Lokale Eigenschaften von Gittern mit einem Automorphismus

Abstract

In dieser Arbeit werden Z-Gitter mit einem fest gewählten Automorphismus der Ordnung m untersucht. Dazu wird im ersten Kapitel zunächst ein Zusammenhang zu hermiteschen Gittern über dem Gruppenring hergeleitet. Anschließend wird damit unter der Voraussetzung, dass p nicht m teilt, eine p-modulare Zerlegung konstruiert, bei der jede Komponente invariant unter dem Automorphismus ist. Abschließend wird der Fall, bei dem p die Ordnung m teilt, untersucht. Für p gleich m wird als Hauptresultat der Arbeit eine orthogonale Zerlegung von hermiteschen ZpG-Gittern konstruiert und es werden die auftretenden Modultypen der orthogonal unzerlegbaren Summanden bestimmt. Im zweiten Abschnitt werden hermitesche Gitter mit einer Struktur über dem Ganzheitsring eines Kreisteilungskörpers betrachtet und die Invarianten ihrer Spurgitter berechnet. Diese Ergebnisse erlauben den Ausschluss von Gittern mit einem Automorphismus eines vorgegeben Typs im gesamten Geschlecht. Abschließend wird die Idealgitterkonstruktion von Bayer-Fluckiger modifiziert um gezielt Gitter mit einem Automorphismus in einem vorgegeben Geschlecht zu konstruieren.

In this work, Z-lattices with a fixed automorphism of order m are investigated. The first chapter begins with the connection of such lattices to hermitian lattices over the group ring. Under the assumption that p does not divide m, a p-modular decomposition is constructed in which each component is invariant under the automorphism. Finally, the case where p divides m is investigated. The main result is the construction of an orthogonal decomposition of hermitian ZpG-lattices for p equals m. The module types of orthogonal indecomposable lattices are determined. In the second chapter, the invariants of Z-lattices with an additional hermitian structure over the ring of cyclotomic integers are calculated. These results allow the exclusion of lattices with an automorphism of a given type in the entire genus. Finally, the ideal lattice construction of Bayer-Fluckiger is modified to construct a lattice with an automorphism in a given genus.