wigner-Kurve mit
energieabh\"angiger Breite folgen (rechts). Bei allen drei Kurven wurde die Form
mit einer Detektoraufl\"osung von 3\mevcc\ gefaltet.}
\end{center}
\end{figure}

Die Ergebnisse der Anpassungen verdeutlichen, da\ss\ im Fall der betrachteten
\DSS-Mesonen auch bei Verwendung einer klassischen Breit-Wigner-Funktion die
charakteristischen Gr\"o\ss en der Resonanz in einer $\chi^2$-Anpassung
reproduziert werden. Lediglich in der Normierung der Funktion gibt es eine
nennenswerte Abweichung von 2\% bei der Anpassung an eine Breit-Wigner-Funktion mit
energieabh\"angiger Breite, die aber, wie bereits diskutiert, durch die Definition
der Effizienz korrigiert wird. Der Vergleich der jeweiligen Resonanzkurven mit und
ohne Ber\"ucksichtigung der Detektoraufl\"osung zeigt, da\ss\ die Aufl\"osung in
dieser Analyse ein verschwindende Rolle spielt.\footnote{F\"ur eine klassische
Breit-Wigner-Funktion kann die Faltung mit der Aufl\"osungsfunktion analytisch
berechnet werden. Da aber auch dies nur eine effektive Beschreibung der Resonanz
w\"are und die Parameter $\Gamma$ und $\sigma$ nicht auf die wahre Resonanzkurve
\"ubertragbar sind, wird zur Extraktion der semileptonischen
Verzweigungsverh\"altnisse der klassische Breit-Wigner aus
Geichung~\eqref{eqn:BW.klass} verwendet.}

Die extrem  kleinen Werte f\"ur $\chi^2$ spiegeln die Tatsache wieder, da\ss\ die
simulierten Datenpunkte keine statistischen Fluktuationen enthalten. Sie best\"atigen
aber, da\ss\ die generierten Daten von der Anpassung mit hinreichender Genauigkeit
beschrieben werden.

Um schlie\ss lich zu zeigen, da\ss\ die diskutierten Anpassungsergebnisse einer
realen Analyse entsprechen, wurde eine sogenannte {\em Toy-Monte-Carlo-Studie}
durchgef\"uhrt. Dazu wurden 1100 Resonanzverteilungen erstellt, deren
Ereigniszahlen in jedem Massenintervall eine statistische Verteilung um den
durch $BW_{\Gamma(m)}(m)\otimes G_{\sigma}$ gegebenen Erwartungswert bilden.
Jede der so gewonnenen Resonanzkurven wurde anschlie\ss end mit einer klassischen
Breit-Wigner-Funktion angepa\ss t. Abbildung~\ref{fig:BW-toymc} zeigt die Verteilungen
der so gefundenen Anpassungsresultate f\"ur Norm, Position und Breite.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{pic.fit/bwfit.pull.eps}
\caption[Resultate der Toy-MC-Studie f\"ur Anpassungen einer klassischen
Breit-Wigner-Funktion realistische Resonanzkurven]
{\label{fig:BW-toymc}
Resultate der Studie, in welcher statistisch fluktuierende Verteilungen einer
realistischen Resonanzkurve unter Ber\"ucksichtigung der Detektoraufl\"osung durch
eine klassische Breit-Wigner-Funktion angepa\ss t wurden. Gezeigt sind die
Verteilungen f\"ur Normierung $N$, Position $m_0$ und Breite $\Gamma_0$ der
Anpassungen. An die Resultate wurde jeweils eine Gau\ss-Verteilung angepa\ss t,
welche mit den Daten eingezeichnet ist.}
\end{center}
\end{figure}

Alle drei Gr\"o\ss en folgen einer gau\ss ischen Verteilung mit der Breite der
statistischen Genauigkeit. Die Abweichungen vom wahren Wert sind f\"ur alle
Datens\"atze konsistent und liegen in der Asymmetrie der Resonanz und den
Einfl\"ussen der Detektoraufl\"osung begr\"undet, die eine
klassische Breit-Wigner-Verteilung nicht ad\"aquat wiedergeben kann.
Da die Verteilungen dennoch einer Gau\ss verteilung folgen, deren Breite
der Unsicherheit der Anpassung in der jeweiligen Gr\"o\ss e entspricht, k\"onnen
erstens die Unsicherheiten der Anpassung als statistische Fehler interpretiert
werden, und -- noch wichtiger -- die Abweichungen vom wahren Wert korrigiert
werden, was f\"ur die gesuchten Normierungen bei dieser Analyse durch die
\"aquivalente Bestimmung der Effizienzen geschieht, wie im folgenden Abschnitt
erl\"autert wird.

\subsection{Die Effizienzen
\label{sec:fit.effie}}

Neben der Berechnung der Anzahl von produzierten \DSS, die in den rekonstruierten
Zerfallskan\"alen zerfallen, und einer geeigneten Beschreibung deren Signal in den
\dM-Spektren, ist es n\"otig zu bestimmen, wieviele dieser tats\"achlich vorhandenen
Ereignisse auch als solche erkannt werden.
Hierbei spielen eine ganze Reihe von Effekten eine Rolle, die von den Eigenschaften
des \babar-Detektors und den verwendeten Rekonstruktionsalgorithmen abh\"angen.

Dar\"uber hinaus liefert die Effizienz eine Art Eichung zwischen den tats\"achlich
in den Daten vorhandenen \DSS\ und dem numerischen Ergebnis der Anpassung. Dies
ist die im vorangegangenen Abschnitt diskutierte notwendige Korrektur, die aus
dem Unterschied zwischen der tats\"achlichen Verteilung der Signalereignisse und
der mathematischen Form der Anpassungsfunktion resultiert.

Um etwaigen Korrelationen zwischen den Parametern der Signal- und 
Untergrundfunktionen Rechnung zu tragen, wird die Effizienz aus dem generischen 
Monte-Carlo (vgl. Abschnitt~\ref{sec:exp.mc}) bestimmt, welches eine komplette 
Simulation aller Untergr\"unde enth\"alt. Zur Verbesserung der statistischen
Pr\"azision wird dabei der Signalbeitrag durch zus\"atzlich simulierte 
Signalereignisse vergr\"o\ss ert.

