Ein allgemeines Konzept für adaptive Finite Elemente Methoden bei modifizierten diskreten Formulierungen

Abstract

Im Rahmen dieser Arbeit wird das Konzept der adaptiven Finite Elemente Methode für Problemstellungen mit einer modifizierten diskreten Formulierung betrachtet. Die Hauptaufgabe besteht darin, die zugrundeliegenden a posteriori Fehlerschätzer hinsichtlich der geänderten Ausgangssituation zu adaptieren. Im Zuge dessen werden Fehleridentitäten bezüglich einer benutzerdefinierten Zielgröße sowohl für den Diskretisierungs- als auch für den Modellfehler hergeleitet. Die verwendete Technik der dual gewichteten Residuen (DWR) erlaubt es hierbei einen allgemeinen Ansatz zu entwickeln, der auch nichtlineare Problemstellungen und Zielgrößen berücksichtigt. Das hier vorgestelte Resultat verallgemeinert eine bereits hergeleitete Identität für den Diskretisierungsfehler im Rahmen diskreter Stabilisierungstechniken dahingehend, dass ein größeres Spektrum an diskreten Modifikationen zugelassen wird. Zudem bleibt die ansonsten geforderte Konsistenzbedingung an die kontinuierliche Lösung des Problems bei der entwickelten Fehleridentität unberücksichtigt. Neben den standardmäßig vorhandenen Anteilen der Fehleridentität komplettieren Zusatzterme die Fehlerdarstellung im Falle einer modifizierten diskreten Formulierung. Im Hinblick auf modelladaptive Verfahren wird der Begriff des Modells gemäß der zugrundeliegenden Ausgangssituation mit den unterschiedlichen, vorliegenden Diskretisierungen identifiziert, sodass der Modellfehler, anders als für gewöhnlich, nur auf diskreter Ebene agiert. Die hergeleitete Fehleridentität liefert demnach ein Maß für die Differenz zweier Lösungen zu unterschiedlichen Diskretisierungen gemessen in einer benutzerdefinierten Zielgröße und bietet die Grundlage für die Entwicklung entsprechender a posteriori Fehlerschätzer für den Modellfehler. Die Funktionalität der entwickelten Fehlerschätzer, sowohl für den Diskretisierungs- als auch für den Modellfehler, wird anschließend durch die Verwendung im Rahmen eines modell- und netzadaptiven Algorithmus für unterschiedliche numerische Beispiele aus dem Bereich der Strukturmechanik belegt.