Kontrollkarten auf Basis archimedischer
Copulas
Dem Promotionsausschuss der Technischen Universita¨t Dortmund
vorgelegte Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades
Doktorin der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
von
Dipl.-Stat. Editha Lockow
2013
1. Gutachter: Prof. Dr. Claus Weihs
2. Gutachter: Prof. Dr. Walter Kra¨mer

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Abha¨ngigkeits- und Abstandsmaße 5
2.1 Kovarianz und Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Maße auf Basis von Konkordanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Abstandsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Copulas 9
3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Sklar’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Fre´chet-Hoeffding-Schranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Ausgewa¨hlte Spezialfa¨lle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Beziehung zu den Korrelationskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . 16
3.6 Parameterscha¨tzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Karten zur Prozessu¨berwachung 21
4.1 Qualita¨t und Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Qualita¨tsregelkarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Die mittlere Laufla¨nge ARL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 OC-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5 Hotellings T 2-Karte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.6 Steigers Z-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Variante I: U¨berwachung von Prozesslage und -streuung 31
5.1 Verwendete Kontrollkarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1.1 Adjustierte T 2-Karte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.2 Alternative: Euklidische E2-Karte . . . . . . . . . . . . . . . 33
i
5.2 Effizienz der Kontrollkarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2.1 Bestimmung der Kontrollgrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2.2 Verhalten der Laufla¨nge bei Lageverschiebung . . . . . . . . . 36
5.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3.1 Beispiel I: Ultraschall-Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . 42
5.3.2 Beispiel II: Inkrementelles Umformen . . . . . . . . . . . . . 47
5.4 U¨berwachung der Prozessstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6 Variante II: Zusammenhangskontrolle 57
6.1 Entwicklung eines geeigneten Testverfahrens . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.1 T 2-Karte fu¨r Abha¨ngigkeitsa¨nderungen . . . . . . . . . . . . 57
6.1.2 Beschreibung der Teststatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.1.3 ”Entwicklungsgeschichte“ des vorgestellten Tests . . . . . . . 64
6.2 Konstruktion der Grenzwerte lcl und ucl . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2.1 Herleitung der beno¨tigten Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . 67
6.2.2 Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsba¨nder . . . . . . . . . . 73
6.2.3 Beispiel Produktcopula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3 Effizienz der Kontrollkarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3.1 Berechnung von lcl und ucl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3.2 Ergebnisse der Laufla¨ngensimulation . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3.3 Approximation der Grenzwerte am Beispiel der Claytoncopula 81
6.4 Vergleich mit Steigers Z-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.5.1 Beispiel I: Aktienrenditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.5.2 Beispiel II: Schra¨gseilbru¨cken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.6 Optimierung der Teststatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.6.1 Verteilung der Grenzwerte lcl und ucl . . . . . . . . . . . . . 99
6.6.2 Niveauausscho¨pfung verbessern . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.6.3 ARL-Verhalten optimieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.6.4 ARL-Verhalten und Niveauausscho¨pfung verbessern . . . . . 106
7 Zusammenfassung und Ausblick 109
ii
A Erga¨nzende Formeln und Berechnungen 113
A.1 Wahrscheinlichkeiten fu¨r Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.1.1 Die Wahrscheinlichkeit P(r ≤ r∗, e∗1 ≤ e ≤ e∗2) . . . . . . . . . 113
A.1.2 Die Wahrscheinlichkeit P(e∗1 ≤ e ≤ e∗2) . . . . . . . . . . . . . 114
A.1.3 Die Wahrscheinlichkeit P(r ≤ r∗|e∗1 ≤ e ≤ e∗2) . . . . . . . . . 115
A.1.4 Beispiel Produktcopula - Herleitung der Integrale . . . . . . . 116
A.2 Copuladichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.2.1 Dichte der Claytoncopula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.2.2 Dichte der Gumbelcopula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.2.3 Vergleich der Formeln 6.4 und 6.12 . . . . . . . . . . . . . . . 120
B Zusa¨tzliche Tabellen und Abbildungen 123
iii

Verzeichnis wichtiger Abku¨rzungen und
mathematischer Ausdru¨cke
Verteilungen
Term Bedeutung
❇() Binomialverteilung
❋() F-Verteilung
◆(0, 1) Standardnormalverteilung
◆(µ,Σ) multivariate Normalverteilung mit
Erwartungswertvektor µ und Kovarianzmatrix Σ
❚
2 Hotellings T-Quadrat-Verteilung
❲() Wishart-Verteilung
Griechische Ausdru¨cke
Term Bedeutung
α Testniveau beziehungsweise Niveau einer Kontrollkarte
η Auspra¨gung des zu u¨berwachenden Prozessparameters
η0 Sollwert des zu u¨berwachenden Prozessparameters
µ Erwartungswert(-vektor) einer Normalverteilung
Φ Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen
ϕ erzeugende Funktion einer archimedischen Copula
ϕ[−1] Pseudoinverse von ϕ
ρXY Korrelation zwischen X und Y nach Pearson
ρSXY Rangkorrelation zwischen X und Y nach Spearman
σXY Kovarianz zwischen X und Y
Σ Kovarianzmatrix einer Normalverteilung
τXY Rangkorrelation zwischen X und Y nach Kendall
θ Copulaparameter (archimedische Copula)
v
Sonstige Ausdru¨cke
Term Bedeutung
C(u1, u2, θ) bivariate Copula mit dem Paramter θ am Punkt (u1, u2)
c(u1, u2, θ) Dichte von C(u1, u2, θ)
Cov(X,Y ) Kovarianz von X und Y
dM (X,Y ) Malahanobisdistanz zwischen X und Y
e euklidische Distanz eines Punktes auf der Winkelhalbierenden
im I2 zum Koordinatenursprung
E2 Teststatistik der Euklidischen E2-Karte
E(X) Erwartungswert von X
f(.) Fischertransformation
F eindimensionale Verteilungsfunktion
H0 Nullhypothese eines statistischen Tests
H1 Alternativhypothese eines statistischen Tests
H(x1, x2) bivariate Verteilungsfunktion am Punkt (x1, x2)
I, I2 geschlossenes Intervall auf [0, 1], beziehungsweise [0, 1]× [0, 1]
Ip p-dimensionale Einheitsmatrix
i Za¨hlvariable
lcl Quantilsfunktion (obere Grenze) von r in Abha¨ngigkeit von e
m Gro¨ße der Lernstichprobe
n Stichprobengro¨ße
p Anzahl betrachteter Merkmale, Dimension der Verteilung
P(.) Wahrscheinlichkeit fu¨r ein Ereignis
r orthogonaler Abstand zwischen einem Punkt und der
Winkelhalbierenden im I2
R∗ Korrelationsmatrix der multivariaten Normalverteilung
rg(.) Rang von .
Ri ∈ {0, 1, 2} als Klasse fu¨r ri in Abha¨ngigkeit von ei (i = 1, . . . , n)
Rn Teststatistik der entwickelten R-Karte fu¨r n Werte
Sm Kovarianzmatrix einer Lernstichprobe der Gro¨ße m
s∗m Vektor der Standardabweichungen fu¨r alle Merkmale einer
Lernstichprobe der Gro¨ße m
sXY empirische Kovarianz zwischen X und Y
vi
Sonstige Ausdru¨cke (Fortsetzung)
Term Bedeutung
T Teststatistik eines statistischen Tests (allgemein)
T 2 Teststatistik zu Hotellings T 2-Karte
T 2adj Teststatistik zur adjustierten T 2-Karte
U Zufallsvariable aus I beziehungsweise Ip, meist mit p = 2
ucl Quantilsfunktion (untere Grenze) von r in Abha¨ngigkeit von e
V Zufallsvariable aus I
Var(X,Y ) Varianz von X und Y
X Zufallsvariable aus dem ❘p
Y Zufallsvariable aus dem ❘p
Y m Mittelwertvektor einer Lernstichprobe der Gro¨ße m
Abku¨rzungen
Abku¨rzung Bedeutung
ARL Average Run Length - mittlere Laufla¨nge
CL Kontrollgrenze einer Kontrollkarte (”Control Limit“)
CML Canonical Maximum Likelihood (ML-Methode bei
unbekannten Ra¨ndern)
IFM Inference for Margins (ML-Methode bei bekannten Ra¨ndern)
LCL untere Kontrollgrenze einer Kontrollkarte (”Lower Control Limit“)
ML Maximum Likelihood
OC Operationscharakteristik, misst den Fehler zweiter Art
QRK Qualita¨tsregelkarte
RL Run Length - Laufla¨nge
SDRL Standard Deviation of the ARL - Standardabweichung der ARL
SPC Statistical Process Control - Statistische Prozessu¨berwachung
UCL obere Kontrollgrenze einer Kontrollkarte (”Upper Control Limit“)
uiv unabha¨ngig identisch verteilt
vii
viii
1 Einleitung
Copulas waren bislang hauptsa¨chlich ein Modellierungsinstrument der O¨konomen
und Finanzstatistiker. Inzwischen erkennen auch vermehrt Naturwissenschaftler die
Vorteile dieser multivariaten Datendarstellung, beispielsweise beim Modellieren von
Umweltzusammenha¨ngen und in der Ingenieurtechnik. Es werden immer mehr Be-
reiche gefunden, bei denen Copulamodelle bisher verwendete Verteilungsannahmen
in ihrer Anpassungsgu¨te u¨bertreffen. Die vorliegende Arbeit soll einen Beitrag zu
dieser Entwicklung im Bereich der Qualita¨tskontrolle leisten.
Falsche oder ”nicht optimale“ Verteilungsannahmen von Mess- und Qualita¨tsdaten
fu¨hren unter Umsta¨nden zu rapiden Fehleinscha¨tzungen der wahren Prozesslage.
Wird der Prozess durch Copulamodelle beschrieben, sollten dies auch die verwende-
ten Instrumente zur Qualita¨tsu¨berwachung beru¨cksichtigen. Eine genauere Kenntnis
der Datenstruktur fu¨hrt in der Praxis zur Einsparung verschiedener Ressourcen, etwa
Material, Maschinen- oder Arbeiterstunden und ist damit finanziell und o¨kologisch
interessant.
Die Idee, Copulamodelle auf den Bereich der Qualita¨tssicherung zu u¨bertragen,
insbesondere auf Qualita¨tsregelkarten, stammt von Yan (2007). Die vorliegende Dis-
sertation greift diesen Gedanken auf. Betrachtet werden Qualita¨tsregelkarten fu¨r
Prozesse, welche durch bivariate archimedische Copulas modellierbar sind.
Neben dem bekannten Problem, einen Prozess in Lage und Streuung der interes-
sierenden Parameter konstant zu halten, wird die Abha¨ngigkeitsstruktur zwischen
den Merkmalen betrachtet. Hierauf liegt das Hauptaugenmerk der Arbeit.
Fu¨r Lage- und Streuungsa¨nderungen werden Modifikationen der klassischen T 2-
Karte verwendet. Zusa¨tzlich wird die E2-Karte entwickelt; diese verwendet ein alter-
natives Abstandsmaß. Zur U¨berwachung der Prozessstruktur wird eine neue Qua-
lita¨tsregelkarte entwickelt und getestet. Diese Karte soll dabei sowohl eine Versta¨r-
1
kung als auch eine Abschwa¨chung des Zusammenhangs zwischen den Daten erken-
nen. Alle Karten werden hinsichtlich ihres Gu¨teverhaltens gepru¨ft. Dazu wird die
durchschnittliche Laufla¨nge des Prozesses betrachtet, ehe die Karte Alarm auslo¨st.
Bei kontrolliert ablaufenden Prozessen sollte sie mo¨glichst groß sein (in Abha¨ngigkeit
vom Testniveau), bei Prozesssto¨rungen dagegen klein ausfallen.
Die Arbeit entha¨lt fu¨nf Hauptkapitel. Das na¨chste Kapitel stellt Abha¨ngigkeits-
und Abstandsmaße vor. Diese dienen zur Beschreibung der interessierenden Da-
tenstrukturen und bilden die mathematische Grundlage der neu entwickelten Qua-
lita¨tsregelkarte.
Das dritte Kapitel behandelt Copulas. Nach einer kurzen Darstellung der Anwen-
dungsgebiete und der zugrunde liegenden Idee pra¨sentiert dieses Kapitel ausgewa¨hlte
archimedische Copulas. Neben der multivariaten Normalverteilung wird im Folgen-
den ausschließlich diese Gruppe betrachtet. Archimedische Copulas basieren auf ei-
ner Generatorfunktion; dabei ist die Auswahl beliebig groß. Sie beschreiben auf diese
Weise sehr unterschiedliche Abha¨ngigkeitsstrukturen und decken viele in der Praxis
vorkommende Datenformationen ab. Ein weiterer Vorteil fu¨r diese Arbeit ist, dass
Zufallszahlen auf Basis archimedischer Copulas relativ leicht zu erzeugen sind.
Das vierte Kapitel bescha¨ftigt sich mit dem zweiten inhaltlich relevanten Theo-
riegebiet, den Qualita¨tsregelkarten. Neben Grundlagen und einigen Mo¨glichkeiten,
die Gu¨te der Karte zu bewerten, werden Hotellings T 2-Karte und Steigers Z-Test
vorgestellt.
Auf Basis der theoretischen Grundlagen bescha¨ftigt sich Kapitel 5 mit den Mo¨g-
lichkeiten zur U¨berwachung von Prozesslage und -streuung. Zuna¨chst wird eine Mo-
difikation des klassischen T 2-Tests eingesetzt. Die verwendeten Copulas sind ach-
sensymmetrisch, daher wird anschließend ein anderes Distanzmaß - der Euklidische
Abstand - als Basis einer Regelkarte verwendet. Beide Karten werden fu¨r unter-
schiedliche Prozessszenarien vergleichend getestet. Zwei Anwendungen runden diese
Betrachtung ab.
Copulas zielen darauf ab, die Datenstruktur gut abzubilden und Abha¨ngigkei-
ten zwischen zwei oder mehr Merkmalen zu modellieren. Der interessanteste Aspekt
dieser Arbeit ist daher die U¨berwachung der Abha¨ngigkeitsstruktur. Diese soll fu¨r
den betrachteten Prozess konstant bleiben. Die T 2-Karte erfasst Abha¨ngigkeitsa¨nde-
2
rungen nicht zufriedenstellend. In Kapitel 6 wird daher eine neue Qualita¨tsregelkarte
entwickelt. Sie soll Struktura¨nderungen eines Prozesses sichtbar machen. Dazu wird
der Abstand der (Copula-)Datenpunkte zur Winkelhalbierenden auf dem Einheits-
quadrat betrachtet. Dieser Abstand wird entsprechend aufbereitet und mit seiner
Hilfe werden die Datenpunkte klassiert. Die Einordnung der Messpunkte erfolgt
anhand entsprechender ”Wahrscheinlichkeitsba¨nder“ eines kontrolliert ablaufenden
Prozesses. Diese Ba¨nder u¨berdecken einen Bereich, in dem ein bestimmter Prozent-
satz der Daten eines kontrolliert ablaufenden Prozesses liegt. Die Ba¨nder decken den
gesamten Wertebereich der modifizierten Messwerte ab. Damit ermo¨glichen sie eine
eindeutige Dateneinordnung. Die Verteilung der klassifizierten Werte ist bestimm-
bar; sie bildet die Grundlage der Regelkarte.
Ein Vergleich mit Steigers Z-Test fa¨llt zugunsten der neuen Qualita¨tsregelkarte
aus, so dass deren praktischer Einsatz empfehlenswert scheint. Es folgen wiederum
zwei Anwendungsbeispiele. Abschließend wird die Karte am Beispiel einer bestimm-
ten Copula optimiert, indem die Wahrscheinlichkeitsschla¨uche variiert werden.
Das letzte Kapitel fasst die Ergebnisse zusammen und nennt Ansatzpunkte fu¨r
weiterfu¨hrende Arbeitsgebiete im Bereich der Qualita¨tsregelkarten auf Basis von
Copulamodellen.
3

2 Abha¨ngigkeits- und Abstandsmaße
Die deskriptive Statistik liefert verschiedene Mo¨glichkeiten der Datenbeschreibung.
Kennzahlen konzentrieren die Dateninformation auf wenige, relevante Maße, welche
eine gute U¨bersicht u¨ber die Datengrundlage bieten. Einige Maße werden in diesem
Kapitel erla¨utert, weiterfu¨hrende Informationen gibt Greene (2012). Einen umfas-
senden U¨berblick zu ”Standardmaßen“ liefern Hartung et al. (2005); die Definitionen
aus Kapitel 2.1 stammen von ihm.
2.1 Kovarianz und Korrelation
Qualita¨tsmerkmale eines Objektes sind in der Regel nicht unabha¨ngig, daher mu¨ssen
Art und Ausmaß des Zusammenhangs fu¨r viele ingenieur- und naturwissenschaftliche
U¨berlegungen bekannt sein. Fu¨r multivariat normalverteilte Daten sind Kovarianzen
beziehungsweise Korrelationen geeignete Abha¨ngigkeitsmaße. Die Kovarianz zweier
Zufallsvariablen ist definiert als
Cov(X,Y ) = σXY = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]
Fu¨r eine Stichprobe (xi, yi), i = 1, . . . , n, wird die Kovarianz gescha¨tzt durch die
empirische Kovarianz:
sxy =
1
n− 1
n
∑
i=1
(xi − x¯)(yi − y¯) (2.1)
Dabei bezeichnen x¯ und y¯ die arithmetischen Mittel der Beobachtungen x1, . . . , xn
und y1, . . . , yn.
Die Varianz von X (Var(X)) entspricht σXX = σ2X beziehungsweise sxx = s2x.
Die Kovarianz ist nicht beschra¨nkt. Eine auf das Intervall [−1, 1] normierte Form
der Kovarianz ist die Korrelation nach Pearson, die allgemein unter dem Begriff
5
”Korrelation“ verstanden wird. Sie ist gegeben durch:
ρXY =
σXY
√
σ2X
√
σ2Y
(2.2)
Fu¨r die empirische Variante ρˆxy oder auch rxy werden die entsprechenden theoreti-
schen Kovarianzen durch die empirischen ersetzt.
Fu¨r a, b 6= 0 ∈ ❘ und c, d ∈ ❘ ist ρ(aX+c,bY+d) = sign(ab)ρXY . Die Korrelation
ist also invariant gegenu¨ber streng monoton wachsenden, linearen Transformatio-
nen der verwendeten Zufallsvariablen. Fu¨r streng monoton wachsende, nichtlineare
Funktionen (hier: T und S) gilt dieser Zusammenhang nicht, sondern allgemein ist
ρT (X),S(Y ) 6= ρXY .
Betrachtet man beispielsweise die Vektoren
x = (0.2, 0.3, 0.4, 0.6, 0.2, 0.4)⊤ und y = (3.1, 4, 4.8, 6., 2.8, 5.2)⊤
und die Funktionen T (x) = x2 sowie S(y) = y6, gilt ρxy = 0.97 6= ρT (x),S(y) = 0.99.
Kovarianz und Korrelation sind meist einfach herzuleiten, bilden aber ausschließ-
lich lineare Zusammenha¨nge ab. Aus der Unabha¨ngigkeit zweier Zufallsvariablen
folgt stets Unkorreliertheit, sofern die zweiten Momente existieren
(σXY = 0 → ρXY = 0),
der Umkehrschluss gilt nur fu¨r multivariat normalverteilte Daten.
2.2 Maße auf Basis von Konkordanzen
Die Theorie zu Konkordanzen und darauf basierenden Abha¨ngigkeitsmaßen sind
erkla¨rt Nelson (2006). Sowohl die Rangkorrelation von Kendall als auch Spearmans
Rangkorrelation nutzen Konkordanzmessungen zur Beschreibung der Abha¨ngigkeit
zweier Variablen.
6
Betrachtet werden die Zufallsvariablen X und Y . Zwei Beobachtungspaare (xi, yi)
und (xj , yj) (i, j ∈ 1, . . . , n) heißen konkordant, falls
xi < xj und yi < yj oder xi > xj und yi > yj
gilt. beziehungsweise diskonkordant, falls gilt:
xi < xj und yi > yj oder xi > xj und yi < yj
Darauf aufbauend wird die Rangkorrelation nach Kendall (Kendalls τ)
von(X,Y ) mit n unabha¨ngigen Ziehungen (Xl, Yl), l = 1, . . . , n folgendermaßen
definiert:
τXY = P[(Xi −Xj)(Yi − Yj) > 0]− P[(Xi −Xj)(Yi − Yj) < 0] ∀i, j = 1, . . . , n
Sei c die Anzahl konkordanter Paare und d die Anzahl diskonkordanter Paare inner-
halb der Stichprobe, so gilt
τˆXY =
c− d
c+ d. (2.3)
Im Gegensatz zu Kendalls τ nutzt die Rangkorrelation von Spearman (Spear-
mans ρ) die Differenz der Ra¨nge und nicht nur deren Unterschied. Mit der Schreib-
weise von rg(Xi) als Rang von Xi gilt fu¨r n Wertepaare:
ρˆSXY = 1−
6
n
∑
i=1
(rg(Xi)− rg(Yi))2
n · (n2 − 1) . (2.4)
Im Folgenden wird einheitlich Kendalls τ zur Beschreibung von Abha¨ngigkeiten
verwendet. Das Anwachsen des Abha¨ngigkeitsmaßes kann im direkten Vergleich zu
Pearsons ρ nicht unbedingt linear interpretiert werden, siehe auch Abschnitt 3.5. Je
nach betrachteter Grundgesamtheit kann beispielsweise eine Erho¨hung von τ um 0.2
einen wesentlich gro¨ßeren Sprung von ρ bewirken.
7
2.3 Abstandsmaße
Viele multivariate Methoden basieren auf der Betrachtung von Absta¨nden zwi-
schen Objekten im multidimensionalen Raum. Unterschiedliche Methoden zur Ab-
standsberechnung ko¨nnen die Ergebnisse einer Methode stark beeinflussen. Fu¨r wei-
terfu¨hrende Informationen sowie verschiedene konkrete Berechnungsmo¨glichkeiten
fu¨r Absta¨nde siehe etwa Fahrmeir et al. (1996).
Fu¨r eine endliche Menge M = {X1, X2, . . . , XN} heißt die Funktion d : M ×M →
❘ Distanzmaß oder Distanzfunktion, falls sie folgende Punkte erfu¨llt:
• d(Xi, Xj) = d(Xj , Xi) ∀Xi, Xj ∈M
• d(Xi, Xj) ≥ 0 und d(Xi, Xi) = 0 ∀Xi, Xj ∈M
Der Abstand zwischen zwei Punkten im n-dimensionalen Raum kann durch die
Lq-Norm nach der Gleichung von Minkowski
dq(x, y) =
( p
∑
i=1
|xi − yi|q
)1/q
mit q ≥ 1 (2.5)
berechnet werden. Dabei steht q fu¨r die Art des Abstands. Spezialfa¨lle sind
• q = 1: ”City-Block-Metrik“ oder auch ”Manhattan-Distanz“ und
• q = 2: ”Euklidische Distanz“ mit der Darstellung ||x− y||.
Die Minkowski-Distanz beru¨cksichtigt unterschiedliche Skalierungen der individuel-
len Koordinaten nicht. Wenn die Merkmale verschiedene Auspra¨gungsintervalle oder
Maßeinheiten haben, dominiert die Koordinate mit dem gro¨ßeren Bereich das Er-
gebnis. Dieses Problem kann durch Skalierung der Daten vor der Distanzberechnung
gelo¨st werden.
Die Mahalanobisdistanz beru¨cksichtigt die Korrelation und verschiedene Ska-
lierungen durch Einbeziehen der inversen gescha¨tzten Kovarianzmatrix S−1 ; fu¨r
unkorrelierte, standardisierte Daten entspricht sie der Euklidischen Distanz. Sie be-
rechnet sich nach der Formel
dM (x, y) = (x− y)TS−1(x− y). (2.6)
8
3 Copulas
Der Name ”Copula“ stammt aus dem Lateinischen (”Band, Koppel, Verbindung“), er
betont die Eigenschaft der Funktion, Randverteilungen und Abha¨ngigkeitsstruktur
zu verknu¨pfen.
Copulas helfen, mehrdimensionale Zusammenha¨nge darzustellen und stochastische
Abha¨ngigkeit wesentlich flexibler modellieren als etwa mit Korrelationskoeffizien-
ten. Klassische Beispiele hierfu¨r stammen meist aus der Finanzwelt, siehe etwa Savu
(2007). Weit verbreitet ist die Modellierung der Abha¨ngigkeit mit Copulafunktionen
in Anwendungen der finanziellen Risikobewertung und in versicherungsmathemati-
schen Analysen. Das bekannteste Beispiel ist die Preisgestaltung von Wertpapieren,
insbesondere von CDOs (Collateralized Debt Obligations), siehe etwa C´ızek et al.
(2005), Meucci (2011) oder Meneguzzo und Vecchiato (2003). CDOs bestehen aus
einem Portfolio festverzinslicher Wertpapiere. Sie sind ein wichtiges Refinanzierungs-
mittel fu¨r Banken auf dem Kapitalmarkt und im Zuge der aktuellen Finanzkrise
in die Kritik geraten. Mit den CDOs geriet auch die Anwendung der Gaußcopula
auf Kreditderivate in Verruf (Salmon (2009)). Neue Vero¨ffentlichungen im Bereich
der Finanzstatistik dokumentieren die Beschra¨nkungen der Gaußcopula. Wesentliche
Punkte dabei sind die Unfa¨higkeit, Abha¨ngigkeiten dynamisch zu modellieren, und
die schlechte Wiedergabe extremer Ereignisse. Korrigierende Modelle stellen etwa
Brigo et al. (2010) oder Donnelly und Embrechts (2010) vor.
Weniger umstritten ist die Anwendung von Copulas im Bereich anderer Anla-
gesektoren, beispielsweise bei der Preiskalkulation oder im Risikomanagement, fu¨r
Devisenkurse und fu¨r Rentenfonds, siehe etwa Qu (2005).
Auch bei Versicherungsunternehmen spielt der Begriff ”Risikomanagement“ eine
immer gro¨ßere Rolle, insbesondere die Risikoaggregation, also die Zusammenfas-
sung von Einzelrisiken zu einem Gesamtrisiko. Abha¨ngigkeiten von verschiedenen
Einzelrisiken zu verstehen und zu bewerten, ist hier essentiell, um etwa die Gefahr
9
zu modellieren, dass verschiedene Anspru¨che gleichzeitig geltend gemacht werden
(Tran (2009)).
Salvadori und De Michele (2007) zeigen Anwendungsgebiete in der Hydrologie,
wenn etwa Pegelsta¨nde eines Flusses an verschiedenen Messpunkten modelliert wer-
den; auch im Bereich der Offshoretechnik gibt es diverse Einsatzgebiete (de Waal
(2005)).
Bei technischen Produktionsprozessen interessiert das Auftreten von verbunde-
nen Fehlern oder die zeitliche Verbundenheit von Misserfolgen. Copulafunktionen
werden unter anderem erfolgreich im Bereich der Zuverla¨ssigkeitsanalyse von Auto-
bahnbru¨cken angewandt (Srinivas et al. (2006), Thompson und Kilgore (2011)).
Anwendungen im Bereich der Meteorologie und Klimaforschung (ta¨gliche Nieder-
schlagsmessungen, Temperatur, . . . ) stellen Scho¨lzel und Friederichs (2008) vor. Im
Bereich der Medizin ko¨nnen Copulafunktionen beispielsweise zur Modellierung von
Aktionspotentialen (Za¨hlimpulse von Spitzen im zeitlichen Ablauf) in der Neurologie
angewendet werden, siehe etwa Onken et al. (2009).
In der Praxis werden oft multivariate statistische Verfahren zur Modellierung der
genannten Beispiele verwendet. Diese basieren meist auf der Annahme, dass gemein-
sam normalverteilte Daten vorliegen. Diese Bedingung ist oftmals nicht erfu¨llt, auch
wenn die verbundenen Merkmale einzeln normalverteilt sind.
Hier sind andere multivariate Verteilungen geeigneter, in der Vergangenheit wa-
ren sie allerdings auch schwer zu konstruieren. Meist entstanden multivariate Ver-
teilungen als Verallgemeinerung von univariaten Verteilungen, so dass nur gleiche
Randverteilungen beru¨cksichtigt werden konnten. Außerdem gab es oftmals starke
Bedingungen an die Abha¨ngigkeit der einzelnen Zufallsgro¨ßen.
Copulas verfolgen einen anderen Ansatz. Mit ihnen lassen sich multivariate Vertei-
lungsfunktionen in zwei Teile zerlegen. Dabei werden die univariaten Randverteilun-
gen getrennt von der Copulafunktion betrachtet, welche die Abha¨ngigkeitsstruktur
der Zufallsvariablen beschreibt. Sowohl die Randverteilungen als auch die Copula
sind dabei frei wa¨hlbar, wodurch die Modellierung der oben genannten Sachverhalte
erheblich flexibler und einfacher wird.
Der Ansatz, Randverteilungen von der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsvertei-
lung zu trennen, ist seit den 1940ern bekannt. (Enorm) gestiegen ist das Interesse
10
an Copulas aber erst um die Jahrtausendwende, wie man an der wachsenden Anzahl
der Vero¨ffentlichungen zu diesem Thema erkennen kann. Bislang gibt es daher nur
wenige Standardwerke zu Copulas, etwa Nelson (2006) oder Joe (2001). Das Kon-
zept der Copulas erscheint zuna¨chst ungewo¨hnlich, als Einstiegslektu¨re ist das Werk
von Genest und Favre (2007) geeignet.
Grundlage der folgenden mathematischen Erla¨uterungen ist die Arbeit von Nelson
(2006). Hier werden alle angefu¨hrten Theoreme und Sa¨tze fu¨r den zweidimensionalen
Fall bewiesen, was fu¨r diese Arbeit ausreichend ist.
3.1 Definition
Copulas werden genutzt, um multivariate Verteilungen mit beliebigen Randvertei-
lungen zu konstruieren. Sie veranschaulichen die Zusammenhangsstruktur verschie-
dener Zufallsvariablen. Gegeben sei dazu das geschlossene Intervall I = [0, 1] und
analog I2 = [0, 1]× [0, 1]. Weiter sei (U1, . . . , Up)T ein Zufallsvektor, wobei die Ein-
tra¨ge Ui, i = 1, . . . , p, gleichverteilt u¨ber dem Intervall I sind.
Die gemeinsame Verteilungsfunktion aller Ui heißt p-dimensionale Copula (p-
Copula) C(u1, . . . , up) = P(U1 ≤ u1, . . . , Up ≤ up).
Eine zweidimensionale Copula (kurz: Copula) ist eine Funktion C : I2 → I
mit C(u, v) = P(U ≤ u, V ≤ v) fu¨r u, v ∈ I, fu¨r die gilt:
1. C(u, 0) = C(0, v) = 0 ∀ u, v ∈ I
2. C(u, 1) = u und C(1, v) = v ∀ u, v ∈ I
3. C(u2, v2)− C(u2, v1)− C(u1, v2) + C(u1, v1) ≥ 0
fu¨r alle Rechtecke (u1, u2]× (v1, v2] ⊂ I2
Die obigen Bedingungen folgen direkt aus der Definition einer Verteilungsfunktion.
Existiert die Dichtefunktion einer Copula, ergibt sie sich durch Ableiten nach den
Randvariablen als
c(u, v) = ∂C(u, v)∂u∂v . (3.1)
11
Elliptische Copulas (am Beispiel der Gaußcopula) und Archimedische Co-
pulas (Clayton-, Frank- und Gumbel-) werden hier vorgestellt. Informationen zu
Extremwertcopulas, einer weiteren wichtigen Copulagruppe im Bereich der Inge-
nieurstatistik, liefert Joe (2001). Abbildung 3.1 zeigt einige Mo¨glichkeiten, wie die
gemeinsame Verteilung aussehen kann, wenn die Randverteilungen einzeln (iden-
tisch) normalverteilt sind.
Normal
X1
X 2
−2 −1 0 1 2
−2
−1
0
1
2
Frank
X1
X 2
−2 −1 0 1 2
−2
−1
0
1
2
Clayton
X1
X 2
−2 −1 0 1 2
−2
−1
0
1
2
Gumbel
X1
X 2
−2 −1 0 1 2
−2
−1
0
1
2
Abbildung 3.1: Dichtefunktionen von Verteilungen, die durch verschiedene Copulas model-
liert wurden (Normal-, Frank-, Clayton- und Gumbel-). Die (beiden) Ra¨nder
sind standardnormalverteilt und Kendalls τ =0.6.
12
3.2 Sklar’s Theorem
Sklar’s Theorem besagt: Sei H eine p-dimensionale Verteilungsfunktion mit den
Randverteilungen F1, . . . , Fp. Dann existiert eine p-Copula C derart, dass ∀x ∈ ❘p
gilt
H(x1, . . . , xp) = C(F1(x1), . . . , Fp(xp)). (3.2)
Auch der Umkehrschluss gilt: Es existiert fu¨r alle eindimensionalen Verteilungsfunk-
tionen F1, . . . , Fp sowie fu¨r jede Copula C eine mehrdimensionale Verteilungsfunk-
tion H mit den Randverteilungen F1, . . . , Fp. Fu¨r den zweidimensionalen Fall ist
H(x1, x2) = C(F1(x1), F2(x2))
mit F1(x1) = u und F2(x2) = v. Falls alle Randverteilungen stetig sind, ist C
eindeutig bestimmt.
Stetige multivariate Verteilungen ko¨nnen also ohne Informationsverlust in zwei
Komponenten zerlegt werden: Die univariaten Randverteilungen und die Copula.
Die Abha¨ngigkeitsstruktur multivariater Verteilungen kann so separat von den ge-
gebenen Randverteilungen betrachtet werden - es reicht, sich auf die Copula zu
beschra¨nken. Diese Tatsache bietet vo¨llig neue Mo¨glichkeiten bei der Modellierung
von Abha¨ngigkeiten.
3.3 Fre´chet-Hoeffding-Schranken
Fu¨r eine Copula C(u, v) gelten als obere beziehungsweise untere Grenze die Fre´chet-
Hoeffding-Schranken, die folgende Ungleichung bilden
max(u+ v − 1, 0) ≤ C(u, v) ≤ min(u, v) ∀ u, v ∈ I.
Die Schranken erfu¨llen selbst auch wieder die Copulabedingungen. Die untere Schran-
ke ist nur fu¨r den bivariaten Fall eine Copula und wird als Maximumscopula
W (u, v) bezeichnet; sie gibt perfekt negative Abha¨ngigkeit an. Die obere Grenze,
die Minimumscopula M(u, v), entspricht perfekt positiver Abha¨ngigkeit. Damit
lautet die obige Ungleichung W (u, v) ≤ C(u, v) ≤ M(u, v) ∀ u, v ∈ I.
13
3.4 Ausgewa¨hlte Spezialfa¨lle
Die einfachste Form der Copula ist die Unabha¨ngigkeits- oder Produktcopula der
Form C(u, v) = uv.
Elliptische Copulas ergeben sich aus elliptischen Verteilungen, beispielsweise
der multivariaten Normalverteilung oder der multivariaten t-Verteilung. Sie sind
punktsymmetrisch um den Erwartungswert der Verteilung, das erleichtert explizite
Rechnungen beziehungsweise ermo¨glicht diese erst. Weiterhin ko¨nnen in dieser Klas-
se endlastige Verteilungen (”heavy tails“) auftreten. Anschaulich besagt der Begriff,
dass auf dem ”Ende“ beziehungsweise den ”Enden“ der Verteilung mehr Masse liegt
als bei der Normalverteilung. Diese Verteilungen eignen sich unter anderem zur
Modellierung von Großscha¨den und seltenen Ereignissen (”Jahrhundertflut“, Radio-
aktivita¨tswerte (vor und) nach einer Reaktorexplosion, . . .).
Elliptische Copulas ko¨nnen genutzt werden, um mit Hilfe von Sklar’s Theorem
(Formel (3.2)) multivariate Verteilungen zu konstruieren. Zu beachten ist, dass zwar
aus der Normalcopula eine multivariate Normalverteilung wird, aus der t-Copula in
der Regel aber keine multivariate t-Verteilung (Ausnahme: Alle Randverteilungen
haben gleichviele Freiheitsgrade). DieNormal- oderGaußcopula geho¨rt zur Klasse
der elliptischen Verteilungen. Sie wird mit Hilfe der Normalverteilung definiert.
Dazu sei ΦR∗ die Verteilungsfunktion einer multivariaten Normalverteilung mit
der Korrelationsmatrix
R∗ :=








