Das Diskrepanzprinzip in der nichtparametrischen Kurvenschätzung

Abstract

In dieser Dissertation wird das Diskrepanzprinzip, ein Verfahren zur Glättungsparameterwahl in der nichtparametrischen Kurvenschätzung, untersucht. Diese Methode stammt ursprünglich aus der Theorie der inversen Probleme, wo sie eine der bekanntesten Methoden zur Regularisierungsparameterwahl darstellt. Die Grundidee ist, maximal zu glätten unter einer Nebenbedingung an die Anpassung an die Daten. Obwohl sich dieses Prinzip auch auf die nichtparametrische Kurvenschätzung anwenden lässt, ist es in der Statistik relativ unbekannt.

Für Kerndichteschätzer werden die bisher bekannten Resultate zum Verhalten der gewählten Bandbreite in einen gemeinsamen Rahmen eingeordnet und um neue ergänzt. Es wird auch gezeigt, dass die Bandbreitenwahl mit Hilfe des Diskrepanzprinzips für bestimmte Dichten zu inkonsistenten Schätzungen führen kann. Analoge Resultate werden für die Wahl der Binanzahl in regulären Histogrammen hergeleitet. In Simulationsstudien werden die einzelnen Varianten des Diskrepanzprinzips sowohl untereinander als auch mit Standardmethoden verglichen.

Die bislang für die nichtparametrische Regression vorgeschlagenen Versionen des Diskrepanzprinzips basieren meist auf der Residuenquadratsumme oder dem sogenannten Multiresolutionskriterium. Letzteres wird in dieser Arbeit ausführlich untersucht, wobei gezeigt wird, dass sich das Kriterium über eine spezielle Norm des Residualvektors formulieren lässt. Es werden einige geometrische Eigenschaften dieser Norm hergeleitet. In einer weiteren Simulationsstudie wird die Verwendung des Diskrepanzprinzips für Nadaraya-Watson-Kernschätzer und kubische Glättungssplines untersucht.