Juliamengen als
Sierpin´skikurven
Dissertation
zur Erlangung des Grades eines Doktors der
Naturwissenschaften
Der Fakulta¨t fu¨r Mathematik
der Technischen Universita¨t Dortmund
im Ma¨rz 2009 vorgelegt von
Ingo Bednarek
Ich bedanke mich ganz herzlich bei Herrn Prof. Dr. Steinmetz fu¨r den Vor-
schlag zu diesem Dissertationsthema und fu¨r seine hilfreichen und motivieren-
den Ratschla¨ge. Außerdem danke ich meiner Familie fu¨r ihre Unterstu¨tzung
wa¨hrend meiner gesamten Ausbildung.
Eingereicht im Ma¨rz 2009
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 14.7.2009
Pru¨fungskommission:
Vorsitzender: Prof. Dr. J. Sto¨ckler
Erster Gutachter: Prof. Dr. N. Steinmetz
Zweiter Gutachter: PD Dr. M. Stiemer
Weiterer Pru¨fer: Prof. Dr. M. Voit
Wiss. Mitarbeiter: Dr. P. Furlan
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlegende Eigenschaften 7
1.1 Die dynamische Ebene – elementare Eigenschaften . . . . . . . 7
1.2 Eine Rekursionsfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Die Parameterebene – elementare Eigenschaften . . . . . . . . 13
1.4 Exkurs: Modulfunktionen und R1 . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Hilfsmittel 17
2.1 Die Riemann-Hurwitz-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Quasikonforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Beltramikoeffizienten und symmetrische Abbildungen . . . . . 21
2.4 Polynom-a¨hnliche Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Das λ-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Die Fluchtkomponenten 26
3.1 Die Dynamik in den Fluchtkomponenten . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Parametrisierung der Fluchtkomponenten . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Kernkonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Die hyperbolischen Komponenten 50
4.1 Die Dynamik in den hyperbolischen Komponenten . . . . . . . 50
4.2 Parametrisierung der hyperbolischen Komponenten . . . . . . 55
5 Juliamengen als Sierpin´skikurven 61
5.1 Juliamengen als Sierpin´skikurven . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Juliamengen und Quasikreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 Dynamische Konjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Literaturverzeichnis 69
Einleitung
Die Theorie der Iteration einer festen rationalen Funktion R wurde um 1918
von Fatou und Julia entwickelt. Sie teilten die Riemannsche Zahlenkugel ein
in die Fatoumenge, in der die Iteriertenfolge (Rn) eine normale Familie im
Sinne Montels bildet, und ihr Komplement, die Juliamenge, in der die Folge
ein ”chaotisches“ Verhalten zeigt. Auf Fatou gehen bereits die Anfa¨nge derin den 1930er Jahren von Cremer vollendeten Klassifikation der stabilen Fix-
gebiete in die fu¨nf Typen zuru¨ck, die heute unter den Namen Bo¨ttchergebiet,
Schro¨dergebiet, Leaugebiet, Siegelscheibe und Arnol’d-Herman-Ring bekannt
sind. Schon aus Arbeiten des 19. Jahrhunderts von Bo¨ttcher, Schro¨der, Koe-
nigs und Leau u¨ber die Lo¨sungen gewisser Funktionalgleichungen ergibt sich
im Wesentlichen die Tatsache, dass jedes Bo¨ttcher-, Schro¨der- und Leau-
gebiet einen kritischen Punkt enthalten muß. Dies unterstreicht bereits die
besondere Rolle der kritischen Punkte.
Die gro¨ßten Fortschritte auf dem Gebiet der rationalen Iteration wurden da-
nach erst viele Jahre spa¨ter in den 1980er Jahren erzielt, namentlich Sullivans
Beweis, dass es keine wandernden Gebiete gibt, und Shishikuras Abscha¨tzung
der maximalen Anzahl der verschiedenen Zykel. Beide Beweise beruhen auf
den Methoden der quasikonformen Chirurgie, deren Grundlagen im zweiten
Kapitel dieser Arbeit beschrieben werden.
Ebenfalls in den 1980er Jahren wurden mit Hilfe von Computern die ersten
Bilder von Juliamengen erzeugt, wie sie heute in ihrer besonderen Scho¨nheit
nicht nur gleichermaßen Motivation und Hilfsmittel fu¨r mathematische U¨ber-
legungen sind, sondern auch bei ”Nichtmathematikern“ Begeisterung hervor-rufen ko¨nnen. Mandelbrot programmierte ein Bild der heute nach ihm be-
nannten Mandelbrotmenge M. Diese besteht aus den Parametern c, fu¨r die
die Juliamenge des Polynoms Pc(z) = z2 + c zusammenha¨ngend ist; das sind
genau die Parameter, fu¨r die der Orbit des einzigen kritischen Punktes 0 des
Polynoms Pc beschra¨nkt bleibt. 1982 zeigten Douady und Hubbard, dass M
zusammenha¨ngend ist. In spa¨teren Jahren folgten dann Arbeiten zur Poly-
nomfamilie zd+ c mit d ≥ 2 und zu weiteren Familien rationaler Funktionen.
Eine Grundidee dabei ist, die Dynamik jeder einzelnen Funktion im Kontext
Einleitung 4
”verwandter Funktionen“ besser verstehen zu ko¨nnen. Erwa¨hnt sei hier dievon Devaney, Roesch, Steinmetz und anderen betrachtete McMullen-Familie
Rc(z) = zm +
c
zl mit m ≥ 2 und l ≥ 1, sowie die von Steinmetz untersuch-
te Morosawa-Pilgrim-Familie Rc(z) = c
(
1 + 4/27 z
3
1− z
)
. All diese Familien
zeichnen sich dadurch aus, dass sie einen Parameter c und einen ”u¨berschau-baren“ kritischen Orbit haben. Die Parameterebene (c-Ebene) wird nach dem
Verhalten der (freien) kritischen Punkte eingeteilt und ist stets selbst ein in-
teressant zu studierendes Objekt.
In dieser Arbeit soll nun die Familie
Rc(z) = c
4
27
(z2 − z + 1)3
z2(1− z)2
mit Parameter c ∈ C \ {0} betrachtet werden. Dazu werden in Kapitel 1
zuna¨chst die grundlegenden dynamischen Eigenschaften der Funktion Rc und
die Folge Qn(c) = Rnc (c), die den Orbit des einzigen ”freien“ kritischen Wer-tes c beschreibt, untersucht. Schließlich wird die Parameterebene eingeteilt
in die Mengen Ωn der Parameter, fu¨r die der ”freie“ kritische Wert c unterIteration nach n Schritten im Außengebiet landet (also ”flu¨chtet“), und dieMenge Ω∞ der Parameter, fu¨r die der Orbit von c beschra¨nkt ist.
Einige mathematische Methoden, die in dieser Arbeit angewendet werden,
stellen wir im zweiten Kapitel kurz vor. Den Schwerpunkt bildet dabei die
Theorie der quasikonformen Abbildungen mit dem Satz von Ahlfors-Bers
und die quasikonforme Chirurgie mit ihren Anwendungen beim λ-Lemma
und den polynom-a¨hnlichen Abbildungen.
Das dritte Kapitel ist nun den Fluchtkomponenten, den zusammenha¨ngen-
den Komponenten von Ωn, gewidmet. Zuna¨chst wird die Dynamik von Rc
fu¨r c ∈ Ωn na¨her untersucht und wir erhalten, dass fu¨r c ∈ Ω0 die Juliamen-
ge eine Cantormenge ist, wa¨hrend sie fu¨r c ∈ Ωn, n ≥ 1, eine Kurve ist. Im
zweiten Abschnitt wird dann gezeigt, dass alle Fluchtkomponenten Ω einfach
zusammenha¨ngend sind, indem eine eigentliche Abbildung Ψ : Ω → Ĉ \ D
konstruiert wird. Ferner erhalten wir, dass jede Komponente von Ωn genau
eine Polstelle von Qn, ihr Zentrum, entha¨lt, und ko¨nnen damit die Anzahl
der Komponenten bestimmen. Das Aussehen der Komponente Ω0 la¨ßt sich
weiter dadurch beschreiben, dass die Bo¨ttchergebiete der Funktionen Qn um
∞ im Sinne der Kernkonvergenz nach Carathe´odory gegen Ω0 konvergieren.
Die Komponenten von Ω∞, in denen Rc einen beschra¨nkten, (super-) at-
traktiven Zyklus der La¨nge n hat, werden im vierten Kapitel betrachtet.
Wir nennen diese Komponenten die hyperbolischen Komponenten. Fu¨r Para-
Einleitung 5
meter c aus diesen Komponenten sind alle stabilen Gebiete einfach zusam-
menha¨ngend und die Juliamenge ist eine Kurve. Daru¨ber hinaus werden die
hyperbolischen Komponenten wie u¨blich durch die Multiplikatorabbildung
parametrisiert. Die Bilder, die wir in der dynamischen Ebene fu¨r Parameter
aus Ω∞ erhalten, sind oft besonders scho¨n, vergleiche etwa das Bild unten.
Im letzten Kapitel wird schließlich bewiesen, dass fu¨r Parameter c ∈ Ωn,
n ≥ 1, die Juliamenge Jc eine Sierpin´skikurve ist; fu¨r kleine Parameter ist
sogar ∂U∞ ein Quasikreis. Juliamengen als Sierpin´skikurven wurden 1993 als
erstes von John Milnor und Tan Lei in der Familie f(z) := a
(
z + 1z
)
+ b
entdeckt. Spa¨ter konnten unter anderem Devaney, Morosawa und Steinmetz
zeigen, dass Juliamengen als Sierpin´skikurven auch in der McMullen-Familie
und der Morosawa-Pilgrim-Familie auftreten, ja sogar ”eher die Regel alsdie Ausnahme“ sind. Dies ist ebenso in der hier untersuchten Familie der
Fall. Ferner wird untersucht, in welchen Fa¨llen zwei Funktionen der Familie,
deren Juliamengen Sierpin´skikurven sind, dynamisch konjugiert zueinander
sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden zugeho¨rigen Parameter
derselben Fluchtkomponente oder zwei spiegelbildlichen Fluchtkomponenten
entstammen.
Abbildung 1: Ein attraktiver Fu¨nferzyklus, hier fu¨r
c = −1, 4 + 0, 7i
Notationen
An dieser Stelle geben wir eine U¨bersicht u¨ber die in dieser Arbeit verwen-
deten Notationen.
C∗ = C \ {0}
D = {z ∈ C : |z| < 1}
♯G = Zusammenhangszahl des Gebiets G
Rc(z) =
4
27 c
(z2 − z + 1)3
z2(z − 1)2
Qn(c) = Rnc (c)
U∞(c) = stabiles Gebiet von Rc um ∞
U0(c) = stabiles Gebiet von Rc um 0
U1(c) = stabiles Gebiet von Rc um 1
α(z) = 1− z
β(z) = 1z
Σ = von α und β erzeugte Gruppe
Ω0 = {c ∈ C∗ : c ∈ U∞(c)}
Ωn = {c ∈ C∗ : Rnc (c) ∈ U∞(c), Rn−1c (c) 6∈ U∞(c)}
Ω∞ = {c ∈ C∗ : Rnc (c) 6∈ U∞(c) fu¨r alle n ∈ N0}
Hn = Menge der Parameter mit beschra¨nktem Zykel der La¨nge n
Kapitel 1
Grundlegende Eigenschaften
1.1 Die dynamische Ebene – elementare
Eigenschaften
Wir untersuchen in dieser Arbeit die Parameterfamilie
Rc(z) =
4
27 c
(z2 − z + 1)3
z2(z − 1)2 , c ∈ C
∗ := C \ {0},
deren grundlegende Eigenschaften wir im ersten Kapitel zusammenfassen.
Vorab sei jedoch bemerkt, dass die Funktion R1 auch in der Theorie der Mo-
dulfunktionen eine besondere Rolle spielt; dies wird in einem Exkurs am Ende
dieses Kapitels kurz erla¨utert. Es ist Rc eine rationale Funktion vom Grad
6. Sie hat also sieben Fixpunkte und zehn kritische Punkte, entsprechend
ihrer Vielfachheiten geza¨hlt. 0, 1 und ∞ sind jeweils doppelte Polstellen, also
einfache kritische Punkte. Insbesondere ist ∞ ein superattraktiver Fixpunkt.
Es ist z2 − z + 1 = (z − 12(1 + i
√
3))(z − 12(1 − i
√
3)). Demnach sind die
beiden Punkte z+ := 12(1 + i
√
3) und z− := 12(1− i
√
3) dreifache Nullstellen
von Rc und damit doppelte kritische Punkte. Ihr Verhalten unter Iteration
ist offensichtlich unabha¨ngig von der Wahl des Parameters c.
Weiter gilt:
R′c(z) =
−8
27 c
(z2 − z + 1)2
z3(z − 1)3
(
z − 12
)
(z + 1)(z − 2)
Also sind −1, 2 und 12 einfache kritische Punkte. Sie haben mit Rc(−1) =
Rc(2) = Rc(12) = c denselben kritischen Wert, na¨mlich gerade c. Dessen
Verhalten unter Iteration bestimmt also im Wesentlichen das dynamische
Verhalten von Rc. Wir sprechen im Folgenden bei −1, 2 und 12 auch von den
Grundlegende Eigenschaften 8
”freien kritischen Punkten“, da ihr Verhalten unter Iteration von der Wahldes Parameters abha¨ngig ist.
Bei der Untersuchung des dynamischen Verhaltens einer Funktion Rc spielt
also der Vorwa¨rtsorbit des Punktes c die zentrale Rolle. Beispielsweise ist
Rc hyperbolisch, falls c von einem attraktiven Fixpunkt angezogen wird.
Einen Schwerpunkt dieser Arbeit bildet die Untersuchung der Parameter,
fu¨r die c, und somit alle kritischen Punkte, vom superattraktiven Fixpunkt
∞ angezogen werden.
∞
1
0 −1 c
2
1
2
1 + i
√
3
2
1− i
√
3
2
Abbildung 1.1: Der kritische Orbit
Im Folgenden bezeichne Jc die Juliamenge, Fc die Fatoumenge und Ua(c) das
stabile Gebiet von Rc, welches den Punkt a entha¨lt. Wenn bei U¨berlegungen,
die die dynamische Ebene betreffen, ein fester Parameter c betrachtet wird
und keine Verwechslungsgefahr besteht, lassen wir den Zusatz c in den Be-
zeichnungen auch weg und schreiben kurz U∞ statt U∞(c) und entsprechend.
Satz 1.1 (Symmetrie) Es sei α(z) := 1 − z, β(z) := 1z und Σ die von α
und β erzeugte Untergruppe der Gruppe der Mo¨biustransformationen. Dann
sind die Juliamenge Jc und die Fatoumenge Fc von Rc invariant unter Σ.
Beweis: Fu¨r alle z ∈ C gilt
Rc(α(z)) =
4
27c
((1− z)2 − (1− z) + 1)3
(1− z)2(1− (1− z))2 =
4
27c
(1− 2z + z2 + z)3
z2(1− z)2 = Rc(z)
und
Rc(β(z)) =
4
27c
( 1z2 − 1z + 1)3
1
z2 (1− 1z )2
= Rc(z).
Damit folgt die Behauptung. 2
Grundlegende Eigenschaften 9
Bemerkung 1.2 Die Gruppe Σ ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S3
und heißt auch die anharmonische Gruppe (vergleiche [Cha]). Es ist gerade
Σ =
{
id, z 7→ 1− z, z 7→ 1z , z 7→
1
1− z , z 7→ 1−
1
z , z 7→
z
z − 1
}
.
1 0
2
−1
α
α
β
β
∞ αβ
α
α
β
β
α1
2β
Abbildung 1.2: Die Symmetrie
Lemma 1.3 Es gilt entweder U0 = U1 = U∞ oder U0, U1 und U∞ sind
paarweise verschieden.
Beweis: F ist invariant unter Σ, also bilden α und β stabile Gebiete auf
stabile Gebiete ab. Im Einzelnen gelten die folgenden Implikationen:
U0 = U∞ ⇒ U1
α(0)=1= α(U0) = α(U∞)
α(∞)=∞= U∞
U0 = U1 ⇒ U∞
β(0)=∞= β(U0) = β(U1)
β(1)=1= U1
U1 = U∞ ⇒ U0
α(1)=0= α(U1) = α(U∞)
α(∞)=∞= U∞
Wenn also zwei der drei Polstellen von Rc im selben stabilen Gebiet liegen,
so entha¨lt dieses auch die dritte Polstelle von Rc. 2
Lemma 1.4 Es sei rc := max
{
6, 3 + 274|c|
}
und Kc := {z : |z| > rc}.
Dann ist die Kreisscheibe Kc vorwa¨rts invariant unter Rc; es gilt sogar
Rc(Kc) ⊆ Kc. Insbesondere ist also Kc = {z : |z| ≥ rc} ⊆ U∞(c).
Der Radius rc ist nicht ”optimal“, aber das ist fu¨r unsere U¨berlegungen auchnicht erfoderlich. Entscheidend ist, dass der Term 1|c| auftritt, der sich nicht
Grundlegende Eigenschaften 10
vermeiden la¨ßt.
Beweis: Wir betrachten zuna¨chst nur die Funktion R(z) := (z
2 − z + 1)3
z2(z − 1)2 .
