Dynamische frailties in Zählprozessen mit Anwendung auf Ratingmigrationen
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Date
2011-09-28
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Abstract
Im Bankwesen gibt es seit Basel II neben den Ratings der großen Ratingagenturen
auch interne Ratings, die von den Banken selbst erstellt werden. Diese haben den
Vorteil, dass sie jederzeit veränderbar sind und somit Ratinghistorien der Schuldner
als zeitstetige Markoff-Prozesse ansehen lassen. Migrationsintensitäten zwischen
den Ratingklassen lassen sich also mit Hilfe von Zählprozessen schätzen.
Hat man Ratingklassen in Kalenderzeit, so sind diese über die Konjunktur korreliert.
Die Korrelation kann über eine aus der Überlebenszeitanalyse bekannten
Frailty modelliert werden. Das bedeutet, dass die Migrationsintensität einen zufälligen
Faktor enthält. Üblicherweise ist dieser Faktor gamma- oder log-normalverteilt.
In der Arbeit wird aber von zwei anderen Möglichkeiten ausgegangen: als erstes von
einer betaverteilten Frailty, die sich zu jedem Migrationszeitpunkt verändert, und
als zweites von einem AR(1)-Prozess, der sich zu den selben Zeitpunkten erneuert.
Der AR(1)-Prozess hat im Gegensatz zur betaverteilten Frailty den Vorteil, dass
er autokorreliert ist jedoch den Nachteil, dass die Intensitäten theoretisch negativ
werden können.
Das Problem bei einer solchen Modellierung ist, dassdie Likelihood einem hochdimensionalen
Integral entspricht. Delloye et al. (2006), Koopman et al. (2008)
und Duffie et al. (2009) lösen dieses Problem, indem sie aufwändige numerische
Verfahren zur Schätzung der Parameter verwenden. Hier geschieht das mit Hilfe
einer Laplace-Approximation, die das Integral annähert. Danach gibt es trotzdem
keine geschlossene Form der Schätzer, man benötigt jedoch nur noch einen einfach
Newton-Raphson Algorithmus um Schätzwerte zu finden.
In Simulationen wird das Verhalten der Schätzer überprüft. Die Basisintensität
lässt sich gut schätzen. Ein einfacher Schätzer, der die Frailty ignoriert, liefert aber
genauso gute, teilweise bessere Ergebnisse. Die Parameter der Frailtyverteilung
dagegen lassen sich bei der AR(1)-Verteilung gar nicht schätzen, und auch bei
der betaverteilten Frailty funktioniert dies nur unabhänging von den Daten. Hier
führt ein Teil des Korrekturterms der Laplace-Approximation, der nicht von den
Beobachtungen abhängt, dazu, dass in der Likelihood ein Peak entsteht. Ohne den
Peak wären auch in diesem Fall der Parameter der Betaverteilung nicht schätzbar.
Somit ist die Laplace-Approximation zumindest bei einem so hochdimensionalen
Problem wie dem betrachteten wenig geeignet um die Likelihood anzunähern.
In einem Portfolio der WestLB kann gezeigt werden, dass die Migrations- und Ausfallhäufigkeit
von der Konjunktur abhängt. Die gefundenen Schätzer unterscheiden
sich ähnlich wie in den Simulation kaum von einem einfachen Schätzer und auch
unterschiedliche Werte für die Parameter der Frailtyverteilung verursachen kaum
Veränderungen des Schätzers. Nur bei gemeinsamer Schätzung der Parameter im
Fall der betaverteilten Frailty wird der Schätzer deutlich kleiner. Dieses Verhalten
konnte aber auch in den Simulationen beobachtet werden, in denen der gemeinsame
Schätzer die Basisintensität immer deutlich unterschätzte.
Description
Table of contents
Keywords
Frailties, Kreditrisiko, Zählprozesse