1 ρ12 . . . ρ1p
ρ21 1 . . . ρ2p
... ... . . . ...
ρp1 ρp2 . . . 1








und Φ die Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten (◆(0, 1)) Zufallsvaria-
blen. Dann ist die Normalcopula mit Verteilungsparameter (auch: charakteristische
Matrix) R∗ gegeben durch
CN (u1, ..., up,R∗) = ΦR∗ [Φ−1(u1), . . . ,Φ−1(up)].
14
Im bivariaten Fall gilt fu¨r den Copulaparameter ρ = ρ12 aus R∗ dementsprechend
CN : I2 → I mit CN (u, v, ρ) = Φρ[Φ−1(u),Φ−1(v)]. (3.3)
Archimedische Copulas werden - im Gegensatz zu den elliptischen Copulas -
nicht mit Hilfe von Sklar’s Theorem konstruiert. Sie leiten sich aus einer univariaten
Funktion ab. Sie sind als geschlossener Ausdruck darstellbar und meist leicht zu
konstruieren. Außerdem gibt es verschiedenste Copulafamilien aus der Klasse archi-
medischer Copulas. Daher findet man sie in der Praxis in vielen Bereichen. Neben
Nelson (2006) bietet auch Joe (2001) einen ausfu¨hrlichen U¨berblick u¨ber diverse
archimedische Copulas.
Archimedische Copulas werden mit Hilfe einer erzeugenden Funktion ϕ (auch:
Erzeuger oder Generator) konstruiert und sind durch diese eindeutig bestimmt.
Dazu sei ϕ : I → [0,∞) eine stetige, streng monoton fallende Funktion mit ϕ(1) = 0.
Die Laplacetransformierte oder Pseudoinverse ϕ[−1] von ϕ ist definiert als:
ϕ[−1] : [0,∞]→ I mit ϕ[−1](ν) =





ϕ−1(ν) 0 ≤ ν < ϕ(0),
0 ϕ(0) ≤ ν ≤ ∞
Fu¨r ϕ(0) =∞ heißt ϕ strikter Erzeuger. Dann gilt
ϕ[−1](t) = ϕ−1(t) ∀ t
und die daraus resultierende Copula heißt strikte (archimedische) Copula. Mit
der Laplacetransformierten ist die archimedische Copula C : Ip → I mit Parameter
θ definiert als
C(u1, ..., up, θ) = = ϕ[−1][ϕ(u1) + . . .+ ϕ(up)].
Im bivariaten Fall vereinfacht sich die obige Formel zu
C : I2 → I mit C(u, v, θ) = ϕ[−1][ϕ(u) + ϕ(v)]. (3.4)
15
Verschiedene Generatoren erzeugen unterschiedliche archimedische Copulafamilien,
die durch geeignete Parameterwahl noch einmal unterscheidbar sind.
Exemplarisch wird hier die Claytoncopula aus ihrem Erzeuger hergeleitet. Es ist
ϕ(t) = 1θ (t−θ − 1) fu¨r θ > 0. Damit ist ϕ(u) = 1θ (u−θ − 1) und ϕ(v) = 1θ (v−θ − 1)
sowie ϕ[−1](t) = (θt + 1)− 1θ . Einsetzen in Formel (3.4) ergibt dann die gesuchte
Darstellung:
C(u, v, θ) = ϕ[−1][ϕ(u) + ϕ(v)] = ϕ[−1]
[1
θ (u
−θ + v−θ − 2)
]
=
[
θ1θ (u
−θ + v−θ − 2) + 1
]− 1θ
=
( 1
uθ +
1
vθ − 1
)− 1θ
Drei wichtige Copulafamilien zeigt Tabelle 3.1.
Familie ϕ(t) θ Cϕ(u, v, θ)
Clayton 1θ (t−θ − 1) θ > 0
(
1
uθ +
1
vθ − 1
)− 1θ
Gumbel (− ln t)θ θ ≥ 1 exp
(
−
[
{− ln(u)}θ + {− ln(v)}θ
] 1
θ
)
Frank
(
− ln e−θt−1e−θ−1
)
θ ∈ ❘ −1θ ln
(
1 + (e
−θu−1)(e−θv−1)
eθ−1
)
Tabelle 3.1: Generator ϕ(t), Parameter θ und Verteilungsfunktion C(u, v, θ) ausgewa¨hlter
archimedischer Copulas
3.5 Beziehung zu den Korrelationskoeffizienten
Kendalls τ und Spearmans ρ ko¨nnen als Funktionen bivariater Copulas dargestellt
werden durch
τXY = 4
∫ ∫
[0,1]2
C(u, v) dC(u, v)− 1 sowie (3.5)
ρSXY = 12
∫ ∫
[0,1]2
u · v dC(u, v)− 3 = 12
∫ ∫
[0,1]2
C(u, v) dudv − 3, (3.6)
wie beispielsweise Embrechts et al. (2010) zeigen.
16
Berechnet man Abha¨ngigkeitsmaße fu¨r Datenpunkte, die durch verschiedene Co-
pulastrukturen erkla¨rbar sind, kann das Anwachsen von Kendalls τ nicht im direkten
Vergleich zu Pearsons ρ linear interpretiert werden, siehe auch Abbildung 3.2.
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1
.0
−0
.5
0.
0
0.
5
1.
0
Vergleich : ρ − τ
ρ
τ
−1
.0
−0
.5
0.
0
0.
5
1.
0
τ
−1
.0
−0
.5
0.
0
0.
5
1.
0
τ
Normalcopula
Claytoncopula
Gumbelcopula
Abbildung 3.2: Zusammenhang zwischen Kendalls τ und Pearsons ρ fu¨r verschiedene Da-
tenstrukturen
Die Korrelationsmatrix R∗ der Gaußcopula CN ist eindeutig in die Rangkorre-
lationsmatrizen nach Kendall oder Spearman umformbar, siehe etwa Lindskog et al.
(2001) und Lindskog (2000). Danach gilt fu¨r den bivariaten Fall
τ = 2π arcsin(ρ) und ρ
S = 6π arcsin
(ρ
2
)
. (3.7)
Zwischen Kendalls τ und dem Copulaparameter θ der Claytoncopula la¨sst sich
folgender Zusammenhang feststellen:
θ = 2τ1− τ (3.8)
17
Fu¨r die Gumbelcopula gilt der Zusammenhang
θ = 11− τ . (3.9)
Eine geschlossene Darstellung fu¨r den Parameter der Frankcopula existiert nicht.
3.6 Parameterscha¨tzung
Um den Copulaparameter aus einem vorliegenden Datensatz zu scha¨tzen, gibt es ver-
schiedene Methoden. Einige Verfahren passen die direkt aus den Daten gescha¨tzten
Parameter noch weiter an und optimieren das Modell, indem abwechselnd Randver-
teilungen und Copulaparameter in mehreren Durchla¨ufen aufeinander abgestimmt
werden. Beispielhaft werden hier die Scha¨tzung durch Rangkorrelation und per
Maximum-Likelihood-Methode fu¨r den zweidimensionalen Fall dargestellt. Die Er-
la¨uterungen stammen aus Joe (2001) sowie Genest und MacKay (1986).
Die Copulafamilie (Gauß-, Clayton-, . . .) wird meist als bekannt vorausgesetzt,
da oft inhaltliche Gru¨nde fu¨r eine bestimmte Verteilungsform der Daten sprechen.
Ist dies nicht der Fall, gibt es eine Vielzahl mathematischer Modelle zur Bestim-
mung einer geeigneten Copula. Wichtig ist hier vor allem, verschiedene Anpassun-
gen vergleichen zu ko¨nnen. In der vorliegenden Arbeit werden fu¨r praktische Bei-
spiele Copulas angepasst. Dabei handelt es sich stets um den gleichen Datensatz. Es
wird nur ein Copulaparameter gescha¨tzt, da die Dissertation Qualita¨tsregelkarten
auf Basis archimedischer Copulas betrachtet. Somit sind die Anforderungen an die
Scha¨tzmethode u¨berschaubar und die Anpassungsgu¨te verschiedener Copulamodelle
ist direkt vergleichbar.
DieML-Methode (”Maximum Likelihood“) liefert beispielsweise eine Mo¨glichkeit,
nach Parameterscha¨tzung fu¨r mehrere Copulas diejenige mit der besten Anpassung
auszuwa¨hlen. Dazu werden die ML-Werte verglichen. Alternativ ko¨nnen Anpas-
sungstests helfen, eine geeignete Copula zu finden.
Bei der Anpassung einer Copula mit der ML-Methode tritt das Problem auf, dass
18
die ui ∈ I2, i = 1 . . . n, meist nicht direkt beobachtet werden. Stattdessen liegen die
Beobachtungen xi ∈ ❘2, i = 1 . . . n, vor, denen die gemeinsame Verteilung H zugrun-
de liegt. Es muss also zuna¨chst eine Transformation erfolgen. Nach Sklar’s Theorem
ist ui entsprechend der Copula verteilt, wenn ui := (F1(xi1), F2(xi2)) gewa¨hlt wird
mit den Randverteilungen F1 und F2. Diese Methode setzt bekannte Randvertei-
lungen voraus. Hierbei spricht man auch von der IFM-Methode (”Inference for
Margins“).
Unbekannte Randverteilungen ko¨nnen beispielsweise durch die entsprechenden
empirischen Verteilungsfunktionen gescha¨tzt werden. Dann ergibt sich eine Stich-
probe von Pseudorealisationen uˆi, i = 1, . . . , n, mit
uˆi := (Fˆ1(xi1), Fˆ2(xi2)).
Wird die log-Likelihood-Funktion der Pseudorealisierungen betrachtet und fu¨r θ ma-
ximiert, spricht man von der CML-Methode (”Canonical Maximum Likelihood“).
Die Parameterscha¨tzung per Rangkorrelation setzt voraus, dass eine Beziehung
zwischen dem Copulaparameter und einem Rangkorrelationskoeffizienten (Spear-
man, Kendall) existiert. Dabei wird auf die Rangkorrelation zuru¨ckgegriffen, weil
sie nur von der Copula abha¨ngt, wa¨hrend die Korrelation nach Pearson auch durch
die Randverteilungen beeinflusst wird. Dieser Zusammenhang wurde in Abschnitt
3.5 fu¨r Gauß-, Clayton- und Gumbelcopula gezeigt und wird in Tabelle 3.2 genutzt,
um aus der gescha¨tzten Korrelation der Daten einen Scha¨tzer fu¨r den Copulapara-
meter abzuleiten.
Copula Gaußcopula Claytoncopula Gumbelcopula
Parameterscha¨tzer ρˆ = sin(piτˆ2 ) θˆ = 2τˆ1−τˆ θˆ = 11−τˆ
Tabelle 3.2: Parameterscha¨tzer fu¨r verschiedene Copula, dargestellt als Funktion eines
Abha¨ngigkeitsmaßes
19

4 Karten zur Prozessu¨berwachung
4.1 Qualita¨t und Statistik
Der Erfolg eines produzierenden Unternehmens ha¨ngt unter anderem von dessen
Fa¨higkeit ab, Kunden termingerecht, kostengu¨nstig und deren Qualita¨tserwartungen
entsprechend beliefern zu ko¨nnen. Damit beeinflusst die Qualita¨tsstrategie eines Un-
ternehmens dessen langfristige U¨berlebenschancen stark. Einen U¨berblick u¨ber die
Anwendungsmo¨glichkeiten der Statistik in der Qualita¨tssicherung liefern Montgo-
mery (2009) sowie Weihs und Jessenberger (1999).
Die Qualita¨t eines Produktes ist die Gesamtheit von Eigenschaften und Merk-
malen, die sich auf dessen Eignung zur Erfu¨llung festgelegter oder vorausgesetzter
Erfordernisse beziehen. Montgomery (2009) definiert Qualita¨t auf zwei Arten, ein-
mal durch ”Qualita¨t bedeutet Gebrauchstauglichkeit“ und zum anderen mit ”Qua-
lita¨t ist umgekehrt proportional zur Variabilita¨t“. Die Statistik liefert wesentliche
Werkzeuge, um Qualita¨tsvereinbarungen von Kunden und Lieferanten u¨bersichtlich
zu machen. Statistische Methoden der Qualita¨tskontrolle dienen zur U¨berwachung
und Verbesserung eines Prozesses, beispielsweise verschiedene Regelkarten, statis-
tische Versuchsplanung, die Fehler-, Mo¨glichkeits- und Einflussanalyse (FMEA),
Prozessfa¨higkeitsindizes oder die Methodensammlung ”Six-Sigma“. Mehr Informa-
tionen zu den genannten Methoden bieten auch Yang und El-Haik (2003). Weihs
und Jessenberger (1999) teilen den Qualita¨tssicherungsprozess in drei Bereiche ein:
Schwachstellenanalyse, Optimierung und Stabilisierung.
Die statistische Prozessu¨berwachung SPC (”Statistical Process Control“)
soll Qualita¨tsdefizite bereits wa¨hrend der Produktion entdecken und ihnen durch
steuernde Eingriffe entgegenwirken. Außerdem wird eine geringere Variabilita¨t der
interessierenden Kennwerte angestrebt, so dass der Prozess stabiler la¨uft.
21
Die SPC ist dabei nicht geeignet, die Qualita¨t von Produkten zu erho¨hen. Entspre-
chend der Definition von Weihs und Jessenberger (1999) wird sie in der Phase der
”Stabilisierung des Prozesses“ eingesetzt und dient lediglich dazu, ein festgelegtes
Maß an Qualita¨t mo¨glichst einzuhalten. Eine u¨ber das beno¨tigte Maß hinausgehende
Qualita¨t ha¨tte zusa¨tzliche Kosten zur Folge und wird daher nicht angestrebt.
Als Pionierwerk der SPC gilt das Buch von Shewhart (1931). Deming (1975)
u¨bertrug die Erkenntnisse und Werkzeuge der SPC auf andere Prozesse, etwa Ver-
waltungs- oder Gescha¨ftsprozesse und erreichte auch dort Verbesserungen. Er nutzte
die Methoden in den Vereinigten Staaten wa¨hrend des Zweiten Weltkrieges im Be-
reich der Munitionsproduktion. Nach dem Krieg stellte er die Techniken der japani-
schen Industrie vor, wo sie unter anderem innerhalb des Toyota-Produktionssystems
weiterentwickelt wurden.
Laut Shewhart (1931) ist jeder Produktionsprozess Sto¨rkomplexen ausgesetzt. Da-
bei ist es egal, wie gut er durchgefu¨hrt wird: Auf jede Produktion wirken zufa¨llige
und nicht zufa¨llige (”systematische“) Ursachen ein. Zufa¨llige Einwirkungen sind
durch die Herstellung selbst bestimmt und in ihrer Wirkung nicht zu beseitigen.
Ein Beispiel dafu¨r sind Vibrationen in den Maschinen. Dem gegenu¨ber sind syste-
matische Ursachen lokalisierbar und beeinflussbar. Sie fu¨hren zu allma¨hlichen oder
plo¨tzlichen Vera¨nderungen (beispielsweise Werkzeugverschleiß, Temperaturanstieg
oder Ermu¨dung des Personals). Schwankungen der Merkmalsauspra¨gungen sind al-
so unvermeidlich und sollten innerhalb eines Toleranzbereichs um den Sollwert zu-
gelassen werden. Ein Prozess, der nur mit zufa¨lligen Schwankungen la¨uft, wird als
statistisch unter Kontrolle und ein Prozess mit systematischen Abweichungen
wird als statistisch außer Kontrolle bezeichnet.
Mit Hilfe der SPC soll das Auftreten von systematischen Ursachen mo¨glichst
schnell erkannt werden, so dass Nachforschungen unternommen und korrigieren-
de Maßnahmen eingeleitet werden ko¨nnen. Die Qualita¨tsregelkarte (QRK) ist
ein effektives Werkzeug zur Prozessu¨berwachung und wird im folgenden Abschnitt
vorgestellt.
22
4.2 Qualita¨tsregelkarten
Prozess- beziehungsweise Qualita¨tsregelkarten (QRK) wurden von Shewhart
(1931) entwickelt und sind ein Fru¨hwarnsystem, um Fehler und Ausschuss zu ver-
meiden.
Kontrollkarten werden zur Auswertung von Pru¨fdaten eingesetzt. Beispiele fu¨r
u¨berwachbare Merkmale sind La¨nge oder Durchmesser in Zentimeter, Gewicht in
Gramm, Wartezeit in Minuten oder die Anzahl von Verkaufsgespra¨chen. Die Karten
sind also nahezu universell einsetzbar, ”lohnen“ sich aber meist erst bei der An-
wendung auf große Stu¨ckzahlen. Klassische Einsatzfelder liegen in der Industrie, im
Bereich der (Intensiv-)Medizin oder auch im Verwaltungs- oder Dienstleistungssek-
tor.
QRK betrachten die Realisationen von Zufallsvariablen eines Prozesses. Fu¨r Pro-
zesse unter statistischer Kontrolle ist die Verteilung der interessierenden Merkmale
konstant und das Prozessverhalten ist prognostizierbar. Dies entspricht dem H0-
Szenario. Bei einem Prozess außer Kontrolle kann sich beispielsweise der Erwar-
tungswert oder Erwartungswertvektor der Zufallsvariablen verschieben oder die Va-
riabilita¨t der Messwerte a¨ndern. Es kann auch passieren, dass die Beobachtungen
im Außer-Kontrolle-Fall autokorreliert werden.
Gera¨t der Prozess außer Kontrolle, sollte das natu¨rlich schnell entdeckt werden, um
eingreifen und die Ursache beheben zu ko¨nnen. Dies geschieht mit Hilfe von QRK.
Einige Karten beziehen dabei in ihre aktuellen Teststatistiken Messungen aus der
Vergangenheit ein, um Trends im Prozessverhalten zu beru¨cksichtigen (siehe etwa
Roberts (1959) oder Page (1954)). Im Folgenden werden aber nur Karten ”ohne
Geda¨chtnis“ betrachtet.
Meist werden zur Konstruktion einer Kontrollkarte unabha¨ngige metrische
Qualita¨tsdaten vorausgesetzt. Der Produktion wird eine Stichprobe entnommen und
das interessierende Merkmal (beziehungsweise die interessierenden Merkmale) als
Realisierung einer (oder mehrerer) Zufallsvariablen betrachtet. Nach Mittag (1993)
mu¨ssen dabei folgende Annahmen fu¨r den Prozess unter Kontrolle gelten:
1. Die sukzessiven Messwerte jeder gezogenen Einzelstichprobe sind unabha¨ngig
identisch verteilt (uiv) mit endlicher Varianz.
23
2. Stichprobenvariablen von unterschiedlichen Zeitpunkten sind uiv.
3. Die genaue Verteilung oder wenigstens die Verteilungsfamilie der Stichproben-
variablen ist bekannt.
4. Messfehler der Stichprobenvariablen sind vernachla¨ssigbar.
Der dritte Punkt entfa¨llt, wenn statt eines verteilungsbasierten Tests eine nicht-
parametrische Alternative verwendet wird. Die Messwerte des zu u¨berwachenden
Qualita¨tsmerkmals werden entweder direkt als Einzelwerte weiterverwendet oder zu
einer Funktion verdichtet. Diese Funktion ist im einfachsten Fall der Mittelwert, der
Median oder die Varianz der Werte.
Die daraus abgeleitete Teststatistik wird gegen die Zeit beziehungsweise die An-
zahl entnommener Proben abgetragen. Untersucht wird dann mit Hilfe eines statis-
tischen Signifikanztests:
H0: Der Prozess ist unter Kontrolle
gegen
H1: Der Prozess ist außer Kontrolle
Widersprechen die erhobenen Messwerte der Nullhypothese H0 nicht, ist keine Ak-
tion vom Anwender no¨tig. Eine Testentscheidung zugunsten der Alternativhypothese
H1 wird getroffen, wenn der Stichprobenbefund den unter H0 erwarteten Resulta-
ten widerspricht. Die Teststatistik liegt dann außerhalb der Eingriffsgrenzen. Der
Prozess ist damit als nicht mehr unter statistischer Kontrolle anzusehen und ein
korrigierender Eingriff in den Fertigungsablauf ist no¨tig.
Zusa¨tzlich gibt es noch die Mo¨glichkeit ”unter H0 unwahrscheinlichere“ Ereignis-
se zu betrachten, welche aber H0 noch nicht widersprechen. In diesem Fall liegt der
Stichprobenbefund zwischen den sogenannten Warn- und Eingriffsgrenzen und ein
Verdacht auf Eintritt einer Sto¨rung liegt vor. Dieser Verdacht versetzt den Pru¨fer in
”Alarmbereitschaft“: Ha¨ufigere Probenentnahme und/oder eine Erho¨hung der Stich-
probengro¨ße zur schnellen Entdeckung eventueller Fehler sind denkbare Reaktionen.
Die Warn- und Kontrollgrenzen der QRK bestimmen sich durch die Grenzen des
(1-α)-Konfidenzintervalls der Teststatistik unter H0. Abbildung 4.1 stellt diesen Zu-
24
sammenhang dar. U¨blich ist, als Warngrenze α = 0.10 (oder α = 0.05) und als
Kontrollgrenze α = 0.05 (oder α = 0.01) zu setzen.
Abbildung 4.1: Beispielhafte Kontrollkarte
Multivariate Karten werden fu¨r mehrdimensionale Daten verwendet, deren Objekt-
eigenschaften voneinander abha¨ngen, etwa Fu¨llgewicht und Volumen von Mehltu¨ten.
Einen guten Einblick in die Arbeitsweise der verschiedenen multivariaten Karten bie-
tet Ryan (2011). Das bekannteste Beispiel ist Hotellings T 2-Karte (Hotelling (1947)).
Sie ist optimal geeignet zur U¨berwachung von Lage- und Streuungsa¨nderungen mul-
tivariat normalverteilter Daten. Diese urspru¨ngliche T 2-Karte wurde zudem vielfach
neuen Bedu¨rfnissen angepasst, so dass inzwischen verschiedene Varianten und Un-
terformen existieren (siehe Oyeyemi (2011)).
Bei den meisten multivariaten Karten handelt es sich um Kontrollkarten bezu¨glich
der Prozesslage, nur wenige u¨berwachen die Streuung eines Prozesses. Beispiele dafu¨r
sind die S2-Karte oder die Influenzfunktions-Varianz-Karte (siehe etwa Montgomery
(2009), Aparasi et al. (1999) oder Jaupi (2002)).
Die meisten statistischen Tests ko¨nnen als Kontrollkarten aufbereitet werden.
Daher sind die Anwendungsfelder der Copulamodelle aus Abschnitt 3 prinzipiell
auf Kontrollkarten u¨bertragbar. Anstelle der gemeinsamen Modellierung von Pe-
gelsta¨nden durch eine Copulafunktion ko¨nnte beispielsweise die Frage betrachtet
25
werden, ab welcher Ho¨he der Pegelsta¨nde von ”Flutgefahr“ gesprochen werden muss.
Da Copulas Zusammenha¨nge modellieren, sind hier allerdings nur multivariate Qua-
lita¨tsregelkarten sinnvoll.
4.3 Die mittlere Laufla¨nge ARL
Die Laufla¨nge RL (”Run Length“) ist die Zeitspanne bis zu einem Eingriff in den
Prozess. Die RL ist eine Zufallsvariable mit Erwartungswert, Varianz und einer Ver-
teilung. Sie existiert fu¨r jede Qualita¨tsregelkarte. Der Erwartungswert der Laufla¨nge
ist die mittlere Laufla¨nge ARL (”Average RL“), also die mittlere Zeitspanne bis
zum Eingreifen in den Prozess. Sie ist darstellbar als
ARL(η) := E(RL(η) | Verteilungsannahme unter H0)
= P(T liegt außerhalb der Kontrollgrenzen | η)−1.
Dabei kann η beliebige Werte aus dem Wertebereich des interessierenden Prozesspa-
rameters annehmen (vergleiche Weihs und Jessenberger (1999)). Die Wahrscheinlich-
keit eines Ereignisses ist durch P(.) gegeben, T steht fu¨r die gewa¨hlte Teststatistik.
Die Kontrollgrenzen ergeben sich aus der Verteilungsannahme unter H0.
Ist der Prozess unter Kontrolle (η entspricht dem Sollwert η0), ha¨ngt die ARL
direkt von α ab. Hier gilt
ARL(η0) = 1/α.
Mit zunehmender Abweichung der Stichprobe von der Sollverteilung nimmt die ARL
ab. Dieser Erwartungswert kann nicht direkt berechnet werden, das Verhalten der
ARL-Funktion wird daher durch Simulationen ermittelt. Neben der ARL ist auch
die Standardabweichung der Laufla¨ngen interessant, die ebenfalls mittels Simulation
u¨ber eine große Anzahl von Stichproben approximiert werden muss. Allgemein gilt
fu¨r die Standardabweichung der RL (SDRL):
SDRL(η) :=
√
Var(RL(η) | Verteilungsannahme unter H0).
26
4.4 OC-Funktion
Durch die Wahl des α wird die Wahrscheinlichkeit fu¨r einen Fehler erster Art eines
Tests bestimmt. Der Fehler zweiter Art (auch β-Fehler, das heißt der Prozess wird
irrtu¨mlich als unter Kontrolle angesehen) wird durch die Operationscharakteris-
tik, die sogenannte OC-Funktion, ausgedru¨ckt. Unter Beibehaltung der Notation
aus Abschnitt 4.3 gilt:
OC(η) := P(T liegt innerhalb der Kontrollgrenzen | η)
OC(η) gibt demzufolge die Wahrscheinlichkeit an, dass der Prozess als unter Kon-
trolle gilt, wenn der interessierende Prozessparameter den Wert η annimmt. Unter
Idealbedingungen ha¨tte die OC-Funktion an der Stelle des Sollwertes η0 den Wert
1 und sonst den Wert 0. In der Realita¨t ist die OC-Funktion meist glockenfo¨rmig.
Dabei gilt: Je na¨her die Funktion dem Ideal kommt, umso besser ist die Gu¨te der
zugeho¨rigen Kontrollkarte oder je gro¨ßer ihr Wert abseits des Sollwertes ist, umso
ineffizienter ist die Kontrollkarte.
Fu¨r unabha¨ngige Beobachtungen gilt bei Kontrollkarten ohne Geda¨chtnis
OC(η) = 1− 1ARL(η) . (4.1)
4.5 Hotellings T 2-Karte
Die Hotelling T 2-Karte ist eine Karte fu¨r multivariat normalverteilte Einzelbeobach-
tungen, um den Prozess auf Abweichungen von den Sollwerten fu¨r das Prozessmittel
sowie die Prozessstreuung (durch Betrachtung der Kovarianzmatrix) zu u¨berwachen,
siehe Hotelling (1947). Dabei ist sie unter den geforderten Voraussetzungen die opti-
male Kontrollkarte; hier sinkt die ARL im Außer-Kontrolle-Fall also am schnellsten,
wa¨hrend das Niveau im In-Kontrolle-Fall eingehalten wird.
Im Außer-Kontrolle-Fall muss anschließend noch das alarmauslo¨sende Merkmal
gefunden werden. Dies kann beispielsweise durch gleichzeitige, separate Verwendung
univariater Kontrollkarten geschehen. Es gibt verschiedene Versionen der Karte, die
vorgestellte nutzt Scha¨tzwerte fu¨r das Prozessmittel und die Prozessvarianz.
Zuna¨chst wird eine Zufallsstichprobe des Umfangs m des Prozesses unter statis-
27
tischer Kontrolle gezogen. Die Beobachtungen Y1, . . . , Ym ∈ ❘p seien unabha¨ngig
identisch ◆(µ,Σ)-verteilt. Sie werden zur Berechnung des Mittelwertvektors (Y m)
und der Stichprobenkovarianzmatrix (Sm) genutzt.
Die Teststatistik T 2 basiert auf der Mahalanobisdistanz. Fu¨r jede neue unab-
ha¨ngige Beobachtung X ∈ ❘p gilt
T 2(X) := (X − Y m)TS−1m (X − Y m). (4.2)
Unter der Nullhypothese ist die Teststatistik T 2 nach entsprechender Gewichtung
❋p,m−p-verteilt. Die F-Verteilung ergibt sich aus der Tatsache, dass
X ∼ ◆(µ,Σ) und Y m ∼ ◆(µ,m−1Σ) sowie mSm ∼ ❲(Σ,m− 1),
wobei ❲ fu¨r die Wishart-Verteilung steht, also die multivariate Form der χ2-Vertei-
lung. Die Differenz von X und Y m ist normalverteilt mit dem Mittelwert null und
der Kovarianzmatrix m+1m Σ. Da X und Y m jeweils unabha¨ngig von Sm sind, ist auch
ihre Differenz (X − Y m) unabha¨ngig von Sm. Damit gilt (siehe etwa Mardia et al.
(1995)), dass
m(X − Y m)T
(m+ 1
m mSm
)−1
(X − Y m) ∼ ❚2p,m−1
wobei ❚2p,m−1 fu¨r Hotellings T-Quadrat-Verteilung mit p und m− 1 Freiheitsgraden
steht. Zwischen ihr und der F-Verteilung gilt der Zusammenhang
❚
2
k,n =
nk
n− k + 1 ❋k,n−k−1 fu¨r beliebige k < n ∈ ❘.
Damit ist
m(X − Y m)T
(m+ 1
m mSm
)−1
(X − Y m) ∼
(m− 1)p
m− p ❋p,m−p
und schließlich
(X − Y m)TS−1m (X − Y m) ∼
(m+ 1)(m− 1)p
m(m− p) ❋p,m−p.
Die obere Kontrollgrenze UCLα zum Niveau α ist dann das entsprechende (1− α)-
28
Quantil der hergeleiteten F-Verteilung, also
UCLα :=
p(m+ 1)(m− 1)
m2 −mp ❋1−α,p,m−p.
Simulationen zur Laufla¨nge zeigen, wie sich A¨nderungen der Prozessverteilung unter
H0 auf die Karte auswirken. In Kapitel 6.3 wird so bespielsweise untersucht, wie die
T 2-Karte sich fu¨r Werte verha¨lt, deren Verteilung durch verschiedene Copulastruk-
turen erkla¨rbar ist.
4.6 Steigers Z-Test
Einen Ansatz, A¨nderungen in der Abha¨ngigkeitsstruktur von Daten zu testen, erla¨u-
tert Steiger (1980). Steigers Z-Test nutzt den Korrelationskoeffizienten nach Pearson
ρ (Formel 2.2). Die Fishertransformation f(·) korrigiert die Tatsache, dass fu¨r
bivariat normalverteilte Daten der aus n Datenpunkten resultierende Korrelations-
koeffizient ρ unimodal rechtssteil verteilt ist. Die (fischer-)transformierte Variable
f(ρ) = 0.5 ln
(1 + ρ
1− ρ
)
ist dann anna¨hernd normalverteilt. Daher setzt der Z-Test na¨herungsweise bivariat
normalverteilte Daten voraus und testet im zweiseitigen Fall:
H0 : ρ = ρ0 vs. H1 : ρ 6= ρ0
Die Teststatistik ist gegeben durch
T (r) = f(r)− f(ρ0)− ρ0/(n− 2)
1/
√
n− 3
,
sie ist unter H0 anna¨hernd ◆(0, 1)-verteilt.
Eine Qualita¨tsregelkarte, welche auf diesem Test basiert, verwendet also den zu
T (r) modifizierten empirischen Korrelationskoeffizienten der Stichprobe und ver-
gleicht diesen mit dem entsprechenden oberen und unteren Quantil der Standard-
normalverteilung.
29

