Das totale Differential und die Richtungsableitung – Eine Analyse mit Blick in ausgewählte Lehrbücher

Abstract

Für den eindimensionalen Fall wird das Konzept der Ableitung im Kontext des Schulunterrichts bereits seit vielen Jahren ausführlich diskutiert (bspw. Blum & Kirsch, 1979; Greefrath et al., 2016; Zandieh, 2000). Für den mehrdimensionalen Fall und die verschiedenen Differenzierbarkeitskonzepte sieht die Lage jedoch anders aus. Martínez-Planell und Trigueros (2021) geben einen Überblick über Studien zu „multivariable calculus“, wobei diese sich größtenteils auf Funktionen ℝ2 → ℝ und insbesondere geometrische Deutungen beziehen. Umfassende fachliche Analysen von Differenzierbarkeitskonzepten im mehrdimensionalen Fall fehlen jedoch, können aber Anregungen für eine Vorlesungsgestaltung liefern, die das Begriffsverständnis unter Einschluss des Concept Image (Tall & Vinner, 1981) der Lernenden bereichern und verbessern könnte. Für die Analyse der verschiedenen Differenzierbarkeitskonzepte im ℝ𝑛, ihres Zusammenhangs untereinander und ihre Beziehung zum eindimensionalen Fall, haben wir ein Konzept entwickelt, das Bedeutungen in verschiedenen Interpretationskontexten unterscheidet, unterschiedliche Definitionen berücksichtigt und die begrifflichen Relationen zu anderen Begriffen einbezieht (Sierpinska et al., 2002, zu „theoretical systems“ in der Mathematik). Das resultierende „Bedeutungsmodell“ verallgemeinert die Begriffe Concept Definition und Concept Image und bezieht das Konzept der Grundvorstellungen ein, soweit das für die Begriffsbedeutung an der Hochschule relevant ist (Lankeit & Biehler, 2021).