Matthias C. LEHNER & Kristina REISS, München Blickbewegungen von Schülerinnen und Schülern sowie Studierenden beim Lösen von Aufgaben mit und ohne zusätzliche Informationen Theoretischer Hintergrund In der aktuellen mathematikdidaktischen Forschung zur Schwierigkeit von Mathematikaufgaben wird häufig die Komplexität einer Aufgabe mithilfe von vordefinierten Kategoriensystemen eingeschätzt. Meist werden dabei die Prozesse bei der Aufnahme und Verarbeitung relevanter Informationen – also das Lesen einer Aufgabe und die dabei verwendeten Strategien mit äußeren Merkmalen der Aufgabe in Verbindung gebracht. Die von unter- schiedlichen Forschungsgruppen verwendeten Kategorien überschneiden sich teilweise (z. B. Cohors-Fresenborg et al., 2004; Neubrand et al., 2002). Man findet dabei einerseits Kriterien, die sich auf den Inhalt einer Aufgabe beziehen, etwa den Themenbereich einer Aufgabe oder typische Fehlvor- stellungen und andererseits findet man Merkmale, die vom konkreten In- halt einer Aufgabe unabhängig sind, etwa die Zahl der Denkschritte, die zur Lösung einer Aufgabe notwendig ist, oder die Komplexität der Sprache, die in einer Aufgabenstellung verwendet wird. Die vorliegenden Forschungs- arbeiten konzentrierten sich bisher überwiegend auf Aufgaben für die Se- kundarstufe I, während nur wenige Studien die Schwierigkeit von Mathe- matikaufgaben für die Sekundarstufe II oder im universitären Kontext the- matisieren. Die Komplexität von Aufgaben für die Sekundarstufe II oder im universitä- ren Kontext ist nur schwer vorherzusagen. Das ist vor allem darauf zurück- zuführen, dass in einer spezifischen Aufgabe Wissen aus sehr unterschied- lichen Themenbereichen wichtig sein kann (z. B. Lehner, i. Vorb.). Vor diesem Hintergrund ist es von besonderer Bedeutung, Merkmale zu be- schreiben, die das Lesen und Lösen von Mathematikaufgaben für die Se- kundarstufe II oder im universitären Kontext beeinflussen können. Folgt man der cognitive load theory von Sweller (1994), sind Zusatzinfor- mationen in einer Aufgabenstellung ein Aspekt, der die Prozesse beim Le- sen und Lösen von Mathematikaufgaben für Studienanfängerinnen und Studienanfänger beeinflussen kann. Die Theorie basiert auf der weitgehend akzeptierten Annahme, dass die Kapazität des Arbeitsgedächtnisses be- schränkt ist. Sweller (1994) beschreibt, dass die Belastung für das Arbeits- gedächtnis beim Lösen eines Problems zum einen durch die inhaltliche Komplexität eines Problems entsteht (intrinsic cognitive load), zum ande- In Fachgruppe Didaktik der Mathematik der Universität Paderborn (Hrsg.) Beiträge zum Mathematikunterricht 2018. Münster: WTM-Verlag 1147 ren durch die Art und Weise, wie ein Problem präsentiert wird (extraneous cognitive load). Insbesondere umfasst extraneous cognitive load Informati- onen, die in einer Aufgabenstellung zwar vorgegeben, aber zur Lösung ei- ner Aufgabe nicht erforderlich sind. Die cognitive load theory legt nahe, dass sich diese Informationen auf den Lese- und Löseprozess von Mathe- matikaufgaben für angehende Studierende auswirken können. Unklar ist jedoch, wie sich Zusatzinformationen auf den Lese- und Löseprozess von Mathematikaufgaben auswirken. Analyse von Blickbewegungen Um Lese- und Löseprozesse näher zu untersuchen, wurden in den letzten Jahren in der mathematikdidaktischen Forschung wiederholt Blickbewe- gungen ausgewertet. Aus diesem Grund wurden in der vorliegenden Studie Blickbewegungen analysiert, um zu untersuchen, wie