5 Variante I: U¨berwachung von
Prozesslage und -streuung
Yan (2007) erla¨utert, dass Copulastrukturen neben den typischen Anwendungsfel-
dern in der Finanzwelt auch zur Beschreibung von Produktionsprozessen denkbar
sind. Darauf bezugnehmend werden in diesem Abschnitt Karten zur Lage- und Streu-
ungsu¨berwachung konstruiert. Die interessierenden Prozessdaten sollen dazu in ih-
rer gemeinsamen Verteilung einer gegebenen bivariaten Copula mit normalverteilten
Ra¨ndern folgen.
Im Abschnitt 5.1 werden die Kontrollkarten beschrieben. Ihr Gu¨teverhalten fu¨r
verschiedene Prozessszenarien wird durch Simulationsstudien in Kapitel 5.2 unter-
sucht. Dabei zeigt sich, dass die adjustierten T 2-Karten Abweichungen im Prozess-
mittel fu¨r alle untersuchten Copulas gut erkennen. Die E2-Karte basiert auf einem
alternativen Distanzmaß. Sie u¨bertrifft die adjustierten T 2-Karten in einigen Fa¨llen
der Prozessverschiebung. Schließlich werden die entwickelten Karten in den Kapiteln
5.3.1 und 5.3.2 auf praktische Beispiele angewendet.
In Abschnitt 5.4 wird abschließend untersucht, inwiefern die klassische T 2-Karte
Abweichungen in der Streuung einzelner Ra¨nder aufdeckt, wenn Copulastrukturen
fu¨r die Daten verwendet werden.
5.1 Verwendete Kontrollkarten
Traditionell wird zur Lageu¨berwachung korrelierter Daten Hotellings T 2-Karte ge-
nutzt. Fu¨r verschiedene Copulatypen aus Kapitel 3, Tabelle 3.1, werden im Folgen-
den Kontrollkarten konstruiert. Die vorgestellten Karten basieren auf verschiedenen
Distanzmessungen einer Beobachtung zum erwarteten beziehungsweise gescha¨tzten
Mittel der Grundgesamtheit, siehe auch Abschnitt 2.3.
31
5.1.1 Adjustierte T 2-Karte
Sind die betrachteten Daten unter H0 nicht multivariat normalverteilt, verliert die
Qualita¨tsregelkarte nach Hotelling aus Kapitel 4.5 ihre Optimalita¨tseigenschaften,
etwa die Einhaltung des Niveaus sowie das schnelle Absinken der ARL unter H1.
Verglichen mit Konkurrenzkarten sinkt die ARL also unter Umsta¨nden nicht mehr
am schnellsten. Auch das Maximum der ARL muss nicht mehr bei η0 erreicht wer-
den. Die Verteilung der T 2-Statistik a¨ndert sich in diesem Fall und damit auch die
Kontrollgrenzen. Verteilungsaussagen sind fu¨r nicht multivariat normalverteilte Da-
ten schwierig, siehe Abschnitt 4.5. Daher werden hier adjustierte, also angepasste,
Karten auf Basis der T 2-Statistik erzeugt.
Um mo¨glichst viele Datenstrukturen abbilden zu ko¨nnen, werden die Frank-,
Clayton- und Gumbelcopula verwendet, siehe auch Abbildung 3.1. Die Gaußcopula
(also die multivariate Normalverteilung) als vierte Mo¨glichkeit erfordert keine Ad-
justierung der traditionellen T 2-Karte nach Hotelling. Die Kontroll- und Warngren-
zen der klassischen T 2-Karte ha¨ngen von der Anzahl betrachteter Merkmale p und
der Gro¨ße der Lernstichprobe m ab. Die Grenzen der adjustierten Karten variieren
außerdem mit unterschiedlichem Maß der Abha¨ngigkeit zwischen den betrachteten
Variablen.
Die ”neuen“ Kontrollgrenzen werden mit Hilfe einer Trainingsstichprobe aus einem
Prozess unter Kontrolle gescha¨tzt, dabei werden per Monte-Carlo-Simulation Stich-
proben erzeugt und daraus die beno¨tigten Kennzahlen berechnet. Mit wachsender
Stichprobengro¨ße wird die Verteilung der Teststatistik immer besser angena¨hert und
die empirischen Quantile sind gute Scha¨tzer der theoretischen Quantile. Abbildung
B.1 im Anhang zeigt das Flussdiagramm der Grenzwertsimulation. Die Simulation
zur Bestimmung der Grenzwerte verla¨uft folgendermaßen:
1. Kendalls τ auswa¨hlen, Copulafamilie festlegen mit standardnormalverteilten
Ra¨ndern (Zi ∼ ◆(0, 1), i = 1, 2) und den Parameter θ entsprechend τ wa¨hlen.
Damit gilt
H0 : H(Z1, Z2) = C(F (Z1), F (Z2), θ)
2. m bivariate Zufallvektoren (Y1, ..., Ym) aus H(Z1, Z2) generieren und daraus
Sm und Y m berechnen
32
3. Weitere B Zufallsvektoren Xi , i = 1, ..., B aus H(Z1, Z2) erzeugen
4. Berechnung von T 2(Xi) := (Xi − Y m)TS−1m (Xi − Y m)
Schritt 2. bis 4. wird K-mal wiederholt. Die entsprechenden Quantile der B · K
simulierten T 2-Werte sind die ermittelten (empirischen) Kontrollgrenzen.
Einige Beispielergebnisse fu¨r verschiedene Verteilungen unter H0 und Niveaus α
zeigt Tabelle 5.1 in Abschnitt 5.2.
5.1.2 Alternative: Euklidische E2-Karte
Die T 2-Statistik repra¨sentiert den normierten Abstand von X zum Mittelwertvektor
einer elliptischen Datenverteilung. Dazu wird die Mahalanobisdistanz verwendet.
Die genannten Copulas modellieren aber nichtelliptische Datenstrukturen. Daher
wird ein alternatives Distanzmaß zur Konstruktion einer Prozessregelkarte verwen-
det. Als Teststatistik bietet sich die Euklidische Distanz der (einzeln) normierten
Ursprungsdaten an. Dieses Maß setzt unter H0 keine elliptisch um den Sollwert ver-
teilten Daten voraus, so dass es fu¨r die unter H0 achsensymmetrisch angeordneten
Punkte gute Resultate liefert.
Analog zu Hotellings T 2-Karte wird zuna¨chst eine Zufallstichprobe vom Umfang
m Y1, . . . , Ym ∈ ❘p gezogen und daraus der p-dimensionale Mittelwertvektor Y¯m
bestimmt. Zusa¨tzlich wird der Vektor der fu¨r jedes Merkmal separat berechneten
Standardabweichungen s∗m = (s∗m,1, . . . , s∗m,p)T nach Formel (2.1) bestimmt. Fu¨r
eine neue unabha¨ngige Beobachtung X ∈ ❘p gilt dann:
E2 :=
(
diag(s−1m,1, . . . , s−1m,p)(X − Y m)
)T (
diag(s−1m,1, . . . , s−1m,p)(X − Y m)
)
(5.1)
Dabei steht diag fu¨r die Diagonalmatrix. Unterstellt man den Daten unter H0
Normalverteilung (wie beispielsweise bei Hotellings T 2-Karte in Abschnitt 4.5), ist
die Verteilungsfunktion der Teststatistik E2 nicht geschlossen darstellbar. Es gilt
zuna¨chst analog zur T 2-Statistik, dass
X ∼ ◆(µ,Σ) und Y m ∼ ◆(µ,m−1Σ),
beziehungsweise je Vektoreintrag Xi ∼ ◆(µi, σ2i ) und Y m,i ∼ ◆(µi,m−1σ2i ).
33
Außerdem ist
s∗m,i ∼
σ2i
m− 1χ
2
m−1 und (Xi − Y m,i) ∼ ◆(0, (
m+ 1
m )σ
2
i ).
Weiter sind s∗m,i und (Xi − Y m,i) unabha¨ngig. Demzufolge ist
Xi − Y m,i
s∗m,i
∼
√
m+ 1
m !m−1 fu¨r alle i = 1, . . . , p.
Das Quadrat einer !m−1-verteilten Zufallsvariable ist ❋1,m−1-verteilt. Es gilt daher
komponentenweise fu¨r i = 1, . . . , p:
(
s∗m,i−1(Xi − Y m,i)
)(
s∗m,i−1(Xi − Y m,i)
)
∼ m+ 1m ❋1,m−1
Die Summe der p Werte (also die Teststatistik E2) ist eine Faltungspotenz dieser
F-Verteilung und damit nicht durch Standardverteilungen darstellbar. Die Grenz-
werte fu¨r alle betrachteten Copulastrukturen werden simuliert. Wie bei den ad-
justierten T 2-Karten ha¨ngen die Kontrollgrenzen von p, m, der zugrundeliegenden
Datenstruktur und dem Abha¨ngigkeitsmaß der Variablen ab. Die Simulation der
Grenzwerte erfolgt analog zu Abschnitt 5.1.1. Die gesuchten Grenzen fu¨r verschie-
dene Copulas und α zeigt Tabelle 5.2 in Abschnitt 5.2.
5.2 Effizienz der Kontrollkarten
Der Vergleich der Gu¨teeigenschaften der Kontrollkarten aus Kapitel 4.6 und 5.1.1
erfolgt durch eine Simulationsstudie. Dazu muss der betrachtete Prozess einige An-
forderungen erfu¨llen. Die Anzahl beobachteter Merkmale wird auf p = 2 beschra¨nkt,
die Stichprobengro¨ße zur Parameterscha¨tzung sei n = 30 und die einzelnen Merk-
male seien univariat normalverteilt, also X = (X1, X2)T sowie Y = (Y1, Y2)T mit
Xj , Yj ∼ ◆(µj , σj) fu¨r j = 1, 2.
5.2.1 Bestimmung der Kontrollgrenzen
Die Simulationsergebnisse gelten fu¨r beliebige normalverteilte Ra¨nder, also fu¨r alle
Werte von µj und σj , weil die gewa¨hlten Methoden skaleninvariant sind. Prozessab-
weichungen werden daher nur fu¨r den Bereich von µ1 = −3 bis µ1 = +3 betrachtet.
34
Zuna¨chst werden Kontrollgrenzen nach der Routine aus Abschnitt 5.1.1 simuliert
mit B = 100 und K = 200.000. Verschiedene Grade der Abha¨ngigkeit werden durch
unterschiedliche τ nach Kendall beschrieben.
Fu¨r die adjustierten Karten (T 2adj) sind die Werte der oberen Kontrollgrenzen in
Tabelle 5.1 aufgelistet und fu¨r die Euklidische Kontrollkarte (E2) in Tabelle 5.2.
Niveau α = 10% 5% 1% 0.27%
T 2(N) 5.357 7.150 11.671 15.753
T 2adj (F, τ = 0.2) 5.381 7.223 11.981 16.388
T 2adj (F, τ = 0.4) 5.455 7.449 12.900 18.321
T 2adj (F, τ = 0.6) 5.637 7.970 14.873 22.175
T 2adj (F, τ = 0.8) 5.948 9.178 20.682 34.471
T 2adj (C, τ = 0.2) 5.381 7.260 12.181 16.818
T 2adj (C, τ = 0.4) 5.422 7.457 13.072 18.578
T 2adj (C, τ = 0.6) 5.582 8.069 15.776 24.162
T 2adj (C, τ = 0.8) 5.849 9.376 23.510 41.485
T 2adj (G, τ = 0.2) 5.405 7.305 12.244 16.873
T 2adj (G, τ = 0.4) 5.435 7.408 12.682 17.778
T 2adj (G, τ = 0.6) 5.474 7.584 13.595 19.853
T 2adj (G, τ = 0.8) 5.516 7.841 15.072 23.378
Tabelle 5.1: Simulierte Kontrollgrenzen der klassischen und adjustierten T 2-Karten
fu¨r verschiedene zugrundeliegende Copulastrukturen (N=Normal, F=Frank,
C=Clayton, G=Gumbel) und verschiedene Kendalls τ
Die erste Zeile in Tabelle 5.1 zeigt die Grenzwerte der traditionellen T 2-Karte, die
anschließenden Zeilen enthalten die Resultate fu¨r verschiedene Copulas. Betrach-
tet werden verschiedene Wahrscheinlichkeiten fu¨r den Fehler erster Art. Das α von
0.0027 entspricht dem gebra¨uchlichen 3σ-Kontrollniveau bei einer T 2-Karte.
Fu¨r τ = 0 sind die Grenzen der T 2-Karte und der Copula-basierten Karten gleich.
Die Grenzwerte der adjustierten Karten wachsen mit ansteigendem τ und offensicht-
lich mit sinkendem α. Die simulierten Grenzwerte weichen demzufolge umso weiter
von den Werten der klassischen T 2-Karte ab, je sta¨rker die Abha¨ngigkeit der beiden
Randverteilungen wird.
Tabelle 5.2 zeigt die UCL-Werte der E2-Statistik fu¨r unabha¨ngige Variablen, diese
Werte sind fu¨r alle Copulas identisch. Anschließend sind die Grenzen fu¨r verschie-
dene Copulas gegeben. Wie bei Tabelle 5.1 steigen auch hier die UCL-Werte mit
wachsendem τ und sinkendem α.
35
Niveau α = 10% 5% 1% 0.27%
E2 (τ = 0) 2.268 2.612 3.311 3.822
E2 (N, τ = 0.2) 2.271 2.624 3.349 3.882
E2 (N, τ = 0.4) 2.288 2.667 3.456 4.036
E2 (N, τ = 0.6) 2.320 2.738 3.605 4.240
E2 (N, τ = 0.8) 2.375 2.835 3.781 4.472
E2 (F, τ = 0.2) 2.282 2.633 3.343 3.863
E2 (F, τ = 0.4) 2.322 2.692 3.427 3.956
E2 (F, τ = 0.6) 2.385 2.781 3.551 4.097
E2 (F, τ = 0.8) 2.449 2.886 3.711 4.290
E2 (C, τ = 0.2) 2.276 2.654 3.465 4.098
E2 (C, τ = 0.4) 2.312 2.727 3.613 4.290
E2 (C, τ = 0.6) 2.367 2.796 3.694 4.375
E2 (C, τ = 0.8) 2.424 2.870 3.778 4.460
E2 (G, τ = 0.2) 2.281 2.660 3.470 4.093
E2 (G, τ = 0.4) 2.318 2.742 3.638 4.310
E2 (G, τ = 0.6) 2.376 2.836 3.783 4.482
E2 (G, τ = 0.8) 2.424 2.910 3.905 4.634
Tabelle 5.2: Simulierte Grenzwerte der E2-Karte fu¨r verschiedene Copulas (N=Normal,
F=Frank, C=Clayton, G=Gumbel) und Kendalls τ
5.2.2 Verhalten der Laufla¨nge bei Lageverschiebung
Die Gu¨te der erzeugten Karten wird mit Hilfe simulierter ARL und SDRL (siehe
Abschnitt 4.3) fu¨r die Grenzwerte der Tabellen 5.1 und 5.2 verglichen.
Um Verschiebungen bezu¨glich der Mittelwerte aufzudecken, werden zwei verschie-
dene Szenarien betrachtet. Bei Szenario (I) wird der Lageparameter µ1 (nur) einer
Randverteilung verschoben.
Beru¨cksichtigt man die Abha¨ngigkeit der beiden Ra¨nder, ist auch eine A¨nderung
von µ2 sinnvoll. Diese kann direkt aus der Verschiebung von µ1 abgeleitet werden.
Perfekt positiv linear abha¨ngige Daten liegen auf einer Geraden mit der Steigung
ρ = 1. Damit gilt auch µ∗2 = µ∗1. Allgemein streuen abha¨ngige Daten um eine Gerade
mit der Steigung ρ. Fu¨r eine realita¨tsnahe Verschiebung des Datenschwerpunktes
sollte der Punkt (µ1, µ2) also entlang dieser Geraden verschoben werden. Genutzt
wird dazu der in Tabelle 3.2 dargestellte Zusammenhang von ρ und τ . Danach ist
µ∗2 = ρ · µ∗1 = sin(pi2 τ) · µ∗1.
Abbildung 5.1 zeigt beide Varianten, den Mittelwert zu verschieben. Dabei ist µ1
beide Male gleich weit vom Sollwert entfernt.
36
Abbildung 5.1: Veranschaulichung von Szenario (I) und (II) im Vergleich zur In-Kontrolle-
Lage des Prozesses
Beide Untersuchungen verlaufen wie im Flussdiagramm aus Abbildung 5.2 beschrie-
ben:
Zuna¨chst wird ein N-dimensionaler Nullenvektor K erzeugt, der im Folgenden
mit simulierten Laufla¨ngen gefu¨llt wird. Anschließend wird die Copula festgelegt:
Der Copulaparameter θ entspricht einem festen Kendalls τ , die Ra¨nder sind stan-
dardnormalverteilt (Xi ∼ ◆(µi = 0, 1), i = 1, 2), es gilt:
H0 : H(X1, X2) = C(F (X1), F (X2), θ)
Zur Simulation der ARL und SDRL wird die Prozesslage ”ku¨nstlich“ verschoben,
entweder durch
(I) A¨nderung von µ1 zu µ∗1 in der ersten Randverteilung oder durch
(II) Wie (I), gleichzeitige A¨nderung von µ2 auf µ∗2 = sin(pi2 τ) ·µ∗1 im zweiten Rand.
Die so konstruierte Verteilung wird mit H∗(X1, X2) gekennzeichnet. Fu¨r die neuen
Verteilungen werden N Laufla¨ngen simuliert. Die Za¨hlvariable j = 1, . . . , N gibt an,
die wievielte RL gerade betrachtet wird. Fu¨r jede Laufla¨nge wird folgende Schleife
durchlaufen:
37
Abbildung 5.2: Flussdiagramm: Simulationsstudie zur Lageverschiebung des Prozesses
38
Erst werden m Zufallvektoren (Y1, ..., Ym) aus der Verteilung des kontrolliert lau-
fenden Prozesses H(X1, X2) generiert und daraus Sm beziehungsweise s∗m und Y m
berechnet. Diese Scha¨tzer werden zur Berechnung der Teststatistik beno¨tigt und bis
zum Abbruch der aktuellen j−ten Laufla¨ngensimulation beibehalten.
In einer zweiten Schleife werden solange Zufallsvektoren (Messwerte) aus der Ver-
teilung H∗(X1, X2) erzeugt, bis die daraus abgeleitete Teststatistik gro¨ßer als die
zugeho¨rige Kontrollgrenze wird. Als Teststatistik kann entweder T 2(Xi) nach For-
mel (4.2) verwendet werden oder E2(Xi) laut Formel (5.1).
Fu¨r jeden generierten Messwert wird der Eintrag von Kj um eins erho¨ht. Nach dem
Abbruch der Schleife entspricht Kj der j-ten simulierten Laufla¨nge des Prozesses.
Wurden alle j betrachtet, also N Laufla¨ngen simuliert, wird der Laufla¨ngenvektor
K ausgegeben und die Simulation beendet.
Die ARL entspricht dann K und die SDRL ist
√
Var(K1, . . . ,KN ). In der folgen-
den Simulationsstudie erfolgen die A¨nderungen nach Szenario (I) und (II) schritt-
weise in 0.1-Intervallen von µ1.
Die Abbildungen 5.3 und 5.4 zeigen die Ergebnisse der Simulationsstudie in Form
von ARL- und die SDRL-Kurven fu¨r die Karten aus Abschnitt 5.1 (α =0.05, m=30,
B=100, N=100.000). Grafik 5.3 visualisiert dabei die Ergebnisse fu¨r die erste be-
schriebene Mo¨glichkeit, wie ein Prozess außer Kontrolle geraten kann (Szenario I),
Abbildung 5.4 zeigt die Kurven fu¨r das zweite beschriebene Szenario.
Die ARL wird (bei beiden Szenarien) durch die zugrundeliegende Datenbasis be-
einflusst. Die ARL von Hotellings T 2-Karte ist bei der Anwendung bivariat normal-
verteilter Daten unabha¨ngig vom gewa¨hlten τ (jeweils oberes linkes Bild). Das ist
durch die Konstruktion der T 2-Statistik begru¨ndet. Weiterhin gilt, dass die Ergeb-
nisse fu¨r τ = 0 fu¨r alle Karten gleich ausfallen, da hier Unabha¨ngigkeit zwischen den
Variablen vorliegt.
Fu¨r beide Karten und Szenarien gilt, dass die ARL umso schneller abfa¨llt, je
gro¨ßer die Abha¨ngigkeit zwischen den Ra¨ndern wird, bei den Abbildungen wurde
39
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0
5
10
15
20
T2
Abweichung von µ1
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
Normal
Frank
Clayton
Gumbel
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0
5
10
20
T2
Abweichung von µ1
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
Normal
Frank
Clayton
Gumbel
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0
5
10
15
20
T²adj
Abweichung von µ1
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
Normal
Frank
Clayton
Gumbel
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0
5
10
20
T²adj
Abweichung von µ1
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
Normal
Frank
Clayton
Gumbel
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0
5
10
15
20
E2
Abweichung von µ1
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
Normal
Frank
Clayton
Gumbel
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0
5
10
20
E2
Abweichung von µ1
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
Normal
Frank
Clayton
Gumbel
Abbildung 5.3: ARL und SDRL fu¨r verschiedende Kontrollkarten (klassische und adjustierte
Hotellings T 2-Karten (T 2 und T 2adj) sowie die Euklidische Karte (E2)); τ =
0.6, Szenario (I)
40
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
5
10
15
20
T2
Abweichung von µ1
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
Normal
Frank
Clayton
Gumbel
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
5
10
20
T2
Abweichung von µ1
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
Normal
Frank
Clayton
Gumbel
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
5
10
15
20
T²adj
Abweichung von µ1
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
Normal
Frank
Clayton
Gumbel
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
5
10
20
T²adj
Abweichung von µ1
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
Normal
Frank
Clayton
Gumbel
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
5
10
15
20
E2
Abweichung von µ1
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
Normal
Frank
Clayton
Gumbel
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
5
10
20
E2
Abweichung von µ1
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
Normal
Frank
Clayton
Gumbel
Abbildung 5.4: ARL und SDRL fu¨r verschiedende Kontrollkarten, τ = 0.6, Szenario (II)
41
daher eine mittlere Abha¨ngigkeit zwischen den Daten gewa¨hlt (τ = 0.6).
Fu¨r die klassische T 2-Karte sind die Verla¨ufe der ARL nicht zufriedenstellend: Im
In-Kontrolle-Fall erreicht die ARL fu¨r α = 0.05 nur fu¨r normalverteilte Daten den
theoretisch erwarteten Wert 20 und liegt sonst darunter. In der Praxis ga¨be es also
zu viele Ablehnungen der Karte und damit Prozessunterbrechungen. Diesen Nachteil
zeigen die adjustierte T 2-Karte und die E2-Karte nicht.
Fu¨r die Clayton- und Gumbelcopula zeigt die ARL der (adjustierten) T 2-Karte
mit sta¨rker werdender Abha¨ngigkeit außerdem eine wachsende Abweichung von der
Symmetrie um den Sollwert, wie sie bei unabha¨ngigen oder punktsymmetrisch an-
geordneten Daten auftritt. Das ARL-Verhalten der E2-Statistik ist dagegen symme-
trisch um den Sollwert.
Fu¨r die T 2adj-Karte fa¨llt die ARL fu¨r Abweichung vom Mittelwert in Szenario (I)
schneller ab als bei der E2-Karte. Das ist damit zu erkla¨ren, dass die T 2-Statistik
Absta¨nde zum gemeinsamen Schwerpunkt der Verteilung unter Beru¨cksichtigung
der gemeinsamen Kovarianzstruktur misst. Bei der E2-Karte werden dagegen beide
Merkmale unabha¨ngig voneinander standardisiert und anschließend die Summe der
einzelnen Absta¨nde betrachtet. Die ”Ha¨lfte der Abstandswerte“ (also die eines der
Merkmale) entspricht bei Szenario (I) den Anforderungen unter H0. Daher sinkt
hier die ARL nicht so schnell wie bei der T 2-Statistik. Fu¨r Szenario (I) ist also die
adjustierte Hotellings T 2-Karte geeignet.
Bei Szenario (II) sinkt die ARL fu¨r die T 2adj-Karte langsamer als fu¨r die E2-
Karte. Hier erkennt die E2-Statistik die Abweichungen beider Mittelwerte separat
und u¨bertrifft damit die T 2-Statistik. Daher ist die E2-Karte hier zu bevorzugen.
Das Verhalten der Standardabweichung der ARL a¨hnelt dem der ARL, die SDRL
liefert also keinen Grund, die oben empfohlene Kartenwahl zu revidieren.
5.3 Anwendungen
5.3.1 Beispiel I: Ultraschall-Durchflussmesser
Eine mo¨gliche Anwendung der Karten stammt aus dem Bereich der Messtechnik.
Ultraschall-Durchflussmesser erfassen die Geschwindigkeit von Flu¨ssigkeiten, Ga-
42
sen oder Da¨mpfen mit Hilfe akustischer Wellen. Die Messmethode ist gro¨ßtenteils
unabha¨ngig von den Eigenschaften der verwendeten Durchflussmedien (elektrische
Leitfa¨higkeit, Dichte, Temperatur und Viskosita¨t). Sie deckt einen großen Bereich ab
und ist einfach zu warten. Dadurch ist sie in der Praxis beliebt. Die Deutsche Indus-
trienorm 1319-1 (1995) beinhaltet Anforderungen an Ultraschall-Durchflussmesser;
weiterfu¨hrende Informationen bietet Hofmann (2000).
Der Bereich Petrochemie, also die Herstellung chemischer Produkte aus Erdgas
und geeigneten Teilen des Erdo¨ls, stellt mit Temperaturen bis u¨ber 500◦C oder
Dru¨cken bis 1500 bar hohe Anforderungen an die Messgera¨te. Im Folgenden wird
der Durchfluss von Benzol betrachtet. Diese flu¨ssige Kohlenwasserstoffverbindung
ist die Grundlage einiger Industriechemikalien (etwa Ethylbenzol).
Im Bereich der Hydrologie gibt es Copulamodelle von Flu¨ssigkeiten. Salvadori
und De Michele (2007) erla¨utert beispielsweise, wie Pegelsta¨nde eines Flusses an
verschiedenen Erfassungspunkten zusammenha¨ngen. Diese Idee wird analog auf das
vorliegende Problem u¨bertragen.
Fu¨r eichpflichtige Bereiche in der Produktion ist es inzwischen Standard, dass der
Massestrom durch mehrere Sensoren erhoben wird. Diese sogenannte Redundanz
sichert zuverla¨ssige Ergebnisse auch nach Ausfall eines Messkanals und in extremer
Umgebung.
Unter H0 ist ein konstanter Massestrom des Benzols gewu¨nscht. Betrachtet werden
im Folgenden die Zufallsvariablen
X1 : Messwert des ersten Durchflussmessers und
X2 : Messwert des zweiten Durchflussmessers.
X1 und X2 sind einzeln durch Normalverteilungen modellierbar. Erwartungswert ist
der Sollwert des Benzolstroms. Die Variation der Ergebnisse zwischen den Gera¨ten
ist bei gro¨ßeren Messwerten tendenziell ho¨her als bei kleineren. Die Messunsicherheit
nimmt mit wachsenden Merkmalswerten zu.
Die gemeinsame Verteilung von X1 und X2 wird daher durch eine Claytoncopula
mit hohem Abha¨ngigkeitsgrad (τ = 0.8) und normalverteilten Ra¨ndern modelliert.
Der τ -Wert muss in der praktischen Anwendung auf die jeweils verwendeten Gera¨te
abgestimmt werden.
43
Nachfolgend werden 200 simulierte Messwerte (x1, x2) des statistisch kontrollier-
ten Prozesses genutzt. Ihnen werden mit Hilfe einer CML-Scha¨tzung (siehe Abschnitt
3.6) Copulas angepasst. Der Maximum-Likelihood-Wert der Claytoncopula liegt mit
306.06 fu¨r θ = 8.269 etwas u¨ber dem fu¨r die Normalcopula (297.88 fu¨r ρ = 0.98),
so dass die Claytoncopula verwendet wird. Abbildung 5.5 zeigt die normierten Ur-
sprungsdaten sowie die Konturplots der angepassten Verteilungen.
−3 −2 −1 0 1 2
−3
−2
−1
0
1
2
X1
X 2
Ursprungsdaten
X1
X 2
−3 −2 −1 0 1 2
−3
−2
−1
0
1
2
Anpassung mit Gaußcopula
X1
X 2
−3 −2 −1 0 1 2
−3
−2
−1
0
1
2
Anpassung mit Claytoncopula
Abbildung 5.5: Ursprungsdaten und Konturlinien der angepassten Verteilungen
Weil jede normalverteilte Variable linear in eine standardnormalverteilte Variable
umgeformt werden kann, werden die Kontrollgrenzen aus Abschnitt 5.2 verwendet.
Das gescha¨tzte Kendalls τ betra¨gt etwa 0.79, so dass die UCL-Werte fu¨r τ = 0.8 ver-
wendet werden. Die ersten 30 Datenpunkte werden zur Bestimmung der Werte Y m,
Sm und s∗m genutzt. Daraus wird die Teststatistik fu¨r die anderen 170 Datenpunkte
bestimmt.
Szenario I und II aus Kapitel 5.2 zeigen, wie der Prozess außer Kontrolle geraten
kann. Sie ko¨nnen wie folgt gedeutet werden:
(I) Ein Messgera¨t ist außer Kontrolle, zum Beispiel bescha¨digt.
(II) Der zugrundeliegende Prozess ist außer Kontrolle, das Benzol stro¨mt zu schnell
oder zu langsam.
Fu¨r Szenario I wird eine Unterstichprobe aus Zufallszahlen konstruiert, bei der
einer der Erwartungswerte der Randverteilungen von 0 auf 2 wechselt; der ande-
re Erwartungswert bleibt konstant null. Fu¨r Szenario II werden Daten simuliert,
44
bei welcher beide Erwartungswerte der Ra¨nder passend gea¨ndert werden. Die erste
Randverteilung streut nun um 2, die zweite um 1.902.
Abbildung 5.6 stellt jeweils 15 Datenpunkte aus Szenario I (rot) und Szenario II
(gru¨n) vergleichend zum In-Kontrolle-Datensatz dar. Das linke Bild zeigt, wie sich
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
0
1
2
3
Datensatz
X1
X 2
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3 in KontrolleLernstichprobe
Szenario I
Szenario II
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
0
1
2
3
Karten : T²adj(N) E²(N)
X1
X 2
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
X 2
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
T² = T²adj(N)
E²(N)
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
0
1
2
3
Karten : T²adj(C) E²(C)
X1
X 2
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
T²adj(C)
E²(C)
Abbildung 5.6: Datensatz mit Außer-Kontrolle-Werten fu¨r verschiedene Szenarien der Mit-
telwerta¨nderung (links) und durch die verschiedenen Karten als außer Kon-
trolle eingeordnete Punkte bei Unterstellung einer Normal- (Mitte) sowie
Claytoncopula (rechts)
die simulierten Daten in die Ursprungswerte einfu¨gen. Diese Datenpunkte werden
genutzt, um die Karte zu testen. Das mittlere und rechte Bild visualisieren, welche
Datenpunkte bei Anwendung der verschiedenen Karten Teststatistiken außerhalb
der Kontrollgrenzen (Niveau α = 0.05) erzeugen.
Das arithmetische Mittel der Lernstichprobe liegt bei (−0.0356,−0.0805). Die E2-
Karte erkennt hauptsa¨chlich weit von diesem gescha¨tzten Erwartungswert gelegene
Datenpunkte, wa¨hrend die T 2-Statistik Werte aufspu¨rt, die weit von der gescha¨tzten
Ellipse um den Mittelwert entfernt liegen. Wie schon in Abschnitt 5.2 beschrieben,
ist die E2-Karte fu¨r Szenario II geeigneter, die T 2-Karte zeigt bessere Ergebnisse
fu¨r Szenario I.
Fu¨gt man die konstruierten Außer-Kontrolle-Daten ans Ende der 170 verwendeten
Messpunkte, ergeben sich die Karten aus den Abbildungen 5.7 und 5.8. Die Bilder
zeigen die beschriebenen Kontrollkarten fu¨r beide Szenarien der Mittelwerta¨nderung
zum Niveau α = 0.05.
Abbildung 5.7 betrachtet fu¨r Szenario I das Verhalten der T 2- und der T 2adj(C)-
Karte im linken Bild und das der E2-Karte im rechten Bild. Die vertikalen Linien
45
(schwarz gepunktet) zeigen den Punkt an, zu dem der Prozess außer Kontrolle gera¨t,
also den 171. Datenpunkt.
0 50 100 150
0
5
10
15
20
25
30
35
T²−Karte
Messung
T²
UCL T2
UCL T²adj(C)
0 50 100 150
0
1
2
3
4
E²−Karte
Messung
E²
UCL E²(N) UCL E²(C)
Abbildung 5.7: Anwendung der Kontrollkarten auf Szenario I
Die Grenzwerte fu¨r eine unterstellte gemeinsame Normalverteilung der Variablen
sind fu¨r beide Teststatistiken kleiner als bei einer unterstellten Claytoncopula. Die-
ser Effekt ist bei der T 2-Statistik deutlicher ausgepra¨gt. Hier liegen 24 Werte fu¨r
die traditionelle T 2-Karte oberhalb der Grenzen, darunter alle 15 Außer-Kontrolle-
Werte.
0 50 100 150
0
5
10
15
20
25
30
35
T²−Karte
Messung
T²
UCL T2
UCL T²adj(C)
0 50 100 150
0
1
2
3
4
E²−Karte
Messung
E²
UCL E²(N) UCL E²(C)
Abbildung 5.8: Anwendung der Kontrollkarten auf Szenario II
Fu¨r die T 2adj(C) liegen nur 20 Werte u¨ber der oberen Kontrollgrenze, darunter die
15 anders verteilten. Die Trefferquote ist bei der adjustierten Karte also besser. Die
46
E2-Statistik entdeckt keinen Wechsel fu¨r Szenario I. Fu¨r beide Grenzwerte werden
vier Werte als Ausreißer markiert, davon stammt keiner aus der Außer-Kontrolle-
Stichprobe.
Abbildung 5.8 bildet Szenario II ab. Auch hier sind fu¨r beide Teststatistiken die
Grenzwerte bei unterstellter Normalverteilung kleiner als die der Claytoncopula und
wiederum ist der Unterschied bei der T 2-Statistik deutlicher als bei der E2-Statistik.
Bei der klassischen T 2-Karte liegen 14 Werte u¨ber der Kontrollgrenze, vier davon
stammen aus der abweichenden Grundgesamtheit. Fu¨r T 2adj(C) sind von sieben Da-
tenpunkten oberhalb der Grenzen zwei aus der Außer-Kontrolle-Stichprobe. Bei der
E2-Statistik liegen fu¨r beide Mo¨glichkeiten 15 Werte außerhalb der Grenzen. Elf
Punkte davon sind Außer-Kontrolle-Werte.
Wechsel in nur einer Randverteilung wurden mit hoher Wahrscheinlichkeit durch
die (adjustierte) T 2-Karte erkannt, A¨nderungen in beiden Ra¨ndern sind schwerer
nachzuweisen, da die Außer-Kontrolle-Werte sta¨rker mit den In-Kontrolle-Daten
u¨berlappen (siehe auch Abbildung 5.6). Hier war die E2-Karte besser geeignet.
5.3.2 Beispiel II: Inkrementelles Umformen
Der vorliegende Fall betrachtet Zylinder, die per ISF (”Incremental Sheet Forming -
inkrementelles Umformen“) gefertigt wurden. Diese Fertigungstechnik ist den kon-
ventionellen Umformtechniken u¨berlegen. Sie liefert nahtlose Zylinder, die leicht zu
reinigen sind. Eingesetzt werden sie beispielsweise in der Baubranche, bei Landma-
schinen oder in der Lebensmittel- und Pharmaindustrie.
Die Daten wurden im Rahmen des Sonderforschungsbereichs 823 ”Statistical mo-
delling of nonlinear dynamic processes“ der Technischen Universita¨t Dortmund, Pro-
jekt B2 ”Charakterisierung des dynamischen Prozessverhaltens bei der inkremen-
tellen Blechumformung“ erhoben und sind bei Melsheimer et al. (2011) detailliert
beschrieben.
Die betrachteten Zylinder haben ein langes, schmales Endstu¨ck. Durch kleins-
te Materialunterschiede oder minimale Unregelma¨ßigkeiten im Umformprozess kann
das Metall im Bereich des Endstu¨ckes reißen oder Falten schlagen. Der interessieren-
de Parameter ist also die Blechdicke des Zylinders im Bereich der Umformung. Die
47
Dicke im nichtbearbeiteten Teil ist nahezu konstant und braucht nicht u¨berwacht
werden. Insgesamt haben die Blechscheiben einen Radius von etwa 63mm, die her-
ausgedru¨ckte Spitze erreicht eine Ho¨he von 31.5mm bei einem Radius von etwa 9mm
(siehe Abbildung 5.9).
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−4
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−2
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0
20
40
60
alle Messwerte
X−Koordinate
Y−
Ko
or
di
na
te
(0.253,0.374]
(0.374,0.495]
(0.495,0.616]
(0.616,0.737]
(0.737,0.858]
(0.858,0.98]
(0.98,1.1]
(1.1,1.22]
(1.22,1.34]
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−5 0 5
−5
0
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interessierende Messwerte
X−Koordinate
Y−
Ko
or
di
na
te
Abbildung 5.9: Blechdicke in mm fu¨r alle Messpunkte (links) und fu¨r den untersuchten Aus-
schnitt (rechts)
Zur Messung der Blechdicke wurde der analysierte Bereich in horizontale Ab-
schnitte mit a¨quidistanter Ho¨he (sogenannte ”Ba¨nder“) unterteilt. Als optimal zur
Erkennung von Außer-Kontrolle-Daten erwiesen sich Absta¨nde von 3.6mm. Zur Da-
tenerfassung werden die Messwerte der Blechdicken des ersten Bandes von links nach
rechts sortiert. Orientierung bietet die X-Koordinate. Fu¨r das zweite Band werden
die Werte dann von rechts nach links angeordnet und so weiter. Der interessierende
Bereich wird also alternierend abgetastet. Die Folge dieser Werte wird analysiert.
Die logarithmierten Werte der Blechdicke in Millimeter ko¨nnen durch eine Normal-
verteilung beschrieben werden, wie Abbildung 5.10 zeigt. Auch formale Tests auf
Normalverteilung lehnen die Normalverteilungsannahme nicht ab.
Im Folgenden werden die Daten der rechten Grafik aus Abbildung 5.9 analysiert.
Das Beispiel ist eine Ex-Post-Studie; das heißt, erst nach Fertigstellung des Zylin-
ders werden alle relevanten Werte zusammenha¨ngend erhoben. Daher ko¨nnen alle
verfu¨gbaren Daten verwendet werden, um die zugrundeliegende Datenstruktur und
die erforderlichen Werte von Y m, Sm und s∗m zu berechnen.
48
Unter H0 zeigt die Blechdicke keine ”Auffa¨lligkeiten“. Dazu za¨hlen beispielsweise
Risse, Einschlu¨sse im Material, zu dicke oder zu du¨nne Bereiche. Diese ko¨nnen durch
die U¨berwachung ra¨umlich benachbarter Blechdickenmessungen gefunden werden.
Histogramm
log(Bleckdicke in mm)
ab
s.
 H
äu
fig
ke
it
−1.0 −0.5 0.0
0
50
10
0
15
0
−1.0 −0.5 0.0
−1
.0
−0
.5
0.
0
Ursprungsdaten
X1
X 2
Anpassung mit Normalcopula
X1
X 2
−1.0 −0.5 0.0
−1
.0
−0
.5
0.
0
Anpassung mit Gumbelcopula
X1
X 2
−1.0 −0.5 0.0
−1
.0
−0
.5
0.
0
Abbildung 5.10: Histogramm der logarithmierten Messwerte (oben links), Ausgangsdaten
(oben rechts) und Ho¨henlinien der angepassten gemeinsamen Verteilungen
(unten)
U¨berwacht werden daher die Paare (X1,X2) der Zufallsvariablen
X1 : erste Blechdickenmessung sowie
X2 : Nachbarmessung zu X1 laut des erstellten Bandes.
Durch Verwendung der logarithmierten Messungen sind X1 und X2 normalverteilt.
Die benachbarten Dichtemessungen sind abha¨ngig.
49
Abbildung 5.10 zeigt die Ursprungsdaten und die Ho¨henlinien der per CML-
Methode (siehe Abschnitt 3.6) angepassten Copulas. Der ML-Wert fu¨r die Gumbel-
copula betra¨gt ungefa¨hr 915.5 fu¨r den Parameter θ = 2.76 und fu¨r die Normalcopula
etwa 816.5 fu¨r ρ = 0.84. Daher wird die Gumbelcopula bevorzugt.
Da jede normalverteilte Zufallsvariable leicht in eine standardnormalverteilte Zu-
fallsvariable umgewandelt werden kann, wird das Verfahren aus Abschnitt 5.2 ge-
nutzt, um passende Grenzwerte zu erstellen. Das gescha¨tzte Kendalls τ betra¨gt un-
gefa¨hr 0.637. Die entsprechenden UCL-Werte fu¨r einige Niveaus α zeigt Tabelle 5.3.
Niveau α = 10% 5% 1% 0.27%
T 2 4.611 6.001 9.230 11.860
T 2(G) 4.643 6.299 10.801 15.227
E2(N) 2.145 2.449 3.040 3.442
E2(G) 2.269 2.690 3.524 4.099
Tabelle 5.3: Simulierte obere Kontrollgrenzen fu¨r n= 2974, τ = 0.637
Die zugeho¨rigen Karten sind in Abbildung 5.11 dargestellt. Bei Anwendung der tra-
ditionellen T 2-Statistik liegen 62 der knapp 3000 Werte außerhalb, bei der T 2(G)-
Statistik sind es 52 Werte. Die E2-Karte liefert unter vorausgesetzter bivariater
Normalverteilung 112 Werte oberhalb der Grenze, bei unterstellter Gumbelcopula
80 Werte. Sowohl Szenario I als auch II aus Abschnitt 5.2 sind in diesem Prozess
vorstellbar:
(I) Messung 1 und 2 unterscheiden sich stark. Das kann auf lokale Beulen, Mate-
rialfehler, Microrisse oder kleine Wellen hindeuten.
(II) Messung 1 und 2 sind a¨hnlich, aber ungewo¨hnlich klein oder groß und damit
Anzeichen fu¨r sehr dicke oder du¨nne Regionen des Blechs.
Wo sich die außenliegenden Messwerte im Vergleich zu den anderen Messwerten
beziehungsweise im umgeformten Blech befinden, zeigt Abbildung 5.12.
Punkte außerhalb der T 2-Grenzen liegen ohne erkennbare Muster u¨ber das be-
trachteten Gebiet verstreut (obere Grafik). Die Außer-Kontrolle-Werte der E2-Sta-
tistik konzentrieren sich dagegen auf zwei Bereiche (untere Grafik).
50
0 500 1000 1500
0
2
4
6
8
10
12
T²−Karte
Messpaar
T²
UCL T2 UCL T²adj(G)
0 500 1000 1500
0
1
2
3
E²−Karte
Messpaar
E²
UCL E²(N) UCL E²(G)
Abbildung 5.11: Kontrollkarten fu¨r die Messungen der Wanddicke, basierend auf der T 2-
(oben) und der E2-Statistik (unten)
Bekanntermaßen reagiert die T 2-Karte sensibler auf Szenario I, die E2-Karte erkennt
eher Wechsel, wie sie Szenario II beschreibt.
Ein Vergleich dieser Grafik mit der mittleren Darstellung aus Abbildung 5.9 er-
laubt eine gute Interpretation der Ergebnisse der E2-Statistik: Der rote Kreis aus
Abbildung 5.9 markiert Regionen, wo das Blech besonders du¨nn gedru¨ckt wurde.
Insbesondere im linken unteren Bereich ist eine sehr du¨nne Region zu finden. Dieser
Bereich wurde auch durch die E2-Karte gefunden. Das Blech wird instabil und kann
leicht reißen, wenn es zu du¨nn wird. Daher sollte eine Mindestblechdicke eingehal-
ten werden. Sehr dicke Bereiche befinden sich dagegen in der Kreismitte, wo die
51
−1.0 −0.5 0.0
−1
.0
−0
.5
0.
0
Ausreißer (T²)
X1
X 2
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−1
.0
−0
.5
0.
0
−1
.0
−0
.5
0.
0
−1
.0
−0
.5
0.
0
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●
T2
T²adj(G)
−5 0 5
−5
0
5
Position der Ausreißer (T²)
X−Koordinate
Y−
Ko
or
di
na
te
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0
5
−5
0
5
−5
0
5
−1.0 −0.5 0.0
−1
.0
−0
.5
0.
0
Ausreißer (E²)
X1
X 2
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.0
−0
.5
0.
0
−1
.0
−0
.5
0.
0
−1
.0
−0
.5
0.
0
●
●
E²(N)
E²(G)
−5 0 5
−5
0
5
Position der Ausreißer (E²)
X−Koordinate
Y−
Ko
or
di
na
te
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−5
0
5
−5
0
5
−5
0
5
Abbildung 5.12: Kritische Werte, gekennzeichnet in der Datenwolke (links) und in der Blech-
platte (rechts)
Platte im Dru¨ckprozess durch den Dorn erfasst wurde. Eine Minimierung dieser
Region wu¨rde mehr Material fu¨r die restliche Zylinderspitze bedeuten, die damit
tendenziell dicker wu¨rde. Zu dicke Bereiche sollten also auch vermieden werden. Die
durch die T 2-Statistik als kritische Werte gefundenen Datenpunkte sind inhaltlich
gut so offensichtlich nachvollziehbar. Dass es sich um ra¨umlich meist weiter gestreute
Einzelpunkte handelt, passt allerdings gut zu der obigen Interpretation von lokalen
Beulen, Microrissen und a¨hnlichen Pha¨nomenen.
52
5.4 U¨berwachung der Prozessstreuung
Die bisherigen Abschnitte untersuchen Lagea¨nderungen. Die T 2-Karte zeigt aber
auch wachsende Prozessstreuung an. Ob Lage- oder Streuungsa¨nderungen im Prozess
den Alarm ausgelo¨st haben, kann dabei nicht unterschieden werden.
Eine Simulationsstudie mit verschiedenen Copulamodellen zeigt das Verhalten
der T 2-Statistik mit sinkender beziehungsweise wachsender Streuung in den Rand-
verteilungen. Es werden Normal-, Clayton- und Gumbelcopula fu¨r verschiedene
Zusammenhangsmaße τ betrachtet. Die Copulas verknu¨pfen jeweils zwei ◆(0, 1)-
Verteilungen. Untersucht wurde, wie sich ARL- und SDRL-Werte vera¨ndern, wenn
die Standardabweichung einer Randverteilung zwischen 0.5 und 1.5 variiert.
Nach dem in Abschnitt 5.2 beschriebenen Verfahren wurden je 10000 ARL- und
SDRL-Werte simuliert und in Abbildung 5.13 zusammengestellt.
Bei unterstellter Normalverteilung realisiert sich die ARL bei einem Wert von 20
unter der Nullhypothese (fu¨r α = 0.05) fu¨r alle getesteten τ . Bei der Clayton- und
Gumbelcopula erreicht die ARL den gewu¨nschten Wert nur fu¨r τ = 0. Anschließend
sinkt die ARL unter H0 mit wachsendem τ . Dieser Effekt ist von den Untersuchungen
zur Lageverschiebungen bekannt, die Erkla¨rung ist hier die selbe. Fu¨r Claytonco-
pulas ist der Effekt der ARL-Absenkung sta¨rker ausgepra¨gt als fu¨r Gumbelcopulas.
Dieses Pha¨nomen ist durch die Form beider Funktionen begru¨ndet.
Die Teststatistik T 2 erkennt eine Vergro¨ßerung der Streuung, die ARL- und SDRL-
Werte rechts des Sollwertes sinken monoton. In der Praxis tritt eine wachsende
Streuung bei den gemessenen Merkmalen beispielsweise auf, wenn sich bei einer
Maschine im Laufe des Fertigungsprozesses Schrauben an den Gelenken durch Be-
wegung lockern. Auch die Abnutzung von Schleifelementen, Bohrern oder sonstigen
Verschleißteilen an der Maschine ko¨nnen diesen Effekt bewirken. Dadurch werden
die angestrebten Sollwerte nicht mehr pra¨zise erreicht und die gefertigten Produkte
weichen qualitativ sta¨rker voneinander ab. Ein Anschlagen der Karte weist dann dar-
auf hin, Verschleißteile auszutauschen oder die entsprechenden Maschinenbereiche
zu warten.
Eine geringe Streuung um den Sollwert ist in der Regel gewu¨nscht, um ein gesetz-
tes Qualita¨tsziel mo¨glichst gut zu erreichen. Schwa¨chere Streuung ist interessant,
53
−0.4 0.0 0.2 0.4
0
10
30
50
ARL: Normalcopula
Abweichung von σ1 = 1
AR
L
τ0 = 0.2
τ0 = 0.4
τ0 = 0.6
τ0 = 0.8
0
10
30
50
AR
L
0
10
30
50
AR
L
0
10
30
50
AR
L
−0.4 0.0 0.2 0.4
0
20
40
60
SDRL: Normalcopula
Abweichung von σ1 = 1
SD
RL
τ0 = 0.2
τ0 = 0.4
τ0 = 0.6
τ0 = 0.8
0
20
40
60
SD
RL
0
20
40
60
SD
RL
0
20
40
60
SD
RL
−0.4 0.0 0.2 0.4
0
10
20
30
40
ARL: Claytoncopula
Abweichung von σ1 = 1
AR
L
τ0 = 0.2
τ0 = 0.4
τ0 = 0.6
τ0 = 0.8
0
10
20
30
40
AR
L
0
10
20
30
40
AR
L
0
10
20
30
40
AR
L
−0.4 0.0 0.2 0.4
0
20
40
60
SDRL: Claytoncopula
Abweichung von σ1 = 1
SD
RL
τ0 = 0.2
τ0 = 0.4
τ0 = 0.6
τ0 = 0.8
0
20
40
60
SD
RL
0
20
40
60
SD
RL
0
20
40
60
SD
RL
−0.4 0.0 0.2 0.4
0
10
20
30
40
ARL: Gumbelcopula
Abweichung von σ1 = 1
AR
L
τ0 = 0.2
τ0 = 0.4
τ0 = 0.6
τ0 = 0.8
0
10
20
30
40
AR
L
0
10
20
30
40
AR
L
0
10
20
30
40
AR
L
−0.4 0.0 0.2 0.4
0
20
40
60
SDRL: Gumbelcopula
Abweichung von σ1 = 1
SD
RL
τ0 = 0.2
τ0 = 0.4
τ0 = 0.6
τ0 = 0.8
0
20
40
60
SD
RL
0
20
40
60
SD
RL
0
20
40
60
SD
RL
Abbildung 5.13: ARL und SDRL der T 2-Statistik bei Abweichungen in der Streuung einer
Randverteilung bei Verwendung verschiedener Copulas und einzeln normal-
verteilten Ra¨ndern
54
wenn der Prozess vera¨ndert wurde. So kann zum Beispiel untersucht werden, ob ei-
ne bestimmte Maschineneinstellung den Prozess besser kontrollierbar macht. Dieser
Fall interessiert also hauptsa¨chlich, um eine Qualita¨tsverbesserung nachzuweisen.
Die vorliegende Teststatistik erkennt eine sinkende Datenstreuung kaum. Je gro¨ßer
die Abha¨ngigkeit zwischen zwei Merkmalen ist, umso eher fu¨hrt das Absinken von
σ1 zu einer fallenden ARL. Fu¨r alle Werte gilt allerdings zuna¨chst, dass die ARL
ansteigt. Fu¨r den Bereich der Qualita¨tssicherung ist dieser Effekt durchaus positiv
zu bewerten, da eine sinkende Varianz in der Regel keine Minderung der Qualita¨t
impliziert. Hier ist der Fall wachsender Streuung interessanter.
Wie bei der U¨berwachung der Lage ist es mo¨glich, durch Monte-Carlo-Simulation
adjustierte Karten zu erstellen. Die Grenzwertberechnung erfolgt analog zu der in
Abschnitt 5.2 beschriebenen. Die adjustierten T 2-Karten aus Kapitel 5.1.1 halten
auch in diesem Fall unter H0 das Niveau ein. Das ARL-Verhalten a¨hnelt dann dem
aus Abbildung 5.13 fu¨r die Normalcopula.
55