Au\ss erdem sollen die Effizienzen f\"ur das \DI\ und das \DII\ in den Kan\"alen 
\DSS\TO\DS\PI\ einzeln bestimmt werden. Daher wird das generische Monte-Carlo in
folgende drei Beitr\"age zerlegt:
\begin{enumerate}
\item Ereignisse mit einem Zerfall $B\to\DI\ell\nu$,
\item Ereignisse mit einem Zerfall $B\to\DII\ell\nu$,
\item Ereignisse die keinen der oben genannten Zerf\"alle 
enthalten.\footnote{Ereignisse, in denen ein $B$ semileptonisch in ein \DI, das 
andere $B$ ebenfalls semileptonisch in ein \DII\ zerf\"allt, werden beiden 
Signalklassen zugeordnet.}
\end{enumerate}
Die ersten beiden Gruppen entsprechen dabei in ihrer Struktur dem jeweiligen 
Signal-Monte-Carlo und k\"onnen durch dieses erg\"anzt werden. Somit kann die
Effizienz auch f\"ur verschiedene Verh\"altnisse zwischen Signal und Untergrund 
studiert werden, was einen Test liefert, inwieweit sie wirklich unabh\"angig 
vom tats\"achlich vorhandenen Signal ist.

Ein weiterer Vorteil dieser Methode liegt darin, da\ss\ sie keine Zuordnung 
zwischen einzelnen simulierten Teilchen und Detektorsignalen, das sogenannte
{\em Truth-Matching}, verwendet. Solche Zuordnungen sind zwar f\"ur das 
Verst\"andnis der Detektorsignale wichtig, k\"onnen aber aus technischen 
Gr\"unden nicht zu 100\% exakt sein und w\"urden damit eine zus\"atzliche 
Unsicherheit zur Bestimmung der Effizienz beitragen.

Aus dem Untergrundbeitrag und den einzelnen Signalbeitr\"agen werden nun 
verschiedene simulierte Datens\"atze zusammengesetzt und diese mit einer 
Funktion, die der in Gleichung~\eqref{eqn:fitfunc} entspricht, angepa\ss t. 
Dabei wird das Produkt $N_B \cdot n_\ell \cdot \BR_{\DSS} \cdot \BR_{2nd}$ durch
einen einzigen Parameter $N$ ersetzt, was der Tatsache entspricht, da\ss\ die
simulierten Signalzerf\"alle ausschlie\ss lich in den rekonstruierten Endzustand
zerfallen, f\"ur sie also $\BR_{2nd}=1$ gilt, und
$N=N_B \cdot n_\ell \cdot \BR_{\DSS}$ die Anzahl der simulierten \DSS-Mesonen
bestimmen soll.
Ferner wird keine Unterteilung in der Helizit\"at vorgenommen, so da\ss\ die
Anpassungsfunktion gegeben ist durch
\begin{equation}
f(\dM) = N \cdot BW_{fit}(\dM ; m_{\DSS} , \Gamma_{\DSS} ) + f_{bkg}(\dM).
\end{equation}
Die Resonanzkurve $BW_{fit}$ entspricht dabei der in Gleichung~\eqref{eqn:BW_fit}
definierten normierten klassischen Breit-Wigner-Funktion.

Aus der so extrahierten Signalst\"arke, $N$, wird die Effizienz bestimmt anhand
der Gleichung
\begin{equation}
\epsilon_{reco} = \frac{N}{N_{\DSS}^{MC}}.
\label{eqn:effie}
\end{equation}
Dabei ist $N_{\DSS}^{MC}$ die Anzahl der simulierten Signalzerf\"alle und $N$
entspricht in etwa der Anzahl der rekonstruierten \DSS, ist aber nicht
notwendigerweise damit identisch, da diese Definition der Effizienz auch
die geringen Einfl\"usse der Signalform ber\"ucksichtigt (vgl. die Diskussion
im vorangegangenen Abschnitt).
Abbildung~\ref{fig:effie} zeigt die Anpassungen an die simulierten Spektren.

\begin{table}[ht!]
\begin{center}
\begin{tabular}{|cc||r@{$\pm$}l|r@{$\pm$}lc|}
\hline
Zerfallskanal & \DSS & $\epsilon$\hspace{5mm} & \hspace{5mm}$\Delta\epsilon$ &
\multicolumn{2}{c}{$N$} & $N_{\DSS}^{TM}$ \\
\hline \hline
\DSSZ\TO\DSC\PICC & \DI  &  6.934 & 0.152 \,\% & 7488.7 & 164.2 &  6803 \\
\DSSZ\TO\DSC\PICC & \DII &  6.824 & 0.184 \,\% & 7369.9 & 198.7 &  6636 \\
\DSSZ\TO\DC\PICC  & \DII & 12.877 & 0.961 \,\% & 6953.6 & 518.9 &  7004 \\
\hline							 
\DSSC\TO\DSZ\PIC  & \DI  &  5.344 & 0.177 \,\% & 5771.5 & 191.2 &  4808 \\
\DSSC\TO\DSZ\PIC  & \DII &  5.339 & 0.173 \,\% & 5766.1 & 186.8 &  4799 \\
\DSSC\TO\DZ\PIC   & \DII & 17.562 & 0.696 \,\% & 9483.5 & 375.8 & 10067 \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Effizienzen der Rekonstruktion]
{\label{tab:effie}
Die aus der Simulation bestimmten Effizienzen aller Rekonstruktionskan\"ale.
Neben den Effizienzen sind die Anzahl der mit Hilfe des Truth-Matching identifizierten
richtig rekonstruierten \DSS-Zerf\"alle $N_{\DSS}^{TM}$ angegeben.}
\end{center}
\end{table}

In Tabelle~\ref{tab:effie} sind die Ergebnisse $\epsilon$ mit den statistischen
Fehlern $\Delta \epsilon$ dieser Anpassungen dargestellt.
Zus\"atzlich sind zum Vergleich die Anzahl der rekonstruierten \DSS-Mesonen
eingetragen, wie sie sich aus der Effizienzbestimmung ($N$) und mittels des
Truth-Matchings ($N_{\DSS}^{TM}$) ergeben.
Die \"Uber\-ein\-stim\-mung ist in den Kan\"alen \DSS\TO\D\PI\ recht gut, bei den
Zerfallsketten, welche ein \DS-Meson enthalten, ergibt das Truth-Matching
signifikant geringere Ereigniszahlen als die Anpassung. Dies \"uberrascht
nicht, da der Truth-Matching-Algorithmus gerade bei langsamen Pionen aus
\DS-Zerf\"allen Probleme zeigt (vgl. Abbildungen~\ref{fig:dscmass}
und~\ref{fig:dszmass}). 