Polynomdivision liefert R(z) = z2 − z + 3z
4 − 6z3 + 6z2 − 3z + 1
z4 − 2z3 + z2 . Also gilt
|R(z)| ≥ |z|2 − |z| −
∣∣∣∣
3z4 − 6z3 + 6z2 − 3z + 1
z4 − 2z3 + z2
∣∣∣∣ und wir erhalten fu¨r |z| ≥ 6
die Abscha¨tzung
∣∣∣∣
3z4 − 6z3 + 6z2 − 3z + 1
z4 − 2z3 + z2
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣
3− 6/z + 6/z2 − 3/z3 + 1/z4
1− 2/z + 1/z2
∣∣∣∣
≤ 3 + 6/ |z| + 6/ |z|
2 + 3/ |z|3 + 1/ |z|4
1− 2/ |z| − 1/ |z|2
≤ 3 + 16/ |z|1− 3/ |z| =
3 |z| + 16
|z| − 3 <
6|z|
|z| − 3 ≤ 2 |z|
Somit gilt fu¨r alle z mit |z| ≥ 6 die Abscha¨tzung |R(z)| > |z|2 − 3 |z|. Fu¨r
|z| ≥ rc erhalten wir
|Rc(z)| >
4
27 |c| |z| (|z| − 3) ≥
4
27 |c| rc(rc − 3) ≥ rc
Die letzte Ungleichung folgt dabei aus
4
27 |c| (rc − 3) ≥ 1 ⇔ rc ≥
27
4 |c| + 3.
Das Außengebiet eines Kreises mit Radius rc = max
{
6, 3 + 274|c|
}
ist also
unter Iteration von Rc vorwa¨rtsinvariant und geho¨rt damit zum Attraktions-
gebiet des superattraktiven Fixpunktes ∞. 2
Folgerung 1.5 Fu¨r alle Parameter c mit |c| ≥ 6 gilt: Die freien kritischen
Punkte −1, 2 und 12 liegen in U0 ∪ U1 ∪ U∞.
Beweis: Aus |c| ≥ 6 ≥ max
{
6, 3 + 274|c|
}
= rc folgt nach Lemma 1.4 si-
cherlich c ∈ U∞(c). Mit Rc(−1) = Rc(2) = Rc(12) = c ergibt sich dann die
Behauptung, da R−1c (U∞) = U0 ∪ U1 ∪ U∞. 2
Grundlegende Eigenschaften 11
1.2 Eine Rekursionsfolge
Bei der Untersuchung des Verhaltens einer rationalen Funktion unter Iterati-
on spielt der Vorwa¨rtsorbit der kritischen Punkte stets die zentrale Rolle. Bei
unserer Familie gibt es nur einen freien kritischen Wert, so dass es genu¨gt,
dessen Vorwa¨rtsorbit zu betrachten. Dessen Abha¨ngigkeit vom Parameter c
wird durch die rekursiv definierte Folge beschrieben, die wir in diesem Ka-
pitel etwas na¨her betrachten wollen und auf die wir spa¨ter noch mehrfach
zuru¨ckgreifen werden.
Lemma 1.6 Wir betrachten die rekursiv definierte Folge rationaler Funk-
tionen mit
Q0(c) := c , Qn+1(c) := Rc(Qn(c)) fu¨r n ∈ N0.
Dann gilt fu¨r n ≥ 1:
Qn(c) = Rnc (c) =
( 4
27
)αn 1
c
pn(c)
qn(c)
mit zwei teilerfremden Polynomen pn und qn, wobei gilt
• pn(0) = qn(0) = 1
• deg Qn = deg pn = 6n
• deg qn+1 = 4 · deg pn + 2 · deg qn < deg pn+1 − 1
• αn = 2n − 1
Beweis: Wir beweisen das Lemma mit vollsta¨ndiger Induktion.
Induktionsanfang:
Q1(c) =
4
27
(1− c+ c2)3
c (1− c)2
Es gilt also:
p1(c) = (1− c+ c2)3, deg p1 = 6
q1(c) = (1− c)2, deg q1 = 2
p1 und q1 sind teilerfremd.
p1(0) = q1(0) = 1
α1 = 1
Grundlegende Eigenschaften 12
Induktionsschluß:
Qn+1(c) =
4
27c
(1−Qn(c) + (Qn(c))2)3
Qn(c)2 · (1−Qn(c))2
= 427c
(
1−
( 4
27
)αn · 1c ·
pn(c)
qn(c) +
( 4
27
)2αn 1
c2 ·
(pn(c))2
(qn(c))2
)3
( 4
27
)2αn · 1c2
(pn(c))2
(qn(c))2 ·
(
1−
( 4
27
)αn · 1c
pn(c)
qn(c)
)2
=
( 4
27
)2αn+1
(
(pn(c))2 −
( 4
27
)−αn pn(c) c qn(c) +
( 4
27
)−2αn c2(qn(c))2
)3
c (pn(c))2 (qn(c))2
(
pn(c)−
( 4
27
)−αn cqn(c)
)2
Damit erhalten wir also:
αn+1 = 2αn + 1
pn+1(c) =
(
(pn(c))2 −
( 4
27
)−αn
pn(c) c qn(c) +
( 4
27
)−2αn
c2(qn(c))2
)3
qn+1(c) = (pn(c))2 (qn(c))2
(
pn(c)−
( 4
27
)−αn
c qn(c)
)2
Wegen
pn+1(c) =


(
pn(c)−
( 4
27
)−αn
cqn(c)
)2
+ pn(c)
( 4
27
)−αn
c qn(c)


3
ist dies die gesuchte Darstellung und es gilt pn+1(0) = qn+1(0) = 1. Es ist
deg pn+1 = 6 · deg pn und deg qn+1 = 4 · deg pn + 2 · deg qn. Damit ist die
Behauptung bewiesen. 2
Lemma 1.7 Es gilt fu¨r n ≥ 1: deg qn = 2n(3n − 2).
Beweis: Wir zeigen durch Induktion, dass deg pn − deg qn = 2n+1. Der In-
duktionsanfang ist trivial. Es gilt deg pn+1 − deg qn+1 = 6deg pn − 4 deg pn −
2 deg qn = 2(deg pn − deg qn) = 2n+2. Damit folgt dann die Behauptung. 2
Grundlegende Eigenschaften 13
1.3 Die Parameterebene – elementare Eigen-
schaften
Ein wesentlicher Teil dieser Arbeit besteht in der Untersuchung der Para-
meterebene der Familie (Rc), c ∈ C∗. In diesem Abschnitt wollen wir erste
Ergebnisse vorstellen.
Wir teilen nun die Parameterebene (”c-Ebene“) ein:
Definition 1.8 Es sei
Ω0 := {c ∈ C∗ : c ∈ U∞(c)},
Ωn := {c ∈ C∗ : Rnc (c) ∈ U∞(c), Rn−1c (c) 6∈ U∞(c)} fu¨r n ∈ N und
Ω∞ := {c ∈ C∗ : Rnc (c) 6∈ U∞(c) fu¨r alle n ∈ N0}.
Die zusammenha¨ngenden Komponenten von Ωn, n ≥ 0, nennen wir Flucht-
komponenten der Ordnung n (vergleiche auch [Roe]).
Fu¨r Parameter in den Fluchtkomponenten ”flu¨chten“ also alle kritischenPunkte nach ∞, insbesondere kann es keine anderen periodischen Kompo-
nenten der Fatoumenge als das Außengebiet U∞ geben.
Abbildung 1.3: Die Fluchtkomponenten
Grundlegende Eigenschaften 14
Bemerkung 1.9 (Legende) In Bild 1.3 la¨ßt sich an der ”zentralen“ Farbejeder Fluchtomponente ihre Ordnung ablesen: Die beschra¨nkte Komponente,
die in der Mitte rot gefa¨rbt ist, ist die Fluchtkomponente erster Ordnung.
Die Komponenten, die in ihrer Mitte gelb sind, sind die 8 Komponenten
zweiter Ordnung. Zwei von ihnen sind so klein, dass sie auf dem Bild nicht
zu erkennen sind. Die Komponenten, die in der Mitte hellgru¨n sind, sind die
Komponenten dritter Ordnung; die Komponenten, die in der Mitte blau sind,
sind die Komponenten vierter Ordnung und so weiter (vergleiche auch Satz
3.19 und Folgerung 3.20).
Lemma 1.10 Es gilt {c ∈ C∗ : |c| ≥ 6} ⊆ Ω0.
Beweis: Die Behauptung ergibt sich direkt aus Folgerung 1.5, da |c| ≥ rc
fu¨r |c| ≥ 6. 2
Bemerkung 1.11 Da fu¨r jedes n ∈ N die Lo¨sungen von Qn(c) = Rnc (c) = c
in Ω∞ liegen, ist Ω∞ 6= ∅.
Satz 1.12 Ω∞ ∪ {0} ist kompakt.
Beweis: Wir betrachten wieder die in Lemma 1.6 definierte Folge rationaler
Funktionen (Qn). Dann gilt
Ω∞ = {c ∈ C∗ : Rnc (c) 6∈ U∞(c) fu¨r alle n ∈ N0}
Lemma 1.4= {c ∈ C∗ : |Rnc (c)| ≤ 6 +
27
4 |c| fu¨r alle n ∈ N}
= {c ∈ C∗ : |Qn(c)| ≤ 6 +
27
4 |c| fu¨r alle n ∈ N}
=
⋂
n∈N0
{
c ∈ C∗ : |Qn(c)| ≤ 6 +
27
4 |c|
}
Da die Funktion c 7→ |Qn(c)|−
27
4 |c| chordal stetig in C
∗ ist, ist Ω∞ als Schnitt
abgeschlossener Mengen abgeschlossen in C∗. Nach obigem Lemma 1.10 ist
Ω∞ ⊆ {c : |c| < 6} und somit beschra¨nkt. Damit folgt die Behauptung. 2
Der folgende Satz stellt lediglich eine U¨bertragung von Theorem 4.6 in [McM1],
Seite 60, dar:
Satz 1.13 Fu¨r c ∈ C∗ gilt:
c ∈ ∂Ω∞ ⇔ {Qn : n ∈ N} ist nicht normal in c.
Grundlegende Eigenschaften 15
Beweis: Fu¨r jedes c ∈ Ω◦∞ und alle n ∈ N gilt |Qn(c)| ≤ 6 +
27
4 |c| . Insbe-
sondere gibt es also zu jedem c0 ∈ Ω◦∞ einen Radius ρ0, so dass |Qn(c)| ≤ ρ0
fu¨r alle c in einer Umgebung von c0 und alle n ∈ N0. Damit ist die Familie
{Qn : n ∈ N} normal in Ω◦∞.
In
⋃
n∈N0
Ωn gilt Qn(c) →∞ (n→∞) und somit ist die Famile {Qn : n ∈ N}
auch normal in ⋃
n∈N0
Ωn.
Sei nun c0 ∈ ∂Ω∞. Dann gibt es in jeder Umgebung von c0 Parameter c
mit Qn(c) → ∞ und solche, fu¨r die (Qn(c))n∈N beschra¨nkt ist. Somit ist die
Familie {Qn : n ∈ N} nicht normal in c0. 2
Bemerkung 1.14 Wir u¨bernehmen die Bezeichnung von McMullen und
nennen C∗ \ ∂Ω∞ die Menge der ”J-stabilen Parameter“ und ∂Ω∞ die Bifur-kationsmenge.
Lemma 1.15 Ω∞ ist symmetrisch bezu¨glich Spiegelung an der reellen Ach-
se.
Beweis: Es ist Rc(z) =
4
27c
(z2 − z + 1)3
z2(z − 1)2 = Rc(z) fu¨r alle c ∈ C
∗ und alle
z ∈ C. Nutzt man Rn+1c (z) = Rc (Rnc (z)) = Rc
(
Rnc (z)
)
= Rc(Rnc (z)) =
Rn+1c (z) aus, so erha¨lt man mit Induktion fu¨r alle n ∈ N:
Qn(c) = Qn(c)
Dies liefert die Behauptung. 2
1.4 Exkurs: Modulfunktionen und R1
Dieser Exkurs orientiert sich imWesentlichen an der Darstellung von Chandra-
sekhran ([Cha], Seite 81-121); man vergleiche auch die Monographie von
Schoeneberger ([Sch]). Im Folgenden sei H := {z ∈ C : Im z > 0} die obe-
re Halbebene. Die Gruppe Γ :=
{
z 7→ az + bcz + d : a, b, c, d ∈ Z, ad− bc = 1
}
heißt die Modulgruppe. Sie ist die von z 7→ 1−z und z 7→ 1 + z erzeugte
Untergruppe der Gruppe der Mo¨biustransformationen.
Grundlegende Eigenschaften 16
Definition 1.16 Die meromorphe, nicht konstante Funktion f : H → Ĉ
heißt Modulfunktion, wenn sie invariant unter der Modulgruppe ist, das heißt
wenn f(Mz) = f(z) fu¨r alle M ∈ Γ gilt.
Ha¨ufig werden etwas allgemeiner auch solche Funktionen als Modulfunktio-
nen bezeichnet, die invariant unter einer Untergruppe der Modulgruppe sind.
Fu¨r Im ω1ω2
> 0 verwenden wir die u¨blichen Bezeichnungen
g2(ω1, ω2) = 60
∑
(mω1 + nω2)−4
und
g3(ω1, ω2) = 140
∑
(mω1 + nω2)−6.
Dabei ist u¨ber alle Paare (m,n) ∈ Z × Z \ {(0, 0)} zu summieren.
Fu¨r τ = ω1ω2
definieren wir nun die absolute Invariante durch
J(τ) := (g2(ω1, ω2))
3
(g2(ω1, ω2))3 − 27(g3(ω1, ω2))2
.
Die Funktion J ist dann eine Modulfunktion, und es gilt sogar der folgende
Satz:
Satz 1.17
Der Ko¨rper der Modulfunktionen ist gleich dem Ko¨rper C(J).
Es sei ℘ die Weierstraßsche ℘-Funktion sowie e1 = ℘
(ω1
2
)
, e2 = ℘
(ω2
2
)
und
e3 = ℘
(ω1 + ω2
2
)
. Dann sind e1, e2 und e3 paarweise verschieden und wir
ko¨nnen durch
λ(τ) = e3 − e2e1 − e2
eine in Im τ > 0 holomorphe Funktion definieren. Diese ist invariant unter
der Gruppe Γ(2), die von den beiden Mo¨biustransformationen z 7→ z1− 2z
und z 7→ z + 2 erzeugt wird. Diese Gruppe entha¨lt gerade die Elemente
der Modulgruppe, bei denen a und d gerade sind, wa¨hrend b und c ungerade
sind. Ferner ist unsere Gruppe Σ (bis auf Isomorphie) gleich der Faktorgruppe
Γ/Γ(2).
Der besondere Zusammenhang zu der in dieser Arbeit betrachteten Familie
besteht darin, dass die Funktion R1 gerade die Funktionen J und λ ineinander
u¨berfu¨hrt vermo¨ge
J(τ) = R1(λ(τ))
fu¨r Im τ > 0 (vergleiche [Cha], Seite 117).
Kapitel 2
Hilfsmittel
2.1 Die Riemann-Hurwitz-Formel
Eines der am ha¨ufigsten benutzen Hilfsmittel in der Theorie der Iteration
rationaler Funktionen ist die Formel von Riemann-Hurwitz (vergleiche zum
Beispiel [St1], Seite 7, oder [St2]):
Satz 2.1 (Riemann-Hurwitz-Formel) Es seien D,G zwei Gebiete mit
endlicher Zusammenhangszahl. Weiter sei f : D → G eine eigentliche Ab-
bildung vom Grad k, die in D genau r kritische Punkte habe (entsprechend
deren Vielfachheit geza¨hlt). Dann gilt:
♯D − 2 = k · (♯G− 2) + r
2.2 Quasikonforme Abbildungen
Ein wichtiges Hilfsmittel in der komplexen Dynamik ist die Methode der
quasikonformen Chirurgie und der polynom-a¨hnlichen Abbildungen, wie sie
1985 von Douady und Hubbard (vergleiche [DouHub]) entwickelt und spa¨ter
unter anderem von Shishikura ([Shi]) weiterentwickelt wurde. Die Grund-
lage hierfu¨r bildet die Theorie der quasikonformen Abbildungen, die schon
seit den Zwanziger Jahren des letzten Jahrhunderts untersucht worden sind.
Wesentliche Beitra¨ge haben hier Gro¨tzsch (1928, zu regula¨r quasikonformen
Abbildungen), Teichmu¨ller, Morrey (1938, zur analytischen Definition und
der Beltramigleichung), Ahlfors (1954, zur geometrischen Definition), Mori,
Bers und andere geliefert. Die Theorie ist in der Monographie von O. Lehto
und K.I. Virtanen (vergleiche [LehVir]) umfassend dargestellt. Wir geben hier
nur eine kurze U¨bersicht u¨ber die wichtigsten in dieser Arbeit verwendeten
Begriffe und Resultate.
Hilfsmittel 18
Im Folgenden sei D stets ein Gebiet in C. Fu¨r eine differenzierbare Funktion
f : D → C seien
fz :=
1
2(fx − ify) und fz :=
1
2(fx + ify)
die Wirtinger-Ableitungen und
Jf := |fz|2 − |fz|2
die Jacobi-Determinante von f .
Dann gelten fu¨r differenzierbare Funktionen f, g, h : C → C mit h = f ◦ g
die Kettenregeln
hz = (fw ◦ g) gz + (fw ◦ g) gz
und
hz = (fw ◦ g) gz + (fw ◦ g) gz.
Ferner ist f genau dann holomorph, wenn fz = 0.
Definition 2.2 Eine differenzierbare Funktion f : D → C heißt regula¨r K-
quasikonform, wenn gilt:
1. Jf > 0 in D
2. f ist injektiv in D
3. |fz|+ |fz||fz| − |fz|
≤ K in D.
Bemerkung 2.3 Bezeichnen wir fu¨r α ∈ R mit
∂αf(z) = limt→0
f(z + teiα)− f(z)
t = e
iαfz(z) + e−iαfz(z)
die Richtungsableitung von f , so kann die dritte Bedingung durch
max
α
|∂αf(z)| ≤ K minα |∂αf(z)| in D
ersetzt werden.
Definition 2.4 Es sei f : D → C differenzierbar mit Jf > 0. Dann heißt
µf :=
fz
fz
der Beltrami-Koeffizient (oder die komplexe Dilatation) von f .
Hilfsmittel 19
Ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus f ist genau dann regula¨r K-
quasikonform, wenn |µf | ≤
K − 1
K + 1 ist.
