Depth based estimators and tests for autoregressive processes with application on crack growth and oil prices

Abstract

In der Arbeit werden neue statistische Methoden für eine Klasse von autoregressiven Prozessen, basierend auf Datentiefe eingeführt. Insbesondere definieren wir Methoden, welche die statistische Inferenz im Rahmen explosiver und nicht linearer autoregressiver Prozesse erlauben. Die Motivation für die behandelten Ansätze sind Experimente von Maurer und Heeke (2010). Das Ziel dieser Experimente ist die Grundlagenforschung im Bereich des Risswachstums in Spannbeton unter niedriger Belastung. Durch die Anwendung physikalischer Gesetze ergibt sich zur Modellierung eine Klasse von nicht linearen Prozessen. Da dieses volle Modell im Rahmen der gegebenen Daten jedoch nicht identifizierbar ist, behandelt die Arbeit reduzierte Modelle. Die Experimente implizieren zusätzliche Eigenschaften der Risswachstumsprozesse und deren Fehler, welche nicht durch Standardannahmen abgedeckt werden können. Daher sind klassische Schätzer und Tests für autoregressive Prozesse nicht direkt anwendbar. In der Arbeit werden auf Datentiefe basierende Methoden vorgeschlagen, welche die spezifischen Eigenschaften von Risswachstumsprozessen in Spannbeton abdecken können. Die zu berücksichtigenden Eigenschaften sind: - Der beobachte Prozess ist explosiv. - Der beobachtete Prozess besitzt Aufwärtssprünge. - Der beobachtete Prozess ist inhomogen im Bezug auf Parameterwechsel. - Der beobachtete Prozess ist möglicherweise rechts-zensiert. Wir leiten daher ausreißerrobuste Schätzer, Tests und Konfidenzbereiche für die Parameter der zugrundelegenden Risswachstumsprozesse her. Des weiteren definieren wir eine Methode um Parameterwechsel in diesen Prozessen zu entdecken und damit einen Bruchpunkterkennungsalgorithmus einzuführen. Um die Unsicherheit im Bezug auf die Versagenszeitpunkte zu berücksichtigen, definieren wir zudem ein Prognoseverfahren für die zukünftige Entwicklung eines Risswachstumsprozesses. Damit können wir Konfidenzbereiche für die Risslängen in bestimmten Zeitpunkten oder Risslängen bestimmen, um zensierte Prozesse zu extrapolieren. Insbesondere ist es möglich auf gegebenen Daten eine S-N-Kurve, welche die Lebenszeit mit der Last in Beziehung setzt, anzupassen. Zudem diskutieren wir die Implementierung der Verfahren, geben Beispiele für deren Anwendung und vergleichen die Methoden in Simulationsstudien. Um die Möglichkeit weiter Anwendungen aufzuzeigen, wenden wir unsere Verfahren auch auf eine Ölpreisreihe an, da typische Preismodelle auch hier von autoregressiven Prozessen ausgehen. Literatur: Maurer, R. and Heeke, G. (2010). Ermüdungsfestigkeit von Spannbeton aus einer älteren Spannbetonbrücke. TU Dortmund University. Technical Report.

This thesis introduces new statistical methods for a class of autoregressive (AR) processes based on data depth. In particular, we introduce methods to allow statistical inference for explosive and non-linear AR processes. The motivation for our proposals is due to experiments of Maurer and Heeke (2010). The main aim of these experiments is a fundamental research of the properties of crack growth in prestressed concrete under low loading. By application of a physical formula a class of non-linear AR processes defines a reasonable model choice. However, this full model, applied to our data, leads to identification problems. Hence, we consider three simplified models here. The experiments imply specific properties on the processes and errors which cannot be covered by standard assumptions. As a consequence, classical AR estimators and tests cannot be applied directly. Therefore, we propose methods which can deal with the specific properties based on data depth. These properties are summarised as follows: - The observed processes are explosive. - The observed processes have upward jumps. - The underlying processes are inhomogeneous, in term of parameter changes. - The observed processes are potentially right-censored. In particular, we derive outlier robust estimators, tests and confidence sets for the parameters of the underlying crack growth process. Further, we define a method to detect the changes in the parameters of this process which allows us to propose change point detection algorithms. To allow a calculation of the uncertainty of the failure times, we define a prediction method for the future development of the observed processes. Further, we introduce confidence sets for the values of the process at specific times and different stress levels to extrapolate the censored series. In combination, this allows us to calculate a S-N curve, relating the lifetime and stress, based on the available data. We also discuss the efficient implementation of the proposed methods and illustrate their advantages in comparison with standard methods by simulation studies. To illustrate further fields of application, we also discuss a change-point detection for oil prices which are typically modelled by autoregressive processes with parameters close to the unit-root. References: Maurer, R. and Heeke, G. (2010). Ermüdungsfestigkeit von Spannbeton aus einer älteren Spannbetonbrücke. TU Dortmund University. Technical Report.