Repräsentationsebenen von Eigenvektoren als Teil von Studierendenbearbeitungen in der linearen Algebra

Abstract

Die lineare Algebra ist ein zentraler Teil des universitären Mathematikstudiums, der in den letzten Jahrzehnten zunehmend in die Aufmerksamkeit der didaktischen Forschung gerückt ist (Wawro et al. 2019). Die Eigentheorie, und damit das Studium von Eigenvektoren, Eigenwerten und Eigenräumen, stellt einen zentralen Lerninhalt in der linearen Algebra dar, ist jedoch konzeptionell komplex und konfrontiert Studierende mit mehreren neuen mathematischen Definitionen und Konzepten. Eigenvektoren haben dabei sowohl algebraische als auch geometrische Interpretationen, die insbesondere in niedrigen Dimensionen gut veranschaulicht werden können, sodass das Arbeiten auf unterschiedlichen Beschreibungsebenen und mit verschiedenen Repräsentationen integraler Teil des Wissenserwerbs ist (Hillel, 2000, S. 199; Wawro et al., 2019, S. 1111). Laut Wawro et al. (2018, S. 275) ist die Forschung zum Lehren und Lernen der Eigentheorie „ein relativ junges Unterfangen und noch lange nicht erschöpft“. Nach Hillel (2000) wendet ein typischer Anfänger*innenkurs in der linearen Algebra mehrere Beschreibungsmodi auf Objekte und Operationen sowie die Übertragungen zwischen ihnen an. Dazu gehören der abstrakte, der algebraische und der geometrische Modus, die jeweils ihre eigenen charakteristischen Sprachen und Konzepte haben, und mit unterschiedlicher Terminologie, Notation und Repräsentationen verbunden sind. Für den abstrakten Beschreibungsmodus ist die Sprache formal und verwendet Konzepte aus dem verallgemeinerten n-dimensionalen Raum, wie Vektorraum, Dimension und Kern. Der algebraische Modus hingegen ist spezifischer und arbeitet mit Konzepten wie Matrizen und Rang, sowie der Lösung linearer Systeme. Der geometrische Beschreibungsmodus schließlich bezieht sich typischerweise auf 2- und 3-dimensionale Räume und arbeitet mit Vektoren, deren linearen Kombinationen und mit Transformationen, die die Vektoren skalieren oder unverändert lassen. Der Wechsel zwischen verschiedenen Modi ist eine der großen Herausforderungen, mit denen die Schüler*innen beim Erlernen der linearen Algebra konfrontiert sind (z. B. Sierpinska, 2000), und wird daher in der hier vorgestellten Studie adressiert.