Ist weiterhin g konform und h = f ◦g, so gilt die Kettenregel µh = (µf ◦g)
g′
g′ .
Definition 2.5 (Die geometrische Definition) Ein orientierungserhal-
tender Homo¨omorphismus f : D → C heißt
K-quasikonform, wenn fu¨r jedes Ringgebiet R mit R ⊆ D gilt:
mod f(R) ≤ K mod R
Quasikonforme Abbildungen lassen sich jedoch nicht nur durch ihre geometri-
schen Eigenschaften charakterisieren, sondern auch durch ihre analytischen
Eigenschaften. Dies soll im Folgen kurz skizziert werden.
Definition 2.6 Eine Funktion f : [a, b] → C heißt absolut stetig, wenn es zu
jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass folgendes gilt:
Ist n ∈ N und a ≤ x1 < x∗1 ≤ x2 < x∗2 ≤ · · · ≤ xn < x∗n ≤ b mitn∑
k=1
(x∗k − xk) < δ, so ist
n∑
k=1
|f(x∗k)− f(xk)| < ε.
Definition 2.7 Eine Funktion f : D → C heißt absolut stetig auf Geraden
(kurz: ACL), wenn fu¨r jedes Rechteck [a, b]× [c, d] ⊆ D gilt:
1. Fu¨r fast alle y ∈ [c, d] ist x 7→ f(x+ iy) abolut stetig in [a, b].
2. Fu¨r fast alle x ∈ [a, b] ist y 7→ f(x+ iy) abolut stetig in [c, d].
Definition 2.8 Die Funktion f : [a, b] → C hat die verallgemeinerte Ab-
leitung Φ ∈ L([a, b],C), wenn fu¨r jede Testfunktion ω ∈ C∞([a, b],C) mit
ω(a) = ω(b) = 0 gilt:
b∫
a
Φ(x)ω(x)dx = −
b∫
a
f(x)ω′(x)
Fu¨r verallgemeinerte Ableitungen gilt also die Regel der partiellen Integra-
tion. Besitzt f die verallgemeinerte Ableitung Φ, so ist diese fast u¨berall
eindeutig bestimmt und wir schreiben auch f ′ = Φ.
Definition 2.9 Es sei Ck0 (D) die Menge aller Funktionen ω ∈ Ck(D) mit
kompaktem Tra¨ger T := {z : ω(z) 6= 0} ⊆ D. Entsprechend sei C∞0 (D) die
Menge aller Funktionen ω ∈ C∞(D) mit kompaktem Tra¨ger.
Hilfsmittel 20
C∞0 (D) ist dicht in Lp(D); nach dem Satz von Gauß gilt fu¨r f ∈ C1(D) und
ω ∈ C∞0 (D): ∫
fzω = −
∫
fωz und
∫
fzω = −
∫
fωz
Dies motiviert die folgende Definition:
Definition 2.10 Die Funktion f ∈ C0(D) hat die verallgemeinerten Ablei-
tungen g, h ∈ Lploc(D), wenn fu¨r alle Testfunktionen ω ∈ C∞0 (D) gilt:
∫
gω = −
∫
fωz und
∫
hω = −
∫
fωz
g und h sind dann fast u¨berall eindeutig bestimmt und wir schreiben wieder
g = fz und h = fz.
Dabei sei h ∈ Lploc(D), wenn hp u¨ber jeder kompakten Teilmenge von D
integrierbar ist.
Lemma 2.11 Jede quasikonforme Abbildung f : D → C hat verallgemeiner-
te Ableitungen fz, fz ∈ L2loc(D) und es ist Jf > 0 fast u¨berall.
Satz 2.12 (Die analytische Definition) Es sei f : D → C ein orientie-
rungserhaltender Homo¨omorphismus. Dann ist f genau dannK-quasikonform,
wenn gilt:
1. f ist absolut stetig auf Geraden.
2. f ist fast u¨berall differenzierbar und es gilt die Abscha¨tzung
max
α
|∂αf(z)| ≤ K minα |∂αf(z)|.
(Vergleiche hierzu etwa [LehVir], Seite 170-176)
Regula¨r quasikonforme Abbildungen erfu¨llen die Beltramigleichung
fz = µ(z)fz,
und quasikonforme Abbildungen erfu¨llen diese Gleichung ebenfalls im Sinne
verallgemeinerter Ableitungen.
Das fu¨r uns wichtigste Resultat der Theorie ist nun der Existenzsatz von Ahl-
fors und Bers (auch als ”Measurable Riemann Mapping Theorem“ bezeich-net), der es erlaubt, zu einem beliebig vorgegebenen Beltramikoeffizienten
eine quasikonforme Abbildung zu konstruieren:
Hilfsmittel 21
Satz 2.13 (Satz von Ahlfors-Bers) Zur meßbaren Funktion µ : C → C
mit |µ(z)| ≤ k = K−1K+1 < 1 gibt es eine quasikonforme Abbildung f : C → C
mit
fz = µ(z)fz fast u¨berall.
Die Ableitungen sind hier als verallgemeinerte Ableitungen im Sinne der
Definition 2.10 zu verstehen. Dieser Satz findet sich in [LehVir] auf Seite 204
und in [St4].
Bemerkung 2.14 Die Lo¨sung der Beltramigleichung ist eindeutig bestimmt
durch die Normierung f(0) = 0, f(1) = 1 und lim
z→∞
f(z) = ∞.
Definition 2.15 Es sei G ⊆ Ĉ ein Gebiet. Eine Abbildung f : G→ Ĉ heißt
K-quasiregula¨r, wenn f sich lokal als g ◦ϕ mit einer analytischen Abbildung
g und einer K-quasikonformen Abbildung ϕ schreiben la¨ßt.
Definition 2.16 Es sei G ⊆ Ĉ ein Gebiet. Eine Abbildung f : G → G
heißt gleichma¨ßig K-quasiregula¨r, wenn f und alle Iterierten fn, n ≥ 1, K-
quasiregula¨r sind mit einem festen K > 1.
Definition 2.17 Es seien U, V ⊆ C Gebiete, f : U → V eine quasiregula¨re
Abbildung und µ : V → C ein Beltramikoeffizient. Dann heißt
f ∗µ :=
µf + (µ ◦ f) · fzfz
1 + µf · (µ ◦ f) · fzfz
das Pull-Back von µ unter f (vergleiche [Gey2], Seite 10).
Bemerkung 2.18 Die Kettenregel fu¨r Beltramikoeffizienten besagt, dass fu¨r
jede quasiregula¨re Abbildung g mit µg = µ gerade f ∗µ = µg◦f ist. Insbeson-
dere ist f ∗µ wieder ein Beltramikoeffizient.
Ist f holomorph, so vereinfacht sich die Darstellung zu f ∗µ = (µ ◦ f)f ′f ′ (ver-
gleiche zum Beispiel [St4], Seite 22, fu¨r rationales f).
2.3 Beltramikoeffizienten und symmetrische
Abbildungen
In den folgenden Kapiteln soll die Parameterebene (”c-Ebene“) der Familie
Rc(z) =
4
27 c
(z2 − z + 1)3
z2(z − 1)2 , c ∈ C
∗, untersucht werden. Dazu wird als ein
Hilfsmittel 22
wesentliches Hilfsmittel die Methode der quasikonformen Chirurgie dienen.
Da die zu untersuchende Familie symmetrisch ist unter den Abbildungen
α(z) := 1− z und β(z) := 1z (vergleiche Satz 1.1), beno¨tigen wir eine Aussa-
ge daru¨ber, wie diese Symmetrien bei quasikonformer Konjugation erhalten
bleiben. Hierzu beno¨tigen wir die folgenden vier Lemmata. Es sei an dieser
Stelle bemerkt, dass ein entsprechendes Resultat auch in [Roe] verwendet
wird (dort fu¨r die Symmetrien z 7→ iz und z 7→ −z).
Lemma 2.19 Es sei f ∈ C1(C) und es gelte f(z) = f(1 − z) fu¨r z ∈ C.
Dann gilt auch fu¨r den Beltramikoeffizienten µf(z) = µf(1− z).
Beweis: Es sei α(z) := 1 − z und h(z) := f(α(z)) = f(1 − z). Dann gilt
nach der Kettenregel fu¨r den Beltramikoeffizienten:
µf(z) = µh(z) = (µf ◦ α)(z)
α′(z)
α′(z) = µf(1− z)
2
Lemma 2.20 Es sei f ∈ C1(C) und es gelte f(z) = f(1/z) fu¨r z ∈ C. Dann
gilt fu¨r den Beltramikoeffizienten µf(z) = µf(1/z)
( z
z
)2
fu¨r alle z ∈ C.
Beweis: Es sei β(z) := 1z und h(z) := f(β(z)). Dann folgt die Behauptung
wie im Beweis des vorigen Lemmas. 2
Lemma 2.21 Es sei µ ein Beltramikoeffizient mit µ(z) = µ(1−z) und ϕ die
Lo¨sung der zugeho¨rigen Beltramigleichung ϕz = µ(z)ϕz mit der Normierung
ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1 und lim
z→∞
ϕ(z) = ∞. Dann gilt
ϕ(z) = 1− ϕ(1− z).
Beweis: Wir setzen ψ(z) := 1 − ϕ(1 − z). Dann lo¨st auch ψ die Beltrami-
gleichung fu¨r µ und die Behauptung folgt aus der Eindeutigkeit der Lo¨sung
(siehe [LehVir], Seite 193). 2
Lemma 2.22 Es sei µ ein Beltramikoeffizient mit µ(z) = µ(1/z)
( z
z
)2
und ϕ die Lo¨sung der zugeho¨rigen Beltramigleichung ϕz = µ(z)ϕz mit der
Normierung ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1 und lim
z→∞
ϕ(z) = ∞. Dann gilt
ϕ(z) = 1ϕ(1/z) .
Hilfsmittel 23
Beweis: Wir setzen ψ(z) := 1ϕ(1/z) und ζ(z) := ϕ(1/z). Dann gilt ζ = ϕ◦β
und nach der Kettenregel ergibt sich
ζz = (ϕw ◦ β) · (−
1
z2 ) + (ϕw ◦ β) · 0
ζz = (ϕw ◦ β) · 0 + (ϕw ◦ β) · (−
1
z2 )
Weiter gilt ψ = β ◦ ζ und wir erhalten mit nochmaliger Anwendung der
Kettenregel
ψz = (βw ◦ ζ)ζz + 0 =
−1
(ζ(z))2 ζz
ψz = (βw ◦ ζ)ζz + 0 =
−1
(ζ(z))2 ζz
Damit folgt nun
ψz
ψz
(z) = ζzζz
(z) = ϕw(1/z)ϕw(1/z)
( z
z
)2
= µ(1/z)
( z
z
)2
= µ(z)
Auch ψ erfu¨llt die Normierung ψ(0) = 0, ψ(1) = 1 und lim
z→∞
ψ(z) = ∞. Die
Eindeutigkeitsaussage aus dem Satz von Ahlfors-Bers liefert nun ψ = ϕ wie
im vorigen Lemma. 2
2.4 Polynom-a¨hnliche Abbildungen
Polynoma¨hnliche Abbildungen wurden 1985 von A. Douady und J.H. Hub-
bard eingefu¨hrt (siehe [DouHub] und [Dou]). In ihrer Arbeit finden sich auch
die hier aufgefu¨hrten Resultate.
Definition 2.23 Eine polynom-a¨hnliche Abbildung vom Grad d ist ein Tripel
(f,D1, D2), wobei D1, D2 einfach zusammenha¨ngende, analytisch berandete
Gebiete in C mit D1 ⊆ D2 sind, und f : D1 → D2 eine eigentliche Abbildung
vom Grad d ist.
Wir bezeichnen dann Kf :=
⋂
n≥0
f−n(D1) als die aufgefu¨llte Juliamenge von
f und ∂Kf als die Juliamenge von f .
Definition 2.24 Es seien (f,D1, D2) und (g, D˜1, D˜2) zwei polynom-a¨hnli-
che Abbildungen. f und g heißen quasikonform a¨quivalent, wenn es einen
quasikonformen Homeomorphismus ϕ von einer Umgebung von Kf auf eine
Umgebung von Kg gibt, so dass dort ϕ ◦ f = g ◦ ϕ.
Hilfsmittel 24
Das wichtigste Resultat u¨ber polynom-a¨hnliche Abbildungen ist der folgen-
de Satz von Douady und Hubbard (vergleiche [DouHub]), nach dem jede
polynom-a¨hnliche Abbildung quasikonform a¨quivalent zu einem Polynom ist.
Satz 2.25 (Straightening Theorem) Jede polynom-a¨hnliche Abbildung
f : D1 → D2 vom Grad d ist quasikonform a¨quivalent zu einem Polynom
P vom Grad d.
2.5 Das λ-Lemma
Die in diesem Abschnitt vorgestellten Ideen finden ihren Ursprung in der
Arbeit von Man˜e´, Sad und Sullivan (vergleiche [MSS]). Die Resultate finden
sich ebenfalls in der Monographie von C. McMullen (vergleiche [McM1], Seite
53-63). Wir geben Sie hier nur fu¨r den Fall einer u¨ber einem Gebiet der
komplexen Ebene parametrisierten Familie wieder, da dies fu¨r unsere Arbeit
ausreichend ist.
Definition 2.26 Es sei X ein Gebiet in C. Eine nach X parametrisierte
holomorphe Familie rationaler Abbildungen ist eine holomorphe Abbildung
f : X × Ĉ → Ĉ, bezeichnet mit fλ(z), wobei λ ∈ X und z ∈ Ĉ, so dass
fλ : Ĉ → Ĉ eine rationale Abbildung ist.
Ist nun x ∈ X ein fester Basispunkt, so verstehen wir unter einer holomor-
phen Bewegung einer Menge E ⊂ Ĉ parametrisiert nach (X, x) eine Familie
Φλ : E → Ĉ injektiver Abbildungen, so dass Φλ(e) fu¨r jedes feste e eine
holomorphe Funktion von λ ist und Φx = id.
Beispiel 2.27 Die Abbildung R : C\{0}×Ĉ → Ĉ, (c, z) 7→ 427 c
(z2 − z + 1)3
z2(z − 1)2
ist eine holomorphe Familie rationaler Abbildungen.
Lemma 2.28 (Das λ-Lemma) Eine holomorphe Bewegung von E hat eine
eindeutige Fortsetzung zu einer holomorphen Bewegung von E. Die fortge-
setzte Bewegung liefert eine stetige Abbildung Φ : X × E → Ĉ. Fu¨r jedes λ
la¨ßt sich die Abbildung Φλ : E → Ĉ zu einer quasikonformen Selbstabbildung
von Ĉ fortsetzen.
(Vergleiche hierzu [McM1], Seite 54, und [MSS].) Aus diesem Lemma ergibt
sich der folgende Satz:
Satz 2.29 Es sei fλ eine nach X parametrisierte holomorphe Familie ra-
tionaler Abbildungen und x ∈ X. Weiter seien ci : X → Ĉ holomorphe
Hilfsmittel 25
Abbildungen, die die kritischen Punkte von fλ parametrisieren. Dann sind
die folgenden Bedingungen a¨quivalent:
• Die Anzahl der (super-)attraktiven Zykel von fλ ist lokal konstant in x.
• Die maximale Periode eines (super-)attraktiven Zykels von fλ ist lokal
beschra¨nkt in x.
• Die Juliamenge J (fλ) ha¨ngt in einer Umgebung von x in der Hausdorff-
Topologie stetig von λ ab.
• Fu¨r jedes i bilden die Funktionen λ 7→ fnλ (ci(λ)), n ∈ N0, eine normale
Familie in x.
• Es gibt eine Umgebung U von x, so dass fu¨r alle λ in U gilt:
ci(λ) ∈ J (fλ) ⇔ ci(x) ∈ J (fx)
Kapitel 3
Die Fluchtkomponenten
3.1 Die Dynamik in den Fluchtkomponenten
In diesem Abschnitt soll zuna¨chst das dynamische Verhalten der rationalen
Funktion Rc fu¨r c ∈ Ωn, n ∈ N0, untersucht werden. Anschließend wenden
wir das λ-Lemma von Man˜e´, Sad und Sullivan an und zeigen, dass die Men-
gen Ωn, n ∈ N0, alle offen sind.
Es sei zuna¨chst bemerkt, dass fu¨r c ∈
⋃
n∈N0
Ωn die Fatoumenge Fc nur aus
U∞(c) und den sukzessiven Urbildern besteht. Wir unterteilen die Menge Ω0
nun weiter:
Definition 3.1 Es sei
Ω(0)0 := {c ∈ Ω0 : U0(c) = U1(c) = U∞(c)}
die Menge der Parameter, fu¨r die der kritische Wert c und alle seine kritischen
Urbilder im Außengebiet enthalten sind und
Ω(1)0 := {c ∈ Ω0 : U0(c), U1(c) und U∞(c) sind paarweise verschieden }
die Menge der Parameter, fu¨r die zwar der kritische Wert c im Außengebiet
enthalten ist, aber nicht alle seine Urbilder.
Bemerkung 3.2 Nach Lemma 1.3 gilt natu¨rlich Ω0 = Ω(0)0 ∪ Ω(1)0 . Spa¨ter
werden wir zeigen, dass Ω(1)0 = ∅ ist, also Ω0 = Ω(0)0 .
Die Fluchtkomponenten 27
Satz 3.3 (Dynamik in Ω0)
a) Fu¨r c ∈ Ω(0)0 gilt:
Fc = U∞(c) ist zusammenha¨ngend, ♯U∞(c) = ∞
Jc = ∂U∞(c) ist total unzusammenha¨ngend, also eine Cantormenge.
b) Fu¨r c ∈ Ω(1)0 gilt:
Fc besteht aus unendlich vielen stabilen Gebieten, ♯U∞(c) = ∞
Jc besteht aus u¨berabza¨hlbar vielen Zusammenhangskomponenten.
