Combinatorial optimization with one quadratic term
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Date
2014
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Abstract
Diese Arbeit befasst sich mit einer neuen Herangehensweise für binäre kombinatorische Optimierungsprobleme. Die wesentliche Idee hierbei ist, die Anzahl der quadratischen Terme in der Zielfunktion auf einen einzigen zu beschränken, und das durch eine Linearisierung entstehende Polyeder zu analysieren. Für diesen Ansatz gibt es mehrere Motivationsgründe. Im Allgemeinen ist das ursprüngliche Problem mit beliebig vielen quadratischen Termen NP-schwer. Doch obwohl eine gute polyedrische Beschreibung mit schnellen Separierungsroutinen die Optimierung in einem Branch-and-Cut-Verfahren signifikant beschleunigen könnte, gibt es bislang nur wenige Erkenntnisse zur polyedrischen Struktur des binären quadratischen Optimierungsproblems. Betrachtet man das reduzierte Problem mit einem quadratischen Term, dann ist eine effiziente Optimierung möglich, falls die zugrundeliegende lineare Version effizient lösbar ist. Somit können hier auch die facettendefinierenden Ungleichungen effizient separiert werden. Darüberhinaus bleiben alle zulässigen Ungleichungen des reduzierten Problems zulässig für das ursprüngliche Problem. In Kombination bedeutet dies, dass Erkenntnisse zur Facettenstruktur des Problems mit einem quadratischen Term direkt zu einer verbesserten polyedrische Beschreibung des Ursprungsproblems führen. Für eine praktische Anwendung dieses theoretischen Ansatzes betrachten wir verschiedene konkrete Optimierungsprobleme mit einem
quadratischen Term und analysieren deren jeweilige polyedrische
Struktur, die sich nach der Linearisierung ergibt. Konkret betrachten
wir das Minimale Spannwald- und das Minimale Spannbaumproblem, das
Minimale Branching- und das Minimale Arboreszenzproblem, das Minimale
Assignmentproblem und das Maximale Matchingproblem. Für jedes dieser
Optimierungsprobleme leiten wir neue Klassen von facettendefinierenden
Ungleichungen her. Außerdem präsentieren wir für das Minimale
Spannwald- und das Minimale Spannbaumproblem eine vollständige
Beschreibung der jeweiligen Polytope. Für die verwandten gerichteten
Probleme, das Minimale Branching- und das Minimale Arboreszenzproblem,
zeigen wir zwar einerseits einige Gemeinsamkeiten mit den
ungerichteten Problemen, andererseits aber auch, dass sich die
polyedrischen Strukturen im gerichteten Fall durch die
zusätzlichen Gradbedingungen deutlich verkomplizieren. Bei der
Untersuchung des Minimalen Assignmentproblems mit einem quadratischen
Term stellen wir nicht nur die Vermutung über die vollständige
polyedrische Beschreibung auf, sondern kommen insbesondere zu der
überraschenden Erkenntnis, dass bereits ein einziger quadratischer
Term genügen kann, um die Anzahl der Facetten von polynomiell auf
exponentiell zu erhöhen. Die größte Vielfalt an Facettenklassen
leiten wir für das Polyeder des Maximalen Matchingproblems mit einem
quadratischen Term her. Wir zeigen jedoch auch, dass diese noch nicht genügen, um die vollständige Beschreibung des Polyeders zu erhalten. Da die meisten der hergeleiteten Facettenklassen von exponentieller Größe sind, leiten wir verschiedene Routinen für eine polynomielle Separierung her. Unsere exemplarischen Rechenergebnisse für das quadratische Minimale Spannwald- und das quadratische Minimale Spannbaumproblem zeigen die praktische Relevanz unseres Ansatzes.
Description
Table of contents
Keywords
Binary quadratic optimization, Minimum spanning tree polytope, Quadratic assignment problem, Quadratic matching problem, Cutting planes