Adaptive high-resolution finite element schemes

Abstract

The numerical treatment of flow problems by the finite element method is addressed. An algebraic approach to constructing high-resolution schemes for scalar conservation laws as well as for the compressible Euler equations is pursued. Starting from the standard Galerkin approximation, a diffusive low-order discretization is constructed by performing conservative matrix manipulations. Flux limiting is employed to compute the admissible amount of compensating antidiffusion which is applied in regions, where the solution is sufficiently smooth, to recover the accuracy of the Galerkin finite element scheme to the largest extent without generating non-physical oscillations in the vicinity of steep gradients. A discrete Newton algorithm is proposed for the solution of nonlinear systems of equations and it is compared to the standard fixed-point defect correction approach. The Jacobian operator is approximated by divided differences and an edge-based procedure for matrix assembly is devised exploiting the special structure of the underlying algebraic flux correction (AFC) scheme. Furthermore, a hierarchical mesh adaptation algorithm is designed for the simulation of steady-state and transient flow problems alike. Recovery-based error indicators are used to control local mesh refinement based on the red-green strategy for element subdivision. A vertex locking algorithm is developed which leads to an economical re-coarsening of patches of subdivided cells. Efficient data structures and implementation details are discussed. Numerical examples for scalar conservation laws and the compressible Euler equations in two dimensions are presented to assess the performance of the solution procedure.

In dieser Arbeit wird die numerische Simulation von skalaren Erhaltungsgleichungen sowie von kompressiblen Eulergleichungen mit Hilfe der Finite-Elemente Methode behandelt. Dazu werden hochauflösende Diskretisierungsverfahren eingesetzt, welche auf algebraischen Konstruktionsprinzipien basieren. Ausgehend von der Galerkin-Approximation wird eine Methode niedriger Ordnung konstruiert, indem konservative Matrixmodifikationen durchgeführt werden. Anschließend kommt ein sog. Flux-Limiter zum Einsatz, der in Abhängigkeit von der lokalen Glattheit der Lösung den zulässigen Anteil an Antidiffusion bestimmt, die zur Lösung der Methode niedriger Ordnung hinzuaddiert werden kann, ohne dass unphysikalische Oszillationen in der Nähe von steilen Gradienten entstehen. Die resultierenden nichtlinearen Gleichungssysteme können entweder mit Hilfe von Fixpunkt-Defektkorrektur-Techniken oder mittels diskreter Newton-Verfahren gelöst werden. Für letztere wird die Jacobi-Matrix mit dividierten Differenzen approximiert, wobei ein effizienter, kantenbasierter Matrixaufbau aufgrund der speziellen Struktur der zugrunde liegenden Diskretisierung möglich ist. Ferner wird ein hierarchischer Gitteradaptionsalgorithmus vorgestellt, welcher sowohl für die Simulation von stationären als auch zeitabhängigen Strömungen geeignet ist. Die lokale Gitterverfeinerung folgt dem bekannten Rot-Grün Prinzip, wobei rekonstruktionsbasierte Fehlerindikatoren zur Markierung von Elementen zum Einsatz kommen. Ferner erlaubt das sukzessive Sperren von Knoten, die nicht gelöscht werden können, eine kostengünstige Rückvergröberung von zuvor unterteilten Elementen. In der Arbeit wird auf verschiedene Aspekte der Implementierung sowie auf die Wahl von effizienten Datenstrukturen zur Verwaltung der Gitterinformationen eingegangen. Der Nutzen der vorgestellten Simulationswerkzeuge wird anhand von zweidimensionalen Beispielrechnungen für skalare Erhaltungsgleichungen sowie für die kompressiblen Eulergleichungen analysiert.