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{pic.fit/effie.eps}
\caption[Bestimmung der Effizienzen]
{\label{fig:effie}
Simulierte Spektren in allen Rekonstruktionskan\"alen mit stark vergr\"o\ss ertem
Signalanteil zur Bestimmung der Effizienz. Die oberer Reihe zeigt die Spektren
neutraler \DSS, die untere die geladenen, jeweils in der Zerfallsketten \DI\TO\DS\PIC\
(links), \DII\TO\DS\PIC\ (Mitte) und \DII\TO\D\PIC\ (rechts).}
\end{center}
\end{figure}

In den beiden Zerfallskan\"alen, welche ein \DS\ enthalten, liefert die Bestimmung der
Effizienz zwei unabh\"angige Werte. Allerdings sind die kinematischen Unterschiede
zwischen Zerf\"allen von \DI\ und \DII\ so gering, da\ss\ man f\"ur
beide Effizienzen identische Ergebnisse erwartet. Diese \"Ubereinstimmung ist
im Rahmen der zur Verf\"ugung stehenden Statistik sehr gut gegeben. Daher kann
man beide Resultate kombinieren und damit die statistische Unsicherheit weiter
reduzieren.
Entsprechend ergeben sich f\"ur die Analyse die folgenden vier Effizienzen:
\begin{subequations}
\label{eqn:effies}
\begin{align}
\epsilon_{\DSC} &=  6.89 \pm 0.12 \, \%  \\
\epsilon_{\DC}  &= 12.88 \pm 0.96 \, \%  \\
\epsilon_{\DSZ} &=  5.34 \pm 0.12 \, \%  \\
\epsilon_{\DZ}  &= 17.56 \pm 0.70 \, \%.
\end{align} 
\end{subequations}

Auff\"allig ist, da\ss\ $\epsilon_{\DC}$ einen deutlich h\"oheren relativen Fehler
aufweist als die \"ubrigen drei Werte, obwohl in allen Kan\"alen dieselbe Menge 
simulierter Signalereignisse zur Verf\"ugung steht. Dies ist darauf
zur\"uckzuf\"uhren, da\ss\ der Kanal \DSSZ\TO\DC\PICC\ bei gleicher Datenmenge eine
erheblich gr\"o\ss ere Zahl an Untergrundereignissen beinhaltet.

\subsection{Die Aufspaltung im Helizit\"atswinkel
\label{sec:fit.effiecorr}}

Bei der Bestimmung der Effizienz wurde die Aufspaltung der Spektren in vier Bereiche
des Helizit\"atswinkels nicht ber\"ucksichtigt. Anders ausgedr\"uckt wurde davon
ausgegangen, da\ss\ die Effizienz unabh\"angig vom Wert von $\cos\vartheta_h$ ist.
Dies ist allerdings nicht exakt der Fall, denn die Helizit\"atswinkelverteilung der
rekonstruierten Ereignisse entspricht nicht mehr der zugrundeliegenden Form.
Abbildung~\ref{fig:helicity.reco} zeigt die rekonstruierten Verteilungen, in denen
vor allem f\"ur das \DI\ eine klare Diskrepanz zur urspr\"unglichen Verteilung
${\rm d}N/{\rm d}\cos\vartheta_h \sim 1+3\cos^2\vartheta_h$ zu erkennen ist.

\begin{figure}[b!]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{pic.fit/helicity.reco.eps}
\caption[Rekonstruierte Helizit\"atswinkelverteilung f\"ur \DS\ aus \DSS-Zerf\"allen]
{\label{fig:helicity.reco}
Die rekonstruierten Verteilungen des Helizit\"atswinkels $\cos\vartheta_h$ f\"ur
\DS-Mesonen aus \DI- (links) und \DII-Zerf\"allen (rechts) aus der Simulation.}
\end{center}
\end{figure}

Der Grund f\"ur diese St\"orung der urspr\"unglichen Winkelverteilung liegt in der
Definition des Helizit\"atswinkels $\vartheta_h$, die ganz wesentlich durch das
langsame Pion aus dem \DS-Zerfall bestimmt ist.
Im Ruhesystem des \DS\ hat dieses Pion einen sehr geringen Impuls von 39\mevc, das
hei\ss t, ein Gro\ss teil des Impulses im Laborsystem stammt aus der Bewegung des
urspr\"unglichen \DS. Da sich bei der Koordinatentransformation aber nur die
longitudinale Komponente \"andert, ist der Impuls des Pions im Laborsystem korreliert
mit seinem Winkel zur \DS-Flugrichtung, also dem Helizit\"atswinkel.
Abbildung~\ref{fig:heli.vs.psoft} zeigt diese Korrelation am Beispiel der \DSC\ aus
\DIZ-Zerf\"allen.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=8cm]{pic.fit/heli.vs.psoft.eps}
\caption[Korrelation des Helizit\"atswinkel mit dem Impuls des $\pi$ aus dem
\DS-Zerfall]
{\label{fig:heli.vs.psoft}
Korrelation zwischen dem Helizit\"atswinkel des \DS\ und dem Impuls des Pions aus
dem \DS-Zerfall f\"ur simulierte \DS\ aus \DI-Zerf\"allen.}
\end{center}
\end{figure}

Nun ist es um so schwieriger, eine Spur nachzuweisen, je geringer der
Impuls\footnote{Exakt h\"angt die Nachweiswahrscheinlichkeit vom Transversalimpuls
ab, \"uber die Flugrichtung des \DS\ kann aber bei dieser Betrachtung gemittelt
werden.} des entsprechenden Teilchens war, so da\ss\ sich f\"ur unterschiedliche
Intervalle von $\cos\vartheta_h$ verschiedene Rekonstruktionseffizienzen ergeben.

