Oszillierende Ornstein-Uhlenbeck Prozesse und Modellierung von Elektrizitätspreisen - Kobe, Daniel (Technische Universität Dortmund, 2016)
Diese Arbeit beschäftigt sich mit sogenannten oszillierenden Ornstein-Uhlenbeck Prozessen. Diese neuartigen, stationären Prozesse gehören zu der Klasse "zeitstetiger Moving-Average Prozesse". Die Eigenschaften der Prozesse motivieren uns zur Konstruktion eines neuen Spotpreismodells für Elektrizitätspreise. So treten in den Preiskurven der Strombörsen sehr hohe oder niedrige Preise oft nur sehr kurz auf. Die schnelle Rückkehr zu einem durchschnittlichen Niveau wird als "mean reverting-Effekt" bezeichnet. Bei Elektrizitätspreisen tritt dieser Effekt insofern auf, dass die Preise schnell zu einem oszillierenden, saisonalen Trend zurückkehren. In der bisherigen Fachliteratur werden die Preisdaten daher vor der stochastischen Modellierung durch eine deterministische Trend-Funktion bereinigt. Ein Ziel der Konstruktion eines neues Modell ist es, dem Problem der eindeutigen Identi fizierbarkeit dieser Trend-Funktion zu begegnen und auf die Verwendung einer solchen zu verzichten. Die Dynamiken von oszillierenden Ornstein-Uhlenbeck Prozessen zeigen, dass sich der gewünschte "mean-reverting-Effekt" modellieren lässt. So zeigt sich, dass der Trend eines klassischen Ornstein-Uhlenbeck Prozesses wie gewünscht durch einen zufälligen, oszillierender Prozess ersetzt wird. Aber auch das periodische, abklingende Verhalten der Abhängigkeitsstruktur der Spotpreise in Form der empirischen Autokorrelationsfunktion kann durch die analytische Autokorrelationsfunktion des Modells reproduziert werden. Ferner können die Prozesse dazu genutzt werden, Sprünge in den Preiskurven zu modellieren. Am Ende des Abschnitt zeigt sich, dass sich für zwei mögliche Derivate eine explizite Preisformel zur Bewertung auf Basis des Modells herleiten lässt. Im zweiten Teil der Arbeit richtet sich der Blick auf die statistische Kalibrierung oszillierender Ornstein-Uhlenbeck Prozesse. Zur Konstruktion von Schätzern für die Parameter wird die sogenannte Momentenmethode vorgeschlagen. Um die Konsistenz der resultierenden Schätzer zu gewährleisten, wird die Ergodizität der Prozesse gezeigt. Die asymptotische Normalität der Schätzer ergibt sich noch nicht aus den zentralen Grenzwertsätzen von Cohen und Lindner (2014). Dies motiviert uns zum Beweis einer Verallgemeinerung, welche für zeitstetige Moving Average und insbesondere oszillierende Ornstein-Uhlenbeck Prozesse genutzt werden kann. Im letzten Teil der Arbeit approximieren wir auf Grundlage von Beobachtungen der Prozesse den sogenannten "treibenden Lévy-Prozess". Hierzu stehen unterschiedliche Beobachtungssituationen im Fokus. Wir untersuchen jeweils einen Schätzer für den Erwartungswert des Lévy-Prozesses. Es stellt sich heraus, dass dieser erwartungstreu, stark konsistent und asymptotisch normal ist. Unter hochfrequenten Beobachtungen gelingt es darüber hinaus, eine Approximation des Lévy-Prozesses zu gewinnen, die in einem gewissen Sinne gegen den tatsächlichen Lévy-Prozess konvergiert, wenn das Beobachtungsintervall vergrößert und die Beobachtungsabst ände verfeinert werden. Auf Grundlage des Resultats lässt sich zeigen, dass auch die empirische Varianz der Approximationen einen schwach konsistenten Schätzer für die Varianz des Lévy-Prozesses darstellt. Abschließend zeigt eine Simulationsstudie, dass die konstruierten Schätzer in unterschiedlichen Situationen sehr gute Ergebnisse liefern.
Keywords: Oszillierende Ornstein-Uhlenbeck Prozesse; Elektrizitätspreise; Strompreise; Finanzstochastik; Electricity markets; Spot prices; 510; Ornstein-Uhlenbeck-Prozess; Strompreis