Spin wave excitations and their interactions in two-dimensional antiferromagnets

Abstract

This thesis investigates two-dimensional quantum antiferromagnets, with a focus on the spin-$\frac{1}{2}$ antiferromagnetic easy-axis XXZ model on a square and a honeycomb lattice. Describing the excitations and interactions of magnons in these models is of substantial interest, as magnons are the fundamental quasiparticles and can thus explain experimental observations. Already for the paradigmatic antiferromagnetic spin-$\frac{1}{2}$ Heisenberg model on the square lattice, high-energy features of the magnon dispersion are understood via strong magnon-magnon interactions. Besides that, interesting high-energy features were recently observed in the honeycomb lattice, including a possible decay of the single-magnon mode. The goal of this thesis is to obtain effective descriptions of the aforementioned systems that capture the relevant features of the magnon excitations and their interactions.

To study these features, this thesis employs continuous similarity transformations (CSTs), which enables a systematic derivation of an effective quasiparticle picture via so-called flow equations. The approach enables decoupling different magnon sectors and thus for investigating ground-state properties, single-magnon excitations, and multi-magnon bound states. The magnon description is derived from the non-Hermitian Dyson-Maleev representation, which describes fluctuations around a long-range magnetically ordered ground state. The flow equations are set up in momentum space, truncated by the scaling dimension, retaining only operators up to scaling dimension of two, and solved numerically.

For the square lattice, a magnon-conserving effective Hamiltonian is obtained across the full anisotropy range by interpolating between the Ising limit and the Heisenberg limit. The ground-state energy, staggered magnetization, dispersion, and critical exponents are in excellent agreement with the literature, supporting the validity of CST also for gapped phases. Two-magnon excitations in the $S^z=0$ subspace comprise four bound states, which are tracked across the anisotropy range. Their successive decay into the two-magnon continuum is determined by using the inverse participation ratio.

For the honeycomb lattice, the magnon-conserving CST is reliable only up to $\lambda ≲ 0.57$; an adapted CST scheme that decouples only the ground state while preserving couplings between different higher-magnon sectors yields effective descriptions for all \(\lambda\) and confirms stable long-range order. The low-energy properties determined in this way match the literature values. However, in the Heisenberg limit, the adapted approach fails to capture high-energy features, such as the experimentally observed decay into the multi-particle continuum at corners of the Brillouin zone. A termination of the magnon-conserving flow equations at a finite flow parameter before the divergence reveals a single-magnon decay at high energies, which is connected to a crossing of a two-magnon bound state with the single-magnon mode. The observed energy dip qualitatively agrees with Quantum Monte Carlo results, but magnon–magnon interactions are overestimated, hindering a fully quantitative characterization of the single-magnon dispersion. Analyzing multi-magnon bound states over the anisotropy range unveils that the crossing of a three-magnon bound state with the single-magnon mode accounts for the breakdown of the magnon-conserving CST at higher $\lambda$.

This work demonstrates that CST with scaling-dimension truncation provides a powerful framework for studying two-dimensional quantum magnets, capturing low-energy properties and bound states. Nevertheless, challenges remain in accurately describing high-energy features arising from a persistent overlap of magnon sectors due to strong binding effects.Diese Arbeit untersucht zweidimensionale Quantenantiferromagneten mit Fokus auf dem Spin-$\frac{1}{2}$ Easy-Axis-XXZ-Modell auf Quadrat- und Honigwabengittern. Innerhalb dieser Modelle sind die korrekte Beschreibung der Magnon-Anregungen und ihre Wechselwirkungen zentral für das Verständnis dieser Systeme. Bereits für das paradigmatische antiferromagnetische Spin-$\frac{1}{2}$ Heisenberg-Modell auf dem quadratischen Gitter konnten die Hochenergieeigenschaften der Magnondispersion durch starke Magnon-Magnon-Wechselwirkungen verstanden werden. Auch für das Honigwabengitter wurden jüngst interessante Hochenergieeigenschaften beobachtet, etwa ein möglicher Zerfall der Ein-Magnon-Mode. Das Ziel dieser Arbeit ist es, effektive Beschreibungen des Spin-$\frac{1}{2}$ antiferromagnetischen Easy-Axis-XXZ-Modells für beide Gitter zu erhalten, die die relevanten Eigenschaften der Magnon-Anregungen und ihrer Wechselwirkungen erfassen.