6 Variante II: Zusammenhangskontrolle
6.1 Entwicklung eines geeigneten Testverfahrens
6.1.1 T 2-Karte fu¨r Abha¨ngigkeitsa¨nderungen
Abwandlungen der klassischen T 2-Karte erkennen Abweichungen in den Lage- und
Streuungsparametern der Randverteilung gut. Nun soll eine Teststatistik gefunden
werden, die auf A¨nderungen in der Abha¨ngigkeitsstruktur zweier Messgro¨ßen rea-
giert.
Zuna¨chst wird die T 2-Karte aus Abschnitt 4.5 auf die vorliegende Problemstel-
lung angewandt. Kapitel 5 zeigt, dass die Teststatistik unter Anwendung modifi-
zierter Grenzwerte Prozessabweichungen aufspu¨rt. Um eine geeignete Kontrollkarte
zur U¨berwachung der Prozessstruktur zu finden, wird zuna¨chst das Verhalten der
T 2-Karte bei Struktura¨nderungen untersucht.
Abbildung 6.1 zeigt, wie sich A¨nderungen in der Zusammenhangsstruktur von
Datenpunkten aus verschiedenen Copulastrukturen auf Hotellings T 2-Karte auswir-
ken. Die Zusammenhangsstruktur wird zur besseren Vergleichbarkeit durch Kendalls
τ ausgedru¨ckt. Es wurden analog zur Beschreibung in Abschnitt 5.2 jeweils 10000
ARL- und SDRL-Werte simuliert.
Ein Abschwa¨chen des Zusammenhangs wird erkannt, eine Zunahme der Zusam-
menha¨nge la¨sst die ARL-Werte dagegen sogar ansteigen. Das ist dadurch zu er-
kla¨ren, dass sich ein abschwa¨chender Zusammenhang in weiter streuenden Punkten
zeigt, deren Abstand zum Mittelpunkt tendenziell wa¨chst und daher die (einseiti-
gen) Grenzwerte relativ schnell u¨berschreitet. Andererseits bewirkt ein Ansteigen
der Abha¨ngigkeit, dass die Datenpunkte tendenziell konzentrierter um die gemein-
same Schwerpunktachse auftreten. Die Distanz zum Mittelpunkt sinkt also und die
Grenzwerte werden seltener u¨berschritten, folglich steigt die ARL.
Die T 2-Statistik misst die standardisierte Abweichung eines Punktes von dem
57
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0
10
20
30
ARL: Normalcopula
Abweichung von τ0
AR
L
τ0 = 0.2
τ0 = 0.4
τ0 = 0.6
τ0 = 0.80
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0
10
20
30
40
SDRL: Normalcopula
Abweichung von τ0
SD
RL
τ0 = 0.2
τ0 = 0.4
τ0 = 0.6
τ0 = 0.80
10
20
30
40
SD
RL
0
10
20
30
40
SD
RL
0
10
20
30
40
SD
RL
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0
5
10
15
20
ARL: Claytoncopula
Abweichung von τ0
AR
L
τ0 = 0.2
τ0 = 0.4
τ0 = 0.6
τ0 = 0.80
5
10
15
20
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
0
5
10
15
20
AR
L
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0
5
10
20
SDRL: Claytoncopula
Abweichung von τ0
SD
RL
τ0 = 0.2
τ0 = 0.4
τ0 = 0.6
τ0 = 0.80
5
10
20
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
0
5
10
20
SD
RL
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0
10
20
30
40
ARL: Gumbelcopula
Abweichung von τ0
AR
L
τ0 = 0.2
τ0 = 0.4
τ0 = 0.6
τ0 = 0.80
10
20
30
40
AR
L
0
10
20
30
40
AR
L
0
10
20
30
40
AR
L
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0
10
30
50
SDRL Gumbelcopula
Abweichung von τ0
SD
RL
τ0 = 0.2
τ0 = 0.4
τ0 = 0.6
τ0 = 0.80
10
30
50
SD
RL
0
10
30
50
SD
RL
0
10
30
50
SD
RL
Abbildung 6.1: ARL und SDRL der T 2-Statistik bei Abweichungen in der Abha¨ngigkeits-
sta¨rke unter Zugrundelegung verschiedener Copulas bei einzeln standardnor-
malverteilten Messdaten X1 und X2
58
Wahrscheinlichkeitsschwerpunkt einer multivariaten Normalverteilung. Es handelt
sich demzufolge um ein ideales Abstandsmaß fu¨r die punktsymmetrische Normal-
verteilung. Die betrachteten Copulas sind hingegen achsensymmetrisch. Auf dieser
Grundlage soll eine Teststatistik zum Erkennen von Strukturbru¨chen (also A¨nde-
rungen der Abha¨ngigkeitsstruktur) entwickelt werden.
A¨hnliche Testverfahren sind so konstruiert, dass beispielsweise Datenpunkte aus
der Verteilung unter H0 simuliert und mit der erhobenen Stichprobe verglichen wer-
den. Fu¨gen sich diese Stichprobenwerte ”plausibel“ in die erzeugten Daten ein, geht
man davon aus, dass beide derselben Grundgesamtheit entstammen.
Tests zu Strukturbru¨chen auf Basis von Copulamodellen wurden beispielsweise
Kra¨mer und van Kampen (2011), Wied et al. (2012), Wied und Galeano (2012)
sowie Brodski et al. (2012) vero¨ffentlicht.
6.1.2 Beschreibung der Teststatistik
Begru¨ndet auf den bisherigen U¨berlegungen wird nun ein Testverfahren zur U¨ber-
wachung von Struktura¨nderungen entwickelt. Bei der T 2-Statistik werden die Eu-
klidischen Distanzen der Datenpunkte zum Datenschwerpunkt unter H0 auf Plau-
sibilita¨t gepru¨ft. Um die Achsensymmetrie der verwendeten Copulas auszunutzen,
verwendet das vorgestellte Verfahren ein Distanzmaß, das den ku¨rzesten Abstand
zwischen Punkt und Achse misst. Gering voneinander abha¨ngende Daten bedingen
eher große Abweichungen von der betrachteten Achse, stark abha¨ngige Daten zeigen
meist kleinere Abweichungen. In diesem Fall entspricht die betrachtete Achse der
Winkelhalbierenden des Einheitsquadrates, die Datenpunkte mu¨ssen dazu passend
auf den Wertebereich [0, 1]2 normiert sein beziehungsweise aus einer Copulastruktur
stammen.
Je nach betrachteter Copula streuen die Datenpunkte unterschiedlich um die
Winkelhalbierende. Diese Besonderheit wird bei den vorgestellten Testverfahren
beru¨cksichtigt. Abbildung 6.2 veranschaulicht die vorgestellte Testidee. Anstelle ei-
nes fixen Abschnittes (linke Grafik), wird ein interessierender Bereich mit relativ
hoher Datendichte betrachtet. Die mittlere Grafik zeigt die Idee, einen an der Win-
kelhalbierenden ausgerichteten Streifen zu betrachten. Der Vollsta¨ndigkeit halber ist
in der rechten Abbildung die spa¨ter definierte Teststatistik dargestellt. Diese konzen-
triert sich auf den ”aussagekra¨ftigsten“ Abschnitt zwischen den grau gestrichelten
59
Linien. Die an der Winkelhalbierenden gespiegelten Datenpunkte in diesem Bereich
werden fu¨r Aussagen u¨ber A¨nderungen der Struktur verwendet.
Abbildung 6.2: Motivation der Teststatistik
Das vorgestellte Verfahren ist zweistufig. Zuerst werden einige Distanzen be-
stimmt, etwa die Entfernung des Punktes zur Winkelhalbierenden oder ein spezieller
Abstand zum Koordinatenursprung, der sich wiederum an der Winkelhalbierenden
orientiert. Anschließend werden die umgeformten Daten entsprechend der zugrun-
deliegenden Copula als zu H0 passend, zu weit streuend oder zu konzentriert klas-
sifiziert. Zeigt die Stichprobe also Unregelma¨ßigkeiten in der Abha¨ngigkeitsstruktur
der Daten, fu¨hren sowohl eine Versta¨rkung als auch eine Abschwa¨chung des Zusam-
menhangs zur Alarmauslo¨sung. Wie die Karte genau arbeitet, wird im Folgenden
beschrieben.
Schritt 1: Datentransformation
Zuna¨chst wird der orthogonale Abstand eines zweidimensionalen Zufallsvektors U :=
(U1, U2), also eines Punktes im I2 zur Symmetrieachse bestimmt. Die folgenden
U¨berlegungen gelten fu¨r beliebige Copulas. Beim Punkt U handelt es sich um einen
Vektor der Verteilungsfunktionen an den Stellen der Eintra¨ge einer zugrundeliegen-
den Ausgangsvariablen X := (X1, X2), demzufolge ist U = (F1(X1), F2(X2)). An-
stelle der gemeinsamen Verteilungsfunktion wird nur der Zusammenhang der Mess-
werte beru¨cksichtigt, ausgedru¨ckt durch die zugrundeliegende Copula. Abbildung
60
6.3 zeigt ein Beispiel mit normalverteilten Ra¨ndern (◆(0, 1) und ◆(8, 1)), deren
gemeinsame Struktur einer Claytoncopula folgt. Die unterschiedlichen Normalver-
teilungen als Ra¨nder zeigen erneut, dass die Copulastruktur davon unberu¨hrt bleibt.
Die Abha¨ngigkeit betra¨gt im ersten Fall τ = 0 und im zweiten τ ≈ 0.79.
−3 −2 −1 0 1 2 3
5
6
7
8
9
10
unabhängige Daten
X1
X 2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
unabhängige Daten − Copula
U1
U 2
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
−3 −2 −1 0 1 2 3
5
6
7
8
9
10
11
'Claytondaten'
X1
X 2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
Claytoncopula
U1
U 2
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
Abbildung 6.3: Streu- und Copula-Diagramme fu¨r einzeln normalverteilte Daten X1 und X2
(einmal unabha¨ngig, einmal auf Basis einer Claytoncopulastruktur)
Die Karte betrachtet den orthogonalen Abstand eines Punktes (U1, U2) von der
Winkelhalbierenden U∗2 = U∗1 . Der Punkt auf der Winkelhalbierenden, den die dazu
orthogonale Gerade durch (U1, U2) schneidet, liegt bei
(U2 + U1
2 ,
U2 + U1
2
)
.
61
Der orthogonale Abstand zwischen diesem Schnittpunkt und (U1, U2) ist dann
r := r(U1, U2) :=
[
(U1 + U2
2 − U1
)2
+
(U1 + U2
2 − U2
)2
]
1
2
(6.1)
mit r ∈ [0, 1√
2
].
Berechnet wird außerdem e. Diese Variable gibt die auf den Wertebereich [0,
√
2]
normierte Euklidische Distanz des errechneten Lotes von (U1, U2) zum Koordina-
tenursprung an. Es gilt:
e := e(U1, U2) :=
U1 + U2√
2
(6.2)
Abbildung 6.4 verdeutlicht den Zusammenhang der Maße r nach Formel (6.1) und
e nach Formel (6.2). Die Verteilung von r ha¨ngt von der verwendeten Copula ab. Fu¨r
feste Copulas und τ0 ko¨nnen die Quantile von r in Abha¨ngigkeit von e ausgedru¨ckt
werden.
Abbildung 6.4: Die Abstandsmaße r und e zum Punkt U = (U1, U2)
Schritt 2: Anwendung
Um sowohl Abha¨ngigkeitsversta¨rkungen als auch nachlassende Zusammenha¨nge der
Merkmale erfassen zu ko¨nnen, werden das erste (lcl) und das dritte (ucl) Quartil
der Statistik r in Abha¨ngigkeit von e betrachtet. Dadurch ergeben sich ”Wahrschein-
lichkeitsba¨nder“, in denen sich die transformierte Beobachtung (r(U1, U2), e(U1, U2))
mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 realisiert. Zur Aussage, ob eine Stichprobe der
62
unter H0 erwarteten Copulastruktur entstammt, wird die Summe der Zufallsvaria-
blen
Ri :=







