Modellierung von Kapitalmarktrenditen mittels asymmetrischer GARCH-Modelle

Abstract

In der vorliegenden Arbeit wird die Modellierung von Kapitalmarktrenditen mittels asymmetrischer GARCH-Prozesse betrachtet. Insbesondere werden die Eigenschaften des A-PARCH-Modells sowie seiner Erweiterungen untersucht. Dieses Modell ermöglicht nicht allein die Modellierung von Volatilitätsschwankungen und Hochgipfligkeit wie das GARCH-Modell. Es ist ebenso geeignet, das Charakteristikum der Asymmetrie nachzubilden. Ferner können bedingte Volatilitäten als nichtganzzahlige Potenz vom Absolutbetrag der Beobachtungen beschrieben werden. Langes Gedächtnis in den bedingten Volatilitäten kann durch einen A-PARCH-Prozeß jedoch nicht modelliert werden, da ihre Autokorrelationsfunktion exponentiell und nicht hyperbolisch abfällt.Zunächst wird ein Vergleich von Modellanpassungen für Renditen von Aktienkursdaten durchgeführt. Dabei weist der A-PARCH-Prozeß mit bedingter t-Verteilung gegenüber anderen symmetrischen und asymmetrischen GARCH-Prozessen die kleinsten Werte für das Informationskriterium SBC (Schwarz-Bayes-Informationskriterium) sowie für das Maß für die Vorhersagegüte MSPE (mittlerer quadratischer Prognosefehler) auf. Er wird somit bei der Modellierung von Strukturen dieser Kapitalmarktdaten bevorzugt.Weiter wird die Hebelwirkungshypothese als mögliche Ursache für Asymmetrie in Kapitalmarktdaten mittels symmetrischer und asymmetrischer GARCH-Modelle untersucht. Unter anderem wird dabei für Modellanpassungen an Renditen von Aktien- und Wechselkursdaten sowie Edelmetallpreisen und Zinssätzen der Wert für SBC betrachtet. Die jeweilige Bevorzugung von symmetrischen bzw. asymmetrischen Modellen für die Anpassung an die beschriebenen Kapitalmarktrenditen stützt die Plausibilität der Hebelwirkungshypothese. Obwohl es auch weiterhin keine endgültige Aussage über die Gültigkeit dieser Hypothese gibt, sollte ihr bei der Modellauswahl, d.h. symmetrischer gegenüber asymmetrischem Ansatz, Rechnung getragen werden. Asymmetrische Modelle sollten demnach nur für Daten verwendet werden, für die das Zugrundeliegen einer Hebelwirkung sinnvoll ist.Um langes Gedächtnis als Eigenschaft von Kapitalmarktrenditen nachbilden zu können, gibt es verschiedene Erweiterungen des ursprünglichen GARCH-Ansatzes. In der vorliegenden Arbeit wird das FI-A-PARCH-Modell sowie sein Spezialfall FIGARCH betrachtet. Diese ergeben sich aus A-PARCH- bzw. GARCH-Modellen durch geeignetes Hinzufügen des fraktionalen Differenzenoperators (1 - B)d. Zur praktischen Umsetzung dieser Modelle ist jedoch eine Abschätzung dieses Operators mittels binomischer Reihe notwendig. Über die in dieser Abschätzung zu verwendende Anzahl von Beobachtungen gibt es jedoch bisher kaum konkrete Aussagen. Daher werden Parameterschätzungen in FI-A-PARCH-Modellen in Abhängigkeit von dieser Beobachtungszahl betrachtet. Es kann festgestellt werden, daß sich die Werte der Schätzungen für die vorliegenden Modellanpassungen etwa ab einem Wert von 300 Beobachtungen stabilisieren. Basierend auf diesem Ergebnis wird empfohlen, für ähnliche Probleme eine Anzahl von ca. 300 Beobachtungen für die Abschätzung von (1 - B)d zu verwenden.Obwohl der FI-A-PARCH-Prozeß zur Modellierung von langem Gedächtnis entwickelt wurde, besitzen seine bedingten Volatilitäten nicht die Eigenschaft langen Gedächtnisses in dem Sinne, daß die Autokorrelationsfunktion hyperbolisch fällt. Da die zweiten Momente analog zu denen des FIGARCH-Prozesses unendlich sind, existiert die betrachtete Autokorrelationsfunktion nicht. In einem weiteren Vergleich von Modellanpassungen nach MSPE wird der FI-A-PARCH-Prozeß mit bedingter t-Verteilung zwar nicht in jedem Fall bevorzugt, er erzielt jedoch jeweils die kleinsten Werte für SBC und kann somit als sinnvolle Ergänzung der zuvor vorgestellten Modelle angesehen werden.Ein Modell, welches die Nachbildung von langem Gedächtnis in den bedingten Volatilitäten ermöglicht, ist das Hyperbolische GARCH-Modell. Jedoch kann damit keine Asymmetrie beschrieben werden. Analog zur Herleitung des HYGARCH-Modells wird daher in der vorliegenden Arbeit das A-PARCH-Modell zum Hyperbolischen A-PARCH-Modell erweitert. Eigenschaften dieses Modells können unter anderem mittels Volterra-Reihenentwicklung von Asymmetrischen Power-GARCH-Modellen hergeleitet werden. Die Existenz der zweiten Momente wird gezeigt sowie die dazu notwendigen Bedingungen hergeleitet. Weiterhin kann das Vorliegen von langem Gedächtnis in der Transformation {(|yt| - yt)d} des Hyperbolischen A-PARCH-Prozesses {yt} nachgewiesen werden. Für den Prozeß {|yt|d}, welcher die bedingten Volatilitäten repräsentiert, kann daraus zunächst jedoch keine Aussage über die Autokorrelationsstruktur abgeleitet werden. Das HY-A-PARCH-Modell ermöglicht also die Beschreibung der Charakteristika Volatilitätsschwankungen, Hochgipfligkeit und Asymmetrie sowie das Vorliegen von langem Gedächtnis zumindest für eine Transformation der bedingten Volatilitäten. Der Nachweis von langem Gedächtnis in der Reihe {|yt|d} von HY-A-PARCH-Prozessen bleibt somit zunächst der künftigen Forschung vorbehalten. Als Ansatz zur Lösung dieses Problems wird die Methode der Appell-Polynome vorgeschlagen.

