Geometrie der Juliamenge und präperiodische kritische Punkte

Abstract

Die Juliamenge einer rationalen Funktion ist definiert als die Menge aller Punkte der Riemannschen Zahlenkugel, in denen die Folge der Iterierten dieser Funktion (im Montelschen Sinne) nicht normal ist. Die Dynamik der Iteriertenfolge sowie die topologischen und geometrischen Eigenschaften der Juliamenge werden entscheidend von kritischen Punkten beeinflusst, in denen definitionsgemäß keine lokale Konformität vorliegt. Topologische Aussagen über Ränder von periodischen Gebieten können je nach Anzahl der durch diese Gebiete gebundenen kritischen Punkte getroffen werden. Je größer die vom Grad der Funktion abhängige endliche Zahl der vorhandenen kritischen Punkte ist, desto schwerer fällt es, allgemeingültige Aussagen über die Juliamenge zu formulieren. In dieser Arbeit werden rationale Funktionen zweiten und vor allen Dingen dritten Grades untersucht, bei denen die Anzahl der für die globale Dynamik entscheidenden kritischen Punkte, das sind gerade die nicht präperiodischen, reduziert ist. Ausgehend von einer notwendigen Bedingung dafür, dass die Juliamenge ein Jordanbogen ist, wird eine Familie gewisser Funktionen konstruiert, bei denen die Hälfte der kritischen Punkte präperiodisch ist. Eine geeignete Teilmenge dieser Familie wird in Äquivalenzklassen eingeteilt, denen vollständige Invarianten zugeordnet werden können. Im durch diese Invarianten definierten Modulraum werden schließlich Bereiche angegeben, deren Parameterwerte auf rationale Funktionen mit bestimmten topologischen und geometrischen Eigenschaften der zugehörigen Juliamengen führen. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der Zusammenhangseigenschaft und es wird untersucht, unter welchen Bedingungen die Juliamenge zusammenhängend, eine Jordankurve, ein Jordanbogen bzw. total unzusammenhängend ist.

The Julia set of a rational function is defined as the set of all points of the Riemann sphere, in which the sequence of iterates of this function fails to be normal (in the sense of Montel). The dynamics of the iteration sequence as well as topological and geometrical properties of the Julia set are strongly influenced by critical points, where by definition the function is not locally conformal. Several topological assertions on the boundaries of periodic stable domains can be formulated depending on the number of critical points that belong to these domains. The greater the finite number of given critical points that depends on the degree of the function, the harder it is to find general assertions on the Julia set. In this paper we consider rational functions of degree two and above all of degree three, where the number of non-preperiodic critical points, which are important for the global dynamics, is reduced. With the help of a necessary condition for the Julia set to be a Jordan arc, a family of certain functions is constructed, one half of its critical points being preperiodic. An appropriate subset of this familiy can be partitioned into equivalence classes with the help of suitable complete invariants. In the moduli space resulting from this construction regions can be found, where the parameter values lead to rational functions with certain topological and geometrical properties of their Julia sets. The main topic is the property of connectedness, and we discuss, under which assumptions the Julia set is connected, a Jordan curve, a Jordan arc or totaly disconnected.