Fu¨r ein Gebiet G sei dabei mit ♯G die Zusammenhangszahl des Gebietes G
bezeichnet. Die Aussage in b) ist hier rein hypothetisch, da wir spa¨ter zei-
gen, dass Ω(1)0 = ∅ ist. Wir nutzen jedoch vorher im Beweis von Satz 3.9 und
Bemerkung 3.10 die Tatsache, dass sich die Dynamik in (etwaigen) Kompo-
nenten von Ω(1)0 qualitativ von der Dynamik in anderen Fluchtkomponenten
unterscheidet, um zu zeigen, dass alle Fluchtkomponenten offen sind.
Beweis: Sei zuna¨chst c ∈ Ω(0)0 . Dann ist U∞(c) vollsta¨ndig invariant und
entha¨lt alle kritischen Punkte. Dann ist Jc = ∂U∞(c) und Jc ist total unzu-
sammenha¨ngend (vergleiche Satz 3, Seite 40, und Satz 2, Seite 121, in [St1] ).
Sei nun c ∈ Ω(1)0 . Dann ist Rc(−1) = Rc(2) = Rc(12) = c ∈ U∞(c) und
somit −1, 2, 12 ∈ R−1c (U∞(c)) = U0(c) ∪ U1(c) ∪ U∞(c). Aus der Symmetrie
der Fatoumenge unter Σ (vergleiche Satz 1.1 und die Abbildung 1.1, Seite 9)
folgt nun 12 ∈ U∞(c), −1 ∈ U1(c) und 2 ∈ U0(c).
Die Riemann-Hurwitz-Formel liefert ♯U∞(c) = ∞. Es folgt, dass die Julia-
menge nicht zusammenha¨ngend ist und somit aus u¨berabza¨hlbar vielen Zu-
sammenhangskomponenten besteht. 2
Wir wissen schon aus Lemma 1.10, dass {c ∈ C∗ : |c| ≥ 6} ⊆ Ω0 ist. Dies
wollen wir nun noch etwas pra¨zisieren, wobei wir nur elementare Methoden
anwenden. Spa¨ter werden wir sehen, dass Ω(0)0 = Ω0 und somit nach Lemma
1.10 die Kreisscheibe {c ∈ C∗ : |c| ≥ 6} in Ω(0)0 enthalten ist.
Lemma 3.4 Es gibt ein r0 > 0 mit: {c ∈ C∗ : |c| ≥ r0} ⊆ Ω(0)0
Beweis: ZumBeweis betrachten wir wieder die FunktionR(z) = (z
2 − z + 1)3
z2(z − 1)2 .
Dann gilt (wie im Beweis von Lemma 1.4 gezeigt) fu¨r alle z ∈ C mit |z| ≥ 6
die Ungleichung
|R(z)| ≥ |z|2 − 3|z| ≥ |z| ≥ 6.
Die Fluchtkomponenten 28
Nun ist aber die Funktion z 7→ |R(z)| stetig auf
{3
2 ≤ |z| ≤ 6
}
, und nimmt,
da sie dort positiv ist, ein Minimum m > 0 an. Es folgt insgesamt
|R(z)| ≥ min{m, 6} =: m˜
fu¨r alle z ∈ C mit |z| ≥ 32. Ist nun aber |c| ≥ r0 :=
81
8m˜ , so folgt fu¨r diese z:
|Rc(z)| ≥
4
27 |c|m˜ ≥
4
27 ·
81
8m˜ · m˜ =
3
2
Insbesondere gilt also
{
z : |z| ≥ 32
}
⊆ U∞(c). Das Aussengebiet entha¨lt also
den freien kritischen Punkt z = 2 und somit folgt nach den U¨berlegungen im
Beweis von Satz 3.3, dass c ∈ Ω(0)0 . 2
Abbildung 3.1: Juliamenge als Cantormenge (c=2,5+2,5i)
Die Fluchtkomponenten 29
Auch die Menge Ω1 soll weiter unterteilt werden:
Definition 3.5 Es sei
Ω(0)1 := {c ∈ Ω1 : c ∈ U0(c)}
die Menge der Parameter, fu¨r die der kritische Wert c im (vom Außengebiet
verschiedenen) stabilen Gebiet um 0 liegt und
Ω(1)1 := {c ∈ Ω1 : c ∈ U1(c)}
die Menge der Parameter, fu¨r die der kritische Wert c im (vom Außengebiet
verschiedenen) stabilen Gebiet um 1 liegt.
Bemerkung 3.6 Offensichtlich gilt Ω1 = Ω(0)1 ∪ Ω(1)1 . Spa¨ter werden wir
zeigen, dass Ω(0)1 = ∅, also Ω1 = Ω(1)1 .
Abbildung 3.2: Juliamenge fu¨r c=1
Die Fluchtkomponenten 30
Satz 3.7 (Dynamik in Ω1)
a) Fu¨r c ∈ Ω(0)1 gilt:
Fc besteht aus unendlich vielen stabilen Gebieten.
♯U∞(c) = ♯U0(c) = ♯U1(c) = 1
Die fu¨nf weiteren kritischen Punkte −1, 2, 12 , z+, z− liegen im einzigen
Urbildgebiet U von U0 und es gilt ♯U = 3.
b) Fu¨r c ∈ Ω(1)1 gilt:
• Die Fatoumenge Fc besteht aus unendlich vielen stabilen, einfach
zusammenha¨ngenden Gebieten.
• Das Außengebiet U∞(c) hat genau 2 Urbildgebiete der Ordnung
1, 5 Urbildgebiete der Ordnung 2 und 5 · 6k−2 Urbildgebiete der
Ordnung k, k ≥ 3.
• Die Juliamenge Jc ist zusammenha¨ngend und sogar lokal zusam-
menha¨ngend.
Wie in Satz 3.3 ist hier die Aussage in a) rein hypothetischer Natur.
Beweis: Fu¨r c ∈ Ω1 gilt: Rc(c) ∈ U∞(c), aber c 6∈ U∞(c). Insbesondere gilt
nach Lemma 1.3, dass die stabilen Gebiete U0(c), U1(c) und U∞(c) paarwei-
se disjunkt sind. Damit entha¨lt U∞(c) neben ∞ keinen weiteren kritischen
Punkt und ist deshalb einfach zusammenha¨ngend (vergleiche Satz 4, Seite
65, in [St1]).
Behauptung: ♯U0 = ♯U1 = 1
Beweis: Da 0 und 1 doppelte Polstellen sind, bildet Rc die beiden Gebiete
U0 und U1 als eigentliche Abbildung vom Grad 2 auf U∞ ab:
Rc : Uj 2:1→ U∞ (j = 0, 1)
Die Riemann-Hurwitz-Formel liefert nun: (♯Uj − 2) = 2 (♯U∞ − 2) + rj und
somit ♯Uj = rj , wobei rj die Anzahl der kritischen Punkte von Rc in Uj
bezeichne.
Nehmen wir nun an, eines der beiden Gebiete U0 bzw. U1 enthalte neben 0
bzw. 1 einen weiteren kritischen Punkt, so ergibt sich in jedem Fall ein Wider-
spruch: Wa¨re z± ∈ Uj , so wa¨re U∞ = Rc(Uj) = U0 und wa¨re −1, 2, 12 ∈ Uj , so
wa¨re c ∈ Rc(Uj) = U∞. Somit ist rj = 1. Damit ist die Behauptung bewiesen.
Sei nun zuna¨chst c ∈ Ω(0)1 .
Es gilt dann −1, 2, 12 ∈ R−1c (U0) = Uz+ ∪Uz−, wobei Uz+ und Uz− die stabilen
Die Fluchtkomponenten 31
Gebiete seien, die die beiden Nullstellen z+ = 1+i
√
3
2 bzw. z− = 1−i
√
3
2 von
Rc enthalten. Wir nutzen nun wieder die Symmetrie unter Σ aus. Es gilt
α(z+) = z−, β(z+) = z−, α(z−) = z+ und β(z−) = z+. Damit folgt nach Satz
1.1:
−1 ∈ Uz+ ⇒ −1 = β(−1) ∈ β(Uz+) = Uz− ⇒ Uz+ = Uz−
und analog −1 ∈ Uz− ⇒ Uz+ = Uz− . Somit entha¨lt U := Uz+ = Uz− die drei
freien kritischen Punkte −1, 2 und 12 und
Rc : U 6:1→ U0
Die Riemann-Hurwitz-Formel liefert dann (♯U − 2) = 6(♯U0 − 2) + 7, also
♯U = 3.
Sei nun c ∈ Ω(1)1 :
Also ist c ∈ U1(c). Wir bezeichnen fu¨r j = −1, 2, 12 mit Uj das stabile Gebiet,
dass den Punkt j entha¨lt und mit rj die Anzahl der kritischen Punkte in Uj .
Wir wissen dann, dass Rc das Gebiet U2 eigentlich als (k : 1)-Abbildung auf
U1 abbildet mit 2 ≤ k ≤ 6:
Rc : U2 k:1→ U1
Mit der Riemann-Hurwitz-Formel ergibt sich (♯U2 − 2) = k(♯U1 − 2) + r2,
also ♯U2 = 2 − k + r2. Einsetzen der mo¨glichen Werte fu¨r r2 liefert, dass U2
einfach zusammenha¨ngend ist und genau einen kritischen Punkt (na¨mlich 2)
entha¨lt. Ferner ist Rc : U2 2:1→ U1 eine 2 : 1-Abbildung. Die entsprechenden
U¨berlegungen gelten analog auch fu¨r −1 und 12 . Somit sind die Gebiete U−1,
U2 und U 12 paarweise verschieden und alle einfach zusammenha¨ngend.Außerdem gilt:
Rc : Uz+
k:1→ U0, k ∈ {3, 6}
Die Riemann-Hurwitz-Formel liefert hier wieder, dass Uz+ neben z+ keinen
weiteren kritischen Punkt entha¨lt und dass gilt ♯Uz+ = 1. Entsprechendes
gilt fu¨r Uz− .
Mit der Riemann-Hurwitz-Formel folgt weiterhin, dass auch alle weiteren Ur-
bildgebiete von U∞ unter Rnc , n ∈ N, einfach zusammenha¨ngend sind.
Jc ist somit zusammenha¨ngend und, da Rc hyperbolisch ist, sogar lokal zu-
sammenha¨ngend (vergleiche [Mat],[LeiYon]). 2
Satz 3.8 (Dynamik in Ωn, n ≥ 2) Es sei c ∈ Ωn = {c ∈ C∗ : Rnc (c) ∈
U∞(c), Rn−1c (c) 6∈ U∞(c)} fu¨r n ∈ N, n ≥ 2. Dann gilt:
• Die Fatoumenge Fc besteht aus unendlich vielen stabilen, einfach zu-
sammenha¨ngenden Gebieten.
Die Fluchtkomponenten 32
• Das Außengebiet U∞(c) hat genau 2 Urbildgebiete der Ordnung 1, 8
Urbildgebiete der Ordnung 2, 8 · 6k−2 Urbildgebiete der Ordnung k fu¨r
3 ≤ k ≤ n, 8 · 6n−1− 3 Urbildgebiete der Ordnung n+1 und (8 · 6n−1−
3)6k−n−1 Urbildgebiete der Ordnung k fu¨r k ≥ n + 2.
• Die Juliamenge Jc ist zusammenha¨ngend und lokal zusammenha¨ngend.
Beweis: Fu¨r c ∈ Ωn, n ≥ 2 gilt: c 6∈ U∞ ∪ U0 ∪ U1. Wie oben folgt
mit der Riemann-Hurwitz-Formel, dass U∞, U0 und U1 alle einfach zusam-
menha¨ngend sind und keine weiteren kritischen Punkte enthalten. Es ist
Rnc (c) ∈ U∞, Rn−1c (c) 6∈ U∞.
Behauptung: Fu¨r k = 3, . . . , n hat U∞ genau 8 · 6k−2 Urbildgebiete der
Ordnung k. Diese sind alle einfach zusammenha¨ngend. Wir bezeichnen sie
hier mit U [k]j , j = 1, . . . , 8 · 6k−2.
Beweis: Wie bei Ω(1)1 folgt: Uz+ 6= Uz− und ♯Uz+ = ♯Uz− = 1. Ist U ein
Urbildgebiet von U1, so gilt
Rc : U m:1→ U1
und mit der Riemann-Hurwitz-Formel folgt (♯U − 2) = m(♯U1 − 2) + 0, da
U keinen kritischen Punkt entha¨lt. Somit ergibt sich ♯U = 2−m und damit
m = 1 und ♯U = 1. Damit hat U1 genau 6 direkte Urbildgebiete und U∞ hat
insgesamt genau 8 Urbildgebiete der Ordnung 2.
Analog erhalten wir, dass Rc : U [k+1]j
1:1→ U [k]j˜ und ♯U
[k+1]
j = 1, solange kein
kritischer Punkt in U [k+1]j liegt, also mindestens fu¨r k ≤ n. Damit ist die erste
Behauptung gezeigt.
Behauptung: U∞ hat genau 8 · 6n−1 − 3 Urbildgebiete der Ordnung n+ 1.
Beweis: In einem Urbildgebiet U [n]j liegt der kritische Wert c. O.B.d.A.
sei dies U [n]1 . Dann haben die U
[n]
j , j = 2, . . . , 8 · 6n−2 je 6 einfach zusam-
menha¨ngende Urbildgebiete. Ferner gilt (mit der Notation von oben):
Rc : U2 m:1→ U [n]1
und mit der Riemann-Hurwitz-Formel folgt: (♯U2 − 2) = m(♯U [n]1 − 2) + r2
und somit ♯U2 = 2−m+ r2. Einsetzen der mo¨glichen Werte liefert wie oben:
r2 = 1 ⇒ m = 2 und ♯U2 = 1
r2 = 2 ⇒ m = 4 und ♯U2 = 0 Widerspruch!
r2 = 3 ⇒ m = 6 und ♯U2 = −1 Widerspruch!
Die Fluchtkomponenten 33
Analoge U¨berlegungen gelten fu¨r U−1 und U 12 . Also hat U
[n]
1 genau 3 ver-
schiedene Urbildgebiet, na¨mlich U2, U−1 und U 12 . Diese sind jeweils einfach
zusammenha¨ngend und Rc bildet sie eigentlich vom Grad 2 auf U [n]1 ab. Da-
mit folgt die zweite Behauptung.
Behauptung: Fu¨r k > n + 1 hat U∞ genau (8 · 6n−1 − 3) · 6k−(n+1) Urbild-
gebiete der Ordnung k. Diese sind alle einfach zusammenha¨ngend.
Beweis: Der Beweis verla¨uft analog zu oben.
Jc ist damit zusammenha¨ngend und sogar lokal zusammenha¨ngend (verglei-
che [Mat],[LeiYon]). 2
Satz 3.9 Die Mengen Ωn, n ∈ N0, sind offen.
Beweis: Die Menge
∞⋃
n=0
Ωn ist offen nach Satz 1.12. Jetzt sei Ω eine zusam-
menha¨ngende Komponente von
∞⋃
n=0
Ωn. Wegen O+(c) ∩ Jc = ∅ fu¨r c ∈ Ω
ist (Rc)c∈Ω eine hyperbolische einparametrige Familie. Nach dem λ-Lemma
von Man˜e´, Sad und Sullivan (Lemma 2.28, vergleiche Satz B in [MSS] oder
[McM1], Seite 54) folgt, dass je zwei Funktionen Rc dieser Familie (Rc)c∈Ω
auf ihren Juliamengen quasikonform konjugiert zueinander sind. Aus obiger
Betrachtung der Ωn sehen wir nun, dass Ω nicht zwei Werte c1 und c2 ent-
halten kann, die zu verschiedenen Mengen Ωn geho¨ren. Dies zeigt, dass alle
Mengen Ωn, n ∈ N0, offen sind. 2
Bemerkung 3.10 Die Argumentation liefert auch, dass Ω(0)0 , Ω
(1)
0 , Ω
(0)
1 und
Ω(1)1 offen sind, da Rc und Rc˜ nicht quasikonform konjugiert zueinander sind,
falls c ∈ Ω(0)0 und c˜ ∈ Ω(1)0 bzw. falls c ∈ Ω(0)1 und c˜ ∈ Ω(1)1 .
3.2 Parametrisierung der Fluchtkomponenten
Das Ziel dieses Abschnittes ist es zu zeigen, dass alle Fluchtkomponenten ein-
fach zusammenha¨ngend sind. Ferner wollen wir zeigen, dass jede Fluchtkom-
ponente der Ordnung n genau eine Polstelle von Qn entha¨lt (ihr ”Zentrum“).Dadurch la¨ßt sich dann die Anzahl der Fluchtkomponenten der Ordnung n
angeben.
Als erste Beobachtung erhalten wir das folgende
Die Fluchtkomponenten 34
Lemma 3.11 Es sei n ∈ N.
a) Ist c eine Nullstelle oder eine Einsstelle von Qn−1, so gilt c ∈ Ω(0)0 ∪Ωn.
b) Ist Ω eine Fluchtkomponente der Ordnung n ≥ 1, so hat Qn−1 minde-
stens eine Nullstelle oder eine Einsstelle in Ω.
c) Ist Ω eine beschra¨nkte Komponente von Ω0, so gibt es ein k ∈ N, so
dass Qk mindestens eine Nullstelle oder eine Einsstelle in Ω hat.
Beweis: zu a): Es sei c eine Null- oder Einsstelle von Qn−1. Nach Lem-
ma 1.3 sind entweder U0(c), U1(c) und U∞(c) paarweise verschieden oder es
ist U0(c) = U1(c) = U∞(c). Im ersten Fall folgt, dass Qk(c) 6∈ U∞ fu¨r alle
k ≤ n− 1, aber Qn(c) ∈ U∞. Also gilt c ∈ Ωn. Im zweiten Fall gilt sicherlich
c ∈ Ω(0)0 .
zu b): Fu¨r alle c ∈ ∂Ω, c 6= 0, und alle m ∈ N gilt |Qm(c)| ≤ 6+
27
4|c| . Dies lie-
fert aber fu¨r alle c ∈ ∂Ω und allem ∈ N die Ungleichung |cQm(c)| ≤ 6|c|+
27
4 .
