Computational modeling of material behavior on different scales based on continuum mechanics
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Date
2012-01-06
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Abstract
Die Modellierung und Simulation von Materialverhalten ist seit Jahrzehnten wichtiger Bestandteil
ingenieurwissenschaftlicher Forschung. Sowohl innovative Ingenieurmaterialien
(wie z.B. Leichtbaustoffe) als auch klassische Werkstoffe (z.B. Metalle) verlangen bei
ihrer Entwicklung bzw. bei der Ermittlung ihrer mechanischen Eigenschaften ein stark
verzahntes Wissen des Ingenieurs. In dem multidisziplinären Forschungsfeld sind Materialwissenschaftler,
Ingenieure, Mathematiker und Physiker aktiv und profitieren von
interdisziplinären Ansätzen. -
Modellierung inelastischen Werkstoffverhaltens von
Metallen -
In vielen ingenieurwissenschaftlichen Anwendungen wie z.B. Umformprozessen spielt die
Deformation von metallischen Materialien eine wichtige Rolle. Metalle verhalten sich bis
zu einer kritischen Spannung linear-elastisch. Bei größeren Deformationen sinkt die Steigung
der Spannungs-Dehnungskurve und schließlich beginnt das Material sich plastisch
zu verfestigen.
Das Werkstoffverhalten ist abhängig von mehreren Phänomenen auf verschiedenen Skalen,
wie z.B. der Mikroebene. Ein gutes Beispiel hierfür sind polykristalline metallische Werkstoffe.
In deren Fall hat man festgestellt, dass die zugrunde liegende Mikrostruktur,
z.B. die Kornmikrostruktur, eine große Rolle spielt. Relevante Aspekte hierbei sind die
Abhängigkeit des Materialverhaltens von der Korngröße oder von der Interaktion zwischen
Versetzungen und Korngrenzen. Wenn das umzuformende Metallstück ungefähr
die gleiche Größe hat wie die Kristalle, aus denen es besteht, dann ist die Spannungs-
Dehnungskurve im plastischen Bereich stark von der Korngröße abhängig. Dieses Verhalten
nennt man Größeneffekt.
Im Gegensatz zur herkömmlichen Kristallplastizität werden die genannten Aspekte von
den Ansätzen der erweiterten Kristallplastizität bzw. der Gradientenkristallplastizität
berücksichtigt. Bei der Anwendung solcher Modelle und deren Umsetzung in die numerische
Simulation ergeben sich mehrere Herausforderungen. Nicht zuletzt gehören
dazu die Analyse der entsprechenden gekoppelten Anfangs-Randwertprobleme und die
Entwicklung von effektiven numerischen Lösungsstrategien für diese Probleme.
In den Kapiteln 2–6 werden erweiterte Kristallplastizitätstheorien betrachtet. Dabei werden
große Deformationen berücksichtigt, basierend auf nicht-linearer Kontinuumsmechanik.
Die resultierenden mathematischen Gleichungen sind hochgradig nicht-linear und miteinander
gekoppelt, so dass ein effizienter numerischer Algorithmus benötigt wird.
Modellierung und Simulation von Polareis in der Antarktis
Inlandeisflächen und Gletscher spielen für das Erdklima eine sehr wichtige Rolle. Rund
90% des irdischen Eises und damit 75% der weltweiten Süßwasserreserven sind in der
bis zu 4500m dicken Eisdecke der Antarktis enthalten. Das antarktische Inlandeis ist
die größte einzelne Eismasse der Erde. Fast der gesamte Kontinent ist durch das ca. 12
Millionen km2 große Eisschild der Antarktis bedeckt.
Eis in natürlichen Landeismassen, wie z.B. polaren Eisflächen oder Gletschern, besteht aus
Milliarden individuellen hexagonalen Eiskristallen, so genannten “ice Ih”. Diese haben
typischerweise einen Durchmesser von wenigen Millimetern oder Zentimetern. Diese
Größenskala steht im Kontrast zu der Größe der Masse, die üblicherweise zwischen mehreren
HundertMetern bis zu Tausende von Kilometern rangiert. Es ist seit langem bekannt, dass
obwohl die Verteilung der kristallographischen Achsen an der Oberfläche von Eisflächen
zufällig ist und das Materialverhalten somit dort als isotrop angesehen werden kann, sich
dieses Verhalten an tieferen Stellen verändert. In der Tiefe beginnen die Kristalle, sich
zu verschiedenen Typen von anisotropen Gebilden mit bevorzugten kristallographischen
Achsen zu entwickeln.
In Kapitel 7 wird ein Computermodell für den anisotropen Eisfluss basierend auf den
Felddaten der EPICA (European Project for Ice Coring in Antarctica) Eisbohrungen
an der Kohnen Station vorgestellt. Die Kohnen Station ist die einzige deutsche polare
Forschungsstation in der Antarktis und liegt im Dronning Maud Land. Hauptziel des
EPICA an der Kohnen Station ist die Rekonstruktion des antarktischen Klimas in den
letzten hunderttausend Jahren mittels Tiefeisbohrungen. Aufgrund dieser Bohrungen
sind Daten über die Anisotropie des Eises sowie über den Eisfluss vorhanden.