sich Zusatzinformati- onen auf den Lese- und Löseprozess von Mathematikaufgaben auswirken. Bei der Analyse von Blickbewegungen wird genutzt, dass es für die detail- lierte Wahrnehmung der Umgebung notwendig ist, das Auge nacheinander auf alle zu verarbeitenden Informationen zu richten (z. B. Holmqvist et al., 2011). Man bezeichnet die Phasen, bei denen ein bestimmter Punkt der Umgebung anvisiert wird, als Fixationen. Fixationen wiederum werden verbunden von Sakkaden, die viel kürzer sind und während denen keine Informationen aufgenommen werden (z. B. Holmqvist et al., 2011). Unter- suchungen von Blickbewegungen basieren auf zwei Paradigmen, die von Just und Carpenter (1980) formuliert wurden. Bei der immediacy assumpti- on wird angenommen, dass die Verarbeitung von Informationen unmittel- bar nach der visuellen Aufnahme erfolgt. Die eye mind assumption besagt, dass Objekte nur so lange im visuellen Fokus liegen, wie Interesse besteht oder sie kognitiv ausgewertet werden. In mehreren Erhebungen wurde nachgewiesen, dass das Vorwissen von Personen Blickbewegungen beim Lesen von mathematischen Texten oder beim Lösen von Aufgaben beeinflussen kann. Beispielsweise zeigten Inglis und Alcock (2012), dass Expertinnen und Experten mathematische Bewei- se anders lesen als Novizinnen und Novizen. Vor diesem Hintergrund stellt sich die Frage, ob zusätzliche Informationen Auswirkungen auf den Lö- sungsprozess haben. Forschungsfrage und Methode Unsere Studie zielt auf die Frage, wie sich Zusatzinformationen auf den Lese- und Löseprozess von Mathematikaufgaben auswirken. Zusätzlich 1148 soll untersucht werden, ob es dabei Expertinnen und Experten Unterschiede zu Novizinnen und Novizen zeigen. Um die Frage zu beantworten, wurden jeweils drei Items mit und ohne Zu- satzinformation erarbeitet. In den Items sollte jeweils entschieden werden, ob ein vorgegebener Ableitungsterm zu einer Funktion passt, die in einem Funktionsgraphen skizziert war. Zur Lösung der Aufgabe konnten die Nullstellen des Ableitungsterms mit den Extremstellen des Graphen vergli- chen werden. In den Aufgabenvarianten mit Zusatzinformation wurde zu- sätzlich der Funktionsterm in Form eines Polynoms angegeben. Dadurch war es alternativ möglich, diesen zu differenzieren, das Ergebnis zu fakto- risieren und mit der vorgegeben Ableitung zu vergleichen. Das ist eine kor- rekte Lösungsalternative, die mehr Rechenoperationen erfordert. An unserer Studie nahmen 23 Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II sowie 17 Mathematikstudierende teil. Die Schülerinnen und Schüler hat- ten im Unterricht das Thema Ableiten und Integrieren bereits diskutiert, die Studierenden hatten das Thema Ableiten im Studium bereits im Rahmen einer Analysis-Vorlesung behandelt. Bei der Datenerfassung wurden den Personen die sechs Items auf einem Bildschirm gezeigt. Während sie diese lösten, wurden ihre Blickbewegungen aufgezeichnet. Ergebnisse Die Studierenden benötigten im Mittel 14,43 Sekunden, um die Items ohne Zusatzinformationen zu lösen. In den Items mit Zusatzinformation nur 11,75 Sekunden. Die Studierenden lösten die Aufgaben mit Zusatzinforma- tion signifikant schneller (Wilcoxon-Mann-Whitney-Test, Z = 3,48, p < ,001). Es liegt ein mittlerer Effekt vor (Cohens’s d = 0,78). Hingegen benötigten die Schülerinnen und Schüler im Mittel M = 24,13 Sekunden, um die Aufgaben ohne Zusatzinformation zu lösen. Bei den Items mit Zu- satzinformation benötigten sie im Mittel