Lehrstuhl VI Algebra und Geometrie
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Item Zur Topologie bewerteter Koordinatenstrukturen projektiver Ebenen(2024) Scheel, Sebastian; Kalhoff, Franz; Hoffmann, DetlevIn der vorliegenden Arbeit werden primär die topologischen Ternärkörper untersucht, deren Topologie von einer uniformen Bewertung des Ternärkörpers induziert wird. Das Ziel hierbei ist die Charakterisierung ebendieser Topologien uniformer Bewertungen auf Ternärkörpern. Hierzu werden zunächst Nilpotenzmengen sowie ein Beschränktheitsbegriff für allgemeine topologische Ternärkörper eingeführt und untersucht. Auf diesen aufbauend werden anschließend (analytisch) nilpotente und neutrale Elemente eines topologischen Ternärkörpers definiert; diesen wird in dem Beweis der angestrebten Charakterisierung eine entscheidende Rolle zukommen. Schließlich wird die Eigenschaft topologischer Ternärkörper hervorgehoben, welche sich als maßgebend für die Existenz einer uniformen Bewertung, welche die Topologie induziert, herausstellt: der Eigenschaft des topologischen Ternärkörpers vom Bewertungstyp bzw. kurz vom Typ V zu sein. Mit diesen Mitteln können die Topologien uniformer Bewertungen nun charakterisiert werden: Es sind genau die Topologien, mit denen der Ternärkörper einen topologischen Ternärkörper vom Typ V bildet, bzgl. der das Radikal des Ternärkörpers beschränkt ist, deren Menge der nilpotenten und neutralen Elemente additiv abgeschlossen ist und für die eine gewisse normale, beschränkte Nullumgebung existiert. Auf dem ersten Teil der Arbeit aufbauend werden anschließend topologische Ternärkörper vom Typ V mit beschränktem, erweiterten Radikal betrachtet, deren Menge der nilpotenten und neutralen Elemente additiv nicht abgeschlossen ist: In Analogie zum Fall bewerteter kommutativer Körper werden hierfür uniforme Absolutwerte auf Ternärkörpern eingeführt und die obigen Topologien gerade als die Topologien archimedischer, uniformer Absolutwerte klassifiziert. Da neben den vier klassischen reellen Algebren mit einem Absolutwert allerdings keine Beispiele solcher vollständiger Ternärkörper mit einem archimedischen, uniformen Absolutwert bekannt sind, werden im Anschluss Kriterien über die Nicht-Existenz solcher Ternärkörper mit einem archimedischen, uniformen Absolutwert, welche nicht bereits Alternativkörper sind, betrachtet. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird eine Dickson-Konstruktion für uniform bewertete Quasikörper betrachtet: Hierzu wird der Begriff einer v-Ableitung uniform bewerteter Quasikörper eingeführt und nachgewiesen, dass mittels dieser eine weitere Quasikörper-Multiplikation definiert wird, mit der dieser wieder einen uniform bewerteten Quasikörper bildet. Ebenso wird gezeigt, dass jede solche Multiplikation auf diese Weise entsteht. In diesem Zusammenhang werden weiter die Auswirkungen sphärischer Vollständigkeit untersucht. Zum Abschluss wird speziell die Konstruktion vollständiger, diskret uniform bewerteter Quasikörper betrachtet, deren uniforme Bewertung eine triviale Einschränkung auf den Primkörper besitzt: Hierbei wird gezeigt, dass sich diese stets als die v-Ableitung eines kommutativen Laurentreihenkörpers schreiben lassen. Insbesondere ist die uniforme Bewertung somit als die Grad-Bewertung des kommutativen Laurentreihenkörpers auffassbar. Schließlich wird mit dieser Methode eine Familie von Beispielen vollständiger, diskret uniform bewerteter Quasikörper, deren uniforme Bewertung eine triviale Einschränkung auf den Primkörper besitzt, konstruiert.Item Universal partial hyperfields of matroids and their prespaces of orderings(2023) Hoya, Marcel; Kalhoff, Franz; Wenzel, WalterWe associate a partial hyperfield 𝕌⁽⁰⁾(M) with every matroid M by defining an addition on the elements of its inner Tutte group with an additional zero element such that M is representable over 𝕌⁽⁰⁾(M), and every representation of M over a partial hyperfield F factors over the representation of M over 𝕌⁽⁰⁾(M). We investigate the relationship between 𝕌⁽⁰⁾(M) and 𝕌⁽⁰⁾(N) for minors N of M and prove that 𝕌⁽⁰⁾(M) is the coproduct of 𝕌⁽⁰⁾(Mᵢ), i=1,…,k where M₁,…,Mₖ are the connected components