Was bewirkt eine Veränderung eines einzelnen Wertes bei der Varianz der zugehörigen Datenliste, und warum?

Abstract

Der Auslöser für die im Titel genannte Fragestellung war eine Aufgabe in einem Schulbuchentwurf (8. Schulstufe) im Kapitel Beschreibende Statistik (hier nur sinngemäß wiedergegeben): Aufgabe: Thomas und Carina haben 20-mal dasselbe Computerspiel gespielt und ihre Ergebnisse in einer Tabelle festgehalten, von beiden weiß man also, wie oft sie jeweils die möglichen Punktezahlen (100, 200, 300, 400, 500) erreicht hatten.  Berechne das arithmetische Mittel x und die Varianz der Punktezahlen von Thomas und Carina!  Carina hat sich geirrt und ein Spiel mit 200 statt mit 300 Punkten eingetragen. Wie wirkt sich dieser Irrtum bei der Reparatur aus: Wird der wirkliche Mittelwert dadurch größer oder kleiner als der bisher berechnete? Wird die wirkliche Varianz dadurch größer oder kleiner? Stelle eine Vermutung auf bevor du rechnest!  Begründe deine Vermutung! Während die Begründung im Falle des Mittelwertes leicht machbar ist, schien uns das im Fall der Varianz genau genommen nicht mehr so einfach zu sein. Angenommen Carinas Mittelwert lag mit dem falschen Wert (200 Punkte) bei 320 Punkten. Dann ist zunächst natürlich sofort klar, dass der neue (richtige Wert) 300 näher beim bisherigen Mittelwert liegt, so dass es intuitiv nahe liegt, dass dadurch auch die Varianz kleiner wird, weil ja ein entscheidender quadratischer Abstand kleiner wird. So oder so ähnlich war wohl eine mögliche Begründung im Schulbuch auch gemeint. Wenn man nicht tiefer über die Sache nachdenkt, scheint die Angelegenheit damit erledigt zu sein. Aber ist das wirklich so einfach? Ist es wirklich immer so (unabhängig von der Lage der anderen Werte): Wann immer ein Wert näher an den momentanen Mittelwert heranrückt, wird die Varianz dadurch immer kleiner? Oder umgekehrt formuliert: Wann immer ein Wert vom momentanen Mittelwert wegrückt, wird die Varianz dadurch immer größer? Immerhin ändert sich bei der Verschiebung eines Wertes ja auch der Mittelwert selbst (und damit alle Abstände zu ihm), und man weiß ja i. A. nicht, wie viele der Werte kleiner bzw. größer als x sind. Wenn man das alles bedenkt, ist es gar nicht mehr so leicht die Auswirkungen auf alle anderen quadratischen Abstände zum neuen Mittelwert, und insbesondere auf deren Summe begründet abzuschätzen.