A priori Fehlerabschätzungen für die FE-Diskretisierung klassischer Hindernisprobleme

Abstract

Wie wir in dieser Arbeit gesehen haben, verändern sich die Approximationseigenschaften der Näherungslösungen uh 2 V 0 h ( ), die man mit der Methode der finiten Elemente erhält, erheblich, wenn man vom Poisson- zum Hindernisproblem übergeht. Zwar erreicht man in beiden Fällen die H1-Ordnung O(h) (siehe Satz 3.2.1 und Korollar 3.2.2), sobald eine der Lp-Normen als Fehlermaß verwendet wird, tritt aber deutlich zu Tage, dass die in den Problemen (P) und (Ph) vorkommenden Nebenbedingungen den Fehler zwischen der exakten Lösung u und den Näherungen uh negativ beeinflussen. Wie diese Verschlechterung des Konvergenzverhaltens zustande kommt, haben wir in Abschnitt 6.1 beobachten können: Das grundlegende Problem ist einfach, dass sich lokal auftretende Effekte im Falle eines kontinuierlichen oder diskreten Hindernisproblems global auswirken können, wenn die Lösungen u und uh passend mit den Hindernissen und interagieren. Dies verhindert, dass der L2-Fehler analog zum Poisson-Problem mit der Ordnung O(h2) gegen Null geht, und führt dazu, dass man mit einer a priori Fehlerabschätzung der Form ku − uhkLq Ch im Allgemeinen nicht über die Ordnung O(h2−d/p) des L1-Fehlers aus dem Approximationssatz 2.1.5 hinauskommen kann. Dass die Gegenbeispiele, die wir in Abschnitt 6.1 betrachtet haben, dem Worst-Case entsprechen, haben wir in Kapitel 6 gesehen. Dort war es uns mit Hilfe des Konzeptes der diskreten Superlösung und unter Benutzung unserer Resultate zur einseitigen Finite-Elemente-Approximation möglich, zu zeigen, dass die Ordnung O(h2−d/p) in der L1-Norm – zumindest bis auf einen logarithmischen Faktor – immer erreicht wird, wenn die Lösung u in W2,p( ) ist und die verwendeten Triangulierungen der Bedingung (6.14) genügen. Hier ist auch deutlich geworden, dass man eigentlich ein Stabilitätsproblem löst, wenn man sich mit a priori Fehlerabschätzungen für das Problem (P) beschäftigt. Alle Fragen, die sich im Kontext der Fehleranalyse für das Hindernisproblem ergeben, konnten wir in dieser Arbeit natürlich nicht beantworten. Offen sind zum Beispiel noch die folgenden Punkte: - Wie weit kann die Nicht-Positivitäts-Bedingung (6.14) abgeschwächt werden, ohne dass Satz 6.2.4 seine Gültigkeit verliert? Hier müsste man auch noch einige Beispiele konstruieren, aus denen hervorgeht, wie positive Nebendiagonalelemente in den Systemmatrizen die Stabilität der diskreten Hindernisprobleme (Ph) beeinflussen. - Ist es im Höherdimensionalen eventuell doch möglich, in einer der Lq-Normen eine bessere Fehlerordnung als 2−d/p zu erreichen, oder lassen sich auch im Fall d > 1 Gegenbeispiele konstruieren, in denen sich der L1-Fehler zwischen den Hindernissen und in den Lq-Fehler zwischen u und uh fortpflanzt. Dies ist ein sehr interessantes Thema, denn möchte man im Mehrdimensionalen genauso vorgehen, wie wir es in Abschnitt 6.1 getan haben, dann muss man sich zum Beispiel mit der Frage beschäftigen, welche Hausdorff-Dimension die Menge haben muss, auf der das Maximum des Hindernisses bei der Diskretisierung verloren geht, damit der Fehler (u − uh)+ in den Lq-Normen spürbar beeinflusst wird. - Gilt Ungleichung (4.19)? Darüber hinaus ist natürlich sehr interessant, welche Ergebnisse erzielt werden können, wenn andere Variationsungleichungen – zum Beispiel das biharmonische Hindernisproblem – betrachtet werden, und wie sich der Approximationsfehler ku − uhkLq verhält, wenn man zur Diskretisierung finite Elemente einer höheren Ordnung nutzt. Konkrete Resultate zu diesen Fragen scheint es in der gängigen Literatur noch nicht zu geben. Hier ist noch einiges zu tun.