Pfister numbers over rigid fields, under field extensions and related concepts over formally real fields
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Date
2020
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Abstract
Die zentrale Fragestellung der algebraischen Theorie der quadratischen Formen ist die Untersuchung der sogenannten Wittringe WF eines Körpers F. Häufig wird hierfür die Filtrierung mittels der Potenzen des Fundamentalideals IF benutzt. Da das Fundamentalideal sowohl additiv als auch als Ideal von Pfisterformen erzeugt wird, wird die n-te Potenz InF des Fundamentalideals von den n-fachen Pfisterformen erzeugt. Eine sehr häufig untersuchte Fragestellung ist nun die folgende: Gegeben eine Form φ in InF, wie viele n-fache Pfisterformen werden benötigt, um die Wittklasse von φ als Summe der Wittklassen ebendieser Pfisterformen darzustellen?
Die minimale Anzahl von Pfisterformen in einer solchen Darstellung wird als Pfisterzahl dieser Form bezeichnet. Diese Fragestellung scheint in aller Allgemeinheit sehr schwierig zu beantworten zu sein, sodass in dieser Arbeit gewisse Sonderfälle behandelt werden. Es werden beispielsweise quadratische Formen über einer gewissen Klasse von Körpern behandelt, den sogenannten starren Körpern (engl.: rigid fields), Formen gewisser Dimension betrachtet oder auch das Verhalten unter Körpererweiterungen wie der Laurentreihen-Erweiterung oder einer quadratischen Erweiterung untersucht.
Für den Fall von formal reellen Körpern gibt es neben dem Fundamentalideal noch die Signaturideale einer Ordnung P, die von Pfisterformen mit Signatur 0 in ebendieser Ordnung P erzeugt werden. Aufgrund dieser Tatsache ergeben sich in diesem Fall völlig analoge Fragestellungen. Daher beschäftigt sich ein Großteil der Arbeit mit der Fragestellung, welche Aussagen sich, ggf. unter weiteren Voraussetzungen, auf diese neue Situation übertragen lassen.
Im Zusammenhang mit den Signaturidealen stehen die Torsionsformen als die Formen, die in jedem Signaturideal enthalten sind. Der letzte inhaltliche Schwerpunkt liegt auf einer Klasse von Körpern, die besondere Torsions-Pfisterformen enthalten, und zwar solche Formen, die jede anisotrope Torsionsform als Unterform enthalten. Die Existenz solcher Formen beeinflusst die Struktur des Körpers maßgeblich. So werden in dieser Arbeit Konsequenzen für im Zusammenhang mit quadratischen Formen wichtige Invarianten hergeleitet.
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Keywords
Quadratische Form, Pfisterzahl, Rigide Körper