Limit theorems of the power variation of fractional Lévy processes

Abstract

In this thesis we consider the limit behaviour of the power variation of fractional Lévy processes. These processes are the generalisation of fractional Brownian motions, a class of Gaussian processes which has a certain covariance structure. They possess a moving average representation as an integral of some deterministic function with respect to a twosided Brownian motion. If the Brownian motion is replaced by a pure jump Lévy process the resulting process has the same dependence structure but its marginal distributions are determined by the Lévy process. We derive a consistency theorem for the power variation of so-called local self-similar fractional Levy processes and additionally for the power variation of integrated fractional processes which are processes given as a Riemann-Stieltjes integral with respect to a fractional Levy process. The proofs are similar to those in Gaussian models. Also we investigate in the limit distribution of the power variation of linear fractional stable motions, which are particular instances of fractional Lévy processes, where the integrator in the moving average representation is given as an a-stable Lévy process. This limit theorem is proven by reducing the proof to a Malliavin calculus based limit theorem in a Gaussian model. This is done by subordination. The limit theorem for the power variation of linear fractional stable motions then can be deduced by Fubini’s and Lebesgue’s Theorems.

In dieser Dissertation untersuchen wir das Grenzverhalten von fraktionellen Levy Prozessen. Diese sind Verallgemeinerungen von fraktionellen Brownschen Bewegungen, einer Klasse von Gauß Prozessen, die eine bestimmte Abhängigkeitsstruktur haben. Sie können zum Beispiel über ihre so genannte Moving-Average Darstellung definiert werden. In diesem Falle sind es Integrale von deterministischen Funktionen bezüglich zweiseitigen Brownschen Bewegungen. Fraktionelle Levy Prozesse erhält man aus diesen wenn man die Brownsche Bewegung durch einen Levy Prozess ersetzt, der keinen Gaußschen Anteil hat. Eine Konsistenzaussage für die Power Variation von fraktionellen Levy Prozesses können wir sowohl für lokal selbstähnliche Prozesse herleiten, als auch für integrierte fraktionelle Prozesse. Diese Prozesse sind Integral Prozesse bei denen ein Stochastischer Prozess bezüglich eines fraktionellen Lévy Prozesses integriert wird. Da die Verteilungstheorie für nicht-Gaußsche Prozesse deutlich schlechter entwickelt ist, mussten wir uns für einen Verteilungstheoretischen Grenzwertsatz einen alternativen Ansatz überlegen. Hierbei wählen wir einen sehr eleganten Weg, um mithilfe von Subordination die lineare fraktionelle stabile Bewegung (es sind fraktionelle Levy Prozesse, bei denen der Integrator ein symmetrischer, a-stabiler Levy Prozess ist) als einen bedingten Gaußprozess darzustellen. Für diesen Gaußprozess kann man einen Grenzwertsatz aus dem für Gaußprozesse sehr weit entwickelten Malliavin Kalkül verwenden, um zu zeigen, dass die Power Variation gegen eine Gaußsche Zufallsvariable konvergiert. Man kann dann leicht die Konvergenz der Power Variation von linearen fraktionellen stabilen Bewegungen mithilfe der Sätze von Fubini und Lebesgue folgern.