Authors: Thoma, Oliver
Title: Optimale Steuerung der relativistischen Maxwell-Newton-Lorentz Gleichungen
Language (ISO): de
Abstract: In various scientific fields problems appear, which can be solved by the optimal control theory. Optimal control problems can be found for example in fields like robotics, fluid mechanics and aeronautics. For modeling these phenomenas we of- ten use ordinary partial differential equations, so that the optimal control of the upcoming systems plays an important role in the optimization community. For describing the whole range of arising natural phenomenas also partial differential equations are often necessary. Hence, coupled systems of both mentioned differential equations types and their optimal control are worth deeper research. Moreover there are often natural conditions, which imply state und control constraints. The- se constraints have to be treated very carefully. The existence of a control, which affects on the state, underlies the optimal control problem. This state is given by the above described differential equations. This PhD thesis deals with a phenomena from classical electrodynamics. The following presented equations model the movement of electrical charges in electromagnetic, time varying fields. These described variables, the position, momentum of charges and the electric and magnetic fields, will be the states of our problem. As a control we will choose an external magnetic field. Our investigation is focused on the hyperbolic, time varying Maxwell’s equations and the nonlinear, relativistic Newton Lorentz equations. Additional control constraints are incorporated by introducing a scalar magnetic potential which leads to an additional state equation in form of a very weak elliptic PDE. We now give a short overview of the achieved results. The thesis can be divided into two main parts: 1. The first part of the work is dedicated to the underlying physical model and the analytical investigation of the arising, coupled state system. We prove existence of a solution of the system and set up the exact formulation of the optimal control problem. After showing existence of an optimal solution, we derive and prove first order optimality conditions, to be more precise we formulate the Karush-Kuhn-Tucker conditions. We do this by detailed description of KKT theory. Moreover the adjoint system will be discussed. 2. In the second part we focus on the numerical treatment of the optimal control problem. We take a look at the critical aspects of the discretization and show ways to come around the difficulties. Furthermore we look closer at the time discretization scheme. Moreover we present our implemented, globalized BFGS-Interior-Point method for solving the reduced optimization problem. Finally we test our numerical implementation on different examples. The demonstration of executability of the program has priority. The results are studied and analyzed carefully. A main focus in our implementation is the utilization of an automatic differentiation tool. Therefore we take a closer look at this technique. This PhD thesis gives a treatise on optimal control of the non-steady stated, relativistic Maxwell Newton Lorentz equations. It should be seen as an overall discussion of the arising system from the analytical point of view as well as from the numerical angle.
In zahlreichen und häufig sehr unterschiedlichen Wissenschaftsgebieten begegnen uns Problemstellungen, die mit Hilfe der Optimalen Steuerung gelöst werden können. Optimalsteuerprobleme finden sich so z.B. in Bereichen wie der Robotik, Strömungsmechanik und Aeronautik. Oftmals zur Modellierung von Bewegungen dienen gewöhnliche Differentialgleichungen, deren optimale Steuerung ein großes Forschungsgebiet darstellen. Häufig werden in den physikalischen Modellen partielle Differentialgleichungen benötigt, sodass sich Optimalsteuerprobleme ergeben, die von komplex gekoppelter sowohl partieller als auch gewöhnlicher Differentialgleichungsnatur sind. Diese gekoppelten Systeme sind vonnöten, um Phänomene hinreichend genau beschreiben zu können. Als natürliche Bedingungen ergeben sich zusätzlich in vielen Fällen Zustands- und (oder) Steuerbeschränkungen im Rahmen dieser Optimierungsprobleme. Den Optimierungsproblemen liegt die Existenz einer Steuerung zugrunde, die auf einen Zustand wirkt. Dieser Zustand ist durch oben beschriebene Differentialgleichungen gegeben. In der vorliegenden Dissertation beschäftigen wir uns mit einem Phänomen aus der klassischen Elektrodynamik. Die von uns in der Arbeit vorgestellten Gleichungen modellieren die Bewegung von elektrischen Ladungen in elektromagnetischen, zeitlich veränderlichen Feldern. Diese beschriebenen Variablen werden unsere Zustände darstellen. Als Steuerung für die Zustände dient ein Magnetfeld. Hierfür führen wir ein Skalarpotential ein, das eine sehr schwache Lösung einer elliptischen PDE sein wird. Somit beruht das von uns untersuchte Optimalsteuerproblem auf den instationären Maxwell Gleichungen, den nichtlinearen, relativistischen Newton Lorentz Gleichungen und einer elliptischen PDE. Geben wir nun einen kurzen Überblick über die Arbeit. Die Dissertation besteht im Wesentlichen aus zwei Hauptbestandteilen: 1. Im ersten Teil der Arbeit beschäftigen wir uns, nachdem das physikalische Modell vorgestellt wurde, mit der analytischen Untersuchung des sich ergebenden Zustandssystems. Auf die Existenz von Lösungen dieses System wird detailliert eingegangen. Die exakte Formulierung des Optimalsteuerproblems wird präsentiert, die Existenz von Lösungen für dieses Optimierungsproblems wird gezeigt und Optimalitätsbedingungen erster Ordnung in Form der KKT-Bedingungen werden sehr ausführlich diskutiert und her- geleitet. 2. Im zweiten Teil der Ausarbeitung führen wir die numerische Umsetzung des Optimalsteuerproblems aus. Hierbei wird im Detail auf die einzelnen Aspekte der Diskretisierung des Problems und den damit verbundenen Schwierigkeiten eingegangen. Das Zeitdiskretisierungsschema wird ausführlich untersucht. Darüber hinaus stellen wir den von uns implementierten globalen BFGS-Innere-Punkte Algorithmus vor. Die Arbeit schließt mit dem Aufzeigen unserer numerischen Resultate ab. Hierbei steht das Lösen des Problems im Vordergrund. Die, durch unser globalisiertes Verfahren, erzielten Ergebnisse werden ausführlich präsentiert. Als ein wesentliches Element, der von uns unternommen Implementierung, soll die Thematik des Automatischen Differenzierens herausgestellt werden. Die Dissertation versteht sich somit als Abhandlung über die optimale Steuerung der instationären, relativistischen Maxwell Newton Lorentz Gleichungen, wobei sowohl Wert auf die vollständige analytische Diskussion als auch ein großes Augenmerk auf die Lösung des Optimalsteuerproblems gelegt wird.
Subject Headings: Maxwell Gleichungen
Newton Lorentz Gleichungen
Optimale Steuerung
Dirichlet Optimalsteuerproblem
Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen
BFGS-Innere-Punkte Verfahren
FEM
URI: http://hdl.handle.net/2003/34349
http://dx.doi.org/10.17877/DE290R-16423
Issue Date: 2015
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