Authors: Busse, Anja M.
Title: Klassifikation von Datenreihen mit Hilfe des Lyapunov-Exponenten
Language (ISO): de
Abstract: In der Zeitreihenanalyse tritt oft das Problem auf, nur eine einzige Datenreihe zur Verfügung zu haben, ohne den funktionalen Zusammenhang der Beobachtungen oder eine geeignete Modellierung zu kennen. So ist ein gutes Hilfsmittel auf dem Weg zur richtigen Modellierung, für eine erste grobe Einteilung der möglichen Prozesse die Eigenschaft der Fähigkeit zur Pr'adiktion zu nutzen. Es zeigte sich, dass der Lyapunov-Exponent für eine solche Klassifikation herangezogen werden kann. Ursprünglich war dieser nur für deterministische Beobachtungsreihen definiert. Hier misst der Lyapunov-Exponent die asymptotische, durchschnittliche logarithmische Ausdehnung infinitesimal kleiner Intervalle entlang zweier Trajektorien. Gleichwohl war es möglich, den Lyapunov-Exponenten auch auf stochastische Zeitreihen zu übertragen. Es konnte gezeigt werden, dass wenn ein additiver Fehler als Zufallseinfluss in der Prozessgleichung angenommen werden kann, ein direktes Überführen der deterministischen Herleitung in die Stochastik gegeben ist. Jedoch auch ohne Einschränkungen an den funktionalen Zusammenhang konnte der Lyapunov-Exponenten für Zeitreihen beschrieben werden. Hier konnte der Lyapunov-Exponenten auf natürliche Weise als asymptotischer Erwartungswert einer Transformation des gegebenen stochastischen Prozesses verallgemeinert werden. Mit dieser Grundlage war es möglich, den Lyapunov-Exponenten zur Klassifikation zwischen gut und schlecht prädizierbaren und zwischen stabilen und instabilen Prozessen zu nutzen. Da bei der Berechnung des Lyapunov-Exponenten durchaus Fehlklassifikationen, durch z.B. kurze Datenreihen, auftreten können, war ein weiteres Ziel, die Klassifikationsentscheidung statistisch abzusichern. Hierzu wurde ein nichtparametrischer Test konstruiert, der Aussagen über mögliche Fehlklassifikationen macht. Jedoch musste vorher eine Stichprobe erzeugt werden mit der Eigenschaft, ein bestmögliches Abbild der Ausgangsreihe darzustellen. Hierzu wurde ein bereits implementiertes auf Fouriertransformation beruhendes Verfahren anhand der bereits verwendeten Prozesse mit Hilfe von Simulationen untersucht. Es zeigte sich, dass die erzeugten Surrogate gute Stellvertreter für die Ursprungsreihen darstellten. Zum Schluss der Arbeit wurde die Klassifikation mit Hilfe des Lyapunov-Exponenten auf einen realen Datensatz, dem sogenannten BTA-Tiefbohren angewendet.
The forecasting of time series is one of the primary tasks in the analysis and modeling of unknown processes. Knowledge of predictability of a given time series can also be used to initially introduce a coarse classification for the modeling of the underlying processes. The main aim was to find a facility for the separation into well-predictable and not-well-predictable processes without any information about the functional relationship of the process and with only the given data. One criterion for the separation is given by the size of the Lyapunov exponent, which was originally defined for deterministic observation series. This characteristic feature describes the long time behavior of the average logarithmic derivative. It illustrates the divergence of two different trajectories. However, it was shown that the Lyapunov exponent can also be analyzed and used for stochastic time series. In this case, the Lyapunov exponent can be defined as the expected value of a transformation of the given stochastic process. Based on these definitions it was possible to use the Lyapunov exponent for the separation into well-predictable and not-well-predictable processes as well as into stable and instable processes. For the evaluation of the decision of classification I created a new statistical test. On this way it is possible to draw a conclusion with regard to misclassifications. The test is based on a classical nonparametric test with the Lyapunov exponent in the test statistics. In this context the necessary sample has to be created. In this work I use the method of surrogates. Simulations verified the results. I applied the classification by dint of the Lyapunov exponent with the subsequent testing to the real world system consisting of data of BTA deep hole drilling.
Subject Headings: Klassifikation
Zeitreihen
Lyapunov-Exponent
Test auf Fehlklassifikation
Classification
time series
Lyapunov exponent
coarseclassification
URI: http://hdl.handle.net/2003/2791
http://dx.doi.org/10.17877/DE290R-14923
Issue Date: 2003-04-22
Publisher: Universität Dortmund
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