Statistische Modellierung und Optimierung multipler Zielgrößen

Abstract

In vielen technischen Anwendungen, wie etwa beim thermischen Spritzen, werden Maschineneinstellungen (Kovariablen) gesucht, die zu einem Produkt mit gewünschten Eigenschaften (Zielvariablen) bei festgelegten Zielwerten führen. Die einzelnen Zielvariablen werden als Zufallsvariablen aufgefasst und in einem Zielvariablenvektor zusammengefasst. Es wird davon ausgegangen, dass sowohl der Erwartungswert als auch die Varianz der Zielvariablen von Kovariablen abhängen. In der Regel können nicht alle Zielwerte gleichzeitig erreicht werden, sondern lediglich ein guter Kompromiss. Zur Auswahl eines Kompromisses kann die JOP-Methode herangezogen werden, bei der eine Risikofunktion für eine ganze Reihe von Kostenmatrizen minimiert wird. Bisher wurde dabei angenommen, dass die Einträge des Zielvariablenvektors unkorreliert sind. In dieser Arbeit wird die JOP-Methode auf korrelierte Zielgrößen erweitert. Zunächst werden vier unterschiedliche Modelle vorgestellt und erweitert, bei denen sowohl der Erwartungswertvektor als auch die Kovarianzmatrix des Zielvariablenvektors von Kovariablen abhängen. Die Schätzung des Erwartungswertvektors und der Kovarianzmatrix auf Basis der vier genannten Modellvorstellungen wird in einer Simulationsstudie untersucht und verglichen. Als Referenz gilt ein einfaches Vorgehen, bei dem für jede Einstellung das arithmetische Mittel und die empirische Kovarianzmatrix berechnet wird. Dabei stellt sich zwar kein klarer Favorit heraus, allerdings wird das einfache Vorgehen immer von mindestens einem der übrigen Modelle übertroffen. Im weiteren Verlauf wird die JOP-Methode auf korrelierte Zielgrößen erweitert. Es wird eine Wahl von nichtdiagonalen Kostenmatrizen vorgeschlagen und die Pareto- Optimalität der JOP-Methode nachgewiesen. Danach folgt die Vorstellung eines Algorithmus der JOP-Methode für korrelierte Zielgrößen. Anschließend wird die JOPMethode für korrelierte Zielgrößen auf einen Datensatz aus der Literatur sowie auf einen im Rahmen des SFB 823 entstandenen Datensatz aus einem thermischen Spritzprozess angewandt. Den Abschluss der Arbeit bildet eine Zusammenfassung und ein Ausblick.