Total positive Funktionen und exponentielle B-Splines in der Zeit-Frequenz-Analyse

Abstract

Die vorliegende Arbeit behandelt die Anwendung von Schoenbergs total positiven Funktionen, sowie exponentieller B-Splines in der Zeit-Frequenz-Analyse. Wir werden aufzeigen, dass sich diese Funktionen sehr gut als Fenster der Gabor-Transformation eignen und darüber hinaus anwendungsorientierte Algorithmen zur Implementierung angeben. Nach einer kurzen Einführung in die Thematik betrachten wir zunächst die Zak-Transformierten der genannten Funktionen und charakterisieren für eine Teilklasse der total positiven Funktionen ihre Nullstellenmengen. Dies liefert bereits Gabor-Frames mit ganzzahligem oversampling und gibt Hinweise über die Existenz im Fall von rationalem oversampling. Anschließend beschäftigen wir uns mit Gabor-Systemen auf beliebigen separablen Gittern und legen einige Situationen dar, in welchen die Systeme der betrachteten Funktionen einen Frame liefern. In diesen Fällen beschreiben wir Algorithmen zur Konstruktion unendlich vieler verschiedener Duale mit kompakten Trägern, welche gegen den kanonischen Dual konvergieren. Weiter geben wir einen kurzen Einblick in die sich ergebenden Möglichkeiten zur Bildung von Gabor-Frames über nicht-separablen Gittern. Abschließend erläutern wir, wie die gewonnenen Erkenntnisse genutzt werden können, um diskrete Gabor-Frames und deren Duale zu konstruieren.

This thesis deals with the applicability of Schoenberg's totally positive functions and exponential B-splines in time-frequency analysis. We show that these functions provide excellent windows for the Gabor transform and give some application-oriented algorithms. After a brief introduction to the topic, we consider the Zak transform of totally positive functions and exponential B-splines. We characterize the zero set of this transform for a special subclass of totally positive functions, which directly leads to the existence of Gabor frames with integer oversampling, and gives some information about the case of rational oversampling. Afterwards, we deal with Gabor systems on arbitrary separable lattices and present some concrete situations, where the considered functions yield a frame. In these cases, we describe algorithms for constructing infinitely many different duals with compact support, which converge to the canonical dual. We also provide a brief insight how to handle Gabor systems on non-separable lattices. Finally, we explain to construct discrete Gabor frames and their duals in the aforementioned situations.