Physikalisch gesehen ist Eis ein kristalliner Festkörper, d.h. natürliches terrestrisches Eis
setzt sich aus Milliarden Eiskristallen zusammen. An der Oberfläche von Eisflächen bzw.
in kleinen Eismassen ist die Verteilung der kristallographischen Achsen zufällig. Das
makroskopische Materialverhalten von Eis kann in diesen Fällen folglich vereinfachend
als isotrop angenommen werden. Bei dicken Eisschichten verändert sich dieses Verhalten
jedoch in der Tiefe, d.h. die Kristalle richten sich mit bevorzugter kristallographischer
Achse aus. Diese Anisotropie bewirkt unter Last eine im Vergleich zu isotropen
Oberflächeneis eine bis zu zehnfach schnellere Deformation. Daher müssen für dicke Eisschichten
anisotrope Materialgesetze formuliert werden.
Das zugrunde liegende Modell, das so genannte continuum-mechanical, anisotropic flow
model based on an anisotropic flow enhancement factor model (kurz: CAFFE-Modell),
erfüllt alle grundlegenden Prinzipien der klassischen Kontinuumsmechanik und berücksichtigt
die Anisotropie des Eis. Die Gewebebildung wird mittels einer Massenbilanz, die mehrere
Rekristallisationseffekte beinhaltet, modelliert. Rekristallisation ist der Abbau von Kristallgitterfehlern
durch Neubildung des Gefüges. Die Polygonisierung, d.h. die Rekristallisation
durch Partikelrotation, ist eine stetige dynamische Rekristallisierung und wird im
CAFFE-Modell durch den Orientierungsfluss beschrieben. Letzterer wird als diffusiver
Prozess modelliert. Hierbei wird eine Verallgemeinerung des so genannten Fickschen
Diffusionsgesetz angesetzt.
-Modellierung von Lösungsdurchdringung in Polymeren:
case II Diffusion -
Klassische Diffusion (“case I Diffusion”) wird üblicherweise mit Hilfe des Fickschen Gesetzes
modelliert. Im Fall von glasigen Polymeren in Umgebung der Glas¨ubergangstemperatur
list dies jedoch nicht möglich. Wenn eine Lösung mit niedrigem Molekulargewicht in der
Nähe der Glasübergangstemperatur in ein sprödes Polymer diffundiert, durchläuft das
Polymer einen Phasenwechsel von Glas zu Gummi. Dieser Diffusionsvorgang wird nach
Alfrey et al. [11] als “case II Diffusion” bezeichnet. Im Gegensatz zur klassischen Diffusion
ist im Fall der case II Diffusion die Massenaufnahme der Lösung durch das Polymer
nicht proportional zur Wurzel aus der Zeit, sondern linear in der Zeit. Zusätzlich teilt
eine scharfe Front das Polymer in zwei Regionen. Vor der Front, wo das Polymer spröde
ist, ist die Konzentration der Lösung deutlich geringer als hinter der Front.
Ein typisches Beispielsystem ist Polymethylmethacrylat (PMMA) und Methanol. Die
Werkstoffmodellierung von Polymeren, in denen case II Diffusion stattfindet, ist insbesondere
in der pharmazeutischen und der Automobilindustrie von Interesse. In der Literatur
existieren viele verschiedene Modellansätze, die unterschiedliche charakteristische Merkmale
der case II Diffusion beschreiben können. Es existiert zur Zeit jedoch noch kein
Ansatz, der alle Eigenschaften abbilden kann. In Kapitel 8 werden bestehende Modelle
besprochen, miteinander verglichen, sowie Vor- und Nachteile aufgelistet.
- Modellierung von nicht-klassischer Diffusion in weiteren
biologischen und physikalischen Vorgängen -
Neben der case II Diffusion in Polymeren existieren weitere biologische und physikalische
Prozesse, in denen nicht-klassische (d.h. nicht-Ficksche) Diffusion statt findet. Einige
dieser Fälle werden in Kapitel 9 genauer betrachtet. Der Fokus liegt dabei auf der Untersuchung
von Wellen- und Schockausbreitungsphänomenen. Unter anderem wird ein
modifiziertes SIR Modell für Epidemien betrachtet. Mit Hilfe dieses Modells kann die
Seuchenausbreitung und -übertragung durch Individuen simuliert werden. Die Bevölkerungsgruppe
wird in diesem Zusammenhang in potentielle Empfänger (S), Infizierte (I)
und Genesende (R) unterteilt. Die Verbreitung der Krankheit wird dabei mittels eines
nicht-klassischen Diffusionsgesetz modelliert.
Description
Table of contents
Keywords
Computational modeling, Continuum mechanics, Polycrystals, Simulations