Nach Lemma 1.10 gilt {c : |c| ≥ 6} ⊆ Ω0 und somit folgt fu¨r alle c ∈ ∂Ω und
alle m ∈ N die Ungleichung |c Qm(c)| ≤ 36 +
27
4 ≤ 43.
Wenn nun kein Qm eine Polstelle in Ω hat, so folgt nach dem Maximumprin-
zip |cQm(c)| ≤ 43 fu¨r alle c ∈ Ω und alle m ∈ N. Dies liefert aber Ω ⊆ Ω∞
und somit einen Widerspruch.
Also gibt es ein minimales m ∈ N, so dass Qm eine Polstelle c0 in Ω hat. Aus
a) erhalten wir, dass m = n gelten muss.
zu c): Die gleichen U¨berlegungen wie in b) lassen sich auch hier anwenden.
2
Satz 3.12 Die Menge Ω0 besteht nur aus der unbeschra¨nkten Komponente,
ist also insbesondere zusammenha¨ngend. Ferner ist Ω(1)0 = ∅ und Ω0 entha¨lt
keine Null- oder Einsstelle von Qn−1, n ≥ 1.
Beweis: Es sei zuna¨chst c ∈ Ω0 fest. Dann ist c ∈ U∞(c) = U∞, U∞ ist
vollsta¨ndig invariant und unendlichfach zusammenha¨ngend (vergleiche Satz
3.3). Wir wa¨hlen eine Kreisscheibe D0 ⊆ U∞ um ∞ mit Rc(D0) ⊆ D0, also
zum Beispiel D0 =
{
z : |z| ≥ 6 + 274|c|
}
. Nun scho¨pfen wir U∞ aus. Dazu sei
rekursiv Dn+1 als die Komponente von R−1c (Dn), die D0 entha¨lt, definiert.
Dann ist U∞ =
⋃
n≥0
Dn und Rc : Dn+1 → Dn eine eigentliche Abbildung.
Wir nehmen nun an, c wa¨re eine Nullstelle von einem Qn−1, n ≥ 2. Dann
ergibt sich der folgende kritische Orbit:
Die Fluchtkomponenten 35
∞
1
0
1 + i
√
3
2
1− i
√
3
2
−1 c
2
1
2
. . .
Entsprechend sieht der kritische Orbit aus, wenn c eine Einsstelle von einem
Qn−1, n ≥ 1, wa¨re. Insbesondere gibt es ein m ∈ N mit 0 ∈ Dm+1 oder 1 ∈
Dm+1, so dass Dm keine endlichen kritischen Punkte entha¨lt. Die Riemann-
Hurwitz-Formel liefert dann
♯Dm+1 − 2 = k(♯Dm − 2)r bzw. ♯Dm+1 = 2 + r − k,
wobei Rc : Dm+1 → Dm eigentlich vom Grad k sei und r die Anzahl der
kritischen Punkte von Rc in Dm+1 bezeichne. Da Dm+1 zwei oder drei der
kritischen Punkte 0, 1 und ∞ entha¨lt, ist entweder r = 2 und k = 4 oder
aber r = 3 und k = 6. Im ersten Fall wa¨re ♯Dm+1 = 0, im zweiten Fall
♯Dm+1 = −1, also ergibt sich in jedem Fall ein Widerspruch.
Da also Ω0 keine Nullstelle von Qn−1, n ≥ 2, entha¨lt, hat Ω0 nach Lemma
3.11 c) keine beschra¨nkte Komponente. Nach Lemma 3.4 gibt es ein r0 > 0
mit {c ∈ C∗ : |c| ≥ r0} ⊆ Ω(0)0 . Damit ist also Ω(1)0 = ∅ und die Menge
Ω0 = Ω(0)0 ist zusammenha¨ngend. 2
Bemerkung 3.13 Aus diesem Satz und dem vorhergehenden Lemma folgt,
dass fu¨r n ∈ N einerseits jede Null- oder Einsstelle von Qn−1 in einer Flucht-
komponente der Ordnung n liegt, und andererseits jede Fluchtkomponente
der Ordnung n mindestens eine Null- oder Einsstelle von Qn−1 entha¨lt. Im
Folgenden zeigen wir unter anderem, dass jede Fluchtkomponente der Ord-
nung n genau eine Null- oder Einsstelle von Qn−1 entha¨lt. Diese nennen wir
dann das Zentrum der Komponente.
Die Fluchtkomponenten 36
Satz 3.14 Es ist Ω(0)1 = ∅
Beweis: Aus Lemma 3.11 folgt, dass Ω1 ho¨chstens eine Zusammenhangs-
komponente besitzen kann und diese entha¨lt dann den Parameter c = 1.
Offensichtlich gilt (vergleiche die Definition auf Seite 29) 1 6∈ Ω(0)1 . Dies lie-
fert also Ω(0)1 = ∅ und Ω1 = Ω(1)1 . 2
Nun treffen wir zuna¨chst weitere Vorbereitungen fu¨r die Parametrisierung
der Fluchtkomponnten der Ordnung n ≥ 1:
Bemerkung 3.15 Fu¨r c ∈ Ωn, n ≥ 1, haben wir bereits gezeigt, dass U∞(c)
einfach zusammenha¨ngend ist und neben ∞ keine weiteren kritischen Punkte
von Rc entha¨lt. Rc hat um ∞ eine Entwicklung der Form Rc(z) = 427cz2+ . . ..
Nach [St1], Seite 60ff, hat die Bo¨ttcher-Funktionalgleichung
ϕc (Rc(z)) =
4
27c · (ϕc(z))
2
mit der Normierung
ϕc(z) = z + . . . um ∞
eine eindeutige Lo¨sung und es ist
ϕc : U∞(c) →
{
w : |w| > 274 |c|
}
eine konforme Abbildung.
Definition 3.16 Es sei n ∈ N. Die Abbildung
Ψn : Ωn → Cˆ \ D
Ψn(c) :=
4
27c · ϕc(Qn(c))
heißt Parametrisierungsabbildung von Ωn.
Nach obiger Bemerkung ist Ψn wohldefiniert. Als na¨chstes wollen wir zeigen,
dass Ψn jede Fluchtkomponente der Ordnung n ≥ 1 eigentlich auf Ĉ \ D
abbildet.
Lemma 3.17 Es sei n ∈ N. Dann ist die Parametrisierungsabbildung Ψn
lokal konform in Ωn \ {Polstellen von Qn}.
Die Fluchtkomponenten 37
−1
c
U
2
· · ·
· · ·
gc
gc
gc
gnc
1
2
gc
gc
gc
gc
gc
gc
U∞
gc
Abbildung 3.3: Die Definition des Beltramikoeffizienten
Beweis: (a) Es sei zuna¨chst c∗ ∈ Ωn fest gewa¨hlt und keine Polstelle von
Qn . Zur Vereinfachung der Darstellung sei im Folgenden R := Rc∗ und U
das Fatougebiet von R, das c∗ entha¨lt. Weiter sei ε > 0 so gewa¨hlt, dass die
Kreisscheibe {z : |z − c∗| ≤ 3 ε} in U enthalten ist und keine Polstelle von
Qn entha¨lt.
Es sei (ηc) eine Familie von Diffeomorphismen ηc : Ĉ → Ĉ, die fu¨r |c−c∗| < ε
analytisch von c abha¨ngen, mit
ηc(z) =
{
z fu¨r |z − c∗| > 3ε
z − c∗ + c fu¨r |z − c∗| < ε
.
Zur Konstruktion solcher Diffeomorphismen vergleiche man zum Beispiel
die Arbeit [Roe] von Pascale Roesch. Wir definieren nun die Abbildung
gc : Ĉ → Ĉ durch gc := ηc ◦ R. Dann ist gc eine quasiregula¨re Abbildung
und es ist gkc (U) ∩ U = ∅ fu¨r alle k ∈ N. Weiter ist auch gc symmetrisch
unter Σ, das heißt gc ◦ σ = gc fu¨r alle σ ∈ Σ. In Ĉ \R−1(U) ist gc = R, also
insbesondere analytisch.
(b) Wir definieren nun einen Beltramikoeffizienten µc, der invariant un-
Die Fluchtkomponenten 38
ter gc ist in dem Sinne, dass µc(z) = g∗cµc(z) fu¨r alle z ∈ C (g∗cµc be-
zeichne das Pullback von µc unter gc, vergleiche Seite 21). Dies geschieht
in mehreren Schritten. Dazu setzen wir zuna¨chst µc(z) := 0 fu¨r alle z ∈
C \
∞⋃
j=0
R−j(U∞(c∗)) =: C \ A∞ (der weiße Bereich in der Abbildung 3.2).
Man beachte, dass A∞ und C\A∞ vollsta¨ndig invariant unter gc sind. Somit
gilt sicherlich µc(z) = g∗cµc(z) fu¨r z ∈ C \ A∞.
Wir setzen nun auch µc(z) = 0 fu¨r z ∈ U∞(c∗) und definieren sukzessive
µc(z) := g∗cµc(z) =
µgc(z) + µc(gc(z)) · (gc)z(z)(gc)z(z)
1 + µgc(z) · µc(gc(z)) · (gc)z(z)(gc)z(z)
Da gkc (U) ∩ U = ∅ fu¨r alle k ≥ 1, ist µc in Ĉ wohldefiniert.
Zum besseren Versta¨ndnis seien die folgenden Eigenschaften bemerkt: Da gc
in Ĉ \R−1(U) analytisch ist, gilt fu¨r alle z ∈ Ĉ \R−1(U):
µc(z) = µc(gc(z)) ·
(gc)z(z)
(gc)z(z)
Insbesondere ist µc(z) = 0 fu¨r z ∈ U∞(c∗), . . . , R(U), U , also den in der
Abbildung gelb markierten Gebieten. Dagegen ist fu¨r z ∈ R−1(U), den in
der Abbildung 3.2 rot markierten Gebieten, gerade
µc(z) = g∗cµc(z) = µgc(z) = µηc◦R(z) =
µR(z) + (µηc ◦R)(z) · R
′(z)
R′(z)
1 + µR(z) · (µηc ◦R)(z) · R
′(z)
R′(z)
Dabei nutzen wir aus, dass µc(gc(z)) = 0 fu¨r z ∈ R−1(U) sowie die Ketten-
regel. Da µR = 0, erhalten wir
µc(z) = µηc(R(z)) ·
R′(z)
R′(z)
fu¨r z ∈ R−1(U), oder anders ausgedru¨ckt µc(z) = R∗µηc(z).
(c) Wir wollen nun zeigen, dass µc ”symmetrisch“ ist. Es ist offensichtlich
µc(z) = µc(1− z) = µc(1/z) ·
( z
z
)2 = 0 fu¨r alle z ∈ C \ A∞, da A∞ invariant
ist unter Σ. Fu¨r z ∈ A∞ gilt, da gc(z) = gc(1− z), nach Lemma 2.19 (siehe
Seite 22):
µc(1− z) = g∗cµc(1− z) =
µgc(1− z) + µc(gc(1− z)) · (gc)z(1−z)(gc)z(1−z)
1 + µgc(1− z) · µc(gc(1− z)) · (gc)z(1−z)(gc)z(1−z)
Die Fluchtkomponenten 39
=
µgc(z) + µc(gc(z)) · (gc)z(z)(gc)z(z)
1 + µgc(z) · µc(gc(z)) · (gc)z(z)(gc)z(z)
= µc(z)
und analog unter Verwendung von gc(1/z) = gc(z) mit Lemma 2.20:
µc(1/z) = µc(z) ·
(z
z
)2
(d) Nach dem Satz von Ahlfors-Bers (Satz 2.13) hat die Beltramigleichung
(hc)z = µc(z)(hc)z eine eindeutige quasikonforme Lo¨sung hc mit der Normie-
rung hc(0) = 0, hc(1) = 1 und hc(∞) = ∞. Nach Lemma 2.21 und 2.22 ist
hc(z) = hc(1 − z) =
1
hc(1/z)
fu¨r alle z ∈ C. Wir definieren nun die Abbil-
dung Gc = hc ◦ gc ◦ h−1c und wollen zeigen, dass Gc in Ĉ analytisch ist, also
eine rationale Funktion. Dazu zeigen wir, dass µGc = 0 fast u¨berall in Ĉ. Da
hc eine quasikonforme Abbildung ist, ist dazu a¨quivalent: µGc ◦ hc = 0 fast
u¨berall in Ĉ.
Es ist
µGc ◦ hc(z) =
µGc◦hc(z)− µc(z)
1− µc(z)µGc◦hc(z)
· (hc)z(z)
(hc)z(z)
= µhc◦gc(z)− µc(z)
1− µc(z)µhc◦gc(z)
· (hc)z(z)
(hc)z(z)
.
Nach der Kettenregel ist µhc◦gc(z) = (g∗cµc)(z), also ist nach Konstruktion
µhc◦gc(z) = µc(z). Dies liefert also (µGc ◦ hc)(z) = 0 fast u¨berall in C.
(e) Als na¨chstes wollen wir zeigen, dass Gc = Rτ(c), also die Funktion Gc
wieder zu unserer Ausgangsfamilie geho¨rt. Dazu sei zuna¨chst bemerkt, dass
nach Konstruktion offensichtlich 0, 1 und ∞ doppelte Polstellen von Gc sind
und dieses sind die einzigen Polstellen von Gc. Insbesondere ist Gc eine ra-
tionale Funktion vom Grad 6.
Wir nutzen nun intensiv die Symmetrien aus: Aus hc(1/z) = 1/hc(z) folgt
direkt hc(−1)2 = 1 und somit (da ja hc(1) = 1 als Normierung festgelegt
wurde) hc(−1) = −1. Durch entsprechende U¨berlegungen erhalten wir auch,
dass hc(2) = 2 und hc(12) = 12 . Insbesondere folgt, dass −1, 2 und 12 kritische
Punkte von Gc sind.
Wir setzen nun ω+ := hc(z+) und ω− := hc(z−). Aus Gc = hc ◦ ηc ◦ R ◦ h−1c
folgt, dass ω+ und ω− jeweils dreifache Nullstellen von Gc sind. Somit hat
Gc die Form
Gc(z) = γc
(z − ω+)3(z − ω−)3
z2(z − 1)2 ,
Die Fluchtkomponenten 40
Wegen der Symmetrie gilt weiterhin Gc(−1) = Gc(2) = Gc
(1
2
)
=: γ˜c und
−1, 2 und 12 sind doppelte γ˜c-Stellen von Gc. Berechnung von G′c(z) und ein-
setzen von G′c(−1) = 0 ergibt (unter Beru¨cksichtigung von ω+, ω− 6= −1):
2 + ω+ + ω− = (1 + ω+)(1 + ω−), also ω+ω− = 1. Andererseits erhal-
ten wir aus G′c
(1
2
)
= 0, dass ω+ + ω− = 1. Insgesamt erhalten wir also
{ω+, ω−} = {z+, z−} und es gilt Gc = Rτ(c) fu¨r ein geeignetes τ(c).
(f) Als na¨chsten Schritt wollen wir zeigen, dass τ analytisch von c abha¨ngt.
Zuna¨chst gilt:
τ(c) = Rτ(c)(2) = Rτ(c)(hc(2)) = Gc(hc(2))
= hc(gc(2)) = hc(ηc(R(2))) = hc(ηc(c∗)) = hc(c)
hc hat um z = ∞ eine Entwicklung hc(z) = σcz+O(1), wobei σc fu¨r |c−c∗| <
ε analytisch von c abha¨ngt. (Man beachte, dass auch der ”O-Term“ von cabha¨ngt.) Aus Rτ(c) ◦ hc = Gc ◦ hc = hc ◦ gc = hc ◦R um z = ∞ folgt
τ(c) (σcz +O(1))2 = σc
(
c∗z2 +O(z)
)
+O(1) fu¨r z →∞.
Mit Koeffizientenvergleich erhalten wir dann, dass τ(c) = c∗σc
. Insbesondere
ha¨ngt τ(c) fu¨r |c− c∗| < ε analytisch von c ab.
(g) Es sei nun ϕc die Lo¨sung der Bo¨ttcher-Funktionalgleichung zum Parame-
ter c, vergleiche Seite 36, und ϕ∗ := ϕc∗. Wir zeigen, dass in einer Umgebung
von ∞ die Identita¨t ϕτ(c) = σcϕ∗ ◦h−1c gilt. Dazu setzen wir Φ := σcϕ∗ ◦ h−1c .
Dann hat Φ um z = ∞ eine Entwicklung der Form Φ(z) = z + . . . .
Weiter gilt in einer geeigneten Umgebung von ∞:
Φ ◦Rτ(c)(z) = Φ ◦Gc(z) = σcϕ∗ ◦ h−1c ◦Gc(z)
= σcϕ∗ ◦ gc ◦ h−1c (z) = σcϕ∗ ◦R ◦ h−1c (z)
= σc
4
27c∗
(
ϕ∗
(
h−1c (z)
))2 = 427
c∗
σc
(
σcϕ∗ ◦ h−1c (z)
)2
= 427τ(c) Φ
2(z)
Φ ist also die Lo¨sung der Bo¨ttcher-Funktionalgleichung zum Parameter τ(c).
Die Eindeutigkeit der Lo¨sung liefert unsere Behauptung.
Damit erhalten wir fu¨r |c− c∗| < ε:
Ψn(τ(c)) =
4
27τ(c)ϕτ(c) (Qn (τ(c))) =
4
27c∗ϕ∗
(
h−1c
(
Rnτ(c)(τ(c))
))
= 427c∗ϕ∗
(
h−1c
(
Rnτ(c)(hc(c))
))
= 427c∗ϕ∗ (g
n
c (c))
= 427c∗ϕ∗ (R
n(c))
Die Fluchtkomponenten 41
Da c∗ keine Polstelle von Qn ist, hat Rn(c) fu¨r |c− c∗| hinreichend klein nach
Konstruktion keine kritischen Punkte. Also ist Ψn lokal konform in c∗. 2
Lemma 3.18 Ist Ω eine Fluchtkomponente der Ordnung n ∈ N, so ist die
Parametrisierungsabbildung Ψn : Ω → Ĉ \ D eine eigentliche Abbildung.