Etwas abgemildert wird dieser Effekt durch die Tatsache, da\ss\ der Datensatz in
Intervalle des Absolutwertes $|\cos\vartheta_h|$ unterteilt wird. Somit fallen
die extrem nach vorne bzw. hinten emittierten Pionen in dasselbe Interval und
Nachweiswahrscheinlichkeiten sind \"uber beide Bereiche zu mitteln.
Dennoch bleibt es notwendig, Korrekturen auf die Effizienz f\"ur die jeweiligen
Intervalle in $|\cos\vartheta_h|$ zu bestimmen und anzuwenden.
Dazu wird sowohl an die generierten als auch die rekonstruierten Verteilungen in
$|\cos\vartheta_h|$ ein Polynom zweiten Grades angepa\ss t. Die so gefundenen
Funktionen $f_{\rm gen}$ und $f_{\rm rec}$ werden \"uber das jeweilige
Intervall $[c_{\min}|c_{\max}]$ integriert und die Korrekturfaktoren ergeben
sich aus dem Verh\"altnis
\begin{equation}
c_{\min}^{\max} = \frac
{\int\limits_{\min}^{\max}f_{\rm rec}(x){\rm d}x /
 \int\limits_0^1 f_{\rm rec}(x){\rm d}x}
{\int\limits_{\min}^{\max}f_{\rm gen}(x){\rm d}x /
 \int\limits_0^1 f_{\rm gen}(x){\rm d}x}.
\label{eqn:effiecorr}
\end{equation}
Die so errechneten Korrekturfaktoren sind in Tabelle~\ref{tab:effiecorr} dargestellt.
Die zugrundeliegenden Anpassungen sowie Details zur Berechnung der Fehler der
Korrektur sind in Anhang~\ref{app:effiecorr} zu finden.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||*{4}{r@{$\pm$}l|}}
\hline
& \multicolumn{2}{|c|}{\DIZ} & \multicolumn{2}{|c|}{\DIIZ}
& \multicolumn{2}{|c|}{\DIC} & \multicolumn{2}{|c|}{\DIIC} \\
\hline \hline
$c_{0}^{0.25}$   & 1.1363&0.0005 & 0.9942&0.0003 & 1.1071&0.0007 & 1.0646&0.0004 \\
$c_{0.25}^{0.5}$ & 1.0763&0.0004 & 0.9940&0.0003 & 1.0389&0.0005 & 0.9878&0.0005 \\
$c_{0.5}^{0.75}$ & 0.9923&0.0003 & 1.0004&0.0005 & 0.9869&0.0004 & 0.9391&0.0007 \\
$c_{0.75}^{1}$   & 0.9289&0.0003 & 1.0465&0.0019 & 0.9579&0.0004 & 0.9310&0.0025 \\
\hline
\end{tabular}
\caption[Effizienzkorrekturen in den Intervallen des Helizit\"atswinkels]
{\label{tab:effiecorr}
Korrekturfaktoren f\"ur die Effizienz in den Intervallen von $|\cos\vartheta_h|$
in den verschiedenen Zerfallskan\"alen.}
\end{center}
\end{table}

Die in der Anpassungsfunktion in Gleichung~\eqref{eqn:fitfunc} verwendete Effizienz
$\epsilon_{hel}$ setzt sich also zusammen aus der theoretischen Verteilung des
Helizit\"atswinkels und der intervallspezifischen Korrektur:
\begin{equation}
\epsilon_{hel}=c_{\min}^{\max}\cdot
\int\limits_{\min}^{\max}\mathcal{P}(x){\rm d}x,
\end{equation}
wobei die Verteilungsfunktionen $\mathcal{P}$ die in Abschnitt~\ref{sec:fit.helicity}
diskutierten normierten Funktionen sind:
\begin{subequations}
\begin{align}
\mathcal{P}_{\DI}(x)  &= \frac{1 + \ADI \cdot x^2}
 {\int\limits_0^1 \left(1+\ADI\cdot x^2\right){\rm d}x} \\
\mathcal{P}_{\DII}(x) &= \frac{1 - x^2}{2/3}.
\end{align}
\end{subequations}

Die oben beschriebene Berechnung der Korrekturfaktoren $c_{\min}^{\max}$ geht davon
aus, da\ss\ Ereignisse, die in einem Intervall von $|\cos\vartheta_h|$ generiert
werden, auch in diesem Intervall rekonstruiert werden -- oder eben nicht, jedenfalls
wandern sie nicht durch die Rekonstruktion in ein benachbartes Intervall, was
tats\"achlich jedoch vorkommen kann. Kritisch wird ein solcher {\em Cross-Feed},
falls die Steigung der Verteilungsfunktion an der Grenze zweier Intervalle in der
Simulation deutlich von der wahren Verteilung abweicht. Eine solche Abweichung wird
nun in der vorliegenden Analyse durch den frei variierten Parameter \ADI\ explizit
zugelassen. Allerdings beschr\"anken die physikalischen Grenzen den Gradienten der
Verteilungsfunktion. Die wahre Helizit\"atswinkelverteilung liegt zwischen den
Extremen $\sim\sin^2\vartheta_h$ und $\sim\cos^2\vartheta_h$, und es gilt
\begin{equation}
-3x =
\frac{\rm d}{{\rm d}x}\,3/2\left(1-x^2\right) \le
\frac{\rm d}{{\rm d}x}\mathcal{P}_{\DI} \le
\frac{\rm d}{{\rm d}x}\,3 x^2
= 6x.
\end{equation} 
Au\ss erdem ist, verglichen mit der Intervallbreite von 0.25, die erzielte
Aufl\"osung in $|\cos\vartheta_h|$ mit $\sigma(|\cos\vartheta_h|)=0.03$ sehr gering,
so da\ss\ der Anteil der Ereignisse, die im falschen Helizit\"atsintervall
rekonstruiert werden, klein ist. Die aus der Simulation gewonnene Detektoraufl\"osung
f\"ur den Helizit\"atswinkel ist in Abbildung~\ref{fig:helicity.res} dargestellt.
Verbleibende Unsicherheiten werden als systematische Fehler in
Abschnitt~\ref{sec:syst.effiecorr} diskutiert.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{pic.fit/helicity.res.eps}
\caption[Detektoraufl\"osung der Gr\"o\ss e $|\cos\vartheta_h|$ f\"ur Signalereignisse]
{\label{fig:helicity.res}
Detektoraufl\"osung von $|\cos\vartheta_h|$ f\"ur simulierte Signalereignisse der Art
\DIZ\TO\DSC\PICC\ (links) und \DIIZ\TO\DSC\PICC\ (rechts).}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Untergrundfunktionen und Anpassungsbereiche}

