Kernel based nonparametric coefficient estimation in diffusion models

Abstract

Diese Arbeit handelt von der nichtparametrischen Schätzung von Koeffizienten in verschiedenen Diffusions-Modellen. Im ersten Teil konstruieren wir einen nichtparametrischen punktweisen Nadaraya-Watson Schätzer für die unbekannte Driftfunktion $b$ eines Sprungdiffusionsprozesses, der auf einer Approximation des infinitesimalen Erzeugers der zu Grunde liegenden Diffusion basiert. Wir leiten asymptotische Eigenschaften wie Konsistenz und asymptotische Normalität her. Dabei arbeiten wir mit Hochfrequenz-Daten, welche über einen anwachsenden Zeithorizont beobachtet werden. Weiterhin geben wir einen konsistenten Schätzer für die asymptotische Varianz der Grenzverteilung des eingeführten Dichteschätzers an, welcher für die Konstruktion praktikabler punktweiser Konfidenzintervalle benötigt wird. Anschließen betrachten wir den Fall von verrauschten Daten und nutzen den “Pre-Averaging“ Ansatz an, welcher ursprünglich von Podolskij und Vetter (2006) für die nichtparametrische Schätzung der integrierten Volatilität von Itô-Semimartingalen eingeführt wurde. Unter entsprechenden Voraussetzungen zeigen wir, dass der neue Schätzer ebenfalls asymptotisch normalverteilt ist. Das erste Kapitel schließt mit einer Betrachtung von integrierten Diffusionen ab. Hier wird, analog zu vorher, ein “Pre-Averaging“ Ansatz verfolgt, um die Driftfunktion der integrierten Diffusion zu schätzen. Im zweiten Teil der Arbeit werden verschiedene Bias-Reduzierungsmöglichkeiten untersucht. Hierfür wird zunächst eine adaptive Version des Nadaraya-Watson Schätzers für bedingte Erwartungswerte betrachtet, bei der die Bandbreite zustandsabhängig ist. Hierbei führt eine adäquate Wahl der Bandbreitenfunktion zu einer Bias-Verringerung. Danach beschäftigen wir uns hauptsächlich mit Methoden, die dem sehr bekannten “Boundary Bias“-Effekt von nichtparametrischen Schätzern, welche auf symmetrischen Kernfunktionen basieren, entgegenwirken. Konkret führen wir zwei multivariate Dichteschätzer für die gemeinsame Dichte mehrdimensionaler Zufallsvektoren ein, deren Randverteilungen einen beschränkten Träger besitzen. Diese Schätzer basieren auf nicht-negativen multiplikativen Bias-Reduzierung Techniken. Diese Schätzer werden anschließend für die komponentenweise nichtparametrische Schätzung des Driftvektors in einem von einer Brownschen Bewegung angetriebenen multivariaten Diffusionsmodell vorgeschlagen. Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit dem “Boundary Bias“ Effekt nicht parametrischer Schätzer für Dichten, welche einen kompakten Träger besitzen. Hierfür bilden Copula Dichten ein kanonisches Beispiel. Basierend auf dem Satz von Sklar wird eine alternative Darstellung des bedingten Erwartungswertes hergeleitet, der im Laufe der Arbeit stets als Approximation für die Driftfunktion diente. Hierfür wird dann abschließend eine alternative Möglichkeit vorgestellt, bedingte Erwartungswerte mit Hilfe von Bernstein-Polynomen zu schätzen.

This thesis deals with the nonparametric estimation of the coefficients in different diffusion models. In the first part, based on an approximation of the infinitesimal generator of the underlying diffusion process, we investigate a Nadaraya-Watson like estimator for the pointwise estimation of the unknown drift function $b$. We derive its asymptotic properties as consistency and asymptotic normality under a double asymptotics scheme. In fact, we work with high-frequency data on an enlarging time horizon. Moreover, a consistent estimator of the asymptotic variance is proposed, which is useful for the construction of feasible pointwise confidence intervals. Subsequently, we consider the case of noisy data. We suggest the use of the pre-averaging approach proposed by Podolskij and Vetter (2006) for the nonparametric estimation of integrated volatility of Itô-semimartingales. We show how to use this approach in our setting and, moreover, derive the asymptotic distribution of the new estimator. Finally, the case of integrated diffusions is treated, where we make use of an analogous approach to estimate the drift of the underlying and hidden diffusion, too. The second part deals with bias correction methods for symmetrical kernel based nonparametric estimators. At first, we investigate an adaptive version of the Nadaraya-Watson estimator possessing a state-dependent bandwidth function. We show that an appropriate choice of the function yields to a bias reduction. Afterwards, boundary bias correction methods are investigate. In particular, we will focus on an approach by Chen (1999, 2000), who suggested the use of asymmetric kernels for estimating a probability density possessing bounded or compact support. Based on asymmetric kernels, we propose two multiplicative bias correction (``MBC") methods for the nonparametric estimation of the joint density of a random vector possessing bounded marginals. Subsequently, we investigate multivariate diffusions for which analogous approximations of the drift vector and the diffusion matrix exist. For the nonparametric estimation of the drift vector, we propose a componentwise estimator based on the introduced MBC techniques. Finally, in the third part of this thesis we focus on boundary bias effects of nonparametric estimators of compact supported densities. In particular, copula densities are toy-examples of this class of densities. Via Bernstein polynomials and based on Sklar´s theorem, we propose an alternative approach for estimating conditional expectations, which act, in turn, as approximations of the drift function in the previous chapters of this thesis.