Adaptive Finite-Elemente-Methoden für thermoplastische Kontaktprobleme - Heupel, Ullrich Ralf Friedrich-Wilhelm (Technische Universität Dortmund, 2020)
In der vorliegenden Arbeit wird, basierend auf der Finiten-Elemente-Methode, ein numerisches Verfahren zur Lösung von dynamischen, thermomechanisch gekoppelten, elastoplastischen und reibungsbehafteten Kontaktproblemen entwickelt. In dem betrachteten Modellproblem werden die linearisierte Kontaktbedingungen und Verzerrungen verwendet, jedoch wird für die plastische Verzerrung sowohl kinematische als auch isotropische Verfestigung berücksichtigt. Als Reibgrenze werden allgemeine Reibgesetze zugelassen, die von allen modellierten Größen abhängig sein können. Das Problem wird durch eine gemischte Finite-Elemente-Methode mit Lagrangemultiplikatoren behandelt. Um die numerischen Störungen der Gesamtenergie klein zu halten, wird für die Zeitdiskretisierung ein verbessertes kontaktstabilisiertes Newmark-Verfahren verwendet. Dies wird gewählt, da es Oszillationen im Kontaktbereich verhindert und energiedissipativ ist. Zur Diskretisierung im Ort wird eine Finite-Elemente-Ansatz basierend auf Mortar-Basisfunktionen für die Lagrangemultiplikatoren angewendet. Durch geschickte Wahl der Ansatzräume werden die Nebenbedingungen in knoten-/elementweise Bedingungen überführt. Daraus kann mit NCP-Funktionen und einem semiglatten Newtonverfahren insgesamt eine aktive Mengen Strategie in jedem Zeitschritt hergeleitet werden. Mit statischem Kondensieren kann die Größe der zu lösenden Gleichungssysteme stark verringert werden, so dass nur lineare Gleichungssysteme für Verschiebung und Wärme gelöst werden müssen. In den numerischen Beispielen werden verschiedene Aspekte des entwickelten Lösungsverfahren betrachtet. Dabei wird die Energiebilanz aufgestellt, bei der zwar ein kleiner Anteil der Energie durch numerische Effekte verloren geht, aber sonst keine unphysikalischen Energieänderungen auftreten. Außerdem werden für den statischen Fall Parameterstudien durchgeführt und das für Aktive-Mengen-Strategien typische Konvergenzverhalten untersucht. Es wird auch die effiziente Anwendbarkeit bei biaktiven Mengen demonstriert. Im zweiten Teil wird ein zielorientierter a-posteriori DWR-Fehlerschätzer für eine allgemeine Problemstellungen mit NCP-Funktionen konstruiert. Im Rahmen der DWR-Methode werden Fehleridentitäten für möglicherweise nichtlineare Zielfunktionale, die Abhängigkeiten von allen vorhandenen Größen aufweisen können, bestimmt. In diesen Fehleridentitäten kommen jedoch die unbekannten analytischen Lösungen vor. Mithilfe von patchweisen Interpolierenden werden diese ersetzt und numerisch auswertbare Fehlerschätzer abgeleitet werden. Damit wird ein h-adaptives Verfahren realisiert. In den numerischen Beispielen kann die Effektivität der Fehlerschätzer und die Effizienz des Lösungsverfahrens für verschiedene statische Probleme belegt werden. Im Gegensatz zu uniformen Verfeinerungen wurde die optimale Konvergenzgeschwindigkeit erreicht.
Keywords: FEM; Plastizität; DWR; Adaptive Finite Elemente Methode; AFEM; NCP; 510; Finite-Elemente-Methode; Adaptives Verfahren; Fehlerabschätzung; A-posteriori-Abschätzung; NCP-Funktionen; Thermomechanik