0 falls ri ≤ lcl(ei)
1 falls lcl(ei) < ri ≤ ucl(ei)
2 falls ri > ucl(ei)
(6.3)
gebildet. Gleichung (6.3) wird durch Abbildung 6.5 im (um 45◦) gekippten Ein-
heitswu¨rfel veranschaulicht.
Abbildung 6.5: Gleichung (6.3), veranschaulicht im gekippten Einheitswu¨rfel (um 45◦)
Die einzelnen Ri verhalten sich unter H0 unabha¨ngig identisch binomialverteilt
nach ❇(2, 0.5). Sie beschreiben die Tatsache, dass (fu¨r unendlich große Stichproben)
ein Viertel der Werte oberhalb und ein Viertel der Werte unterhalb des Wahrschein-
lichkeitsbandes liegen.
Die Summe
Rn =
n
∑
i=1
Ri (6.4)
verha¨lt sich wiederum binomialverteilt (❇(2n, 0.5)). Fu¨r die entsprechende Vertei-
lungsfunktion gilt also
FRn(x) = P(Rn ≤ x) =
x
∑
k=0
(2n
k
)
0.5k(1− 0.5)2n−k,
wobei k die Anzahl der insgesamt 2n betrachteten Objekte ist, die mit Wahrschein-
lichkeit 0.5 realisiert werden. Prinzipiell ist dieser Test auch einseitig durchfu¨hrbar.
Die Rn-Werte ko¨nnen direkt in eine Kontrollkarte abgetragen werden, welche die
63
entsprechenden Quantile der Binomialverteilung als Grenzwerte nutzt. Damit gilt
LCL(Rn) = P(Rn ≤ x)α/2 und
UCL(Rn) = P(Rn ≤ x)1−α/2.
Zusammenfassung der Testroutine
Der Test erfolgt zweistufig. Gegeben sei eine Stichprobe aus Zufallszahlen Xi =
(Xi1, Xi2) mit i = 1, . . . , n. Fu¨r die einzelnen Stichprobenpunkte werden in Stufe 1
zuna¨chst die Xi umgeformt zu Ui = (Ui1, Ui2) und daraus wird nach den Formeln
(6.1) und (6.2) r(Ui1, Ui2) sowie e(Ui1, Ui2) berechnet. Schritt 1 ist wichtig, um die
Abweichung in beide Richtungen nachweisen zu ko¨nnen. Das wird durch die Spie-
gelung an der Winkelhalbierenden erreicht. Dadurch werden sowohl Abweichungen
nach unten als auch nach oben in der Abha¨ngigkeitsstruktur der Daten sichtbar.
Im zweiten Schritt werden die Ri nach Formel (6.3) berechnet und summiert
(Formel (6.4)). Eine Kurzfassung beider Schritte liefert Tabelle B.1 im Anhang.
6.1.3 ”Entwicklungsgeschichte“ des vorgestellten Tests
Das vorgestellte Testverfahren ist das Ergebnis einer mehrstufigen Entwicklung. Ziel
war es, einen Test zu konstruieren, der auf Grundlage einer relativ kleinen Stichprobe
Vera¨nderungen in der Abha¨ngigkeitsstruktur zweier Merkmale findet.
Mo¨glich wa¨re, nur einen abgeschlossenen (rechteckigen) Teilbereich des Einheits-
quadrates zu betrachten. Die Messwerte aus diesem Bereich mu¨ssten dann bestimm-
ten Anforderungen genu¨gen. Dadurch bleiben viele Informationen ungenutzt. Bei
großen Datenmengen ist das weniger wichtig, da trotzdem noch ”genu¨gend viele“
Werte fu¨r genaue Aussagen verfu¨gbar sind.
Die hier beno¨tigte Stichprobe soll aber nicht zu groß werden. Daher betrachtet
die entwickelte Teststatistik den gesamten Datenraum.
Erst wurde das Abstandsmaß r entwickelt und verwendet. Die Abha¨ngigkeit des
Abstandes von der Distanz des Lotes eines Punktes zum Koordinatenursprung e
64
blieb unberu¨cksichtigt. Diese Idee hat den großen Nachteil, dass alle ”Eckwerte“
- also Werte mit kleinem und großen e-Wert - nach Konstruktion einer Copula
nur kleinere r-Werte erreichen ko¨nnen als Daten mit mittleren e-Werten. Die Test-
entscheidung basiert also hauptsa¨chlich auf den mittleren Datenpunkten. Zuna¨chst
wurde beru¨cksichtigt, auf welcher Seite der Winkelhalbierenden der Datenpunkt
liegt. Die Werte rechts der Geraden erhielten ein negatives Vorzeichen. Das sollte
helfen, alle Informationen der Messwerte zu nutzen. Als mo¨gliche Teststatistiken
wurden zuna¨chst das arithmetische Mittel und die Summe der r-Werte in Betracht
gezogen. Unter H0 mu¨ssten diese etwa null betragen. Durch die Achsensymmetrie
der betrachteten Copulas sind Vera¨nderungen in der Struktur so nicht nachzuwei-
sen. Struktura¨nderungen zeigen sich in enger oder weiter um die Winkelhalbierende
streuenden Messwerten, deren Erwartungswert wieder null betra¨gt.
Alternative Teststatistiken sind das Maximum oder Minimum aller r-Werte oder
die Anzahl der Werte, die u¨ber oder unter einer bestimmten Grenze liegen. Hier-
bei sind zwei Grenzwerte no¨tig; gewa¨hlt wurde das ±(1− α2 )-Quantil der Verteilung.
Nachweisbar ist damit ein schwa¨cher werdender Zusammenhang zwischen den Mess-
werten. Die Abnahme der ARL-Werte mit zunehmender Abweichung von H0 erfolgt
relativ langsam, so dass die Karte keinen praktischen Nutzen verspricht.
Als zweiter Schritt wurde der Absolutwert von r betrachtet. Damit werden das
arithmetische Mittel oder die Summe der r sinnvolle Teststatistiken. Wa¨hlt man
als Grenzwerte das α2 und das (1 − α2 )-Quantil der Verteilung der Teststatistik, ist
sowohl ein versta¨rkter als auch ein abgeschwa¨chter Zusammenhang nachweisbar. Die
Gu¨te der Karte, gemessen an der ARL des Außer-Kontrolle-Prozesses, ist dabei nicht
zufriedenstellend. Weiterhin beeinflusst nur der Bereich der mittleren e-Werte die
Testentscheidung.
In einem dritten Versuch wurde der e-Wert mit aufgenommen und die Abha¨ngigkeit
zwischen r und e modelliert.
Der Mittelwert oder die Summe der r-Werte als Teststatistik erweisen sich als
ungeeignet, da der zugeho¨rige e-Wert nicht beachtet wird. Versuche, e hier mit
einzubeziehen, schlugen fehl. Eine Idee war beispielsweise, den absoluten Abstand
des realisierten e-Wertes zur Intervallmitte ( 1√
2
) zu nutzen. Bis dahin steigen die
65
mo¨glichen Auspra¨gungen der r-Werte, anschließend sinken sie. Das arithmetische
Mittel der r sollte abha¨ngig vom Mittelwert der ( 1√
2
− e)-Werte betrachtet werden.
Hier kam es teilweise sogar zu wachsenden ARL-Werten außerhalb von H0. Das la¨sst
sich folgendermaßen erkla¨ren: Die r ko¨nnen theoretisch bei gleichem Abstand rechts
und links von e = 1√
2
Auspra¨gungen bis zum gleichen Wert erreichen, ehe sie an
die ”Grenzen des Einheitsquadrates“ stoßen. Je nach Form der zugrundeliegenden
Copula wird der zur Verfu¨gung stehende Platz allerdings unterschiedlich genutzt,
wie beispielsweise Abbildung 6.3 zeigt.
Schließlich entstand die Idee, die Datenpunkte (r, e) vor Berechnung der Teststa-
tistik zu klassieren.
Zuna¨chst wurde eine Grenze auf Ho¨he des Erwartungswertes von r in Abha¨ngigkeit
von e betrachtet. Unter H0 mu¨sste etwa die Ha¨lfte der Realisationen u¨ber dieser
Grenze liegen. Werden es (deutlich) mehr, kann das auf einen abschwa¨chenden Zu-
sammenhang der Messwerte hindeuten und umgekehrt. Als Teststatistik bietet sich
die Anzahl der r an, die den Erwartungswert u¨bertreffen. Bina¨r kodiert ist die Wahr-
scheinlichkeit der einzelnen Messwerte durch eine Bernoulli-Verteilung modellierbar
und ein entsprechender Test leicht herzuleiten. Die ARL sinkt fu¨r Außer-Kontrolle-
Fa¨lle. Der Test ist geeignet, Struktura¨nderungen nachzuweisen. Allerdings werden
die A¨nderungen teilweise erst relativ spa¨t erkannt.
Daher wurde schließlich versucht, mehrere Klassen zu bilden. Wie bereits erwa¨hnt,
betrachten bestehende Tests meist nur einen Ausschnitt des Einheitsquadrates. Meist
wird die linke untere Ecke gewa¨hlt, teilweise auch die obere rechte Ecke.A¨nderungen
in der Struktur sollen sich am ehesten in diesen Abschnitten zeigen. In diesen Ecken
realisieren sich umso mehr Daten, je sta¨rker der Zusammenhang zwischen den Merk-
malen wird. Die beiden anderen Ecken werden dagegen bei nachlassendem Zusam-
menhang ”voller“. Betrachtet man das komplette Einheitsquadrat, realisieren sich
die Datenpunkte bei starker Abha¨ngigkeit tendenziell dichter an der Winkelhalbie-
renden. Bei schwacher Abha¨ngigkeit kommen vermehrt auch Messwerte nahe der
Außengrenzen des Einheitsquadrates vor. Es sollten also vor allem Bereiche na-
he und fern der Winkelhalbierenden betrachtet werden. Damit ergeben sich zwei
Grenzwerte, um die Messungen in die drei Klassen ”nah“, ”mittel“ und ”fern“ ein-
zuteilen. Mo¨gliche Einteilungen waren das 13 - und das 23 -Quantil der Verteilung von r
66
in Abha¨ngigkeit von e zu wa¨hlen oder die beschriebene Quartilseinteilung. Die Ent-
scheidung zugunsten der Quartile ergab sich aus der einfachen Modellierbarkeit der
Datenpunkte unter H0 mit Hilfe einer Binomialverteilung. Spa¨tere Untersuchungen
besta¨tigen diese Entscheidung auch inhaltlich. Die so entstehende Karte zeigt ein
ada¨quates Gu¨teverhalten.
6.2 Konstruktion der Grenzwerte lcl und ucl
6.2.1 Herleitung der beno¨tigten Wahrscheinlichkeiten
Der Prozess unter Kontrolle folge einer bestimmten Copulastruktur. Gegeben sei
der Zufallsvektor U := (U1, U2) mit gleichverteilten Eintra¨gen auf dem Intervall
[0, 1] (Uk ∼ ●[0, 1], k = 1, 2) sowie die transformierten Punkte e und r nach den
Formeln (6.1) und (6.2).
Es bezeichne (u1, u2) eine (beliebige) Realisation von (U1, U2) mit r = r(u1, u2)
und e = e(u1, u2). Durch die Beschra¨nkung auf achsensymmetrische Copulamodelle
a¨ndert eine Vertauschung von u1 und u2 die Werte von (r, e) nicht, daher gelte ohne
Beschra¨nkung der Allgemeinheit u1 ≥ u2.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(r ≤ r∗|e∗1 ≤ e ≤ e∗2) wird mit zuna¨chst belie-
bigen, aber festen Punkten r∗ ∈ [0, 1√
2
] und e∗1, e∗2 ∈ [0,
√
2], verwendet. Dieser Wert
wird mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit
P(e∗1 ≤ e ≤ e∗2) = P(e ≤ e∗2)− P(e ≤ e∗1) (6.5)
ermittelt. Außerdem wird die Wahrscheinlichkeit dafu¨r beno¨tigt, dass e sich inner-
halb eines Intervalls e∗1 und e∗2 realisiert, also P(r ≤ r∗, e∗1 ≤ e ≤ e∗2). Dieses Intervall
wird in Grafik 6.6 (links) verdeutlicht.
Es gilt
P(r ≤ r∗, e∗1 ≤ e ≤ e∗2) = P(r ≤ r∗, e ≤ e∗2)− P(r ≤ r∗, e ≤ e∗1). (6.6)
67
Die Wahrscheinlichkeit P(r ≤ r∗, e ≤ e∗)
Das Dreieck B enthalte alle Punkte (v1, v2) ∈ [0, 1]2 innerhalb einer Fla¨che mit den
Eckpunkten {(0, u1−u2), (0, u1+u2), (u1, u2)}, wie die rechte Grafik aus Abbildung
6.6 zeigt. Dann ist
P(r ≤ r∗, e ≤ e∗) = P(e ≤ e∗)− 2 P(B). (6.7)
Abbildung 6.6: Veranschaulichung von P(r ≤ r∗, e∗1 ≤ e ≤ e∗2) (links) und des Dreiecks B
zur Berechnung von P(r ≤ r∗, e ≤ e∗) (rechts)
Fu¨r die Wahrscheinlichkeit P(e ≤ e∗) gilt unter Verwendung von c(τ1, τ2) als Dichte
der Copula an der Stelle (τ1, τ2):
P(e ≤ e∗) = P
(u1 + u2√
2
≤ e∗)
)
=
∫ ∫
τ1+τ2≤
√
2e∗
c(τ1, τ2)dτ1dτ2
Dabei liegt
√
2e∗ im Intervall [0, 2]. Rechnet man ab der Ha¨lfte des Intervalls (das
entspricht der Mitte der Winkelhalbierenden) mit der Gegenwahrscheinlichkeit, so
gilt
68
P(u1 + u2 ≤
√
2e∗) =



















0 falls
√
2e∗ < 0
∫
√
2e∗
0
∫
√
2e∗−τ2
0 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 falls 0 ≤ e∗ < 1√2
1−
∫ 1√
2e∗−1
∫ 1√
2e∗−τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 falls
1√
2
≤ e∗ <
√
2
1 falls e∗ ≥
√
2
Daraus folgt mit dem Zusammenhang
√
2e∗ = u1 + u2:
P(e ≤ e∗) =



















0 falls e∗ < 0
∫ u1+u2
0
∫ u1+u2−τ2
0 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 falls 0 ≤ e∗ < 1√2
1−
∫ 1
u1+u2−1
∫ 1
u1+u2−τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 falls
1√
2
≤ e∗ <
√
2
1 falls e∗ ≥
√
2
Und fu¨r die Dreiecksfla¨che B gilt:
P(B) =

















































0 falls e∗ ≤ 0 oder r∗ ≤ 0 oder e∗ ≤ r∗
∫ u2
0
∫ u1+u2−τ2
u1−u2+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
falls 0 ≤ e∗ 1√
2
, 0 ≤ r∗ ≤ e∗, e∗ + r∗ <
√
2
∫ u1+u2−1
0
∫ 1
u1−u2+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
+
∫ u2
u1+u2−1
∫ u1+u2−τ2
u1−u2+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
falls 1√
2
≤ e∗ <
√
2, 0 ≤ r∗ ≤ e∗, e∗ + r∗ <
√
2
∫ 1−u1+u2
0
∫ 1
u1−u2+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
falls e∗ > 0, 0 ≤ r∗ ≤ e∗, e∗ + r∗ ≥
√
2
Diese vier Mo¨glichkeiten fu¨r P(B) sind durch geometrische U¨berlegungen gut er-
kla¨rbar, wie Abbildung 6.7 zeigt.
Im ersten Fall liegt der Punkt (u1, u2) auf der linken oder unteren Grenze des
Einheitsquadrates oder sogar schon links außerhalb oder darunter. Damit ist B leer
69
und P(B) = 0.
Bei der zweiten Variante liegt (u1, u2) im Einheitsquadrat unterhalb der Linie
u1 + u2 = 1, also der Lotrechten zur Winkelhalbierenden durch die obere linke und
die untere rechte Ecke des Einheitsquadrates.
Als dritte Mo¨glichkeit kann sich der Punkt oberhalb dieser Linie, aber innerhalb
des Quadrates realisieren. Durch die Beschra¨nkung des Einheitsquadrates wird die
interessierende Fla¨che B viereckig. Daher wird zuna¨chst der Streifen bis zum a¨ußeren
Rand des I2 berechnet (erster Summand - in der Grafik ”B1“) und anschließend das
fehlende Dreieck (zweiter Summand - in der Grafik ”B2“).
Zuletzt wird die Mo¨glichkeit betrachtet, dass der Punkt (u1, u2) rechts außerhalb
oder auf der oberen Grenze des Einheitsquadrates liegt, B allerdings trotzdem Punk-
te innerhalb des Einheitsquadrates entha¨lt (angeschnittene Ecken). Hier muss (wie
bei Fall 3) die Beschra¨nkung des Einheitsquadrates bei den Grenzen beru¨cksichtigt
werden.
Abbildung 6.7: Veranschaulichung der verschiedenen Mo¨glichkeiten fu¨r P(B)
70
Die Wahrscheinlichkeiten P(e ≤ e∗) und P(B) ko¨nnen durch Zusatzinformationen
vereinfacht werden. Die Zufallsvariable (U1, U2) hat laut Konstruktionsvorschrift
(siehe Abschnitt 6.1.2, Schritt 1) nur Realisierungen innerhalb oder auf den Grenzen
des Einheitsquadrates. Weiterhin sei gefordert, dass die untere Intervallgrenze e∗1
kleiner als die obere e∗2 ist, also dass 0 ≤ e∗1 < e∗2 ≤
√
2. Weiter gilt:
r∗ ≤













e∗1 falls e∗2 ≤ 1√2
min(e∗1, 1− e∗2) falls e∗1 ≤ 1√2 und e
∗
2 ≥ 1√2
1− e∗2 falls e∗1 ≥ 1√2
Hieraus folgt
P(e ≤ e∗) =











∫ u1+u2
0
∫ u1+u2−τ2
0 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 falls 0 ≤ e∗ < 1√2
1−
∫ 1
u1+u2−1
∫ 1
u1+u2−τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 falls
1√
2
≤ e∗ <
√
2
1 falls e∗ =
√
2
(6.8)
und
P(B) =



















∫ u2
0
∫ u1+u2−τ2
u1−u2+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 falls 0 ≤ e
∗ < 1√
2
∫ u1+u2−1
0
∫ 1
u1−u2+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
+
∫ u2
u1+u2−1
∫ u1+u2−τ2
u1−u2+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 falls
1√
2
≤ e∗ <
√
2
0 falls e∗ =
√
2
(6.9)
Die Punkte (u1, u2) und (u3, u4) seien Eckpunkte des interessierenden Quadrates.
Beide Punkte ha¨ngen von e∗1 und e∗2 sowie von r∗ ab, wie Abbildung 6.8 zeigt.
Dann liefert die Anwendung der Formeln (6.8), (6.9) und (6.7) auf Gleichung (6.6)
die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(r ≤ r∗, e∗1 ≤ e ≤ e∗2). Eine Aufstellung fu¨r die
verschiedenen Mo¨glichkeiten der Grenzen e∗1 und e∗2 zeigt Anhang A.1.1. Betrachtet
71
werden die folgenden Fa¨lle:
• e∗2 < 1√2
• e∗1 < 1√2 und
1√
2
≤ e∗2 <
√
2
• 1√
2
≤ e∗1 < e∗2 <
√
2
• 1√
2
≤ e∗1 <
√
2 und e∗2 =
√
2
Abbildung 6.8: Skizze der Punkte (u1, u2) und (u3, u4)
Auch der Fall e∗1 ≤ 1√2 und e
∗
2 =
√
2 wa¨re denkbar, da er fu¨r die Konstruktion der
Grenzwerte aber nicht verwendet wird, ist er nicht aufgefu¨hrt.
Die Wahrscheinlichkeit P(e∗1 ≤ e ≤ e∗2)
Die Wahrscheinlichkeit P(e∗1 ≤ e ≤ e∗2) ergibt sich durch Einsetzen von Formel (6.8)
in Gleichung (6.5). Die mo¨glichen Auspra¨gungen sind im Anhang A.1.2 zu finden.
Die Wahrscheinlichkeit P(r ≤ r∗|e∗1 ≤ e ≤ e∗2)
Die bedingte Wahrscheinlichkeit
P(r ≤ r∗|e∗1 ≤ e ≤ e∗2) =
P(r ≤ r∗, e∗1 ≤ e ≤ e∗2)
P(e∗1 ≤ e ≤ e∗2)
ergibt sich als Quotient der Formeln aus dem Anhang A.1.1 und A.1.2.
72
Alternativ bewirkt das Einsetzen von Formel (6.7) in (6.6) die Gleichung
P(r ≤ r∗, e∗1 ≤ e ≤ e∗2) = P(e ≤ e∗2)− 2 P(B2)− [P(e ≤ e∗1)− 2 P(B1)],
wobei B1 das zu e∗1 geho¨rige Dreieck bezeichnet und B2 das zu e∗2 geho¨rende. Der
obige Ausdruck dividiert durch [P(e ≤ e∗2)− P(e ≤ e∗1)] (siehe Formel (6.5)) ergibt
die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit. Damit gilt:
P(r ≤ r∗|e∗1 ≤ e ≤ e∗2) = 1−
2P(B2)− 2P(B1)
P(e ≤ e∗2)− P(e ≤ e∗1)
(6.10)
Die entsprechende Fallunterscheidung ist im Anhang A.1.3 angegeben.
6.2.2 Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsba¨nder
Als Grenzwerte (lcl(e), ucl(e)) werden die Quartile der Statistik r in Abha¨ngigkeit
von e genutzt. Wie die Einzelwahrscheinlichkeiten aus Abschnitt 6.2.1 ha¨ngen auch
die Grenzen von der unterstellten Copulastruktur der Daten ab . Je nach Copula
sind die Grenzwerte geschlossen darstellbar oder mu¨ssen numerisch berechnet wer-
den. Allgemein sind folgende Gleichungen zu erfu¨llen:
lcl = argmax (P(r ≤ r∗|e∗1 ≤ e < e∗2) = 0.25)
r∗
ucl = argmax (P(r ≤ r∗|e∗1 ≤ e < e∗2) = 0.75)
r∗
(6.11)
In der Anwendung werden die Grenzen so bestimmt, dass die Winkelhalbierende des
Einheitsquadrates zuna¨chst in gleichma¨ßige Abschnitte der La¨nge 2ε eingeteilt wird.
Formel (6.11) wird dann auf alle Intervalle angewendet. Insgesamt gibt es K :=
√
2
(2ε)
Intervalle mit den Grenzen (e∗1 = 2kε, e∗2 = 2(k + 1)ε).
Damit stehen fu¨r alle Wertepaare (ri, ei), i = 1, . . . , n, einer Stichprobe Referenz-
werte zur Verfu¨gung, indem ei in das ⌊ ei2ε+1⌋-te Intervall eingeordnet wird, wobei ⌊.⌋
fu¨r die Abrundungsfunktion oder Gaußklammer steht, also die na¨chstkleinere
ganze Zahl des innenliegenden Wertes verwendet wird. Die Grenzwerte lcl(ei) und
ucl(ei) ko¨nnen dann entsprechend Formel (6.3) mit ri verglichen werden.
73
6.2.3 Beispiel Produktcopula
Die Produktcopula bildet unabha¨ngige Daten ab (siehe Abschnitt 3.4). Mit der For-
mel (3.1) ergibt sich die Dichte c(u1, u2) = 1.
Die fu¨r Gleichung (6.10) no¨tigen Wahrscheinlichkeiten P(B1), P(B2), P(e ≤ e∗1)
und P(e ≤ e∗2) ergeben sich mit Hilfe der Formeln (6.8) und (6.9) fu¨r p = 1, 2 als
P(e ≤ e∗p) =











0.5(u1 + u2)2 falls 0 ≤ e∗p < 1√2
−1 + 2(u1 + u2)− 0.5(u1 + u2)2 falls 1√2 ≤ e
∗
p <
√
2
1 falls e∗p =
√
2
und
P(Bp) =











u22 falls 0 ≤ e∗p < 1√2
u22 − 0.5(u1 + u2 − 1)2 falls 1√2 ≤ e
∗
p <
√
2
0 falls e∗p =
√
2
Eine schrittweise Herleitung der Gleichungen ist im Anhang A.1.4 aufgelistet.
Einfu¨gen der obigen Wahrscheinlichkeiten in Formel (6.10) ergibt
P(r ≤ r∗|e∗1 ≤ e ≤ e∗2) =































1− 4(u
2
4−u22)
(u3+u4)2−(u1+u2)2 falls 0 ≤ e
∗
1 < e∗2 < 1√2
1− 2u
2
4−2u22−(u3+u4−1)2
−1+2(u3+u4)−0.5(u3+u4)2−0.5(u1+u2)2 falls 0 ≤ e
∗
1 < 1√2
und 1√
2
≤ e∗2 <
√
2
1− 2u
2
4−2u22−(u3+u4−1)2+(u1+u2−1)2
0.5(u1+u2)2−0.5(u3+u4)2+2[(u3+u4)−(u1+u2)] falls
1√
2
≤ e∗1 < e∗2 <
√
2
1− −2u
2
2+(u1+u2−1)2
2+0.5(u1+u2)2−2(u1+u2) falls
1√
2
≤ e∗1 <
√
2
und e∗2 =
√
2
Die Produktcopula verbindet unabha¨ngige Zufallsvariablen und kommt daher ohne
zusa¨tzlichen Parameter zur Abbildung von Abha¨ngigkeiten aus. Die Grenzwerte sind
somit fu¨r alle τ identisch und symmetrisch um 1√
2
.
74
Auf Basis der hergeleiteten Wahrscheinlichkeiten werden die Grenzen lcl und ucl
nach Formel (6.10) numerisch bestimmt. Die Intervallla¨nge 2ǫ betrage dabei 0.005.
Kleinere Distanzen liefern genauere Ergebnisse. Dies ist vor allem in der Region
e = 1√
2
interessant.
Durch die Unabha¨ngigkeit der Daten bei der Produktcopula gilt hier
lcl =