of M. Further, we examine the possible non-trivial decompositions of 𝕌⁽⁰⁾(M) as a coproduct and present sufficient geometrical conditions under which no such decomposition exists. We develop an Artin-Schreier-Theory for partial hyperfields and show that the orderings of a partial hyperfield form a prespace of orderings, which is in general not a space of orderings in the sense of Marshall, even for the partial hyperfield 𝕌⁽⁰⁾(M) of a matroid M. Moreover, we provide examples of matroids M for which 𝕌⁽⁰⁾(M) is a hyperfield and its prespace of orderings is a space of orderings in the sense of Marshall, including affine space of dimension at least 3 and affine translation planes whose kernel contains at least four elements, for which the inner Tutte group was not known before.Item Families of faces and the normal cycle of a convex semi-algebraic set(2022-08-06) Plaumann, Daniel; Sinn, Rainer; Wesner, Jannik LennartWe study families of faces for convex semi-algebraic sets via the normal cycle which is a semi-algebraic set similar to the conormal variety in projective duality theory. We propose a convex algebraic notion of a patch—a term recently coined by Ciripoi, Kaihnsa, Löhne, and Sturmfels as a tool for approximating the convex hull of a semi-algebraic set. We discuss geometric consequences, both for the semi-algebraic and convex geometry of the families of faces, as well as variations of our definition and their consequences.Item Equivalence relations of quadratic forms in characteristic 2 and quasilinear p-forms(2022) Zemkova, Kristyna; Hoffmann, Detlev; Unger, ThomasThis thesis deals with quadratic forms and quasilinear p-forms in positive characteristic. In this setting, there are three well-known equivalence relations -- similarity, birational equivalence, and stable birational equivalence. Inspired by an algebraic characterization of motivic equivalence of quadratic forms over fields of characteristic other than two, this thesis defines a new equivalence relation -- the Vishik equivalence. The thesis is divided into chapters based on the kind of forms treated: quasilinear p-forms (over fields of characteristic p), totally singular quadratic forms, nonsingular quadratic forms, and singular quadratic forms (all of them over fields of characteristic 2). The main goal is to compare the four above-mentioned equivalences for each of those kinds of forms. We also derive some consequences of two forms being equivalent for each of the four equivalences separately. In particular, we give a new characterization of the stable birational equivalence for quadratic forms. Moreover, we provide some new results regarding the isotropy of quasilinear p-forms over field extensions.Item Total-reelle Linearsysteme auf algebraischen Kurven(2021) Manevich, Dimitri; Plaumann, Daniel; Shaw, KrisIst X eine reelle Kurve, so bezeichnet N(X) die kleinste natürliche Zahl, sodass jeder Divisor vom Grad mindestens N(X) zu einem total-reellen Divisor linear äquivalent ist. Die Existenz von N(X) – der sogenannten reellen Divisorenschranke – wurde von Scheiderer (2000) bewiesen. Da die Beschränkung von N(X) für Kurven mit wenigen Komponenten schwierig ist, beschäftigt sich die vorliegende Arbeit mit gewissen Sonderfällen und den daraus resultierenden Erkenntnissen für die Theorie reeller algebraischer Kurven. Die bisher bekannten Hauptergebnisse bezüglich N(X) können wir folgt zusammengefasst werden: Besitzt X viele Komponenten, so kann die reelle Divisorenschranke durch 2g-1 beschränkt werden, wobei g das Geschlecht von X bezeichnet [Huisman (2003), Monnier (2005)]. Im Allgemeinen ist jedoch nicht bekannt, von welchen Werten N(X) überhaupt abhängt. Im Fall von (M-2)-Kurven zeigen wir einen Zusammenhang zwischen der reellen Divisorenschranke und einer von Huisman im Jahr 2003 aufgestellten Vermutung über unverzweigte reelle Kurven auf. Durch eine explizite Konstruktion widerlegen wir seine Vermutung im 3-dimensionalen Raum und zeigen dadurch die Existenz von Raumkurven auf, welche keinen total-reellen Hyperebenenschnitt besitzen. In gerade-dimensionalen Räumen beweisen wir Huismans Vermutung für kanonische Kurven und für generische