Sequenzielle Erkennung von Strukturbrüchen in der Varianzstruktur von multivariaten Zeitreihen

Abstract

In dieser Arbeit werden zwei sequenzielle Verfahren zur Detektion von Strukturbrüchen in den Varianzen von Zufallsvektoren vorgestellt. Um Referenzwerte zu erhalten, nutzen beide Verfahren die Information aus einer historischen Stichprobe, die als frei von Strukturbrüchen angenommen wird und die schon zu Beginn der eigentlichen Überwachungsphase vorliegt. Die Referenzwerte können mit Schätzwerten verglichen werden, die auf dem stückweise anwachsenden Datensatz des Überwachungszeitraums beruhen. Somit basieren die Detektorwerte auf der Information des historischen Zeitraums und werden für jeden Zeitpunkt des Überwachungszeitraums mit Hilfe der neu hinzugewonnenen Information aktualisiert. Anschließend können die Detektorwerte mit einer passend skalierten Grenzfunktion verglichen werden, wobei ein Überschreiten der Grenzfunktion durch die Detektorwerte das Vorliegen eines Strukturbruchs in der jeweils betrachteten Größe anzeigt. Das erste Verfahren ist ein nichtparametrischer Strukturbruchtest, dessen Detektor auf den Differenzen von Varianzschätzern aus der historischen Stichprobe und aus den Daten des Überwachungszeitraums basiert. Unter der Nullhypothese, dass sich der Vektor der Varianzen während des gesamten Überwachungszeitraums nicht ändert, ist davon auszugehen, dass sich aus den Daten des Überwachungszeitraums bestimmte Varianzschätzer nur geringfügig von aus der historischen Stichprobe ermittelten Schätzwerten unterscheiden. Starke Fluktuationen hingegen, wie sie durch sehr unterschiedliche Schätzwerte hervorgerufen werden, sprechen für das Vorliegen eines Strukturbruchs in der betrachteten Zeitreihe. Das zweite Verfahren ist ein parametrischer Test auf eine Änderung des Parametervektors im multivariaten GARCH-Modell mit dynamischer bedingter Korrelation (DCC-Modell) von Engle. Strukturbrüche in den Modellparametern können dabei nicht nur Änderungen in den bedingten und unbedingten Varianzen hervorrufen, sondern auch in der bedingten und unbedingten Kovarianz- und Korrelationsstruktur. Dies erlaubt eine weitreichende Detektion von strukturellen Änderungen in dieser Art von Modell, die beispielsweise für die Modellierung von Aktienrenditen gut geeignet ist. Das Verfahren basiert auf den Scores der Gaußschen Quasi-Loglikelihoodfunktion. Unter der Annahme eines konstanten Parametervektors sollten die Beiträge zum Gradienten der Quasi-Loglikelihoodfunktion für den aus der historischen Stichprobe ermittelten Parameterschätzer und für Beobachtungen aus dem Überwachungszeitraum nicht viel stärker schwanken als dies für die Werte aus dem historischen Zeitraum beobachtet wurde. Da für beide betrachteten Methoden die Stoppzeit in der Regel nicht mit dem eigentlichen Bruchpunkt zusammenfällt, werden außerdem zwei Schätzer vorgestellt, mit denen nach dem Nachweis der bloßen Präsenz eines Strukturbruchs auch dessen Lage geschätzt werden kann. Für beide betrachteten Verfahren beziehungsweise die verwendeten Detektoren werden asymptotische Eigenschaften unter der Nullhypothese und der Alternative eines Strukturbruchs zu einem unbekannten Zeitpunkt im Überwachungszeitraum hergeleitet. In beiden Fällen streben die Folgen der Detektorwerte unter der Nullhypothese gegen multivariate Gaußprozesse. Außerdem wird das Verhalten in endlichen Stichproben mit Hilfe von Simulationen und Anwendungen auf echte Daten, in diesem Fall logarithmierte Eintagesrenditen der Kurswerte von verschiedenen Aktien, untersucht.