Total-reelle Linearsysteme auf algebraischen Kurven

Abstract

Ist X eine reelle Kurve, so bezeichnet N(X) die kleinste natürliche Zahl, sodass jeder Divisor vom Grad mindestens N(X) zu einem total-reellen Divisor linear äquivalent ist. Die Existenz von N(X) – der sogenannten reellen Divisorenschranke – wurde von Scheiderer (2000) bewiesen. Da die Beschränkung von N(X) für Kurven mit wenigen Komponenten schwierig ist, beschäftigt sich die vorliegende Arbeit mit gewissen Sonderfällen und den daraus resultierenden Erkenntnissen für die Theorie reeller algebraischer Kurven. Die bisher bekannten Hauptergebnisse bezüglich N(X) können wir folgt zusammengefasst werden: Besitzt X viele Komponenten, so kann die reelle Divisorenschranke durch 2g-1 beschränkt werden, wobei g das Geschlecht von X bezeichnet [Huisman (2003), Monnier (2005)]. Im Allgemeinen ist jedoch nicht bekannt, von welchen Werten N(X) überhaupt abhängt. Im Fall von (M-2)-Kurven zeigen wir einen Zusammenhang zwischen der reellen Divisorenschranke und einer von Huisman im Jahr 2003 aufgestellten Vermutung über unverzweigte reelle Kurven auf. Durch eine explizite Konstruktion widerlegen wir seine Vermutung im 3-dimensionalen Raum und zeigen dadurch die Existenz von Raumkurven auf, welche keinen total-reellen Hyperebenenschnitt besitzen. In gerade-dimensionalen Räumen beweisen wir Huismans Vermutung für kanonische Kurven und für generische Kurven geraden Grades. Wir stellen die sogenannte Hermite-Methode vor, welche es in Minimalbeispielen erlaubt zu prüfen, ob eine gegebene Kurve einen (reduzierten) total-reellen Hyperebenenschnitt besitzt. Dadurch zeigen wir die Existenz von unendlich vielen ebenen Quartiken auf, für welche N(X)=5 gilt. Schließlich nutzen wir Harnacks klassische Konstruktion (1876) aus, um die Existenz ebener Kurven mit vorgegebenen topologischen Invarianten aufzuzeigen, sodass das zugrundeliegende Geradenlinearsystem (reduziert) total-reell ist.