Zur Untersuchung dieser Eigenschaften werden kontinuierliche Ähnlichkeitstransformationen (continuous similarity transformations (CSTs)) angewendet, welche über Flussgleichungen ein effektives Quasiteilchenbild ableiten. So können verschiedene Magnon-Sektoren entkoppelt und Eigenschaften des Grundzustandes, sowie Ein- und Multi-Magnon-Anregungen analysiert werden. Das zugrunde liegende Magnonbild basiert auf der nicht-hermitischen Dyson-Maleev-Darstellung, die Fluktuationen um einen langreichweitig geordneten Zustand beschreibt. Die im Impulsraum formulierten Flussgleichungen werden durch die Skalierungsdimension bis zu einer Skalierungsdimension von zwei begrenzt und numerisch gelöst.

Für das quadratische Gitter ergibt sich über den gesamten Anisotropiebereich ein magnonerhaltender effektiver Hamiltonian, der zwischen dem Ising- und dem Heisenberg-Limes interpoliert. Grundzustandsenergie, Untergittermagnetisierung, Dispersion und kritische Exponenten stimmen hervorragend mit der Literatur überein und bestätigen die Anwendbarkeit der CST auch für Phasen mit Energielücke. Im Zwei-Magnon-Unterraum mit $S^z=0$ treten vier gebundene Zwei-Magnon-Zustände auf, deren suksessiver Zerfall in das Kontinuum durch das inverse Partizipationsverhältnis bestimmt wird.

Für das Honigwabengitter konvergiert die Magnon-erhaltende CST nur bis zu $\lambda \lesssim 0,57$. Eine modifizierte CST, die lediglich den Grundzustand entkoppelt und Kopplungen zwischen höheren Magnon-Sektoren beibehält, ermöglicht effektive Beschreibungen für alle $\lambda$ und bestätigt eine stabile langreichweitige Ordnung. Während die Niedrigenergieeigenschaften mit den Literaturwerten übereinstimmen, kann der angepasste Ansatz im Heisenberg-Limit keine Hochenergiephänomene wie den experimentell beobachteten Zerfall der Ein-Magnon-Mode erfassen. Eine Terminierung der magnonerhaltenden CST vor der Divergenz zeigt hingegen einen Zerfall der Ein-Magnon-Mode bei hohen Energien infolge einer Überschneidung eines Zwei-Magnon-Bindungszustands mit der Ein-Magnon-Mode. Die beobachtete Energierenormalisierung stimmt qualitativ mit Quanten-Monte-Carlo-Ergebnissen überein, jedoch wird die Ausdehnung der Magnon-Magnon-Wechselwirkungseffekte überschätzt, wodurch eine quantitative Bestimmung der Ein-Magnon-Mode verhindert wird. Die Analyse gebundener Mehrmagnon-Zustände über den gesamten Anisotropiebereich zeigt, dass die Überschneidung eines Drei-Magnon-Bindungszustands mit der Ein-Magnon-Mode für den Zusammenbruch der magnonerhaltenden CST bei höheren $\lambda$ verantwortlich ist.

Diese Arbeit zeigt, dass die CST mit Skalierungsdimensions eine leistungsstarke Methode für die Untersuchung zweidimensionaler Quantenmagnete bietet, die Niedrigenergieeigenschaften und gebundene Zustände erfasst. Herausforderungen bleiben jedoch noch bestehen bei der genauen Beschreibung von Hochenergieeigenschaften, die aus einer anhaltenden Überlappung von Magnon-Sektoren aufgrund starker Bindungseffekte resultieren.