Beweis: Wir betrachten zuna¨chst R˜c(z) := cRc
( z
c
)
. Weiter sei U˜∞(c) das
Attraktionsgebiet von ∞ fu¨r R˜c, also U˜∞(c) = c U∞(c). Insbesondere ist
D˜0 := {z : |z| ≥ 43} ⊆
{
z : |z| ≥ 6|c|+ 274
}
⊆ U˜∞(c)
und R˜c
(
D˜0
)
⊆ D˜0 fu¨r alle c ∈ C∗\Ω0. Wir bilden nun wieder eine Ausscho¨pfung
von U˜∞(c). Dazu sei D˜q+1(c) die zusammenha¨ngende Komponente von R˜−1c (D˜q),
die D0 entha¨lt.
Es sei nun Ω eine Fluchtkomponente der Ordnung n ∈ N. Fu¨r c ∈ Ω sei k(c)
die kleinste ganze Zahl k mit Q˜n(c) := R˜nc (c2) ∈ D˜k(c). Das heißt insbeson-
dere Q˜n+k(c) ∈ D˜0, aber Q˜n+k−1(c) 6∈ D˜0.
Weiter ist Q˜n(c) = R˜nc (c2) = cRnc (c) = cQn(c).
Behauptung: Ist c0 ∈ ∂Ω und (cj) eine Folge in Ω mit cj j→∞−→ c0, so folgt
k(cj)
j→∞→ ∞.
Beweis: Wir nehmen an, es gelte nicht k(cj)
j→∞−→ ∞. Dann ko¨nnen wir, ggf.
durch U¨bergang zu einer Teilfolge von (cj), die wir wieder mit (cj) bezeichnen,
annehmen, die Folge k(cj) wa¨re konstant. Dann gibt es ein festes k ∈ N mit
Q˜n+k(cj) = R˜n+kcj (c2j) ∈ D˜0 fu¨r alle j ∈ N.
1. Fall: c0 6= 0
Dann folgt hieraus Q˜n+k(c0) ∈ D˜0 ⊆ U˜∞(c0), also ein Widerspruch zu c0 ∈
Ω∞.
2.Fall: c0 = 0
Dann folgt mit Lemma 1.6:
43 ≤ |Q˜n+k(cj)| = |cjQn+k(cj)| =
∣∣∣∣∣
( 4
27
)2n+k−1 pn+k(cj)
qn+k(cj)
∣∣∣∣∣
j→∞−→
( 4
27
)2n+k−1
und es ergibt sich auch ein Widerspruch. Damit ist die Behauptung bewiesen.
Es sei nun D0(c) = 1c D˜0. Dann ist D0(c) ⊆ U∞(c) fu¨r alle c ∈ Ω und es ist
Qk(c) ∈ D0(c) genau dann, wenn Q˜k(c) ∈ D˜0.
Die Fluchtkomponenten 42
Nun zeigen wir, dass Ψn : Ω → Ĉ \ D eine eigentliche Abbildung ist. Dazu
sei c0 ∈ ∂Ω ⊆ Ω∞. Wir setzen
M := sup {|ϕc(z)| : z ∈ D0(c) \Rc(D0(c)), |c− c0| < δ} <∞,
wobei δ klein genug zu wa¨hlen ist. Es gilt also
Ψn(c) =
4
27c · ϕc(R
n
c (c)) =
4
27c ·
2k(c)
√√√√√
ϕc
(
Rk(c)c (Rnc (c))
)
( 4
27c
)1+...+2k(c)−1
= 427c ·
2k(c)
√√√√ϕc
(
Qn+k(c)(c)
)
( 4
27c
)2k(c)−1 =
2k(c)
√
4
27c ·
2k(c)
√
ϕc
(
Qn+k(c)(c)
)
Da fu¨r c ∈ Ω, |c− c0| < δ gilt, dass Qn+k(c)(c) ∈ D0 \ Rc(D0), folgt hieraus
|Ψn(c)| ≤ 2
k(c)
√
4
27 |c| ·
2k(c)√M → 1 fu¨r c → c0, c ∈ Ω. Damit ist das Lemma
bewiesen. 2
Satz 3.19 Jede Fluchtkomponente Ω der Ordnung n ∈ N, n ≥ 1, ist ein-
fach zusammenha¨ngend, entha¨lt genau eine Polstelle von Qn (ihr sogenann-
tes Zentrum) und es ist Ψn : Ω → Ĉ\D eine eigentliche Abbildung vom Grad
2 oder 6.
Beweis: Es sei Ω eine Fluchtkomponente der Ordnung n ∈ N. Nach Lemma
3.18 ist Ψn : Ω → Ĉ \ D eine eigentliche Abbildung. Nach Lemma 3.11
entha¨lt Ω mindestens eine Polstelle von Qn. Jede Polstelle von Qn ist eine
Nullstelle oder eine 1-Stelle von Qn−1. Es sei nun s die Anzahl der paarweise
verschiedenen Nullstellen von Qn−1 mit Vielfachheiten µ1, . . . , µs in Ω und s˜
die Anzahl der paarweise verschiedenen 1-Stellen vonQn−1 mit Vielfachheiten
µ˜1, . . . , µ˜s˜ in Ω. Die Polstellen von Qn sind gerade die Null- und Einsstellen
von Qn−1, wobei erstere sechsfache und letztere doppelte Polstellen von Qn
sind. Wir erhalten fu¨r den Grad der eigentlichen Abbildung Ψn : Ω → Ĉ \D
degΨn =
s∑
j=1
6µj +
s˜∑
j=1
2µ˜j ,
da alle Nullstellen von Qn−1 sechsfache Polstellen und alle 1-Stellen von Qn−1
doppelte Polstellen von Qn sind. (Man beachte: Im Vorwa¨rtsorbit jeder Null-
stelle von Qn−1 ist einer der beiden kritischen Punkte z+ bzw. z− enthalten.)
Es sei r die Anzahl der kritischen Punkte von Ψn in Ω, die keine Polstellen
Die Fluchtkomponenten 43
sind, entsprechend ihrer Vielfachheiten geza¨hlt. Dann gilt nach der Formel
von Riemann-Hurwitz
♯Ω− 2 = degΨn (♯(Ĉ \ D)− 2) + degΨn − s− s˜ + r,
also ♯Ω = 2 + r − s − s˜. Nach Lemma 3.17 gilt aber r = 0 und somit
♯Ω = 2− s− s˜. Ω ist also einfach zusammenha¨ngend und entha¨lt genau eine
Polstelle von Qn. 2
Wir erhalten schließlich
Folgerung 3.20 Es gibt genau 43 · 6
n−1 Fluchtkomponenten der Ordnung
n ≥ 2.
Beweis: Die Anzahl der Fluchtkomponenten der Ordnung n, n ≥ 2, ent-
spricht also der Anzahl der verschiedenen Nullstellen und Einsstellen von
Qn−1. Nach Lemma 1.6 hat Qn−1 gerade je 6n−1 Nullstellen und Einsstellen,
entsprechend ihrer Vielfachheit geza¨hlt. Die Nullstellen sind jedoch alle drei-
fach. Damit ist die Anzahl der Fluchtkomponenten der Ordnung n ≥ 2, die
wir hier mit ωn bezeichnen, gegeben durch
ωn =
deg Qn−1
3 + deg Qn−1 =
4
3 · 6
n−1.
2
Wir wollen nun auch noch eine Parametrisierung der Cantorkomponente Ω0
geben. Dies verla¨uft a¨hnlich wie bei den anderen Fluchtkomponenten Ωn mit
n ≥ 1.
Bemerkung 3.21 Fu¨r c ∈ Ω0 ist U∞(c) unendlichfach zusammenha¨ngend
und Rc hat um ∞ eine Entwicklung Rc(z) = 427cz2 + . . .. Nach [St1], Seite
60ff, hat die Bo¨ttcher-Funktionalgleichung
ϕc (Rc(z)) =
4
27c · (ϕc(z))
2
ϕc(z) = z + . . . um ∞
also zumindest lokal um ∞ eine eindeutige Lo¨sung. Mittels Ausscho¨pfung
(a¨hnlich wie im Beweis von Satz 3.12) erhalten wir, dass sich die Bo¨ttcher-
funktion in ein einfach zusammenha¨ngendes Gebiet, das ∞ und c entha¨lt,
fortsetzen la¨ßt. Dies rechtfertigt die folgende Definition:
Die Fluchtkomponenten 44
Abbildung 3.4: Die Zentren der Fluchtkomponenten
Definition 3.22 Die Abbildung
Ψ0 : Ω0 ∪ {∞} → Cˆ \ D
Ψ0(c) :=
4
27c · ϕc(c)
heißt Parametrisierungsabbildung von Ω0.
Lemma 3.23 Die Abbildung Ψ0 ist lokal konform in Ω0.
Beweis: Der Beweis verla¨uft im Prinzip analog zum Beweis von Lemma
3.17. Dabei ist zu beachten, dass Ω0 nach Satz 3.12 keine Polstellen von
einem Qn entha¨lt. Ferner ist ε hinreichend klein zu wa¨hlen, so dass mit
K := {z : |z− c∗| ≤ 4ε} die Bedingung gkc (K)∩K = ∅ fu¨r alle k ∈ N erfu¨llt
ist. 2
Lemma 3.24 Die Parametrisierungsabbildung Ψ0 : Ω0 ∪ {∞} → Ĉ \ D ist
eine eigentliche Abbildung.
Die Fluchtkomponenten 45
Beweis: Ist c0 ∈ ∂Ω0 \ {∞}, so gilt nach Lemma 1.10 sicherlich |c0| ≤ 6 und
somit la¨ßt sich der Beweis von Lemma 3.18 sinngema¨ß u¨bertragen und wir
erhalten
|Ψ0| → 1 fu¨r c→ ∂Ω0 \ {∞}
Dies liefert dann die Behauptung. 2
Damit folgt schließlich:
Satz 3.25 Die Cantorkomponente Ω0 ist zusammenha¨ngend, Ω0 ∪ {∞} ist
einfach zusammenha¨ngend und es ist
Ψ0 : Ω0 ∪ {∞} → Cˆ \ D
eine eigentliche Abbildung vom Grad 2.
Folgerung 3.26 Nach dem Monodromiesatz la¨ßt sich jeder Zweig von (Ψ0)
1
2
zu einer konformen Abbildung von Ω0 ∪ {∞} auf Cˆ \ D fortsetzen.
3.3 Kernkonvergenz
Definition 3.27 Es sei (Dn) eine Folge von Gebieten, die den Basispunkt z0
enthalten. Dann ist der Kern K der Folge (Dn) bezu¨glich z0 definiert als die
Vereinigung aller einfach zusammenha¨ngenden Gebiete D, die z0 enthalten
und fu¨r die D ⊆ Dn fu¨r fast alle n ∈ N. Falls kein solches Gebiet existiert,
so setzen wir K := {z0}.
Definition 3.28 Die Folge (Dn) konvergiert gegen K im Sinne Carathe´odorys,
falls K auch der Kern jeder Teilfolge (Dnk) ist.
Bemerkung 3.29 Es seien alle Dn einfach zusammenha¨ngend und es sei
fn : D → Dn die konforme Abbildung mit fn(0) = z0 und f ′n(0) > 0. Weiter
sei auch K ein einfach zusammenha¨ngendes Gebiet und f : D → K definiert
als die konforme Abbildung mit f(0) = z0 und f ′(0) > 0.
Dann konvergiert (Dn) gegen K im Sinne Carathe´odorys genau dann, wenn
(fn) lokal gleichma¨ßig gegen f konvergiert.
Beispiel 3.30 Die folgenden Beispiele sollen zur Veranschaulichung des Be-
griffes dienen:
a) Es sei Dn =
{
z : |z| > 1− 1n
}
. Dann konvergiert die Folge (Dn) gegen
ihren Kern K = Ĉ \ D bezu¨glich ∞.
Die Fluchtkomponenten 46
b) Es sei D2n =
{
z : |z| > 1− 1n
}
und D2n+1 =
{
z : |z − 17| > 1− 1n
}
.
Dann ist der Kern K der Folge (Dn) bezu¨glich ∞ gegeben durch K =
{z : |z| > 1, |z − 17| > 1}, aber es ist K0 = Ĉ \ D der Kern der Teil-
folge (D2n). Somit konvergiert die Folge (Dn) nicht gegen ihren Kern.
c) Es sei Dn = C \
{
eiθ : 0 ≤ θ ≤ 2π − 1n
}
. Dann konvergiert die Folge
(Dn) gegen ihren Kern K = D bezu¨glich 0.
Wir wollen nun das Konzept der Kernkonvergenz auf die Parameterebene der
zu untersuchenden Familie, insbesondere auf Ω0, anwenden. Jede Abbildung
Qn, n ∈ N, hat um ∞ eine Entwicklung
Qn(c) =
( 4
27
)2n−1
c2n+1−1 + · · · =
( 4
27
)αn
cαn+1 + . . .
Qn hat also in ∞ einen superattraktiven Fixpunkt mit Bo¨ttchergebiet Un.
Es sei θn die zugeho¨rige Bo¨ttcherfunktion. Diese ist zumindest in einer Um-
gebung von ∞ definiert und genu¨gt dort der Gleichung
θn (Qn(c)) =
( 4
27
)αn
(θn(c))αn+1
mit der Normierung θn(c) = c+ . . . um ∞.
Mit einer Rechnung wie im Beweis von Lemma 1.4 und Induktion folgt fu¨r
|c| ≥ 6, dass auch fu¨r alle n ∈ N gilt: |Qn(c)| ≥ 6. Folglich ist {c : |c| > 6} ⊆
Un fu¨r alle n ∈ N. Insbesondere ist der Kern K der Folge (Un) ein Gebiet um
∞.
Satz 3.31 Die Folge
( 2
3
√
3
θn
)
konvergiert in Ω0 ∪ {∞} lokal gleichma¨ßig
gegen (Ψ0)
1
2 .
Die Folge (Un) konvergiert im Sinne Carathe´odorys gegen ihren Kern K =
Ω0 ∪ {∞} bezu¨glich ∞.
Beweis: Der Beweis folgt den Ideen von Busse [Bus]. Es sei K der Kern der
Folge (Un) bezu¨glich ∞.
Es sei c ∈ Ω0. Dann gilt limk→∞Qk(c) = limk→∞R
k
c (c) = ∞. Somit gilt natu¨rlich
fu¨r n ∈ N auch lim
k→∞
Qnk(c) = limk→∞R
nk
c (c) = ∞, also ist c im Außengebiet Un
oder einem Urbild enthalten. Da {c : |c| > 6} ⊆ Un, muß Ω0 ∪ {∞} ⊆ Un
gelten. Folglich ist Ω0 ∪ {∞} ⊆ K.
Es sei nun D ein einfach zusammenha¨ngendes Gebiet mit D ⊆ Ω0∪{∞} und
∞ ∈ D. Da Qn in Ω0 weder Null- noch Polstellen hat, ist fu¨r hinreichend
Die Fluchtkomponenten 47
großes n die Bo¨ttcherfunktion θn in D definiert. Sie erfu¨llt
θn(c) = limk→∞ α
k
n+1
√√√√ Q
k
n(c)
( 4
27
)1+αn+1+···+αk−1n+1
= c+ . . .
zumindest in {c : |c| > 6} (vergleiche [St1], Seite 60). Wir definieren nun die
Hilfsfunktion hn(c) := 2n+1
√
cQn(c). Es ist
Ψ0(c) =
4
27c ϕc(c) =
4
27c limk→∞
2k
√
Rkc (c)( 4
27c
)1+···+2k−1
= 427c limk→∞
2k
√
Qk(c)
( 4
27c
)2k−1 = limk→∞
2k
√
4
27cQk(c) = limk→∞ (hk(c))
2
in Ω0. Also folgt hk → (Ψ0)
1
2 gleichma¨ßig in D. Da Qn(c) → ∞ (n → ∞)
folgt: ( 4
27
)αn
(θn(c))αn+1 = θn(Qn(c)) = Qn(c) +O(1)
Ferner ist
(hn(c))αn+1 = (cQn(c))
2n+1−1
2n+1 = (cQn(c))1−
1
2n+1 = cQn(c)hn(c)
,
also Qn(c) = hn(c)c (hn(c))
αn+1 . Zusammen ergibt sich
( 4
27
)αn
(θn(c))αn+1 − (hn(c))αn+1
hn(c)
c = O(1)
gleichma¨ßig in D. Somit gilt
( 4
27
)αn/αn+1
θn(c)− hn(c) → 0 (n→∞)
und bei richtiger Wahl der Wurzel
( 4
27
)αn/αn+1
=
( 4
27
) 1− 12n
2− 12n → 2
3
√
3
(n→∞).
Damit erhalten wir:
( 2
3
√
3
θn
)
→ (Ψ0)
1
2 (n→∞)
Die Fluchtkomponenten 48
gleichma¨ßig in D. Dies liefert die lokal gleichma¨ßige Konvergenz in Ω0.
Nun sei (Unν) eine Teilfolge von (Un) und K0 der Kern der Folge (Unν)
bezu¨glich ∞. Es sei D ein einfach zusammenha¨ngendes Gebiet mit ∞ ∈ D
und D ⊆ K0. Dann ist D ⊆ Unν fu¨r alle ν ≥ ν0 und es folgt, dass die Folge(
Qknν
)
k∈N fu¨r k → ∞ gleichma¨ßig in D gegen ∞ konvergiert. Damit ist θnν
fu¨r hinreichend großes ν in D definiert. Wegen
|θnν (c)| ≥
(( 4
27
)αnν) 11−αnν+1 → 3
√
3
2
in D ist die Folge (θnν )ν≥ν0 normal in D. Es gelte nun θnνκ → θ lokal
gleichma¨ßig in D. Dann gilt |θ(c)| > 3
√
3
2 in D und θ(c) = 3
√
3
2 (Ψ0(c))
1
2
in D ∩ Ω0. Wir wissen bereits |Ψ0(c)| → 1 fu¨r c → ∂Ω0 \ {∞} (vergleiche
Satz 3.25). Dies liefert D ∩ ∂Ω0 = {∞}, also D ⊆ Ω0 ∪ {∞}. Folglich ist
K0 ⊆ Ω0 ∪ {∞}.
