Krämer, WalterWalter, Ronja Anna2011-09-282011-09-282011-09-28http://hdl.handle.net/2003/29116http://dx.doi.org/10.17877/DE290R-3034Im Bankwesen gibt es seit Basel II neben den Ratings der großen Ratingagenturen auch interne Ratings, die von den Banken selbst erstellt werden. Diese haben den Vorteil, dass sie jederzeit veränderbar sind und somit Ratinghistorien der Schuldner als zeitstetige Markoff-Prozesse ansehen lassen. Migrationsintensitäten zwischen den Ratingklassen lassen sich also mit Hilfe von Zählprozessen schätzen. Hat man Ratingklassen in Kalenderzeit, so sind diese über die Konjunktur korreliert. Die Korrelation kann über eine aus der Überlebenszeitanalyse bekannten Frailty modelliert werden. Das bedeutet, dass die Migrationsintensität einen zufälligen Faktor enthält. Üblicherweise ist dieser Faktor gamma- oder log-normalverteilt. In der Arbeit wird aber von zwei anderen Möglichkeiten ausgegangen: als erstes von einer betaverteilten Frailty, die sich zu jedem Migrationszeitpunkt verändert, und als zweites von einem AR(1)-Prozess, der sich zu den selben Zeitpunkten erneuert. Der AR(1)-Prozess hat im Gegensatz zur betaverteilten Frailty den Vorteil, dass er autokorreliert ist jedoch den Nachteil, dass die Intensitäten theoretisch negativ werden können. Das Problem bei einer solchen Modellierung ist, dassdie Likelihood einem hochdimensionalen Integral entspricht. Delloye et al. (2006), Koopman et al. (2008) und Duffie et al. (2009) lösen dieses Problem, indem sie aufwändige numerische Verfahren zur Schätzung der Parameter verwenden. Hier geschieht das mit Hilfe einer Laplace-Approximation, die das Integral annähert. Danach gibt es trotzdem keine geschlossene Form der Schätzer, man benötigt jedoch nur noch einen einfach Newton-Raphson Algorithmus um Schätzwerte zu finden. In Simulationen wird das Verhalten der Schätzer überprüft. Die Basisintensität lässt sich gut schätzen. Ein einfacher Schätzer, der die Frailty ignoriert, liefert aber genauso gute, teilweise bessere Ergebnisse. Die Parameter der Frailtyverteilung dagegen lassen sich bei der AR(1)-Verteilung gar nicht schätzen, und auch bei der betaverteilten Frailty funktioniert dies nur unabhänging von den Daten. Hier führt ein Teil des Korrekturterms der Laplace-Approximation, der nicht von den Beobachtungen abhängt, dazu, dass in der Likelihood ein Peak entsteht. Ohne den Peak wären auch in diesem Fall der Parameter der Betaverteilung nicht schätzbar. Somit ist die Laplace-Approximation zumindest bei einem so hochdimensionalen Problem wie dem betrachteten wenig geeignet um die Likelihood anzunähern. In einem Portfolio der WestLB kann gezeigt werden, dass die Migrations- und Ausfallhäufigkeit von der Konjunktur abhängt. Die gefundenen Schätzer unterscheiden sich ähnlich wie in den Simulation kaum von einem einfachen Schätzer und auch unterschiedliche Werte für die Parameter der Frailtyverteilung verursachen kaum Veränderungen des Schätzers. Nur bei gemeinsamer Schätzung der Parameter im Fall der betaverteilten Frailty wird der Schätzer deutlich kleiner. Dieses Verhalten konnte aber auch in den Simulationen beobachtet werden, in denen der gemeinsame Schätzer die Basisintensität immer deutlich unterschätzte.deFrailtiesKreditrisikoZählprozesse310Text