Auswirkungen von beschränkter stochastischer Abhängigkeit auf statistische Verfahren

Abstract

Die Arbeit beinhaltet eine Analyse der Effekte, die durch Störungen stochastischer Unabhängigkeit bei statistischen Verfahren hervorgerufen werden können. Die Störungen stochastischer Unabhängigkeit sind hierbei durch quantitativ beschreibbare Beschränkungen stochastischer Abhängigkeit gegeben. Zu diesem Zweck werden quantitative Maße für Abhängigkeit vorgestellt.

Diese basieren sowohl auf klassischen Konzepten wie z.B. dem strong-mixing-Koeffizienten nach Rosenblatt, als auch auf neueren Konzepten, die auf bedingten Verteilungsfunktionen und bedingten Erwartungswerten aufbauen.

Die quantitative Beschreibung stochastischer Abhängigkeit ermöglicht es, die vom Ausmaß stochastischer Abhängigkeit hervorgerufenen Auswirkungen auf statistische Verfahren zu untersuchen.

Ein erster Schritt behandelt infinitesimale Abweichungen von stochastischer Unabhängigkeit, und die qualitative Robustheit statistischer Verfahren. Es wird gezeigt, dass sich bei geringer Abweichung von der stochastischen Unabhängigkeit der eingehenden Daten das Verhalten vieler statistischer Verfahren auch nur gering ändert.

Ein Großteil der Arbeit behandelt das asymptotische Verhalten statistischer Verfahren. So wird die Konsistenz der empirischen Verteilungsfunktion im Sinne des Glivenko-Cantelli-Satzes bei beschränkter stochastischer Abhängigkeit gezeigt. Darauf aufbauend wird die Konsistenz einiger Klassen von Punktschätzern, die bereits aus der robusten Statistik bekannt sind, bei Abhängigkeit gezeigt.

Darüber hinaus werden Methoden zur Bestimmung asymptotischer Verteilungen bzw. zur Bestimmung des schwachen Konvergenzverhaltens von Schätzern bei stochastischer Abhängigkeit geliefert. Zu diesem Zweck werden ein Zentraler Grenzwertsatz und ein abstrakter Funktionaler Zentraler Grenzwertsatz bei Abhängigkeit bewiesen. Anhand von Beispielen wird demonstriert, wie diese Resultate zur Bestimmung schwacher Konvergenz weiterer Schätzer und Statistiken verwendet werden können.