Schwierigkeiten beim „Entbündeln“ und „Erweitern“: Erste Aufgabenanalysen im Rahmen einer Vergleichsstudie

Abstract

Für die schriftliche Subtraktion gibt es verschiedene Verfahren, die sich in zwei Aspekten unterscheiden: Zum einen kann die stellenweise Differenzbildung durch Abziehen oder durch Ergänzen vorgenommen werden. Zum anderen wird mit der Notwendigkeit eines Stellenübergangs – wenn beim ziffernweisen Abziehen/Ergänzen der Ziffernwert im Minuenden kleiner ist als im Subtrahenden – unterschiedlich umgegangen. Hier gibt es die Möglichkeit zum Auffüllen (in diesem Beitrag nicht thematisiert), zum Erweitern und zum Entbündeln. Üblicherweise wird das Erweitern mit dem Ergänzen und das Entbündeln mit dem Abziehen kombiniert. Die Wahl eines Verfahrens liegt in vielen Bundesländern – z.B. Niedersachsen und Nordrhein-Westfalen – auf Seiten der Lehrkräfte. Für den Entscheidungsprozess können verschiedene Argumente herangezogen werden. Ein Argument wäre, sich auf die Fehleranfälligkeit und spezifische Schwierigkeiten der Verfahren zu beziehen, die sich durch die verschiedenen Techniken bei einem Stellenübergang ergeben. So werden beim Erweitern bei einem kleineren Ziffernwert im Minuenden als im Subtrahenden gleichzeitig an der aktuellen Stelle zehn Bündelungseinheiten im Minuenden sowie an der nächsthöheren Stelle im Subtrahenden eine Bündelungseinheit hinzugefügt. Als spezifische Schwierigkeiten werden besonders Stellen in Aufgaben beschrieben, an denen eine Bündelungseinheit im Subtrahenden hinzugefügt werden muss, wenn dort keine Ziffer steht (leere Stelle) oder wenn dort eine 0 oder eine 9 vorhanden ist (und dementsprechend die eine Bündelungseinheit mit 0 Bündelungseinheiten oder mit 9 Bündelungseinheiten verrechnet werden muss). Des Weiteren besteht beim Erweitern die Gefahr, dass mit dem Verfahren nicht lösbare Aufgaben (Minuend kleiner Subtrahend) nicht als solche erkannt werden, weil der Blick auf die ganzen Zahlen durch das Verändern der einzelnen Stellen verloren gehen kann (Gerster, 2012; Kühnhold & Padberg, 1986; Jensen & Gasteiger, 2019). Beim Entbündeln wird im Falle eines kleineren Ziffernwerts im Minuenden als im Subtrahenden an der nächsthöheren Stelle im Minuenden eine Bündelungseinheit entnommen und entbündelt, sodass sich dort die Anzahl um eins verringert. Die entstandenen zehn Bündelungseinheiten werden zur aktuellen Stelle hinzugefügt, sodass man dort abziehen oder ergänzen kann. Bei diesem Verfahren entstehen besonders viele Fehler beim Entbündeln bei Null, bei Eins und wenn mehrere Übergänge hintereinander nötig sind (Cox, 1974; Brown & VanLehn, 1980; Jensen & Gasteiger, 2019). Schwierigkeiten, die beide Verfahren betreffen, sind leere Stellen, gleiche Ziffern nebeneinander, Nullen im Minuenden/Subtrahenden und gleiche Ziffern übereinander (beim höchsten Stellenwert und nach einem Übergang/Übertrag; Jensen & Gasteiger, 2019). Inwieweit sich die spezifischen Schwierigkeiten tatsächlich auf die Fehleranfälligkeit der Verfahren auswirken – unabhängig von der Qualität des Unterrichts oder den individuellen Stärken und Schwächen der Kinder – muss erst untersucht werden, um Argumente für die Verwendung des einen oder des anderen Verfahrens ableiten zu können. Dazu findet derzeit in einem Kooperationsprojekt der Universitäten Bielefeld und Osnabrück eine vergleichende Studie unter Kontrolle des Unterrichts statt. Die ersten Analysen bereits vorliegender Daten ermöglichen eine Einsicht dahingehend, ob sich Schwierigkeiten als solche bestätigen lassen, auch wenn sie im Unterricht explizit thematisiert wurden.