The available thesis contemplates the modeling of returns of financial markets using asymmetric GARCH processes. In particular the characteristics of the A-PARCH model as well as its extensions are examined. This model not only allows for modeling volatility clustering and leptocurtosis like the GARCH model. It is suitable to reproduce the characteristic of asymmetry as well. Furthermore, conditional volatilities can be described as none-integer-numbered power by the absolute value of the observations. However, long memory in the conditional volatilities cannot be modeled by an A-PARCH process since their autocorrelation function decays exponentially but not hyperbolically.First a comparison of model fits for returns of asset prices is accomplished. In relation to other symmetrical and asymmetrical GARCH processes the A-PARCH process with conditional t-distribution exhibits the smallest values for SBC (Schwarz-Bayes information criterion) as well as for the measure for the forecast quality MSPE (mean square prediction error). Thus, it is preferred by modeling structures of these capital market data.Moreover, the leverage hypothesis is examined as a possible cause for asymmetry in financial market data by symmetrical and asymmetrical GARCH models. Thereby, the value for SBC is inspected for model fits of asset returns and exchange rates as well as for precious metal prices and interest rates. The respective preference of symmetrical or asymmetrical models for the described data supports the plausibility of the leverage hypothesis. This effect should be accounted for model selection, i.e. for symmetrical vs. asymmetrical approach, even though there is still no final statement about the validity of this hypothesis. Therefore, asymmetrical models should be used only for data, for which it is reasonable to imply a leverage effect.In order to be able to reproduce long memory as characteristic of financial market returns, there are several extensions of the original GARCH approach. In the available work the FI-A-PARCH model as well as its special case FIGARCH are considered. These results by suitable adding of the fractional difference operator (1 - B)d from A-PARCH and GARCH models, respectevly. However, an approximation of this operator is necessary for practical implementation of these models using binomial series. But there are hardly concrete statements about the number of observations, which have to be used in this approximation, up to now. Therefore, the parameter estimations in FI-A-PARCH models are examined as a function of this observation number. It can be observed that the values of the estimations for these model fits stabilize from a value of approx. 300 observations. Based on this result, it is recommended to use a number of 300 observations for the estimation of (1 - B)d at similar problems.Although the FI-A-PARCH process was developed to model long term dependence, its conditional volatilities does not possess the characteristic of long memory in the sense that the autocorrelation function decays hyperbolically. Since the second moments are infinite similarly to those of the FIGARCH process, the appropriate autocorrelation function does not exist. In a further comparison of model fits using MSPE the FI-A-PARCH process with conditional t-distribution is not preferred in every case. However, the smallest value for SBC were obtained using this model. Thus it can be regarded as a reasonable addition of the models presented before.A model, which allows for reproduction of long memory in the conditional volatilities, is the Hyperbolic GARCH model. However, it cannot describe asymmetry. Thus, in this work the A-PARCH model is extended to the Hyperbolic A-PARCH model analogous to the derivation of the HYGARCH model. Characteristics of this model can be derived among other things using Volterra series expansion with Asymmetric Power GARCH models. The existence of the second moments is shown as well as the appropriate necessary condition is derived. Further the presence of long memory in the transformation {(|yt| - yt)d} of the hyperbolic A-PARCH-process {yt} is proved. However, for the process {|yt|d}, which represents the conditional volatilities, up to now no conclusion can be derived about the autocorrelation structure. Thus, the HY-A-PARCH model allows for description of the characteristics for volatility clustering, leptocurtosis and asymmetry as well as the presence of long memory at least for a transformation of the conditional volatilities. The proof of long memory in the series {|yt|d} of HY-A-PARCH processes at first remains for future research. The method of Appell polynomials is suggested as approach for solution of this problem.