Robuste lineare und nichtlineare Lösungsverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

Abstract

Gegenstand der vorliegenden Dissertation ist die Entwicklung von robusten numerischen Verfahren zur Lösung von strömungsmechanischen Problemen für inkompressible Fluide.Bei der Auflösung physikalischer Randschichten verwendet man häufig Gitter mit äußerst langgestreckten Zellen. Durch diese entstehen Probleme bei der Diskretisierung sowie bei der Verwendung von linearen Mehrgitterverfahren. Weiterhin bereiten Viskositäten oder Dichten, die starke Sprünge aufweisen, den numerischen Verfahren Probleme.Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung eines numerischen Verfahrens, das robust genug ist, um mit diesen Schwierigkeiten fertig zu werden, und dabei nicht auf den Vorteil der hohen Geschwindigkeit linearer Mehrgittermethoden verzichtet. Die Untersuchungen haben gezeigt, daß dafür von der Diskretisierung über den Gittertransfer bis hin zum verwendeten Glättungsverfahren nahezu alle numerischen Komponenten stabilisiert werden müssen. Ein besonderes Augenmerk liegt dabei auf dem Glätter im Mehrgitteralgorithmus, wofür ein geblocktes 'Locales-Druck-Schur-Komplement Verfahren' (LMPSC-Local Multilevel Pressure Schurcomplement)entwickelt worden ist.Ein zweiter Schwerpunkt der Arbeit ist die effektive numerische Behandlung der Nichtlinearität in den Gleichungen. Der Einsatz des klassischen Newton-Verfahrens scheitert häufig daran, daß die entstehende linearisierten Gleichungssysteme nicht mehr numerisch lösbar sind, während das Konvergenzverhalten einfacher Fixpunktiterationen sehr schnell degeneriert. Die hier gefundene Lösung besteht aus einer Art Interpolation der beiden Verfahren, bei der hervorragende (nichtlineare) Konvergenzeigenschaften erzielt werden, die entstehendenlinearen Gleichungssysteme -unter Verwendung des LMPSC-Glätters- jedoch einfach lösbar bleiben.Schließlich wird die Erweiterung der Methoden auf die Boussinesq-Approximation erläutert, undderen Effektivität auch für diese Problemstellungen mit numerischen Tests belegt.

The subject of this thesis is the development of robust numerical methods for the solution of fluidmechanical problems for incompressible fluids.When resolving physical boundary layers, grids with long stretched elements are commonly used. These elements are the cause of problems concerning the discretization as well as the liner multigrid method. Furthermore, strongly jumping viscosity or density lead to problems with the numerical algorithms.Goal of the present work is the development of an effective numerical method, that is robust enoughto deal with these difficulties, but at the same time maintains the high speed of linear multigrid methods.The examinations have shown, that for this purpose, all numerical components have to be stabilized,especially the discretization, the grid transfer and the smoothing algorithms in the multigrid method.Special attention has been turned on the smoothing procedure, where a block-oriented 'Local-Presure-Schur-Complement' (LMPSC) method has been developed.The second central point of this thesis is the effective treatment of the nonlinearity in the equations.More often than not, classical Newton-methods are not applicable, since the resultinglinear systems can not be inverted, while the convergence behavior of classical fixed-point iterations quickly degenerates. The solution to overcome this is a kind of interpolation between the two methods.So, excellent (nonlinear) convergence properties can be achieved, while at the same time the resulting linear systems can be easily solved -using the LMPSC-smoother developed above. Finally, the extension of these methods to the Boussinesq-approximation is explained and the effectivity for this configuration is affirmed by various numerical tests.