Als letzter Beitrag zur Anpassungsfunktion mu\ss\ schlie\ss lich noch der 
verbleibende Untergrund beschrieben werden. In den Kan\"alen \DSS\TO\DS\PI\ ist 
dabei der Anstieg an der kinematischen Grenze kennzeichnend mit einem leichten 
Abfall zu h\"oheren Massendifferenzen hin. Modelliert wird dieses Verhalten durch
ein Polynom dritten Grades. Im Vergleich zu anderen denkbaren Funktionen weist
die Parametrisierung durch Polynome den geringsten Wert f\"ur $\chi^2$ auf,
beschreibt die Daten also am besten. Der Einflu\ss\ der gew\"ahlten Form der
Untegrundfunktion auf die Resultate wird im Rahmen der systematischen Unsicherheiten
in Abschnitt~\ref{sec:syst.param} diskutiert.

Im Spektrum des Kanals \DSSC\TO\DSZ\PIC\ gibt es direkt an der kinematischen
Grenze die Reflexion geladener \DS\ (vgl. Abschnitt~\ref{sec:reco.spectra} und
Anhang~\ref{app:reflexion.dsz}). Da diese schmale Reflexion schwer zu beschreiben
ist, f\"ur die Bestimmung der gesuchten semileptonischen Verzweigungsverh\"altnisse 
aber keine Rolle spielt, wird der Anpassungsbereich soweit eingeschr\"ankt, da\ss\
die kinematische Grenze knapp au\ss erhalb des Anpassungsbereiches liegt.
Auch f\"ur den Kanal \DSSZ\TO\DSC\PICC\ ist dies von Vorteil, da sich die
kinematische Grenze in einer Anpassung an in Intervalle unterteilte Daten technisch
schwierig gestaltet. Die untere Grenze des Anpassungsbereiches wird daher in diesen
Kan\"alen bei $\dM^{\DS}_{\min}=0.3\gevcc$ festgelegt.

Die obere Grenze der Anpassung kann relativ willk\"urlich gew\"ahlt werden, da
die Spektren oberhalb der beiden \DSS-Resonanzen keine Besonderheiten aufweisen.
Sie wird bei $\dM^{\DS}_{\max}=0.85\gevcc$ festgelegt.

In den Kan\"alen \DII\TO\D\PIC\ ist der Untergrund im Signalbereich nahezu linear
abfallend. Allerdings ist der Bereich unterhalb der \DII-Resonanz gepr\"agt von
der Reflexion aus dem Kanal \DSS\TO\DS\PIC. Da diese breite resonanzartige Struktur
bei etwa $\dM=0.4\gevcc$ aus Signalereignissen stammt, soll sie auf die
Untergrundbeschreibung keinen Einflu\ss\ haben. Der Anpassungsbereich wird in diesen
Kan\"alen daher auf $\dM^{\D}_{\min}=0.48\gevcc$ eingeschr\"ankt. Die obere
Grenze wird wie in den Kan\"alen \DSS\TO\DS\PIC\ auf $\dM^{\D}_{\max}=0.85\gevcc$
gesetzt.

Zur Beschreibung des Untergrundes in den Kan\"alen \DII\TO\D\PIC\ wird wiederum
ein Polynom dritten Grades verwendet, um der sich \"andernden Kr\"ummung im
Untergrundspektrum Rechnung zu tragen.

Die Parametrisierungen des Untergrundes sind also in den vier betrachteten
Zerfallskan\"alen gegeben durch die Funktion:
\begin{equation}
f_{bkg}^k(\dM) = a_0^k \cdot \left( 1 + a_1^k\dM + a_2^k\dM^2 + a_3^k\dM^3 \right),
\label{eqn:bkg.parametrisation}
\end{equation}
wobei der Index $k$ den jeweiligen Zerfallskanal kennzeichnet.

\section{Freie Parameter der Anpassung}

Insgesamt treten in der Anpassung vier Gruppen von Parametern auf. Zun\"achst
nat\"urlich die gesuchten Verzweigungsverh\"altnisse $\BR(\BDSSLN)$. Daneben gibt
es die Parameter, die Position und Form der Signale beschreiben, also die in
Abschnitt~\ref{sec:fit.lineshape} diskutierten Resonanzkurven charakterisieren. Zudem
kommen Gr\"o\ss en, welche die Zerf\"alle der \DSS\ beschreiben, und schlie\ss lich
die Parametrisierungen des Untergrundes.

\subsubsection{Signalform und -position}

Die Massen von geladenen und neutralen \DSS\ sind nahezu identisch (vgl.
Tabelle~\ref{tab:dss-status}). Gemessene Unterschiede liegen sowohl im Bereich der
Me\ss genauigkeit als auch der Aufl\"osung in \dM, die mit dem \babar-Detektor
erreicht wird. Daher werden die Positionen der Resonanzen als unabh\"angig von
der Ladung angenommen, so da\ss\ sie mit den zwei Gr\"o\ss en $\dM_{\DI}$ und
$\dM_{\DII}$ beschrieben werden. Diese entsprechen den Massendifferenzen der \DSS\
zum neutralen \DZ. Im Zerfallskanal \DIIZ\TO\DC\PICC, in welchem die Massendifferenz
zum geladenen \D\ relevant ist, wird die Position der Resonanz entsprechend um
$m_{\DC}-m_{\DZ}=4.78\mevcc$~\cite{pdg} korrigiert.

F\"ur die Breiten der \DSS\ gilt diese Isospin-Symmetrie offenbar nicht. Zwar
reichen die Massendifferenzen von \D, \DS\ und Pionen nicht aus, um anhand der
verschiedenen Phasenr\"aume nennenswerte Unterschiede in den Breiten von
geladenen und neutralen \DSS\ zu erkl\"aren. Dennoch gibt es vor allem im Falle
des \DII\ signifikante Unterschiede in den Messungen, besonders bei den neuesten
Resultaten der Kollaborationen CDF, Belle und Focus~\cite{D2width,BtoXpi.belle}.
Diese finden, nachdem zuvor alle Resultate konsistente Werte f\"ur $\Gamma_{\DII}$
im Bereich $20-30\mev$ lieferten, f\"ur das neutrale \DII\ Breiten von
$\Gamma_{\DIIZ}=40-50\mev$.