1
4e fu¨r e ≤ 1√2
√
2
4 − 14e fu¨r 1√2 ≤ e ≤
√
2
und
ucl =





3
4e fu¨r e ≤ 1√2
3
√
2
4 − 34e fu¨r 1√2 ≤ e ≤
√
2.
Dabei handelt es sich um Umrisse von Dreiecken, die 14 beziehungsweise 34 der gesam-
ten Fla¨che (ein Dreieck mit den Eckpunkten (0, 0), ( 1√
2
, 1√
2
) und (
√
2, 0)) erfassen,
in denen sich die Werte realisieren ko¨nnen. Die Grenzen sind in Abbildung 6.9 dar-
gestellt.
0.0 0.4 0.8 1.2
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
numerisch ermittelte Grenzen
e
r
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
r
ucl
lcl
0.0 0.4 0.8 1.2
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
theoretische Grenzen
e
r
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
r
ucl
lcl
Abbildung 6.9: Kontrollgrenzen beim Verwenden einer Produktcopula
Eine analoge Herleitung der Grenzwerte fu¨r die Clayton- oder Gumbelcopula ist
nach dieser Herangehensweise nicht mo¨glich, da die Integrale u¨ber beide Copula-
dichten nicht geschlossen darstellbar sind.
75
6.3 Effizienz der Kontrollkarte
Das Verhalten der Kontrollkarte mit der in Kapitel 6.1 beschriebenen Testroutine
wird durch Simulationsstudien gepru¨ft. Die Simulationsstudie behandelt eine Karte
mit der Anfangsannahme, dass der Prozess unter Kontrolle und die H0-Verteilung
bekannt ist. Der Prozess wird in Echtzeit, also ”online“, u¨berwacht. Die Außer-
Kontrolle-Situationen werden durch Verlagerungen des Copulaparameters ausge-
dru¨ckt. Diese Verschiebungen werden durch Kendalls τ quantifiziert.
Die Kontrollgrenzen werden anhand der unterstellten Prozessverteilung festge-
legt, unter H0 also eine bestimmte archimedische Copula. Die Grenzwerte fu¨r un-
abha¨ngige Daten (τ = 0) sind fu¨r alle Copulas identisch (siehe Beispiel 6.2.3). Eine
U¨berwachung der (nicht vorhandenen) Abha¨ngigkeitsstruktur ist in diesem Fall nicht
sinnvoll.
Es werden zuna¨chst die Kontrollgrenzen lcl und ucl sowie LCL und UCL herge-
leitet, dann zufa¨llig Stichproben verschiedener Prozesssituationen erzeugt und die
daraus resultierenden Laufla¨ngen zur Gu¨tebeurteilung des Tests herangezogen. In
Kapitel 4.3 wird die ARL als mittlere Laufla¨nge des Prozesses definiert. Das Ver-
halten der ARL-Funktion sowie der Verlauf der zugeho¨rigen Standardabweichung
SDRL wird in diesem Kapitel durch Monte-Carlo-Simulationen ermittelt. Zusa¨tzlich
wird auch die OC-Funktion angegeben. Diese wurde aus den ARL-Werten berechnet
(siehe Abschnitt 4.4).
6.3.1 Berechnung von lcl und ucl
Die Kontrollgrenzen lcl(e) und ucl(e) werden durch Integration aus der Dichtefunk-
tion der zugrunde gelegten Copula bestimmt. Dazu werden die in Kapitel 6.2 herge-
leiteten Formeln genutzt. Der Wertebereich E von e wurde dazu in 148 Abschnitte
unterschiedlicher La¨nge eingeteilt, die zur Mitte ( 1√
2
) kleiner wurden.
Abbildung 6.10 zeigt die entsprechenden Grenzwerte fu¨r r unter H0 fu¨r eine Clay-
toncopula mit bekanntem Parameter (oben) und fu¨r eine festgelegte Gumbelcopula
(unten). Diese Grenzen gelten unter der Nullhypothese, dass die untersuchte neue
Stichprobe aus der erwarteten Verteilung stammt.
Die Grenzwerte zeigen dabei eine Struktur, die sich entsprechend der Copula er-
76
kla¨ren la¨sst. Ein Vergleich der Grenzwerte mit der Dichtestruktur aus Abbildung
3.1 zeigt einen deutlichen Zusammenhang beider Maße. Das ist durch die alterna-
tive Darstellungsmo¨glichkeit der Grenzwerte als Integrale aus der Dichtefunktion
erkla¨rbar, siehe Formel (6.11).
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
lcl Claytoncopula
e
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
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4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
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0
0.
1
0.
2
0.
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0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
τ = 0.1
τ = 0.2
τ = 0.3
τ = 0.4
τ = 0.5
τ = 0.6
τ = 0.7
τ = 0.8
τ = 0.9
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
ucl Claytoncopula
e
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
lcl Gumbelcopula
e
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
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4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
ucl Gumbelcopula
e
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
Abbildung 6.10: Kontrollgrenzen bei Unterstellung einer festgelegten Copulastruktur fu¨r
verschiedene τ
Bei den Grenzen handelt es sich um Quantilsfunktionen - in dem vorliegenden
Fall werden das erste und das dritte Quartil betrachtet. Eine allgemeinere U¨bersicht
u¨ber die Quantile von r, abha¨ngig von e fu¨r feste τ liefert Kapitel 6.6. Bei einer
77
Claytoncopula konzentriert sich die Datenmasse im unteren linken Bereich des Ein-
heitsquadrates, die Grenzwerte sind hier dementsprechend linksschief beziehungs-
weise rechtssteil. Bei den Gumbelcopulas konzentriert sich die Datenmasse eher im
oberen rechten Quadranten, die Grenzwerte weisen analog eine linkssteile, rechts-
schiefe Struktur auf. Die Graphen der Grenzwerte zeigen einen a¨hnlichen Verlauf.
Das la¨sst vermuten, dass eine Approximation der Grenzen durch stetige Funktionen
mo¨glich ist. Diese Anpassung und eine Untersuchung, inwieweit die Verwendung an-
gena¨herter Grenzwerte die Qualita¨t der Regelkarten beeinflusst, erfolgt in Abschnitt
6.3.3.
6.3.2 Ergebnisse der Laufla¨ngensimulation
Die entwickelten Kontrollkarten nutzen die im letzten Abschnitt hergeleiteten Gren-
zen in Kombination mit der Teststatistik Ri aus Abschnitt 6.1. Die Laufla¨ngen
werden durch Monte-Carlo-Simulationen auf Basis von Zufallsstichproben aus ver-
schiedenen Prozesssituationen ermittelt. Neben den ARL- und SDRL-Werten wird
die OC-Funktion zur Gu¨tebeurteilung des Tests herangezogen.
Fu¨r kontrollierte Prozesse (τ = τ0) ergeben sich Werte fu¨r die ARL entsprechend
der Quantile der Binomialverteilung, abha¨ngig von der gewa¨hlten Stichprobengro¨ße.
Nachfolgend werden verschiedene Prozesssituationen fu¨r die im letzten Abschnitt
festgelegten Regeln betrachtet (unter Kontrolle oder außer Kontrolle). Die verschie-
denen Prozesszusta¨nde werden durch Variieren des Copulaparameters beziehungs-
weise des zugeho¨rigen τ erzeugt. Ein Intervall von [τ0− 0.1, τ0 +0.1] erweist sich als
ausreichend, um Abweichungen von der In-Kontrolle-Situation nachzuweisen.
Abweichungen des wahren τ von τ0 werden in 0.02-er Schritten betrachtet, τ0
wurde in 0.1-er Absta¨nden im Bereich von τ0 = 0.1 bis τ0 = 0.9 gewa¨hlt.
Ingesamt wurden N = 20.000 Simulationsla¨ufe durchgefu¨hrt, also 20.000 Lauf-
la¨ngen simuliert, die auf Einzelstichproben von je n = 30 beru¨cksichtigten Mess-
punkten basieren. Diese Zahlen ergaben sich durch Vorabuntersuchungen als Kom-
promiss zwischen Rechenzeit und Streuung der Ergebnisse. Vor allem die Erzeugung
der Zufallszahlen auf Basis von Copulas erwies sich dabei als rechenaufwendig.
Fu¨r alle Stichprobenpunkte wurde zuna¨chst die Teststatistik Ri, i = 1, . . . , 30,
mit Hilfe der Grenzen lcl und ucl aus Abschnitt 6.3.1 berechnet. Die kumulierten
Ri entsprechen der in Gleichung (6.4) beschriebenen Teststatistik Rn. Zu einem
78
Signifikanzniveau α ≈ 0.02734 ergibt sich als untere Grenze von Rn LCL= 22 und
als obere Grenze UCL= 38 (siehe Abschnitt 6.1.2, Schritt 2). Daraus resultiert eine
In-Kontrolle-ARL von etwa 36.58. Das unu¨bliche Signifikanzniveau α erkla¨rt sich
aus der Vorgabe, das na¨chstmo¨gliche Niveau α ≤ 0.05 zu wa¨hlen, fu¨r das (nach
Konstruktion des Tests notwendigerweise ganzzahlige) Grenzwerte existieren.
Abbildung 6.11 zeigt die Ergebnisse der Simulation unter Annahme einer Clay-
toncopulastruktur in den Daten, einige Datenpunkte sind zusa¨tzlich in Tabelle B.2
in Anhang B aufgelistet.
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0
10
20
30
ARL
Abweichung von τ
AR
L
0
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20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0
10
20
30
SDRL
Abweichung von τ
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
OC−Funktion
Abweichung von τ
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
τ = 0.1
τ = 0.2
τ = 0.3
τ = 0.4
τ = 0.5
τ = 0.6
τ = 0.7
τ = 0.8
τ = 0.9
Abbildung 6.11: Simulationsergebnisse zur Laufla¨nge bei Unterstellung einer Claytoncopu-
lastruktur mit verschiedenen Kendalls τ
Die Resultate fu¨r die Gumbelcopula zeigen Abbildung 6.12 und Tabelle B.3 (An-
hang B).
Die Simulation verdeutlicht, dass der Test fu¨r die untersuchte Fragestellung geeig-
net ist. Fu¨r beide Abha¨ngigkeitsstrukturen erreicht die ARL-Funktion ihr Maximum
- etwa entsprechend der theoretisch erwarteten ARL - unter der Nullhypothese, also
bei U¨bereinstimmung von τ und τ0. Dieser ARL-Wert wird fu¨r alle betrachteten
Fa¨lle von τ0 = 0.1 bis τ0 = 0.9 erreicht.
Mit wachsendem Abstand vom wahren τ -Wert des Prozesses zu dem τ0 unter
Kontrolle verringert sich die ARL. Je deutlicher man also in den Bereich der Al-
ternativhypothese kommt, umso fru¨her erkennt der Test, dass die Sollwerte nicht
eingehalten wurden.
79
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0
10
20
30
ARL
Abweichung von τ
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0
5
10
15
20
25
30
35
SDRL
Abweichung von τ
SD
RL
0
5
10
15
20
25
30
35
SD
RL
0
5
10
15
20
25
30
35
SD
RL
0
5
10
15
20
25
30
35
SD
RL
0
5
10
15
20
25
30
35
SD
RL
0
5
10
15
20
25
30
35
SD
RL
0
5
10
15
20
25
30
35
SD
RL
0
5
10
15
20
25
30
35
SD
RL
0
5
10
15
20
25
30
35
SD
RL
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
OC
Abweichung von τ
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
τ = 0.1
τ = 0.2
τ = 0.3
τ = 0.4
τ = 0.5
τ = 0.6
τ = 0.7
τ = 0.8
τ = 0.9
Abbildung 6.12: Simulationsergebnisse zur Laufla¨nge bei Unterstellung einer Gumbelcopula
mit verschiedenen Kendalls τ
Die Kontrollkarte erkennt sowohl eine Versta¨rkung als auch eine Abschwa¨chung
des Zusammenhangs der Datenpunkte. Kendalls τ ist nichtsymmetrisch, siehe auch
Abbildung 3.2. Es gilt mit steigenden Abha¨ngigkeiten zwischen den Variablen, dass
fu¨r gleichbleibende Zuwa¨chse der τ -Werte kleinere Zuwa¨chse der ρ denselben Zu-
sammenhang widerspiegeln. Das heißt, eine Erho¨hung von τ um einen festen Wert
bewirkt ein geringeres Wachstum von ρ als eine Erniedrigung von τ um denselben
Wert. Dies ko¨nnte erkla¨ren, warum die ARL und die SDRL einen Bogen hin zu den
gro¨ßeren τ -Werten (verzo¨gertes Absinken der Werte rechts) zeigen. Dass die ARL
mit wachsendem τ0 trotzdem so schnell sinkt, spricht fu¨r die Qualita¨t der Teststa-
tistik. Die SDRL zeigt keine Auffa¨lligkeit; sie erscheint in sich konsistent und zur
jeweiligen ARL passend. Die Karte ist damit also offenbar geeignet, die Struktur-
konstanz der Daten zu u¨berwachen.
Obwohl die ARL bei der Claytoncopula rechts von τ0 zuna¨chst schwa¨cher fa¨llt,
sind die ARL fu¨r τ0 + 0.1 durchweg geringer als fu¨r τ0 − 0.1: Ansteigende Zusam-
menha¨nge werden also - nach einer kurzen U¨bergangszeit - schneller erkannt als ein
abschwa¨chender Zusammenhang zwischen Merkmalen. In der Praxis du¨rfte dieser
Fall auch der interessantere sein, da beispielsweise in der Finanzo¨konometrie ein
versta¨rkter Zusammenhang zwischen Aktienrenditen auf Krisen hinweisen kann.
Fu¨r die Gumbelcopula zeigen die Simulationen a¨hnliche Resultate, Abweichungen
in der Zusammenhangsstruktur werden sicher erkannt und auch hier sinken die ARL
80
und die SDRL schneller mit wachsendem Zusammenhang zwischen den Datenpunk-
ten. Dabei ist ein schnelleres Absinken links von τ0 als rechts davon zu erkennen,
die SDRL zeigt also dieselbe Tendenz wie die ARL. Auch die Beobachtung ist durch
die unsymmetrischen τ erkla¨rbar.
Die OC-Funktion liefert weitere Hinweise zur Gu¨te der Karte: Je steiler sie abfa¨llt,
desto besser ist die zugrundeliegende Kontrollkarte. Auffa¨llig sind die durchga¨ngig
relativ hohen OC-Werte fu¨r Merkmale, die nur einen schwachen Zusammenhang
haben. Fu¨r kleine τ ist es relativ wahrscheinlich, den Prozess irrtu¨mlich als unter
Kontrolle anzusehen. Diese Wahrscheinlichkeit liegt fu¨r τ0 ≤ 0.4 bei 90%, wenn die
Abweichung ±0.1 betrachtet wird (siehe Tabelle B.2 und B.3). Ein direkter Vergleich
mit der ARL zeigt allerdings auch, dass die betrachteten Kontrollkarten fu¨r τ0 = 0.4
und einem wahren τ = 0.3 beziehungsweise τ = 0.5 schon dreimal so ha¨ufig ablehnen
wie fu¨r τ = 0.4.
Werden dagegen sta¨rker zusammenha¨ngende Daten betrachtet, so fa¨llt die OC-
Funktion relativ schnell.
Insgesamt zeigt die Simulationsstudie die Fa¨higkeit der Kontrollkarten, Daten
anhand ihrer Zusammenhangsstruktur zu u¨berwachen. Fu¨r den praktischen Ge-
brauch ist zu erwarten, dass hauptsa¨chlich Daten mit offensichtlichem Zusammen-
hang u¨berwacht werden, die also ein vergleichsweise großes Abha¨ngigkeitsmaß τ0
besitzen. Gerade fu¨r diese Fa¨lle ist die vorgestellte Kontrollkarte geeignet.
6.3.3 Approximation der Grenzwerte am Beispiel der Claytoncopula
Die verwendeten Integrale des Abschnitts 6.2.2 liefern die exakten Ergebnisse fu¨r
ucl(e) und lcl(e) in Abha¨ngigkeit von der zugrundeliegenen Copula. Eine Betrach-
tung dieser Grenzwerte la¨sst vermuten, dass sie durch Funktionen angena¨hert wer-
den ko¨nnen (siehe beispielsweise Abbildung 6.10). Wa¨hrend bei der Integration
stu¨ckweise Grenzwerte fu¨r Intervalle von E berechnet werden, bietet eine gute Ap-
proximation den Vorteil stetiger Grenzen - damit ist im besten Fall eine genauere
Einscha¨tzung der untersuchten Stichprobe mo¨glich. Ein weiterer Vorteil angepasster
Grenzwerte wa¨re die U¨bertragbarkeit auf Zwischenwerte des Zusammenhangsma-
ßes τ . So la¨gen in der praktischen Anwendung der Karte fu¨r beliebige τ direkt die
81
entsprechenden Grenzwerte vor.
Es werden Funktionen fu¨r die Clayton-Grenzen konstruiert, eine analoge U¨bertra-
gung des Vorgehens auf jede andere Copulastruktur ist problemlos mo¨glich.
Stu¨ckweise Anpassung mit Hilfe von Polynomen
Die Grenzwerte ko¨nnen nicht ausreichend gut durch nur eine stetige Funktion u¨ber
den gesamten Wertebereich von e approximiert werden. Eine Aufteilung in drei Teil-
abschnitte liefert die besten Resultate.
Zur Bestimmung der Abschnitte wird das Maximum der lcl- beziehungsweise ucl-
Kurve betrachtet. In einem Intervall von ±0.05 um dieses Maximum wird eine Pa-
rabel angepasst, rechts und links davon Polynome dritten Grades.
Es wird somit zuna¨chst das e bestimmt, fu¨r das der Grenzwert cl = ucl oder
cl = lcl sein Maximum erreicht, also
emax := argmax
e
cl(τ).
Sowohl max cl(τ) als auch das dazugeho¨rige emax ha¨ngen nach Konstruktion vom
Zusammenhang der urspru¨nglich betrachteten Variablen ab. Die gesuchten Werte
lassen sich mit Hilfe der Formeln
emax = 0.5326801 + 0.7549989τ + 0.0011910τ2 fu¨r die lcl
emax = 0.5161385 + 0.7474091τ + 0.0014055τ2 fu¨r die ucl
anna¨hern. Die Gu¨te der Anna¨herung betra¨gt fu¨r die lcl-Funktion etwa 0.94 und fu¨r
die ucl-Funktion rund 0.92.
Anschließend werden die Grenzwerte cl in drei Abschnitten angepasst:
r =











