Discontinuous Galerkin methods for the approximation of the Liouville-von Neumann equation

Abstract

Die rapide Miniaturisierung elektronischer Bauelemente hat quantenmechanische Effekte in den Vordergrund des Halbleiterentwurfs gerückt und erfordert präzise sowie effiziente Modellierungsrahmen für den Ladungstransport im Nanobereich. Konventionelle Ansätze wie die NEGF und die QTBM liefern zwar eine hohe Genauigkeit, sind jedoch besonders für transiente und multidimensionale Simulationen rechenintensiv. Diese Dissertation entwickelt und validiert ein neuartiges Rahmenwerk basierend auf der DG-Methode zur Approximation der LVNE und etabliert diese als wettbewerbsfähige Alternative zu klassischen numerischen Verfahren. Die Arbeit beginnt mit einer kurzen Einführung in gängige Quanteneffekte und -phänomene, die für den Umfang dieser Arbeit relevant sind. Darüber hinaus werden intraband- und interbanddynamische Prozesse sowie Systeme mit räumlich variierender effektiver Masse diskutiert und deren beschreibende Quantentransportgleichungen vorgestellt. Physikalisch konsistente Randbedingungen werden durch Inflow-Modelle auf Basis der Fermi-Dirac-Statistik und ein CAP zur Abgrenzung offener Systeme hergeleitet. Daraufhin werden gängige Approximationsmethoden vorgestellt und das DG-Schema im Hinblick auf Existenz, Eindeutigkeit, Stabilität sowie die zugrunde liegenden numerischen Flüsse detailliert analysiert. Drei Varianten -- DGFV, DGFEM und DGDG -- werden eingeführt, um beide Raumkoordinaten zu diskretisieren. Die Zeitdiskretisierung erfolgt mittels expliziter Runge-Kutta-Schemata, und die Selbstkonsistenz mit der Poisson-Gleichung wird durch den Gummel-Algorithmus erreicht. Zudem wird die MSA integriert, um die Methode auf zweidimensionale Simulationen zu erweitern. Eine umfassende Validierung wird an kanonischen Quantenbauelementen durchgeführt. Für eine RTD reproduziert die DG-Methode stationäre und transiente Charakteristika mit hoher Genauigkeit, einschließlich Schaltverhalten unter Nichtgleichgewichtsbedingungen. Intrabandtransport in einem TFET und Interbandtransport in einer RITD bestätigen die physikalische Korrektheit der Dichtematrizen sowie des Strom-Spannungs-Verhaltens. Letztlich wird der zweidimensionale Transport in einem DGFET simuliert, wobei eine exzellente Übereinstimmung mit NEGF-Referenzen erzielt wird -- bei gleichzeitig deutlich reduzierten Laufzeiten. HPC-Aspekte werden systematisch untersucht. Laufzeitanalysen zeigen, dass DG-Methoden Standard-Finite-Volumen-Schemata konsistent übertreffen, insbesondere bei Nutzung expliziter Zeitintegration. Ressourcenmanagement-Strategien verdeutlichen, dass funktionale Programmierung den Speicherverbrauch drastisch reduziert und Parallelisierung ermöglicht, allerdings auf Kosten der Laufzeit, während Slope-Limiter-Techniken die Genauigkeit erhöhen und die Konvergenz in selbstkonsistenten Simulationen beschleunigen. Insgesamt erweist sich die Variante DGDG als das effizienteste Schema unter gleichen Fehlertoleranzen.