Nicht-Existenz und Konstruktion extremaler Gitter

Abstract

Extremale Gitter im Sinne von Quebbemann sind in vielen Fällen interessante Kandidaten für dichte oder sogar dichteste Kugelpackungen wie etwa das Coxeter-Todd-Gitter in Dimension 12 oder auch das Barnes-Wall-Gitter in Dimension 16. In dieser Arbeit wird zunächst die bestehende Theorie zu extremalen Gittern kompakt zusammengefasst und um einige Resultate wie beispielsweise der Nicht-Negativität der Fourier-Koeffizienten der extremalen Modulform in verschiedenen Fällen ergänzt. Als ein erstes Hauptresultat der Arbeit folgt der Beweis der Nicht-Existenz eines extremalen Gitters der Dimension 24 und Determinante 7^12. Im Weiteren werden im Wesentlichen mit Hilfe von algebraischen Zahlkörpern einige bislang nicht bekannte extremale Gitter konstruiert. Insbesondere ist hier ein extremales Gitter in Dimension 32 der Determinante 2^16 und einem Automorphismus der Ordnung 7 zu nennen, welches den bestehenden Packungsdichte-Rekord einstellt. Die entwickelten Methoden erlauben zudem die Klassifikation extremaler Gitter mit gewissen Zusatzeigenschaften wie etwa einem Automorphismus von Primzahlordnung oder einer Struktur über einem Kreisteilungskörper.

Extremal lattices in the sense of Quebbemann are often interesting candidates for dense or even densest sphere packings like e.g. the Coxeter-Todd lattice in dimension 12 or the Barnes-Wall lattice in dimension 16. In this thesis the existing theory of extremal lattices is briefly summarized and supplemented with some results like the non-negativity of the Fourier coefficients of the extremal modular form in different cases. As a first main result a proof of the non-existence of an extremal lattice in dimension 24 and determinant 7^12 is given. Moreover, essentially by means of algebraic number fields some not yet known extremal lattices are constructed. In particular, one has to mention an extremal lattice in dimension 32 of determinant 2^16 with an automorphism of order 7, which sets the existing packing density record. The developed methods also allow the classification of extremal lattices with certain additional properties such as an automorphism of prime order or a structure over a cyclotomic field.