a) βa,1e+ βa,2e2 + βa,3e3 fu¨r e < argmax
e
cl(τ)− 0.05
b) βb,0 + βb,1e+ βb,2e2 sonst
c) βc,0 + βc,1e+ βc,2e2 + βc,3e3 fu¨r e > argmax
e
cl(τ) + 0.05
Tabelle 6.1 beinhaltet die Modellparameter fu¨r ausgewa¨hlte τ fu¨r den Fall cl = lcl,
Abbildung 6.13 zeigt die Approximation der Grenzen mit Hilfe der Funktionen a)
82
bis c) und den Parametern aus Tabelle 6.1. Die Anpassungsgu¨te ist dabei sehr hoch,
sie liegt fu¨r alle betrachteten Fa¨lle u¨ber 0.98.
Abschnitt a) Abschnitt b) Abschnitt c)
τ emax βa,1 βa,2 βa,3 βb,0 βb,1 βb,2 βc,0 βc,1 βc,2 βc,3
0.1 0.61 0.25 -0.07 0.03 -0.99 3.14 -2.16 0.03 0.58 -0.71 0.20
0.2 0.68 0.22 -0.06 0.01 -0.59 1.93 -1.29 -0.19 1.08 -1.09 0.30
0.3 0.76 0.18 -0.03 -0.01 -0.28 0.99 -0.63 -0.38 1.48 -1.37 0.36
0.4 0.83 0.14 0.00 -0.03 -0.20 0.69 -0.41 -0.59 1.90 -1.65 0.43
0.5 0.91 0.10 0.03 -0.04 -0.20 0.61 -0.33 -1.04 2.87 -2.36 0.60
0.6 0.99 0.07 0.02 -0.02 -0.19 0.52 -0.27 -1.47 3.75 -2.96 0.74
0.7 1.06 0.05 0.01 -0.01 -0.25 0.57 -0.27 -3.19 7.59 -5.82 1.45
0.8 1.14 0.03 0.00 0.00 -0.19 0.39 -0.17 -4.64 10.57 -7.87 1.92
0.9 1.21 0.01 0.00 0.00 -0.16 0.29 -0.12 -16.08 35.46 -25.94 6.30
Tabelle 6.1: Parameterscha¨tzer und emax fu¨r verschiedene Zusammenhangsmaße τ bei Un-
terstellung einer Claytoncopula fu¨r die untere Kontrollgrenze lcl
0.0 0.4 0.8 1.2
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
lcl
e
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
τ = 0.1
τ = 0.2
τ = 0.3
τ = 0.4
τ = 0.5
τ = 0.6
τ = 0.7
τ = 0.8
τ = 0.9
0.0 0.4 0.8 1.2
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
ucl
e
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
Abbildung 6.13: Approximierte Kontrollgrenzen (gestrichelt) verglichen mit den wahren
Kontrollgrenzen (grau, durchgehend)
Die Parameterscha¨tzer aus Tabelle 6.1 gelten fu¨r die aufgefu¨hrten τ . In einem zwei-
ten Schritt soll eine Verallgemeinerung der Formeln auf τ -Zwischenwerte gefunden
werden. Es zeigt sich, dass fu¨r die Parameterscha¨tzer kein funktionaler Zusammen-
hang in Abha¨ngigkeit von τ existiert, der ausreichend gute Resultate liefert. Die
kleinen Abweichungen in den β-Werten fu¨hren relativ schnell zu Abweichungen in
der Anpassung. Dadurch werden die Funktionen als Grenzwerte zu ungenau. Fu¨r
83
gute Approximationen sollten demzufolge zuna¨chst einige Grenzwerte fu¨r das inte-
ressierende τ simuliert und dann die Modelle entsprechend der gezeigten Formeln
angepasst werden.
Anpassung mit Hilfe von Splines
Die Anpassung durch Polynome aus dem vorherigen Abschnitt hat den großen Nach-
teil, dass zwischen den stu¨ckweise angepassten Funktionen in der Regel Sprungstellen
auftreten.
Eine Alternative bietet die Anpassung durch Splines. Ein kubischer Spline ist eine
Funktion, die stu¨ckweise aus Polynomen maximal dritten Grades zusammengesetzt
ist. Stellen, an denen zwei Polynomstu¨cke zusammenstoßen (”Knoten“), mu¨ssen be-
stimmte Bedingungen erfu¨llen, etwa dass der Spline zweimal stetig differenzierbar
ist. Durch diese Forderung entsteht eine glatte Kurve ohne Sprungstellen.
Fu¨r die vorliegenden Daten zeigt sich, dass im Intervall [0,
√
2] mindestens 12
Knoten no¨tig sind, um die lcl- und ucl-Daten gut anzuna¨hern. Pro Grenzfunktion
werden also mindestens 11 Polynome betrachtet. Verglichen mit den 4 Knoten und
3 Polynomen des letzten Abschnittes ist dieser Wert zu hoch. Die große Diskrepanz
in der Anzahl beno¨tigter Teilstu¨cke ist durch die Forderung der zweifachen stetigen
Differenzierbarkeit erkla¨rbar.
Die Verallgemeinerung der Funktionen auf Zwischenwerte von τ beziehungsweise
die Darstellung in Abha¨ngigkeit von τ gelingt hier nicht.
Fazit
Die gefundenen Approximationen der Grenzwerte scheinen beide fu¨r die Praxis
nicht geeignet. Die exakte Berechnung der Grenzwerte fu¨r festes τ stellt einen
u¨berschaubaren Aufwand dar. Außerdem entfallen bei der Verwendung genauer Wer-
te mo¨gliche Rundungsnachteile. Daher wird dieser Ansatz nicht weiter verfolgt und
nachfolgend die Integraldarstellung der Grenzfunktionen verwendet.
84
6.4 Vergleich mit Steigers Z-Test
Im Folgenden wird die Gu¨te der vorgestellten Kontrollkarte mit Steigers Z-Test
aus Abschnitt 4.6 verglichen. Dieser setzt anna¨hernd bivariat normalverteilte Daten
voraus.
Wie mehrfach erwa¨hnt, ist der Schluss von univariat normalverteilten Daten auf ei-
ne bivariate Normalverteilung als gemeinsame Verteilung ein ha¨ufiger Fehler. Daher
soll das Verhalten der Laufla¨nge fu¨r den Fall untersucht werden, dass eine auf Stei-
gers Z-Test basierende Kontrollkarte irrtu¨mlich auf Copuladaten angewandt wird.
Grafik 6.14 zeigt die Simulationsergebnisse fu¨r Datenpunkte einer Claytoncopula
unter Nutzung verschiedener Abha¨ngigkeitssta¨rken der Datenpunkte. Die Steiger-
Grenzen wurden derart gewa¨hlt, dass die ARL unter Kontrolle das gleiche Niveau
wie die neu konstruierte Karte erreicht. Die ARL unter Kontrolle ist im Mittel 36.63
(α = 0.0273). Wie im vorherigen Kapitel wurde n = 30 und N = 20000 gewa¨hlt.
Die Kontrollkarte nach Steiger erweist sich als deutlich schlechter als die neu
entwickelte Karte. Schon fu¨r vergleichsweise kleine τ unterschreitet sie das ange-
strebte Niveau massiv. Das Maximum der ARL stimmt nicht mit dem gewa¨hlten τ0
u¨berein, sondern verschiebt sich immer weiter nach rechts. Dieses Verhalten ist durch
die Form der Claytoncopula erkla¨rbar, deren Datengewicht unsymmetrisch um den
Datenschwerpunkt verteilt ist, wohingegen normalverteilte Werte punktsymmetrisch
um den Datenursprung streuen.
Tabelle 6.2 und Abbildung 6.14 verdeutlichen noch einmal, dass der Steigertest
im Vergleich zur R-Karte versagt. Verglichen wurden nur mittlere Abha¨ngigkeiten
zwischen den betrachteten Merkmalen (τ = 0.3 bis τ = 0.7). Dadurch wird der
Effekt besonders deutlich.
τ = 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
ARL R-Karte 36.84 36.84 36.83 36.54 36.60
ARL Steigers Z-Test 23.67 21.86 18.91 13.76 8.13
Tabelle 6.2: ARL-Simulationsergebnisse bei Unterstellung einer Claytoncopulastruktur fu¨r
die R-Karte im Vergleich zu Steiger’s Z-Karte fu¨r verschiedene τ
85
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0
10
20
30
ARL: R−Karte
Abweichung von τ
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
−0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2
0
10
20
30
ARL: Z−Karte
Abweichung von τ
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
0
10
20
30
AR
L
τ = 0.3
τ = 0.4
τ = 0.5
τ = 0.6
τ = 0.7
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0
10
20
30
SDRL: R−Karte
Abweichung von τ
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
−0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2
0
10
20
30
SDRL: Z−Karte
Abweichung von τ
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
0
10
20
30
SD
RL
τ = 0.3
τ = 0.4
τ = 0.5
τ = 0.6
τ = 0.7
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
OC−Funktion: R−Karte
Abweichung von τ
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
τ = 0.3
τ = 0.4
τ = 0.5
τ = 0.6
τ = 0.7
−0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
OC−Funktion: Z−Karte
Abweichung von τ
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
O
C
Abbildung 6.14: Simulationsergebnisse zu ARL, SDRL und OC-Kurve bei Unterstellung ver-
schiedener Claytoncopulas zum Vergleich Steiger’s Z-Karte und derR-Karte
86
6.5 Anwendungen
6.5.1 Beispiel I: Aktienrenditen
Ein Beispiel zeigt die Anwendung der Karten aus Kapitel 6 auf Finanzmarktdaten.
Renditedaten werden miteinander verglichen und in Beziehung zum DAX gesetzt.
Die Theorie des ”Diversication Meltdowns“ (”Zusammenbruch der Risikostreuung“)
besagt, dass sich die Abha¨ngigkeit von Aktienkursen in Zeiten wirtschaftlicher Ab-
schwu¨nge versta¨rkt (siehe etwa Campbell et al. (2008)). Eine Vera¨nderung des ge-
meinsamen Verhaltens kann daher ein Anzeichen fu¨r eine bevorstehende Unruhe im
Finanzmarkt sein, so dass es sich anbietet, die gemeinsame Abha¨ngigkeitsstruktur
verschiedener ”Indikatoraktien“ zu u¨berwachen.
Nachfolgend werden Finanzmarktdaten fu¨r den Zeitraum Januar 2003 bis Februar
2010 ausgewertet; die Entwicklung des Zusammenhangs zwischen Renditen zweier
geeigneter Aktien wird vor dem Hintergrund der weltweiten Banken- und Finanz-
marktkrise betrachtet, die 2007 begann und bis in die Gegenwart reicht. Auslo¨ser der
Unruhe war die Subprime-Krise in den USA. Viele Staaten versuchten durch spezi-
elle Rettungspakete entgegenzusteuern. Die Betrachtung in diesem Beispiel erfolgt
auf Grundlage der DAX-Firmen BASF und BAYER und wird daher vor allem mit
der deutschen Entwicklung verglichen. Beide Firmen sind weltweit agierende Che-
miekonzerne. Ein a¨hnliches Verhalten beider Aktienkurse kann also angenommen
werden. Der Bereich Chemie ist zudem ein guter Indikator fu¨r gesamtwirtschaftliche
Tendenzen, da es sich um typische Zuliefererbranchen handelt.
Interessierendes Merkmal ist in diesem Fall die (zeitdiskret) Rendite einer Aktie
(tageweise gemessen). Betrachtet werden
Xi1 = Rendite von BASF am i-ten Tag und
Xi2 = Rendite von BAYER am Tag i.
Das Streudiagramm der Renditen beider Aktien (Abbildung 6.15, links) zeigt einen
deutlichen Zusammenhang; Abbildung 6.15 zeigt außerdem die Ho¨henlinien von zwei
mo¨glichen Verteilungen. Die Claytoncopula passt die Daten besser an. Der ML-
Scha¨tzer fu¨r den Parameter der Claytoncopula ist θ = 1.746 (ML-Wert von 285.3)
87
und fu¨r die Normalcopula gilt ρ = 0.629 (ML-Wert von 267.5). Zur Modellierung
der gemeinsamen Verteilung der BASF- und BAYER-Renditen wird im Folgenden
somit eine Claytoncopula mit θ = 1.746 verwendet.
Abbildung 6.15: Ursprungsdaten und Konturlinien der angepassten gemeinsamen Verteilung
Zur Erstellung der Karte werden statt der Renditenpaare (Xi1, Xi2) die daraus
gebildeten Wertepaare ri (Formel (6.1)) und ei (Formel (6.2)) verwendet. Fu¨r das
vorliegende τˆ = 0.47 sind die Grenzwerte lcl und ucl fu¨r τ=0.5 aus Abbildung 6.10
geeignet, um die Ri anhand von (ri, ei) zu bestimmen.
Die R-Werte, also die nach Gleichung (6.4) kumulierten Ri, bilden schließlich die
Entscheidungsgrundlage, ob zu einem Zeitpunkt die Kurse der betrachteten Aktien
”zu starke“ oder ”zu schwache“ Abha¨ngigkeit voneinander zeigen. Die R-Statistik
basiert auf den letzten 30 Werten. Die Reaktionszeit der Karte hat daher eine
Verzo¨gerung von bis zu 30 Tagen, die beru¨cksichtigt werden muss. Mit der unte-
ren Grenze LCL= 22 und der oberen Grenze UCL= 38 ergibt sich fu¨r die Karte das
Niveau α ≈ 0.02734.
Abbildung 6.16 visualisiert die Ergebnisse der beschriebenen Karte, die grauen
vertikalen Linien markieren Werte, fu¨r die der Prozess als außer Kontrolle klassifi-
ziert wird.
Von den 788 untersuchten Zeitfenstern liegen 68 außerhalb der Grenzwerte, 34
davon u¨ber der oberen Grenze. Diese Abweichung nach oben spricht nach der Theo-
rie des ”Diversication Meltdowns“ fu¨r eine Anspannung des Finanzmarktes zu die-
sem Zeitpunkt. Nach unten abweichende Werte wu¨rden demzufolge fu¨r eine un-
88
gewo¨hnliche Entspannung an den Bo¨rsen sprechen und sind fu¨r unsere U¨berlegungen
zuna¨chst uninteressant. Grob ko¨nnen diese Daten in zwei Zeitabschnitte eingeteilt
werden: Anfang 2008 (hauptsa¨chlich Mitte Februar) und Anfang 2009 (konzentriert
auf den Zeitraum von Ende Februar bis Mitte April). Um diese Spitzen zu erkla¨ren,
werden die genannten Zeitra¨ume mit dem Verlauf der Finanzmarktkrise in Verbin-
dung gebracht.
R−Karte (BASF−BAYER) im Vergleich zum DAX
4000
5000
6000
7000
8000
2007 2008 2009 2010
15
20
25
30
35
40
45
Jahr
R−
W
er
te
DA
X
DAX−Kurs R−Werte abgelehnte Werte
Abbildung 6.16: R-Karte fu¨r die gegebenen BASF- und BAYER-Renditen im Vergleich zum
DAX-Kurs mit markierten Außer-Kontrolle-Punkten)
Die erste Zeitspanne la¨sst sich mit einer ”Achterbahnfahrt“ der Aktienpreise im
Januar 2008 erkla¨ren, die durch die Angst der Anleger vor einer US-Rezession und
den daraus resultierenden Folgen fu¨r den Weltmarkt entstand. Am 25.01.2008 ver-
abschiedet der US-Kongress ein 150-Milliarden-Dollar-Konjunkturprogramm, um ei-
ne Rezession zu verhindern. In Deutschland ku¨ndigte die Regierung am 13.02.2008
staatliche Unterstu¨tzung fu¨r die IKB Deutsche Industriebank an, was als Stoppsignal
des Diversication Meltdowns interpretiert werden kann.
Im Zeitbereich der zweiten Phase auffa¨lliger Werte erreichte die Finanzkrise ih-
89
ren Ho¨hepunkt: Die Weltwirtschaft rutscht immer sta¨rker in die Krise und auch in
Deutschland ha¨ufen sich Negativmeldungen. Im Februar 2009 wurde die Hypo Real
Estate von der deutschen Regierung mit 102 Milliarden Euro gestu¨tzt, was zu Forde-
rungen fu¨hrt, die Bank zu verstaatlichen. Im Ma¨rz ist die Frage bestimmend, ob der
deutsche Staat die General-Motors-Tochter Opel retten sollte. Rettungspla¨ne der
Konzernspitze beinhalten meist massive Stellenstreichungen und stoßen auf Kritik.
Als Wendepunkt kann der 31. Ma¨rz angenommen werden: Hier verspricht Bundes-
kanzlerin Dr. Angela Merkel staatliche Hilfe bei der Investorensuche fu¨r Opel und
zeigt sich zu mo¨glichen Bu¨rgschaften bereit. Am 7. April beschließt die Bundesre-
gierung außerdem eine massive finanzielle Aufstockung der sogenannten ”Abwrack-
pra¨mie“. Eine Entspannung des Marktes folgt und im Mai gibt es wieder gute Nach-
richten: Der Staat besitzt nun 47.31% der Hypo Real Estate und Opel gilt aufgrund
der angeku¨ndigten U¨bernahme durch den Zulieferer Magna als vorerst gerettet.
6.5.2 Beispiel II: Schra¨gseilbru¨cken
Geraten Bauwerke oder technische Einrichtungen in Schwingungen, ist das Resul-
tat unter Umsta¨nden verheerend. Durch gleichma¨ßig wiederkehrende Anregung von
außen ”schaukelt“ sich die Bewegung auf und es kommt im schlimmsten Fall zur
U¨berlastung des Materials. Beispiele dafu¨r sind der Einsturz der Broughton Suspen-
sion Kettenbru¨cke (England) von 1831. Dieser Einsturz wurde durch marschierende
Soldaten verursacht, die mit ihrer gleichfo¨rmigen Trittfrequenz die Eigenschwin-
gung der Bru¨cke ”aufpeitschten“. Detailliertere Informationen dazu liefern Taylor
und Phillips (1881).
Um diese sogenannten Resonanzkatastrophen zu verhindern, gibt es verschiede-
ne Ansa¨tze. Maßnahmen zur gu¨nstigen Beeinflussung des Verhaltens erkla¨ren Dre-
sig und Holzweißig (2011) fu¨r verschiedene dynamische Effekte. Ein Ansatz sind
Schwingungsda¨mpfer; das weltgro¨ßte Tilgerpendel (im Taipei Financial Center) er-
streckt sich beispielsweise u¨ber mehrere Stockwerke. Ferner wird versucht, so zu
bauen, dass die Eigenfrequenz des Systems, also das Schwingungsverhalten nach
einmaliger Anregung, nicht von der erwarteten a¨ußeren Anregung versta¨rkt wird.
So werden in Erdbebengebieten die lokal typischen Schwingungsfrequenzen der Erd-
erschu¨tterungen bei Bau- und Tra¨gerkonstruktionen beru¨cksichtigt. Im Flugzeug-
90
bau, bei Eisenbahntunneln, Autobahnen oder Unterfu¨hrungen treten ebenfalls hohe
Schwingungsbelastungen auf, die bedacht werden mu¨ssen.
Auch die Schwingungsu¨berwachung von Maschinen ist sinnvoll: Beginnende Scha¨-
den sind oft fru¨hzeitig durch Vera¨nderungen im Schwingungsspektrum feststellbar.
In diesem Kapitel wird eine Schra¨gseilbru¨cke betrachtet. Abbildung 6.17 zeigt
schematisch den Aufbau einiger Schra¨gseilbru¨cken. Die Grafik wurde von Mehlhorn
(2007) vero¨ffentlicht. Er liefert in der angegebenen Quelle außerdem weiterfu¨hrende
physikalische Erla¨uterungen zu verschiedenen Bru¨ckenarten. Schra¨gseilbru¨cken sind
Abbildung 6.17: Skizze verschiedener Schra¨gseilbru¨cken: Bu¨ndelsystem (oben), Harfensys-
tem (Mitte) und Fa¨chersystem (unten), urspru¨nglich Abbildung 5.5.1 aus
Mehlhorn (2007)
dadurch gekennzeichnet, dass der U¨berbau an Seilen aufgeha¨ngt ist, die schra¨g von
einem Pfeiler gespannt sind. Beispiele fu¨r diese Bru¨ckenkonstruktion sind die mo-
mentan im Bau befindliche Russki-Bru¨cke (Vladiwostok, 3100 Meter La¨nge), die
Fleher Bru¨cke (Du¨sseldorf, 1166 Meter), die Rheinbru¨cke Neuwied - Raiffeisenbru¨cke
(485 Meter) oder die Severinbru¨cke (Ko¨ln, 691 Meter).
91
Schra¨gseilbru¨cken sind empfindlich gegen Windkra¨fte und ko¨nnen durch große
bewegliche Massen - etwa Gu¨terzu¨ge oder LKW-Korsos - in Bewegung gebracht
werden. Dabei ist es insbesondere gefa¨hrlich, wenn die einzelnen Fahrbahnteile in
eine gleichgerichtete Bewegung geraten oder genau entgegengesetzt schwingen.
Sensoren erfassen die Schwingamplitude in der Mitte des Tragseils, also dessen ma-
ximale Auslenkung. Um Materialscha¨den oder schlimmstenfalls einem Versagen der
Tragfa¨higkeit vorzubeugen, werden Bru¨cken fu¨r den Verkehr gesperrt, sobald die
Umgebungsbedingungen zu schlecht werden. Kriterien ko¨nnen hohe Windsta¨rken,
Hagel oder durch Eisbildung vera¨nderte Tragseileigenschaften sein. Die Belastbar-
keitsgrenze ist dabei bru¨ckenspezifisch verschieden.
Ferngesteuerte Seilda¨mpfungssysteme mit aktiv beeinflussbarem Widerstand ko¨n-
nen dazu beitragen, Sperrungen zu vermeiden. Diese werden bisher aber nur verein-
zelt eingesetzt. Ein Regelalgorithmus reagiert dabei auf aktuelle Seilschwingungen
und vergro¨ßert die Da¨mpfkraft fu¨r sta¨rker schwingende Seile. Bei einem Stromausfall
arbeiten die Systeme mit einer Grundda¨mpfungskraft; daher ist das System relativ
sicher. Ein aktuelles Forschungsprojekt dazu betreibt die Firma EMPA - Material
Science & Technology, ein Forschungs- und Dienstleistungsinstitut fu¨r Materialwis-
senschaften und Technologieentwicklung (siehe EMPA (2012)).
Nachfolgend werden zwei Tragseile betrachtet. Gefa¨hrlich sind eine starke A¨hn-
lichkeit oder ein stark entgegengesetztes Verhalten im Schwingungsverhalten beider
Seile. Solche Schwingungen sind ein Indikator fu¨r Resonanzversta¨rkung. In diesem
Fall sollte Alarm ausgelo¨st werden. Nachfolgend wird eine zweispurige Schra¨gseil-
autobahnbru¨cke von etwa 500 Metern La¨nge mit einem Stu¨tzpfeiler betrachtet. Im
Idealzustand ist das Seil gespannt und wird nur durch normale Verkehrsbelastung
bewegt.
Zur Entwicklung einer geeigneten Qualita¨tsregelkarte muss die Schwingbewegung
der Seile erfasst werden. Die dazugeho¨rige Formel gibt die Auslenkung y(t) zum
Zeitpunkt t an. Eine ungeda¨mpfte Schwingung la¨sst sich beschreiben durch
y(t) = y0 · sin(2πft+ ϕ0),
wobei y0 den Wert der Amplitude, t die Zeit, f = 1/T die Frequenz und ϕ0 die
92
Anfangsphase der Schwingung darstellt. Abbildung 6.18 zeigt die Kenngro¨ßen zur
Charakterisierung einer Schwingbewegung, vergleiche auch Dresig und Holzweißig
(2011).
Abbildung 6.18: Schaubild der verschiedenen Schwingungsvariablen
Physikalische Systeme sind dagegen fast immer geda¨mpft. Im Falle von Tragseil-
schwingung beispielsweise durch Luftreibung, die genannte Schwingungsformel wird
dann entsprechend erweitert, um das Abklingen der Funktion darzustellen. Diese
lautet dann
y(t) = y0 · δe−
t
β · sin(2πft+ ϕ0).
Die Abklingkonstante δ und die Abklingdauer β beschreiben dabei die Form des
Abklingens der Schwingung.
Im normalen Verkehrsbetrieb u¨berlagern sich viele Reize an den Tragseilen. Etwas
Bewegung ist immer zu verzeichnen, eine totale Ruheposition der Tragseile ist in der
Praxis nicht zu erwarten. Die Messwerte der absoluten Amplituden sind normalver-
teilt fu¨r jedes einzelne Seil.
Durch die Konstruktion der Bru¨cke ist eine Unabha¨ngigkeit in dem Verhalten der
Tra¨gerseile nicht realistisch. Das gemeinsam betrachtete Schwingverhalten von zwei
und mehreren Seilen unterliegt einer bestimmten Abha¨ngigkeitsstruktur. Fu¨r klei-
nere Sto¨ße gibt es kaum ”Interaktion“ zwischen den Seilen, sie wirken lokal sehr be-
grenzt. Die Tragseile verhalten sich dadurch im Ruhezustand der Bru¨cke relativ un-
abha¨ngig zueinander. Sta¨rkere Anreize bewirken ho¨here Schwingamplituden bei den
93
einzelnen Seilen, ihre Wirkung ist außerdem lokal weiter ausgedehnt bis hin zu glo-
balen Tendenzen, die die gesamte Bru¨ckenkonstruktion betreffen. Die Abha¨ngigkeit
der Schwingungen untereinander wa¨chst also fu¨r sta¨rkere Auslenkungen.
Anhand dieser theoretischen U¨berlegungen la¨sst sich die gemeinsame Bru¨cken-
schwingung zweier Tragseile modellieren.
Methoden der Zeitreihenanalyse werden dafu¨r bewusst nicht verwendet. Beispiels-
weise wa¨re eine (mathematisch sinnvolle) Saisonbereinigung kontraproduktiv, da
diese Kra¨fte effektiv an den Seilen auftreten und daher zu beru¨cksichtigen sind.
Ein auftretender Trend sollte auch nicht eliminiert werden. Im Optimalfall sollte
kein Trend auftreten. Werden trotz eingespannter Tragseile die Ausschla¨ge tenden-
ziell gro¨ßer, so kann das beispielsweise auf Materialermu¨dung in den Seilen oder
Aufha¨ngungen hinweisen. Am sinnvollsten erscheint daher eine gemeinsame Dar-
stellung ohne vorherige Komponentenzerlegung des Schwingverhaltens.
Die Amplituden beider Seile werden in Abha¨ngigkeit von der Maximalauslenkung
betrachtet. Je gro¨ßer die U¨bereinstimmung beider Werte wird, umso eher besteht
auch die Gefahr einer gleichfo¨rmigen Schaukelbewegung der Bru¨cke.
Mo¨glichkeiten zur Modellierung extremer Wellenho¨hen und -perioden durch Co-
pulas erla¨utert de Waal (2005). Sriramula et al. (2005) und Srinivas et al. (2006)
stellen die Simulation und Abha¨ngigkeitsmodellierung von Achsenbelastungen an
Fahrzeugen dar, unter anderem werden auch dort Copulas genutzt. Diese Model-
le sind in a¨hnlicher Form auf Autobahnbru¨cken u¨bertragbar (siehe etwa Srinivas
(2006)). Caprani et al. (2012) beschreiben das dynamische Verha¨ltnis von statischer
zur Gesamtbelastung auf Bru¨cken mit Hilfe von (Gumbel-)Copulas.
Die gemeinsame Verteilung der Amplituden zweier Tragseile in Abha¨ngigkeit von
der Maximalauslenkung (y1(t), y2(t))⊤ kann dementsprechend durch eine Gumbel-
copula mit dem Parameter θ und zwei normalverteilten Ra¨ndern modelliert werden.
Stellt man den Grad der Abha¨ngigkeit in Beziehung zu Kendalls τ , so fa¨llt dieses
unter Ruhebelastung eher klein aus.
Inhaltlich ist die Wahl der Verteilung durch die Entstehung der Schwingbewe-
gung begru¨ndet. Zugrunde gelegt wird eine geda¨mpfte Schwingung, die sich aus je-
dem ”Schock“, also jeder plo¨tzlichen Krafteinwirkung, auf das Tragseil ergibt (siehe
94
Abbildung 6.19, links).
0 10 20 30 40
−0
.5
0.
0
0.
5
gedämpfte Schwingung
Zeit in Minuten
Am
pl
itu
de
0 10 20 30 40
−1
5
−5
0
5
10
15
einzelne Schwingbelastungen
Zeit in Minuten
Am
pl
itu
de
−1
5
−5
0
5
10
15
−1
5
−5
0
5
10
15
−1
5
−5
0
5
10
15
−1
5
−5
0
5
10
15
−1
5
−5
0
5
10
15
−1
5
−5
0
5
10
15
0 10 20 30 40
−1
0
−5
0
5
10
15
Bewegung des Tragseils
Zeit in Minuten
Am
pl
itu
de
Abbildung 6.19: Darstellung geda¨mpfter Schwingungen sowie von Tragseilschwingungen als
Summe geda¨mpfter Schwingungen
Diese Schocks treten - mehr oder weniger - zufa¨llig verteilt u¨ber die Zeit auf,
beispielsweise bei jedem vorbeifahrenden Auto. Die Summe aller Einzelamplituden
ergibt dann die Seilbewegung unter geringer Belastung, von einem Zusammenspiel
mit anderen Seilen ist hier zuna¨chst nicht auszugehen. Gro¨ßere einwirkende Kra¨fte
haben weitreichendere Auswirkungen. In der Praxis ist außerdem die Aufnahme
eines Sto¨rterms in das Modell sinnvoll. Dieser ist in Abbildung 6.19 noch nicht
beru¨cksichtigt.
Fu¨r Abbildung 6.20 wurden zwei Datenreihen parallel zur dargestellten Schwin-
gung in Abbildung 6.19 (rechts) konstruiert. Diese dienten als exemplarische Grund-
schwingung zweier Tragseile. Die Schwingungen wurden jeweils mit einem standard-
normalverteiltem Fehlerterm verrauscht.
In der 17.5ten und der 28ten Minute wurden globale Schocks simuliert, die auf bei-
de Tragseile gleichzeitig einwirken. Dabei handelt es sich wiederum um abklingende
Schwingungen, die auf die Grundschwingung summiert wurden. Zur Vereinfachung
werden die Schocks als ”mittig auftretend“ modelliert; sie wirken also bei beiden
Tragseilen gleichzeitig mit gleicher Kraft.
Das rechte Bild der Grafik zeigt die gegeneinander im Streudiagramm abgetrage-
nen absoluten Amplituden. Dabei wird noch einmal deutlich, dass die Daten nicht
95
0 10 20 30 40
−5
0
5
10
Tragseil 1
Zeit in Minuten
Am
pl
itu
de
 in
 Z
en
tim
et
er
n
0 10 20 30 40
−1
0
−5
0
5
10
Tragseil 2
Zeit in Minuten
Am
pl
itu
de
 in
 Z
en
tim
et
er
n
0 5 10 15 20
0
5
10
15
20
Abhängigkeitsstruktur
Amplitude 1
Am
pl
itu
de
 2
Abbildung 6.20: Vergleich zweier gekoppelter Belastungsdiagramme
normalverteilt sind. Die abgebildeten Daten haben ML-Werte von 142.9 bei An-
passung einer Claytoncopula, 146.0 bei der Wahl einer bivariaten Normalverteilung
und 164.4 bei Unterstellung einer Gumbelcopula. Testla¨ufe mit analog konstruier-
ten Schwingungen lieferten vergleichbare Resultate. Die Gumbelcopula ist also ein
geeignetes mathematisches Instrument zur Modellierung der Abha¨ngigkeit beider
Amplitudenreihen.
Die entwickelte Qualita¨tsregelkarte ist auf diesen Sachverhalt anwendbar. Sie er-
kennt, ob die Bru¨cke in gleichfo¨rmige Schwingungen gera¨t. Untersucht wird fu¨r ver-
schiedene Zeitintervalle die These
H0: Das gemeinsame Schwingverhalten der Tragseile folgt einer bestimmten festen
Copulastruktur. Diese Struktur ergibt sich entweder aus Messungen in der Vergan-
genheit oder aus baustatischen U¨berlegungen.
H1: Die Abha¨ngigkeitsstruktur entspricht nicht der unter H0 beschriebenen.
Im Folgenden werden Punkte der gemeinsamen Verteilung der Amplituden zweier
Tragseile in Abha¨ngigkeit von der Maximalauslenkung (y1(t), y2(t))⊤ simuliert. Als
Basis der Simulation dient eine Gumbelcopula. Der Copulaparameter wird entspre-
chend der zu modellierenden Abha¨ngigkeit beider Seile (dargestellt durch Kendalls
τ) gewa¨hlt.
Abbildung 6.21 zeigt die R-Karte fu¨r vier verschiedene Szenarien. Oben links
96
−1 0 1 2 3 4
−1
0
1
2
3
Ursprungsdaten : τ = 0.2
Amplitude Seil 1
Am
pl
itu
de
 S
ei
l 2
0 200 400 600 800 1000
0
10
20
30
40
R −Karte : τ = 0.2
Messung
R−
W
er
t
−2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
0
1
2
3
Ursprungsdaten : τ = 0.5
Amplitude Seil 1
Am
pl
itu
de
 S
ei
l 2
0 200 400 600 800 1000
0
10
20
30
40
R −Karte : τ = 0.5
Messung
R−
W
er
t
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
0
1
2
3
Ursprungsdaten : τ = 0.8
Amplitude Seil 1
Am
pl
itu
de
 S
ei
l 2
0 200 400 600 800 1000
0
10
20
30
40
R −Karte : τ = 0.8
Messung
R−
W
er
t
Abbildung 6.21: Anwendung der R-Karte auf verschiedene Szenarien unter Nutzung der
Gumbelcopula und τ0 = 0.2 97
ist der In-Kontrolle-Fall (τ = 0.2) abgebildet. In der Bildkomposition ist links ein
Streudiagramm des Datensatzes dargestellt; rechts ist die zugeho¨rige Teststatistik in
der Qualita¨tsregelkarte abgetragen, die Grenzwerte sind gekennzeichnet. Die anderen
drei Grafiken zeigen die Auswirkung einer erho¨hten Gleichschwingung der Tragseile
auf die Daten und die Qualita¨tsregelkarte. Die Bilder sind analog zum In-Kontrolle-
Fall aufgebaut. Es wird deutlich, dass eine stark gleichma¨ßig gerichtete Schwingung
gut erkannt wird. Von 971 betrachteten (zufa¨lligen) Testwerten liegen bei diesem
Beispiel fu¨r τ = 0.2 42 außerhalb der Grenzen, fu¨r τ = 0.4 sind es 374, fu¨r τ =
0.6 liegen 831 außerhalb und fu¨r τ = 0.8 alle Datenpunkte. Auf weitergehende
Simulationen wird verzichtet; die Laufla¨ngenversuche aus Abschnitt 6.3.2 sind hier
u¨bertragbar.
6.6 Optimierung der Teststatistik
Die bisherigen Kapitel zeigen, dass die gefundene Kontrollkarte geeignet ist, Ab-
ha¨ngigkeitsa¨nderungen in den Daten nachzuweisen. Dieses Kapitel untersucht, inwie-
weit eine A¨nderung der Grenzwerte lcl und ucl und eine entsprechende Anpassung
von LCL und UCL zu besseren Resultaten fu¨hrt.
Ein verbesserter Test ko¨nnte beispielsweise das gegebene Testniveau besser aus-
scho¨pfen oder die ARL im Außer-Kontrolle-Fall schneller absinken lassen als der
Test aus Abschnitt 6.1. Dort wurde als lcl das 25%-Quantil der Verteilung von r
fu¨r ein gegebenes e gewa¨hlt. Fu¨r die ucl wurde analog das 75%-Quantil verwendet.
So wird das ”mittlere Datenfeld“ mit Ri = 1 gleichma¨ßig erfasst. Daru¨ber (Ri = 2)
und darunter (Ri = 0) liegende Datenpunkte treten im kontrollierten Prozess zu
etwa gleichen Teilen auf. Damit gilt im Erwartungswert Ri = 1 fu¨r jeden Punkt der
Datenmenge. Die Grenzwerte LCL und UCL ko¨nnen einfach als die entsprechenden
Quantile einer Binomialverteilung bestimmt werden.
Um zu erkennen, wie sich eine Verschiebung der Grenzwerte lcl und ucl auf die
Gu¨te des Tests auswirkt, wird zuna¨chst die Verteilung der Summe der Zufallsvaria-
blen Ri (Formel (6.3)) neu bestimmt. Dementsprechend sind die Grenzwerte LCL
und UCL zu a¨ndern. Auf dieser Basis werden dann die Optimalita¨tskriterien ”ARL“
und ”Niveau“ betrachtet.
98
6.6.1 Verteilung der Grenzwerte lcl und ucl
Die Gleichung
P(ri ≤ lcl(ei)) = P(ri > ucl(ei)) = 0.25
aus Kapitel 6.1.2 ist jetzt nicht mehr erfu¨llt, stattdessen seien die einzelnen Ri unter
H0 unabha¨ngig und identisch verteilt mit
• P(Ri = 0) = p1,
• P(Ri = 1) = 1− p1 − p2 und
• P(Ri = 2) = p2.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Ri einen bestimmten Wert x annimmt,
la¨sst sich im Gegensatz zu Abschnitt 6.1.2, Formel (6.4) nicht durch eine bekannte
Verteilung ausdru¨cken. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten fu¨r Auspra¨gungen der
Summe u¨ber die Ri sind jedoch geschlossen darstellbar durch
P(
n
∑
i=1
Ri = x) =
⌊x/2⌋
∑
j=0
n! 1(n− x+ j)!(x− 2j)!j!p
(n−x+j)
1 (1− p1 − p2)(x−2j)p
j
2. (6.12)
Der Term ⌊x/2⌋ (Gaußklammerausdruck) steht dabei fu¨r den auf ganze Zahlen ab-
gerundeten Wert von x2 .
Die angegebene Wahrscheinlichkeit ergibt sich durch folgende U¨berlegung: Es ist
• (n− x+ j) die Anzahl der Ri mit Ri = 0,
• (x− 2j) die Zahl der Ri mit der Auspra¨gung 1 und
• j die Anzahl der Ri mit der Auspra¨gung 2.
Insgesamt werden n Ri mit der gemeinsamen Summe x betrachtet. Dabei ist
x = 0 · (n− x+ j) + 1 · (x− 2j) + 2 · j = (x− 2j) + 2j.
99
Die Wahrscheinlichkeit, diese Summe mit (n− x+ j) Nullen, (x− 2j) Einsen und j
Zweien zu erreichen, setzt sich zusammen aus der Anzahl mo¨glicher Anordnungen
n! · [(n− x+ j)!(x− 2j)!j!]−1
multipliziert mit den Wahrscheinlichkeiten fu¨r die einzelnen Ergebnisse.
Fu¨r p1 = p2 = 0.25 entsprechen die Resultate denen einer Binomialverteilung
(siehe Formel 6.4), wie im Anhang A.2.3 exemplarisch fu¨r x = 0, x = 1 und x = 2
gezeigt wird.
Zur Berechnung der Verteilung der Rn wird Formel 6.12 fu¨r alle in Frage kom-
menden x bestimmt. Die summierten Wahrscheinlichkeiten entsprechen den Werten
der Verteilungsfunktion. Da es sich um eine diskrete Verteilung handelt, wird das
gewu¨nschte Niveau durch die gewa¨hlten Quantile in der Regel nicht exakt getroffen.
Einige Wahrscheinlichkeitswerte p1 und p2 zeigt Tabelle 6.3.
p1\p2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.1 25|35 27|39 30|42 32|46 35|49 38|52 40|55 44|57 46|60
α 0.024 0.026 0.046 0.031 0.037 0.039 0.025 0.042 0.008
0.2 21|33 23|37 25|40 28|44 30|47 33|50 36|53 38|56
α 0.027 0.030 0.038 0.037 0.035 0.039 0.040 0.020
0.3 18|30 20|35 22|38 24|42 27|45 29|48 32|52
α 0.047 0.038 0.044 0.036 0.046 0.042 0.026
0.4 14|28 16|32 18|36 20|40 23|43 26|46
α 0.032 0.037 0.036 0.031 0.041 0.038
0.5 11|25 13|30 15|33 17|37 20|40
α 0.038 0.035 0.046 0.041 0.043
0.6 8|22 10|27 12|31 14|34
α 0.040 0.039 0.042 0.038
0.7 5|20 7|24 8|28
α 0.026 0.040 0.026
0.8 3|16 4|22
α 0.043 0.020
0.9 0|14
α -
Tabelle 6.3: Kontrollgrenzen UCL und LCL bei verschiedenen Wahrscheinlichkeiten p1 und
p2 mit Angabe des zugeho¨rigen Niveaus α
Als Rahmenbedingungen wurden n = 30 sowie α ≤ 0.05 gewa¨hlt. Das jeweils
100
tatsa¨chlich erreichte Niveau α wird mit angegeben.
Fu¨r p1 = (1 − p2) ist lcl = ucl, da beide Grenzen dem gleichen Quantil der
Verteilung entsprechen, beispielsweise gilt fu¨r den oberen rechten Tabelleneintrag
p1 = (1− p2) = 0.1. Damit ist Ri = 0 fu¨r Werte unterhalb dieser Grenze, oberhalb
gilt Ri = 2, die Auspra¨gung Ri = 1 kann nicht auftreten. Wird die Summe der Ri
kleiner als 46 oder gro¨ßer als 60, ist der Prozess zum Niveau α = 0.008 als außer
Kontrolle anzunehmen.
Die Grenzwerte LCL und UCL ha¨ngen von p1 und p2 ab. Eine Erho¨hung des
Wertes p1 bewirkt sinkende Grenzen, da tendenziell eher kleinere Ri-Werte vergeben
werden. Die Kombination p1 = 0.7 und p2 = 0.1 sorgt beispielsweise dafu¨r, dass die
meisten Ri (theoretisch 70%) null werden. Eine Erho¨hung von p2 bewirkt dagegen
einen Anstieg der Grenzen, da hierbei der Bereich von Ri = 2 gro¨ßer ist. Die bisher
verwendeten Grenzen fu¨r p1 = p2 = 0.25 passen sich mit LCL= 22 und UCL= 38
gut in die Tabelle ein.
Zwei Optimierungsansa¨tze werden im Folgenden betrachtet:
- n oder p1 und p2 variieren, um das Niveau zu optimieren (Abschnitt 6.6.2)
- p1 und p2 variieren, um die ARL außer Kontrolle zu verbessern (Kapitel 6.6.3)
6.6.2 Niveauausscho¨pfung verbessern
In Tabelle 6.3 wird die Kontrollkarte dahingehend optimiert, dass sie fu¨r n = 30 das
5%-Niveau mo¨glichst ausscho¨pft. Mit Beschra¨nkung auf eine Nachkommastelle liegt
das Maximum bei den zu p1 = 0.3 sowie p2 = 0.1 geho¨renden lcl beziehungsweise
ucl, LCL=18 und UCL=30 (α = 0.0469).
Um das Niveau α besser auszureizen, ohne den Stichprobenumfang zu erho¨hen,
werden p1 und p2 feiner gerastert. So ist es mo¨glich, das Niveau beliebig genau an-
zuna¨hern. Fu¨r zwei Nachkommastellen wird α ≤ 0.05 beispielsweise gut mit den Wer-
ten p1 = 0.42 und p2 = 0.3 und den Grenzen 18 und 35 realisiert (α = 0.04954), fu¨r
drei Nachkommastellen wird das 5%-Niveau dagegen mit den Werten p1 = 0.235 und
p2 = 0.63 und den Grenzen 33 und 50 bestmo¨glich angena¨hert (α = 0.04985). Der
Rechenaufwand wa¨chst mit jeder zusa¨tzlich betrachteten Nachkommastelle deutlich,
daher sollte die Unterteilung nicht zu fein gewa¨hlt werden.
101
Tabelle B.4 im Anhang B zeigt zusa¨tzlich, wie sich eine Erho¨hung der Stich-
probengro¨ße n auf die Entwicklung des Niveaus auswirkt. Zur Verdeutlichung des
Einflusses der Stichprobengro¨ße werden fu¨r p1 und p2 konstant zwei Nachkomma-
stellen verwendet. Die gewa¨hlte Niveaugrenze von 0.05 wird fu¨r gro¨ßere Stichproben
erwartungsgema¨ß eher erreicht als fu¨r kleinere. Durch die diskrete Verteilung erfolgt
die Verbesserung der Niveauscho¨pfung nicht stetig, sondern es treten Spru¨nge und
”Ru¨ckschritte“ fu¨r ungu¨nstige Stichprobengro¨ßen auf. Um die praktische Umsetzung
zu erleichtern, sollte n nicht zu groß werden. Fu¨r die Niveaueinhaltung ist der Vorteil
gro¨ßerer Stichproben allerdings eher unbedeutend.
In diesem Abschnitt wird nur betrachtet, wie gut das Testniveau ausgescho¨pft
wird. Durch die diskrete Verteilungsfunktion ko¨nnen die Werte von p1 und p2 je nach
Anzahl der Nachkommastellen vo¨llig verschieden ausfallen. Die Testgu¨te bleibt bei
diesem Verfahren unberu¨cksichtigt. Dadurch ko¨nnen beispielsweise die ARL-Werte
im Außer-Kontrolle-Fall sehr schlecht werden. Das Verhalten der ARL-Werte wird
im na¨chsten Absatz untersucht.
6.6.3 ARL-Verhalten optimieren
Im Folgenden wird untersucht, wie sich die Wahl der Grenzen lcl und ucl beziehungs-
weise LCL und UCL auf das Verhalten der ARL auswirkt. Zur besseren Vergleich-
barkeit der Resultate werden bei der Gu¨testudie weitestgehend konstante Bedingun-
gen gewa¨hlt. Getestet werden verschiedene Grenzwerte unter den Voraussetzungen
n = 30 und α ≤ 0.05. Beispielhaft wird das Abha¨ngigkeitsmaß τ0 = 0.5 betrachtet.
Dafu¨r werden drei Prozesssituationen untersucht:
a) deutlich außer Kontrolle: τ = 0.4 beziehungsweise τ = 0.6
b) außer Kontrolle: τ = 0.45 beziehungsweise τ = 0.55
c) unter Kontrolle: τ = 0.5
Fall c) dient der Plausibilita¨tspru¨fung, da sich die ARL unter Kontrolle durch das
Niveau des jeweiligen Tests ergibt. Diese fu¨nf Stu¨tzwerte reichen aus, um die ARL
der verschiedenen Grenzpaare zu vergleichen. Abbildungen 6.11 und 6.12 zeigen,
dass die Funktionen global stetig sind. Sie steigen monoton bis zum Punkt τ = τ0
und fallen anschließend monoton.
102
Die Simulation erfolgt analog zu der aus Abschnitt 6.3.2. Jeweils N = 20000
Laufla¨ngen werden durch Monte-Carlo-Simulationen erzeugt und daraus die ARL-
Werte gescha¨tzt. Um trotz unterschiedlicher Ausgangsniveaus α (siehe Tabelle 6.3)
die ARL-Werte vergleichbar zu machen, wird der Wert unter H0 auf 1 gesetzt und die
restlichen Werte diesem proportional angepasst. Somit liegen fu¨r die verschiedenen
Szenarien durchschnittliche Laufla¨ngen zwischen 0 (außer Kontrolle) und 1 (unter
Kontrolle) vor.
Abbildung 6.22: Mittlere ARL-Werte fu¨r verschiedene p1-p2-Kombinationen
Abbildung 6.22 zeigt die Ergebnisse der Simulation unter Annahme einer Clay-
toncopula fu¨r verschiedene Kombinationen von p1 und p2 (orientiert an Tabelle 6.3).
Dargestellt wird fu¨r jede p1-p2-Kombination das arithmetische Mittel ihrer vier ARL-
Werte aus Situation a) und b). Wenn nachfolgend also von ”durchschnittlicher ARL
im Außer-Kontrolle-Fall“ gesprochen wird, ist das Mittel dieser (beliebig gewa¨hlten)
Punkte gemeint. Je kleiner dieser Wert ist, umso schneller werden Außer-Kontrolle-
Situationen erkannt und umso besser ist die zugrundeliegende Kontrollkarte zur
Problemlo¨sung geeignet.
Die rechte Grafik visualisiert die Punkte in einem dreidimensionalen Fla¨chendia-
gramm. Das Diagramm zeigt einen ”Gebirgskamm“. Er beginnt in der hinteren Ecke
bei p1 = 0.8 und p2 = 0.1 beziehungsweise p2 = 0.2. Die durchschnittliche ARL be-
tra¨gt hier etwa 73.3% der In-Kontrolle-ARL. Nicht erwu¨nschte Prozesssituationen
103
werden also erst spa¨t erkannt. Der Ho¨henzug verla¨uft diagonal bis zu p1 = 0.1 und
p2 = 0.5 mit durchschnittlich 46.8% der urspru¨nglichen ARL. Die Karte lehnt dem-
zufolge im Schnitt etwa doppelt so oft ab wie im kontrolliert ablaufenden Prozess.
Fu¨r die Bereiche oberhalb und unterhalb dieser Diagonale sinkt die ARL im Außer-
Kontrolle-Fall schneller.
Im linken Bild werden Ho¨henlinien und Farbmarkierungen genutzt, um die inte-
ressierenden Werte darzustellen. Beide Bilder erga¨nzen sich in ihren Informationen.
Es wird deutlich, dass sowohl kleine als auch große Werte von p2 in Kombination
mit kleinen p1-Werten das ARL-Verhalten optimieren. Diese Kombinationen liefern
also die Karten mit den besten Gu¨teeigenschaften.
Die bereits erla¨uterte Abbildung 6.5 veranschaulicht den Zusammenhang zwischen
den Grenzwerten ucl und lcl. Ein gro¨ßeres p1 verschiebt die untere Grenze lcl nach
oben, so dass fu¨r mehr Datenpunkte Ri = 0 gilt. Ein wachsendes p2 bewirkt dagegen,
dass sich die obere Grenze ucl der Winkelhalbierenden na¨hert und dadurch mehr
Ri-Werte den Wert 2 annehmen. Dieser Trend ist durch die Bedingung lcl < ucl
begrenzt.
Die vorliegende Simulationsstudie betrachtet sowohl sehr schmale als auch breite
Bereiche mit Ri = 1: Zwischen 10% (fu¨r p1 = 0.1 und p2 = 0.8) und 80% (fu¨r
p1 = 0.1 und p2 = 0.1) der Werte werden mit Ri = 1 klassifiziert.
Nach der Interpretation von Abbildung 6.22 zeigen lcl-Funktionen aus kleinen
p1-Werten, kombiniert mit ucl-Funktionen aus entweder kleinen oder großen p2-
Werten das gewu¨nschte ARL-Verhalten. Am effektivsten scheint daher ein Streifen
fu¨r Ri = 1 zu sein, der entweder
• vergleichsweise schmal ist und dicht an der Winkelhalbierenden anliegt
(0.1 ≤ p1 ≤ 0.3, 0.6 ≤ p2 ≤ 0.8)
• oder relativ breit (0.1 ≤ p1 ≤ 0.3, 0.1 ≤ p2 ≤ 0.4) ist.
Bei der ersten Variante erhalten die meisten Punkte den Wert Ri = 2 (60%-80%).
Bei der zweiten Mo¨glichkeit ist Ri = 1 am ha¨ufigsten (30%-80%). Die Grenzwerte
UCL und LCL fallen daher bei der ersten Variante gro¨ßer aus als bei der zweiten.
Abbildung 6.23 zeigt geeignete p1-p2-Kombinationen, die sich anhand von Abbil-
dung 6.22 ergeben. Der Plot oben links stellt die bisher verwendeten Quartile als
104
0.0 0.4 0.8 1.2
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
ARL = 39.1
e
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
p1 = 0.25
p2 = 0.25
0.0 0.4 0.8 1.2
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
ARL = 38.4
e
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
p1 = 0.1
p2 = 0.2
0.0 0.4 0.8 1.2
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
ARL = 39
e
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
p1 = 0.2
p2 = 0.2
0.0 0.4 0.8 1.2
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
ARL = 36.6
e
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
p1 = 0.1
p2 = 0.7
0.0 0.4 0.8 1.2
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
ARL = 36.8
e
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
p1 = 0.2
p2 = 0.7
0.0 0.4 0.8 1.2
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
ARL = 37.8
e
r
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
p1 = 0.1
p2 = 0.8
Abbildung 6.23: lcl (schwarz) und ucl (rot) fu¨r ARL-optimierte Kontrollkarten
Grenzwerte (p1 = p2 = 0.25) dar. Die Ergebnisse hierfu¨r liegen im akzeptablen Be-
reich, die durchschnittliche ARL außerhalb von H0 betra¨gt etwa 39% der ARL unter
Kontrolle.
Die obere mittlere und rechte Grafik zeigen Grenzwertpaare, fu¨r welche die ARL
im Bereich ”links“ des Bergkamms optimal wird. Das Minimum in der Simulations-
studie mit einer Nachkommastelle liegt bei p1 = 0.1 und p2 = 0.7 mit einem Wert
von rund 36.6% (Abbildung 6.23, unten links). Die na¨chstkleineren Werte liefern
die Kombination p1 = 0.2 und p2 = 0.7 (∼36.8%, Abbildung 6.23, unten Mitte),
p1 = 0.1 und p2 = 0.8 (∼37.7%, Abbildung 6.23, unten rechts) sowie p1 = 0.2 und
p2 = 0.8 (∼37.8%, ohne Abbildung). Die na¨chsten Optimierungsschritte erfolgen
daher im Bereich von 0.1 ≤ p1 ≤ 0.3 und 0.6 ≤ p2 ≤ 0.8.
105
6.6.4 ARL-Verhalten und Niveauausscho¨pfung verbessern
Bislang wurden das ARL-Verhalten und die Niveauausnutzung unabha¨ngig vonein-
ander betrachtet. Jetzt werden beide Eigenschaften kombiniert untersucht. Zwei der
in Abschnitt 6.6.2 gefundenen Grenzen zur Niveauoptimierung (p1 = 0.42, p2 = 0.3;
p1 = 0.235, p2 = 0.63) liegen in den Bereichen mit gutem ARL-Verhalten (siehe
Abbildung 6.22) und sind daher als mo¨gliche Optima zu beru¨cksichtigen.
Allerdings wird ein schnelles Absinken der ARL im Außer-Kontrolle-Fall als we-
sentlich wichtiger angesehen als eine optimale Niveaueinhaltung, so dass die Opti-
mierung hier startet. Dazu wird zuna¨chst der Bereich von p1 und p2 eingegrenzt,
fu¨r den die ARL am deutlichsten sinkt - unabha¨ngig von dem realisierten Niveau.
Anschließend werden in der Umgebung der gefundenen p1 und p2 die Grenzwerte
mit der maximalen Niveauausnutzung gewa¨hlt.
Abbildung 6.22 zeigt, dass die ARL am schnellsten im Bereich p1 = 0.1 bis p1 = 0.3
und p2 = 0.6 bis p2 = 0.8 sinkt. Kombinationen mit kleinem p1 und kleinem p2
zeigen ebenfalls gute Resultate. Der letztgenannte Abschnitt ist allerdings kleiner
und die durchschnittliche ARL im Außer-Kontrolle-Fall ist ho¨her als in der ersten
Region. Daher erfolgt die Suche nach dem globalen Minimum in der Umgebung von
0.1 ≤ p1 ≤ 0.3 und 0.6 ≤ p2 ≤ 0.8.
Abbildung 6.24 zeigt fu¨r den interessierenden Ausschnitt von p1-p2-Kombinationen
die durchschnittliche ARL im Außer-Kontrolle-Fall. Die mittlere ARL ist im ge-
wa¨hlten Ausschnitt erwartungsgema¨ß kleiner als bei der ersten Simulation. Ist der
Prozess außer Kontrolle, nimmt die ARL im Bereich von 0.1 ≤ p1 ≤ 0.14 und
0.66 ≤ p2 ≤ 0.70 am schnellsten ab. Das Minimum der durchschnittlichen ARL
betra¨gt 0.341 fu¨r p1 = 0.1 und p2 = 0.68.
In einem zweiten Schritt wird das Niveau maximiert. Die p1-p2-Intervalle fu¨r op-
timale Grenzwerte lcl und ucl sind relativ klein; daher ist es wahrscheinlich, dass
das gewu¨nschte Niveau nicht exakt erreicht wird. Fu¨r α ≤ 5% liefert die Kombina-
tion p1 = 0.122, p2 = 0.67, LCL= 39, UCL= 53 und α = 0.039 die bestmo¨gliche
Anna¨herung. Die Optimalwerte fu¨r α ≤ 10% liegen bei p1 = 0.137, p2 = 0.679,
LCL= 40, UCL= 52 und α = 0.08.
106
Abbildung 6.24: Interessierender Ausschnitt: mittlere ARL-Werte fu¨r verschiedene p1-p2-
Kombinationen
Um auszuschließen, dass der (zuna¨chst unberu¨cksichtigte) Bereich mit geringen
p1- und p2-Werten unter Umsta¨nden die Niveauauscho¨pfung maximiert, wird auch
hierfu¨r die optimale Kombination fu¨r α ≤ 5% bestimmt. Sie liegt bei p1 = 0.165,
p2 = 0.2, LCL= 25, UCL= 37 und α = 0.03575. Damit bietet sie gegenu¨ber dem
getesteten Bereich mit hohen p2-Werten keinen Vorteil.
Das obige Verfahren optimiert die Grenzwerte nach zwei Gesichtspunkten. Im
direkten ARL-Vergleich u¨bertrifft die optimierte Karte die Ursprungskarte (p1 =
p2 = 0.25) leicht. Das Niveau α wird um 1.2 Prozentpunkte besser (α = 0.039 statt
α = 0.027), gleichzeitig sinkt die normierte ARL etwas schneller. Tabelle 6.4 zeigt
die ARL fu¨r die betrachteten Außer-Kontrolle-Situationen. Ob der Rechenaufwand
insgesamt gerechtfertigt ist, soll hier nicht beurteilt werden.
τ = 0.4 τ = 0.45 τ = 0.55 τ = 0.6
p1 = 0.25, p2 = 0.25 (α = 0.027) 0.250 0.534 0.566 0.213
p1 = 0.122, p2 = 0.67 (α = 0.039) 0.179 0.507 0.539 0.160
Tabelle 6.4: Normierte ARL fu¨r optimale Grenzwerte und ”Standardgrenzen“ zum Niveauα ≤ 0.05 fu¨r Daten einer Claytoncopula mit τ0 = 0.5
107

