Authors: Pessik, Andre
Title: Limit theorems for multipower variations of Lévy driven and fractional-Lévy-motion driven processes
Language (ISO): en
Abstract: Der wesentliche Fokus dieser Arbeit liegt auf der Herleitung von Grenzwertsätzen für die Multipower Variationen Lévy-getriebener Prozesse. Die Lévy-getriebenen Prozesse besitzen unter anderem unendlich teilbare Randverteilungen und eine nach belieben modifizierbare Korrelationsstruktur, weswegen sie sich zur Modellierung in vielen Gebieten (z.B. Finance) eignen. Ferner bildet die Klasse dieser Prozesse eine Verallgemeinerung der fraktionalen Brownschen Bewegung und sie umfasst Prozesse, die keine Gauß-Prozesse sind und die daher mit anderen Beweismethoden zu handhaben sind. Die Multipower Variationen, die eine Verallgemeinerung des Konzeptes der Powervariationen bilden, werden zum Beispiel in stochastischen Volatilitätsmodellen als Schätzer für die Volatilität verwendet. Ferner können Multipower Variationen zur Zerlegung von Prozessen in einen Kontinuierlichen-Anteil sowie einen Sprung-Anteil genutzt werden. Im Rahmen dieser Arbeit werden für geeignet normierte Multipower Variationen Lévy-getriebener Prozesse drei Typen von Grenzwertsätzen mit drei grundsätzlich verschiedenen Grenzobjekten hergeleitet, wobei der Typ des Grenzwertsatzes von der Sprungaktivität des treibenden Lévy Prozesses, den Ordnungen der Differenzenfilter, der Größe der Powerparameter und der Regularität der Kernfunktionen abhängt. Der erste Typ ist ein Grenzwertsatz bezüglich stabiler Konvergenz in Verteilung einer Konvergenzart zwischen der stochastischen Konvergenz und der Konvergenz in Verteilung. Das zugehörige Grenzobjekt ist eine unendlich teilbare Zufallsvariable, die sich aus den Sprüngen des treibenden Lévy Prozesses sowie einer Folge von Zufallsvariablen, welche auf einer Folge von unabhängigen Gleichverteilungen basiert, zusammensetzt Der zweite und dritte Typ sind verallgemeinerte Gesetze der großen Zahlen. Im zweiten Typ ist der treibende Lévy Prozess ein symmetrischer α-stabiler Prozess und die zugehörige passend normierte Multipower Variation konvergiert stochastisch gegen den Erwartungswert einer stetig-transformierten fraktionalen Lévy Bewegung, die von dem zugrunde liegendem Lévy Prozess angetrieben wird. Im letzten Typ, werden sowohl fast sichere als auch L¹ Konvergenz nachgewiesen und für beide Konvergenzarten werden Konvergenzgeschwindigkeiten hergeleitet, die bisher auch im Falle der Powervariationen nicht bekannt waren. Ferner können hier die Lévy-getriebenen Prozesse, in der betrachteten Multipower Variation, von verschiedenen Lévy Prozesse angetrieben werden. Das entsprechende Grenzobjekt ist eine Zufallsvariable, die auf den zeitlichen pfadweise Ableitungen der betrachteten Lévy-getriebenen Prozesse basiert. Des Weiteren werden in dieser Arbeit die unter Typ 1 und Typ 3 aufgeführten Resultate auf Prozesse, die von einer fraktionalen Lévy Bewegung angetrieben werden, erweitert.
Subject Headings (RSWK): Lévy-Prozess
Grenzwertsatz
URI: http://hdl.handle.net/2003/38112
http://dx.doi.org/10.17877/DE290R-20093
Issue Date: 2019
Appears in Collections:Lehrstuhl IV: Analysis, Stochastik

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