Kurven geraden Grades. Wir stellen die sogenannte Hermite-Methode vor, welche es in Minimalbeispielen erlaubt zu prüfen, ob eine gegebene Kurve einen (reduzierten) total-reellen Hyperebenenschnitt besitzt. Dadurch zeigen wir die Existenz von unendlich vielen ebenen Quartiken auf, für welche N(X)=5 gilt. Schließlich nutzen wir Harnacks klassische Konstruktion (1876) aus, um die Existenz ebener Kurven mit vorgegebenen topologischen Invarianten aufzuzeigen, sodass das zugrundeliegende Geradenlinearsystem (reduziert) total-reell ist.Item Pfister numbers over rigid fields, under field extensions and related concepts over formally real fields(2020) Lorenz, Nico; Hoffmann, Detlev; Unger, ThomasDie zentrale Fragestellung der algebraischen Theorie der quadratischen Formen ist die Untersuchung der sogenannten Wittringe WF eines Körpers F. Häufig wird hierfür die Filtrierung mittels der Potenzen des Fundamentalideals IF benutzt. Da das Fundamentalideal sowohl additiv als auch als Ideal von Pfisterformen erzeugt wird, wird die n-te Potenz InF des Fundamentalideals von den n-fachen Pfisterformen erzeugt. Eine sehr häufig untersuchte Fragestellung ist nun die folgende: Gegeben eine Form φ in InF, wie viele n-fache Pfisterformen werden benötigt, um die Wittklasse von φ als Summe der Wittklassen ebendieser Pfisterformen darzustellen? Die minimale Anzahl von Pfisterformen in einer solchen Darstellung wird als Pfisterzahl dieser Form bezeichnet. Diese Fragestellung scheint in aller Allgemeinheit sehr schwierig zu beantworten zu sein, sodass in dieser Arbeit gewisse Sonderfälle behandelt werden. Es werden beispielsweise quadratische Formen über einer gewissen Klasse von Körpern behandelt, den sogenannten starren Körpern (engl.: rigid fields), Formen gewisser Dimension betrachtet oder auch das Verhalten unter Körpererweiterungen wie der Laurentreihen-Erweiterung oder einer quadratischen Erweiterung untersucht. Für den Fall von formal reellen Körpern gibt es neben dem Fundamentalideal noch die Signaturideale einer Ordnung P, die von Pfisterformen mit Signatur 0 in ebendieser Ordnung P erzeugt werden. Aufgrund dieser Tatsache ergeben sich in diesem Fall völlig analoge Fragestellungen. Daher beschäftigt sich ein Großteil der Arbeit mit der Fragestellung, welche Aussagen sich, ggf. unter weiteren Voraussetzungen, auf diese neue Situation übertragen lassen. Im Zusammenhang mit den Signaturidealen stehen die Torsionsformen als die Formen, die in jedem Signaturideal enthalten sind. Der letzte inhaltliche Schwerpunkt liegt auf einer Klasse von Körpern, die besondere Torsions-Pfisterformen enthalten, und zwar solche Formen, die jede anisotrope Torsionsform als Unterform enthalten. Die Existenz solcher Formen beeinflusst die Struktur des Körpers maßgeblich. So werden in dieser Arbeit Konsequenzen für im Zusammenhang mit quadratischen Formen wichtige Invarianten hergeleitet.Item Asymptotic class numbers of lattices(2019) Rosnau, Timo; Scharlau, Rudolf; Zeiner, PeterWe study the frequency of two- and three-dimensional integral lattices with a given automorphism group G. We estimate the number of isomorphism classes H(D) of lattices with determinant at most D. A general approach is given by counting the possible reduced Gram matrices of lattices. If the underlying reduction theory admits only one reduced lattice per isomorphism class, this gives us H(D). We use the fact that D implies bounds on the entries of the Gram matrix. We have to evaluate multiple sums with linear constraints on the coefficients of the Gram matrices. In certain cases the asymptotic behaviour of H(D) can be derived directly. An additional method exploits a theorem of Delange on Dirichlet series. We first calculate a corresponding Dirichlet series F(s) with coefficients given by the class number of a fixed determinant, and then use the analytic properties of F(s) (position of poles and their orders). As a general result, we have: For D tending towards infinity, the function H(D) grows like some multiple of a power of D. The more symmetries a lattice has (that is, the higher the order of its automorphism groups is) the smaller is the rate of growth given by the exponent.