sogar M = 30,70 Sekunden. Die Lösung der Items mit offenem Anfangszustand nahm also bei den Schüle- rinnen und Schülern signifikant mehr Zeit ein als die Lösung der Aufgaben mit geschlossenem Anfangszustand (Wilcoxon-Mann-Whitney-Test, Z = 3,30, p < ,001). Der Effekt ist groß (Cohen's d = 1,00). Weiter zeigte sich in den Daten, dass die Personen aus beiden Stichproben den Funktionsterm als Zusatzinformation fixierten. Bei den Schülerinnen und Schülern (3,53 Sekunden) ist die mittlere Fixationszeit auf der Zusatz- information deutlich höher als bei den Studierenden (0,52 Sekunden). Ferner zeigte sich in den Blickbewegungsdaten, dass die Schülerinnen und Schüler den Graphen deutlich länger fixieren als den Ableitungsterm. Die- ser Unterschied ist in beiden Itemtypen signifikant und die Effekte sind 1149 groß (ohne Zusatzinformation: Wilcoxon-Mann-Whitney-Test, Z = 5,17, p < ,001, Cohen‘s d = 0,84; mit Zusatzinformation: Wilcoxon-Mann- Whitney-Test, Z = 1,21, p < ,001, Cohen‘s d = 1,21). Die Studierenden hingegen fixierten den Ableitungsterm und den Funktionsgraphen unab- hängig von der Zusatzinformation etwa gleich lang. Bei den Studierenden zeigte sich weder in den Aufgaben mit Zusatzinformation noch bei den Items ohne Zusatzinformation ein signifikanter Unterschied. Diskussion und Ausblick In den Ergebnissen spiegeln sich Unterschiede zwischen den Schülerinnen und Schülern und den Studierenden wider. Während die Studierenden die Aufgaben schneller lösen und die Zusatzinformationen kaum fixieren, tre- ten bei den Schülerinnen und Schülern höhere Fixationszeiten bei den Zu- satzinformation auf. Das kann auf das unterschiedliche Vorwissen der bei- den Stichproben zurückzuführen sein. Zusätzlich fällt in den Daten auf, dass die Schülerinnen und Schüler den Funktionsgraphen deutlich länger fixieren als den Ableitungsterm. Bei den Studierenden sind die Fixationszeiten etwa gleich lang. Das kann ein Hin- weis darauf sein, dass die Schülerinnen und Schüler beim Lösen der Auf- gaben Schwierigkeiten mit der graphischen Repräsentation oder dem Re- präsentationswechsel hatten. Literatur Cohors-Fresenborg, E., Sjuts, J. & Sommer, N. (2004). Komplexität von Denkvorgän- gen und Formalisierung von Wissen. In M. Neubrand (Hrsg.), Mathematische Kom- petenzen von Schülerinnen und Schülern in Deutschland. Vertiefende Analysen im Rahmen von PISA 2000. (S. 109–144). Wiesbaden: Springer VS. Holmqvist, K., Nyström, M., Andersson, R., Dewhurst, R., Jarodzka, H. & van de Wejier, J. (2011). Eye Tracking. A comprehensive guide to methods and measures. Oxford: Oxford University Press. Inglis, M. & Alcock, L. (2012). Expert and Novice Approaches to Reading Mathemati- cal Proofs. Journal for Research in Mathematics Education 43(4), 358–390. Just, M. A. & Carpenter, P. A. (1980). A theory of reading: From eye fixations to com- prehension. Psychological Review, 87 (4), 329–354. Lehner, M. (i. Vorb.) Mathematikaufgaben für Leistungserhebungen im universitären Kontext. Grundlegung und empirische Untersuchung
von Aufgabenschwierigkeit und individuellen Lösungsprozessen. (Disseration, Technische Universität München). Neubrand, M., Klieme, E., Lüdtke, O. & Neubrand, J. (2002). Kompetenzstufen und Schwierigkeitsmodelle für den PISA-Test zur mathematischen Grundbildung. Un- terrichtswissenschaft, 30(2), 100–119.
 Sweller, J. (1994). Cognitive load theory, learning difficulty and instructional design. Learning and Intstruction, 4, 295–312. 1150