Diesem Umstand Rechnung tragend werden f\"ur die \DSS\ unterschiedliche Breiten
angenommen, es werden also vier unabh\"angige Parameter $\Gamma_{\DIZ}$, 
$\Gamma_{\DIC}$, $\Gamma_{\DIIZ}$ und $\Gamma_{\DIIC}$ verwendet. Diese vier
Gr\"o\ss en sind effektive Breiten, da die Detektoraufl\"osung bei der
Beschreibung der Signale nicht explizit ber\"ucksichtigt wird. Allerdings wurde
in Abschnitt~\ref{sec:fit.lineshape} bereits gezeigt, da\ss\ der Einflu\ss\ der
Aufl\"osung gering ist. Zudem sind die Unterschiede der Detektorafl\"osungen
in den verschiedenen Kan\"alen verglichen mit der Breite so klein, da\ss\ im
Falle der \DII\ dieselbe Gr\"o\ss e in den beiden Kan\"alen \DII\TO\DS\PIC\ und
\DII\TO\D\PIC\ verwendet werden kann.

\subsubsection{Zerf\"alle der {\boldmath \DSS}}

Zur Beschreibung der \DSS-Zerf\"alle werden zwei Parameter ben\"otigt, die
aus den Daten mitbestimmt werden sollen. Dies ist zum einen das Verh\"altnis
von \DII-Zerf\"allen in den Modi \DS\PIC\ und \D\PIC\ (\BDII)
und zum zweiten die Form der He\-li\-zi\-t\"ats\-win\-kel\-ver\-teilung in den Zerf\"allen
des \DI\ (\ADI).

\ADI\ beschreibt Polarisationseffekte und eine Verletzung der HQS. Beides
ist unabh\"angig vom Flavor des leichten Quarks im \DSS-Meson, so da\ss\ keine
Unterschiede zwischen neutralen und geladenen \DI\ zu erwarten sind.
\BDII\ bestimmt das Verh\"altnis zweier Zerf\"alle, die durch
die Starke Wechselwirkung, welche isospin-erhaltend ist, vermittelt werden.
In beiden F\"allen kann man daher davon ausgehen, da\ss\ jeweils ein Parameter f\"ur
die Zerf\"alle neutraler und geladener \DSS\ gemeinsam g\"ultig ist. 

\subsubsection{Untergrund}

Die Untergrundbeschreibungen sind in allen vier Kan\"alen verschieden und werden
komplett aus den Daten bestimmt. Als einzige Einschr\"ankung wird angenommen,
da\ss\ die Form des Untergrundes in den Kan\"alen \DSS\TO\DS\PIC\ nicht vom
Helizit\"atswinkel des \DS-Kandidaten abh\"angt. 

Abbildung~\ref{fig:bkg.helicity} zeigt die Verteilung des Helizit\"atswinkels f\"ur
simulierte Untergrundereignisse. Da in diesen Ereignissen die beiden Pionen, die den
Helizit\"atswinkel definieren, dominant nicht aus einer gemeinsamen Zerfallskette
stammen, erwartet man eine flache Verteilung. Dies ist n\"aherungsweise der Fall,
allerdings findet sich eine leichte Tendenz zu gro\ss en Werten von
$\cos \vartheta_h$. Dieser Trend wird, im Zusammenspiel mit der impulsabh\"angigen
Akzeptanz der langsamen Pionen aus \DS-Zerf\"allen, verursacht von Ereignissen, in
denen beide Pionen aus demselben $B$-Zerfall stammen, also eine charakteristische
Winkelverteilung aufweisen (vgl. Abschnitt~\ref{sec:fit.effiecorr}).
Die vier unabh\"angigen Normierungen der Untergrundfunktionen erlauben der Anpassung,
diesen Trend zu beschreiben.

Im rechten Teil von Abbildung~\ref{fig:bkg.helicity} sind die \dM-Spektren der
Untergrundereignisse aller vier Intervalle in $|\cos \vartheta_h|$ \"uberlagert
dargestellt. Im Rahmen der Statistik sind alle vier Spektren miteinander vertr\"aglich,
so da\ss\ die Annahme gerechtfertigt ist, f\"ur die Form aller vier Spektren eine
gemeinsame Parametrisierung zu verwenden.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{pic.fit/bkg-heli.eps}
\caption[Helizit\"atswinkelverteilung f\"ur Untergrundereignisse]{
\label{fig:bkg.helicity}
Helizit\"atswinkelverteilung f\"ur Untergrundereignisse aus der generischen Simulation.
Links ist die Winkelverteilung gezeigt, rechts die Massendifferenzspektren in den vier
verschiedenen Helizit\"atsintervallen.}
\end{center}
\end{figure}