Also folgt zusammen K0 ⊆ Ω0 ∪ {∞} ⊆ K und insbesondere konvergiert die
Folge (Un) gegen ihren Kern K = Ω0 ∪ {∞}. 2
Die Fluchtkomponenten 49
Abbildung 3.5: Die dynamische Ebene von Q1, Q2 und Q7 sowie die Pa-
rameterebene der Familie (Rc)
Kapitel 4
Die hyperbolischen
Komponenten
4.1 Die Dynamik in den hyperbolischen Kom-
ponenten
Die rationale Funktion Rc heißt hyperbolisch, wenn Jc ∩ C+c = ∅, wobei
C+c := {Rnc (zc) : n ∈ N, zc kritischer Punkt von Rc} den Vorwa¨rtsorbit der
kritischen Punkte bezeichnet. Offensichtlich ist fu¨r c ∈ Ωn, n ≥ 0, die Funk-
tion Rc hyperbolisch. Fu¨r c ∈ Ω∞ ist Rc genau dann hyperbolisch, wenn Rc
einen (super-)attraktiven Zykel in C hat. (Da Rc nur einen freien kritischen
Wert hat, folgt dies analog zu Theorem 4.7 in [McM1], Seite 61.)
Wir beginnen mit einer ersten Beobachtung:
Lemma 4.1 Fu¨r c ∈ Ω∞ sind das Außengebiet U∞(c) und alle seine Urbilder
einfach zusammenha¨ngend.
Beweis: Nach Lemma 1.3 sind entweder U0, U1 und U∞ paarweise verschie-
den oder es gilt U0 = U1 = U∞. Im ersten Fall entha¨lt U∞ als einzigen kriti-
schen Punkt den Punkt ∞ selbst und ist daher einfach zusammenha¨ngend.
Wie schon bei Ω1 erhalten wir nun mit Hilfe der Riemann-Hurwitz-Formel,
dass alle Urbilder von U∞ einfach zusammenha¨ngend sind.
Im zweiten Fall ist offensichtlich U∞ vollsta¨ndig invariant. Dann entha¨lt U∞
aber keinen anderen kritischen Punkt als ∞ und seine Urbilder 0, 1, z+ und
z−. Durch eine Ausscho¨pfung wie im Beweis von Satz 3.12, vergleiche Seite
34, erhalten wir einen Widerspruch. 2
Nun zerlegen wir die Menge Ω◦∞ wie folgt:
Die hyperbolischen Komponenten 51
Abbildung 4.1: Ein attraktiver Dreierzyklus, hier fu¨r c = −0, 64 +
0, 79i, Detailausschnitt um z = 0, 5
Definition 4.2 Fu¨r n ∈ N sei Hn die Menge der Parameter c ∈ Ω◦∞, fu¨r die
Rc hyperbolisch ist und einen beschra¨nkten, (super-)attraktiven Zykel der
exakten La¨nge n hat. Weiter sei X := {c ∈ Ω◦∞ : Rc ist nicht hyperbolisch}.
Bemerkung 4.3 Nach dem λ-Lemma von Man˜e´, Sad und Sullivan (verglei-
che [MSS] oder [McM1], Seite 54) sind die Mengen Hn, n ∈ N, alle offen.
Ihre zusammenha¨ngenden Komponenten bezeichnen wir im Folgenden als
hyperbolische Komponenten der Ordnung n, auch wenn die im vorherigen
Kapitel behandelten Fluchtkomponenten selbstversta¨ndlich auch alle hyper-
bolisch sind. Wie bei der Mandelbrotfamilie z2 + c ist zu vermuten, dass alle
Komponenten von Ω◦∞ hyperbolisch sind, also X = ∅. Auf dieses noch offene
Problem werden wir aber hier nicht weiter eingehen ko¨nnen. Wir nennen die
Komponenten von X die ”exotischen Komponenten“.
Die hyperbolischen Komponenten 52
Satz 4.4 (Dynamik in den hyperbolischen Komponenten) Es sei c ∈
Hn, n ∈ N, mit dem beschra¨nkten, (super-)attraktiven Zyklus {z0, . . . , zn−1}
und zugeho¨rigen Fatoukomponenten {V0, . . . , Vn−1}. Dann sind die Gebiete
V0, . . . , Vn−1 einfach zusammenha¨ngend und V0 ∪ . . . ∪ Vn−1 entha¨lt genau
einen der drei freien kritischen Punkte −1, 2, 12 , wa¨hrend die anderen beiden
in einem ”pra¨periodischen Urbildgebiet“ liegen. Es gilt fu¨r alle σ ∈ Σ undj 6= k: σ(Vj) 6= Vk. Alle stabilen Gebiete sind einfach zusammenha¨ngend und
die Juliamenge Jc ist eine Kurve.
Abbildung 4.2: Stabiles Gebiet um den kritischen Punkt z = 0, 5,
hier fu¨r c = −0, 75 + 0, 72i
Beweis: Der Gebietszyklus {V0, . . . , Vn−1} entha¨lt mindestens einen der drei
freien kritischen Punkte −1, 2, 12 ; ohne Beschra¨nkung der Allgemeinheit liege
dieser in V0. Da Rc neben 0 und ∞ nur den einen kritischen Wert c hat,
entha¨lt der Zyklus außer in V0 keine kritischen Punkte von Rc.
Die hyperbolischen Komponenten 53
Nach Theorem 2, Seite 61, in [St1] und Theorem 2, Seite 68, ebendort, ist V0
entweder einfach zusammenha¨ngend oder unendlichfach zusammenha¨ngend.
Wir wa¨hlen nun eine kleine Kreisscheibe D0 ⊆ V0 um den Fixpunkt z0 von
Rnc . Weiter sei fu¨r k ≥ 0 Dk+1 die zusammenha¨ngende Komponente von
(Rnc )−1(Dk), dieDk entha¨lt. Dann bildet (Dk)k∈N0 eine regula¨re Ausscho¨pfung
von V0, da Rnc (D0) ⊆ D0 (vergleiche [St1], Seite 63). Nehmen wir nun an, V0
wa¨re unendlichfach zusammenha¨ngend. Dann gibt es ein kleinstes m ∈ N ,
so dass D1, . . . , Dm einfach zusammenha¨ngend sind, aber Dm+1 mehrfach
zusammenha¨ngend ist. Es ist dann Rnc : Dm+1 → Dm eine eigentliche
Abblidung vom Grad k. Weiter sei r die Anzahl der kritischen Punkte von
Rnc in Dm+1, wobei hierfu¨r nur −1, 2, 12 in Frage kommen. Dann liefert die
Riemann-Hurwitz-Formel ♯Dm+1 = 2−k+r, also folgenden Zusammenhang:
r 0 1 2 3
k 1 2 4 6
♯Dm+1 1 1 0 -1
Wir erhalten somit in jedem Fall einen Widerspruch und V0 ist einfach zu-
sammenha¨ngend.
Weiter ist Rnc : V0 → V0 eine eigentliche Abbildung vom Grad k. Es sei nun
r die Anzahl der kritischen Punkte Rnc in V0. Dann folgt mit der Riemann-
Hurwitz-Formel, dass V0 genau einen der drei freien kritischen Punkte entha¨lt.
Nehmen wir nun an, es gibt ein σ ∈ Σ, so dass σ(Vj) = Vk. Sei nun z ∈
Vj beliebig. Dann ist σ(z) ∈ Vk und Rc(z) ∈ Vj+1 (falls j 6= n − 1) und
andererseits Rc(z) = Rc(σ(z)) ∈ Vk+1 (falls k 6= n − 1). Somit erhalten wir
Vj+1 = Vk+1 und folglich Vj = Vk. (Entsprechendes gilt, falls j = n− 1 oder
k = n− 1; man ersetze einfach Vj+1 bzw. Vk+1 durch V0.)
Sei nun V eine Fatoukomponente, die einen der beiden anderen freien kri-
tischen Punkte entha¨lt. Aus der Symmetrie (Satz 1.1) folgt, dass V dann
genau einen kritischen Punkt entha¨lt. Somit ist Rc : V 2:1→ V1 eine eigentli-
che Abbildung und es folgt wieder mit der Riemann-Hurwitz-Formel, dass V
einfach zusammenha¨ngend ist (im Falle eines Fixgebietes (n = 1) betrachte
Rc : V 2:1→ V0). Mit Hilfe der Riemann-Hurwitz-Formel folgt weiter, dass auch
alle weiteren Urbilder von V0 einfach zusammenha¨ngend sind. Nach Lemma
4.1 sind nun alle Fatoukomponenten einfach zusammenha¨ngend, die Julia-
menge Jc ist zusammenha¨ngend und da Rc hyperbolisch ist, ist sie sogar
lokal zusammenha¨ngend. Damit folgt die letzte Aussage des Satzes. 2
Die hyperbolischen Komponenten 54
Abbildung 4.3: Ein Sechserzyklus, hier fu¨r c = 2, 25−1, 25i
Abbildung 4.4: Detailausschnitt um z = 0, 5
Die hyperbolischen Komponenten 55
Abbildung 4.5: Ein Achterzyklus, hier fu¨r c = 1, 3 + 2i
4.2 Parametrisierung der hyperbolischen Kom-
ponenten
Es sei λ : Hn → D, die Multiplikatorabbildung, die jedem Parameter c ∈ Hn
den Multiplikator des zugeho¨rigen beschra¨nkten Zyklus (vergleiche Satz 4.4)
zuordnet. Das Ziel dieses Kapitels ist es nun, zu zeigen, dass die Multipli-
katorabbildung λ jede hyperbolische Komponente konform auf den Einheits-
kreis D abbildet. Wie bei der klassischen Mandelbrotfamilie z2 + c kann man
zeigen, dass λ jede hyperbolische Komponente, die Null nicht als Randpunkt
entha¨lt, eigentlich auf D abbildet. Man vergleiche hierzu den Beweis etwa in
[St1], Seite 161f, oder in [CarGam], Seite 133f.
Die hyperbolischen Komponenten 56
Abbildung 4.6: Die hyperbolischen Komponenten
Bemerkung 4.5 (Legende) Die Farben der hyperbolischen Komponenten
entsprechen der La¨nge des beschra¨nkten, (super-)attraktiven Zyklus fu¨r alle
Parameter aus dieser Komponente: In den roten Komponenten liegen Fixge-
biete, in den gru¨nen Komponenten Zweierzykel, in den dunkelblauen Kompo-
nenten Dreierzykel, in den gelben Komponenten Viererzykel, in den violetten
Komponenten Fu¨nferzykel und in den hellblauen Komponenten Sechserzykel
vor.
Bemerkung 4.6 Es sei H eine hyperbolische Komponente mit 0 6∈ ∂H.
Dann entha¨lt H einen Fixpunkt von Qn.
Beweis: Weil die Multiplikatorabbildung λ jede Komponente H von Hn
eigentlich auf D abbildet, entha¨lt H einen Parameter c, so dass Rnc einen
superattraktiven Fixpunkt zc hat. Es folgt (Rnc )′(zc) = 0 und dies liefert
Die hyperbolischen Komponenten 57
Rkc (zc) ∈
{
−1, 2, 12
}
fu¨r ein k = 0, . . . , n − 1. Dann ist aber auch c =
Rc(−1) = Rc(2) = Rc
(1
2
)
ein Fixpunkt von Rnc , also gilt Qn(c) = c. 2
Satz 4.7 (Parametrisierung der hyperbolischen Komponenten) Es
sei H eine hyperbolische Komponente der Ordnung n ∈ N mit 0 6∈ ∂H.
Dann ist die Multiplikatorabbildung λ : H → D, die jedem Wert c ∈ H den
Multiplikator des zugeho¨rigen periodischen Zyklus zuordnet, eine konforme
Abbildung.
Der Beweis dieses Satzes folgt den Ideen von Carleson, vergleiche [CarGam],
Seite 134ff und [St7].
Beweis: (a) Es sei c ∈ H. Dann gibt es (vergleiche Satz 4.4) einen Zykel
V0(c), . . . , Vn−1(c) von Fatoukomponenten mit einem z0(c) ∈ V0(c), so dass
Rnc (z0(c)) = z0(c) und λ(c) = (Rnc )′(z0(c)) ist. Nach dem Riemannschen
Abbildungssatz gibt es eine konforme Abbildung
Ψc : V0(c) → D,
die z0(c) auf 0 abbildet. Wir setzen nun Bc := Ψc ◦ Rnc ◦ Ψ−1c . Dann ist
Bc : D → D ein Blaschkeprodukt vom Grad 2. Durch geeignete Normierung
von Ψ′c(z0) erreichen wir Bc(ζ) = ζ
ζ + λ(c)
1 + λ(c)ζ
Also ist λ(c) ∈ D der Multipli-
kator des Fixpunktes z0(c) von Rnc und des Fixpunktes 0 von Bc.
DD
Ψc Ψc
V0(c)V0(c)
Bc0 0
z0(c) z0(c)Rnc
Abbildung 4.7: Die Konstruktion von ga, Teil 1
Die hyperbolischen Komponenten 58
(b) In gewissem Sinne soll diese Konstruktion nun umgekehrt werden. Zuna¨chst
sei c∗ ∈ H fest mit λ(c∗) 6= 0. Wir setzen R := Rc∗ und Ψ := Ψc∗, z0 := z0(c∗),
V0 := V0(c∗) und a∗ := λ(c∗).
Wir betrachten nun die Familie (Ba){|a|<1−ε} mit
Ba(ζ) = ζ
ζ + a
1 + aζ ,
wobei ε > 0 so gewa¨hlt wird, dass |a∗| < 1 − ε. Wir wa¨hlen nun ein r mit
0 < r < 1, so dass fu¨r alle amit |a| < 1−ε die Kreisscheibe ∆ := {ζ : |ζ | < r}
von Ba kompakt in sich abgebildet wird, das heißt Ba(∆) ⊆ ∆. Dann ist
Ba : B−1a (∆) → ∆ eine eigentliche Abbildung vom Grad 2 und es gilt
∆ ⊆ B−1a (∆). Nun setzen wir D0 := Ψ−1(∆) und D′0 := R−n(D0) ∩ V0.
Man beachte, dass das Diagramm in Abbildung 4.2 nicht kommutativ ist.
DD
Rn
Ψ Ψ
V0V0
Ba
Ba(∆)
D0 D0
D′0
∆ ∆
B−1a (∆)
Abbildung 4.8: Die Konstruktion von ga, Teil 2
Die hyperbolischen Komponenten 59
(c) Es sei nun (Φa) eine Familie von Diffeomorphismen von V0 mit Φa = Ψ
in D0 und Ba ◦ Φa = Ψ ◦ Rn auf ∂D′0. Weiter sei Φa∗ = Ψ und (Φa) ha¨nge
stetig vom Parameter a ab.
Wir definieren nun die Abbildung
ga = R−(n−1) ◦Ψ−1 ◦Ba ◦ Φa.
Man beachte dazu, dass mit V1 := R(V0) und D1 := R−(n−1)(D0) ∩ V1 die
Abbildung Rn−1 : D1 → D0 konform ist. Nach Konstruktion ist dann ga = R
auf ∂D′0 und wir setzen ga nun fort zu einer stetig differenzierbaren Abbildung
ga : Ĉ → Ĉ. Dazu sei Vα := α(V0) und Vβ := β(V0). Wir setzen ga nun fort
durch
ga(z) :=



ga(z), z ∈ V0
ga(α(z)), z ∈ Vα
ga(β(z)), z ∈ Vβ
R(z), sonst
gna = Rn
V0V0
D0gna
gna = Ψ−1 ◦ Ba ◦Ψ
Abbildung 4.9: Die Konstruktion von ga, Teil 3
Nach Konstruktion ist ga außerhalb von (D′0 \D0)∪α(D′0 \D0)∪β(D′0 \D0)
analytisch und jede Iterierte gka hat ho¨chstens einen nicht-analytischen Fak-
tor, die Abbildung ga ist also gleichma¨ßig quasiregula¨r. Die zweite Aussage
folgt, weil mit z ∈ (D′0 \D0) ∪ α(D′0 \D0) ∪ β(D′0 \D0) fu¨r alle k ≥ 1 gilt,
dass gka(z) ∈ D0. Ferner ist ga(z) = ga(α(z)) = ga(β(z)) fu¨r alle z ∈ C. Nun
wenden wir die Konstruktion wie im Beweis von Lemma 3.17, siehe Seite 36,
an. Wir erhalten einen Beltramikoeffizienten µa mit g∗aµa = µa. Es sei wieder
ha die Lo¨sung der zugeho¨rigen Beltramigleichung µa(ha)z = (ha)z mit der
u¨blichen Normierung. Dann ist Ga = ha ◦ ga ◦ h−1a eine rationale Funktion
und wir erhalten, dass Ga = Rτ(a) fu¨r eine stetige Abbildung τ , also wieder
Die hyperbolischen Komponenten 60
zu unserer Familie geho¨rt.
(d) Wegen gna (z0) = z0 hat auch Gτ(a) wieder einen Zykel der La¨nge n. Mit
Hilfe der Kettenregel erhalten wir, dass der Multiplikator dieses Zykels gerade
gleich B′a(0) = a ist. Somit ist λ(τ(a)) = a. Da τ stetig von c abha¨ngt, folgt
hieraus, dass λ keine kritischen Punkte hat und somit nach der Riemann-
Hurwitz-Formel eine konforme Abbildung ist. 2
Folgerung 4.8 Die hyperbolische Komponente H entha¨lt genau ein Zen-
trum, das heißt genau ein c mit Qn(c) = c.
