Faberpolynombasierte lokale Zeitschrittverfahren für hyperbolische Systeme der Photonik

Abstract

Klassischerweise wird die Propagation elektromagnetischer Wellen in den unterschiedlichsten Systemen über die Lösung der Maxwell-Gleichungen analysiert. Sofern es die Umstände erlauben, ist eine Visualisierung mit Hilfe einer Simulation stets eine sinnvolle Ergänzung zur theoretischen Betrachtung. Um dies zu ermöglichen, ist der Einsatz numerischer Verfahren notwendig, die die physikalischen Gesetzmäßigkeiten rechnerisch abbilden. Je nach Anwendungsfall kann die Auswertung eines Gleichungssystems mit zahlreichen Freiheitsgraden erforderlich sein. Typische Anwendungsbereiche, für die dies gilt, sind beispielsweise die Photonik und Terahertz-Technik. Hier wird für eine realistische Analyse häufig eine örtliche Auflösung bis in den Nanometerbereich benötigt, um charakteristische Effekte modellieren zu können. Des Weiteren treten in diesen Fällen oft Nichtlinearitäten auf, die sich durch Verstärkung oder Dämpfung bemerkbar machen. Gemessen an diesem Anspruch ist die Lösung der zugrunde liegenden Gleichungssysteme entsprechend mit einer hohen Komplexität verbunden. Bei einigen etablierten Methoden kann zudem eine Beschränkung der Zeitschrittweite auftreten, welche die Komplexität zusätzlich erhöht. Damit trotz dieser Einschränkungen eine reibungslose Implementierung möglich ist, wäre eine Option, die Berechnung auf einem Rechencluster durchzuführen. Dadurch nimmt der Speicherbedarf vermeintlich eine untergeordnete Rolle ein. Dennoch kann sich diese Annahme als trügerisch erweisen, insbesondere wenn Randbedingungen, Materialmodelle oder 3D-Systeme berücksichtigt werden. Ein alternativer Ansatz würde sich auf die reine Programmierung stützen. Wird anstelle impliziter Verfahren eine explizite Methode gewählt, lässt sich das Lösen von Gleichungssystemen vollständig umgehen. Stattdessen genügt die Auswertung von Matrix-Vektor-Multiplikationen, die wesentlich einfacher zu handhaben sind als die Bestimmung einer Matrixinversen oder von Eigenwerten. Darüber hinaus ließe sich der Ablauf ohne großen Aufwand parallelisieren, wodurch sich die Rechenzeit erheblich verkürzt. Daran anschließend kann durch eine Erhöhung der Zeitschrittweite die Anzahl der Rechenoperationen weiter reduziert werden. Unter Berücksichtigung dieser Vorgaben wird der Ansatz auf Basis der Faberpolynome untersucht, der sich durch eine geringe Limitation und hohe Effizienz bei der Approximation des Matrixexponentials auszeichnet. Durch die Weiterentwicklung der konventionellen Faber-Methode, bei der anstatt eines globalen Operators beliebig viele separate lokale Operatoren evaluiert werden, wird eine deutlich höhere Flexibilität erreicht. Diesbezüglich werden theoretische und praktische Resultate miteinander verglichen, um die Gültigkeit der theoretischen Annahmen zu bewerten. Weiterhin wird gezeigt, dass sich die Konvergenz der Faber-Methode über geeignete numerische Abbildungen in andere Domänen beschleunigen lässt. Ferner kann durch den Einsatz von Unterraum-Verfahren die Gesamtkomplexität um mehrere Größenordnungen verringert werden, was die Modellierung anspruchsvoller Systeme wesentlich verbessert.