Damit enth\"alt die simultane Anpassung an alle zehn \dM-Spektren insgesamt
34 freie Parameter, wovon 12 f\"ur die Charakterisierung der Signale notwendig
sind und die \"ubrigen 22 die Normierungen und Formen der verbleibenden Untergr\"unde
beschreiben. Tabelle~\ref{tab:fitparameter} gibt eine \"Ubersicht \"uber alle freien
Parameter der Anpassung.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
& Beschreibung \\
\hline \hline
\rule[-9.5mm]{0mm}{21mm} \parbox{2cm}{
$\BR_{\DIZ}$ \\ $\BR_{\DIIZ}$ \\ $\BR_{\DIC}$ \\ $\BR_{\DIIC}$
} & \parbox{8cm}{
Verzweigungsverh\"altnisse der semileptonischen \\ \B-Zerf\"alle \BDSSLN
} \\ \hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm} \parbox{2cm}{
$\dM_{\DI}$ \\ $\dM_{\DII}$
} & \parbox{8cm}{
Massendifferenzen der \DSS\ zum neutralen \DZ
} \\ \hline
\rule[-9.5mm]{0mm}{21mm} \parbox{2cm}{
$\Gamma_{\DIZ}$ \\ $\Gamma_{\DIIZ}$ \\ $\Gamma_{\DIC}$ \\ $\Gamma_{\DIIC}$ 
} & \parbox{9cm}{
Effektive Breiten der \DSS \\
Kombination aus nat\"urlicher Breite und De\-tek\-tor\-auf\-l\"osung, deren Einflu\ss\
als unabh\"angig vom Zerfallskanal angenommen wird
} \\ \hline
\rule[-6mm]{0mm}{14mm} \parbox{2cm}{
\ADI
} & \parbox{8cm}{
Form der Helizit\"atswinkelverteilung in \DI-Zer\-f\"al\-len durch Verletzung der
HQS und Polarisationseffekte
} \\ \hline
\rule[-6mm]{0mm}{14mm} \parbox{2cm}{
\BDII
} & \parbox{9cm}{
Verzweigungsverh\"altnis der \DII-Zerf\"alle, \\
definiert als $\BDII=$ \\
$\BR(\DII\TO\D\PI)/[\BR(\DII\TO\D\PI)+\BR(\DII\TO\DS\PI)]$
} \\
\hline \hline
\rule[-7mm]{0mm}{16mm} \parbox{3cm}{
$a_0^{\DSC}(1)$, $a_0^{\DSC}(2)$, \\ $a_0^{\DSC}(3)$, $a_0^{\DSC}(4)$
} & \parbox{9cm}{
Normierungen der Beschreibung des Untergrunds im Kanal \DSSZ\TO\DSC\PICC\
in den vier Intervallen des Helizit\"atswinkels $|\cos\vartheta_h|$
} \\ \hline
\rule[-7mm]{0mm}{16mm} \parbox{3cm}{
$a_1^{\DSC}$, $a_2^{\DSC}$, $a_3^{\DSC}$
} & \parbox{9cm}{
Koeffizienten eines Polynom dritten Grades zur Beschreibung der Untergrundform
in den Spektren des Kanals \DSSZ\TO\DSC\PICC
} \\ \hline \hline
\rule[-7mm]{0mm}{16mm} \parbox{3cm}{
$a_0^{\DSZ}(1)$, $a_0^{\DSZ}(2)$, \\ $a_0^{\DSZ}(3)$, $a_0^{\DSZ}(4)$
} & \parbox{9cm}{
Normierungen der Beschreibung des Untergrunds im Kanal \DSSC\TO\DSZ\PIC\
in den vier Intervallen des Helizit\"atswinkels $|\cos\vartheta_h|$
} \\ \hline
\rule[-7mm]{0mm}{16mm} \parbox{3cm}{
$a_1^{\DSZ}$, $a_2^{\DSZ}$, $a_3^{\DSZ}$
} & \parbox{9cm}{
Koeffizienten eines Polynom dritten Grades zur Beschreibung der Untergrundform
in den Spektren des Kanals \DSSC\TO\DSZ\PICC
} \\ 
\hline \hline
\rule[-7mm]{0mm}{15mm} \parbox{3.5cm}{
$a_0^{\DC}$, $a_1^{\DC}$, $a_2^{\DC}$, $a_3^{\DC}$
} & \parbox{8.2cm}{
Koeffizienten eines Polynom dritten Grades zur Beschreibung des Untergrundes
im Spektrum \DSSZ\TO\DC\PICC
} \\ \hline
\rule[-7mm]{0mm}{15mm} \parbox{3.5cm}{
$a_0^{\DZ}$, $a_1^{\DZ}$, $a_2^{\DZ}$, $a_3^{\DZ}$
} & \parbox{8.2cm}{
Koeffizienten eines Polynom dritten Grades zur Beschreibung des Untergrundes
im Spektrum \DSSC\TO\DZ\PIC
} \\ 
\hline
\end{tabular}
\caption{
\label{tab:fitparameter}
\"Ubersicht der freien Parameter der Anpassung.}
\end{center}
\end{table}

Technisch erfolgt die Anpassung der Funktion an die Daten durch eine
$\chi^2$-Mini\-mier\-ung. Diese wird mit Hilfe des Programmpaketes
{\tt MINUIT}~\cite{MINUIT} innerhalb der Analyseplattform {\tt PAW}~\cite{PAW}
durchgef\"uhrt.

\subsection{Ph\"anomenologie der Anpassung
\label{sec:fit.phaenomenologie}}

An dieser Stelle soll kurz reflektiert werden, inwieweit die zehn Spektren in \dM\
die zw\"olf signalrelevanten Parameter bestimmen und welche Beitr\"age jeweils
dominieren.

Da in den Kan\"alen \DSS\TO\D\PIC\ die Signale der \DII\ isoliert auftreten, werden
Position und Breite der \DII-Resonanzen prim\"ar von diesen Kan\"alen bestimmt.
Die Produktionsrate der \DII\ ist jedoch aus den \D\PIC-Spektren alleine nicht 
bestimmt, da die Signalst\"arke durch das Produkt mit dem unbekannten
Verzweigungsverh\"altnis \BDII\ gegeben ist.

Wie wichtig dieser Beitrag dennoch f\"ur die Anpassung in den \DS\PIC-Kan\"alen ist,
zeigt die folgende Argumentation. Durch den Parameter \BDII\ kann der
nominelle Beitrag der \DII\ in den \DS\PIC-Spektren auf Null gesetzt werden.
Dort tats\"achlich auftretende \DII\ k\"onnten dann als \DI\ interpretiert und
ihr Beitrag in der Helizit\"atswinkelverteilung durch den Parameter \ADI\
beschrieben werden. Entsprechend k\"onnte durch eine geeignete Balance zwischen
\BDII\ und \ADI\ ein nahezu beliebiges Verh\"altnis der Produktion von \DI\ und \DII\
die Daten beschreiben, wenn nicht, und das ist der entscheidende Punkt, die
Massen von \DI\ und \DII\ unterschiedlich w\"aren.

Diese Separation in der Masse ist in einem einzelnen Spektrum im \DS\PIC-Kanal nur
schwer zu erreichen. Allerdings wird der Beitrag der \DII\ im Spektrum mit
Helizit\"atswinkeln $|\cos \vartheta_h|>0.75$ so effektiv unterdr\"uckt, da\ss\
dieses Signal quasi ausschlie\ss lich von \DI-Mesonen stammt. Somit kann dort die
Masse und Breite des \DI\ unabh\"angig von den Einfl\"ussen der \DII-Beitr\"age
bestimmt werden.

