A-optimale Blockpläne für Behandlungs-Kontroll-Vergleiche bei AR(1)-korrelierten Fehlern - Melsheimer, Oliver (Technische Universität Dortmund, 2011)
In dieser Arbeit wurde eine Vorarbeit von [Kunert et al., 2010] aufgegriffen und für den Vergleich mehrerer Behandlungen mit einer Kontrolle im einfachen Blockmodell mit AR(1)-korrelierten Fehlern untersucht, wo sich die Stelle befindet, an der das Maximum über alle H-Funktionen seinen kleinsten Wert annimmt. Das Auffinden dieser Stelle ist deshalb so bedeutsam, da sich durch sie zumindest eine Untergrenze für das Atc-Kriterium ermitteln lässt und sie in manchen Fällen sogar über die Gestalt des optimalen Versuchplans Auskunft gibt. Bei dieser Untersuchung wurde dabei von denselben grundlegenden Annahmen ausgegangen, die auch [Kunert et al., 2010] in ihrem Artikel voraussetzten: So wurde insbesondere nur die Situation betrachtet, in der die Anzahl der Behandlungen v mindestens so groß ist wie die Blocklänge k und die Fehler zudem nicht-negativ und auch nicht perfekt korreliert sind, der Korrelationsparameter λ des autoregressiven Prozesses also im Bereich [0, 1) liegt. In Kapitel 3 konnte mit einer alternativen Darstellung der Sequenzen schnell gezeigt werden, dass nur solche Sequenzen für diese Suche überhaupt von Relevanz sein können, die Kontrollen nie in direkter Folge einsetzen und den Einsatz einer Kontrolle auf einem der beiden Randfelder der Sequenz nach Möglichkeit vermeiden. Durch diese Erkenntnis und die Vorarbeit von [Kunert et al., 2010] ließ sich die Zahl der zu betrachtenden Sequenzen erheblich reduzieren und es konnte nachgewiesen werden, dass für jede bestimmte Anzahl von Kontrollen z mit z = k 2 jeweils nur eine einzige Sequenz s(z) als Repräsentant der ganzen Klasse betrachtet werden muss. Bei der anschließenden näheren Betrachtung des Verhaltens dieser verbleibenden Sequenzen in den Kapiteln 4 und 5 stellte sich heraus, dass die zu ihnen gehörenden H-Funktionen im Intervall [-1, 0], das - wie Vorüberlegungen zeigten - überhaupt den einzig interessanten Bereich abdeckt, besonderen Gesetzmäßigkeiten folgen: Die Scheitelpunkte x(z) dieser Funktionen liegen alle in diesem Bereich und zwar in der immer gleichen Reihenfolge x(0), x(1), x(2) und so weiter. Je zwei dieser Funktionen schneiden sich in diesem Intervall genau einmal. Für die Schnittpunkte xj|j+1 zweier Sequenzen s(j) und s(j+1) konnte dabei gezeigt werden, dass diese Schnitte umso weiter links im Intervall liegen, je größer j ist, also die Reihenfolge x0|1 > x1|2 > x2|3 usw. gilt. Diese Erkenntnisse vereinend und dabei die Tatsache berücksichtigend, dass es sich bei allen HFunktionen um nach oben geöffnete Parabeln handelt, ließ sich damit weiter zeigen, dass es für all diese Sequenzen jeweils ein Teilintervall gibt, auf dem die jeweilige Sequenz allen anderen überlegen ist, und dass diese Intervalle umso weiter rechts liegen, je kleiner die Zahl der eingesetzten Kontrollen in der Sequenz. Mit diesem neu gewonnenen Wissen konnte daraufhin ein konstruktives Verfahren hergeleitet werden, mit dem sich schnell und mit nur wenigen Funktionsauswertungen die gesuchte Optimalstelle finden lässt. Welche Auswirkungen eine Veränderung der Parameter auf die Position dieser Stelle bzw. die Zahl der in den dort optimalen Sequenzen eingesetzten Kontrollen hat, wurde schließlich zum Abschluß dieser Arbeit in Kapitel 6 erforscht. Dabei konnte unter anderem nachgewiesen werden, dass mit wachsendem v die Zahl der in diesen optimalen Sequenzen verwendeten Kontrollen monoton sinkt und sich Schwellenwerte finden lassen, ab denen die gesuchte Optimalstelle am Schnittpunkt x0|1 liegen kann bzw. ab denen sie dort sogar immer liegen muss. Weiter ließ sich so ermitteln, wie viele Kontrollen die optimalen Sequenzen für gegebenes k höchstens einsetzen.
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