Algorithmische Konstruktionen von Gittern

Abstract

Im Mittelpunkt dieser Arbeit steht ein Klassifikationsprojekt aus dem Gebiet der ganzzahligen Gitter. Ausgehend von Knesers Nachbarmethode wurde das Computerprogramm tn entwickelt, mit dem eine Vielzahl vollständiger Geschlechtern ganzzahliger Gitter klassifiziert wurden. Hauptergebnisse sind die Klassifikation modularer Gitter in Dimensionen bis zu 14 mit den Stufen 3,5,7 und 11. Wir stellen einen Meta-Algorithmus zur Berechnung einer Gitterbasis aus einem großen Erzeugendensystem vor. Sowohl exakte Worst-Case Abschätzungen als auch praktische Versuche zeigen die Vorteile des Verfahrens gegenüber den bisher verwendeten Methoden. Es wird ein effektiver Algorithmus präsentiert, der eine Zerlegung eines Gitters in eine direkte Summe paarweise orthogonaler Untergitter berechnet. Ein weiteres Ergebnis ist ein Überdeckungssatz für minimale Erzeugendensysteme. Ein minimales Erzeugendensystem eines Gitters vom Rank n mit Minimum M und Erzeugenden mit durch B beschränkter Norm besteht aus höchtens n + log_2(n!(B/M)^n) Vektoren. Es werden Invarianten eines Gitters L beschrieben und berechnet wie die Spektralkoeffizienten der diskreten Fouriertransformierten der Längenfunktion auf L/2L. Die numerische Behandlung des zwiten normalisierten Trägheitsmomentes von Gitterquantizern und Quantizern der Vereinigung von Gitternebenklassen wird diskutiert.

The main objective of this thesis is a classification project for integral lattices. Using Kneser's neighbour method we have developed the computer program tn to classify complete genera of integral lattices. Main results are detailed classifications of modular lattices in dimensions up to 14 with levels 3,5,7, and 11. We present a fast meta algorithm for the computation of a basis of a lattice which is given by a large generating system. A theoretical worst case boundary and practical experiments show important advantages in comparison to traditional methods. Up to small modifications we use this algorithm for the decomposition of a lattice into pairwise orthogonal sublattices. As a further result we prove a covering theorem for the generating system of a lattice. Let S be a minimal generating system of a lattice of rank n with generators not larger than B. Then S has at most n + log_2(n!(B/M)^n) elements. We describe and compute invariants of a lattice L like the spectrum of the discrete Fourier transform of the length function on L/2L. The numerical computation of a lattice quantizer and a quantizer of a union of cosets of a lattice are discussed.