Extremstellenverlust als Gütekriterium in der nichtparametrischen Regression

Abstract

In dieser Arbeit wird ein neues Gütekriterium für den Vergleich verschiedener nichtparametrischer Regressionsmethoden erarbeitet. Die nichtparametrische Regression befasst sich damit, aus gegebenen Daten eine Signalfunktion zu schätzen. Zur Gegenüberstellung verschiedener Regressionsverfahren werden häufig Simulationsstudien durchgeführt, in denen die Verfahren auf Daten angewandt werden, deren zugrundeliegende Signalfunktion bekannt ist. Der Vergleich mehrerer Schätzfunktionen basiert auf Gütekriterien, wobei zumeist Lp-Normen verwendet werden. Dabei besteht eine Diskrepanz zwischen dem, was diese Normen messen, und der visuellen Beurteilung durch einen Betrachter, da die Normen nur den vertikalen Abstand von Signal- und Schätzfunktion verwenden. Ein Betrachter kann beispielsweise falsch geschätzte Extremwerte visuell sofort erfassen und zieht sie automatisch zur Bewertung der Schätzfunktion heran. Insbesondere für Anwendungen, bei denen das korrekte Identifizieren von Extremwerten von hoher Bedeutung ist, führen klassische Gütekriterien wie die Lp -Normen zu Fehleinschätzungen bezüglich der Eignung von Regressionsverfahren. In der vorliegenden Arbeit wird daher ein gänzlich neues Gütemaß für die Beurteilung der Anpassung an Signalfunktionen vorgeschlagen. Der neue Extremstellenverlust bewertet die korrekte Identifizierung von Extrema. Für eine Schätzfunktion wird dafür zunächst überprüft, ob ihre Extremstellen mit denen der Signalfunktion übereinstimmen. Daraufhin wird das Fehlverhalten zu viel und zu wenig geschätzter Extremstellen in einem normierten Verlust zusammengefasst. Damit formalisiert das neue Kriterium die visuelle Beurteilung durch einen Betrachter und ist geeignet, die Güte einer Regressionsmethode bezüglich ihrer Extremwerte in einem Verlustwert zu erfassen.