MSE-optimale crossover designs

Abstract

In der optimalen Versuchsplanung für Crossover Designs wurde bislang ein starker Fokus auf das optimale Schätzen der Behandlungskontraste gelegt. Nahezu unbetrachtet blieben bislang jedoch Modellmisspefizikation, insbesondere wenn carryover-Effekte auftreten, aber nicht ins Modell aufgenommen werden. In dieser Arbeit wurden Designs hinsichtlich ihrer Robustheit bei Modellmisspezifikation untersucht. Dafür wurde der Mean Squared Error (MSE) der Schätzer der Behandlungseffekte als Maß für ein Design verwendet. Der MSE rechnet den Nachteil von verzerrten Schätzern mit dem Vorteil einer besseren Schätzung der Fehlervarianz gegeneinander auf. Ziel ist es, den MSE zu minimieren. Wird als Optimalitätskriterium der MSE betrachtet, liegt im Allgemeinen das Problem vor, dass der Wert des MSE und damit die Optimalität eines Designs von den Werten des Parametervektors der carryover-Effekte abhängt. Es konnte jedoch gezeigt werden, dass die Betrachtung der Quadratsummen der carryover-Effekte eine sinnvolle Vorgehensweise darstellt. In dieser Arbeit konnte eine untere Schranke für den MSE hergeleitet werden, die nur von den Spuren der partitionierten Informationsmatrix der Schätzer abhängt. Diese Schranke wird im Modell ohne Periodeneffekte, aber mit additiven carrover-Effekten von symmetrischen Designs angenommen, sodass eine Beschränkung auf diese Klasse möglich ist. Da für den Fall p > t, d.h. es stehen pro Proband mehr Perioden als Behandlungen zur Verfügung, immer ein Design existiert, das die Varianz der Schätzer minimiert und gleichzeitig unverzerrte Schätzer liefert, ist dieses Design folglich auch MSE-optimal. Deutlich komplizierter ist der Fall p≤t: Es zeigte sich, dass eine Mischung aus Sequenzen, die im Modell mit oder im Modell ohne carryover-Effekte optimal zum Schätzen der Behandlungseffekte sind, MSE-optimal ist. Neben der MSE-Optimalität wurde die Idee der MSE-Effizienz für ein Design entwickelt. Da MSE-optimale Designs in der Regel von den konkreten carryover-Effekten abhängen, ist eine allgemeine Wahl eines MSE-optimalen Designs nicht möglich. Mit Hilfe der Effizienz kann aber eine Bewertung eines beliebigen Designs hinsichtlich des MSE vorgenommen werden. Es zeigt sich, dass optimale Pläne zum Schätzen der Behandlungseffekte im Modell mit als auch im Modell ohne carryover-Effekte hoch effizient sind. Neben der Modellierung des carryover-Effektes als additiven Term, der nur von der Behandlung der Vorperiode abhängt, sind eine Reihe weiterer Modellierungen für die carryover-Effekte bekannt. Für das Modell mit proportionalen carryover-Effekten, das Modell mit self-und-mixed-carryover Effekten sowie für das Modell mit links- und rechtsseitigem carryover-Effekt konnte MSE-optimale Designs angegeben werden. Auch hier wurde zeigte sich, dass optimale Designs zum Schätzen der carryover-Effekte optimal MSE-effizient sind. Des Weiteren wurden für circular Designs MSE-optimale Versuchspläne angegeben. Durch die Arbeit zeigt sich, dass optimale Designs für ein Modell mit carryover-Effekt in der Regel effizient im Sinne des MSE in einem Modell ohne carryover-Effekte sind. Daher sollte die Analyse von Crossover Designs, sofern es vertretbar ist, ohne carryover-Effekte erfolgen.