Kapitel 5
Juliamengen als
Sierpin´skikurven
5.1 Juliamengen als Sierpin´skikurven
Definition 5.1 Eine Sierpin´skikurve ist eine nicht-leere, kompakte, zusam-
menha¨ngende, lokal zusammenha¨ngende und nirgends dichte Teilmenge der
komplexen Ebene, deren Komplementa¨rgebiete durch paarweise disjunkte
Jordankurven berandet sind.
Das erste Beispiel einer Juliamenge als Sierpin´skikurve stammt von John
Milnor und Tan Lei, die gezeigt haben, dass die Juliamenge von f(z) :=
a
(
z + 1z
)
+ b fu¨r geeignete Parameter eine Sierpin´skikurve ist (vergleiche
[LeiMil]). In vielen untersuchten Familien tauchen Juliamengen als Sier-
pin´skikurven auf und sind oft sogar eher die Regel als die Ausnahme, verglei-
che zum Beispiel die Arbeiten von Devaney und Steinmetz ([Dev1], [Dev2],
[St6], [St7]). Der Nachweis, dass die Juliamenge eine Sierpin´skikurve ist, wird
dabei wesentlich erleichtert durch das Lemma von Morosawa (Lemma 5.3,
vergleiche [Mor]).
Bemerkung 5.2 Es ist wohlbekannt (vergleiche zum Beispiel [St1]), dass
die Juliamenge Jc nicht-leer, kompakt und nirgends dicht ist. Die Sa¨tze 3.7
und 3.8 liefern fu¨r c ∈ Ωn, n ≥ 1, dass Jc zusammenha¨ngend und sogar lokal
zusammenha¨ngend ist. Satz 4.4 liefert dies fu¨r die hyperbolischen Kompo-
nenten. Wenn wir wissen wollen, ob die Juliamenge eine Sierpin´skikurve ist,
stellt sich also hier fu¨r c ∈ Ωn, n ≥ 1, nur noch die Frage, ob U∞(c) und alle
seine Urbildgebiete durch einfach geschlossene, paarweise disjunkte Kurven
berandet sind.
Hierzu benutzen wir die beiden folgenden Lemmata.
Sierpin´skikurven 62
Lemma 5.3 (Lemma von Morosawa) Es sei R eine subhyperbolische,
rationale Funktion und U eine vorwa¨rts invariante Komponente ihrer Fatou-
menge F(R). Wenn es eine Komplementa¨rkomponente E von U und eine
Komponente D von F(R) gibt, so dass D ∪R−1(D) ⊆ E, dann ist der Rand
von U eine Jordankurve.
Der Beweis dieses Lemmas findet sich in [Mor]. Dabei heißt eine rationale
Funktion R subhyperbolisch, wenn gilt:
(i) Jeder kritische Punkt in der Juliamenge J (R) ist pra¨periodisch.
(ii) Jeder kritische Punkt in der Fatoumenge F(R) wird durch einen
(super-) attraktiven Zykel angezogen.
Jede hyperbolische, rationale Funktion ist also subhyperbolisch. Insbesonde-
re ist fu¨r c ∈ Ωn oder c ∈ Hn, n ∈ N, Rc sicherlich subhyperbolisch.
Lemma 5.4 Es sei R rational und D ein Jordangebiet. Wenn ∂D keine
kritischen Werte von R entha¨lt, dann haben je zwei verschiedene Urbilder
von D disjunkten Abschluß.
Dieses einfache, aber sehr hilfreiche Lemma ist in [St6] bewiesen worden.
Wenn wir also fu¨r c ∈ Ωn, n ∈ N, untersuchen wollen, ob Jc eine Sier-
pin´skikurve ist, so genu¨gt es, zu untersuchen, ob ∂U∞(c) eine Jordankurve
ist.
Lemma 5.5 Die beiden Polstellen 0 und 1 von Rc liegen in derselben Zu-
sammenhangskomponente von Ĉ \ U∞.
Beweis: Wir bezeichnen mit W0 (bzw. W1) die Zusammenhangskomponete
von Ĉ \ U∞, die 0 (bzw. 1) entha¨lt. Wir nehmen nun an, W0 6= W1. Wir
wissen bereits nach Satz 1.1, dass die Julia- und Fatoumenge invariant unter
α(z) = 1− z und β(z) = 1z sind. Nach Definition ist ∂W1 ⊆ ∂U∞, also
∂(β(W1)) ⊆ β(∂W1) ⊆ β(∂U∞) = ∂U0.
Wir wissen ferner, dass W0, W1 und alle Komplementa¨rgebiete von Ĉ \ U 0
Jordangebiete sind (vergleiche [Why2], Seite 106-107). Dann muß aber ent-
weder β(W1) ⊆ W0 oder Ĉ \ W 0 ⊆ β(W1) gelten. Insbesondere wa¨re also
im ersten Fall β(1) = 1 ∈ W0, im Widerspruch zu unserer Annahme. Im
zweiten Fall wa¨re ∞ ∈ β(W1), also 0 ∈ W1, und wir erhalten auch hier einen
Widerspruch. 2
Sierpin´skikurven 63
Lemma 5.6 Es sei c ∈ Ωn oder c ∈ Hn fu¨r ein n ∈ N. Dann ist ∂U∞ eine
Jordankurve.
Beweis: Es sei W0 die Komponente von Ĉ\U∞, die 0 entha¨lt. Dann ist nach
Lemma 5.5 auch 1 ∈W0. Ist W eine beliebige Komponente von Ĉ \ U∞, die
weder 0 noch 1 entha¨lt, so ist
∂Rc(W ) ⊆ Rc(∂W ) ⊆ Rc(∂U∞) = ∂U∞ und W ∩ U∞ = ∅.
Also bildet Rc die Komponente W eigentlich auf eine Komponente W ′ von
Ĉ \U∞ ab. Wir nehmen nun an, die beiden dreifachen Nullstellen z+ und z−
liegen nicht in W0. Entweder diese beiden liegen in derselben Komponente
W± von Ĉ \ U∞, und es ist Rc : W± 6:1→ W0 eine eigentliche Abbildung vom
Grad 6, oder z+ und z− liegen in zwei verschiedenen Komponenten W+ und
W−, und es ist Rc : W+ 3:1→ W0 sowie Rc : W− 3:1→ W0 jeweils eine eigentliche
Abbildung vom Grad 3. Im ersten Fall hat jeder Punkt aus ∂W0 = Rc(∂W±)
6 verschiedene Urbilder in ∂W±, da die Juliamenge keine kritischen Punkte
entha¨lt. Im zweiten Fall hat jeder Punkt aus ∂W0 = Rc(∂W+) = Rc(∂W−) je
drei verschiedene Urbilder in ∂W+ und in ∂W−. Nach Lemma 5.4 sind diese
6 auch paarweise verschieden.
Andererseits ist aber ∂W0 ⊆ ∂U∞ = Rc(∂U0), und somit hat jeder Punkt
aus ∂W0 auch zwei Urbilder in ∂U0. Dies sind aber ”zu viele“ Urbilder, al-so ist im ersten Fall W± ⊆ W0 und im zweiten Fall zumindest W+ ⊆ W0
oder W− ⊆ W0. Da aber mit α(z) = 1 − z gilt α(U∞) = U∞, sind auch
alle Komplementa¨rgebiete von Ĉ \ U∞ invariant unter α oder werden auf
Komplementa¨rgebiete von Ĉ \ U∞ abgebildet. Wegen α(0) = 1 ∈ W0, also
α(W0) = W0, ist mit z+ ∈ W0 auch z− = α(z+) ∈ W0 und umgekehrt. Wir
haben also im ersten wie im zweiten Fall gezeigt: R−1c (W0) ⊆W0. Das Lem-
ma von Morosawa 5.3 liefert nun, dass ∂U∞ eine Jordankurve ist. 2
Nun erhalten wir leicht das folgende Resultat:
Satz 5.7 Es sei c ∈ Ωn, n ∈ N. Dann ist Jc eine Sierpin´skikurve.
Beweis: Nach Satz 3.7 bzw. Satz 3.8 ist Jc zusammenha¨ngend und lokal
zusammenha¨ngend, U∞ einfach zusammenha¨ngend und ∂U∞ lokal zusam-
menha¨ngend. Nach Lemma 5.6 ist ∂U∞ eine Jordankurve und da Jc keine
kritischen Punkte entha¨lt, sind auch alle Urbildgebiete von U∞ Jordangebie-
te. Nach Lemma 5.4 folgt schließlich, dass alle Urbildgebiete von U∞ disjunk-
ten Abschluß haben. Damit ergibt sich die Behauptung. 2
Sierpin´skikurven 64
Abbildung 5.1: Juliamenge als Sierpin´skikurve (c=2+1,6i)
Bemerkung 5.8 Fu¨r c ∈ Hn, n ≥ 1, folgt zumindest, dass ∂U∞(c) eine Jor-
dankurve ist, die Juliamenge ist jedoch im Allgemeinen keine Sierpin´skikurve.
Sierpin´skikurven 65
5.2 Juliamengen und Quasikreise
In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass fu¨r gewisse Parameter c die
Abbildung Rc polynom-a¨hnlich ist. Daraus ko¨nnen wir dann unabha¨ngig vom
vorherigen Abschnitt schließen, dass ihre Juliamenge eine Sierpin´skikurve ist.
Wir betrachten die zu Rc konjugierte Abbildung
R˜c : Ĉ → Ĉ
R˜c(z) :=
1
Rc(1/z)
= 274
1
c
z2(z − 1)2
(z2 − z + 1)3
Dann ist 0 ein superattraktiver Fixpunkt der konjugierten Funktion R˜c. Es sei
D2 :=
{
w : |w| < 14
}
und D1 die Komponente von R˜−1c (D2), die 0 entha¨lt.
Lemma 5.9 Fu¨r 0 < |c| < 1080029791 ≈ 0, 36 ist R˜c : D1
2:1→ D2 quasikonform
konjugiert zu z2.
Beweis: Als erstes zeigen wir, dass D1 ⊆ D2. Dazu sei z ∈ C mit |z| =
1
5.
Dann gilt
|R˜c(z)| =
27
4 ·
1
|c| ·
|z|2 |z − 1|2
|z2 − z + 1|3 ≥
4 · 25 · 27
313 ·
1
|c| >
1
4 ,
wobei wir in der letzten Ungleichung die Einschra¨nkung fu¨r c ausnutzen. Also
ist
{
z : |z| = 15
}
∩D1 = ∅ und somit D1 ⊂ D2.
Als na¨chstes zeigen wir, dass D1 einfach zusammenha¨ngend ist. Nehmen wir
an, D1 wa¨re nicht einfach zusammenha¨ngend. Dann gibt es eine beschra¨nkte
Komplementa¨rkomponente C von D1. Auf ∂C gilt |R˜c(z)| = 14 . Da C ⊆ D2,
hat R˜c keine Polstelle in C. Nach dem Maximumprinzip folgt nun, dass D1
einfach zusammenha¨ngend ist.
Wir wissen, dass R˜c : D1 → D2 eine eigentliche Abbildung ist und dass D1
genau einen kritischen Punkt von R˜c entha¨lt, na¨mlich den Nullpunkt. Die
Riemann-Hurwitz-Formel liefert nun, dass der Abbildungsgrad k = 2 ist.
Dies liefert die Behauptung. 2
Definition 5.10 Eine Menge K ⊆ C heißt Quasikreis, wenn es eine quasi-
konforme Abbildung h mit h(∂D) = K gibt.
Sierpin´skikurven 66
Folgerung 5.11 Fu¨r Parameter c ∈ Ωn, n ≥ 1, und c ∈ Hn, n ≥ 1, mit
0 < |c| < 1080029791 ist ∂U∞(c) ein Quasikreis. Fu¨r c ∈ Ωn beweist dies erneut,
dass die Juliamenge Jc eine Sierpin´skikurve ist.
Folgerung 5.12 Die obigen U¨berlegungen zeigen fu¨r die Cantorkomponente
Ω0, dass Ω0 ⊆
{
c ∈ C∗ : |c| ≥ 1080029791
}
.
Bemerkung 5.13 Wenn wir fu¨r c mit |c| < 1350029791 =
22 · 33 · 53
313 ≈ 0, 45
den a¨ußeren Kreis D2 :=
{
w : |w| < 15− ε
}
mit |c| < (5 − ε) · 2
2 · 33 · 52
313
wa¨hlen und D1 entsprechend, so erhalten wir mit derselben Argumentation
wie oben, dass R˜c : D1 2:1→ D2 eine polynoma¨hnliche Abbildung ist und somit
auch hier ∂U∞(c) ein Quasikreis.
Sierpin´skikurven 67
5.3 Dynamische Konjugation
Nach Whyburn (vergleiche [Why1]) sind je zwei Sierpin´skikurven homeo-
morph. Dies heißt jedoch nicht, dass fu¨r zwei Parameter c und λ, fu¨r die die
Juliamengen Jc und Jλ Sierpin´skikurven sind, die Funktionen Rc und Rλ
auf ihren Juliamengen topologisch konjugiert zueinander sind: Nach dem λ-
Lemma von Man˜e´, Sad und Sullivan sind Rc und Rλ quasikonform konjugiert
zueinander, wenn c und λ in derselben Fluchtkomponente liegen. Anderer-
seits sind Rc und Rλ sicher nicht topologisch konjugiert zueinander, wenn
c und λ in Fluchtkomponenten verschiedener Ordnung liegen. Es stellt sich
hier die Frage, ob und wann zwei Funktionen Rc und Rλ bei denen c und λ
in verschiedenen Fluchtkomponenten derselben Ordnung liegen, topologisch
konjugiert zueinander sind. Eine derartige Fragestellung wurde vermutlich
erstmalig in der Arbeit [DevPil] von R. Devaney und K.Pilgrim fu¨r die sym-
metrische McMullen-Familie Rc(z) = zn + czn untersucht. Die dortigen U¨ber-
legungen werden hier auf die zu untersuchende Familie u¨bertragen.
Lemma 5.14
a) Die Abbildung Rc ist in Ĉ nicht konjugiert zu Rλ durch eine Mo¨bi-
ustransformation h, falls λ 6= c.
b) Es ist Rc konjugiert zu Rc via z 7→ z.
Beweis: Es sei h eine Mo¨biustransformation mit Rc = h◦Rλ◦h−1 in Ĉ. Dann
ist h(∞) = ∞ und h ({0, 1}) = {0, 1}, also h(z) = z oder h(z) = 1 − z. Im
zweiten Fall folgt fu¨r z ∈ C die Identita¨t cR(z) = 1−λR(1−z) = 1−λR(z),
also (c+ λ)R(z) = 1. Dies liefert einen Widerspruch.
Aussage b) folgt unmittelbar aus Rc(z) = Rc(z). 2
Satz 5.15
Es seien c, λ ∈
⋃
n∈N
Ωn. Rc ist genau dann topologisch konjugiert zu Rλ auf
der Juliamenge, wenn c und λ in derselben Fluchtkomponente Ω liegen oder
wenn c ∈ Ω und λ ∈ {µ : µ ∈ Ω} mit einer Fluchtkomponente Ω und der
”spiegelbildlichen“ Fluchtkomponente {µ : µ ∈ Ω}.
Beweis: Ist Ω eine Fluchtkomponente und c ∈ Ω, so ist Rc quasikonform
konjugiert zum Zentrum c0 von Ω (vergleiche Satz 3.19). Wir ko¨nnen also
im Folgenden ohne Einschra¨nkung annehmen, dass c und λ Zentren von
Fluchtkomponenten sind. Insbesondere sind Rc und Rλ dann kritisch endlich,
das heißt, der Vorwa¨rtsorbit O+(C) der kritischen Punkte ist endlich.
Sierpin´skikurven 68
Nun sei h : Jc → Jλ ein Homeomorphismus mit Rc = h−1 ◦ Rλ ◦ h. Es
ist dann h(∂U∞(c)) = h(Rc(∂U∞(c))) = Rλ(h(∂U∞(c)), also insbesondere
h(∂U∞(c)) = ∂U∞(λ). Wir ko¨nnen jetzt davon sprechen, dass h orientie-
rungserhaltend oder orientierungsumkehrend auf ∂U∞(c) ist. Sei zuna¨chst h
orientierungserhaltend. Da ∂U∞(c) und ∂U∞(λ) Jordankurven sind, lassen
sich die normierten Bo¨ttcherfunktionen ϕ˜c := 427cϕc bzw. ϕ˜λ := 427λϕλ nach
dem Satz von Osgood-Carathe´odory (vergleiche Satz 16.3a in [Hen], Seite
345ff) zu einer stetigen Abbildung von U∞(c) bzw. U∞(λ) fortsetzen. Wir
ko¨nnen also die Funktion H : ∂D → ∂D, H(z) := ϕ˜λ ◦ h ◦ ϕ˜−1c definieren.
Dann ist H(z2) = (H(z))2, also H(z) = z fu¨r z ∈ ∂D. H la¨ßt sich also
trivialerweise nach D fortsetzen. Durch diese Fortsetzung erhalten wir eine
konforme Abbildung h : U∞(c) → U∞(λ) mit Rc = h−1 ◦Rλ ◦ h. Konkret ist
h = ϕ˜−1λ ◦ ϕ˜c fu¨r z ∈ U∞(c).
Da c und λ Zentren von Fluchtkomponenten derselben Ordnung n ∈ N sind,
ist Rnc (c) = Rnλ(λ) = ∞ und die beiden Abbildungen Rc und Rλ sind kritisch
endlich. Dies erlaubt es uns, die konforme Abbildung h durch Pull-Back (ver-
gleiche Seite 21) zu einer konformen Abbildung in Ĉ fortzusetzen. Dann ist
aber h eine Mo¨biustransformation und Lemma 5.14 a) liefert h(z) = z.
Ist der Homeomorphismus h orientierungsumkehrend auf ∂U∞(c), so ist nach
Lemma 5.14 b) die Abbildung Rc konjugiert zu Rλ vermo¨ge eines orientie-
rungserhaltenden Homeomorphismus. Dies liefert die Behauptung. 2
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