7 Zusammenfassung und Ausblick
Die Vorteile einer Datenmodellierung mit Hilfe von Copulas werden zunehmend auch
von Ingenieuren und Naturwissenschaftlern erkannt. Ziel dieser Dissertation war es
daher, Qualita¨tsregelkarten fu¨r (bivariate) Messgro¨ßen zu entwickeln, denen eine
Copulastruktur zugrunde liegt. Damit soll der Schritt gelingen, die neuen Kennt-
nisse u¨ber das Verteilungsverhalten der Prozessdaten in die Qualita¨tssicherung und
-verbesserung zu u¨bertragen.
Um das Thema u¨berschaubar zu halten, wurden lediglich bivariate archimedische
Prozesse betrachtet. Als Randverteilungen der Einzeldaten dienten Normalvertei-
lungen. Das verdeutlichte, dass univariat normalverteilte Merkmale nicht zwingend
gemeinsam durch eine multivariate Normalverteilung modellierbar sind. Unter die-
sen Voraussetzungen wurden Qualita¨tsregelkarten fu¨r mehrere Fragestellungen ent-
wickelt.
Die Gu¨te aller Karten wurde anhand der durchschnittlichen Laufla¨nge des Pro-
zesses bewertet. Bei kontrolliert ablaufenden Prozessen sollte sie mo¨glichst groß sein
(in Abha¨ngigkeit vom Testniveau), bei Prozesssto¨rungen dagegen klein ausfallen.
Nach der Einleitung und drei Grundlagenkapiteln widmete sich Kapitel 5 zuna¨chst
der Lage und Streuung des Prozesses. Weicht die gemeinsame Verteilung zweier
Merkmale von der multivariaten Normalverteilung (stark) ab, wird das Verhalten
der klassischen T 2-Karte (extrem) schlecht. Die ARL liegt dann oft deutlich unter
den erwarteten Werten, das Testniveau wird in der Regel nicht eingehalten.
Diesen Nachteil beheben die vorgestellten modifizierten Karten. Die adjustierten
T 2-Karten verwenden Grenzwerte aus Monte-Carlo-Simulationen. Eine Simulations-
studie fu¨r Verschiebungen der Prozesslage zeigt, dass die Karten fu¨r das vorliegende
Problem geeignet sind.
109
Je nach Art der erwarteten Lageverschiebung des Prozesses erwies sich auch die
Wahl eines alternativen Abstandsmaßes als sinnvoll. Die daraus resultierende Karte
wurde analog zu Shewarts T 2-Karte als Euklidische E2-Karte bezeichnet. Beide
Karten liefern plausible Resultate fu¨r Beispiele aus der Messtechnik.
Eine Studie zu A¨nderungen in der Prozessstreuung zeigte, dass Shewarts T 2-Karte
ein a¨hnliches Verhalten aufweist wie fu¨r Verschiebungen in der Lage. Die Entwick-
lung verbesserter Karten auf Grundlage von Monte-Carlo-Simulationen wa¨re pro-
blemlos analog zum Vorgehen bei Lageu¨berwachung mo¨glich. Darauf wurde in dieser
Arbeit verzichtet.
Die Karten aus Abschnitt 5 sind zur U¨berwachung der Prozessstruktur nicht
geeignet. Daher wurde in Kapitel 6 eine neue Karte entwickelt, die sowohl eine
Versta¨rkung als auch eine Abschwa¨chung des Zusammenhangs zwischen den Daten
erkennt.
Eine gemeinsame Verteilung von Datenpunkten kann eindeutig in Randvertei-
lungen und Copula zerlegt werden. Die entsprechenden theoretischen Grundlagen
vermittelt Kapitel 3. Bei der Lage- und Streuungsu¨berwachung beeinflussen die
Randverteilungen die Teststatistik. Fu¨r die U¨berwachung der Struktur reicht es, nur
die Copula zu betrachten. Die Beschra¨nkung auf einzeln normalverteilte Daten war
demzufolge in diesem Kapitel nicht no¨tig, wurde allerdings trotzdem beibehalten.
Entwickelt wurde ein zweistufiges Verfahren: Zur Anwendung der Karte werden
zuna¨chst anhand von Wahrscheinlichkeitsba¨ndern die modifizierten Datenpunkte
klassiert; die Testgro¨ße Rn ist dann die Summe aller n Klassenauspra¨gungen ei-
ner Stichprobe. Sie la¨sst sich mit Hilfe einer Binomialverteilung beschreiben, so dass
die Grenzwerte einfach herzuleiten sind.
Die Wahrscheinlichkeitsba¨nder werden durch die untere Grenze (lcl) und die obe-
rer Grenze (ucl) festgelegt. Die Funktionen von lcl und ucl ergeben sich als Inte-
graldarstellung. Eine ausreichend genaue geschlossene Anpassung der Funktionen
konnte nicht gefunden werden, die beno¨tigten Grenzwerte sind aber durch numeri-
sche Integration bestimmbar.
Ein Vergleich mit Steigers Z-Test zeigte die U¨berlegenheit der gefundenen Test-
statistik.
Ein klassisches Anwendungsgebiet der Copulas ist die gemeinsame Modellierung
110
von Aktienkursen. Um die inhaltliche Plausibilita¨t der Karte zu untersuchen, bot
sich daher eine Untersuchung der Kurse zur Zeit der Finanzkrise an. Insbesondere
im asiatischen Raum gibt es derzeit Tendenzen, den Verkehrsfluss und dessen Ein-
wirkungen auf Straßen, Schienen und Bru¨cken mit Hilfe von Copulas darzustellen.
Dieser Trend wurde hier beru¨cksichtigt, indem als zweites Beispiel Tragseile von
Verkehrsbru¨cken betrachtet wurden, deren gemeinsame Schwingung nicht zu stark
voneinander abha¨ngig werden sollte.
Eine Optimierung der Grenzwerte lcl und ucl komplettierte das Kapitel. Betrach-
tet wurde eine feste Copula (Claytoncopula mit dem Parameter θ = 2, τ = 0.5). Die
gefundenen Optimalgrenzen nutzen das 5%−Niveau 1.2 Prozentpunkte besser aus
als die urspru¨nglich gewa¨hlten Grenzen (α = 0.039 statt α = 0.027 ), gleichzeitig
sinkt die ARL etwas schneller. Da die Optimierung allerdings sehr rechenaufwendig
ist, mu¨ssen in der Praxis Aufwand und Nutzen im Einzelfall gegeneinander abgewo-
gen werden.
Aus dem letzten Abschnitt ergibt sich auch der erste Ansatz fu¨r weitere Forschun-
gen auf dem Gebiet copulabasierter Qualita¨tsregelkarten. So ko¨nnte die vorgestellte
Teststatistik fu¨r verschiedene Fa¨lle optimiert werden. Dazu mu¨ssten allerdings kon-
krete Einsatzgebiete betrachtet werden; eine ”allumfassende“ Verbesserung erscheint
unrealistisch aufgrund des hohen Arbeitsaufwandes.
Eine Ausweitung der betrachteten Grundgesamtheiten ist ebenfalls denkbar. Ar-
chimedische Copulas decken schon viele Datenstrukturen ab, eine Ausweitung auf
weitere Copulas wu¨rde die Flexibilita¨t allerdings noch erho¨hen. Extremwertcopulas
ko¨nnten ein lohnendes Ziel sein, um seltene Ereignisse (Reaktorausfa¨lle, bestimmte
Emissionswerte, . . .) zu beru¨cksichtigen. Auch Kombinationen von Copulas ergeben
wieder Copulas und erweitern die Einsatzmo¨glichkeiten noch einmal.
Interessanter erscheint zuna¨chst jedoch die Ausweitung der gefundenen Teststa-
tistik auf mehr als zwei abha¨ngige Merkmale.
Dazu mu¨ssen zuna¨chst das betrachtete Lot auf die Winkelhalbierende des I2, also
r, und die normierte Entfernung zum Ursprung e auf ho¨here Dimensionen verallge-
meinert werden. Anschließend sind die lcl und ucl als Quantile der Verteilung von
r in Abha¨ngigkeit von e analog zum Vorgehen hier bestimmbar. Fu¨r p betrachtete
Merkmale handelt es sich dabei um gekru¨mmte Ebenen im Raum [0,
√
2]p−1.
111
Die Bereitstellung der gefundenen Resultate fu¨r die Praxis ist ebenfalls wu¨nschens-
wert. Dies kann beispielsweise durch die Erstellung einer geeigneten Software erfol-
gen. Noch besser wa¨re es, die Karte direkt in eine bestehende Statistiksoftware fu¨r
Ingenieure einzubinden, beispielsweise Minitab oder qs-STAT.
112
A Erga¨nzende Formeln und
Berechnungen
A.1 Wahrscheinlichkeiten fu¨r Kapitel 6
A.1.1 Die Wahrscheinlichkeit P(r ≤ r∗, e∗1 ≤ e ≤ e∗2)
Anwenden der Formeln (6.8) und (6.9) auf Gleichung (6.6) fu¨hrt zu folgenden Wahr-
scheinlichkeiten:
P(r ≤ r∗, e∗1 ≤ e ≤ e∗2) = (A.1)
fu¨r e∗2 < 1/
√
2 :
∫ u3+u4
0
∫ u3+u4−τ2
0 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 −
∫ u1+u2
0
∫ u1+u2−τ2
0 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
−
[
∫ u4
0
∫ u3+u4−τ2
u3−u4+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 −
∫ u2
0
∫ u1+u2−τ2
u1−u2+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
]
fu¨r e∗1 < 1/
√
2 und 1/
√
2 ≤ e∗2 <
√
2 :
1−
∫ 1
u3+u4−1
∫ 1
u3+u4−τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 −
∫ u1+u2
0
∫ u1+u2−τ2
0 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
−
[
∫ u3+u4−1
0
∫ 1
u3−u4+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 +
∫ u4
u3+u4−1
∫ u3+u4−τ2
u3−u4+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
−
∫ u2
0
∫ u1+u2−τ2
u1−u2+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
]
113
fu¨r 1/
√
2 ≤ e∗1 < e∗2 <
√
2 :
−
∫ 1
u3+u4−1
∫ 1
u3+u4−τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 +
∫ 1
u1+u2−1
∫ 1
u1+u2−τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
−
[
∫ u3+u4−1
0
∫ 1
u3−u4+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 +
∫ u4
u3+u4−1
∫ u3+u4−τ2
u3−u4+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
−
∫ u1+u2−1
0
∫ 1
u1−u2+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 −
∫ u2
u1+u2−1
∫ u1+u2−τ2
u1−u2+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
]
und fu¨r 1/
√
2 ≤ e∗1 <
√
2 und e∗2 =
√
2 :
∫ 1
u1+u2−1
∫ 1
u1+u2−τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
−
[
∫ u1+u2−1
0
∫ 1
u1−u2+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 +
∫ u2
u1+u2−1
∫ u1+u2−τ2
u1−u2+τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
]
A.1.2 Die Wahrscheinlichkeit P(e∗1 ≤ e ≤ e∗2)
Einsetzen der Formel (6.8) in die Gleichung (6.5) fu¨hrt zu:
P(e∗1 ≤ e ≤ e∗2) = P(e ≤ e∗2)− P(e ≤ e∗1) = (A.2)
fu¨r e∗2 < 1/
√
2 :
∫ u3+u4
0
∫ u3+u4−τ2
0 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 −
∫ u1+u2
0
∫ u1+u2−τ2
0 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
fu¨r e∗1 < 1/
√
2 und 1/
√
2 ≤ e∗2 <
√
2 :
1−
∫ 1
u3+u4−1
∫ 1
u3+u4−τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 −
∫ u1+u2
0
∫ u1+u2−τ2
0 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
fu¨r 1/
√
2 ≤ e∗1 < e∗2 <
√
2 :
−
∫ 1
u3+u4−1
∫ 1
u3+u4−τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2 +
∫ 1
u1+u2−1
∫ 1
u1+u2−τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
114
und fu¨r 1/
√
2 ≤ e∗1 <
√
2 und e∗2 =
√
2 :
∫ 1
u1+u2−1
∫ 1
u1+u2−τ2 c(τ1, τ2)dτ1dτ2
A.1.3 Die Wahrscheinlichkeit P(r ≤ r∗|e∗1 ≤ e ≤ e∗2)
Die zur Berechnung der Grenzwerte lcl und ucl no¨tige bedingte Wahrscheinlichkeit
ergibt sich als Quotient der Gleichungen aus A.1.1 und A.1.2. Hierbei gelten:
P(r ≤ r∗|e∗1 ≤ e ≤ e∗2) =
P(r ≤ r∗, e∗1 ≤ e ≤ e∗2)
P(e∗1 ≤ e ≤ e∗2)
=
fu¨r e∗2 < 1/
√
2 :
1−
∫ u4
0
∫ u3+u4−τ2
u3−u4+τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2−
∫ u2
0
∫ u1+u2−τ2
u1−u2+τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2
∫ u3+u4
0
∫ u3+u4−τ2
0 c(τ1,τ2)dτ1dτ2−
∫ u1+u2
0
∫ u1+u2−τ2
0 c(τ1,τ2)dτ1dτ2
fu¨r e∗1 < 1/
√
2 und 1/
√
2 ≤ e∗2 <
√
2 :
1−
∫ u3+u4−1
0
∫ 1
u3−u4+τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2+
∫ u4
u3+u4−1
∫ u3+u4−τ2
u3−u4+τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2
1−
∫ 1
u3+u4−1
∫ 1
u3+u4−τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2−
∫ u1+u2
0
∫ u1+u2−τ2
0 c(τ1,τ2)dτ1dτ2
+
∫ u2
0
∫ u1+u2−τ2
u1−u2+τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2
1−
∫ 1
u3+u4−1
∫ 1
u3+u4−τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2−
∫ u1+u2
0
∫ u1+u2−τ2
0 c(τ1,τ2)dτ1dτ2
fu¨r 1/
√
2 ≤ e∗1 < e∗2 <
√
2 :
1−
∫ u3+u4−1
0
∫ 1
u3−u4+τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2+
∫ u4
u3+u4−1
∫ u3+u4−τ2
u3−u4+τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2
∫ 1
u1+u2−1
∫ 1
u1+u2−τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2−
∫ 1
u3+u4−1
∫ 1
u3+u4−τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2
+
∫ u1+u2−1
0
∫ 1
u1−u2+τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2+
∫ u2
u1+u2−1
∫ u1+u2−τ2
u1−u2+τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2
∫ 1
u1+u2−1
∫ 1
u1+u2−τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2−
∫ 1
u3+u4−1
∫ 1
u3+u4−τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2
und fu¨r 1/
√
2 ≤ e∗1 <
√
2 und e∗2 =
√
2 :
1−
∫ u1+u2−1
0
∫ 1
u1−u2+τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2+
∫ u2
u1+u2−1
∫ u1+u2−τ2
u1−u2+τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2
∫ 1
u1+u2−1
∫ 1
u1+u2−τ2
c(τ1,τ2)dτ1dτ2
115
A.1.4 Beispiel Produktcopula - Herleitung der Integrale
Fall 1: 0 ≤ e∗ < 1/
√
2
P (B) =
∫ u2
0
∫ u1+u2−τ2
u1−u2+τ2 1 ∂τ1∂τ2
=
∫ u2
0 [u1 + u2 − τ2 − u1 + u2 − τ2] ∂τ2 =
∫ u2
0 [2u2 − 2τ2] ∂τ2
= [(2u2 − τ22 )]u20 = 2u22 − u22 = u22
P (e ≤ e∗) =
∫ u1+u2
0
∫ u1+u2−τ2
0 1 ∂τ1∂τ2
=
∫ u1+u2
0 (u1 + u2 − τ2) ∂τ2
= [τ2(u1 + u2 − 0.5τ2)]u1+u20
= ((u1 + u2)− 0.5(u1 + u2))(u1 + u2)
= 0.5(u1 + u2)2
Fall 2: 1/
√
2 ≤ e∗ <
√
2
P (B) =
∫ u1+u2−1
0
∫ 1
u1−u2+τ2 1 ∂τ1∂τ2 +
∫ u2
u1+u2−1
∫ u1+u2−τ2
u1−u2+τ2 1 ∂τ1∂τ2
=
∫ u1+u2−1
0 (1− u1 + u2 − τ2) ∂τ2
+
∫ u2
u1+u2−1(u1 + u2 − τ2 − u1 + u2 − τ2) ∂τ2
=
∫ u1+u2−1
0 (1− u1 + u2) ∂τ2 −
∫ u1+u2−1
0 (τ2) ∂τ2
+
∫ u2
u1+u2−1 2(u2 − τ2) ∂τ2
= (u1 + u2 − 1)(1− u1 + u2)− [0.5τ22 ]u1+u2−10
+ 2u2(u2 − u1 − u2 + 1)− [τ22 ]u2u1+u2−1
= (u1 + u2 − 1)(1− u1 + u2)− 0.5(u1 + u2 − 1)2
+ 2u2(1− u1)− u22 + (u1 + u2 − 1)2
= (u1 + u2 − 1)(1− u1 + u2 − 0.5u1 − 0.5u2 + 0.5)
+ 2u2 − 2u1u2 − u22 + u21 + u22 + 1− 2u1 − 2u2 + 2u1u2
= (u1 + u2 − 1)0.5(3− 3u1 + u2) + u21 − 2u1 + 1
116
= 0.5(3u1 − 3u21 + u1u2 + 3u2 − 3u1u2 + u22 − 3 + 3u1 − u2)
+ u21 − 2u1 + 1
= −0.5u21 + 0.5u22 − u1u2 + u1 + u2 − 0.5
= u22 − 0.5(u1 + u2 − 1)2
Zur Berechnung von P (e ≤ e∗) wird zuna¨chst umparametrisiert, es sei u := u1 +u2.
P (e ≤ e∗) = 1−
(
∫ 1
u−1
∫ 1
u−τ2 1 ∂τ1∂τ2
)
= 1 −
(
∫ 1
u−1(1− u+ τ2) ∂τ2
)
= 1 −
(
∫ 1
u−1(1− u) ∂τ2 +
∫ 1
u−1 τ2 ∂τ2
)
= 1 −
(
(1− u)(1− u+ 1) + [0.5τ22 ]1u−1
)
= 1 −
(
(1− u)(2− u) + 0.5− 0.5(u− 1)2
)
= 1 −
(
(2− 3u+ u2 + 0.5− 0.5(u2 − 2u+ 1)
)
= 1 −
(
(2− 2u+ 0.5u2
)
= −1 + 2u− 0.5u2
= −1 + 2(u1 + u2)− 0.5(u1 + u2)2.
A.2 Copuladichten
Zur Berechnung der Grenzen ist es no¨tig, die Dichtefunktionen der zugrundeliegen-
den Copula zu kennen. Mit Hilfe der Generatoren und der daraus resultierenden
Copulaverteilung (siehe Tabelle 3.1) werden im Folgenden die bivariaten Dichten
durch Differenzieren nach beiden Variablen abgeleitet.
A.2.1 Dichte der Claytoncopula
Fu¨r die Claytoncopula gilt mit der Formel (3.1)
c(u, v, θ) = ∂C(u, v, θ)∂u∂v =
∂
∂v
∂
∂u
(
u−θ + v−θ − 1
)− 1θ .
117
Zuna¨chst wird die partielle Ableitung nach u gebildet.
∂
∂u
(
u−θ + v−θ − 1
)−1/θ = − 1θ
(
u−θ + v−θ − 1
)−1/(θ−1) ∂
∂u
(
u−θ + v−θ − 1
)
= − 1θ
(
u−θ + v−θ − 1
)−1/θ−1 [ ∂
∂u u−θ + ∂∂uv−θ
]
= − 1θ
(
u−θ + v−θ − 1
)−1/θ−1 (−θu−θ−1
)
Da alle Variablen positiv sind, vereinfacht sich der Term durch Ku¨rzen zu
∂
∂u
(
u−θ + v−θ − 1
)−1/θ
= u−θ−1
(
u−θ + v−θ − 1
)− θ+1θ .
Der zweite Schritt zur Dichtebestimmung erfolgt durch Ableiten der Funktion nach
v, also
c(u, v, θ) = ∂∂v u−θ−1
(
u−θ + v−θ − 1
)− θ+1θ
= ∂∂v u−θ−1
(
u−θ + v−θ − 1
)− θ+1θ
= − θ+1θ u−θ−1
(
u−θ + v−θ − 1
)− θ+1θ −1 ∂
∂v
(
u−θ + v−θ − 1
)
= − θ+1θ u−θ−1
(
u−θ + v−θ − 1
)− θ+1θ −1 ∂
∂vv−θ
⇔ c(u, v, θ) = (θ + 1) (uv)−θ−1
(
u−θ + v−θ − 1
)− 1θ−2 (A.3)
A.2.2 Dichte der Gumbelcopula
Fu¨r die Gumbelcopula gilt nach der Formel (3.1)
c(u, v; θ) = ∂C(u, v, θ)∂u∂v =
∂
∂v
∂
∂u exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
.
Zuna¨chst wird die partielle Ableitung nach u gebildet.
∂C(u,v,θ)
∂u = ∂∂u exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
= exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
∂
∂u
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
= −1θ exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−1
· ∂∂u
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
118
= −1θ exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−1
·
[ ∂
∂u(− ln(u))θ + ∂∂u(− ln(v))θ
]
= −1θ exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−1
· θ(− ln(u))θ−1 ∂∂u(− ln(u))
= 1u(− ln(u))θ−1 exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−1
Der zweite Schritt zur Bestimmung der Gumbeldichte erfolgt durch Ableiten der
Funktion nach v, also
c(u, v, θ) = ∂∂v
[
1
u(− ln(u))θ−1 exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
·
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−1
]
= (− ln(u))
θ−1
u
∂
∂v exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
·
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−1
= (− ln(u))
θ−1
u
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−1
· ∂∂v exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
· exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
∂
∂v
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−1
= (− ln(u))
θ−1
u
[
(
1
θ − 1
)
exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
·
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−2 ∂
∂v
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
+
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−1 ∂
∂v exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)]
= (− ln(u))
θ−1
u
[
(
1
θ − 1
)
exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
·
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−2 [ ∂
∂v (− ln(u))θ + ∂∂v (− ln(v))θ
]
+
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−1 ∂
∂v exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)]
= (− ln(u))
θ−1
u
[(
1
θ − 1
)
θ(− ln(v))θ−1
· exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−2 ∂
∂v (− ln(v))
+
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−1 ∂
∂v exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)]
119
= (− ln(u))
θ−1
u
[
exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−1
· ∂∂v
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
−
(
1
θ − 1
)
θ(− ln(v))θ−1
· exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−2 ∂
∂v (ln(v))
]
= (− ln(u))
θ−1
u
[
−1θ exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
·
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−2 ∂
∂v
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
−
(
1
θ − 1
)
θ(− ln(v))θ−1
· exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−2 ∂
∂v (ln(v))
]
= (− ln(u))
θ−1
u
[
−1θ exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
·
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−2 ∂
∂v (− ln(v))θ −
(
1
θ − 1
)
θ(− ln(v))θ−1
· exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−2 ∂
∂v (ln(v))
]
= (− ln(u))
θ−1
u
[
−(− ln(v))θ−1 exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
·
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−2 ∂
∂v (− ln(v)) −
(
1
θ − 1
)
θ(− ln(v))θ−1
· exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−2 ∂
∂v (ln(v))
]
= (− ln(u))
θ−1
u
[
1
v (− ln(v))θ−1 exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
·
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−2 −
(
1
θ − 1
)
θ(− ln(v))θ−1
· 1v exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−2
]
Damit gilt also schließlich:
c(u, v, θ) = 1uv (− ln(u))θ−1(− ln(v))θ−1 exp
(
−
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ
)
·
(
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ + θ − 1
)
[
(− ln(u))θ + (− ln(v))θ
]
1
θ−2
(A.4)
A.2.3 Vergleich der Formeln 6.4 und 6.12
Aus Formel 6.4 folgt:
P(
n
∑
i=1
Ri = x) =
(2n
x
)
0.5x(1− 0.5)2n−x = (2n)!(2n− x)!x!0.5
2n,
120
Formel 6.12 besagt:
P∗(
n
∑
i=1
Ri = x) =
⌊x/2⌋
∑
j=0
n! 1(n− x+ j)!(x− 2j)!j!p
(n−x+j)
1 (1− p1 − p2)(x−2j)p
j
2
Wobei fu¨r p1 = p2 = 0.25 beide Formeln gleiche Resultate liefern. Diese Aussage
wird hier exemplarisch fu¨r x = 0, x = 1 und x = 2 gezeigt. Der Beweis durch
vollsta¨ndige Induktion wa¨re - durch die verwendete Summe - sehr aufwa¨ndig und
wird daher hier nicht erbracht.
Zuna¨chst ist fu¨r p1 = p2 = 0.25:
P∗(
n
∑
i=1
Ri = x) =
⌊x/2⌋
∑
j=0
n! 1(n−x+j)!(x−2j)!j!0.52n−x+2j
Damit folgt
P∗(
n
∑
i=1
Ri = 0) = n!n!0!0!0.52n =
(2n)!
(2n)!0!0.52n = P(
n
∑
i=1
Ri = 0)
P∗(
n
∑
i=1
Ri = 1) = n!(n−1)!1!0!0.52n−1 = n0.52n−1 = n
0.52n
0.5 = 2n0.52n
= (2n)!(2n−1)!1!0.52n = P(
n
∑
i=1
Ri = 1)
P∗(
n
∑
i=1
Ri = 2) = n!(n−2)!2!0!0.52n−2 +
n!
(n−1)!0!1!0.52n−2+2
= n(n−1)2 0.52n−2 + n0.52n
= 0.5n(n− 1)0.52n0.52 + n0.52n
= 2n(n− 1)0.52n + n0.52n
= (2n2 − 2n+ n)0.52n = (2n2 − n)0.52n
= n(2n− 1)0.52n = 2n(2n−1)2 0.52n
= 2n!(2n−2)!2!0.52n = P(
n
∑
i=1
Ri = 2)
121

B Zusa¨tzliche Tabellen und Abbildungen
Abbildung B.1: Flussdiagramm zur Simulation der Grenzwerte
123
Schritt Beschreibung
1 Xi = (Xi1, Xi2) umformen zu (Ui1, Ui2)
r(Ui1, Ui2) und e(Ui1, Ui2) berechnen
2 Ri aus [r(Ui1, Ui2), e(Ui1, Ui2)] ableiten
Summieren der Ri zur Teststatistik Rn
Tabelle B.1: Zweistufiges Vorgehen zur Berechnung der Teststatistik
ARL SDRL OC
τ0 −0.1 τ0 +0.1 −0.1 τ0 +0.1 −0.1 τ0 +0.1
0.1 22.03 36.71 21.27 22.01 36.45 20.71 0.955 0.9728 0.953
0.2 17.83 36.39 17.13 17.39 36.24 16.78 0.944 0.9725 0.942
0.3 14.35 36.63 13.44 13.81 36.04 13.10 0.930 0.9727 0.926
0.4 11.27 36.54 9.97 10.95 36.17 9.52 0.911 0.9726 0.900
0.5 8.51 36.55 7.04 8.00 36.58 6.48 0.882 0.9726 0.858
0.6 5.98 36.60 4.33 5.49 36.26 3.85 0.833 0.9727 0.769
0.7 3.84 36.47 2.22 3.30 36.45 1.64 0.740 0.9726 0.549
0.8 2.17 36.64 1.09 1.57 36.25 0.31 0.538 0.9727 0.080
0.9 1.15 36.49 1.00 0.43 35.69 0.00 0.133 0.9726 0.000
E[.] - 36.58 - - - - - 0.973 -
Tabelle B.2: Kennwerte der entwickelten Kontrollkarte fu¨r 20.000 simulierte Laufla¨ngen un-
ter Voraussetzung einer Claytoncopula
ARL SDRL OC
τ0 −0.1 τ0 +0.1 −0.1 τ0 +0.1 −0.1 τ0 +0.1
0.1 22.00 36.47 22.76 22.00 35.64 22.14 0.955 0.973 0.956
0.2 18.00 36.54 19.69 17.32 35.33 19.23 0.944 0.973 0.949
0.3 14.70 36.59 16.36 14.20 35.92 15.88 0.932 0.973 0.939
0.4 11.73 36.47 12.46 11.34 35.37 11.88 0.915 0.973 0.920
0.5 8.77 36.57 8.82 8.27 35.12 8.17 0.886 0.973 0.887
0.6 6.37 36.50 5.36 5.85 35.00 4.84 0.843 0.973 0.814
0.7 3.99 36.54 2.59 3.43 35.04 2.03 0.750 0.973 0.614
0.8 2.21 36.41 1.13 1.65 34.63 0.38 0.547 0.973 0.114
0.9 1.16 36.46 1.00 0.43 34.82 0.00 0.139 0.973 0.000
E[.] - 36.58 - - - - - 0.973 -
Tabelle B.3: Kennwerte der entwickelten Kontrollkarte fu¨r 20.000 simulierte Laufla¨ngen un-
ter Voraussetzung einer Gumbelcopula
124
n p1 p2 LCL UCL Niveau n p1 p2 LCL UCL Niveau
20 0.37 0.37 13 27 .04990 46 0.32 0.32 35 55 .04981
21 0.54 0.39 10 26 .04952 47 0.16 0.68 60 79 .04978
22 0.26 0.33 17 30 .04980 48 0.15 0.43 51 69 .04975
23 0.12 0.66 29 41 .04983 49 0.36 0.36 37 59 .04989
24 0.11 0.67 31 43 .04931 50 0.49 0.49 36 62 .04964
25 0.48 0.48 16 34 .04973 51 0.37 0.38 39 62 .04950
26 0.44 0.38 16 33 .04975 52 0.51 0.43 34 60 .04989
27 0.52 0.31 13 30 .04966 53 0.21 0.64 63 85 .04981
28 0.14 0.58 33 47 .04930 54 0.23 0.72 67 90 .04965
29 0.13 0.59 35 49 .04934 55 0.32 0.32 43 65 .04995
30 0.42 0.30 18 35 .04954 56 0.28 0.52 56 80 .04992
31 0.38 0.38 22 40 .04947 57 0.19 0.57 66 88 .04953
32 0.24 0.48 31 48 .04968 58 0.35 0.43 49 74 .04980
33 0.13 0.61 41 56 .04978 59 0.43 0.35 40 65 .04980
34 0.49 0.37 20 40 .04940 60 0.35 0.49 53 79 .04987
35 0.19 0.80 47 64 .04986 61 0.49 0.35 37 63 .04987
36 0.40 0.40 26 46 .04967 62 0.29 0.35 51 74 .04973
37 0.39 0.39 27 47 .04993 63 0.34 0.34 48 72 .04991
38 0.31 0.62 39 60 .04984 64 0.45 0.45 47 75 .04993
39 0.37 0.37 29 49 .04996 65 0.23 0.76 82 107 .04967
40 0.41 0.55 34 57 .04978 66 0.20 0.78 87 111 .04967
41 0.49 0.49 29 53 .04976 67 0.15 0.41 70 91 .04959
42 0.34 0.51 38 60 .04953 68 0.36 0.43 56 83 .04961
43 0.51 0.34 24 46 .04953 69 0.36 0.36 53 79 .04979
44 0.44 0.31 27 48 .04945 70 0.50 0.50 52 82 .04980
45 0.43 0.50 35 59 .04951
Tabelle B.4: Auf das Niveau α = 0.05 optimierte p1 und p2 (jeweils auf zwei Nachkomma-
stellen genau) fu¨r verschiedene Sichprobengro¨ßen n mit Angabe des erreichten
Niveaus α
125

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130
Eigensta¨ndigkeitserkla¨rung
Hiermit besta¨tige ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbsta¨ndig verfasst und keine
anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt habe. Die Stellen der Arbeit, die
dem Wortlaut oder dem Sinn nach anderen Werken (dazu za¨hlen auch Internetquel-
len) entnommen sind, wurden unter Angabe der Quelle kenntlich gemacht.
Dortmund, den 15. Februar 2013
131