Mit diesen nahezu unkorrelierten Messungen von Position und Breite der jeweiligen
Signalbeitr\"age ist es dann m\"oglich, auch in den \DS\PIC-Spektren, in denen
aufgrund des Helizit\"atswinkelbereiches beide \DSS-Arten zum Signal beitragen,
zwischen den Beitr\"agen von \DI\ und \DII\ zu unterscheiden, und somit \BDII,
\ADI\ sowie die Produktionsraten zu bestimmen.

Abschlie\ss end sei erw\"ahnt, da\ss\ die Analyse von geladenen und neutralen
\DSS-Mesonen fast unabh\"angig voneinander m\"oglich ist. Nur die Massen und
die Zerfalls\-parameter \BDII\ und \ADI\ bilden eine Verbindung zwischen den
Spektren von \DSSZ\ und \DSSC. Allerdings ist die Verkn\"upfung beider
Ladungszust\"ande trotzdem sinnvoll, da sich dadurch St\"arken und Schw\"achen
bei der Rekonstruktion der Endzust\"ande ausgleichen. Neutrale \DSS\ liefern ein
sehr sauberes Signal im Kanal \DSSZ\TO\DSC\PICC, weisen daf\"ur jedoch im Kanal
\DSSZ\TO\DC\PICC\ aufgrund der Rekonstruktion des \DC\ einen deutlich gr\"o\ss eren
Untergrundanteil auf. Verglichen damit ist der Endzustand \DZ\PIC\ der geladenen
\DSS\ besser zu rekonstruieren, daf\"ur erh\"oht sich der Untergrundbeitrag im
Kanal \DSSC\TO\DSZ\PIC\ durch die Rekonstruktion des Zerfalls \DSZ\TO\DZ\PIZ.

\subsection{Die Korrelationsmatrix
\label{sec:fit.korrelationsmatrix}}

Trotz der relativ gro\ss en Zahl an freien Parametern der Anpassung zeigt sich,
da\ss\ die Korrelationen zwischen den einzelnen Gr\"o\ss en gering sind.
F\"ur die zw\"olf signalrelevanten Variablen ergibt sich die Korrelationsmatrix,
wie sie in Tabelle~\ref{tab:correl.signal} dargestellt ist. Die vollst\"andige
Korrelationsmatrix ist in Anhang~\ref{app:korrelationsmatrix} zu finden.

\begin{sidewaystable}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|*{12}{c}}
$\dM_{\DI}$      & 1.000 \\
$\dM_{\DII}$     & 0.082& 1.000 \\
$\Gamma_{\DIZ}$  & 0.243& 0.085& 1.000 \\
$\Gamma_{\DIIZ}$ &-0.058&-0.082&-0.064& 1.000 \\ 
$\Gamma_{\DIC}$  &-0.002& 0.043& 0.043&-0.012& 1.000 \\
$\Gamma_{\DIIC}$ &-0.056& 0.034&-0.043& 0.008&-0.036& 1.000 \\
$B(\DIZ)$        & 0.107& 0.108& 0.694&-0.111& 0.051&-0.040& 1.000 \\
$B(\DIIZ)$       &-0.208&-0.126&-0.247& 0.676&-0.087& 0.073&-0.277& 1.000 \\
$B(\DIC)$        & 0.095& 0.081& 0.085&-0.029& 0.690&-0.093& 0.085&-0.137& 1.000 \\
$B(\DIIC)$       &-0.160&-0.093&-0.149& 0.035&-0.137& 0.686&-0.145& 0.259&-0.209& 1.000 \\
$\ADI$           &-0.083&-0.083&-0.125& 0.078&-0.074& 0.061&-0.151& 0.172&-0.200& 0.137& 1.000 \\
$\BDII$          & 0.261& 0.091& 0.296&-0.058& 0.157&-0.135& 0.293&-0.538& 0.223&-0.464&-0.192& 1.000 \\
\hline
& $m_{\DI}$ & $m_{\DII}$ & 
$\Gamma_{\DIZ}$ & $\Gamma_{\DIIZ}$ & $\Gamma_{\DIC}$ & $\Gamma_{\DIIC}$ &
$B(\DIZ)$ & $B(\DIIZ)$ & $B(\DIC)$ & $B(\DIIC)$ & $\ADI$ & $\BDII$ \\
\end{tabular}
\caption[Korrelationsmatrix der Signalparameter]{
\label{tab:correl.signal}
Korrelationen zwischen den zw\"olf Parametern, welche die Signalbeitr\"age in
der Anpassung der \dM-Spektren beschreiben.}
\end{center}
\end{sidewaystable}

Nennenswerte Korrelationen treten dabei zwischen den Breiten der \DSS\ und den
entsprechenden Verzweigungsverh\"altnissen $\BR_{\DSS}$ auf, was aber zu
erwarten ist, da die Breiten der Resonanzstrukturen in die Normierung der
Resonanzkurven eingehen.

Daneben finden sich deutliche Korrelationen zwischen den 
Verzweigungs\-verh\"alt\-nissen der \DSS-Produktion und den Parametern der
\DSS-Zerf\"alle. Dies liegt an der Konstruktion der Anpassungsfunktion
Gleichung~\eqref{eqn:fitfunc}, in die sowohl $\BR_{\DSS}$ als auch $\BR_{2nd}$
als Vorfaktoren der Resonanzfunktion eingehen. Insofern ist eine Korrelation
zwischen diesen Parametern zu erwarten. 

Die Korrelationen der gesuchten Verzweigungsverh\"altnisse $\BR(\BDSSLN)$
untereinander spiegeln die im vorangegangenen Abschnitt diskutierte Ph\"anomenologie
wider. Die Gr\"o\ss e von lediglich rund 20\% macht deutlich, wie gut die gesamte
Information von Massendifferenz, Helizit\"at und verschiedenen Zerfallskan\"alen zur
Unterscheidung zwischen Effekten bei Produktion und Zerfall der beiden \DSS-Arten
verwendet werden kann.
